L ISTA
DE EJERCICIOS
La fecha de entrega para esta lista de ejercicios es el martes 27.
Problemas simples.
E JERCICIO 1. Probar que hay intervalos en (0, +∞) libre de primos y de longitud arbitraria.
E JERCICIO 2. Demostrar que Γ(s) = Γ(s), Γ(z + 1) = zΓ(z) and Γ(n + 1) = n! for n ∈ Z.
E JERCICIO 3. Probar que la condición |ε| = 1 en la definición de la ecuación funcional no es necesario.
1
y el contorno que
E JERCICIO 4. Usar el Teorema de Residuos aplicada a la función f (z) := z2 tan(πz)
1
es un cuadrado conectando R − Ri, R + Ri, −R + Ri y −R − Ri donde R = m + 2 es un medio-entero muy
grande, para deducir que
∞
X
π2
1
.
= ζ(2) =
6
n2
n=1
Sugerencia: f tiene polos simples en cada entero menos cero donde tiene un polo triple. Para probar que
el integral en el contorno va a cero, probar primero que |1/ tan πz| < 2 para toda z en el cuadrado.
Problemas no tan simples.
E JERCICIO 5. Experimentos númericos son buena manera de advinir la verdad. Puede ayudar evitar
trabajar en mostrar algo falso o puede sugerir una repuesta que se puede probar.
Para cada función determinar si
Z
T
Fj (T ) :=
fj (t) dt
0
tiene un término principal o si es cero en el promedio. Si piensas que haya un término principal, restarlo de
la función y probarlo de nuevo para determinar si tiene un término secundario.
• f1 (t) = <ζ( 21 + it)
• f2 (t) = =ζ( 12 + it)
• f3 (t) = Z(t)
Unas Moralejas:
(1) Muchas veces los métodos de integración en los CAS (computer algebra system) son útiles pero
a veces no. ?Qué pasa en este cao?
(2) Si tu método de calcular Fj (T ) requiere la reevaluación de fj (t) para muchos 0 < t < T , cada vez
que evalúas ff (T ) para un nuevo T , no vas a poder experimentar much.
(3) Vas a tener que repetir casi la misma cuenta dos veces (y una vez más en la próxima lista).
Deberı́as armar las cosa para que sea fácil repetirlo.
(4) El primer paso es fomentar la intuición, probablement graficando las funciones. Una gráfica
parece igual si la función tiene o 3 o 30 dı́gitos de precisión. digits.
E JERCICIO 6. Probar que, para x > 1,
N
x X k!
x
+
O
.
(log x)N +2
(log x)k
log x
k=0
Rx
Sugerencia: primero probar que Lik (x) := 2 (log t)−k dt k (logxx)k
Li(x) =
E JERCICIO 7. Sean 1/2 + ig0 , 1/2 + ig1 , 1/2 + ig2 , · · · ∈ C valores tal que
• gi > 0,
• ζ(1/2 + igi ) ∈ R y
• ζ(1/2 + igi ) 6= 0.
(1) Encontrar g1 , g2 , . . . , g15 .
(2) Investigar la conjetura: el primer cero de ζ(s) en la lı́nea crı́tica se encuentra entre los puntos
1/2 + ig0 y 1/2 + ig1 , el segundo cero de ζ(s) se encuentra entre los puntos 1/2 + ig1 y 1/2 + ig2 ,
etc.
1
0
