UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE
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FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES I
TEMA:
DEFORMACIONES TRANSVERSALES,
LEY GENERALIZADA DE HOOKE,
ECUACIONES DE LAMÉ
DOCENTE: ING. WILBER M. CHILET CAMA
Deformación Transversal
ey = - m ex
m:
coeficiente de deformación transversal o de Poisson
ey
m=ex
Ley de Hooke generalizada
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN O DE
INDEPENDENCIA DE EFECTOS:
- Efecto de un sistema de fuerzas: suma de efectos de fuerzas
por separado -tensiones, deformaciones: independiente orden
de aplicación de fuerzas
SÓLIDO ELÁSTICO: relación entre componentes de
tensor de tensiones y deformaciones
Ley de Hooke generalizada (Esfuerzos
Triaxiales
ex =
sx
-m(
E
sy
E
+
sz
) + a.DT +
E
E
ez =
Vf -Vi
Vi
= e =
sox
sz
E
-m(
ey =
sy
E
+
sx
sy
sx
-m(
E
+
E
) + a.DT +
E
sz
) + a.DT +
E
soz
E
Lx (1+ ex ).Ly (1+ ey ).Lz (1+ ez ) -Lx Ly Lz
Lx Ly Lz
e =
ex + ey + ez Invariante lineal de Deformaciones
1
Invariante lineal de Tensiones
q=
sx + sy + sz
1
soy
E
Ecuaciones de Lamé
Q = sx + sy + sz
e = ex + ey + ez
e =
Q (1 - 2m )
E
Cálculo de las Tensiones conociendo las deformaciones
snx
=
sny
=
snz
=
m.E.e
(1 + m ) (1 - 2 m )
m.E.e
(1 + m ) (1 - 2 m )
+
+
m.E.e
(1 + m ) (1 - 2 m )
+
E ex
(1 + m )
E ey
(1 + m )
Módulo volumétrico de
un cuerpo sumergido
K=
E
3·(1 - 2 m )
E ez
(1 + m )
ex = ey = ez =
-p
K
Ejemplo 1
La placa de acero que se muestra en la figura tiene 12 mm de espesor, su
ancho varía uniformemente desde 50 mm en el lado izquierdo hasta 100mm
en el lado derecho, la longitud de la placa es de 450 mm. Si se aplica en cada
extremo una fuerza axial de tracción de 5 000 kg, determinar el alargamiento
de la placa. Considerar el módulo de elasticidad del acero E = 2,1x10 6 kg / m 2
Solución:
Datos: carga aplicada P= 5 000 kg (tracción), espesor e= 12 mm,
longitud L=450 mm, ancho menor 50 mm, ancho mayor 100 mm
PL
Fórmula: DL = AE
Solución: teniendo en cuenta la fórmula dada y expresándola en
PL
)
forma diferencial se tendrá: d (DL) = d ( PL ) , entonces; DL = d (DL) = d ( AE
L
AE
0
Luego: para expresar de forma explícita la integral anterior y
poderla integrar debemos expresar el área del elemento diferencial
en función de la variable x, entonces, si “e” es el espesor “y” la
a
A-a x
(
e
)[
+
2
(
) ]
altura, el área del elemento diferencial será: A=ey= 2
2
L
Donde “a” es el ancho menor y A el ancho mayor, simplificando y
reemplazando en la expresión integral tenemos: DL = a Pdx x
L
0
E[
2
+ ( A - a)
L
]e
Reemplazando los datos queda:
9P
DL =
Ee
45
dx
0 45 + x
la misma que
dx
1
integrando (
= ln( a + bx) + C ) y reemplazando valores
a + bx b
resulta: ∆L=0,0124 cm.
Resultado: el alargamiento de la placa por acción de las cargas
de tracción es: ∆L=0,0124 cm.
∆L=0,0124 cm
Ejemplo 2
Un alambre vertical de 5 m de largo y 0.0088 cm2 de área de sección transversal,
tiene un módulo de Young E=200 GPa. Un objeto de 2 kg se sujeta a su extremo y
alarga el alambre elásticamente. Si ahora se tira de objeto hacia abajo un poco y se
suelta, el objeto experimentará un MAS vertical. Encuentre el periodo de
vibración.
Datos: alambre Lo= 5 m, A= 0.088 cm2, E = 200GPa.; masa m= 2 kg
Formulas: Ley de Hooke F = k.DL k= F/ DL y s= Ee F/A =E (DL /L)
k= AE/Lo= (8.8x10-7 m2)(2x1011Pa)/(5 m) = 35 kN/m
T= 2 (m/k)½ = 2(2/35000) ½ = 0.047 s
Ejemplo 3: Una barra de 2m de longitud y 100 x 50 mm de sección,
es sometida a una carga axial en sus extremos como indica la figura.
Ejercicios Propuestos
Ejercicio 1:
Ejercicio 2:
0
