EJEMPLO DE MODELOS ECONOMÉTRICOS 1. MODELOS DE

Coro Chasco Yrigoyen, Dpto. Economía Aplicada, UAM.
EJEMPLO DE MODELOS ECONOMÉTRICOS
Ver el Caso 9 (pag. 505 y ss.) del libro de A. Pulido y A. López (1999), “Predicción y Simulación
aplicada a la economía y gestión de empresas”. Ed. Pirámide. En el mismo se presentan “algunas
relaciones macroeconómicas básicas para la economía española”: consumo privado nacional,
inversión privada, exportaciones e importaciones de bienes y servicios, pagos por intereses de las
AAPP, créditos al sector privado y tipos de interés.
1. MODELOS DE SERIES TEMPORALES UNIECUACIONALES
Ejemplo 1: Supongamos el siguiente modelo:
Vt = a + bPRt + cPBt
siendo V:
PR:
PB:
ventas de una empresa
precios
presupuesto en publicidad
Ejemplo 2: A efectos de predecir el volumen de paro en España podría elaborarse el siguiente
modelo:
TPAt = a 0 + a1 P14 t + a 2UCPt + U t
siendo TPA: tasa de paro, definida como población en paro dividida por población activa.
P14: población de 14 y más años
PROD: productividad, definida como el PIB dividido por la población ocupada.
También podría haberse especificado otro modelo con PPA (población en paro) como variable
endógena:
PPAt = a 0 + a1 P14 t + a 2UCPt + U t
Ejemplo 3: Supongamos que el consumo de un determinado producto depende del ingreso
familiar y de que tenga o no vivienda en propiedad, pudiendo establecerse el siguiente modelo:
C i = a0 + a1 Ri + a 2 Fi + U i
siendo: Ci: el consumo del producto
Ri: el ingreso familiar
Fi: una variable ficticia que tomará el valor 1 si la familia tiene vivienda en propiedad y
0 en caso contrario.
Coro Chasco Yrigoyen, Dpto. Economía Aplicada, UAM.
Ejemplo 4: La función de producción calculada por Cobb y Douglas, para el conjunto de la
economía de Estados Unidos en el período 1900-1922, fue estimada de la siguiente forma:
Pt = 1,10 L0t , 75 C t0, 25
siendo: P: índice de producción total por año
L: índice de "inputs" de trabajo
C: índice de "inputs" de capital
Este modelo se encuentra ya estimado (se conoce el valor de los parámetros), por lo que no
incluye el término de la perturbación aleatoria: más adelante profundizaremos más en esta
cuestión.
Cuando, como en éste y otros muchos casos, se parte de una especificación potencial, es decir,
lineal en los logaritmos de las variables, entonces los parámetros son directamente las
elasticidades: elasticidad de P respecto de L y C. En este caso, los parámetros indicarán, en
forma suficientemente aproximada para incrementos porcentuales pequeños de L o C, el
incremento porcentual correspondiente a P. Por ejemplo, en EEUU, en el período 1900-1922,
una variación porcentual de 1% en los inputs de trabajo (L) dio lugar a un incremento de la
producción total de 0,75%, mientras que incrementos de 1% en los inputs de capital C
producían un aumento de la producción en sólo 0,25%. Es decir, los incrementos en inputs de
trabajo, respecto a los de capital, producían aumentos 3 veces mayores en la producción total.
Ejemplo 5: Sea un modelo de la renta (R) en función del nivel educativo (E):
R t = β1 + β2 E t + u t
Este modelo olvida que la mayoría de la gente tiene más ingresos de mayores que cuando son
jóvenes, independientemente de su educación. Por eso, el parámetro β2 estará sobrestimando el
impacto de la educación sobre la renta. Por eso, una especificación más adecuada debería incluir
la variable edad (A) en el modelo:
R t = β1 + β2 E t + β3 A t + u t
Sin embargo, es algo contrastado que la renta tiende a crecer menos que proporcionalmente en
los últimos años de vida laboral que en los primeros. Por eso, el modelo debería especificarse:
R t = β1 + β2 E t + β3 A t + β4 A 2t + u t
En este caso, lo esperado es que β3 tenga signo positivo y que β4 sea negativo.
