Física: Segunda Edición - J.W. Kane, M.M. Sternheim

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Segunda edición
J. W. Kane \ M. M. Sternheim
Física
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Q
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Las igualdades designadas mediante = son exactas.
Longitud
1 metro= 39,37 pulgadas= 3,281 pies
1 pulgada = 2,54 centímetros
1 pie = 30,48 centímetros
1 kilómetro = 103 metros = 0,6214 millas
1 milla = 5280 pies = 1,609 kilómetros
-10
1 angstrom = 10 metros
1 nanometro = 10-9 metros
Superficie
2
1 pulf = 6,4516 cm
2
1 pie = 9,29 = 10- m 2
1 cm2 = 10-4 m2 = 0,155 pulg2 = 1,076 X 10-3 pie2
1 m2 = 104 cm2 = 10,76 pie2
Volumen
1 pulg3 = 16,39 cm3
l pie3 = 2,832 X 10- 2 m3
l cm3 = 10-6 m 3 = 6,102 X 102 pulg3 = 3,531 X 10-s pie3
1 m3 = 106 cm3 = 35,31 pie3
l litro= 10-3 m3 = 0,264 galones
l galón = 3,786 litros= 231 pulg3
Tiempo
1 hora = 60 minutos = 3600 segundos
4
1 día= 24 horas= 1440 minutos= 8,64 X 10 segundos
7
1 año= 365,24 días= 3,156 X 10 segundos
Masa
l gramo= 10-3 kilogramos = 6,852 X 10-s slugs = 6,024
23
X 10 u
1 kilogramo = 103 gramos = 6,852 X 10-2 slugs = 6,024
26
X 10 u
l slug = 14,59 kilogramos
1 u = 1,66 X 10-27 kilogramos
Densidad de masa
1 gm cm- 3 = 103 kg m- 3 = 1,94 slug pie-3
1 slug pie- 3 = 0,5153 gm cm- 3
= 5,153 X 102 kg m-3
Velocidad
1 cm s- 1 = 10-2 m s- 1 = 3,6 X 10-2 km h- 1
1 m s-1 = 3,6 km h-1 X 2,24 mi h- 1
1 pie s-i = 30,48 cm s- 1 = 0,3048 m s- 1
= l 097 km h- 1
1 mi~ h-1 = 0,447 m s-• = 1,609 km h- 1
= 1,467 pie s-1
1 km h- 1 = 0,2778 m s- 1 = 0,6214 mi h- 1
Ángulos y velocidades angulares
180 grados= 1r radianes
1 radián = 57,3 grados
1 grado= 1,745 X 10-2 radianes
1 rad s-• = 0,159 rev s- 1 = 9,549 rev min-1
1 rev min-1 = 0,0167 rev s-• = 0,1047 rad s-1
Fuerza
! libra = 4,448 newtons = 4,448 X 105 dinas
1 newton = 105 dinas = 0,2248 libras
1 dina = 10-s newtons = 2,248 X 10-6 libras
Presión
1 atmósfera= 1,013 X 105 pascal = 14,7 lb pulg- 1
1 pascal= 10 dina cm-2 = 1,450 X 10-4 lb pulf2
= 7,501 x 10-4 cm Hg
1 cm Hg = 1,333 X 104 dina cm- 2
= 1,316 X 10-2 atmósfera= 1,333 X 103 pascal
1 pulg H 20 = 1,868 mm Hg = 249,l pascal
l lb pulg-~ = 6,895 X 103 pascal
= 6,805 X 10-2 atmósfera
1 lb pie-2 = 47,88 pascal
1 torr = 1 mm Hg = 133,3 pascal
1 bar = 105 pascal
Viscosidad y resistencia al flujo
1 Pa s = 1Opoise
1 Pa s m-3 = 0,750 X 10-8 torr s cm-3
Energía
I julio= 107 ergs = 0,2390 calorías= 0,7376 pie lb
1 caloría= 4,184 julio
1 kcal = 103 calorías
1 julio = 6,24 X 1018 electronvoltio
l electronvoltio = 1602 X 10-•9 julio
1 kWh = 3,6 X 106 'julio
l Btu = 1,054 X 103 julio
1 pie lb = 1,356 julio
Conversión masa-energía
I u= 931 X 106 electronvoltio = 931 MeV
Potencia
1 vatio = 10- 3 kilovatio = 0,7376 pie lb s-1
= 1,341 X 10- 3 caballos de vapor
1 caballo de vapor= 550 pie lb s- 1 = 7,457 X 102 vatio
l kilovatio= 103 vatio= 1,341 caballos de vapor
Campo magnético
l gauss = 10-4 tesla
Prefijos utilizados para definir múltiplos de las unidades
S.I. Pueden utilizarse con cualquiera de las unidades básicas de S.I. o con unidades derivadas de ella
Fracción Prefijo Sfmbolo Ejemplo
10-18
10- 15
10- 12
10- 9
atto
femto
pico
nano
10-s
10- 3
micro
mili
µ,
m
10- 2
centi
c
10- 1
deci
deca
hecto
kilo
10
102
J03
J06
mega
giga
tera
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1012
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6
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E
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A
r
z
1 nanosegundo = 1 ns
= 10-9 segundos
e
1 milímetro = 1 mm
= 10-3 metros
1 cent ímetro = 1 cm
= 10-2 metros
I
K
A
M
N
d
da
h
k
Alfabeto griego
1 kilogramo = 1 kg
= 10 3 gramos
H
-o
II
p
~
v2
=
A
µ,
p
t
o
'TT
p
(1
T
~
4>
X
X
v = v0 + at::.t
!!.x = v0 t::.t + ½a(!!.t)2
+ v)
+ v)t::.t
Vo2 + 2a !!.x
K
'T
Movimiento con aceleración constante
= ½(v0
(J
T
T
u
ü
r
1J
M
G
q,
!!.x = ½(v0
y
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alfa
beta
gamma
delta
epsilon
zeta
eta
theta
iota
kappa
lambda
mu
nu
xi
omicron
pi
ro
sigma
tau
upsilon
phi
chi
psi
omega
Segunda edición
J. W. Kane \ M. M. Sternheim
Física
EDITORIAL
REVERTÉ
Barcelona · Bogotá · Buenos Aires · Caracas · México
Título de la obra original:
PHYSICS, Second Edition
Edición original en lengua inglesa publicada por
John Wiley & Sons, New York (NY) 1003, USA
Copyright © by John Wiley & Sons, Inc.
Todos los derechos reservados.
Traducción autorizada de la edición en lengua inglesa publicada por John Wiley & Sons, Inc.
Edición en español
© Editorial Reverté, S. A., 1989, 2000, 2016
Edición en papel
ISBN: 978-84-291-4318-8
Edición e-book (PDF)
ISBN: 978-84-291-9454-8
Versión española por
Dr. José Casas Vázquez
Catedrático de Termología de la Universidad Autónoma de Barcelona
y
Dr. David Jou Mirabent
Profesor de la Universidad Autónoma de Barcelona
Propiedad de:
EDITORIAL REVERTÉ, S. A.
Loreto, 13-15. Local B
08029 Barcelona. ESPAÑA
Tel: (34) 93 419 33 36
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intelectual (Art. 270 y siguientes del Código Penal). El Centro Español de Derechos
Reprográficos (CEDRO) vela por el respeto a los citados derechos.
# 1081
A mi familia.
JWK
A mi esposa He len y a mis hijos Laura, Amy y
Jeffrey
MMS
PREFACIO A LA
SEGUNDA EDICIÓN
La segunda edición de un libro de texto acompañado por el éxito proporciona a sus au­
tores la rara ocasión de llevar a cabo lo que habían deseado hacer originalmente. He­
mos aprovechado esta oportunidad para mejorar Física en much()s aspectos, secunda-•
ríos pero significativos, así como para actualizar su material donde resultara apropia­
do. Excepto en unos pocos puntos que señalaremos a continuación, la organización del
libro sigue siendo la misma, tal como lo sigue siendo nuestro propósito básico de pre­
sentar la flsica en una forma que la hiciera atractiva a una amplia diversidad de estu­
diantes, especialmente los que se inician en las ciencias de la vida.
Como en la primera edición, este libro contiene algo más de lo que se puede tratar
en un curso habitual, ya que hemos incluido todos los temas cubiertos habitualmente en
los cursos deflsica para estudiantes de primer ciclo de ciencias de la vida, más algún ma­
terial poco usual. Hay ahora 31 capítulos divididos en nueve unidades. Dos capítulos cu­
bren material que habitualmente no se trata en los textos de introducción a laflsica: el ca­
pítulo 18, conducción nerviosa, y el capítulo 31, radiación ionizante. Estos capítulos pue­
den omitirse o tratarse superficialmente sin que se.produzcan por ello pérdidas impor­
tantes de continuidad; éste es también el caso de algunos capítulos más tradicionales,
como el 8, propiedades elástica s de los materiales, el 25, relatividad especial y el 29, es­
tructura de la materia. Por otra parte, la mayoría de los capítulos concluyen eon una
o más secciones suplementarias que versan ya sea sobre aplicaciones biológ(.cas ya sea
sobre temas más tradicionales algo secundarios. Esta disposición permite al profesor se­
leccionar lo que convenga tratar o subrayar, y ayuda al estudiante a distinguir los prin­
cipios básicos de física del material relativamente periférico.
Algunos de los cambios más importantes son los siguientes. En meeánica, hemos sim­
plificado la notación, utilizada en cinemática. Hemos dado más relive a las leyes de con­
servación y hemos alargado ligeramente su tratamiento. El capitulo 8 de la primera edi­
ción, la rotación de los sólidos rígidos, se ha combinado con otros dos: la dinámica de
la rotación del sólido rígido se ha incluido en el movimiento circular (eapítu/o 5) de una
partícula, y el momento angular se ha combinado con el ímpetu (capítulo 7). Hemos aña­
dido nuevos ejemplos y problemas sobre energía solar, energía de las mareas y otrasfuen­
tes alternativas de energía. En la Unidad III, Calor, hemos añadido una sección sobre
mezclas de gases ideales. El capítulo-sobre termodinámica (capítulo 11) precede ahora al
VII
VIII
Prefacio a la segunda edición
dedicado a propiedades térmicas de la materia (capítulo 12), lo que permite un estudio más
profundo de los calores específicos en este último. Hemos eliminado el capítulo sobre el
sistema circulatorio de los mamíferos, distribuyendo casi todo su contenido en los otros
capítulos de la Unidad I V, Fluidos. La introducción del potencial eléctrico se deja para
la Unidad V, Electricidad y Magnetismo. En el capitulo 17 presentamos ahora una discusión más completa de las reglas de Kirchhoff, y en el capítulo 19 estudiamos la navegación magnética de los animales. En óptica, hemos ampliado el tratamiento de lapolarización, de las aberraciones de las lentes y de la visión del color, hemos cambiado el
convenio de signos en la fórmula del constructor de lentes y hemos simplificado la descripción del procedimiento para seleccionar las lentes de corrección de la vista. En la Unidad VII, hemos anticipado algo la introducción del fotón y en la Unidad VIII, el capítulo de la primera edición sobre resonancia magnética nuclear aparece ahora como un
tema suplementario del capítulo 29, la estructura de la materia. Finalmente, hemos actualizado el tratamiento de los efectos de las radiaciones ionizantes y de diversas aplicaciones de la física nuclear, y hemos añadido una sección sobre los quarks.
A lo largo del libro, hemos introducido o ampliado diversas ayudas al estudio. Hemos alargado los resúmenes delfina/ de los capítulos y hemos añadido en promedio unas
doce cuestiones simples de repaso antes de los ejercicios. Presentamos también muchos
nuevos ejercicios y problemas para ampliar el dominio de dificultad y los tipos de aplicaciones. Incluyendo las cuestiones de repaso, los ejercicios y los problemas suman unos
2.300, lo que representa un aumento de más del 50 por ciento. A ello se debe prácticamente todo el alargamiento del texto.
En la primera edición insistíamos en las unidades S.f., pero ocasionalmente mencionábamos o utilizábamos otras. Posteriormente, preparamos otra versión que no contenía unidades que no fueran del sistema S.l., o bien aceptadas por el mismo, tales como
el electronvoltio, la unidad de masa atómica y la atmósfera estándar. Ello significó suprimir todas las unidades británicas y c.g.s., el angstrom, la micra, la caloría y otras varias. A grandes rasgos, creímos que estos cambios hacían el libro más manejable. Ello
resultaba especialmente cierto en lo que concierne a losfenómenos térmicos, en los que la
sustitución de la caloría por eljulio simplificó los cálculos y dio mayor significado a ciertas respuestas; así resulta mucho más intuitivo decir que se gastan 100 vatios que la cantidad equivalente, 86 kcal h- 1• Por ello, en esta edición hemos utilizado las mismas unidades que en la versión S.l. , excepto cierto uso muy restringido de unidades británicas
en los ejemplos y problemas de cinemática de los primeros capítulos. Para que sirva
como referencia, en el Apéndice C discutimos algunas unidades no pertenecientes al S.f.
que aún resultan muy utilizadas, y recogemos los respectivosfactores de conversión en la
contracubierta anterior.
·
Al preparar esta nueva edición hemos tenido en cuenta nuestra propia experiencia
de enseñar con el texto de la edición anterior, así como las valiosas sugerencias de nuestros colegas de la Universidad de Massachusetts y de otras varias. Además de las personas a quien ya manifestábamos nuestro agradecimiento en la primera edición, Hajime Sakai, James F. Walker y Kandula S.R. Sastry nos resultaron especialmente útiles
al indicarnos ciertas posibles mejoras. J. G. Steele fue nuestro consultor en los cambios
al S.f. J. N. Dodd nos proporcionó materiales que resultaron de gran utilidad en la sección
sobre la visión del color. Margaret Silbar nos llamó la atención sobre una interesante faceta histórica. He/en Sternheim nos prestó una ayuda valiosísima en la preparación del
texto, y Doris Atkins mecanografió expertamente.las revisiones.
Joseph W. Kane
Morton M. Sternheim
DEL PREFACIO
DE LA PRIMERA EDICIÓN
Física de las ciencias de la vida va dirigida a estudiantes de procedencia diversa y está
basado en nuestra experiencia en un curso para estudiantes que se especializaban en varias áreas de las ciencias de la vida, entre las que figuraban zoología, estudios premédicos, botánica, tecnología médica, silvicultura y educación física, junto con un pequeño número de estudiantes que hacían su especialidad en campos ajenos a las ciencias de
la vida. Generalmente se trataba de alumnos de segundo o tercer año que habían seguido cursos de nivel secundario en química, matemáticas y biología, pero algunos eran estudiantes de primero y unos pocos ya graduados. La mayorfa no habían estudiado física en la escuela secundaria, muchos habían estado en contacto con el cálculo, pero pocos de ellos tenían confianza en su capacidad para manejarlo con seriedad.
Este libro difiere en varios aspectos de los textos convencionales de física escritospensando en una especialización en ciencias. En primer lugar, la elección de los tópicos básicos a incluir o poner de relieve se ha determinado en función de los intereses y necesidades de la especialización en ciencias de la vida. Esto ha requerido la inclusión de algunos tópicos que ya no presentan un gran interés para los físicos, tales como la óptica
geométrica, la mecánica de fluidos y la acústica, así como la reducción a un mínimo del
material histórico y de aquellas áreas de la física contemporánea, tales como la física
de altas energías y la astrofísica, que tienen un escaso imp.acto directo en la biología.
La segunda gran diferencia reside en que muchos ejemplos han sido tomados de los
sistemas biológicos. Esto contrasta con el empleo habitual de ejemplos con sabor de ingeniería. De este modo, problemas de cuerpos rígidos se han tomado con frecuencia de
la biomecánica, ejemplos de resistencia y capacidad proceden de la conducción nerviosa, ilustraciones del transporte de calor y del calor latente tienen su origen en el mantenimiento de la temperatura corporal, y así sucesivamente. La instrumentación empleada en el trabajo biomédico aparece tratada siempre que ilustre los principios físicos.
