MATEMÁTICAS II
CONTROL GEOMETRÍA 2
1. Considera los puntos A(1,2,3), B(3,2,1) y C(2,0,2). Halla el punto
simétrico del origen de coordenadas respecto del plano que contiene a A,
B y C.
(3 puntos)
2. Calcula la distancia entre las rectas:
⎧x − z = −2
⎧x − z = 0
r≡⎨
s≡⎨
⎩ y − z = −4
⎩y + z = 0
(3puntos)
Calcula también el ángulo que forman sus vectores de dirección. (1 punto)
⎧x = 5 + λ
⎪
3. Calcula un punto A de la recta r ≡ ⎨y = λ
que equidista de los puntos
⎪z = −2 − 2λ
⎩
P(1,0,-1) y Q(2,1,1).
(2 puntos)
Halla la ecuación del plano que contiene a A, P y Q.
(1 punto)
MATEMÁTICAS II
SOLUCIONES
1. Empezamos hallando la ecuación del plano que pasa por A,B y C. (punto A,
vectores de dirección AB y AC )
x −1 y −2 z −3
2
1
0
−2
− 2 = 0 ⇒ x + z − 4 = 0 Ahora, hallamos la recta perpendicular
−1
⎧x = λ
r r
⎪
a este plano y que pasa por O(0,0,0): d = n = (1,0,1) ⇒ r ≡ ⎨y = 0 , y su
⎪z = λ
⎩
intersección con el plano: λ + λ − 4 = 0 ⇒ 2λ = 4 ⇒ λ = 2 , de donde P(2,0,2) es
el punto medio del segmento OO’ (siendo O’ el punto simétrico de O),
aplicando la fórmula del punto medio, tendremos que O' (4,0,4) es el punto
pedido.
⎧x − z = −2
2. r ≡ ⎨
⎩ y − z = −4
⎧x − z = 0
las ponemos en paramétricas:
s≡⎨
⎩y + z = 0
⎧x = −2 + λ
⎧x = µ
⎧x = −2 + z
⎧x = z
⎪
⎪
r≡⎨
s≡⎨
→ r ≡ ⎨y = −4 + λ ;
→ s ≡ ⎨y = −µ
⎩ y = −4 + z
⎩y = −z
⎪z = λ
⎪z = µ
⎩
⎩
Posición relativa de las rectas, estudiamos el sistema:
−2 + λ = µ ⎫ λ −µ = 2⎫
⎛1 − 1 ⎞
⎛1 − 1 2 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎪
⎪
− 4 + λ = −µ ⎬ → λ + µ = 4 ⎬ → A = ⎜ 1 1 ⎟, A* = ⎜ 1 1 4 ⎟ → r(A) = 2; r(A* ) = 3
⎪ λ − µ = 0⎪
⎜1 − 1 ⎟
⎜1 − 1 0 ⎟
λ=µ
⎭
⎝
⎭
⎠
⎝
⎠
r
r
Sistema incompatible y además dr = (1,1,1) ds = (1,−1,1) no paralelos, luego las
rectas se cruzan.
Para hallar la distancia de r a s (d(r,s)), vamos a hallar la ecuación del plano
que contiene a s y es paralelo a r, y después la distancia de r a ese plano.
Punto de s → P(0,0,0) vectores de dirección del
r
r
plano los de ambas rectas dr = (1,1,1) ds = (1,−1,1)
x−0 y−0 z−0
1
1
1
−1
1
1
= 0 ⇒ x + y −z −z +x − y = 0
Plano: 2x − 2z = 0 → x − z = 0
Para hallar la distancia de r al plano, tomamos un punto de r → Q(−2,−4,0)
MATEMÁTICAS II
Hallamos la ecuación de la recta t que pasa por P y es perpendicular al plano,
r r
luego su vector de dirección será el normal del plano → d = n = (1,0,−1)
⎧x = −2 + β
⎪
, ahora el punto T (intersección de la recta t con el
Recta t ≡ ⎨y = −4
⎪z = −β
⎩
plano) (−2 + β) − (−β) = 0 ⇒ −2 + β + β = 0 ⇒ 2β = 2 ⇒ β = 1
⎧x = −2 + 1 = −1
4⎞
⎪
⎛ 2
Punto T ⎨y = −4
→ T ⎜ − ,−4,− ⎟ Y por último, la distancia pedida:
3⎠
⎝ 3
⎪z = −1
⎩
d(r, s) = d(Q, T ) =
(− 2 + 1)2 + (− 4 + 4 )2 + (0 + 1)2
= 1+1 = 2 u
r
r
Ángulo de los vectores de dirección dr = (1,1,1) ds = (1,−1,1)
r r
dr ⋅ ds
1 −1 +1
1
⎛1⎞
= → α = arccos⎜ ⎟ = 70º32'
cos α = r r =
⎝3⎠
dr ds
12 + 12 + 12 12 + (−1)2 + 12 3
⎧x = 5 + λ
⎪
3. r ≡ ⎨y = λ
, equidista de los puntos P(1,0,-1) y Q(2,1,1)
⎪z = −2 − 2λ
⎩
Un punto de la recta r es A(5 + λ, λ,−2 − 2λ ) : d(A, P) = d(A, Q )
(1 − 5 − λ)2 + (−λ )2 + (−1 + 2 + 2λ )2 = (2 − 5 − λ )2 + (1 − λ )2 + (1 + 2 + 2λ )2
(−4 − λ)2 + λ2 + (1 + 2λ )2 = (−3 − λ)2 + (1 − λ)2 + (3 + 2λ )2
16 + 8λ + λ2 + λ2 + 1 + 4λ + 4λ2 = 9 + 6λ + λ2 + 1 − 2λ + λ2 + 9 + 12λ + 4λ2
1 9
⎧
⎪x = 5 − 2 = 2
⎪
1
1
⎪
⎛9 1
⎞
4λ + 2 = 0 ⇒ λ = − → A = ⎨ y = −
⇒ A⎜ ,− ,−1 ⎟
2
2
⎝2 2 ⎠
⎪
2
⎪
⎪z = −2 + 2 = −1
⎩
Halla la ecuación del plano que contiene a A, P y Q
r
r
Punto P(1,0,-1) y vectores de dirección d = PA y e = PQ
r ⎛7 1 ⎞
r
d = ⎜ ,− ,0 ⎟ → (7,−1,0 ) y e = (1,1,2) , plano pedido:
⎝2 2 ⎠
x −1 y z +1
7 −1
1
1
0 = 0 ⇒ −2x + 2 + 7z + 7 + z + 1 − 14 y = 0 → 2x + 14 y − 8z − 10 = 0
2
Plano pedido: x + 7 y − 4z − 5 = 0
0
