Ecuación
Álgebra
T EMA
Nº
0 1 : T EORÍA
DE
E XPONENTES- ECUACIONES
Segundo Año
I.E.P.CorpusChristi
EXPONENCIALES
Capacidades:
Identificar los diferentes tipos de exponentes y las relaciones que se dan entre ellos, luego dar paso
a la solución de ejercicios mediante reglas prácticas de exponentes.
Aplica leyes básicas de los exponentes; para que finalmente se obtenga soluciones.
Opera con potencias y radicales, llevando a bases iguales y así llegar a la resolución de una ecuación
exponencial.
Desarrollo del Tema:
CONCEPTO: Estudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que existen entre ellos,
mediante leyes.
La operación que da origen al exponente es la potenciación.
POTENCIACIÓN: Es la operación que consiste en repetir un número denominado base, tantas veces como
factor, como lo indica otro número que es el exponente, el resultado de esto se le denomina potencia.
Representación:
An
Base
AxAxAx.......xA
"n" veces
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
34
3 x 3 x 3 x 3 81
4 veces
26
2
x 2 x 2
x 2 x 2 x
2 64
6 veces
nn
n
xn xn
x
n.......x
n
n veces
1
2
5
1
1
1
1
1
x
x
x
x
2
2
2
2
2
7
3 x 3 x 3 x 3x 3 x 3 x 3
5 veces
5.
3
7 veces
LEYES FUNDAMENTALES
1. Producto de Potencias de Igual Base
xa . xb = xa+b
Ejemplos:
1.
23 . 24 = 23+4 = 27
Ecuación
2.
Segundo Año
I.E.P.CorpusChristi
Álgebra
2–5 . 2-4 . 27 = 2–5–4+7 = 3–2
2. Cociente de Potencias de Igual Base
x9a
xb
xa
b
x
0
Ejemplos:
1.
28
24
= 28–4 = 24
2.
26
2 5
= 2–6–(–5) = 2–1
3. Producto de Potencias de Diferente Base
xa . ya = (x . y)a
Ejemplos:
1.
23 . 43 = (2 . 4)3
2. 3 . 6 = (3 . 5)
4. Cociente de Potencias de Bases Diferentes
xa
ya
a
x
y
y
0
Ejemplos:
1.
43
23
4
3
3
2.
83
23
8
2
3
5. Potencia de Potencia
xa
b c
x a .b .c
OBSERVACIÓN:
(X ) = (X ) = X
A B
B A
A
.
B
6. Exponente Negativo
x
a
1
xa
Ejemplos:
P r o f .: R o d o l f o A n g e l C a r r i l l o V e l á s q u e z
3
x
y
a
y
x
a
x
0
y
0
Ecuación
1. 2
1
2
1
2
3
2.
Segundo Año
I.E.P.CorpusChristi
Álgebra
2
2
3
2
32
22
7. Exponente Nulo o Cero
x0 = 1
x
0
Ejemplos:
1.
3xy
0
0
3y
5
2x
2.
1
1
8. Exponente Fraccionario
a
xb
b
b
xa
Ejemplos:
2
1. x 3
5
2. x 3
3
x2
3
x5
9. Producto de Radicales Homogéneos
a
Ejemplos:
1. 3 4 . 3 5
2.
5
1 5 5
.
2
3
3
5
4.5
3
1 5
.
2 3
x .a y
a
x .y
20
5
5
6
10. Potencia de un Radical
a
xb
c
a
x b .c
11. Raíz de Raíz
a b c
a .b .c
x
OBSERVACIÓN:
a b
Ejemplos:
x
b a
x
x
0
Ecuación
1.
3
4
2.
4 3
10
x
24
3 4
x
12
10
10
12. Casos Especiales
1. n A m n A m n A m . . . . . .
2.
B
n
3.
a
a
n
aa
B
n
B
rad .
n 1
AM
rad
n 1
B
......
.
. .
aa .
a
4.
nn
1
nn
1
nn
1 ......
5.
nn
1
nn
1
nn
1
6.
7.
8.
xx
a
.
. .
x .
b
Segundo Año
I.E.P.CorpusChristi
Álgebra
ba
x
n
.
. .
ab .
n
rad .
......
rad
n
1
n
n
b
x x x......
2n
x
x2
n 1
ECUACIONESEXPONENCIALES
Definición: Son aquellas ecuaciones donde la incógnita se encuentra en el exponente. Se estudiarán
aquellos casos que son factibles de resolverlos utilizando los conceptos anteriores.
