BASE MATEMATICA DE LA FISICA

Prof. Karen L. Muriel Mendoza
II.
FISICA
BASE MATEMATICA DE LA FISICA
1. INTRODUCCION
La importancia de las matemáticas en el estudio de la Física, es muy importante, ya que es una
herramienta para el científico, el ingeniero o técnico, ya que ayuda a predecir un fenómeno, la física
utiliza símbolos para representar los parámetros importantes de dichos fenómenos y las matemáticas
brindan un apoyo para expresar su relación y descifrar dichos símbolos.
Algunas veces la física ha generado matemáticas y otras veces las matemáticas han ido por su lado.
La física es una ciencia que necesita de las matemáticas para existir, si queremos analizar un fenómeno
físico, necesitamos traducirlo de algún modo a una expresión matemática, como una ecuación.
2. CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Las cifras significativas de un número son aquellas que tienen un significado real y, por tanto, aportan
alguna información. Toda medición experimental es inexacta y se debe expresar con sus cifras
significativas.
REGLAS PARA IDENTIFICAR LAS CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Regla 1. En números que no contienen ceros, todos los dígitos son significativos. Por ejemplo:
3,14159
=
6 c.s. →
3,14159
5,694
=
4 c.s. →
5,694
Regla 2. Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos. Por ejemplo:
2,054 =
4 c.s. →
2,054
506
=
3 c.s. →
506
Regla 3. Los ceros a la izquierda del primer dígito que no es cero sirven solamente para fijar la posición
del punto decimal y no son significativos. Por ejemplo:
0,054
=
2 c.s. →
0,054
0,0002604
=
4 c.s. →
0,0002604
Regla 4. En un número con dígitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son
significativos. Por ejemplo:
0,0540
=
3 c.s. →
0,0540
30,00
=
4 c.s. →
30,00
Regla 5. Si un número no tiene punto decimal y termina con uno o más ceros, dichos ceros pueden
ser o no significativos. Para poder especificar el número de cifras significativas, se requiere
información adicional. Para evitar confusiones es conveniente expresar el número en notación
científica, no obstante, también se suele indicar que dichos ceros son significativos escribiendo el
punto decimal solamente. Si el signo decimal no se escribiera, dichos ceros no son significativos. Por
ejemplo:
1200 =
2 c.s. →
1200
1200, =
4 c.s. →
1200,
Regla 6. Los números exactos tienen un número infinito de cifras significativas.
Los números exactos son aquellos que se obtienen por definición o que resultan de contar un
número pequeño de elementos. Ejemplos:
✓ Al contar el número de átomos en una molécula de agua obtenemos un número exacto: 3.
✓ Al contar las caras de un dado obtenemos un número exacto: 6.
✓ Por definición el número de metros que hay en un kilómetro es un número exacto: 1000.
✓ Por definición el número de grados que hay en una circunferencia es un número exacto: 360
NOTA. Las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a partir del primer dígito diferente
de cero y hasta el dígito dudoso.
Al sumar o restar dos números decimales, el número de cifras decimales del resultado es igual al de la
cantidad con el menor número de ellas.
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3. REDONDEO DE VALORES
El redondeo es el proceso de descartar cifras en la expresión decimal de un número.
Se utiliza con el fin de facilitar los cálculos o evitar de dar la impresión de que se conoce un valor con
mayor exactitud de la que realmente se tiene. Las aproximaciones en general se simbolizan con
≈ (U+2248), incluyendo el redondeo
REGLAS DE REDONDEO
Regla 1. Si el número que sigue después del último que vamos a mantener es mayor que 5 se le
aumenta una unidad.
Ejemplo: Redondeamos a 2 decimales.
2,678 s (eliminamos los números después del 7); 8 > 5 = 2,68 s
Regla 2. Si el número que sigue después del último que vamos a mantener es menor que 5 se
mantiene igual.
Ejemplo: Redondeamos a 3 decimales.
2,634 329 s (eliminamos los números después del 4); 3 < 5 = 2,634 s
Regla 3. Si el número que sigue después del último que vamos a mantener es igual a 5 nos fijamos en
el número que sigue, si es par o impar o si es cero. Si es par se mantiene igual. Si es impar se le
aumenta 1. Si es cero se mantiene igual. Ejemplo:
Redondeamos a 3 decimales.
2,634520 s (eliminamos los números después del 4); 5 (4 es par) mantiene = 2,634 s
Redondeemos a 2 decimales.
2,635 120 s (eliminamos los números después del 3); 5 (3 es impar) aumenta +1 = 2,64 s
NOTA. Cuando realizamos operaciones matemáticas con valores decimales, el resultado debe
redondearse hasta un número determinado de cifras significativas.
Cuando sumamos o restamos, el resultado debe tener el mismo número de decimales que el valor que
menos tenga: Ejemplo: 12.07 + 3.2 = 15.27
Cuando multiplicamos o dividimos, el resultado debe tener el mismo número de cifras significativas
que el valor que menos tenga: Ejemplo: 12.07 × 3.2 = 39 (No 38.624 ya que 3.2 tiene 2 c.s.)