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2. MODELOS DE SERIES TEMPORALES MULTIECUACIONALES
Ejemplo 6: Una empresa comercial pretende conocer la evolución de su beneficio bruto (BEN),
teniendo en cuenta el capital invertido (SK), el número de trabajadores (L), el precio de venta
(PRE) y un índice de actividad económica (ACT). Para estimar el comportamiento de dichos
beneficios se plantea inicialmente una ecuación con la siguiente especificación:
BEN t = β1 + β2SK t + β3 L t + β4 PRE t + β5 ACTt + u t
Tras una primera estimación se llega a la conclusión que el modelo no es muy bueno debido a
que el beneficio tiene 2 elementos claramente diferenciados cuyo comportamiento debería ser
analizado por separado: ingresos (ING) y gastos (GAS), por lo que el modelo queda así:
ING t = β1 + β2SK t + β3L t + β4 PRE t + β5 ACTt + u t
BEN t = ING t − GASt
A la hora de realizar predicciones, la empresa se encuentra con la dificultad de determinar el
nivel del gasto a futuro, ya que éste se va a ver directamente condicionado por la evolución de
los ingresos, así como por el número de empleados, constatándose la necesidad de endogeneizar
la variable de gastos para determinar simultáneamente el nivel de ingresos y gastos a futuro.
Asimismo, la variable de ingresos no sólo depende de las variables del entorno, sino del propio
volumen de compras realizadas, por lo que se incluirá GAS como explicativa de ING:
ING t = β1 + β2 GASt + β3SK t + β4 L t + β5 PRE t + β6 ACTt + u1,t
GASt = γ1 + γ 2 ING t + γ 3 L t + u 2,t
BEN t = ING t − GASt
Finalmente, una vez constatada la necesidad de desarrollar un modelo multiecuacional, se
considera oportuno que, para gestionar adecuadamente la empresa, es preciso modelizar,
además de los beneficios, la evolución del stock de capital, cumpliendo el doble objetivo de
analizar los beneficios y la reinversión de los mismos para el aumento del stock de capital:
ING t = β1 + β2GASt + β3SK t + β4 L t + β5 PRE t + β6 ACTt + u1,t
GASt = γ1 + γ 2 ING t + γ 3 L t + u 2,t
SK t = λ1 + λ 2 BEN t + u 3,t
BEN t = ING t − GASt
Como puede apreciarse, hemos pasado de un modelo uniecuacional (1º) a otro modelo
multiecuacional recursivo (2º), pasando por un modelo multiecuacional bloque-recursivo (3º) y
terminando con un modelo multiecuacional de ecuaciones simultáneas (4º).
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Ejemplo 7: Sea un modelo simplificado de determinación del consumo C, la inversión I y la
renta Y de un país:
⎧C t = a1 + a 2Yt −1 + U t
⎪
⎨ I t = b1 + b2 (Yt − Yt −1 ) + Vt
⎪Y = C + I + G
t
t
t
⎩ t
La última ecuación es una identidad contable, en una economía cerrada, por lo que no se incluye
la perturbación aleatoria, dado que la relación es exacta, sin posibilidad de error.
Ejemplo 8: Modelo de Lawrence R. Klein:
⎧⎧C i = α 0 + α 1 (W1 + W2 )i + α 2 π1 + u1i
⎪⎪
⎪⎨ I i = ρ 0 + ρ1 π i + ρ 2 π i −1 + ρ 3 K i −1 + u 2i
⎪⎪⎪W1i = δ 0 + δ1 (Y + T − W2 ) + δ 2 (Y + T − W2 ) + δ 3i + u 3i
i
i −1
⎩
⎨
⎪⎧Yi + Ti = C i + I i + Gi
⎪⎪Y = W + W + π
i
1i
2i
⎪⎨ i
⎪
⎪⎩⎩∆K i = I i
n = 1921-1941 (economía norteamericana)
Las variables monetarias: miles de millones de dólares de 1934 (términos reales)
C:
consumo privado
W1 :
salarios pagados por el sector privado
W2 :
salarios pagados por el sector público
π:
beneficios
I:
inversión privada
K:
stock de capital privado
Y:
renta nacional
I:
impuesto sobre empresas
G:
gasto público (excepto salarios)
i:
tiempo (año de referencia); i = 1, 2, ..., n
u1, u2, u3: perturbaciones aleatorias
α, ρ, δ:
parámetros del modelo.
