Programación Matemática para Economistas
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36.- Un programador debe elaborar un programa que consta de tres partes y dispone para
ello, a lo sumo, de 40 horas. Además sabe que la segunda parte durará, al menos, el doble de
tiempo que la primera y que la tercera parte le llevará, a lo sumo, 16 horas. Cada hora de
trabajo que dedique a cada una de las partes le reportará un beneficio de 6, 6 y 5 euros,
respectivamente. Determine el tiempo a emplear en cada una de las partes del programa para
obtener el mayor beneficio. Interprete los resultados obtenidos. Si redujera la disponibilidad
total de horas, ¿en cuánto se reduciría su beneficio?
Solución:
a) Vamos a denominar “x” a las horas empleadas en la parte 1, “y” a las horas
empleadas en la parte 2, y “z” a las horas empleadas en la parte 3.
Queremos maximizar el beneficio: B = 6x + 6y + 5z
Max 6x + 6y + 5z
•
Sabiendo que:
-
Tiempo máximoÆ 40 horas
x + y + z ≤ 40
-
“La segunda parte durará, al menos, el doble de tiempo que la primera”
y ≥ 2x → 2x – y ≤ 0
-
“La tercera parte le llevará, a lo sumo, 16 horas “
z ≤ 16
•
El problema viene dado por:
Max
s.a
6x + 6 y + 5z
x + y + z ≤ 40
2x − y ≤ 0
z ≤ 16
x, y , z ≥ 0
©R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
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Y resolviendo el problema mediante LINDO, su solución es:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
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OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
240.0000
VARIABLE
VALUE
REDUCED COST
X
0.000000
0.000000
Y
40.000000
0.000000
Z
0.000000
1.000000
ROW
2)
3)
4)
SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
0.000000
6.000000
40.000000
0.000000
16.000000
0.000000
NO. ITERATIONS=
1
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE
CURRENT
ALLOWABLE
ALLOWABLE
COEF
INCREASE
DECREASE
X
6.000000
0.000000
INFINITY
Y
6.000000
INFINITY
0.000000
Z
5.000000
1.000000
INFINITY
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW
CURRENT
ALLOWABLE
ALLOWABLE
RHS
INCREASE
DECREASE
2
40.000000
INFINITY
40.000000
3
0.000000
INFINITY
40.000000
4
16.000000
INFINITY
16.000000
La solución es (0, 40, 0), es decir, emplea todo su tiempo en la segunda parte.
Obteniendo un beneficio de 240 €.
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b) Debemos comprobar en primer lugar si esta variación da lugar a un cambio en la
base óptima. Esto lo podemos ver mediante el intervalo de sensibilidad del recurso
de la primera restricción, que es la disponibilidad total de horas, dicho intervalo sería
[0, ∞ ), por tanto vemos que no se produciría cambio en la base óptima. Y entonces
podremos fijarnos en las variables duales para ver la repercusión en el beneficio; la
variable dual para la primera restricción sería 6, y por tanto cada unidad que
disminuya la disponibilidad de horas, el beneficio se verá reducido en 6 unidades.
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