La más famosa de las campanas
Dice el diccionario que una campana es un dispositivo simple que emite
un sonido. Pero una campana puede ser muchas cosas más. Creo que hay hasta
una planta con ese nombre y una flor con su diminutivo. Y no nos olvidemos
de las campanas extractoras de las cocinas.
Pero, sin duda, la más famosa de todas las campanas es la célebre
campana de Gauss, la más querida y venerada por estadísticos y científicos
de distinto pelaje.
Pero, ¿qué es la campana de Gauss?. Pues no es nada más, ni nada menos,
que una función de densidad de probabilidad. Dicho de otra forma, es una
distribución continua de probabilidad que tiene forma de campana simétrica,
de ahí la primera parte de su nombre. Y digo la primera parte porque la
segunda es algo más polémica, ya que no está tan claro que Gauss sea el
padre de la criatura.
Parece que el primero en utilizar esta función de densidad fue un tal
Moivre, que estaba estudiando qué pasaba con una distribución binomial
cuando el tamaño de la muestra se iba haciendo grande. Sin embargo, otra de
las muchas injusticias de la historia, el nombre de la función se asocia
con Gauss, que la utilizó unos 50 años después para registrar los datos de
sus estudios astronómicos. Claro que, para defensa de Gauss, hay quien dice
que los dos descubrieron la función de densidad de manera independiente.
Nosotros, para no polemizar, a partir de ahora vamos a denominarla por
su otro nombre, diferente al de campana de Gauss: distribución normal. Y
parece que la bautizaron así porque al principio pensaron que la mayor
parte de los fenómenos naturales se ajustaban a esta distribución. Más
tarde se vio que hay otras distribuciones que son muy frecuentes en
biología, como la de Poisson o la binomial.
Como ocurre con cualquier función de densidad, la utilidad de la curva
normal radica en que representa la distribución de probabilidades de
aparición de la variable aleatoria que estemos midiendo. Por ejemplo, si
medimos los pesos de una población de individuos y los representamos
gráficamente veremos que se distribuyen siguiendo una distribución normal.
Así, el área bajo la curva entre dos puntos del eje x representa la
probabilidad de aparición de esos valores. El área total bajo la curva es
igual a uno, lo que quiere decir que hay un 100% de probabilidades (uno en
tantos por uno) de que se encuentre cualquiera de los valores de la
distribución.
Existen infinitas distribuciones normales, todas ellas perfectamente
caracterizadas por su media y su desviación estándar. Así, cualquier punto
del eje horizontal puede expresarse como la media más o menos un número de
veces la desviación estándar, pudiendo calcularse su probabilidad usando la
fórmula de la función de densidad, que no me atrevo a enseñaros aquí.
También podemos utilizar un ordenador para calcular la probabilidad de una
variable dentro de una distribución normal, pero en la práctica se hace
algo más sencillo: estandarizar.
Se dice que la distribución normal estándar es aquella que tiene una
media igual a cero y una desviación estándar igual a uno. La ventaja de
contar con la distribución estándar es doble. Primero, conocemos su
distribución de probabilidades para los distintos puntos del eje
horizontal. Así, entre la media más menos una desviación se encuentra el
68% de la población, entre la media y más menos dos el 95% y entre más
menos tres el 99%, aproximadamente.
La segunda ventaja es que cualquier distribución normal puede
convertirse en una estándar. Basta con restar la media al valor y dividirlo
por la desviación estándar de la distribución. Calculamos así el score z,
que es el equivalente del valor de nuestra variable en una distribución
normal estándar de media cero y desviación estándar uno.
Veis la utilidad del asunto. Ya no necesitamos programas informáticos
para calcular la probabilidad. Nos basta con estandarizar y usar una simple
tabla, si es que no conocemos el valor de memoria. Pero es que la cosa va
incluso más allá.
Gracias a la magia del teorema central del límite, otras distribuciones
pueden aproximarse a una normal y puede utilizarse la técnica de
estandarizar para calcular la distribución de probabilidades de los valores
de las variables. Por ejemplo, aunque nuestra variable siga una
distribución binomial podremos aproximarla a una normal cuando el tamaño
muestral sea grande. En la práctica, cuando np y n(1-p) sean mayores de
cinco. Lo mismo ocurre con la distribución de Poisson, que puede
aproximarse a una normal cuando la media es mayor de 10.
Y la magia es doble, porque además de poder prescindir de herramientas
complejas y calcular con más facilidad probabilidades o intervalos de
confianza, hay que tener en cuenta que tanto la distribución binomial como
la de Poisson son funciones de masa discretas, mientras que la normal es
una función de densidad continua.
