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El lenguaje algebraico
En lenguaje algebraico nace en la civilización musulmana en el período de Al–
khwarizmi, al cual se le considera el padre del álgebra. El lenguaje algebraico
consta principalmente de las letras de alfabeto y algunos vocablos griegos. La
principal función de lenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a
generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética,
por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b;
donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que
conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la
numeración.
El lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y números lo que
normalmente tomamos como expresiones particulares. De esta forma se pueden
manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir lo que permite
simplificar teoremas, formular ecuaciones e inecuaciones y el estudio de cómo
resolverlas.
Este
lenguaje
nos
ayuda
a
resolver
problemas
matemáticos mostrando generalidades.
También el lenguaje algebraico ayuda mantener relaciones generales para
razonamiento de problemas a los que se puede enfrentar cualquier ser humano en
la vida cotidiana.
Para poder manejar el lenguaje algebraico es necesario comprender lo siguiente:
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

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Se usan todas las letras del alfabeto.
Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como
constantes, es decir, cualquier número o constante como el vocablo pi.
Por lo regular las letras X., Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables
de la función o expresión algebraica.
Operaciones con Lenguaje Algebraico
Aquí se presentan los siguientes ejemplos, son algunas de las situaciones más
comunes que involucran los problemas de matemáticas con lenguaje algebraico;
cualquier razonamiento extra o formulación de operaciones con este lenguaje se
basa estrictamente en estas definiciones:
Frase
Expresión algebraica
Un número cualquiera
La suma de dos números cualesquiera
La resta de dos números cualesquiera
El producto de dos números cualquiera
El cociente de dos números cualquiera
La semisuma de dos números cualquiera
El semiproducto de dos números
cualquiera
3 más que un número
La diferencia entre un número y 5
4 menos que n
Un número aumentado en 1
Un número disminuido en 10
Dos veces la suma de dos números
Dos veces un número sumado a otro
Cinco veces un número
Ene veces (desconocida) un número
conocido
10 más que n
Un número aumentado en 3
Un número disminuido en 2
El antecesor de un número cualquiera
El sucesor de un número cualquiera
3 veces la diferencia de dos números
10 más que 3 veces un número
Un número par (es múltiplo de 2)
Un número impar ( anterior o posterior a
un par)
Dos números consecutivos (se diferencian
en 1)
Dos números pares consecutivos ( se
diferencian en 2)
Dos números impares consecutivos (se
diferencian en 2)
a, b, c,…….x, y, z
a+b, x+y
a-b, m-n, x-y
ab, xy
a/b, x/y
(a+b)/2
Un número de dos cifras
Un número de tres cifras
(ab)/2
x+3
a-5
4-n
k+1
z - 10
2 ( a + b)
2a + b
5x
n multiplicado por el número
conocido
n + 10
a+3
a–2
x–1
x+1
3(a – b)
10 + 3b
2x
2x-1 ó 2x+1
x, x+1 ó x-1,x
2x, 2x+2 ó 2x-2, 2x
2x+1, 2x+3 ó 2x-1, 2x+1
10x+y, x son las decenas, y las
unidades
100x+10y+z, x centenas, y decenas,
z unidades

Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan
con los signos de las operaciones aritméticas.

Valor numérico de una expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de
sustituir las letras por números y realizar a continuación las operaciones que se
indican.

Igualdades e Identidades
La igualdad verifica las siguientes propiedades:
• Para todo a, se verifica a = a
• Para cualquier par de números a y b, si a = b entonces b = a.
• Para cualquier terna de números a, b y c, si a = b y b = c entonces a = c.
• Si a los dos miembros de una igualdad se le suma (o resta) el mismo número, se
obtiene otra igualdad.
• Si a los dos miembros de una igualdad se la multiplica (o divide) por el mismo
número distinto de cero, se obtiene otra igualdad.
Estas dos últimas propiedades se utilizan continuamente para hallar la solución de
una ecuación o sistema de ecuaciones.
Una identidad es una igualdad algebraica válida para cualquier número real que
se le asigne a las letras que intervengan.
Ejemplos:
1. La expresión 2( x − 5 )+ 1 = 2x − 9 , recibe el nombre de identidad, porque es
verdadera para todos los números reales.
2. a m  a n  a mn es una identidad, porque es verdadera para cualquier valor que
puedan tomar a, m y n.
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Ecuaciones y resolución de problemas
Una ecuación es una igualdad en la que aparecen números y letras ligadas
mediante operaciones algebraicas. Las letras, cuyos valores son desconocidos, se
llaman incógnitas. Resolver una ecuación consiste en transformar la igualdad en
otra equivalente más sencilla, hasta obtener la solución, que es el valor de la
incógnita que hace cierta la igualdad inicial. A la solución también se le llama raíz
de la ecuación.
Hay ecuaciones con muchas soluciones, e incluso infinitas soluciones, por
ejemplo, x + y = 1, sen x = 0 y otras que no tienen solución como: x + 3 = x. Por
lo tanto, resolver una ecuación es obtener las soluciones, si existen, que la
satisfacen. Para resolver una ecuación se utiliza las propiedades de la relación de
igualdad y las propiedades de los números.
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Método para resolver ecuaciones:
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Eliminamos paréntesis. Si hay, eliminamos todos los niveles de paréntesis
que aparezcan, comenzando por el más interno, resolviendo las
operaciones indicadas.
Eliminamos denominadores. Si hay, eliminamos todos los denominadores,
multiplicando por el m.c.m. (de los denominadores) ambos lados de la
ecuación.
Agrupamos términos semejantes. Agrupamos las expresiones con la
variable en un lado (generalmente el izquierdo) y las expresiones numéricas
en el otro lado.
Despejamos la variable. Despejamos la variable, obteniendo así la solución.
Comprobamos la solución. Comprobamos si la solución satisface la
ecuación propuesta, es decir si aparece una identidad verdadera.
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Para resolver problemas de ecuaciones:
1. Lee detenidamente el texto que contiene la situación a analizar para
entender en qué consiste el reto que se te presenta.
2. Define incógnitas.
3. Plantea la ecuación que represente el reto, empleando lenguaje
algebraico. No olvides leer esa ecuación para comprobar que ésta
represente fielmente la situación que se te presentó.
4. Resuelve la ecuación.
5. Verifica si la solución satisface las condiciones del reto.
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Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Se llama ecuación de primer grado con una incógnita a una expresión de la
forma:
a x + b = 0 con a ≠ 0 , a,b ∈R
Se llama de primer grado porque la incógnita sólo aparece elevada a la
potencia uno.