-
Las 3 primeras ecuaciones son modelos econométricos uniecuacionales.
Las 3 últimas ecuaciones son modelos deterministas o identidades contables, que deben
desaparecer y ser sustituidas en las demás ecuaciones.
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3. MODELOS AUTORREGRESIVOS DE SERIES TEMPORALES
Ejemplo 9: Sea un modelo de la serie mensual de consumo de gasolina (z), que ha sido
previamente transformada en logaritmos y en diferencias (primeras diferencias y diferencias de
orden 12) con el objetivo de eliminar de la misma todas las tendencias existentes (tendencias en
varianza y tendencias en media, en la parte regular y estacional). El modelo finalmente
especificado es el siguiente:
z t = φ1z t −1 + Φ1z t −12 + a t + θa t −1
Se trata de un modelo ARIMA(1,1,1) x SARIMA(1,1,0) en el que la variable del consumo de
gasolina se explica en función de sí misma en el mes anterior, así como también doce meses
antes, y del error que comete el modelo en el período anterior.
Ejemplo 10: Sea un modelo de la variable mensual del IPC de alimentación (p) donde esta
variable ha sido previamente transformada en logaritmos, en segundas diferencias en la parte
regular y en primeras diferencias en la parte estacional:
p t = Φ1p t −12 + a t + θa t −1
Se trata de un modelo ARIMA(0,2,1) x SARIMA(1,1,0) en el que la variable del IPC de
alimentación se explica en función de sí doce meses antes y del error que comete el modelo en
el período anterior. Los resultados de la estimación ponen de manifiesto la existencia de errores
atípicos. Al profundizar en los motivos por los que se producen estos valores, se descubre que la
climatología (cuando ha sido especialmente favorable o desfavorable) ha hecho especial mella
sobre los precios de alimentación. Por eso, se incluyen en el modelo 3 nuevas variables ficticias
que recojan estos efectos:
p t = α1Z1t + α 2 Z2 t + α 3 Z3t + Φ1p t −12 + a t + θa t −1
Z1 adopta el valor 1 si se trata de un mes de clima excepcionalmente malo y 0 en caso contrario.
Z2 adopta el valor 1 si se trata de un mes de clima malo y 0 en caso contrario. Z3 adopta el
valor 1 si se trata de un clima bueno y 0 en caso contrario. De esta manera es posible cuantificar
la incidencia de la climatología (muy mala, mala o buena) sobre los precios de alimentación.
Pese a todo, la predicción en el período histórico del IPC deja todavía bastante que desear, por
lo que se prueba introduciendo en el modelo la incidencia que los precios de no alimentación (q)
tienen sobre los de alimentación. La variable IPC de no alimentación se introduce en el modelo
transformada (del mismo modo que p) para evitar la existencia de tendencias en la misma:
p t = λ1q t + α1Z1t + α 2 Z2 t + α 3 Z3t + Φ1p t −12 + a t + θa t −1
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4. MODELOS DE DATOS DE CORTE-TRANSVERSAL
Ejemplo 11: Sea un modelo de asalariados del Panel de Hogares de la UE 94:
wi = β 0 + β 1 S i + u i
Donde w es el salario-hora en pesetas y S el nivel educativo en años. El coeficiente estimado de β1
indica en cuántas pesetas se incrementa el salario ante aumentos del nivel educativo en 1 año.
Si la variable de salarios-hora se transforma en logaritmos:
ln wi = β 0 + β 1 S i + u i
Se puede saber en qué porcentaje (en tantos por 1) se incrementa el salario-hora ante variaciones
del nivel educativo en 1 año.
Dado que la experiencia de trabajo (EX) es también una variable importante, el modelo anterior
debería considerar también esta variable. Aunque, en este caso, el impacto que valores mayores de
años de experiencia sobre el salario-hora se supone que se produce de forma menos que
proporcional:
ln wi = β 0 + β 1 S i + β 3 EX i + β 4 EX 2 + u i
En este caso, se espera un signo negativo en β4.