1 Calcule las constantes A,B,C y D que cumplen: 5 + 12 x + x 2

Calcule las constantes A, B, C y D que cumplen:
5 + 12 x + x2 − 2 x3
2
(1 + x) (−3 +
x2 )
=
A
B
Cx + D
+
+ 2
2
(x + 1)
x+1
x −3
Solución
Al sumar las fracciones en el lado derecho tenemos:
A
B
Cx + D
+
+ 2
(x + 1)2
x+1
x −3
=
A (x2 − 3) + B (x + 1) (x2 − 3) + (Cx + D)(x + 1)2
(x + 1)2 (x2 − 3)
Al desarrollar productos y agrupar respecto a x en el numerador del lado derecho:
A (x2 − 3) + B (x + 1) (x2 − 3) + (Cx + D)(x + 1)2
(x + 1)2 (x2 − 3)
=
(B+C) x3 +(A+B+2 C+D) x2 +(−3 B+C+2 D) x+(−3 A−3 B+D)
(x+1)2 (x2 −3)
Por lo tanto
5 + 12 x + x2 − 2 x3
2
(1 + x) (−3 + x2 )
=
(B+C) x3 +(A+B+2 C+D) x2 +(−3 B+C+2 D) x+(−3 A−3 B+D)
(x+1)2 (x2 −3)
De donde las constantes deben complir:
B+C
A + B + 2C + D
−3 B + C + 2 D
−3 A − 3 B + D
=
=
=
=
−2
1
12
5
Al resolverlo obtenemos:
A=2
B = −4
C=2
D = −1