1. Bases Iguales
Si: Nx = Ny
x=y
OBSERVACIÓN:
N>0
Ejemplo:
Resolver:
9x – 1 = 27x – 2
Buscamos bases iguales:
Luego: 2x – 2 = 3x – 6
32x – 2 = 3x – 6
4=x
2. Formas Análogas
P r o f .: R o d o l f o A n g e l C a r r i l l o V e l á s q u e z
5
N
1
Ecuación
Segundo Año
I.E.P.CorpusChristi
Álgebra
Si:
MM = MN
M=N
OBSERVACIÓN:
M
1
2
M
1
4
Ejemplo:
1.
Resolver: x 5x 5
36 3
Resolución
Buscando formas análogas:
x5
x5
x5
3
62
x5
66
x5
6
x
5
6
Nota: Si: a1(x) = b1(x)
2.
f(x) = 0
Resolver: 3x–7 = 5x–7
Resolución
x–7=0
x=7
PR OB L EM ASPA R ALACL AS E
1. Reducir:
5. Simplificar:
ab
aaaa
.......a
"b " factores
bbbb .......b
2x
E
3x
y
x y
"a " factores
2. Calcular el valor de:
E
4
1210 185 1
85 54 6 0,5
m 2n
m
4
mn 2
15 .3 . 3
2m 1
3
m
4
.5 . 3
mn 2
M
9a
2 2
y
x y
+
3 ; a = R , reducir:
1
3a
2a 2
2
7. Si: xx = 2; hallar el valor de:
A
x
1 x
2x 1 x
8. Si: 5x = 0,125; calcular::
x
64
4. Simplificar:
a2
1
2
3
5 .3a 7 . a a
42 10 .3a
3. Simplificar:
2n
6. Si: a
2y
6.3 x
3 2a
90 a
2 1
2 2
9. Si se cumple: a
5 3 5 3 .......
b
3 5 3 5 .......
,
Hallar el valor que toma: ab
Ecuación
10. Si:
18. Si:
A 5
1
2
1
;
1
3
23
5
3
22
1
30
19
N
Segundo Año
I.E.P.CorpusChristi
Álgebra
; calcular A + N
A
11. Reducir:
2.2.2.
2 2.2.2
2 2.2.2
2
6 veces
6 veces 6 veces
;
2
B
5
3n
3
n
33
14
6
2 4
1
12. Reducir:
7x
7x
E
7x
7x
2
7x
7x
2
4
0,5
Calcular
años
el
2
0,5
4 4
3 64
2 2
.
Entonces dentro de 2 años dichas
edades sumaran
19. Si tenemos la expresión S definida
como:
2 x 2 x 1 2 x 2 2 x 10
2 x 10 2 x 9 2 x 8 2 x
S
Calcular:
32
S
x 5x
(2n 3)veces
x.x.x x
x6
x
x.x.x
x
20. Si
1
x
15. Si :
P
es:
E
2n
2n
90
91
3
3n
21. Si:
,
entonces P.E
4
5
6
13
0;1
2 x1
xx
x
4
37 x
37 x
4
3
37 x
37 x
3
5.2 x
23. Simplificar:
2x 5
24. Efectuar:
25. Si:
x 2x
7
,
5x
de
P r o f .: R o d o l f o A n g e l C a r r i l l o V e l á s q u e z
2
22. Simplificar:
37 x
37 x
x 1 . x 2 . x 3 x 10 ; x
el valor
17. Si: k 5 3 5 k 3 ;
5
M 3x3x3
x3x3 k
es
k 3 1 factores
5x
2 , calcular el valor de:
xx
E
16. Proporcionar el exponente final de
x11
en
la
expresión:
E
P( x)
calcular: P(10)
1
3.3 n 1
2 n 91
2 n 92
5x 1
n 2
(4n - 2 )veces
3n
Bn
7
22 A
de:
donde: N = 1x2x3x4x5x6x7
14. Reducir:
3n 6
valor
4
13. La edad de José es el cuádruplo de
la edad de Carlos. Si Carlos tiene
en
3
xx
x
E
2
2
2
37 x
37 x
1
1
37 x
37 x
2 x 4 6.2 x 1
15.2 x 2.2 x 3
24.14 3.15 6
30 2 .35 3.6 4
10
2 , calcular el valor de:
xx 1
x
x
xx
xx 1
x
xx
x
1
Ecuación
26. Si:
5 , reducir :
xx
x5
x
x
38. A partir de:
x xx
x 4
el valor de:
x2
2
x2 x
x
x 1
.8 x
x 2
xx