El tercer y quizás más siginificativo rasgo original de este libro es la inclusión de secciones y capítulos enteros dedicados a la aplicación detallada de la física a sistemas biológicos. Con ellos el estudiante se ve motivado a aprender física al demostrarle su relación con las ciencias de la vida, midiendo al mismo tiempo su comprensión de los prin- ·
cipios físicos implicados. También constituyen una prueba de la completa unidad de la
ciencia al emplear conceptos que proceden de la física, la biología y la química. Sin embargo, no se dan por sentados conocimientos específicos en biología o química.
IX
X
Del prefacio de la primera edición
Cada capítulo contiene una abundante colección de ejercicios. Relacionados con las
secciones del libro, éstos sirven como test de la capacidad básica de comprensión del estudiante y de ayuda para adquirir confianza. También se incluyen problemas no relacionados con las distintas secciones, de los que unos pocos, señalados con un asterisco,
presentan algo más de dificultad. Las secciones suplementarias también contienen ejercicios y problemas de modo que pueden utilizarse como parte integral del curso.
Aunque incluimos bastante material que no se encuentra habitualmente en los textos normales de física, presentamos la física básica en un orden y de un modo bastante
convencionales. Esto se ha hecho asíporque la distribución clásica parece manejarse mejor y porque permite al profesor elegir y organizar el material para adaptarlo a las necesidades y preferencias de cada uno. Si bien la mecánica debe tratarse al principio y
la física moderna al final, el material intermedio (calor, fluidos, electricidad y magnetismo, y movimiento ondulatorio) puede redistribuirse sin mayores problemas. Esto es
cierto aun cuando subrayemos la unidad de los conceptos físicos y señalemos sus interconexiones dondequiera que sea posible.
A todo lo largo de este libro, hacemos uso de la mínima cantidad de matemáticas f ormales consecuente con un tratamiento justo y preciso de la física que se discute. Esto quiere decir que empleamos el álgebra de manera bastante libre y algo de geometría. Como
algunos estudiantes son relativamente flojos en estas cuestiones cuando empiezan a estudiarfísica, procedemos con bastante exactitud en los primeros capítulos y damos también un repaso a las matemáticas en el Apéndice B. La función derivada se introduce en
el Cap. 1, y se emplea posteriormente en las definiciones. Las escasas deducciones que
necesitan hacer uso del cálculo se han colocado alfinal de los capítulos para no interrumpir el material del texto. Evitamos por completo la integración, empleando en su lugar
el procedimiento de adivinar y comprobar después por derivación las soluciones a problemas tales como la ley exponencial de desintegración de un radionúclido. El empleo
del cálculo diferencial no precisa ejemplos, ejercicios o problemas.
Un importante aspecto del aprendizaje de la física es el desarrollo de ciertos esquemas de pensamiento. En consecuencia, insistimos en el empleo de modelos simples para
sistemas complejos, de aproximaciones matemáticas, y del análisis dimensional. Estos
resaltan mucho en las aplicaciones biológicas pero están presentes a todo lo largo del
libro. También ponemos el acento en que la física es una ciencia experimental y no una
disciplina intelectual abstracta. Sus consecuencias están en continua relación con la experiencia cotidiana así como con otros campos científicos.
Las unidades constituyen siempre un problema en un texto de introducción. Se da importancia a las unidades S. l., pero las unidades británicas y las cgs se emplean de vez
en cuando para facilitar el contacto con magnitudes que resultan familiares y para ajustarse al uso convencional en diversas áreas de aplicación.
Este libro no podía haberse escrito sin la ayuda de un gran número de personas. Nuestra mayor deuda la tenemos contraída con los muchos estudiantes que nos JÍan ayudado
de diversas maneras a aprender lo que habría de ser un curso y un texto de física de ciencias de la vida, y los que soportaron los inconvenientes de tener que emplear como texto las versiones preliminares de este material. Norman C. Ford participó en las primeras etapas de diseño y redacción de este libro, pero se vio forzado a retirarse debido a
otras obligaciones. Un colega, Stanley S. Hertzbach, dio un curso utilizando un primitivo borrador y de él recibimos consejos muy útiles. También resultaron provechosos los
consejos recibidos de varios críticos, tales como Rubin Landau, Margaret McCarthy, Arnold Pickar, Harvey Picker, Arnold Strassenberg, John Weir, Robert Williamsony Steve Woods. Durante unos años, muchos licenciados y tstudiantes de licenciatura nos hi-
XI
Del prefacio de la primera edición
cieron valiosas sugerencias tras la lectura o la enseñanza de partes del manuscrito o hallaron las soluciones a los ejercicios y problemas. Entre ellos contamos a James Ledwell, David Long, Caroline Markey, Robert Meyer, Francesc Roig, Ernest Seglie, Thomas Slavkovsky, David Vetter, J. C. Wang y Jonathan Wainer.
El original fue escrito a máquina por cuatro competentes y tolerantes mecanógrafas; la mayor parte fue mecanografiada por Kath/een Ryan y el resto por Lillian Camus, Linda Lisnerski y Doris Atkins. He/en Sternheim nos prestó su ayuda en varios
aspectos de la preparación del manuscrito y nos dio consejo y aliento.
Joseph W. Kane
Morton M. Sternheim
PRÓLOGO:
LA FÍSICA YEL ESTUDIANTE DE
CIENCIAS DE LA VIDA
«¿Por qué he de estudiarjfsica?». Planteada a veces con una insinuación emotiva quefluctúa entre la angustia y la cólera, ésta es una de las preguntas que con más frecuencia
escuchan los que enseñanffsica. Parece apropiado, por lo tanto, dar comienzo a este libro haciendo un esfuerzo por hallar una respuesta.
Un motivo por el que esta cuestión se plantea tan a menudo es que mucha gente que
no ha estudiado física -y algunos que sí lo han hecho- no tienen una noción clara de
lo que es esta materia. Los diccionarios no suponen mucha ayuda. Una definición típica
de diccionario pequeño dice que la física es la rama de la ciencia que trata de la materia, la energía y sus interacciones. Es una definición vaga y lo bastante general como
para incluir lo que habitualmente se entiende por química; en cualquier caso, puede decirse que no da una sensación real de lo que la física lleva consigo. Artículos de diccionarios más completos desarrollan corrientemente la definición señalando que lafísica incluye campos tales como la mecánica, el calor, la electricidad, etc., pero no dicen nada
de por qué ciertos campos de la ciencia aparecen dentro de ella y otros no.
Un modo mejor de enfocar la cuestión de definir la física es preguntarse acerca de
lo que preocupa a los físicos. Los ffsicos tratan de comprender las reglas básicas o leyes que gobiernan e/funcionamiento del mundo natural en el que vivimos. Como sus actividades e intereses evolucionan con el tiempo, la ciencia básica que llamamosfísica también cambia con el tiempo. Muchos de los más activos campos de la física de hoy no habían sido ni siquiera soñados hace una o dos generaciones. Por otro lado, partes de lo
que ahora se considera química o ingeniería estuvieron una vez incluidos dentro de la física. Esto es debido a que los físicos abandonan a veces un campo una vez que se conocen los principios básicos, dejando a otros ulteriores desarrollos y aplicaciones prácticas.
El hecho de que la física se ocupe de las reglas básicas que gobiernan cómo funciona el mundo nos permite comprender por qué personas que sienten curiosidadpor cosas
diversas pueden encontrar el estudio de la física interesante y útil.
Por ejemplo, un historiador que quiere entender.los orígenes de nuestra sociedadcontemporánea encontrará significado en la historia del desarrollo de la física y su relación con otras actividades humanas. Del mismo modo, un filósofo interesado en los conceptos de espacio y tiempo sacará gran provecho de la comprensión de los revolucionarios avances de la física de este siglo. Sin embargo, como hemos escrito este libro ante
XIII
XIV
Prólogo
todo para estudiantes que se especializan en ciencias de la vida, no hemos puesto el acento en los aspectos históricos o filosóficos de la física. Más bien, hemos intentado hacer
clara en cada capítulo la conexión entre la física y las ciencias de la vida.
Quizá el más evidente impacto de la física sobre la biología y la medicina es a nivel
de la instrumentación. Un conocimiento de la física ayuda a un empleo inteligente de
todo lo que se extiende desde los microscopios ordinarios y las centrifugadoras hasta
los microscopios electrónicos y los complicados sistemas de detección de radiaciones utilizados en medicina nuclear. La física también interviene en la biología de un modo más
fundamental. Las leyes físicas que gobiernan el comportamiento de moléculas, átomos
y núcleos atómicos constituyen la base de toda la química y la bioquímica. La fisiología
ofrece muchos ejemplos de principios y procesos físicos: la difusión dentro de las células, la regulación de la temperatura corporal, el movimiento de fluidos en el sistema circulatorio y las señales eléctricas en las fibras nerviosas son unos pocos de ellos. En anatomía comparativa, la física asociada con un rasgo anatómico ayuda a menudo a clarificar el proceso evo/ucionario. Las actividades atléticas, que van desde la carrera y el
salto hasta el kárate, pueden estudiarse y a veces mejorarse con la ayuda de principios
físicos. A lo largo del desarrollo e ilustración de los principios básicos de la física discutiremos todas estas aplicaciones de las ciencias de la vida y muchas otras.
Puede resultar de utilidad hacer unos pocos comentarios acerca de cómo estudiar física. Más que ninguna otra ciencia, lafísica es una disciplina lógica y deductiva. En cualquiera de los campos de la física hay unos pocos conceptos fundamentales o leyes deducidos de medidas experimentales. Una vez que se dominan estas ideas básicas, las aplicaciones son en general directas desde un punto de vista conceptual, aun cuando los detalles puedan a veces llegar a ser complicados. En consecuencia, es importante fijar la
atención en los principios básicos y evitar memorizar un conjunto de hechos y fórmulas.
La mayor parte de las leyes básicas de la física pueden expresarse de manera bastante concisa en forma de ecuaciones matemáticas. Esto es muy conveniente, puesto que
una enorme cantidad de información aparece contenida implícitamente en una sola ecuación. Sin embargo, esto significa también que cualquier intento serio de aprender o aplicar la física requiere una buena disposición para emplear una cierta cantidad de matemáticas. El álgebra preuniversitaria más un poquito de geometría resultan adecuadas
para seguir todo lo que cubre este libro, aunque se precisa un razonable nivel de destreza. Un estudiante que tenga estas habilidades matemáticas un tanto oxidadas puede necesitar el comenzar por el Apéndice B. La técnica matemática de la derivación se introduce en el primer capítulo. Sin embargo, excepto en las definiciones, su empleo se restringe a unas pocas deducciones localizadas en los temas suplementarios. Ninguno de
los ejercicios o problemas precisa de este instrumento matemático.
En resumen, creemos que el estudiante de ciencias de la vida se beneficiará del estudio de la física de dos modos. Por un lado, el estudiante llegará a entender las leyes
básicas que gobiernan todo lo que existe en nuestro mundo desde la escala subatómica
a la cósmica y, por otro, también aprenderá mucho de lo que será importante en su trabajo en las ciencias de la vida. El estudio de la física como ciencia básica no es especia/mente fácil, pero creemos que recompensa, en particular a aquellos estudiantes que
piensan formarse posteriormente en ciencias afines. Esperamos que todos los que utilicen este libro estén de acuerdo.
J. W . K.
M.M.S.
