Ejercicio de estimación de máxima verosimilitud
El tiempo de realización en minutos de una determinada tarea dentro de un
proceso industrial es una variable aleatoria con función de densidad
f (x) =
x −x/θ
e
θ2
si x > 0
donde θ > 0.
a) Calcular el estimador máximo-verosı́mil de θ para una muestra aleatoria
simple de tamaño n.
1. Escribir la verosimilitud:
L(θ)
ind.
L(x1 , . . . , xn ; θ) =
=
n
Y
i.d.
fXi (xi ) =
i=1
n Y
xi
=
θ2
i=1
ea ·eb =ea+b
=
1
θ2
n
e
−xi /θ
1
= 2
θ
n Y
n
n
1X
exp −
xi
θ i=1
(
)
e−xi /θ
i=1
n
Y
n
Y
fX (xi )
i=1
n
Y
xi
i=1
xi ;
x1 , . . . , x n > 0
i=1
2. Escribir el logaritmo de la verosimilitud:
`(θ)
ln L(θ) = ln
=
ln(a·b)=ln a+ln b
=
ln
1
θ2
n 1
θ2
n
n
n
Y
1X
xi
xi
exp −
θ i=1
i=1
(
)
n
1X
xi
+ ln exp −
θ i=1
(
=
n
n
Y
1X
ln (θ−2n ) −
xi + ln
xi
θ i=1
i=1
=
n
n
Y
1X
−2n ln θ −
xi + ln
xi ;
θ i=1
i=1
)!
+ ln
!
n
Y
!
xi
i=1
!
!
3. Obtener el θ tal que
∂
`(θ)
∂θj
= 0.
n
n
Y
∂
∂
1X
`(θ) =
−2n ln θ −
xi + ln
xi
∂θ
∂θ
θ i=1
i=1
∂
∂
=
(−2n ln θ) −
∂θ
∂θ
n
−2n
xi
=
− − i=12
θ
θ
Pn
−2n
xi
=
+ i=12
θ
θ
P
Estadı́stica I 08/09
x1 , . . . , x n > 0
!!
n
n
Y
1X
∂
xi +
ln
xi
θ i=1
∂θ
i=1
!
!!
!
+0
A. Arribas Gil
Por lo tanto:
n
n
xi
−2n
xi
∂
2n
`(θ) = 0 ⇔
+ i=12
= 0 ⇔ i=12
=
∂θ
θ
θ
θ
θ
Pn
Pn
xi
×θ
i=1 xi
= 2n ⇔ θ = i=1
⇔
θ
2n
P
Pn
i=1
El candidato a EMV es θ̂M V =
P
xi
.
2n
4. Comprobar que realmente es un máximo, es decir, que
∂2
∂
`(θ) =
2
∂θ
∂θ
−2n
+
θ
= (−2n)
Pn
i=1
θ2
xi
∂2
`(θ)|θ=θ̂M V
∂θ2
!
n
−2
−1 X
+
x
i
θ2
θ3
i=1
n
n
2n
2
2 X
1X
=
x
=
xi
−
n
−
i
θ2
θ3 i=1
θ2
θ i=1
Pn
i=1
Si ahora lo evaluamos en el candidato θ̂M V =
2
∂
`(θ)|θ=θ̂M V
∂θ2
=
=
2
2
θ̂M
V
2
2
θ̂M
V
n−
< 0.
1
θ̂M V
n
X
!
xi =
i=1
(n − 2n) =
2n
2
2
θ̂M
V
xi
!
, tenemos:
2
1
n − Pn
2
θ̂M
V
i=1
2n
n
X
xi
xi
i=1
(−n) < 0
obtenemos que la segunda derivada de `(θ) es negativa en θ̂M V y por tanto es un
máximo.
X
El estimador máximo verósimil de θ es θ̂M V = . Para una muestra particular, la
2
x
estimación máximo verosı́mil será θ̂M V = .
2
b) Calcular el estimador máximo-verosı́mil de E[X] para una muestra aleatoria
simple de tamaño n.