indique:
x
30. Resolver:
12
240
9
6
3
x
9
32. Resolver:
5x
5x
1
2; e
x 2
33. Resolver:
x 6
22
xx
0,5
35. Resolver:
25 8
xx
37. Calcular “x”
si:
2
2x 1
x 1
48
4
2
1
2
x 1
x
8x 1
4
3
x
25
y dar
4x
x
42. Resolver:
2
9
2 1
8 x
x 7
0,2
x 2
33
27 9
43.Calcular “x”
si:
3
3875
x
x
33
39
44.Calcular ”x”
si:
16
x
8 27
45.Resolver:
81
34. Resolver:
36. Resolver:
5x
81
41. Resolver:
5
2
x y
3
40. Resolver:
31. Resolver :
59 5 x
5x 53
x
16
3y
x
como respuesta el valor de
3
2x
3
4
2.4 x .8 x
29. Calcular “x” en:
si:
3
28. Si se cumple que:
x
2 0 . Calcular
x
x
x x
39. Calcular “x – y ”
x ...
x2
x
22
x
M
1
27. Calcular “x” , Si:
2x .4 x
Segundo Año
I.E.P.CorpusChristi
Álgebra
46.Resolver:
x 99
1
4 2
2x 1
2
xx
x
4
3
1
x 1
27. 27
8
5
47.Calcular el valor numérico:
2
48. Calcular “x”, si:
R
x
9
3
4 2.3 4 2
x9
x
1 1 1
.
.
x x x
49. Calcular el valor de “x” en:
3
xx
xx
27
Ecuación
Segundo Año
I.E.P.CorpusChristi
Álgebra
T AREA D OMIC I LIA RIA
1. Simplificar:
2
3
27
1
2
1
1
1
4
27
3 1
1
125
2
2
81
5
3
1
27 9
0,2
1
2
16
81
2 1
2 1
16 4
81
y
y
.x
2x
y .x y
2;
1
x x
x x
x
3
x
x
2
25
64
2 1
36
0,5
0,50
1,5
0,25
0,125
1
n
1
1
n
n
n
.. .... .
1
n
B) n
1
n
1
1
n .. .... .
n
"n " veces
C) n2 D) nn–1
1
1
n
1
4
c
D) –27
1
Y
n
E) –9
coloque
x
C) 5
b1 c
P r o f .: R o d o l f o A n g e l C a r r i l l o V e l á s q u e z
3
B)
3
4
2
3
D) 4
E) 1
1
12
2
C)
3
4
4
D)
3 3
.. .... .
E) n–n
9. Resolver la exponencial:
9
como
8x 3
3 3 3
3 3 3
a) 3
d) 3
a b .a b .a 1
1
3
2
4
E)
16.Simplificar:
8. Efectuar:
bc 1
3 4
x
15. Hallar “x” en: x
1
0,125 3
"n " veces
A) nn
1
x
A) 3 B) 2
7. Simplificar:
1
327
0, 25 0,5
A)
1
n
xx 1
como respuesta el valor de (n + 3)
+7
6. Hallar el valor de:
0, 25
xx
14. Si: x R+ - {1}; halle el valor de
“n” que verifica la igualdad:
5. Calcular “x” a partir de:
x
23 x 22 x 21 x 2 x 112,5
81
x 3
27 9
1
0,5 0,5
x 2x x
13. Resolver la exponencial:
x x
3 1
xx
respuesta el valor de: x x
A) –8
B) 16
C) 1
1
1
1
x y
x y
2
.
3
12. Calcular “x” a partir de:
2
xn
xn
41 x
0
Dando
2x
4. Simplificar:
x
y
3 ; hallar el valor de:
x
S
x y
x
.y
2y
x .y x
y x
xx
1
3. Si: x, y
Z+, tal que: y- x
hallar el valor más simple de:
x y
18 x 12
6x y
3 1
1
27
16
x
3
2
11. Si:
0,2
243
8x 3
327
10. Reducir:
1
2
2. Hallar el valor de:
1
x 3
3
3
3 3 n
" n " r a d i c a le s
b) 9
c) 27
3
3
e)
" ",
17. Hallar el valor de
exponente final de "x" en :
si
el
3
1
2
Ecuación
3
x
Segundo Año
I.E.P.CorpusChristi
Álgebra
x
5
x
es la unidad. Además:
3
24. Hallar "x", de :
a)
d)
5
a) 10
d) 25
b) 15
e) 30
c) 20
3
1
3
6
25.18.