ÍNDICE ANALÍTICO
Prefacio a la segunda edición
Del prefacio de la primera edición
Prólogo: La Física y el estudiante de
ciencias de la vida
VII
IX
XIII
CAPÍTULO 2
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Una introducción a los vectores
Velocid.a d en dos dimensiones
Aceleración en dos dimensiones
Cálculo del movimiento de un objeto
Proyectiles
Temas suplementarios
2.6 Proyectiles en Biomecánica
UNIDAD 1
LAS LEYES GENERALES DEL
MOVIMIENTO
CAPÍTULO 1
MOVIMIENTO RECTllÍNEO
1.1 Medidas, patrones, unidades y errores
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
Desplazamiento; velocidad media
Velocidad instantánea
Aceleración
Cálculo del movimiento de un objeto
La aceleración de la gravedad y la caída de los cuerpos
Galileo Galilei
Modelos de Física
Temas suplementarios
1.8 Salto vertical
CAPÍTULO 3
LAS LEYES DEL NEWTON DEL
MOVIMIENTO
3.1 Fuerza, peso y masa gravitatoria
3.2 Densidad
3
3
7
10
12
12
15
17
18
24
24
3.3
Primera ley de Newton
3.4 Equilibrio
3.5 Tercera ley de Newton
3.6 Segunda ley de Newton
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
Importancia de las leyes de Newton del
movimiento
Algunos ejemplos de las leyes de Newton
Sir Isaac Newton
Fuerzas gravitatorias
Peso
Peso efectivo
Rozamiento
28
28
31
33
33
34
40
40
44
44
46
46
47
48
49
50
50
51
55
56
57
58
XV
XVI
Índice analítico
CAPÍTULO 4
ESTÁTICA
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Momentos
Equilibrio de cuerpos rígidos
El centro de gravedad
Estabilidad y equilibrio
Palancas; ventaja mecánica
Músculos
Palancas en el cuerpo
Temas suplementarios
4.8 Las mandíbulas de los animales
4.9 Centro de gravedad de los seres humanos
4.10 Sistemas de poleas
6.6 Resolución de problemas mediante tra-
70
71
74
76
79
80
81
82
89
89
91
93
bajo y energía
Energía potencial gravitatoria
Energía potencial eléctrica
Potencia
Trabajo y energía en el movimiento de
rotación
6.11 El salto. Leyes de escala en Fisiología
6.7
6.8
6.9
6.10
Temas suplementarios
6.12 La carrera
6.13 Deducción de la fórmula de la energía_
potencial gravitatoria
MOVIMIENTO CIRCULAR
5.1 Aceleración centrípeta
5.2 Ejemplos de movimiento circular
5.3 Variables angulares
Momento de una fuerza, aceleración
angular y momento de inercia
5.5 Cargas eléctricas: fuerzas fundamentales
5.6 Ley de Coulomb
Coulomb y Cavendish
96
7.1 Impulso e ímpetu
7.2 Conservación del ímpetu
96
99
102
7.3 Movimiento del centro de masas
7.4 Colisiones elásticas e inelásticas
7.5 Momento angular de un sólido rígido
7.6 Momento angular de una partícula
5.4
Temas suplementarios
5.7 Satéiites; mareas
5.8 Efectos fisiológicos de la aceleración
5.9 Percepción sensorial del movimiento
angular
5.10 Deducción de la fórmula de la aceleración radial
105
108
109
110
118
118
120
Temas suplementarios
7.7 Ímpetu y empleo del cuerpo
7.8 Movimiento giroscópico
121
123
127
CAPÍTULO 6
6.1 Trabajo
6.2 Energía cinética
6.3 Energía potencial y fuerzas conservativas
6.4 Fuerzas disipativas
6.5 Observaciones sobre el trabajo y la
energía
157
159
159
161
164
165
168
170
178
178
180
CAPITULO 8
PROPIEDADES ELÁSTICAS DE LOS
MATERIALES
las deformaciones
8.2 Módulo de Young
8.3 Resistencia a la flexión
8.4 Flexión lateral y diseño estructural en
la naturaleza
TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA
156
156
183
8.1 Aspectos generales de los esfuerzos y
UNIDAD 2
TEMAS ADICIONALES DE MECÁNICA
143
144
CAPÍTULO 7
ÍMPETU Y MOMENTO ANGULAR
CAPITULO 5
137
140
142
142
129
129
131
133
135
136
8.5 Momentos cortantes y de torsión
Temas suple~entarios
8.6 Estructura y función
8.7 Deducción de le, = cr213
183
185
186
190
191
199
199
200
CAPÍTULO 9
MOVIMIENTO VIBRATORIO
203
9. 1 Movimiento armónico simple; un experimento
9.2 Peso colgado de un muelle
9.3 El péndulo físico
203
205
206
XVII
Índice analítico
Energía en el movimiento armónico
simple
9.5 Oscilaciones amortiguadas
9.6 Oscilaciones forzadas y resonancia
9.4
Temas suplementarios
9.7 Los efectos de la vibración sobre los seres humanos
9.8 Deducción de las ecuaciones del movimiento armónico
209
210
211
217
217
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
Escalas de temperatura
Masas moleculares
Presión
La ley de los gases ideales
Mezclas de gases
. Temperatura y energías moleculares
Difusión
Soluciones diluidas: presión osmótica
Temas suplementarios
10.9 Deducción de la ley de los gases ideales a
partir de un modelo científico
223
225
225
226
227
228
229
230
231
233
239
239
CAPÍTULO 11
241
11.1 Trabajo mecánico
11.2 Primera ley de la termodinámica
11.3 Segunda ley de la termodinámica
Mayer, Joule y Helmholtz
11.4 El teorema de Carnot y la conversión
de energía
11.5 Implicaciones del teorema de Carnot
11.6 Frigoríficos y bombas de calor
241
243
245
246
Temas suplementarios
11.7 Metabolismo humano
257
257
249
250
252
CAPÍTULO 12
12.1
Dilatación térmica
284
FLUIDOS
289
CAPÍTULO 13
TERMODINÁMICA
PROPIEDADES TÉRMICAS DE LA
MATERIA
Temas suplementarios
12.7 Regulación de la temperatura en
animales de sangre caliente
265
268
270
272
274
284
UNIDAD 4
CAPÍTULO 10
TEMPERATURA Y COMPORTAMIENTO
DE LOS GASES
Capacidad calorífica
Cambios de fase
Conducción de calor
Transmisión del calor por convección
Radiación
219
UNIDAD 3
CALOR
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
262
262
LA MECÁNICA DE LOS FLUIDOS
IDEALES
13.1 Principio de Arquímedes
13.2 La ecuación de continuidad; flujo estac10nano
13.3 Ecuación de Bernoulli
13.4 Consecuencias estáticas de la ecuación
de Bernoulli
13.5 El papel de la gravedad en la circulación
13.6 Medidas de presión sanguínea mediante el esfigmomanómetro
13.7 Consecuencias dinámicas de la ecuación de Bernoulli
13.8 Medidores de flujo
Temas suplementarios
13.9 El vuelo de los animales y de los aviones
291
292
294
295
296
297
299
300
300
307
307
CAPÍTULO 14
FLUJO DE FLUIDO VISCOSO
Viscosidad
Flujo laminar en un tubo: análisis dimensional
14.3 Flujo turbulento
14.4 Flujo en el sistema circulatorio
14.1
14.2
Temas suplementarios
14.5 Fuerzas de arrastre viscosas
14.6 Fuerzas de arrastre a "altas velocidades"
14.7 Centrifugación
312
312
313
316
317
324
324
326
327
XVIII
Indice analítico
CAPITULO 15
FUERZAS DE COHESIÓN EN
LÍQUIDOS
15.1
15.2
15.3
15.4
15.S
15.6
Tensión superficial
Ángulo de contacto y capilaridad
Ley de Laplace
Tensioactivos en los pulmones
El corazón como una bomba
El ascenso de la savia en los árboles;
presiones negativas
332
332
334
335
337
337
338
UNIDAD 5
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
345
CAPÍTULO 16
FUERZAS, CAMPOS Y POTENCIALES
ELÉCTRICOS
16.1 Fuerzas eléctricas
16.2 El campo eléctrico
16.3 El campo eléctrico debido a distribuciones de carga
16.4 Potencial eléctrico
16.S Superficies equipotenciales
16.6 Dipolos eléctricos
16.7 El osciloscopio
16.8 Capacidad
16.9 Efectos de los dieléctricos
16.10 Energía almacenada en un condensador
17.12 Leyes de Kirchhoff en circuitos compiejos
17.13 Deducción de las fórmulas para la cargay la intensidad en un circuito RC
395
396
CAPITULO 18
CONDUCCIÓN NERVIOSA
18.1 La estructura de las células nerviosas
18.2 Resistencia y capacidad eléctrica de un
axón
18.3 Concentraciones iónicas y potencial de
reposo
18.4 Respuesta a estímulos débiles
18.S El potencial de acción
18.6 Electroencefalógrafo y electrocardiógrafo
399
399
400
401
404
407
410
347
347
348
CAPITULO 19
MAGNETISMO
416
19.1 Campos magnéticos
19.2 Fuerza magnética sobre una carga en
movimiento
19.3 Medidores electromagnéticos de flujo
19.4 Fuerza magnética sobre una corriente
en un conductor
19.5 Dipolos magnéticos
19.6 Motores y galvanómetros
19.7 Campos magnéticos producidos por
corrientes
19.8 Fuerza entre dos conductores paralelos
418
CAPÍTULO 17
Temas suplementarios
CORRIENTE CONTINUA
19.9 Medida de la razón carga/masa
19.10 Espectrómetro de masas
19.11 Ciclotrones
434
434
435
436
17.1
17.2
17.3
17.4
17.5
17.6
17.7
17.8
Corriente eléctrica
Resistencia
Fuentes de energía en los circuitos
Potencia en los circuitos eléctricos
Resistencias en serie y en paralelo
Voltímetros y amperímetros
Circuitos con resistencia y capacidad
Seguridad eléctrica
Temas suplementarios
17.9 Teoría atómica de la resistencia
17.10 Aplicaciones de las medidas de resistencia
17.11 Electroforesis
351
353
356
356
359
359
361
363
370
370
372
373
376
377
378
380
383
392
392
394
395
419
421
422
422
425
426
428
CAPÍTULO 20
CAMPOS Y CORRIENTES INDUCIDOS
440
Ley de Faraday
Corrientes de Foucault
Generadores eléctricos
Transformadores
Campos inducidos y ondas electromagnéticas
Michael Faraday
20.6 Materiales magnéticos
440
443
444
445
20.1
20.2
20.3
20.4
20.5
445
446
448
XIX
Índice analítico
20.7 Inductancia
20.8 Energía almacenada en una autoinducción
Temas suplementarios
20.9 Circuitos RL.
20.10 Corriente alterna: valores eficaces o
cuadráticos medios de la intensidad y
el voltaje
20.11 Reactancia
20.12 Impedancia
20.13 Potencia en circuitos de corriente alterna
20.14 Equilibrado de impedancias
20.15 Deducción de la F EM de un generador
449
450
455
455
456
458
460
462
462
464
UNIDAD 6
MOVIMIENTO ONDULATORIO
21.1
21.2
21.3
21.4
21.5
21.6
21.7
21.8
La representación de las ondas
La velocidad de las ondas
Interferencia de ondas y ondas estacionarias
Efectos de los límites
Ondas estacionarias resonantes
Ondas complicadas y pulsaciones
Energía e ímpetu en las ondas
La polarización de las ondas transversales
Temas suplementarios
21.9 Efecto Doppler
470
470
472
473
475 .
477
478
479
480
485
485
CAPÍTULO 22
22.1 Naturaleza y velocidad del sonido
22.2 Ondas sonoras estacionarias
22.3 Intensidad de las ondas sonoras
22.4 Fuentes sonoras
22.5 Detectores de sonido
22.6 Respuesta auditiva
49 1
491
493
495
496
500
501
Temas suplementarios
22.7 Ultrasonidos
507
507
EL SONIDO
23.1
23.2
23.3
23.4
23.5
23.6
23.7
23.8
23.9
23.10
23.11
469
CAPÍTULO 21
DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO
ONDULATORIO
CAPÍTULO 23
PROPIEDADES ONDULATORIAS
DE LA LUZ
Índice de refracción
Principio de Huygens
Reflexión de la luz
Refracción de la luz
Reflexión interna total
Experimento de interferencia de
Young de doble rendija
Tnomas Young
Coherencia
Red de difracción
Difracción
Polarización de la luz
Difracción de rayos X y estructura de
moléculas biológicas
Temas suplementarios
23.12 Holografía
23.13 Efectos de interferencia en películas
delgadas
515
515
517
518
519
521
522
526
527
528
531
534
537
546
546
551
CAPÍTULO24
ESPEJOS, LENTES E INTRUMENTOS
ÓPTICOS
24.1
24.2
24.3
24.4
24.5
24.6
Es-l'ejos
Lentes
Formación de imágenes
Potencia de una lente; aberraciones
La lupa o lente de aumento
El microscopio óptico de campo brillante
24.7 El ojo humano
Temas suplementarios
24.8 La cámara fotográfica
24.9 Resolución y contraste en los microscopios
24.10 Microscopios de polarización, interferencia y contraste de fase
24.11 Defectos ópticos del ojo
24.12 Percepción y medida del color
555
555
556
559
562
563
564
566
573
573
575
576
578
582
UNIDAD 7
FÍSICA MODERNA
589
XX
Índice analítico
CAPÍTULO 25
RELATIVIDAD ESPECIAL
591
Los principios fundamentales de la relatividad especial
25.2 Relojes en movimiento y dilatación
temporal
25.3 Contracción de la longitud
25.4 Ímpetu y energía
Albert Einstein
593
594
595
596
Temas suplementarios
25.5 El problema de los sucesos simultáneos
25.6 Adición de velocidades
602
602
605
28.5
28.6
25.1
CAPÍTULO 26
PROPIEDADES CORPUSCULARES DE
LA LUZ: EL FOTÓN
592
Estructura atómica y la tabla periódica
Espectros atómicos de emisión y de absorción
Temas suplementarios
28.7 Máseres y láseres
CAPÍTULO 29
LA ESTRUCTURA DE LA MATERIA
Enlace iónico
Enlace covalente
Linus Pauling
29.3 Enlace metálico
29.4 Aisladores y semiconductores
29.5 Enlaces más débiles
29.1
29.2
648
651
654
654
658
658
659
661
664
666
667
672
672
608
608
610
613
613
Temas suplementarios
29.6 Resonancia magnética nuclear
29.7 El comportamiento de un dipolo en un
campo magnético
29.8 Medida de la frecuencia de precesión
29.9 El aparato de RMN
29.10 El corrimiento químico
29.11 El desdoblamiento spin-spin
CAPÍTULO 27
PROPIEDADES ONDULATORIAS DE
LA MATERIA
618
UNIDAD 9
EL NÚCLEO ATÓMICO
619
621
624
625
630
685
Fracasos de la física clásica
La hipótesis ondulatoria de De Broglie
El átomo de Bohr
Niels Bohr
27.4 El principio de incertidumbre
CAPÍTULO 30
FÍSICA NUCLEAR
687
26.1
26.2
26.3
26.4
El efecto fotoeléctrico
El fotón
Dualidad onda-corpúsculo
Los fotones y la visión
27.1
27.2
27.3
UNIDAD 8
ÁTOMOS Y MOLÉCULAS
639
CAPÍTULO 28
MECÁNICA CUÁNTICA Y ESTRUCTURA
ATÓMICA
641
Las líneas generales de la mecánica
cuántica
28.2 Números cuánticos del átomo de hidrógeno
28.3 Funciones de onda para el átomo de hidrógeno
28.4 Principio de exclusión de Pauli
28.1
642
642
645
647
30.1 Radiactividad
30.2 Semivida o período de semidesintegración
30.3 Datación en Arqueología y Geología
30.4 Tamaños nucleares
30.5 Protones y neutrones
30.6 Masas nucleares y energías de .enlace
30.7 Fuerzas nucleares
30.8 Niveles nucleares de energía y estabilidad nuclear
30.9 Desintegraciones radiactivas
Enrico Fermi
Temas suplementarios
30.10 Fisión nuclear
30.11 Reactores y explosivos de fisión
30.12 Fusión nuclear
30.13 Los quarks
30.14 Deducción de la fórmula exponencial
de desintegración
672
674
675
676
678
687
688
691
694
694
695
697
697
699
702
708
708
710
712
712
714
XXI
Índice analítico
CAPÍTULO 31
RADIACI ÓN IONIZANTE
31.1
31.2
31.3
31.4
31.S
31.6
La interacción de la radiación con la
materia
Unidades de radiación
Efectos perjudiciales de la radiación
Exposición crónica a la radiación
La radiación en Medicina
Otras aplicaciones de la radiación
Temas suplementarios
31.7 Detección y medida de la radiación
31.8
Deducción de la fórmula de la p~rdida
de la energía
718
718
721
723
725
727
730
737
737
Cifras significativas
Solución de ecuaciones algebraicas
Gráficas
Geometría plana y funciones trigonométricas
B.7 Desarrollos en serie
B.8 Derivadas
B.9 Áreas y volúmenes
B.1 O La función exponencial; logaritmos
B.3
B.4
B.S
B.6
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS
DE REPASO DEL APÉNDICE B
746
748
750
751
754
755
755
755
757
739
APÉNDICE C
EPÍLOGO
LA FÍSICA Y EL FUTURO
742
SISTEMAS DE UNIDADES
759
Tie~po, longitud y masa
Unidades de fuerza, peso
C.3 Otras unidades de la mecánica
C.4 Unidades eléctricas
c.s Resumen
759
760
760
760
761
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
Y PROBLEMAS IMPARES
762
ÍNDICE ALFABÉTICO
775
C.1
C.2
APÉNDICE A
TABLA PERIÓDICA DE
LOS ELEMENTOS
744
APÉNDICE B
REPASO MATEMÁTICO
B.1 Potencias y raíces
B.2 Notación científica
745
745
746
LAS LEYES GENERALES
DEL MOVIMIENTO
En esta unidad y en la siguiente tratamos de la mecánica: el estudio de los movimientos de los objetos y de
las fuerzas que afectan a dichos movimientos. Sus conceptos y principios aparecen, directa e indirectamente,
en muchas áreas de las ciencias físicas y biológicas. Las
leyes de la mecánica nos permiten hacer predicciones
sobre fenómenos tan diferentes como los movimientos
de los satélites, los movimientos de los animales y la
fuerza y estructura tanto de sistemas vivos como artificiales. Las leyes de la mecánica aplicadas a los movimientos de gran número de átomos y moléculas dan
una interpretación de los fenómenos del calor y la temperatura. Las propiedades de los fluidos -en reposo
y en movimiento- se entienden en función de las mismas leyes; mediante ellas podemos comprender el vuelo de aeroplanos y animales y el flujo de ríos y de la sangre.· Finalmente, con algunas modificaciones del siglo
XX, las mismas leyes mecánicas juegan un papel central en las actuales teorías de los fenómenos atómicos
y nucleares.
Los dos primeros capítulos de esta parte se dedican a los conceptos que necesitamos para una descripción cuantitativa del movimiento: posición, velocidad y
aceleración. En el capítulo ! los encontramos en_el estudio del movimiento rectilíneo; el capítulo 2 extiende
las mismas ideas a la descripción del movimiento en
más de una dimensión. Las leyes generales del movimiento formuladas por Newton y que relacionan los
movimientos de los objetos con sus causas, se discuten
en los capítulos que van del 3 al 5..
CAPÍTULO
l
MOVIMIENTO
RECTILÍNEO
El resultado más básico y obvio de las interacciones fisicas es el movimiento: los ladrillos cáen, los tímpanos
vibran, las agujas de las bníjulas se alinean con el campo magnético, las agujas de los aparatos de medida se
mueven sobre una escala graduada, los núcleos radiactivos emiten partículas beta. La mayor parte de nuestra comprensión de la naturaleza se deduce de la observación' de los movimientos .y del esfuerzo para relacionarlos con sus causas. Por lo tanto empezamos el estudio de la fisica de~arrollando las ideas que se necesitan para una discusión cuantítativa del movimiento,
iniciando este capítulo con el caso de un objeto que se
mueve en línea recta.
La fisica, así como muchas otras ciencias, se basa
sobre todo en medidas cuantitativas. Dichas medidas
se han de relacionar e interpretar de alguna manera; a
·menudo se comparan con predicciones teóricas. Si la
teoría coincide con los resultados experimentales decimos que comprendemos el fenómeno en cuestión. Una
discusión cuantitativa del movimiento requiere medidas de.tiempos y distancias, de modo que en primer lugar hemos de tratar de los patrones, las unidades y los
errores implicados en las medidas fisicas.