4. OPERACIONES ALGEBRAICAS CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS
ADICION Y SUSTRACCION. Observar entre las cantidades aquella que posee el menor número de
lugares decimales (menos precisión). Reducir luego las demás cantidades al mismo número de lugares
decimales de esa cantidad.
1. 2807,5 + 0,0648 + 83,645 + 525,0 = 2807,5 + 0,1 + 83,6 + 525,0 = 3416,2
2. 435,351 − 237,2 = 435,4 − 237,2 = 198,2
3. 234,12 + 321,372 + 34,45 − 1,34821 = 234,12 + 321,37 + 34,45 − 1,35 = 588,59
4. 8,75 − 2,1 = 8.8 − 2,1 = 6,7
MULTIPLICACION Y DIVISION. En la multiplicación y división de medidas, el resultado tiene tantas
cifras significativas como el factor que tenga menos números de cifras significativas.
1. Las dimensiones de una placa rectangular son: 13,2 cm de longitud por 4,8 cm de ancho.
Encontrar el área de la placa.
13,2 𝑐𝑚 × 4,8𝑐𝑚 = 63,36𝑐𝑚2
redondeando 63,4𝑐𝑚2
2. Las dimensiones de un cuarto son: 3 m de largo por 2,5 m de ancho y 2,10 m de alto. Hallar el
volumen.
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3 𝑚 × 2,5 𝑚 × 2,10 𝑚 = 15,75𝑐𝑚3
redondeando 16𝑐𝑚3
3. Dividir
874000 𝑔
32000 𝑔
= 27,3125
Redondeando 27
54000
459
= 117,65
Redondeando 118
5. NOTACION CIENTIFICA
La notación científica es una forma de representar números para simplificar la forma en que
se escriben. Es una manera rápida de representar un número utilizando potencias de base
diez. Esta notación se utiliza para poder expresar muy fácilmente números muy grandes o
muy pequeños.
Los números se escriben como un producto:
EXPONENTE
𝒂 × 𝟏𝟎 𝒏
COEFICIENTE
BASE
𝑎 = un número real mayor o igual que 1 y menor que 10, recibe el nombre de coeficiente.
𝑛 = un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.
REGLAS PARA ESCRIBIR EN NOTACION CIENTIFICA
Regla 1. Para expresar un número en notación científica identificamos la coma decimal (si la hay), el
valor del coeficiente debe ser: 𝟏 ≤ 𝒂 > 𝟏𝟎
Regla 2. Si la cantidad es mayor que 10 y desplazamos la coma decimal hacia la izquierda, el valor del
exponente será positivo (+).
68000𝑚 = 6,8 × 104
602300000000000000000000 = 6,023 × 1023
5980000000000000000000000 = 5,98 × 1024
Regla 3. Si la cantidad es menor que 1 y la cantidad inicia con 0, desplazamos la coma decimal hacia
la derecha, el valor del exponente será negativo (-).
0,000007𝑚 = 7 × 10−6
0,008𝑔 = 8 × 10−3 𝑔
0,00000000000000000000000000662𝑒𝑟𝑔 ∗ 𝑠 = 6,62−27 𝑒𝑟𝑔 ∗ 𝑠
Nota importante. Siempre que movemos la coma decimal hacia la izquierda el exponente de la
potencia de 10 será positivo. Siempre que movemos la coma decimal hacia la derecha el exponente de
la potencia de 10 será negativo.
REGLAS PARA ESCRIBIR DE NOTACION CIENTIFICA A NOTACION DECIMAL
Regla 1. Si la potencia 10 es positiva, el punto decimal debe recorrerse hacia la derecha, tantos lugares
como indica el exponente, en caso de no haber números complementar con ceros.
2,77 × 106 𝑎ñ𝑜𝑠 = 2770000 𝑎ñ𝑜𝑠
12 × 107 ℎ𝑎 = 120000000 ℎ𝑎
Regla 2. Si la potencia 10 es negativa, el punto decimal debe recorrerse hacia la izquierda, tantos
lugares como indica el exponente, en caso de no haber números complementar con ceros.
2,65 × 10−3 𝑠 = 0,00265 𝑠
6,67 × 10−11
𝑁𝑚2
𝐾𝑔2
= 0,0000000000667
𝑁𝑚2
𝐾𝑔2
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OPERACIONES ALGEBRAICAS CON NOTACION CIENTIFICA
ADICION Y SUSTRACCION. Para sumar o restar magnitudes expresadas en notación científica, lo
primero que se hace es expresar los números en la misma potencia de 10
1. 2,52 × 103 + 3,2 × 102
2. 3,2 × 108 + 9,8 × 107
Cambiar todo a la misma potencia
Cambiar todo a la misma potencia
2,52 × 103 + 0,32 × 103
3,2 × 108 + 0,98 × 108
= 2,84 × 103
= 4,18 × 108
3. 4,6 × 106 + 27,2 × 105 − 3,4 × 106
Cambiar todo a la misma potencia
4,6 × 106 + 2,72 × 106 − 3,4 × 106
= 3,92 × 106
4.
