PONTIFICIA
UNIVERSIDAD
CATÓLICA
DEL PERÚ
ESTUDIOS
GENERALES
CIENCIAS
Cálculo en Varias Variables
Examen Final
Semestre Académico 2020 -1
Horario: Todos
Duración: 150 minutos
Elaborado por todos los profesores
Indicaciones:
• Se pueden usar apuntes de clase, libros, tablas, calculadora o computadora personal.
• El examen final se desarrollará el viernes 24 de julio, tendrá una duración de dos horas y media, de 11:30 a.m. a 2:00 pm.
• Todas las preguntas deben subirlo en un solo archivo en formato Word o PDF, en cada hoja desarrollada deben escribir su nombre y
código.
• Al terminar el examen dispondrán de una hora adicional, de 2:00 a 3:00 pm, para colocar su archivo en la carpeta Examen Final CAL
V que el profesor haya creado en Paideia.
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1. Sea f (x, y) = x5 − 5kx y + y5 , donde (x, y) ∈ R2 . Halle los puntos críticos de f y analice su naturaleza
según los valores de k ∈ R.
(3,0 pts)
2. Sean f : D ⊂ R3 → R la función definida por
f (x, y, z) = x yz
y el conjunto
D = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 17,
©
Halle los extremos globales de f en D.
ª
z≥3 .
(4,0 pts)
3. Analice el valor de verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones, justificando rigurosamente
cada uno de sus pasos.
a) Sea f : R2 → R una función de clase C 2 , definimos F(r, θ ) = f (u, v) , donde u = r cos θ y v = r senθ .
∂F ¡p π ¢ p2
Si ∇ f (1, 1) = (2, −1) entonces
2, 4 = 2 .
(1,0 pto)
∂r
b) Sea D una región que se encuentra en el primer cuadrante y está acotada por los ejes coordenados y las circunferencias x2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 9. Usando coordenadas polares, la región D se
transforma en:
o
n
π
D0 = (r, θ ) ∈ R2 : 0 ≤ θ ≤ , 1 ≤ r ≤ 3 .
2
(1,0 pto)
3
4
3
c) Se sabe que la ecuación S : 2x + y + z − xz −2x = 0 representa localmente alrededor de Q = (1, 0, 0)
el gráfico de una función z = g(x, y), entonces la ecuación del plano tangente al gráfico de g en el
punto Q es P : z = 4x − 4.
(2,0 pts)
µ
¶
1 2
2
2
d) Sea g = (g 1 , g 2 ) : R → R una función diferenciable tal que g (0, 0) = (0, 1) , J g (0, 1) =
2 2
µ
¶
4 −1
y J (g ◦ g) (0, 0) =
; entonces ∇ g 1 (0, 0) = (0, 1) .
(2,0 pts)
4 0
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4. Sea el sólido Ω ⊂ R3 , limitado por el cilindro x2 + y2 = 1, el paraboloide x2 + y2 + z = 1 y el plano
z = 3 con x ≥ 0, y ≥ 0 . Si la función densidad en cada punto (x, , y, z) ∈ Ω es dado por
δ (x, y, z) = x y.
a) Grafique el sólido Ω.
(1,0 pto)
b) Calcule la masa del sólido Ω.
(3,0 pts)
5. Calcule
z
Ñ
K
(x2 + y2 + z2 )3/2
dV ,
donde K es el sólido limitado por las superficies
x2 + y2 + z2 = 1,
x2 + y2 + z2 = 4,
x 2 + y2 = z 2 ,
con z ≥ 0.
(3,0 pts)
Coordinador del Curso: Norberto Chau
San Miguel, 24 de julio de 2020
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