Mecánica y Ondas. Esquemas de teoría para problemas
Chantal Ferrer Roca
OSCILADOR ARMONICO - oscilador armónico simple (O.A.S.)
Es un modelo de gran utilidad en la descripción de fenómenos físicos, descrito por la ecuación
ωo pulsación o frecuencia angular
diferencial:
Ψ magnitud cualquiera (distancia,
(radianes/segundo) propia del sistema
ángulo, carga eléctrica, función de
Ψ&& + ω 2Ψ = 0
(ωo=2π/τ, τ período)
ondas...).
EJEMPLOS en los que el OAS es un buen modelo
F
k
x equil.
MASA CON RESORTE
m
x
Si los desplazamientos x respecto a la posición de equilibrio son
pequeños, se cumple la ley de Hooke: F=-kx=m &x&
Ec. movimiento:
&x& +
k
x=0
m
x(t)=xmcos(ωt+φ)
OAS con ω o =
k
m
PÉNDULO SIMPLE de longitud l
F=-mgsinθ=ml θ&& ;
θ l
θ&& +ω02 sinθ = 0
si θ<< (pequeños desplazamientos respecto al equilibrio), sinθ≈θ
x
lθ
x equil.
-mg
Ec. movimiento
g
l
θ&&+ θ = 0
θ(t)=θmcos(ωt+φ)
OAS con ω o =
εL
CIRCUITO LC
di
ε L = -L = − Lq&& ;
dt
L
i
C
Ec. movimiento:
εC
Solución de la ecuación: cualquiera de las
siguientes expresiones:
εC =
q&& +
q
;
C
g
l
ambas ddp son iguales εC=εL
1
q =0
LC
q(t)=qmcos(ωt+φ)
OAS con ω =
o
1
;
LC
Ψ (t)=Asin(ω t+ φ)
A
φ= 0
Ψ(t) = B1 eiω 0 t + B2 e − iω 0 t
Ψ(t) = C1 cosω 0 t + C 2 sin ω 0 t
Ψ(t) = Bcos(ω 0 t + φ)
0
Ψ(t) = A sin(ω 0 t + φ)
C1 = B1 + B2 ; C 2 = B1 − iB2
C1 = A cosφ; C 2 = A sin φ
-A
0
π
2π
3π
ω t (rad)
A amplitud del movimiento y φ fase inicial.
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OSCILADOR ARMONICO amortiguado
Existen fenomenos disipativos que producen un amortiguamiento de la oscilación. Un buen modelo
consiste en suponerlos originados por una fuerza proporcional a la primera derivada (de tipo viscoso,
F=-bv en el caso de ser Ψ=x posición). La ecuación diferencial del oscilador contiene un nuevo
término:
Ψ&& + 2 βΨ& + ω 02Ψ = 0
Ecuación:
1
factor de amortiguamiento;
2τ r
τ r tiempo de relajación
β=
CASOS:
1.OSCILATORIO amortiguado: ω 0 > β
ω' = ω 0 − β ; siendo ω' > β
2
Ψ ( t ) = e − βt ( A1e iω' t + A2 e −iω' t )
↑
↑
amortiguamiento pulsación del oscilador
de la amplitud
amortiguado distinta de la
pulsación propia
ω'
= ω' τ r
2β
- 0 .5
-1
ω0 = β
La amplitud tiende a 0 asintóticamente
Ψ ( t ) = Ae − βt ( A1 + A2 t )
0
200
-β t
400
600
ω t(d
( A1e + A2 e
0 .8
s o b re am o rtigu am ien to
(β > ω )
0 .6
0
− ωt
am o rtigu a m ien to
critico (β = ω )
0 .2
ω 2 = β 2 − ω02
ωt
1
0 .4
b) sobreamortiguado: ω 0 < β
− βt
(a.u.)
periódica
Ψ (t ) = e
Ae
decremento logarítmico
2.APERIÓDICO: No hay oscilación
a) crítico:
0
factor de calidad
2πβ π
=
δ=
ω' Q
c o s ( ω t)
0 .5
Ψ ( t ) = Ae − βt cos( ω' t + φ )
Q=
-β t
1
(a.u.)
haciendo
2
2
Ψ (t)= A e
)
Ψ ( t ) = Ae − βt cosh( ω' t + φ )
0
5
10
15
20
25
t(s)
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OSCILADOR ARMONICO forzado
Existe un mecanismo que suministra energía al sistema, compensando las pérdidas por disipación.
