Plan de Continuidad Pedagógica
Trabajo Práctico nro 5
Materia: Matemática Aplicada
Profesoras: Moreno Piriz Cynthia, Ortiz Lorena
Cursos: 6º A, B, C y D
Derivadas
Introducción al tema:
¿Qué es la derivada de una función en un punto? El valor de la derivada de una función en un punto es la pendiente de la
recta tangente a esa función en ese punto.
RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO:
Dada una curva f(x) y un punto A, perteneciente a ella, elegimos sobre la curva un punto B, distinto de A.
A y B determinan una recta secante a la curva.
Si B se “mueve” sobre la curva f(x) ”acercándose” a A, la recta secante “se aproxima” a la recta tangente.
La recta es tangente a la curva en el punto A.
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO:
Sea
f
(x) una
f
x
y
función definida en un intervalo y un punto (x;y) tal que ∈ R y (x ) =
Si damos a x un incremento Δx suficientemente pequeño de manera tal que x + Δx pertenezca al intervalo, entonces al
pasar de x a x + Δxla función también se incrementa. Llamando
f
(x+Δx) al incremento de la función, resulta:
1
f(x+Δx) ,
es
f
(x) con
el agregado del incremento en el valor de la función
(lo marcado con celeste en el gráfico)
(
)
Como el incremento Δx se ha tomado suficientemente pequeño, el punto A de coordenadas x + Δx;f(x+Δx) ,
perteneciente a la gráfica de la función, resulta muy próxima a B y esta proximidad de A a B será mayor, cuanto menor
sea Δx.
Los dos puntos están en el mismo lugar cuando la distancia entre ellos tiende a cero.
Luego, si Δx → 0, A se “moverá” sobre la curva hacia B y la secante determinada por dichos puntos tenderá a la recta
tangente.
Si observamos el eje x, cuando
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Observemos que cuando la recta secante tiende a la recta tangente, αtiende a αt y por consiguiente la pendiente de la
secante tiende a la pendiente de la recta tangente.
Derivada por definición
Hallar la derivada por definición de:
Ejemplo 1:
f(x) =2 x + 1
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Como dijimos, la derivada es la pendiente de la recta tangente de una función en un punto, en este caso como derivamos
una función lineal cuya pendiente es 2 en cualquiera de sus puntos era evidente que tenía que dar ese valor.
Ejemplo 2:
f(x) = x 2 - 4
Como la derivada por definición se calcula con:
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se puede resolver con propiedad distributiva o binomio al cuadrado
2
* (x + Δx) = (x + Δx).( x + Δx )
= x2 + x. Δx + Δx . x + Δx2
= x2 + 2. x. Δx + Δx2
Ejemplo 3:
f(x) = 3x 2
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Ejemplo 4:
f(x) = x2 + x
EJERCICIOS
1) Hallar la derivada por definición de las siguientes funciones:
a)
f(x) = 3x − 5
b)
f(x) = − 4.x + 2
c)
f(x) = x2 + 1
d)
f(x) = -x2 + 9
e)
f(x) = 5.x2
f)
f(x) = 3x2 + 4x
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El procedimiento para calcular la derivada de una función aplicando siempre la definición, es poco práctico. Ya que es
un procedimiento largo y para muchas funciones es complicado. En los ejemplos y actividades que dimos, trabajamos
las más sencillas.
Y gracias a la labor de los matemáticos podemos contar con reglas que nos permitan derivar directamente. Dichas reglas
y derivadas surgen de aplicar la definición, pero se resumen en una tabla.
Analicemos los ejemplos y después ustedes analicen los ejercicios para ver que sucede entre la función y su derivada.
EJEMPLO 1:
f
(x) =
2x + 1 ⇒ f′ (x) = 2 + 0
EJEMPLO 2: f(x) = x2 − 4 ⇒ f′ (x) = 2x − 0
EJEMPLO 3: f(x) = 3x2 ⇒ f′ (x) = 6x
EJEMPLO 4: f(x) = x2 + x ⇒ f′ (x) = 2x + 1
Si te afirmo que en los casos de funciones polinómicas con sumas y resta, se deriva por término:
* El término independiente en el ejemplo 1 y 2:
f(x) = 2x + 1 ⇒ f′ (x) = 2 + 0 f(x) = x2 - 4 ⇒ f′
(x) =
2x - 0 o sea, que la derivada
de una constante (un número real) es siempre cero.
* Los términos lineales: ax (considerando que a es un número), veamos el ejemplo 1 y 4:
f(x) =2x+ 1 ⇒ f′ (x) =2+ 0 f(x) =
x2 + x ⇒ f′ (x) = 2x +1 o sea,la
derivada de ax será solo a
* la derivada de: a x n (una polinómica, donde n es el exponente y a el coeficiente),veamos ejemplo 2, 3 y4:
f(x) = x2 - 4 ⇒ f′ (x) = 2x - 0 , tenemos 2 x f(x) =
3x2 ⇒ f′ (x) = 6x,
pensemos que 6x es 3.2x
f(x) = x2 + x ⇒ f′ (x) = 2x + 1
o sea, la derivada de: a x n será a. n . x n−1
Es decir; que si hay un coeficiente (número) multiplicando a una
función, éste queda solo se agrega; y se deriva la función que lo acompaña.
Estas son dos de las regla de derivada más sencillas, a continuación les dejamos la tabla de derivada que usaremos de
ahora en adelante para facilitar todo el desarrollo de la derivada por definición y podamos avanzar en los ejercicios de
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derivada que es muy interesante y encontrarán importantes análisis con ella.
Ejemplos de derivadas sencillas utilizando la tabla:
miramos en la tabla la derivada de la función seno es coseno
Ejemplo 1: f(x) = − sen x
f′ (x) = − cos x
Ejemplo 2:
f(x) = 7x2 − 4x + 9
4.1.x1−1 + 0
derivamos cada uno de los términos teniendo en cuenta que f′ (x) = 7. 2x2−1 −
si f(x) = xn ⇒ f′ (x) = n. xn−1 y que la derivada de una constante es cero f′ (x) = 14 x − 4
el término 4.1x1−1 = 4.x0 = 4 porque sabemos que x0 =1
Ejemplo 3:f(x) = log 2 x
f′ (x) =
1
x.
observamos en la tabla que la derivada de la función logarítmica es
log2e
f′ (x) = 1x . logae
Ejemplo 4:
f(x) = x5 − 3x4 + x
derivamos cada uno de los términos teniendo en cuenta que
f′ (x) = 5x5−1 − 3.4x4−1 + 1x1−1
si f(x) = xn ⇒ f′ (x) = n. xn−1
f′ (x) = 5x4 − 12 x3 + 1
8
9
0