1.1
1
MEDIDAS, PATRONES,
UNIDADES Y ERRORES
Las medidas fisicas cuantitativas han de expresarse mediante comparación numérica con un sistema de patrones establecidos. Si decimos que una conferencia
duró 53 minutos, ello significa que duró el tiempo en
que el reloj de pared hacía este número de señales. En
este caso la magnitud medida tiene dimensiones de
tiempo, la unidad de medida es el minuto y el reloj
es el patr6n. Este es un patr6n secundario, puesto que
el minuto no se define según las propiedades de dicho
reloj. Todos los instrumentos de medida se calibran directa o indirectamente en función de patrones primarios de longitud, tiempo y masa establecidos por la comunidad científica internacional.
La definición de dichos patrones primarios va cambiando de vez en cuando al aumentar la precisión de
las medidas. Por ejemplo, la unidad de longitud -el
metro- se definió en 1889 como la longitud de una determinada barra de platino iridiado mantenida en unas
condiciones fijas. Este patrón se descartó en 1960 debido a que la reproducción y conservación eran dificiles y sujetas a imprecisiones. La longitud patrón se basa
ahora en la longitud de onda de la radiación rojo-anaranjada emitida por los átomos de kriptón 86 en un
tubo de descarga eléctrica. También se han definido patrones para las unidades de tiempo y masa.
No es casual que se hayan establecido patrones para
la longitud, el tiempo y la masa. Todas las magnitudes mecánicas pueden expresarse por medio de alguna combinación de estas tres magnitudes fundamentales, que representaremos por L, Ty M, respectivamente. Por ejemplo, una velocidad es una distancia dividida por un tiempo y, por lo tanto, sus dimensiones son
LIT.
3
4
Figura 1 .1
En las instalaciones Clinton P. Anderson de Física de mesones de Los Alamos, una máquina de media milla de longitud situada en las montañas del norte de Nuevo Méjico, acelera un gran número de protones (núcleos de hidrógeno) a altas velocidades. Cuando estos protones chocan contra un blanco producen partículas de vida corta llamadas mesones, que se emplean en la investigación fisica y en la
terapia del cáncer. Las medidas realizadas en esta «factoría de mesones» utilizan dispositivos electrónicos
sofisticados, pero a pesar de ello están calibrados indirectamente en función de las unidades básicas de longitud, tiempo y masa. (Por cortesía de Los Alamos Scientific Laboratory.)
Movimiento rectilíneo
5
Movimiento rectilíneo
Sistemas de unidades
I
Las unidades métricas han sido utilizadas durante largo tiempo en todos
los asuntos cotidianos en todos los países excepto los
de lengua inglesa, donde se utilizan por norma las unidades británicas. Los países de la Commonwealth adoptaron recientemente el sistema métrico, y los Estados
Unidos han empezado lentamente este complicado
proceso. En el trabajo científico se emplean en todo el
mundo unidades métricas. Por ello, en este texto utilizaremos principalmente el sistema métrico de unidades
universalmente aceptado llamado Sistema Intemacio.na/ (SI). Sus unidades básicas para la longitud, la masa y
el tiempo son, respectivamente, el metro, el kilogramo y
el segundo. En los textos antiguos, una primera versión
de este sistema se denominaba m k s. También en estos
textos se utilizaban las unidades c g s: el centímetro es
TABLA 1.1
Longitudes representativas en metros.
10-u
Núcleo atómico
10-11
Diámetro del átomo de sodio
1,5 X 10-IO
Enlace C-C
2 X I0-9
Diámetro del DNA
4 X I0-9
Grosor de un microfilamento
7 X I0- 9
Hemoglobina
w-•
Membrana celular
2 X IO-I
Diámetro de un virus pequeño
2 X I0-7
Diámetro de una bacteria pequeña
4- 7 X I0-7
Longitud de onda de la luz visible
0,5 - ! X !O-'
Diámetro de una mitocondria
10-6
Diámetro de una bacteria grande
Diámetro de las células hepáticas de un ma2 X IO-'
mífero
7
X IO-'
Huevo de un erizo de mar
2 X 10-•
Diámetro de una ameba gigante
w-3
Crustáceo pequeño
4 X IO-l
Diámetro de un huevo de avestruz
w-1
Rata
1 - 2 X 10º
Hombre
3 X 101
Ballena azul
J0l
Puente de Brooklyn
1,3 X 107
Diámetro de la Tierra
J,2 X 109
Diámetro del Sol
1,3 x IOll
Distancia Tierra-Sol
1022
Diámetro de nuestra galaxia
Distancia a las galaxias más lejanas obser1021
vadas por ahora
0,01 metros y 1 gramo es 0,001 kilogramos. El centíme- .
troy el gramo se consideran submúltiplos aceptables de
las unidades SI básicas, pero la mayoría de las restantes
unidades c g s son en la actualidad obsoletas. En este libro, mencionaremos de paso algunas unidades de este
sistema que con frecuencia aparecen en la literatura. En
los primeros capítulos, sin embargo, utilizaremos mqderadamente algunas unidades británicas de longitud
(pie, yarda, milla) y de fuerza (libra), todavía empleadas en los Estados Unidos y que pueden resultar ocasionalmente de algún interés para el lector. Algunas
unidades que no pertenecen al SI pero que están considerablemente extendidas se definen en el Apéndice C.
En la tabla 1.1 y 1.2 se recogen longitudes y tiempos representativos de diversas magnitudes de interés.
Los números aparecen como potencias de 10, es decir,
en «notación científica», la cual se repasa en el Apénd ice B. l. Obsérvese que muchas de las magnitudes de
estas tablas parecen muy grandes o muy pequeñas. Por
ello, utilizaremos a menudo múltiplos o submúltiplos
de las unidades SI, construidos con la ayuda de los prefijos que aparecen tabulados en la contracubierta ante-
TABLA 1.2
Tiempos representativos en segundos
J0- 23 _ w-,o
Fenómenos nucleares
Fenómenos atómicos: absorción de luz, exw-u - 10-9
citación electrónica
10-9 - 10··6
Fenómenos químicos
Cadenas de reacciones
10-• - 102
bioquímicas
Contracción rápida de un músculo estriado
10-1
(parpadeo)
5 X 102
División celular más rápida
Tiempo de generación de una
bacteria típica
3 x !03
Tiempo de generación de un
protozoo típico
Tiempo de generación de un mamífero pequeño
4 X 107
Vida media de un mamífero
4 x 1o• -4 x 1o•
grande
Vida media de un lago
1010 - 1012
Era de los mamíferos
J X 10"
1016
Era de los vertebrados
> 1017
Edad de la vida
2 X 1017
Edad de la Tierra
6
Movimiento rectilíneo
rior del libro, para facilitar su consulta. Por ejemplo, la
distancia entre dos ciudades se mide habitualmente en
kilómetros, donde l km = 103 m. En cambio, resulta
más conveniente expresar las dimensiones de este libro
. en centímetros que en metros, mientras que.el grosor de
una página es del orden de 0,1 milímetro o 100 micro3
metros (o micras). (1 milímetro= 10- m; 1 microme6
tro = 10- m .)
Conversión de unidades I Aunque por lo general utilizamos unidades SI, en ocasiones necesitamos pasar resultados de un sistema de unidades a otro.
Es fácil hacerlo correctamente, incluso en casos complicados, mediante una pequefia argucia que consiste
en «multiplicar por uno».
Para ver cómo se hace, supongamos que hemos de
convertir 100 pies en su equivalente en metros (m). Según la lista de factores de conversión de· la contracubierta anterior
l pie = 0,3048 m
Dividimos ahora ambos miembros por 1 pie, tal como
si la unidad fuera una cantidad algebraica
I pie
1 pie=
0,3048 m
1 pie
l
=
l pie
0,3048 m
Sin embargo, si multiplicamos 100 pie por este factor,
las unidades no se simplifican de la manera adecuada.
A veces es necesario convertir las unidades de una
magnitud que se mide en relación con dos o más dimensiones básicas. Por ejemplo, un volumen podría medirse en pies cúbicos o pie 3 , y una velocidad en millas por
1
hora o mi h- • (Obsérvese que utilizamos exponentes
negativos con las unidades, como lo haríamos con cantidades algebraicas, así 1 h-, = 1/h.). Este procedimiento se muestra en los ejemplos siguientes.
Ejemplo 1.1
Una pequeña piscina tiene 20 pies de largo, 10 pies de
ancho y 5 pies de profundidad. Su volumen es el producto de estas longitudes, es decir: (20 pie)(lO pie)(5 pie)=
1000 pie3 • ¿Cuál es su volumen en metros cúbicos (m3)?
Aquí hemos de convertir pies en metros tres veces, tal
como corresponde a cambiar las unidades de la longitud,
la anchura y la profundidad. Utilizando 1 pie= 0,3048 m
o 1 = 0,3048 m pie-i
. J(l)l = 1000 pie
. 3 (0,3048 m)3
1000 pie
(1 pie)3
= 1000(0,3048)3 m3 = 28,3 m3
Ejemplo 1.2
En la izquierda, los pies se simplifican y tenemos por
lo tanto
l
= 0,3048 m
l pie
Pasar una velocidad de 60 mi h- 1 (millas por hora) a
pies por segundo (pie s-1).
Para llevar a cabo este cambio necesitamos un factor
unidad para pasar de horas a segundos y otro para pasar
de millas a pies. Como 1 h = 60 min = 3600 s, dividiendo
por 3600 s obtenemos
Si multiplicamos 100 pies por l no cambia nada, y hallamos
1
lh
= 3600s
Asimismo, 1 mi = 5280 pie, por lo cual
100 pie
= (100 pie)(l)
= (IOO pie) (0,304~ m)
l pie
= 30,48 m
Adviértase que las unidades pie en el numerador y denominador se simplifican, quedando la unidad deseada
m. Este método de multiplicar por 1 elimina cualquier
duda de si hemos de multiplicar o dividir por el factor
de conversión. Por ejemplo, podemos dividir I pie =
0,3048 m por 0,3048 m, obteniendo
l = 5280 pie mr'
Multiplicando 60 mi h-1 por 1 dos veces se obtiene
(60 mi h- 1)( 1)(1)
=(60 mi h-
1
) (
¿~ s) (5280 pie mr
3
1
)
. s-'-88
. s-1
-- 60(5280) pie
pie
3600
I Tanto las medidas como las
predicciones están sujetas a errores. Los errores de medida son de dos tipos, casuales y sistemáticos. El signiTipos de errores
Movimiento rectilíneo
7
dulo no se aleja mucho de su posición de equilibrio.
ficado de estos términos se comprende mejor con la
En todo trabajo científico riguroso, la precisión nuayuda de un ejemplo: el tiempo T que emplea un peso
mérica ha de establecerse cuidadosamente. Sin embar- ·
sujeto a un muelle para hacer una oscilación hacia atrás
go, los libros de texto evitan en general las dificulta- .
y hacia delante al soltarlo desde un punto determinado.
des de un análisis de errores completo utilizando en su
Si alguien utiliza un cronómetro para medir Ty relugar las reglas para las cifras significativas. Esto quiepite el experimento varias veces, cada resultado diferirá ligeramente de los anteriores. En general, la mayo-· re decir que en la frase «la longitud de una barra es
ria de estas medidas estará próxima al valor medio de
2,43 m », el último dígito (3) es algo impreciso; la lontodas las medidas. La variación de los resultados alre- gitud exacta puede estar más próxima a 2,42 o a 2,44
dedor de esta media se debe a que el observador no puem. En los ejemplos, ejercicios y problemas de este texde poner en marcha y parar el reloj cada vez de la misto todos los números han de tratarse como si se conoma manera. El error introducido por esta incapacidad ciera hasta la tercera cifra significativa. Por ejemplo,
2,5 y 3 deben interpretarse en los cálculos como 2,50 y
es casual y puede reducirse tomando la media de mu3,00, respectivamente. Las cifras significativas se repachas medidas.
san en el Apéndice B.3. ·
Aunque se hagan muchas medidas, el valor medio
de T será menor de lo que debiera si el reloj retrasa.
Este error sistemático puede reducirse utilizando un re1 .2 1 DESPLAZAMIENTO;
loj mejor o coinparando el reloj utilizado con otro más
VELOCIDAD ME-DIA
Un error sistemático también puede deberse al
tiempo de reacción del observador. Este puede poner El estudio del movimiento se basa en medidas y cálen marcha o puede parar el reloj sistemáticamente con culos de posiciones, desplazamientos, velocidades y aceanticipación o con retraso. Este error puede reducirse leraciones. En esta sección y las dos siguientes utilizahaciendo un experimento más complejo. Por ejemplo, mos ejemplos sencillos para definir e ilustrar estos conceptos del movimiento rectilíneo; enel próximo capítuel instrumento de medida puede ponerse en marcha o
pararse mediante un rayo de luz y una célula fotoeléc- lo lo extenderemos a trayectorias curvas. Considetrica semejantes a los utilizados en las puertas automá- ramos sólo movimiento de traslación, que es aquel moticas. Naturalmente, este aparato también tendrá erro- .vimiento en que cada parte del objeto se mueve en la
misma dirección, de modo que no hay rotación. La rores casuales y sistemáticos, pero serán menores que en
tación será estudiada en el Capítulo 5.
el caso anterior.
La velocidad media se define en términos del desTanto los errores sistemáticos como los casuales se
presentan en todos los experimentos. Para reducir es- plazamiento, o variación de la posición de un objeto,
tos errores se necesita en general aparatos más elabora- que tiene lugar en un intervalo especificado de tiempo.
dos y procedimientos más largos. Las medidas de alta Para ilustrar qué significa esto, supongamos que un auprecisión y las de efectos pequeños exigen que se preste tomóvil avanza hacia el Norte por una autopista recta
una gran atención a la identificación y reducción de es- con mojones indicadores a cada 100 m, y que se obtos errores.
serva que cada 5 s pasa al lado de uno de dichos indiLas predicciones teóricas tienen generalmente erro- cadores, como en la Fig. 1.2a. Durante cualquiera de
res que se deben a varios motivos. Una fórmula teóri- estos intervalos de 5 s, el desplll;zamiento es de 100 m;
ca contiene a mentido magnitudes medidas, tales como en un intervalo de 10 s, es de 200 m, y así sucesivamenla masa de un electrón o la velocidad de la luz, que tie- te. Los desplazamientos tienen una dirección, además
nen algunos errores asociados con sus medidas. Por de un valor numérico o módulo: se dirigen en la direcejemplo, obtendremos más adelante una fórmula para ción de la autopista, hacia el norte. Resulta sencillo esel periodo' de un péndulo, el tiempo T de nuestra dis- pecificar la dirección para un movimiento rectilíneo,
cusión anterior. Las predicciones teóricas de esta fórpero es algo más complicado en trayectorias curvas.
mula dependen de la precisión de nuestro conocimienLa velocidad media del coche durante un intervalo
to presente de la aceleración debida a la gravedad. Ade- de tiempo determinado es el desplazamiento o distancia
más, al igual que la mayoría de las fórmulas teóricas, esta
recorrida dividido por el tiempo transcurrido.
fórmula depende de la validez de varias aproximaciovelocidad = . desplazamient~
nes. Entre éstas se cuentan la ausencia de rozamiento
tiempo transcurrido
y de la resistencia del aire y la hipótesis de que el pén-
8
Movimiento rectilíneo
N
G) é
1 "
'Q ~
tO,, §
íG" ~
X
600 metros
600
500 metros
500
400 metros
400
25
.,
.,
/
..
-;;-
e
o
300 metros
ü
..§, 300
200 metros
200
100 metros
100
/
/
.,
~
3u
j
0º
~
~
~
1
d
1
o
C)
o metros
1
/
/
5
1O
(a)
IS
20
(segundos)
25
30
(b)
Figura 1.2 (a) Posición de un coche observada a intervalos de 5 segundos. La lectura del velocímetro es constante. (b) Gráfica de la posición x en función del tiempo t.