Y este es el final por hoy. Solo deciros que hay otras funciones de
densidad continuas distintas a la normal y que también pueden aproximarse a
una normal cuando las muestras son grandes. Pero esa es otra historia…
El cocinero y su pastel
Saber cocinar es una ventaja. ¡Qué bien queda uno cuando tiene invitados
y sabe cocinar como es debido!. Te pasas dos o tres horas comprando los
ingredientes, te dejas un dineral y te tiras otras dos o tres horas en la
cocina… y, al final, resulta que el plato estupendo que estabas preparando
te queda hecho una ruina.
Y esto le pasa hasta a los mejores cocineros. Nunca podemos estar
seguros de que el plato nos vaya a quedar bien, aunque lo hayamos preparado
antes muchas veces. Así que entenderéis el problema que tiene mi primo.
Resulta que va a dar una fiesta y a él le ha tocado hacer el postre.
Sabe hacer un pastel bastante rico, pero solo le sale realmente bueno la
mitad de las veces que lo intenta. Así que está muy preocupado por hacer el
ridículo en la fiesta, como es bien comprensible. Claro que mi primo es muy
listo y ha pensado que si hace más de un pastel, alguno le tiene que quedar
bueno. Pero, ¿cuántos tiene que hacer para tener, por lo menos, uno bueno?.
El problema de esta pregunta es que no tiene una respuesta exacta.
Cuantos más pasteles haga, más probable que alguno salga bueno. Pero claro,
puede hacer doscientos y tener la mala suerte de que todos sean malos. Pero
no desesperéis: aunque no podemos dar una cifra con seguridad absoluta, si
podemos medir la probabilidad de quedar bien con un número determinado de
pasteles. Veámoslo.
Vamos a imaginar la distribución de probabilidad, que no es más que el
conjunto de situaciones que incluyen todas las situaciones que pueden
ocurrir. Por ejemplo, si mi primo hace un pastel, éste puede salir bueno
(B) o malo (M), ambos con una probabilidad de 0,5. Podéis verlo
representado en el gráfico A. Tendrá un 50% de probabilidades de éxito.
Si hace dos pasteles puede ocurrir que le salgan bien uno, dos o
ninguno. Las combinaciones posibles serán: BB, BM, MB, MM. La probabilidad
de tener uno bueno es de 0,5 y la de tener dos 0,25, con lo que la
probabilidad de tener al menos uno bueno es de 0,75 o 75% (3/4). Lo
representamos en el gráfico B Vemos que las opciones mejoran, pero todavía
queda mucho margen para el fracaso.
Si hace tres pasteles las opciones son las siguientes: BBB, BBM, BMB,
BMM, MBB, MBM, MMB y MMM. Esto mejora, ya tenemos un 87,5% (1/8) de que al
menos un pastel salga bien. Lo representamos en el gráfico C.
¿Y si hace cuatro, o cinco, o…?. El asunto se convierte en un auténtico
coñazo. Cada vez es más difícil imaginar las combinaciones posibles. ¿Y qué
hacemos?. Pues pensar un poco.
Si nos fijamos en los gráficos, las barras representan los elementos
discretos de probabilidad de cada uno de los eventos posibles. Según
aumenta el número de posibilidades y aumenta el número de barras
verticales, la distribución de las barras comienza a adoptar una forma
acampanada, ajustándose a una distribución de probabilidad conocida, la
distribución binomial.
Las personas que entienden de estas cosas, llaman experimentos de
Bernouilli a aquellos que tienen solo dos soluciones posibles (son
dicotómicos), como tirar una moneda (cara o cruz) o nuestro pastel (bueno o
malo). Pues bien, la distribución binomial mide el número de éxitos (k) de
una serie de experimentos de Bernouilli (n) con una determinada
probabilidad de ocurrencia de éxito de cada suceso (p).
En nuestro caso la probabilidad es p=0,5 y podemos calcular la
probabilidad de tener éxito repitiendo el experimento (cocinando pasteles)
según la siguiente fórmula:
Si sustituimos p por 0,5 (la probabilidad de que el pastel salga bueno),
podemos ir jugando con los valores de n para obtener, al menos, un pastel
bueno (k≥1).
Si hacemos cuatro pasteles, la probabilidad de tener al menos uno bueno
es de 93,75% y si hacemos cinco esta probabilidad sube a 96,87%, un valor
de probabilidad razonable para lo que estamos buscando. Yo creo que
haciendo cinco pasteles es muy difícil que a mi primo se le arruine su
fiesta.
También podríamos despejar el valor de la probabilidad y calcularlo al
revés: dado un valor de P(k de n) obtener el número de intentos necesarios.
Otra cosa que se puede hacer es calcular todas estas cosas sin utilizar la
fórmula, sino usar cualquiera de las calculadoras de probabilidad
disponibles en Internet.
Y aquí se acaba esta entrada tan golosa. Existen, como podéis imaginar,
más tipos de distribuciones de probabilidad, tanto discretas como esta
distribución binomial como continúas como la distribución normal, la más
famosa de todas. Pero esa es otra historia…
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