Lo
primero es calcular E[X]. Como X es una v.a. continua, sabemos que E[X] =
R∞
−∞ x f (x)dx. Pero como X sólo toma valores positivos:
E[X] =
Z ∞
0
Estadı́stica I 08/09
x f (x) dx =
Z ∞
0
Z ∞ 2
x −x/θ
1 Z ∞ 2 −1 −x/θ
x −x/θ
x
x 2e
dx =
e
dx = −
e
dx
θ
θ2
θ 0
θ
0
A. Arribas Gil
integr. por
partes1
1 h 2 −x/θ i∞ Z ∞ −x/θ
du = 2x dx
−
e
2x dx
x e
u = x2
=−
0
θ
0
dv = −1
e−x/θ dx v = e−x/θ
θ
i∞
1Z ∞
1h
1Z ∞
1
− x2 e−x/θ +
2x e−x/θ dx = −
lim x2 e−x/θ − lim x2 e−x/θ +
2x e−x/θ dx
0
x→0
θ
θ 0
θ x→∞
θ 0
integr. por
partes1
Z ∞
Z ∞ −1 −x/θ
1
1
du = dx
− (0 − 0) +
2x e−x/θ dx = −2
x
e
dx = u = x
θ
θ 0
θ
0
−1 −x/θ
−x/θ
dv = θ e
dx v = e
=
=
=2
=
=
−2
h
−2θ
−x/θ
xe
i∞
0
−
Z ∞
e
−x/θ
h
dx = 2 − 2 0 − −θe−x/θ
0
i∞ 0
lim e−x/θ − lim e−x/θ = −2θ(0 − 1) = 2θ
x→∞
x→0
Tenemos que E[X] = 2θ. Por el principio de invarianza del EMV, sabemos que si θ̂M V
es el estimador máximo verosı́mil de θ, el estimador máximo verosı́mil de cualquier
función h(θ) es h(θ̂M V ).
Por tanto, el EMV de E[X] será:
d
E[X]
M V = 2 θ̂M V = 2
X
= X.
2
c) Mediante un muestreo aleatorio simple se han recogido los siguientes 15
tiempos de realización de la tarea:
5.56 2.23 0.58 1.37 0.21 1.98 2.44 2.71
10.12 4.69 3.47 1.73 3.51 1.19 0.97
Obtener la estimación máximo-verosı́mil del tiempo medio de realización
del proceso.
15
1 X
xi = 2.8507, por tanto, la estimación máximo
15 i=1
verosı́mil para el tiempo medio será:
Para esta muestra se tiene que x =
d
E[X]
M V = x = 2.8507 minutos.
1
Z
Integración por partes:
[u · v]ba −
Z b
u · dv = u · v −
Z
v · du. Si la integral es definida, entonces
Z b
u · dv =
a
v · du.
a
La exponencial negativa decrece mucho más rápido hacia cero que lo que x2 crece hacia infinito.
En general, cuando tenemos una indeterminación en la que aparece una exponencial y cualquier
función polinomial, siempre “gana” la exponencial. De forma rigurosa, tenemos:
2
x2 L’Hôpital
(x2 )0
2x L’Hôpital
2
=
lim
= lim x/θ
=
lim x/θ 2 = 0
x→∞ ex/θ
x→∞ (ex/θ )0
x→∞ e
x→∞
/θ
e /θ
lim x2 e−x/θ = lim
x→∞
Estadı́stica I 08/09
A. Arribas Gil
d) Para la muestra del apartado anterior, dar una aproximación de la varianza
asintótica del estimador de máxima verosimilitud de θ.
Sabemos que el EMV es asintóticamente normal, y que su varianza asintótica es aprox1
. En nuestro caso, en el apartado a) (paso 4) hemos
imadamente − ∂ 2
`(θ)|
2
θ=
θ̂
∂θ
MV
obtenido que
∂2
−2n
`(θ)|θ=θ̂M V = 2
2
∂θ
θ̂M V
por tanto, la aproximación de la varianza asintótica de θ̂M V para esta muestra particular será:
h
V ar θ̂M V
i
A
≈ −
=
Estadı́stica I 08/09
2
1
1
θ̂M
V
=
−
=
∂2
−2n
2n
`(θ)|θ=θ̂M V
∂θ2
2
θ̂M
V
(x/2)2 c) 2.85072
=
= 0.0677
2n
8 · 15
A. Arribas Gil
0
