I.S.A.R.M. - Profesorado en Matemática
Geometría III
Euclides – Los Libros de la obra Elementos
En civilizaciones antiguas como la de Egipto, Asiria, India,
etc. ya se conocían las principales figuras geométricas y la
noción de ángulo. Pero fue en Grecia (Siglo VI y III a.C.
principalmente) donde la geometría tuvo su principal
desarrollo. En Alejandría, aproximadamente entre los
años 330 y 275 a. c. vivió un hombre que sistematizó y
amplió los conocimientos geométricos hasta entonces
conocidos. Si bien pasó desapercibido (junto a su obra) en
su época, estableció, bajo la forma axiomática, las
relaciones entre los conceptos primitivos y sus principales
propiedades. De él hoy conocemos sólo su nombre,
Euclides, y que en trece libros denominados Stoikheîa
(Elementos), se dedicó a fundamentar y desarrollar,
lógica y sistemáticamente, a la geometría. En los
Elementos, toda la geometría que hasta entonces era una reunión de reglas empíricas para medir o dividir
figuras, se convierte en ciencia deductiva. Euclides intentó deducir lógicamente todas las propiedades
geométricas a partir de ciertas proposiciones o premisas iniciales.
En los Elementos comenzó Euclides a exponer una descripción exhaustiva de la Matemática en general,
tarea colosal, aún en su tiempo.
Los primeros cuatro libros tratan de la geometría plana.
El libro I expone las primeras definiciones, las nociones comunes (5 axiomas) y los 5 postulados. Además
de tratar sobre triángulos y sus propiedades (Por ejemplo el Teorema de Pitágoras)
El libro II trata sobre el álgebra geométrica, por ejemplo resolución de ecuaciones de segundo grado,
sección áurea, teorema del coseno, entre otros temas.
El libro III se dedica a circunferencia y círculos, así como propiedades de ángulos.
El libro IV trata sobre los polígonos regulares y sus propiedades.
En el libro V trata sobre las proporciones, justificando, con estos resultados, las propiedades principales
de las figuras semejantes, que expone luego en el libro VI.
Los libros VII, VIII y IX están dedicados a la teoría de números. Se introducen en estos libros los números
primos y compuestos; también introduce, por primera vez, el máximo común divisor y el mínimo común
múltiplo, así como la teoría de las progresiones geométricas y el teorema a m+n = am.an , para a, m, n,
números enteros. Contiene además un método para sumar una progresión.
El libro X de los Elementos sitúa a Euclides en la primera línea entre los analistas. Se halla ampliamente
relacionado con la teoría de los números irracionales, principalmente de la forma
donde a y
b son enteros positivos.
El libro XI trata de la geometría elemental del espacio, y el libro XII, uno de los más célebres, desarrolla
extraordinariamente el método exhaustivo1. Hace la demostración formal de teorema de Hipócrates que
da r2 para el área del circulo de radio r. El libro XIII, último de la obra, proporciona y demuestra las
construcciones de los cinco cuerpos geométricos regulares de Pitágoras, acabando en el dodecaedro,
símbolo de universo.
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El método exhaustivo es un procedimiento geométrico de aproximación a un resultado, con el cual el grado de
precisión aumenta en la medida en que avanza el cálculo. Por ejemplo fue utilizado para hallar el área del círculo
por la inscripción de polígonos regulares de mayor número de lados.
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