La velocidad media es proporcional al desplazamiento y tiene la misma dirección. Esta definición se
aclara con el siguiente ejemplo. .
Ejemplo 1.3
¿Cuál es la velocidad media del coche de la Fig. 1.2a
durante el intervalo en que la manecilla del reloj pasa de
10 a 25 s?
En la figura vemos que el coche recorre 500 m - 200
m = 300 m durante el período de 15 s, por lo cual
Velocidad media
= 3~~ ~ =20 m s-1
Su dirección apunta hacia el norte.
Como el coche de este ejemplo recorre distancias
iguales en tiempos iguales, la velocidad media será la
misma sea cual sea el intervalo de tiempo escogido. En
este caso se dice que el movimiento es uniforme, y el
conductor verá q\le la indicación del velocímetro permanece constante. El movimiento que no es uniforme
se dice que es acelerado. En estos casos, la velocidad
media depende del intervalo de tiempo considerado. La
indicación del velocímetro de un coche que acelera
cambiará con el tiempo.
A menudo es conveniente utilizar gráficas o fórmulas algebraicas para describir la posición y la velocidad de un objeto en movimiento. Para el coche del
9
Movimiento rectilíneo
ejemplo anterior, podemos designar la recta sobre la
que se mueve como «eje x» y escoger su posición de tal
modo que x sea cero en el mojón que indica O metros.
Asimismo podemos utilizar el símbolo t para representar los tiempos de observación. Si arbitrariamente tomamos t = Ocuando se hace la primera observación, entonces x vale cero cuando t =O.Además, x es 100 m
cuando t = 5 s, x es 200 m cuando t = 10 s, y así sucesivamente. La Figura 1.2b muestra estas observaciones
en una gráfica que tiene el tiempo t como coordenada
horizontal y la posición x como coordenada vertical. Se
ha dibujado una línea recta que une los puntos correspondientes a las observaciones, puesto que es de suponer que el coche se mueve de la misma manera entre dos
observaciones cualesquiera.
La velocidad media puede definirse ahora de una
manera más simbólica mediante esta notación. Supongamos que en un instante al que llamamos t 1 se observa que el coche está en la posición x 1 y que en un tiempo posterior t2 se encuentra en x 2• La diferencia en las
posiciones
se llama desplazamiento. (El símbolo ~ es la legra griega
«delta»; ~ se lee «delta x». ~ representa en general una
'diferencia o cambio de la magnitud que le sigue). El
tiempo transcurrido entre las observaciones es la diferencia
~t
= t2 -
t¡
v
En esta notación, la velocidad media es el desplazamiento dividido por el tiempo transcurrido:
u-
6.x -
- ó.t -
X2 -
t2
-
(1.1)
X1
t1
Obsérvese que esta definición de velocidad media es válida tanto si v es constante con el tiempo como si no
lo es.
Repetiremos ahora el ejemplo anterior para mostrar cómo se utiliza esta notación.
Ejemplo 1.4
Utilizando la Ec. 1.1 , hállese de nuevo la velocidad
media del coche de la Fig. 1.2 durante el período de t =
10 s hasta t = 25 s.
Aquí t 1 es 10 s y t 2 es 25 s; según la gráfica, x 1 = 200
m y x 2 = 500 m. Así,
= 500 m -
200 m
25 s - 10 s
= 300 m = 20 m 5_ 1
15 s
Al desc_ribir el movimiento de un objeto en relación
a su posición en algún eje de coordenadas (aquí, la autopista con sus mojones indicadores es nuestro eje x)
se distingue automáticamente entre desplazamientos
positivos y negativos. Por ejemplo, supongamos que el
coche de la Fig. 1.2a se mueve hacia abajo en el dibujo e~ vez de moverse hacia arriba. En este caso x disminuye al aumentar t y la Ec. 1.1 da un valor negativo
de la velocidad media. Ello significa que el objeto se
está moviendo en la dirección opuesta (desde valores
mayores a valores menores de x). El ejemplo siguiente
aclara este caso.
Ejemplo 1.5
Cuando t 1 = 5 sel coche está en x 1 = 600 m y cuando
t = 15 s se halla en x = 500 m. Hallar su velocidad media.
Utilizando la Ec. 1.1
ü
= x2 -
x1
t2 - t1
=
- 100 m
10 s
= 500 m -
600 m
15s-5s
= - 10 m s-1
Obsérvese que v es negativa y que el coche se mueve
en la dirección - x a pesar de que su posición x sea positiva.
Cuando un objeto describe un movimiento uniforme, su gráfica x-t es una línea recta, como en el ejemplo de la Fig. 1.2. Si el movimiento es acelerado, la gráfica no es una línea recta y la velocidad media depende del intervalo particular de tiempo que se considere.
Por ejemplo, en la Fig. 1.3 un coche que parte del reposo recorre una distancia corta durante el primer segundo y una distancia mayor en el siguiente segundo
al aumentar su velocidad. En este caso, la velocidad
media será menor en el primer segundo que en los segundos posteriores. Ello se ilustra con el siguiente
ejemplo.
·
Ejemplo 1.6
Un coche se mueve como se muestra en la Fig. 1.3. Hallar su velocidad media de t = Oa t = 1 s y de t = l a t =
2 s.
Para calcular las velocidades medias necesitamos las
posiciones en t = O, 1 y 2 s. Según la Fig. 1.3 dichas posiciones son O, 1 y 4 m, respectivamente. De Oa 1 s, la velocidad media es
ü _ llx _ l m - O m
- !1t - l s - Os
= 1 m s-1
10
Movimiento rectilíneo
to es acelerado, es frecuentemente más útil caracterizar el movimiento por la velocidad instantánea -la velocidad en un determinado instante-. Por ejemplo,
cuando decimos que un coche que se acelera se mueve
a 1O m s-t, nos estamos refiriendo a su velocidad instantánea en el momento presente.
La velocidad instantánea se determina calculando la
velocidad media de un intervalo de tiempo extremadamente pequéño. En el siguiente ejemplo se muestra un
procedimiento para hallarla.
De t = 1 a 2 s.
ü
= t:u = 4 m -
1m
2 s - 1s
t.t
= 3 m s-i
Tal como hemos dicho, la velocidad media es mayor en
el último intervalo de tiempo, ya que el coche está acelerando.
1.3 I VELOCIDAD INSTANTANEA
En la mayoría de situaciones de interés el movimiento
e~ acelerado en vez de uniforme. Como la velocidad
media depende del intervalo de tiempo si el movimien-
Ejemplo 1.7
El movimiento del coche que se muestra en la Fig.
1.3 corresponde a la fórmula algebraica x = bt2, donde b
X
81
80
J
•
I
64
j
60
Tiempo
en
segundos
o
•
49
•
36
•
25
/
J
I
I
20
3
1
1
1
1
C)
C)
o
1
1
1
(a)
•
16
•
9
•
4
a
1
o
/
o
o
V
____.
I
/
J
/
2
34
5
6
7
8
9
(segundos)
(b)
Figura 1.3 (a) Posiciones de un coche en aceleración representadas a intuvalos de 1 segundo por círculos negros. (b) Gráfica posición-tiempo del coche.
11
Movimiento rectilfneo
= 1 m s-2• Hallar su velocidad media desde 3 a 3,1 s, desde 3 a 3,01 s y desde 3 a 3,001 s. (Estos intervalos de tiempo son cada vez menores y las correspondientes velocidades medias se aproximan cada vez más a la velocidad instantánea en t = 3 s.)
Cuando t = 3 s, la posición x = bt2 = (1 m s-2) (3
s)2 = 9 m; cuando t = 3,1 s, x = (1 m s-2) (3,1 s)2 = 9,61
m. Así, la velocidad media de 3 a 3,1 ses
ü = .h = 9,61 m - 9 m = 6,1 m 5 -1
~/
3, 1 s - 3 s
En t = 3,01 s, la posición es x = (1 m s-2)(3,01 s)2 = 9,0601
m, por lo cualv desde 3 a 3,01 ses
ü
= ~0601 m -
9m
3.0ls - 3 s
= 6 01 m s-1
'
Obsérvese que para los fines de este ejemplo hemos
mantenido más cifras significativas que las habituales. Finalmente, cuando t = 3,001 s, x = (1 m s-2) (3,001 s)2 =
9,006001 m, de modo que la ~elocidad media desde 3 a
3,001 ses
ü = _2,006001 m - 9 m = 6 001 m 5-1
3,001s-3s
'
A medida que el intervalo de tiempo ilt se va reduciendo, la velocidad media se va aproximando monótonamente a 6 m s- 1 • Por lo tanto, la velocidad instantánea
vent=3ses6ms-1•
El ejemplo precedente nos muestra cómo obtener
la velocidad instantánea de un objeto. La velocidad
media se calcula para intervalos de tiempo cada vez
más cortos y el valor obtenido parav cuando el intervalo se hace arbitrariamente pequeño es la velocidad
instantánea v. Matemáticamente, se dice que la velocidad instantánea v es el limite de la velocidad media v
cuando !J.t tiende a cero. El procedimiento para calcular este límite se llama diferenciación: v se llama derivada de x con respecto a t, y se escribe
dx
dt
V= -
(l.2)
La magnitud dx/dt puede interpretarse como el cociente tu/!J.t calculado cuando tanto tu como !J.t son
muy pequeños. Existen expresiones generales que a menudo hacen posible hallar la fórmula para v = dxldt
en cualquier instante si se conoce'la relación algebraica entre x y t. Ello elimina la necesidad de recurrir al .
laborioso proceso empleado en el ejemplo para hallar
la velocidad en un instante determinado. En el Apéndice B.8 se dan varias de estas fórmulas de diferenciación.
En este libro utilizamos la diferenciación para definir magnitudes como la velocidad instantánea y en
demostraciones ocasionales. Dichas demostraciones se
hallan al final de algunos de los capítulos y pueden hojearse u omitirse sin pérdida de continuidad. Como
ninguno de los ejemplos, ejercicios ni problemas implican la utilización de la diferenciación, los estudiantes que no hayan estudiado cálculo diferencial no deben encontrar dificultades especiales. Por ejemplo, aun
cuando hacemos uso frecuente de la velocidad instantánea, damos procedimientos para calcularla sin tener
que derivar.
Al igual que la velocidad media, la velocidad instantánea puede ser positiva o negativa; los valores negativos corresponden al movimiento hacia valores decrecientes de x. La celeridad es el módulo de la velocidad instantánea, por lo cual es siempre positiva o nula.
A partir de ahora, cuando nos refiramos a la velocidad o a cualquier otro tipo de cambio con el tiempo, aludiremos a su valor instantáneo, a no ser que se
utilice explícitamente la palabra «media». Obsérvese
que la distinción entre ambos tipos de velocidades desaparece en el caso especial de movimiento uniforme.
X
Figura 1 .4 Gráfica x-t de un objeto sometido a movimiento
uniforme. La pendiente de la recta se define por 6x/t:.t, que es la velocidad.
Interpretación gráfica de la velocidad I Una gráfica posición-tiempo nos da información directa sobre la velocidad. Tal como hemos visto, el caso en que la gráfica es una línea recta corresponde a una velocidad constante o movimiento uniforme, mientras que una curva corresponde a una velocidad variable. Además, la velocidad es igual a la
magnitud denominada pendiente de la curva x-t. En la
línea recta de la Fig. 1,4, la pendiente de la línea se de-
12
Movimiento rectilíneo
fine como tu/!1t. que es precisamente la velocidad. En
la curva de la Fig. 1.5, la pendiente en el punto P es
por definición la de la recta tangente a la curva en el
punto P. La velocidad en P es igual a la pendiente, ya
que la curva y la línea tangente aumentan lo mismo
con el tiempo en ese punto del movimiento.
p~
X
a
leración media para un intervalo de tiempo extre
madamente corto. Simbólicamente.
dv
dt
En una gráfica que muestre la velocidad de un objeto
en función del tiempo, a es la pendiente de la curva v-t.
Ello se ilustra con el ejemplo siguiente.
Ejemplo 1.9
~~,
La Figura 1.6 muestra la gráfica velocidad-tiempo
para un automóvil. Describir cualitativamente su aceleración.
Desde A hastaB, la velocidad va aumentando, la pendiente es positiva y el automóvil se acelera. Sin embargo,
la pendiente se hace progresivamente menor y por lo tanto la aceleración va disminuyendo. DesdeB hasta C, la velocidad es constante y la pendiente y la aceleración son nulas. Desde C hasta D , la velocidad va disminuyendo, de
modo que la aceleración es negativa. Esta dece/eraci6n
crece en magnitud a medida que el automóvil va frenando.
La pendiente de la curva x-t en P es igual a la pendiente t:u/t!.t de la recta tangente a la curva en P. La velocidad en
P es igual a la pendiente de la curva en ese punto.
!Figura 1. 5
1.4
1
(1.4)
a=-
ACELERACIÓN
Al igual que la posición, la velocidad puede cambiar
con el tiempo. La tasa de variación de la velocidad es
la aceleración. De nuevo discutimos tanto la aceleración media como la instantánea.
La aceleración media desde un instante t 1 a otro
instante t2 , si la velocidad cambia .1v = v2 - v¡, se define como
a
_
ª=
Pendientes nulas
IJ
cambio en la velocidad D.v
Vz - V1 (1. )
3
tiempo transcurrido = -¡;¡ = t2 - t 1
· Si medimos la velocidad en metros por segundo y el
tiempo en segundos, atendrá unidades de metros por se2
gundo por segundo (generalmente abreviado por m sque se lee «metros por segundo al cuadrado»). Una
aceleración media de 1 m s-z corresponde a un cambio
medi9 de la velocidad de 1 m s- i cada segundo. Ilustraremos esta definición con un ejemplo.
Ejemplo 1.8
Un coche se acelera desde el reposo hasta 30 m s-1 en
10 s. ¿Cuál es su aceleración media?
Según la definición,
a = t!.v
1::it
= 30 m s- 1 10 s
O = 3 m s- 2
Ello corresponde a un incremento en la velocidad de 3 m
s-i cada segundo durante los diez segundos del intervalo.
La aceleración instantánea a se define como la ace-
e
D
A
Figura 1 . 6
Gráfica velocidad-tiempo de un automóvil. La pendiente y la aceleración son positivas desde A. hasta B, nulas entre B
y C y negativas desde C hasta D.
1.5
1
CALCULO DEL MOVIMIENTO
DE UN OBJETO
Hasta ahora hemos calculado velocidades a partir de
cambios de posición y aceleraciones a partir de cambios de velocidad. Sin embargo, es frecuente que sea
la aceleración lo que se mide o se predice teóricamente, y que se desee conocer los correspondientes cambios de velocidad y de posición. Por ejemplo, cuando
un animal salta verticalmente desde la superficie terrestre está sometido a una aceleración constante debída
13
Movimiento rectilíneo
ÁX
a
r-
Anchura
---j
T
T
"'... ·--o"'
:,
<- E...
f--1:!.t--j
f--1:!.t----j
(a)
f--1:!.t--j
(/,)
Figura 1 .7
Movimiento con aceleración constante. (a) La aceleración a es constante en el intervalo de
tiempo /:;.t. (b) Gráfica de v =vo +al:;.t. La velocidad media es ii= (vo +v)/2. ( e) Gráfica desplazamiento-tiempo.
a la gravedad, que determina el movimiento del animal mientras está en el aire. En esta sección veremos
cómo encontrar el movimiento de un objeto dada su
aceleración, su posición y velocidad inicial.