18.Hallar el exponente final de:
b)
e)
x x x ...... x x
a) 25
d) 50
1 00 rad ic ale s
a)
3
90
2
d)
2
2 99
b)
1
1 00
1 00
2
99
2100 1
31 00
1
e)
1
c)
1
4 .8
x 1
3
xx
1 3
x
x13
37
2
b) 20
e) 1
a)
d)
3x 2
32 x
5
5
5
5
2
2 .
b) 2
e) 5
5
x7
8
3
2 3x
p
q
.
a) 7
d)
1
( )7
7
5
5
c) 2
7
240
b) 3
e) 6
c) 0,5
b)
1
2
e)
7
e)
x
5
5
4
2
77
1
7
c)
7
. 96
x
. 27 1 0
b) 5
e) 8
x
81 4
c) 6
32 x
27 4
b) 4
e) 8
2x
c) 1/2
30.Resolver:
4x
22. Calcular "x", si:
a) -3
b) 4
25
29.Resolver :
a) 2
d) 1/4
32 x
3
5
c)
1 ( )
( )7
7
81
21. Resolver :
a) 2
d)
3
x
28.Resolver :
a) 4
d) 7
x
b) 1
e) 4
2
x
1
20.Resolver :
9x
x
c) 13
1
x
27. Resolver :
4 2x
34
a) 0
d) 3
x
c) 4/5
Se obtiene la fracción irreductible :
Indique: p + q.
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
4x
1
26.Resolver :
3
.1 6
3
21 00
1
b) 2/3
e) 4/3
19. Al resolver: 1 6
x
1 00
2x 1
3
9
x
a) 1/3
d) 5/3
d)
c)
2
3
11. Hallar "x”:
x
1
3 .
9
Resolver :
x
399
xx
2 2x
g
7
7
x
x
9
c) 2
1
4
a) 0
d) 3
b) 1
e) 4
c) 2
31.Resolver:
23. Resolver:
x
E
x
4
a) 12
d) 9
x
x
72
6
; e indicar :
a) 1
d) 4
b) 15
e) 18
c) 10
4x
b) 2
e) 5
1
48
22x
c) 3
32. Calcular el valor numérico de:
3
x
Segundo Año
Ecuación
E
a b6
Q
32 32 : 32 32 : 32 32
a 6b
a 6b
33.Calcular el valor reducido de la
expresión siguiente:
Q
x 2 x .3 x 2 . x
3
43. Calcular el valor de “T”:
34. Calcular el valor de R:
R
x n : m x n : m x n
m
Q
2
2
2
.3 3
3
3
3
3
44. Calcular
x 2
x 2
x
xx
5
37. Calcular el valor de R:
38
el
valor
x
de
“x”
en:
4
45. Calcular “R”:
15.3 15.3 15
3
38
38
36. Calcular ”x”
4
4
4
T
35. Calcular el valor de “Q”:
R
3
R
3
24
24
3
24
3
38. Simplificar:
R
n
n
3n
46. Calcular el valor de “R”:
3
an 1. an 1
n3 1
a
: a
n
n3 1
R
:
39. Calcular el valor de W , en:
W
x4
x2
x4
x2
R
40. Calcular el valor de R , en:
R
a2
a
a2
a
a2
a
41. Calcular el valor numérico de:
Q
44
44
1
4 4
2
2
42. Simplificar:
P r o f .: R o d o l f o A n g e l C a r r i l l o V e l á s q u e z
1111
x
x2
x2
x
x2
48. Resolver:
3x
x
x2
x
x2
x
x2
x
x
1
x2
3x
2
x
3x
x2
39
3
49. Calcular el valor de “x”, en:
5 2x
. 3 3 3
2
x2
3
47. Calcular el valor de “R”:
x4
x2
x .3 x . x3
125
6 5x
1
50. Calcular la suma de los valores de
“x”, en:
9 x 81 10 3x 1
51. Resolver:
2x
1
2x 1
2
2
2
x
0
