Las posibles raíces enteras de un polinomio son los divisores del

IES Leonardo da Vinci.
Departamento de Matemáticas
Alba de Tormes, Salamanca
Las posibles raíces enteras de un polinomio P(x) de coeficientes enteros son los
divisores del término independiente.
Sea P(x) = a n x n + a n −1x n −1 + a n −2 x n −2 + .... + a1x + a 0 , con a n , a n −1 , a n −2 .....a1 , a 0 ∈ ] .
Vamos a probar que si r es una raíz de P(x) entonces r es divisor del término independiente a0.
Si r es una raíz
⇒ P(r) = 0 ⇔
(*)
a n r n + a n −1r n −1 + a n −2 r n − 2 + .... + a1r + a 0 = 0 ⇔
(
)
(**)
r ⋅ a n r n −1 + a n −1r n −2 + a n −2 r n −3 + .... + a1 + a 0 = 0 ⇔
a n r n −1 + a n −1r n −2 + a n −2 r n −3 + .... + a1 =
(*)
(**)
anr
n −1
−a 0
r
se extrae r como factor común a cada uno de los sumandos del recuadro.
se despeja el paréntesis.
En la última igualdad ambas expresiones son números enteros:
+ a n −1r n −2 + a n −2 r n −3 + .... + a1 ∈ ]
−a 0
∈ ] ⇒ r es un divisor de a 0
r
Este teorema nos permite acotar los enteros que pueden ser raíces de un polinomio.
Ejemplo: Sea P(x)=2x4-5x3+2x2-3x+6; sus posibles raíces enteras son los divisores del
término independiente: 6: +1,-1,+2, -2, +3, -3, +6 y -6.