Consideremos un objeto que se mueve inicialmente con velocidad v0 • Si dicho objeto experimenta una
aceleración constante a durante un tiempo l:!.t, entonces, según la definición de aceleración, a = l:!.vll:!.t o sea
l:!.v = a Át. Por consiguiente, la velocidad habrá variado en Áv hasta el valor
v
= v0 + a 11t
(1.6)
El desplazamiento o variación de la posición que
tiene lugar durante el intervalo Át se relaciona con la
velocidad media por la definiciónv = l:!.x/l:!.t. Así pues
Áx = v Át o bien
= -}(v0 + v) Át
Áx
(1 .7)
= v0 + a 11t en
= v 01:!.t + ½a (l:!.t}2
(1.8)
Análogamente, podemos reescribir la Ec. 1.5 como
vo)Ia y sustituir esta expresión de 11t en la
Ec. 1.7, lo que da
Át
= (v -
1
Ax= - (u
2
(1.5) - o sea
Este resultado tiene una interpretación interesante
y útil en términos de la gráfica aceleración-tiempo (Fig.
1.7a). El producto de la altura a por la anchura l:!.t del
rectángulo sombreado da el área a Át de éste, la cual es
igual al cambio de velocidad. Así pues, la variación de
velocidad es igual al área bajo la curva a-t durante el intervalo temporal escogido. D icha área se considera positiva si se halla por encima del eje del tiempo y negativa si se halla por debajo. Dicho resultado es general
y no está restringido a situaciones de aceleración constante.
Si se dibuja una gráfica de la velocidad en función
del tiempo, como la dada por la Ec. 1.5, obtenemos una
recta (Fig. 1.7 b). La velocidad media durante el intervalo de tiempo Át es v = vo + l:!.v/2 = vo + (v - vo)/2, o sea
Áx
Alternativamente, si sustituimos v
esta ecuación hallamos
°
+ u)
v2
(u -
V0 )
a
= vl + 2a .:'i.x
v2 - vl
2a
(1.9)
Nuevamente, nuestros resultados algebraicos tienen una correspondencia gráfica directa. El área sombreada bajo la curva v-t de la Fig. 1-7b tiene una altura media v y una anchura 11t, por lo cual su área es el
producto v 11t, que es igual a t:i.xdado por la Ec. 1.7. (Alternativamente, la suma de las áreas triangular y rectangular se reduce a la Ec. 1.8. Véase el problema 1-70.)
Así pues, el desplazamiento es igual al área bajo la curva
v-t durante el intervalo temporal 11t. Esto sigue siendo
cierto cuando la aceleración no es constante. Tal como
en el caso anterior, las áreas por encima del eje temporal se consideran positivas, y las áreas por debajo son
negativas
La Ec. 1.5 para la velocidad y la 1.8 para el desplazamiento describen completamente el movimiento de
un objeto cor¡ una velocidad y una posición iniciales
dadas y con-una aceleración constante. Las Ecs. 1.6, 1.7
y 1.9 contienen una información equivalente, y resultan
útiles en muchas ocasiones para resolver problemas.
Por ejemplo, la Ec. 1.9 es útil cuando se conocen las velocidades inicial y final, así como la aceleración, pero
no el tiempo transcurrido.
14
Movimiento rectilfneo
TABLA 1.3
Movimiento con aceleración constante
u= u0 + a 6.t
6.x = u0 6.t + ½a (6.t)2
v = ½(u0 + u)
{:;.x = ½(u0 + u) M
u2 = ul + 2a 6.x
( 1.5)
( 1.8)
( 1.6)
( 1.7)
( 1.9)
Las fórmulas para el caso de aceleración constante se
recogen en la Tabla 1.3 y para mayor comodidad de referencia en la contracubierta anterior. Su utilización se
muestra en los ejemplos siguientes y en los de la próxima sección.
Ejemplo 1.10
Un coche inicialmente en reposo en un semáforo se
acelera a 2 m s- 2 cuando se enciende la luz verde. ¿Cuánto valen su vélocidad y su posición 4 s después?
Como se conocen la aceleración a, el tiempo transcurrido tl.t y la velocidad inicial vo = O, se pueden utilizar las
Ecs. 1.5 y 1.8 para hallarla velocidad ye! desplazamiento.
Así pues,
t1
=
t10
+ a tl.t =O+ (2 m s-2) (4 s) = 8 m s-1
6..x=vo++ a (fl.t)2 =o ++ (2ms-2 )(4 s)2= 16m
Después de 4 s, el coche ha alcanzado una velocidad
de 8 m s- 1 y se halla a 16 m del semáforo.
Obsérvese que también hubiéramos podido hallar
d.x a partir de la Ec. l.7, mediante nuestro resultado
para v. Los problemas de aceleración constante en particular y los problemas de fisica en general pueden resolverse a menudo de más de una manera.
Ejemplo 1.11
Un coche adquiere una velocidad de 20 m s- i con una
aceleración de 2 m s-2. ¿Qué espacio recorre durante la
aceleración.si (a) inicialmente está en reposo; (b) inicialmente corre a 10 m s-1?
(a) En este caso conocemos las velocidades inicial y final, así como .la aceleración.
La Ec. 1.9. contiene
estos da-1
.
2
tos más el desplazamiento 6..x. Con a = 2 m s- , v = 20 m sy vo = O, se halla
·
6.x
=
(u2
-
éste en la Ec. 1.8. (El lector deberla desarrollar esta solución como ejercicio.)
(b) Siguiendo el procedimiento anterior, pero con v0
= lOms-1,
u
2)
2a o
=
(20 m s- 1)2
2(2 m s-2)
= 100 m
También podríamos haber resuelto este problema utilizando t1 = v0 + afl.t para hallar fl.t, introduciendo luego
La distancia necesaria para alcanzar la velocidad deseada es más corta que en la parte (a) por que el coche está
inicialmente en movimiento.
Ejemplo 1.12
Un coche se acelera desde el reposo con una aceleración constante de 2 m s-2 hacia una autopista donde el trá1
fico avanza a una velocidad uniforme de 24 m s- • (a)
¿Cuánto tiempo necesitará el coche para alcanzar una velocidad de 24 m s-1? (b) ¿Qué distancia recorrerá en este
tiempo? (c) El conductor no quiere que el coche de detrás
se le acerque a menos de 20 m, ni forzarlo a detenerse.
¿Qué separación entre vehículos de la autopista tendrá que
esperar?·
(a) El tiempo necesario _p ara que el coche alcance la
velocidad v = 24 m s-i partiendo del reposo satisface ,, =
vo + atl.t, o sea
6.t
=(v -
v0 )/a
=(24 m s- 1)/ (2 m s- 2) = 12 s
(b) Según la ecuación 1.8, la distancia recorrida por
el coche en 12 ses
6..x = v06.t +
+a (fl.t)2 =
=O++ (2 di s- 2) (12 s)2 = 144 m
(c) Como el coche de detrás se está moviendo a una
velocidad constante, su aceleración a es nula. Por la Ec.
1.8, en 12 s este coche recorre una distancia
6..x = v0 tl.t +
+a (tl.t) =
2
= (24 m s-1) (12 s) + O= ·288 m
Como el coche que entra en la autopista recorre 144 m durante este intervalo, el coche de detrás gana (288-144) m,
o sea, 144 m. Si no se ha de acercar a menos de 20 m, la
separación en el tráfico de la autopista ha de ser como mí·nimo de (144 + 20) m, o sea, de 164 m.
El coche de este ejcmpio alcanza 24 m s -i, correspondientes a unos 86 km h-1 en 12 s, lo que supone una aceleración bastante considerable. ·un coche no tan potente
necesitaría más tiempo para alcanzar esta velocidad y,
por lo tanto, requeriría una separación mayor en el trá- .
fico de la autopista.
Movimiento rectilíneo
Los ejemplos anteriores ilustran los méto_d os para
resolver problemas de aceleración constante y problemas de flsica en general. Identificamos qué magnitudes se conocen y cuáles son las que se han de hallar, y
se determina la ecuación o ecuaciones que .relacionan
dichas magnitudes. Despejamos entonces las incógnitas en función de magnitudes conocidas. Es mejor introducir los valores numéricos en el último paso y no
en una etapa anterior. Así, reducimos a un. mínimo
el trabajo puramente aritmético y facilitamos la búsqueda de errores.
Una prueba útil de cualquier problema son las dimensiones del resultado final. Si la incógnita es una
longitud, el resultado final habrá de venir expresado
en unidades de longitud, tales como el metro o el pie;
si no, es que se ha cometido algún error. Adviértase,
por ejemplo, que en las partes (b) y (c) del Ejemplo
1.12 las unidades de tiempo se cancelan y las distancias se expresan en metros, como corresponde.
En resumen, hemos visto que dadas la posición y
· la velocidad iniciales, podemos hallar la velocidad en
cualquier instante posterior a partir de la aceleración,
y la posición a partir de la velocidad. Las ecuaciones
de la Tabla 1.3 pueden utilizarse para hallar el movimiento de los objetos sometidos a aceleración constante. Cuando la aceleración no es constante, la aceleración media puede utilizarse a menudo en las fórmulas
de aceleración constante para obtener una descripción
aproximada del movimiento del objeto.
1 .6
1
LA ACELERACIÓN DE LA
GRAVEDAD Y LA CAfDA DE
LOS CUERPOS
Hasta ahora, nuestro análisis del movimiento se habasado en definiciones y en sus consecuencias. En particular, hemos considerado las relaciones matemáticas
que surgen de las definiciones de velocidad y aceleración, pero no hemos dicho nada de cómo funciona la
naturaleza. ·s in embargo, para discutir el movimiento
de los objetos que caen, hemos de utilizar la información obtenida por primera vez por Galileo a partir de
cuidadosas observaciones experimentales.
Sabemos por la experiencia cotidiana que los objetos sin apoyo tienden a caer al suelo. La velocidad
del impacto a menudo aumenta si la distancia de la caída crece. Por lo tanto, es evidente que los cuerpos que
caen están sometidos a una aceleración, que atribuí-
15
mos a la gravedad, la atracción gravitatoria de la
Tierra. Sin embargo, dos de los aspectos esenciales de
esta aceleración gravitatoria no se observan tan fácilmente.
Supóngase que la gravedad es el único factor que
afecta al movimiento de un objeto que cae en las proximidades de la superficie de la Tierra y que la resistencia del aire es nula o despreciable. En esta situación se
encuentra que
1 La aceleración gravitatoria es la misma para todos los objetos que caen, sea cual sea su tamaño o su
composición.
2 La aceleración gravitatoria es constante, es decir,
no cambia durante la caída del objeto.
Ninguno de estos enunciados concuerdan exactamente con nuestra experiencia cotidiana. Las monedas
caen más rápidamente que los trozos de papel, lo que
contradice el enunciado 1. Los objetos que caen de
grandes alturas alcanzan una velocidad máxima o terminal, lo que contradice el segundo enunciado. Sin embargo; los dos efectos que acabamos de mencionar resultan de la resistencia del aire. Una moneda y un trozo de papel caen juntos en el vacío (Fig. 1.8) y un objeto que cae desde una gran altura experimenta una
aceleración constante hasta que entra en la atmósfera.
La aceleración de la gravedad cerca de la superficie terrestre se expresa por g; aproximadamente vale
g = 9,8 m s-2 = 32 pies s-2 = 980 cm s-2
Este valor experimenta ligeras variaciones deb~das a
cambios de latitud, altura y densidad de las características geológicas locales.
En los ejemplos siguientes y en los problemas y ejercicios del final del capítulo despreciamos estas varia-·
ºº
(a l
~ . 4 / a homha
o
ºº
(/J)
Figura 1 .8 (a) Una moneda y un trozo de papel se dejan caer
simultáneamente desde la parte superio r de un recipiente. (b) Si el recipiente está lleno de aire, la ·moneda tocará primero el fondo. (e) Si
la mayor parte del aire se extrae del recipiente, los dos objetos llegarán al fondo al mismo tiempo.
16
Movimiento rectilíneo
ciones de g y suponemos que la resistencia del aire no
tiene importancia. Ello nos permite utilizar las ecuaciones de aceleración ·constante en el estudio de la caída de los cuerpos.
Ejemplo 1.13
Se deja caer una pelota desde una ventana situada a
84 m sobre el suelo (Fig. 1.9). (a) ¿Cuándo llega la pelota
al suelo? (b) ¿Cuál es la velocidad con que la pelota llega
al suelo?
+x
El S :
t:I IIl ti •
El •
El
(segundos)
o...,.:-r_r2_ .¡'--_ 4. - -
[j
-¡;;- -20
2
0 -40
s
-60
-80
(b)
(a)
Figura 1.9 (a) Pelota que cae libremente sin vdocidad inicial.
Obsérvese que en cada segundo recorre distancias sucesivamente mayores. (b) La gráfica x-t toma x = Oen la ventana.
En este tipo de problemas podemos escoger el sistema de coordenadas de tal modo que la dirección de las x
positivas apunte hacia arriba o hacia abajo. El origen x
= O puede ser la ventana, el suelo o cualquier referencia
intermedia; la elección es simplemente una cuestión de
conveniencia. Escojamos el origen al nivel de la ventana,
de modo que x 0 = O, y los valores positivos de x hacia arriba.
Como la pelota se deja caer con velocidad inicial nula,
v 0 = O. La aceleración gravitatoria es constante y en la dirección de - x, por lo que las ecuaciones de la Tabla 1.3
pueden aplicarse utilizando a = - g = - 9,8 m s-z.
(a) La pelota llega al suelo cuando t.x = - 84 m. El
tiempo t en que esto ocurre satisface la relación
t.x = f a(At}2
o
(6.t)2
= 2 6.x
a
Entonces
6.t=fo,!-=
2(-84 m)
-9,8 m s-2
= 4,14 s
Adviértase que utilizamos la raíz positiva, ya que la
pelota llega al suelo después de ser soltada y no antes.
(b) Utilizando la Ec. 1.5 con t = 4,14 s,
v = aAt= (- 9,8 m s-1)(4,14 s) = -40,6 m s-1
La velocidad vale 40,6 m s- 1 en sentido negativo, es decir, hacia abajo.
Este ejemplo puede hacerse también cuando el sentido + x se escoge hacia abajo. Entonces, la aceleración es a= g =+9,8 m s-2, y la pelota llega al suelo Guando x = + 84 m. Con estos valores, se halla el mismo resultado para t. La velocidad v con que la pelota llega
al suelo es ahora positiva porque + x se dirige hacia
abajo. La elección del sentido positivo de las x no afecta los resultados fisicos, pero se deben interpretar ·
correctamente los signos de las respuestas.
Cuando un objeto se lanza verticalmente hacia arriba, experimenta una aceleración gravitatoria constante hacia abajo. Ello ocurre en cualquier instante del
movimiento mientras el objeto está subiendo, cuando
alcanza su máxima altura y mientras va bajando. Sin
embargo, su velocidad va cambiando continuamente.
Inicialmente se dirige hacia arriba. A medida que el ohjeto va subiendo, el valor de su velocidad va disminuyendo uniformemente y la velocidad se anula en el instante en que el objeto alcanza su altura máxima. El objeto empieza entonces a moverse hacia abajo, mientras
su velocidad va creciendo uniformemente. Este movi~
miento se muestra en las gráficas v-t y x-t de la Fig.
1.10, donde la dirección +x se toma hacia arriba. En
A el objeto se está moviendo hacia arriba, en B está parado por un instante en el punto más alto de su movimiento y en C está bajando. Así, v es inicialmente positiva, se anula por un instante y se hace luego negativa. En cambio, la aceleración es igual a la pendiente
de la gráfica v-t, es decir, -gen cualquier instante.
Podemos ver en.la Fig. L 10 que el movimiento es
simétrico con respecto a su punto más alto (punto B).
La velocidad hacia arriba 1 s antes de llegar al máximo y la velocidad hacia abajo 1s después de haber pasado por el máximo tienen-el mismo módulo. Por consiguiente, el tiempo que el objeto tarda en recorrer una
determinada parte de su trayectoria en el mismo al subir que al bajar.
Estas características del movimiento se ilustran en
el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.14
.
