N-ésima potencia de un número complejo (Teorema de De Moivre)

Álgebra lineal
Unidad I
1.5. Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo
M.C. Ángel León
Unidad I - Números complejos
1.5. Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo
Teorema de De moivre
El teorema de De Moivre lo empleamos cuando queremos encontrar las enésimas potencias de un número
complejo.
Para iniciar el procedimiento de deducción de la fórmula, consideremos a dos números complejos
Z1  r1  cos1  isen1  y Z 2  r2  cos 2  isen2  y realicemos la multiplicación entre ellos:
Z1  Z 2   r1  cos 1  isen1    r2  cos  2  isen 2  
 r1  r2 cos 1   2   isen 1   2  
En el caso en que Z1  Z 2 la ecuación anterior resulta:
Z1  Z 2   Z   r 2 cos  2   isen  2 
2
Ahora, si tenemos tres números complejos iguales Z1  Z 2  Z3 , el producto sería:
Z1  Z 2  Z3   Z   r1  r2  r3 cos 1   2  3   isen 1   2  3  
3
 r 3  cos  3   isen  3  
De manera general, podemos definir la potencia n-ésima de un número complejo como:
N-ésima potencia de un número complejo (Teorema de De Moivre)
Sea Z  r , se define la potencia n-ésima de Z , expresado por Z n como:
Z n  r n cos  n   isen  n 
Donde r es el módulo del número complejo,  el ángulo del número complejo (en grados) y n la
potencia que deseamos encontrar.
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Ejemplo 01: Para el número complejo Z  7  23 i encuentre la cuarta potencia.
Para encontrar la cuarta potencia Z 4 debemos de expresar al número complejo en su representación polar:
r  7 2   23   49  94 
2
445
 7.03
9
2
7
  tan 1  3   5.44
Z  7.035.44
Aplicando la fórmula:


Z 4   7.03 cos  4  5.44    isen  4  5.44  
4
 2442.43 cos  21.76   isen  21.76  
 2442.43 0.928  0.3707i 
 22266.58  905.409i
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Raíces de un número complejo
Raíces de un número complejo
Las n raíces de un número complejo se obtienen por medio de la siguiente expresión:
n
    360k 
   360k  
Z  n r cos 
  isen 

n
n



 
Del teorema anterior, debemos resaltar los siguientes aspectos:




n
r

k
corresponde a la raíz a encontrar
es el módulo del número complejo al cual le encontraremos las raíces
es el ángulo del número complejo expresado en grados
variará en el intervalo 0  k   n  1
Ejemplo 02: Para el número complejo Z  2  3i encontrar
3
Z
Expresamos al número complejo en su forma polar:
Z  3.6056.3
Deberemos de encontrar las raíces para los valores de k  0,1, 2
Para k  0 :
  56.3   360  0  
 56.3   360  0   
Z 0  3 3.6 cos 
  isen 
   1.532  0.9468  0.3217i   1.451  0.4928i
3
3


 
 
Para k  1 :
  56.3   360 1 
 56.3   360 1  
Z1  3 3.6 cos 
  isen 
   1.532  0.7520  0.6592i   1.1520  1.001i
3
3


 
 
Para k  2 :
  56.3   360  2  
 56.3   360  2   
Z 2  3 3.6 cos 
  isen 
   1.532  0.1948  0.9808i   0.2984  1.502i
3
3


 
 
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Por lo tanto, la raíz cúbica de Z  2  3i son los números complejos:
Z 0  1.451  0.4928i
Z1  1.1520  1.001i
Z 2  0.2984  1.502i
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