Mate 4009
Prueba Corta 5
Nombre: ____________________
Fecha: 9/18/14
Resuelva los siguientes ejercicios:
1. :Halle una ED cuya solución general es dada por la ecuación
(y = c1 e x + c2 ex )
0 (y 0 = c1 e x + c2 ex )
1 (y 00 = c1 e x + c2 ex )
sumando se obtiene y 00
2. Halle la solución de
(x + 1)
La ED es en variables separables
ln (y
3.
Halle la solución al PVI
u = y1
n
1
x
+ c2 ex .
y=0
y + 10 =
(y
10)
R dx
dy
=
+c
y 10
x+1
10) = ln (x + 1) + ln c ) ln (y
dy
+ 1 y = 2xy
dx x
2y
R
dy
=
dx
y = c1 e
10) = ln c (x + 1) ) y
xy
10 = c (x + 1)
dy
+ y 2 = 2x2
dx
; ED de Bernoulli con n =
1
= y 2 , diferenciando implicitamente u0 = 2yy 0 ; multiplicando la ED por 2y :
dy
+ 1 y = 2xy
dx x
) 2yy 0 + x2 y 2 = 4x, sustituyendo:
1
u0 + x2 u = 4x la cual es una ED lineal, donde:
R
v=e
2
x dx
= e2 ln x = x2 ; multiplicando la ED por x2 :
x2 u0 + 2xu = 4x3 )
R
d
dx
x2 u =
R
4x3 dx + c ) x2 u = x4 + c ) y 2 = x2 +
4. Halle la solución general de la ED
Considere el cambio de variable u =
au
bu+c du
=
a
b2
c ln 1b (c + bu)
y
x
ln
i
udx + xdu
1
du
1
=u+ +1)u+x
= u + + 1; simpli…cando:
dx
u
dx
u
u+1
du
=
, ED en variables separables:
dx
u
R udu
R dx
=
+c)u
u+1
x
bu
y
) y = ux, calculando el diferencial:
x
dy = udx + xdu, sustituyendo en la ED:
x
hR
dy
y x
= + +1,
dx
x y
c
:
x2
ln (u + 1) = ln x + ln c, sustituyendo las variables originales,se obtiene:
y
+ 1 = ln (cx)
x
1
5. Si la vida media de una sustancia radioactva es de 32 días. Determine el
tiempo t que en que 24 libras se convierten en 3 libras.
Sea x (t) la cantidad de la sustancia que queda después de t días. La ED asociada a este problema es:
dx
= kt; x (0) = 32;
dt
x (32) = 12; la solución es:
x (t) = cekt , usando las condiciones iniciales se tiene que c = 32 y se obtiene:
x (t) = 24ekt ) x (32) = 24e32k = 12 ) e32k =
x (t) = 24e
24e
ln 2
32 t
ln 2
32 t
1
2
)k=
ln 2
32
y por lo tanto:
, para determinar el tiempo en que quedan 3 libras se resuelve la ED:
=3)e
ln 2
32 t
=
1
8
)
ln 2
32 t
=
ln 8 ) t = 96 días.
2
0