Un balón se lanza hacia arriba a 64 pie s-1 desde una
Movimiento rectilíneo
17
GALILEO
GALILEI
(1564-1642)
Galileo nació en Pisa. A los diecisiete años empezó a estudiar medicina, a pesar de
que había demostrado también un gran talento para la música y el arte. Sus intereses se inclinaron pronto hacia otras ramas de la ciencia, y fue nombrado profesor de
matemáticas en la Universidad de Pisa. Allí, entre 1589 y 1592, realizó sus investigaciones sobre el movimiento, que son la base de este capítulo.
El filósofo griego Aristóteles (384-322 a. de C.) había enseñado que los objetos
más pesados caen más aprisa que los más ligeros. Galileo llevó a cabo una serie de
experimentos con objetos que rodaban a lo largo de planos inclinados muy lisos y concluyó que, en el caso ideal de ausencia de rozamiento, todos los objetos tienen la misma aceleración. Además, demostró que la distancia varía con el cuadrado del tiempo, lo que implica que la aceleración es constante. Se considera que fue Galileo quien
demostró la importancia de la experimentación en la ciencia.
En 1608, Galileo oyó que dos lentes de gafas utilizadas conjuntamente aumentarían los objetos distantes y pronto construyó una serie de telescopios de creciente poder amplificador. Así descubrió que nuestra Luna tiene cordilleras, que Ji¡piter tiene lunas y que el Sol tiene manchas. Pero sus observaciones también suscitaron problemas. Copérnico (1473-1543) había dudado anteriormente de la enseñanza de Aristóteles sobre la Tierra como centro del universo y demostró que los movimientos aparentes del Sol, las estrellas y los planetas se podrían explicar con una simplicidad máxima al suponer que la misma Tierra es un planeta que gira diariamente sobre su eje
y que da anualmente la vuelta alrededor del Sol. Las observaciones de Galileo confirmaron este herético punto de vista según el cual la Tierra no es única. Ello le llevó
a serios problemas con las autoridades.
La lucha de Galileo con el dogma de la Iglesia duró aproximadamente dos décadas. Al principio se le prohibió discutir sus ideas; luego se le ordenó describir el sistema copernicano como sólo una teoría. Sin embargo, el análisis y la presentación
de Galileo de los hechos existentes fue tan completo y convincente que a los setenta
años fue juzgado por desobedecer aquella orden. Tras el juicio, fue sometido a arresto domiciliario durante los doce años restantes de su vida.
18
Movimiento rectilíneo
V
X
B
e
Como no es posible que el balón llegue al suelo antes de
ser lanzado t:.t = 6 s es el resultado correcto. (La raíz extraña t:.t = -2 s no está desprovista de significado; es el instante en que el balón se habría de haber lanzado hacia
arriba desde el suelo para seguir la misma trayectoria que
siguió en realidad después de t = O.)
1.7
(a)
Figura 1 .1O
Gráficas (a) v-t y (b) x-t de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba desde x = O. La velocidad es cero en el ins- tante en que el objeto alcanza su máxima altura (punto B), pero la
aceleración siempre es -g.
ventana situada a 192 pies sobre el suelo. (a) ¿A qué altura llega el balón? (b) ¿Cuándo alcanza este punto máximo? (e) ¿Cuándo llega de nuevo al suelo?
Escojamos de nuevo el origen en la ventana y supongamos que +x es hacia arriba. Así, v0 = 64 pie 's-1 y a=
-g = -32 pie s-2•
(a) Mientras el balón sube, su velocidad disminuye
uniformemente hasta que v = Oen el punto máximo; queremos hallar la posición x en que esto ocurre. Según la
Be. 1.9, utilizando v = O.
2
lix
u
v/
= --~
=
2a
-
O- (64 pie s- 1)2
--'---"--'e--
2(-36 pie s-2)2
= 19,6 m
Así, el balón alcanza una altura máxima de 64 pies sobre
la ventana, o 192 + 64 = -256 pies sobre el nivel del suelo.
(b) Utilizando la Ec. 1.5 y el que v = Oen la máxima
altura.
t
1
MODELOS EN FÍSICA
(b)
0-64pies- 1
v- v
0
= --= ------,~
=2s
a
-32 pie s-2
La cumbre se alcanza en 2 s.
(e) El balón toca el suelo cuando t:.x=-192 pies, o se:t,
después de un intervalo de tiempo t:.t que verifica
t:.x = v0t:.t + ½a(t:.t)2
-192 pie= (64 pie s- 1)t + ½(- 32 pie s-1)t2
Dividiendo por 16 pie s- 2 y agrupando términos, resulta
(t:.t)2
-
(4 s) t:.t - 12 s2 = O
que puede factorizarse en
(t:.t - 6 sXt:.t + 2 s) = O
Esta ecuación tiene dos soluciones t:.t = 6 s y t:.t = -2 s.
Los problemas reales son a veces tan complicados que
una solución exacta es imposible o requiere medidas o
cálculos extremadamente dificiles. Una estimación
aproximada de la solución correcta puede hallarse a
menudo con un modelo matemático obtenido a partir
de hipótesis simplificadoras y de aproximaciones.
En la sección precedente utilizamos un modelo
cuando al considerar objetos que caían despreciamos
la resistencia del aire. Para una roca o una moneda que
caigan a pequeñas velocidades, ésta es una buena
aproximación. Sin embargo, si la velocidad es elevada,
la resistencia del aire es más importante y un modelo
que la desprecie puede llevar a predicciones incorrectas. También, como vimos, puede resultar muy inexacto el despreciar la resistencia del aire para algo tan ligero como un trozo de papel.
Los modelos matemáticos pueden mostrar cuáles
son los factores importantes de un problema y facilitar una comprensión cualitativa que no se podría obtener a partir de una aproximación más exacta. Sus predicciones pueden indicar si vale la pena un esfuerzo
más elaborado y pueden sugerir líneas de ataque para
tales esfuerzos. Sin embargo, los libros de texto -éste
incluido- y otras fuentes no siempre son totalmente
explícitos al formular sus hipótesis y al distinguir entre modelos y tratamientos exactos. Por lo tanto, resulta saludable adquirir una moderada dosis de escepticismo.
RESUMEN
Las magnitudes físicas se expresan en ciertas unidades.
Para pasar de un sistema de unidades a otro, multiplicamos por l y las unidades se simplifican como si fueran magnitudes algebraicas.
El movimiento de un objeto a lo largo de una línea
recta viene descrito por su posición, su velocidad y su
aceleración. La velocidad es la yariación temporal de su
posición. La velocidad media es el cambio de posición
19
Movimiento rectilfneo
o desplazamiento dividido por el tiempo transcurrido
-
l:J.x
(Las respuestas se dan en el mismo capítulo, justo antes de los temas suplementarios)
V=-
f:.t
La velocidad instantánea es la velocidad media evaluada para un intervalo de tiempo arbitrariamente corto.
Asimismo, la aceleración media es el cambio de velocidad dividido por el tiempo transcurrido,
a= t:.v
t:.t
La aceleración instantánea es la aceleración media evaluada para un intervalo de tiempo arbitrariamente corto. En una gráfica x-t, la penqiente es igual a la velocidad instantánea; en uña gráfica v-t, la pendiente es
igual a la aceleración instantánea.
A menudo la aceleración puede calcularse teóricamente o medirse experimentalmente. Si la posición y
la velocidad iniciales se conocen, sus valores posteriores pueden hallarse a partir de la aceleración. En el.
caso particular en que la aceleración es constante, hemos hallado las ecuaciones del movimiento. Estos se
recogen en la Tabla 1.3 para comodidad de referencia.
Sea o no constante la aceleración, el desplazamiento
es siempre igual al área bajo la curva v-t, y la variación
de velocidad es igual al área bajo la curva a-t. Las áreas
por encima del eje temporal se consideran positivas, y
las que se hallan por debajo son negativas.
. Los objetos que caen sin una resistencia apreciable
del aire en fas proximidades de la superficie de la tierra,
experimentan una misma aceleración constante g. Un
objeto lanzado inicialmente hacia arriba experimenta
también esta aceleración. Su velocidad va disminuyendo en módulo hasta que se anula en el punto más alto
de la trayectoria.
Lista de repaso
Definir o explicar:
dimensiones;
patrones
unidades
SI
sistema m k s
sistema c g s
sistema británico
errores casuales
errores sistemáticos
cifras significativas
movimiento de traslación
velocidad terminal
CUESTIONES DE REPASO
desplazamiento
velocidad media
movimiento uniforme
movimiento acelerado
velocidad instantánea
pendiente
aceleración media
aceleración instantánea
fórmulas de aceleración
constante
aceleración gravitatoria
modelo matemático
Q 1-1 El conjunto de unidades oficialmente reconocido para el trabajo científico es el ........ .
Q 1-2 Los datos experimentales contienen habitualmente errores ......... y .........
Q 1-3 La mejor manera de convertir unidades consiste en multiplicar poi' un factor ......... cada unidad
que debe convertirse.
Q 1-4 El cambio de posición se denomina ....... ..
Q 1-5 La velocidad media es la razón ....... ../....... ..
Q 1-6 La velocidad instantánea es la velocidad media evaluada para ........ .
Q 1-7 La aceleración media es la ......... dividida por
el ....... ..
Q 1-8 En una gráfica x-t, la pendiente es igual a la
Q 1-9 En una gráfica v-t, la pendiente es igual a la
Q 1-1O La variación de velocidad es igual al área en
la gráfica ........ .
Q 1-11 El desplazamiento es igual al área en la gráfica .........
Q 1-12 En el aire, una piedra cae inás ~ápidamente
que una pluma debido a ........ .
Q 1-13 Cuando un objeto lanzado verticalmente
hacia arriba alcanza la máxima altura, su velocidad
es ......... y su aceleración es ........ .
EJERCICIOS
El estudiante debería resolver algunos de los ejercicios
de cada sección para probar su comprensión de los conceptos antes de abordar los proQlemas. Al final del libro se dan las soluciones de la mayoría de los ejercicios y problemas impares, generalmente con 3 cifras
significativas. Si sus respuestas difieren lig~ramente en
la última cifra ello puede deberse a diferencias en el redondeo de los resultados intermedios, más que a errores de los cálculos.
Sección 1.1
1
Medidas, patrones, unidades y errores
1-1 Un acre son 43 560 pie2• ¿Cuánto vale en metros cuadrados (m2)?
1-2 Convertir 40 mi h- 1 en metros por segundo (m
s- 1).
1-3 Un galón son 231 pulgadas cúbicas (pulg3) y un
litro son 1000 cm3• ¿Cuántos litros hay en un galón?
20
Movimiento rectilíneo
1-4 Un furlong son 220 yardas y un fortnight son
1
14 días. Si un caracol se mueve a 2 m h- , ¿cuánto
avanza en furlongs por fortnight?
1-5 Una membrana celular tiene 70 angstrom (Á)
de espesor. Si un angstrom son 10· 10 m, ¿cuál es el
espesor de la membrana en pulgadas?
1-6 Si dos magnitudes tienen diferentes dimensiones, ¿se las puede (a) multiplicar; (b) sumar? Dé
ejemplos que ilustren su respuesta.
1-7 En los Estados Unidos, el terreno se mide en
acres (1 acre = 43560 pie2). En la mayoría de los
demás países se mide en hectáreas ( 1 hectárea = 104
m 2). ¿Cuánto mide una granja de 100 acres en hectáreas?
1-8 Los volúmenes de los estanques se expresan a
menudo en acres por pie, es decir un lago con un
área de 1 acre y profundidad media de I pie contiene un acre-pie de agua. Si un lago tiene un área de
100 acres y una profundidad media de 20 pies, hallar su volumen (a) en acre-pies, (b) en pies cúbicos,
2
(c) en metros cúbicos (1 acre= 43 560 pie ).
1-9 Supóngase que quisiéramos conocer t:l área de
una habitación rectangular y dispusiéramos de una
cinta métrica de tela para determinar sus dimensiones. ¿Cuáles son algunos de los errores aleatorios y
sistemáticos que podrían afectar los resultados?
1-10 Un conductor quiere comprobar su velocímetro viajando a velocidad constante por una autopista con mojones a cada kilómetro y con un pasajero que anota los intervalos de tiempo mediante un
reloj de pulsera. Comentar los errores aleatorios y
sistemáticos que se pueden cometer.
Sección 1.2
1
Desplazamiento; velocidad media
1-11 Un coche recorre 30 millas en 45 minutos a lo
largo de una autopista recta. ¿Cuál es su velocidad
·media en kilómetros por hora? .
1-12 Un piloto desea volar 2000 km en 4 horas.
¿Cuál deberá ser su velocidad media en metros por
segundo?
1-13 Dibujar la gráfica posición-tiempo de un coche que, partiendo del reposo, recorre 1 milla hasta llegar a un establecimiento comercial. (Describir
en palabras el movimiento.)
1-14 Un coche viaja en línea recta a 40 mi h- 1 durante una hora y a 60.mi h- 1 durante 2 horas. (a)
¿Qué distancia ha recorrido? (b) Hallar su velocidad media.
1-15 Una automovilista quiere recorrer 100 millas
en 2 horas. Si su velocidad media durante la primé-
ra hora y media es dé 40 mi h- 1, ¿qué velocidad media habrá de mantener durante el resto del tiempo?
1-16 Un atleta corre una maratón de 42 km en 2,5
horas. Hállese su velocidad media en (a) kilómetros
por hora (km h- 1); (b) millas por hora (mi h- 1); (c)
pies por segundo (pie s· 1).
1-17 Un corredor realiza la prueba de los 100 m en
9,8 s. (a) ¿Cuál es su velocidad media? (b) Como el
corredor parte del reposo, su velocidad no puede
ser constante. Dibujar aproximadamente su gráfica posición-tiempo. Explicar las hipótesis que se hayan hecho.
1-18 La luz viaja a 3 X 108 m s· 1• Un año-luz es la
distanciá que la luz recorre en un año, 365 días. Hallar la distancia en kilómetros a la estrella más próxima, que dista 4 años-luz de nosotros.
1-19 Un objeto cae de tal modo que su altura x sobre el nivel del suelo en el instante t viene dada por
la ecuación x = 200 pie - ( 16 pie s•2)t2, donde x
está en pies y ten segundos. Hallar su veiocidad media desde (a) t = O a t = 2 s; (b) t = 2 s a t = 4 s.
1-20 Un balón lanzado verticalmente hacia arriba
tiene una-altura x sobre el suelo ?,ue viene expresada por la ecuación x = (19,6 m f )t - (4,9 m s·2)t2,
donde x está en metros y t en segundos. Hallar su
velocidad media de (a) t = O a t = 2 s; (b) t = 2 s a
4 s.
1-21 A partir de la gráfica posición-tiempo de la
Fig. l.ll, hallar la velocidad media de t =Os a (a)
t = 10 s; (b) t = 20 s; (c) t = 40 s.
1-22 Una pelota de béisbol llega a un bateador a 40
m s· 1• Si la base tiene 0,3 m de largo, ¿cuánto tiempo
pasará la pelota sobre la base?
1-23 En 1970, se estableció un record de natación
cuando un nadador recorrió 100 m en 51,9 s. ¿Cuál
fue su velocidad media en km h- 1?
Sección 1.3
1 Velocidad
instantánea
1-24 En la Fig. 1.11, ¿cuál es la velocidad instantánea en (a) t = 5 s; (b) t = 15 s; (c) t = 25 s; (d) t =
35 s?
1-25 Dibujar la gráfica velocidad instantánea-tiempo correspondiente a la Fig. 1.11.
l _-26 La Fig. 1.12 muestra la posición de un péndulo en función del tiempo. En el intervalo de t = O a
T, ¿cuándo su velocidad es (a) cero; (b) positiva; (c)
negativa?
1-27 La Fig. 1.12 muestra la posición de un péndulo en función del tiempo. En el intervalo desde t =
Movimiento rectilíneo
21
<>To
(segundos)
1oor------'----_,._-----"~-----1._ __
Figura 1.11
Figura 1.13
Ejercicios 1-21, 1-24 y 1-25.
1-32 DÍbujar la gráfica aceleración-tiempo correspondiente a la Fig. 1-13.