Ψ&& + 2 βΨ& + ω 02Ψ =
Ecuación:
Fext
m
Ec. dif. no homogénea
Ψ = Ψh + Ψp
Solución:
solución transitoria
solución de la ec.
homogénea
(oscil. amortiguado)
solución forzada
(una solución particular que
cumpla la ecuación). Es la
única solución para t>>τr
CASOS según el tipo de fuerza aplicada:
1. TIPO ARMÓNICO Fext=F0sin(ωFt)
D( ω F ) (a.u.)
0.05
solución: Ψ p = D( ω F ) sin( ω F t + δ ) ;
función
F0 /m
D(ω F ) =
lorentziana
2
2 2
2
(ω 0 − ω F ) + (2 βω F )
δ ( ω F ) = tg −1
β = 0 .1 , Q =100
ω =20 rad/s
β = 1 , Q=10
0
0.04
β = 2 , Q =5
β = 1 0, Q =1
0.03
− 2γω F
( ω 02 − ω 2F )
D
0.02 D
max
max
∆ω
2
ω R = ω 2 − 2 β 2 freq. resonancia,
0
0.01
D(ωR)=Dmax
ω
tiempo de relajación τ = (2β)−1
factor de calidad Q = ω R
2β
si β<< ω0, ωR≈ ω0 y
2 β ≈ ∆ω =[anchura para Dmax ]
0
10
15
R
20
25
30
ω (rad/s)
F
2
2. COMBINACIÓN LINEAL de fuerzas de tipo armónico Fext = ∑ ci Fi ( t )
i
es aplicable el principio de superposición: si Ψi es solución de Fi, la solución general es la
combinación lineal de soluciones Ψ p ( t ) = ∑ ciΨ pi ( t )
i
2
( Si L = d + a d + b ):
dt 2
dt
L(Ψ p ( t )) = L( ∑ cΨ
i i ( t )) = ∑ ci L(Ψ i ( t )) = ∑ ci Fi ( t ) = Fext )
i
i
i
3. FUNCIÓN PERIÓDICA F(t+τ)=F(t)→ teorema de Fourier: F(t) se puede representar mediante
una serie de términos armónicos, y se aplica lo dicho en el punto 2.(ver esquema de series de
Fourier):
∞
Fext ( t ) = ∑ Fn cos( nωt + φ n )
n =0
siendo ω=2π/τ la pulsación fundamental
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Chantal Ferrer Roca
ANALISIS DE FOURIER
TEOREMA DE FOURIER: Una función periódica x(t) de período T se puede escribir como la
suma de sus componentes armónicas:
x(t) = C 0 + C1 sin(ωt + φ1 ) + C2 sin(2ωt + φ 2 )+ ..... + Cn sin(nωt + φ n )
∞
ω=2π/T frecuencia fundamental
nω
armónicos
[1]
x(t) = C 0 + ∑ C n sin(nωt + φ n )
o bien
n =1
A menudo, usando que C n sin(nωt + φ n ) = C n cosφ n sin(nωt) + C n sin φ n cos(nωt) , el desarrollo en
serie de la función x(t) se escribe como:
∞
∞
a
x(t) = 0 + ∑ a n cos(nωt) + ∑ b n sin(nω t)
2 n =1
n =1
donde
C n = a n + b n ; φ n = tg −1
an
bn
a n = Cn sin φn ; b n = C n cosφ n
Las funciones sin (nωt), cos (nωt) son ortogonales ya que se cumple que: (n,k=1,2,3....)
T
T
T
π
∫ sin(nωt) sin(kωt)dt = ∫ cos(nωt) cos(kωt)dt = ω δ nk y ∫ sin(nωt) cos(kωt)dt = 0
0
0
0
y, junto con el término constante a0/2 constituyen un sistema completo, de manera que la proyección
de x(t) sobre cada una de estas funciones ortogonales proporciona la amplitud de la componente
armónica correspondiente (de manera similar a la obtención de las componentes de un vector
mediante la proyección de dicho vector sobre los vectores base):
T
2
a n = ∫ x(t)cos(nωt) dt
T0
T
2
bn = ∫ x(t)sin(nωt)dt
T0
T
con
1
a0
= C 0 = < x(t) > = ∫ x(t) dt valor medio de x(t)
2
T0
las siguientes relaciones son útiles:
- si x(-t)=x(t) función par
∞
bn=0; x(t) = a 0 + ∑ a n cos(nωt)
n =1
∞
-si x(-t)=-x(t) función impar
an=0; x(t) = a 0 + ∑ bn sin(nωt)
n =1
La representación de las amplitudes de las
distintas componentes armónicas se denomina
espectro y en este caso será de tipo discreto:
Cn
C3
C1
(figura 1)
1/T
C2
C4
C5
Cn
n/T
f
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FIGURAS DE LISSAJOUS
Chantal Ferrer Roca
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