2,6 × 10−9 − 6,5 × 10−10
Cambiar todo a la misma potencia
2,6 × 10−9 − 0,65 × 10−9
= 1,95 × 109
5. 153 × 10−4 − 2 × 10−2 + 0,034
Cambiar todo a la misma potencia
1,53 × 10−2 − 2 × 10−2 + 3,4 × 10−2
= 2,93 × 10−2
6. 46 × 10−5 + 3 × 10−3 + 0,0025 − 720 × 10−6
Cambiar todo a la misma potencia
0,46 × 10−3 + 3 × 10−3 + 2,5 × 10−3 − 0,72 × 10−3
= 5,24 × 10−3
MULTIPLICACION. Para multiplicar magnitudes en notación científica, no es necesario igualar los
exponentes, basta con multiplicar los coeficientes, luego sumar algebraicamente los exponentes.
1. (4,8 × 106 )(3,2 × 1012 ) = (4,8 ∗ 3,3) × 106+12 = 15,36 × 1018
2. (8,4 × 10−15 )(4,2 × 10−5 ) = (8,4 ∗ 4,2) × 10−15−5 = 35,28 × 10−20
3. (3,2 × 103 )(1,5 × 10−5 ) = (3,2 ∗ 1,5) × 103−5 = 4,8 × 10−2
4. (5,2 × 10−8 )(3,5 × 106 ) = (5,2 ∗ 3,5) × 10−8+6 = 18,2 × 10−2
DIVISION. Para dividir magnitudes expresadas en notación científica, se realiza la operación indicada con
los coeficientes, luego el exponente del denominador cambia de signo y se suma algebraicamente con el
exponente del denominador.
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5.
0,6×105
0,2×102
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0,6
= 0,2 × 105−2 = 3 × 103
−0,48×10−3
0,08×102
2,24×102
=
−0,48
0,08
× 10−3−2 = −6 × 10−5
2,24
−0,12×10−2
= −0,12 × 102+2 = −19 × 104
8,27×105
8,27
3,2×10−8
=
3,2
× 105−8 = 2,6 × 10−3
(3,42×108 )(4,23×10−2 )
4,41×102+2,382×103
(3,42∗4,23)×108−2
14,47×106
14,47
= 0,441×103+2,382×103 = 2,823×103 = 2,823 × 106−3
= 5,126 × 103
POTENCIACION. Cuando se eleva a una potencia una cantidad expresada en notación científica, se realiza
la operación indicada con los coeficientes, luego el exponente se multiplica con el valor de la potencia de
forma algebraica.
1. (3 × 106 )2 = 32 × 106∗2 = 9 × 1012
2. (−9 × 105 )8 = (−9)8 × 105∗8 = 43046721 × 1040
3. (−3,2 × 10−6 )5 = (−3,2)5 × 10−6∗5 = −335,54 × 10−30
4. (4,1 × 104 )3 = (4,1)3 × 103∗8 = 68,92 × 1024
RADICACION. Cuando se trabaja con la raíz de una cantidad expresada en notación científica, se realiza la
operación indicada con los coeficientes, procurando que el exponente sea divisible entre el valor de la raíz.
1.
2.
3.
√9 × 1026 = √9 × 1026÷2 = 3 × 1013
3
3
√27 × 1012 = √27 × 1012÷3
4
4
= 3 × 104
√256 × 1064 = √256 × 1064÷4
= 4 × 1016
6. MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOS
En muchas ocasiones necesitaremos especificar valores de unidades o muy grandes o muy pequeños. Por
ejemplo, la distancia media entre la tierra y el sol es de aproximadamente 149.600.000.000 metros. Como
puedes observar, representar y calcular con estos valores resulta engorroso.
Por esta razón, es muy común utilizar unos prefijos en las unidades llamados múltiplos y submúltiplos.
Estos múltiplos o submúltiplos son potencias de 10 con exponente negativo o positivo y que nos
permitirán hacer más fácil la representación del valor.
PREFIJOS DE UNIDADES DEL SI
MULTIPLOS
NOTACIÓN DECIMAL
1 000 000 000 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000
1 000 000 000
1 000 000
NOTACIÓN
CIENTÍFICA
PREFIJO
SÍMBOLO
1024
1021
1018
1015
1012
109
106
Yota
Zeta
Exa
Peta
Tera
Giga
Mega
Y
Z
E
P
T
G
M
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SUBMULTIPLOS
UNIDAD
100 000
10 000
1 000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
0,000 1
0,000 01
0,000 001
0,000 000 001
0,000 000 000 001
0,000 000 000 000 001
0,000 000 000 000 000 001
0,000 000 000 000 000 000 001
0,000 000 000 000 000 000 000 001
FISICA
105
104
103
102
101
100
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24
Hectokilo
Miria
Kilo
Hecto
Deca
HK
Ma
K
H
D
deci
centi
mili
decimili
centimili
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
Yocto
d
c
m
dm
cm
n
p
f
a
z
y