1-33 ¿Cuándo la aceleración correspondiente a la
Fig. 1-13 tiene un (a) valor máximo; (b) valor mínimo; (c) valor nulo?
1-34 Un vehículo con una velocidad inicial de 20 m
s- 1, frena con una aceleración de 2 m s-2 • ¿Cuánto
tardará en detenerse?
O hasta T, ¿cuándo alcanza la velocidad sus máximos valores positivos y negativos?
·
1-28 En 1875, Matthew Webb se convirtió en el primer hombre en cruzar el Canal de la Mancha sin
chaleco salvavidas. Tardó 21 horas y 45 minutos en
recorrer los 33,8 km de su travesía. (a) ¿Cuál fue su
velocidad media en km h- 1? (b) Como no nadó en línea recta, su recorrido real fue de 60 km. ¿Cuál fue
su velocidad media real?
1-29 La velocidad máxima alcanzada por un atleta
en la carrera de 100 m fue de unos 12,5 m s-1, y completó la carrera en 9,9 s. ¿Son consistentes estos datos? Explíquese.
Sección 1.4
1
Ejercicios 1-32 y 1-33.
Sección 1.5
1
Cálculo del movimiento de un objeto
1-35 Un reactor acelera sobre la pista desde el reposo hasta 4 m s- 2• Transcurridos 5 s, hallar (a) la
distancia recorrida; (b) la velocidad.
1-36 ,Del acelerador de la Fig. 1.1, los protones sa1
len disparados a una velocidad de 2,5 X 108 m s- •
El acelerador tiene 0,8 km de longitud. (a) ¿Cuánto
vale la aceleración, supuesta uniforme? (b) ¿Cuánto tardan los protones en recorrer la longitud del
acelerador?
1-37 Un tren que viaja a 30 m s- 1 frena con una aceleración constante en 50 s. (a) ¿Cuál es su aceleración? (b) ¿Qué distancia recorre hasta pararse?
1-38 Un coche parte del reposo en el instante t = O
Aceleración
1-30 Un coche empieza a pasar a otro. Su veloci-
dad aumenta de 50 a 100 km h- 1 en 4 s. ¿Cuáles su
aceleración media?
1-31 Un coche avanza a la velocidad constante de
50 m s-i durante 20 s. Entonces frena con aceleración constante y se para en 10 s. (a) Dibujar su gráfica velocidad-tiempo. (b) Dibujar su gráfica aceleración-tiempo.
a
4---2 fN
1
·~
.§.
Ü
r------:-t-----1,1 - - - - - l - - - - - /
1O
-2-
Figura 1 .12 Posición horizontal de un péndulo en función del
tiempo. Ejercicios 1-26 y 1-27, problema 1-63.
Figura 1.14
Ejercicio 1-38.
20
'JO (segundos)
22
Movimiento rectilíneo
u
>-
10
1
E o
2
4
6
'
ªI
-10 >-
(segundos)
Figura 1.15
Ejercicio 1-30.
y acelera como se muestra en la Fig. 1.14. Hallar su
velocidad al cabo de (a) t = 10 s. (b) t = 30 s. (c) Dibujar la gráfica velocidad-tiempo.
1-39 Dibujar la gráfica posición-tiempo correspondiente a la Fig. 1.15. (Supóngase que el móvil parte
de x = O.}
1-40 Supóngase que un coche se acelera a 1 m s-2 •
¿Qué separación en el tráfico necesita para entrar a
una autopista donde los coches corren a 20 m s-l si
el conductor no quiere que el vehículo de atrás tenga que frenar ni que se le acerque a menos de 25 m?
1-41 Un coche se estrella contra un muro de piedra
a 15 m s-1 • (a) Un pasajero con cinturón de seguridad se para en 1 m. ¿Qué aceleración media experimenta esta persona? (b) Otro pasajero sin cinturón choca con el parabrisas y se detiene en 0,01 m.
¿Qué aceleraci(m media experimenta esta persona?
1-42 Un coche de carreras inicialmente en reposo
mantiene una aceleración constante durante 500 m.
Su velocidad al final de este período es de 450 km
h- 1• (a) ¿Cuánto vale su aceleración? (b) ¿Cuánto
tarda en recorrer el tramo de 500 m?
1-43 Un jugador de beisbol lanza una pelota a 40
m s- l. Si la aceleración es aproximadamente constante en una distancia de 2 m, ¿cuánto vale?
1-44 Un jugador de beisbol atrapa una pelota que
se mueve a 30 m s-1• (a) Si no mueve la mano, la pelota se detiene en su guante en una distancia de 1
cm, ¿Cuánto vale la aceleración media? (b) Si mue- ·
ve la mano al coger la pelota de modo que ésta se
detiene en 10 cm, ¿cuánto vale su aceleración?
Sección 1.6 1 La aceleración de la gravedad y la caída de los cuerpos
1-45 ¿Desde qué altura ha de caer el agua para gol-
pear una pala de turbina con una velocidad vertical hacia abajo de 30 m s-i?
1-46 Un proyectil antiaéreo se dispara verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 500 m
s- 1• (a) Calcúlese la altura máxima que alcanzará el
proyectil (b) ¿Cuánto tardará en alcanzar esa altura? (c) ¿Cuándo estará a mil metros de altura?
1-47 Un modelo de cohete se lanza verticalmente
hacia arriba con una aceleración constante de 50 m
s-l hasta que el motor agota el combustible tras 4 s
de vuelo. Despreciando la resistencia del aire, calcular (a) la altura del cohete cuando se para er motor, (b) la máxima altura que alcanza; (c) la duración total del vuelo.
1-48 Una roca cae de un acantilado de 60 m de altura. (a) Hallar la velocidad media durante los 3 primeros segundos de su caída. (b) En qué instante su
velocidad instantánea es igual a la velocidad media
del apartado (a)? (c) ¿Cuánto tarda la roca en llegar al suelo?
1-49 Un chico lanza hacia arriba un balón con una
velocidad inicial de 15 m s- 1 desde el pie de un rascacielos. (a) ¿A qué altura llegará el balón? (b)
¿Cuánto tardará en alcanzar la máxima altura (c)
Otro chico intenta coger el balón desde una ventana situada 6 m por encima de la posición inicial del
balón. ¿En qué instantes pasará éste a su lado?
1-50 Una piedra que se deja caer desde lo alto de
una torre tarda 4 sen llegar al suelo. (a) Calculai:
la velocidad de la piedra justo antes de llegar al suelo. (b) Calcular la altura de la torre.
1-51 Una piedra se lanza verticalmente hacia abajo desde un puente con una velocidad inicial de 10
m s- 1 y tarda 3 sen llegar al agua. (a) ¿Con qué velocidad llega la piedra al agua? (b) ¿Cuál es la altura del puente sobre el nivel del agua?
1-52 Una roca que se deja caer desde un puente llega al agua en 5 s. (a) ¿Con qué velocidad llega la
roca al agua? (b) ¿Cuál es la altura del puente?
1-53 El martillo de una perforadora golpea el ex1
tremo de un tubo con una velocidad de 7 m it • ¿Desde qué altura cae el martillo?
1-54 Un saco de arena que se deja caer desde un globo llega al suelo en 15 s. ¿Cuál es la altura del globo si inicialmente está (a) parado en el aire, (b) des1
cendiendo a una velocidad de 20 m s- ?
1-55 Una caja cae desde un ascensor que está subiendo a 2 m s-1 y llega al fondo del pozo del ascensor en 3 s. (a) ¿Cuánto tarda la caja en alcaazar
Movimiento rectilíneo
su altura máxima? (b) ¿A qué altura sobre el pozo
del ascensor se hallaba la caja en el momento de
caer? (c) ¿Cuál es la altura del ascensor cuando la
caja llega a su máxima altura?
1-56 Repetir el Ejemplo 1.13 con el eje+ x dirigido hacia abajo.
1-57 Repetir el Ejemplo 1.14 con el eje+ x dirigido hacia abajo.
1-58 Un coche choca frontalmente con una pared
de piedra a 30 m s- 1 (108 km h-1). ¿Desde qué altura debería caer para que los resultados de la colisión fueran los mismos?
PROBLEMAS
Los problemas que ocasionalmente se indican con un
asterisco son los más dificiles. Las respuestas de la mayoría de los problemas impares se dan al final del libro.
1-59 En el instante en que un jugador de bolos suelta la pelota, su mano se está moviendo horizontal1
mente con una velocidad de 6 m s- con respecto a
su cuerpo. Si el jugador avanza a una velocidad de
1 m s-1, ¿cuál es la velocidad de la pelota con respecto al suelo?
1-60 Al soltar una bola de bolos, la mano del ju1
gador se está moviendo a 2,7 pie s- con respecto al
antebrazo. El antebrazo se está moviendo a 1,8 pie
s- 1 con respecto al brazo y éste se mueve a 17,3 pie
s- l con respecto al hombro. (Las velocidades se refieren a los puntos extremos de los respectivos
miembros y se suponen todas ellas horizontales.) Si
el hombro del jugador se mueve con respecto al sue1
lo a 4,7 pie s- , ¿con qué velocidad se lanza la bola?
1-61 Una chica rema 12 km corriente abajo en 2 h.
Su viaje de retorno dura 3 h (a) ¿Con qué velocidad
remaría en agua en reposo? (b) ¿Cuál es la velocidad de la corriente?
1-62 Un chico se halla en un tren que va a 70 km
h-1 • ¿Con qué velocidad se mueve con respecto al
1
suelo si corre a 15 km h- (a) hacia la cabeza del
tren, (b) hacia la cola del tren?
1-63 En la Fig. 1-12 se muestra la gráfica posicióntiempo de un péndulo. Dibujar las gráficas velocidad-tiempo y aceleración-tiempo correspondientes a este movimiento.
1-64 Un trineo que parte del reposo resbala hacia
abajo por una colina con aceleración uniforme. En
los primeros 4 s recorre 12 m. ¿Cuándo alcanzará
una velocidad de 4 m s- 1?
23
1-65 Un bólido se acelera a lo largo de un cuarto
de milla y luego frena durante media milla más hasta una parada. (a) Dibujar una gráfica velocidadtiempo aproximada. (b) Dibujar una gráfica aceleración-tiempo.
1-66 El avión A, que vuela a 500 m s- 1, está 10 000
m por detrás del avión B, que se mueve en la misma dirección y sentido a 400 m s- 1• El piloto del
avión A dispara un proyectil que se acelera a 100
m s-2• ¿Cuánto tardará el proyectil en alcanzar el
avión B? (Despreciar los efectos de la gravedad.)
1-67 Un perro está corriendo a 10 m s- 1 a 30 m por'
detrás de un conejo que avanza a 5 m s· 1• ¿Cuándo
alcanzará el perro al conejo? (Ambas velocidades
permanecen constantes.)
1-68 Un trineo experimental a retropropulsión
guiado por un piloto de pruebas se para desde los
200 m s- l en una distancia d. Si el piloto no se puede someter a una aceleración mayor que seis veces
la de la gravedad, ¿cuál será el mínimo valor de <l!
*1-69 El record mundial en las 100 yardas es de 9,0
s y el de las 60 yardas de 6, l s. Supóngase que el
corredor se desplaza con una aceleración constante
hasta una velocidad máxima que mantiene durante
el resto de la carrera. (a) Calcular la aceleración. (b)
¿Cuánto dura el período de aceleración? (c) ¿Cuál
es la velocidad máxima? (d) El récord en las 220 yardas es de 19,5 s, mientras que para la milla es de
232 s. ¿Estos tiempos son consistentes con las hipótesis anteriores?
1-70 Un saco de lastre se deja caer desde un globo
en ascensión que está a 300 m por encima del suelo
y que está subiendo a 10 m s - l. (a) ¿Cuál es la máxima altura del saco de lastre? (b) Hallar la velocidad
y posición del saco 5 s después de la caída. (c}¿Cuánto tarda el saco en llegar al suelo desde que se le soltó?
*1-71 En una serie de televisión, un personaje tiene
capacidades sobrehumanas. En un episodio intenta detener a un hombre que huye en un coche deportivo. La distancia entre ellos es de 100 m cuando el coche empieza a acelerarse con aceleración
constante de 5 m s-2• Dicho personaje corre a una
velocidad constante de 30 m s- 1 • Demostrar que no
puede alcanzar el coche, y calcular la distancia de
máxima aproximación.
1-72 En la Fig. 1.7b, el área sombreada tiene una
porción triangular (sobre la línea v0) y una porción
rectangular. Demuéstrese que la suma de sus áreas
24
Movimiento rectilíneo
se reduce a la expresión de la derecha de la Ec. 1.8.
1-73 (a) Un artículo de una revista afirma que las
onzas o guepardos son los animales más rápidos del
mundo y que se han llegado a observar algunos que
se aceleran desde el reposo hasta los 70 km h- 1 en 2 s.
¿Cuál es la aceleración media en pies s- 2? (b) El artículo afirme también que el animal recorrió 65 yardas
durante dicho intervalo de 2 s. ¿Qué aceleración
constante supondría esta afirmación? ¿Concuerda
con el resultado (a)? (c) Es difícil que un animal o un
vehículo alcancen aceleraciones sustanciales mayores que la de la gravedad, g, ya que hay una tendencia a resbalar incluso en terrenos muy rugosos para
aceleraciones mayores. Con esta información, ¿se
puede adivinar lo que el autor se proponía escribir?
1-74 Se deja caer una piedra en un pozo y 3 s después se escucha su chapoteo. Si el sonido se propaga en el aire a 344 m s-1• ¿Cuál es la profundidad
del pozo?
1-7S Se observa un relámpago y 5 s después se oye el
trueno. Suponiendo que se producen simultáneamente, ¿a qué distancia se ha producido el relámpago? (En el aire, el sonido se propaga a 344 m s-1 y la
luz a 3,00 X 108 m s-1.)
1-76 Una estimación de las dificultades de la exploración del espacio más allá del sistema solar puede
obtenerse a partir del siguiente cálculo. (a) La distancia de la Tierra a la Luna es de 3,84 X 10t m. Las
naves espaciales actuales requieren 24 horas para
llegar a la Luna. ¿Cuál es su velocidad media? (b) La
estrella más próxima a nuestro sistema solar se halla a unos 4 afios luz, siendo l afio luz la distancia
recorrida por la luz en un año (365 días) y la velocidad de la luz 3,00 X 10ª m s- 1• ¿Cuántos años tardaría en llegar a dicha estrella una nave espacial con la
velocidad calculada en (a).
RESPUESTA A LAS CUESTIONES DE REPASO
Q 1-1 Sistema Internacional (S.1.); Q 1-3 aleatorioa,
sistemáticos; Q 1-3 uno; Q 1-4 desplazamiento;
Q 1-S desplazamiento/tiempo transcurrido; Q 1-6
un tiempo extremadamente corto; Q 1-7 variación
de la velocidad/tiempo transcurrido; Q 1-8 velocidad instantánea; Q 1-9 aceleráción instantánea;
Q 1-10 a-t; Q 1-11 v-t; Q 1-12 resistencia del aire;
Q 1-13 O, g (hacia abajo).
TABLA 1.4
Distancias de aceleración d y alturas verticales h
para varios animales. Todas las distancias están
en metros.
Distancia de
aceleración (d)
Seres humanos
Canguro
Lemur (mono)
Rana
Langosta
Pulga
Altura
vertical (h)
0,5
1,0
0,16
0,09
0,03
0,0008
1,0
2,7
2,2
0,3
0,3
0,1
TEMAS SUPLEMENTARIOS
1.8 1. SALTO VERTICAL
Podemos utilizar las ecuaciones de aceleración constante para analizar las posibilidades relativas de salte·
de distintos animales. La Tabla 1.4 muestra las altu-.:
ras registradas de algunos animales en salto vertical.
Nótese que la altura de salto de los seres humanos
es menor que el récord de salto de altura, que se cifra
en más de 2 m. Ello se debe a que un hombre de 1,80
m de altura (6 pies aproximadamente) está ya en posición de pasar una barra situada aproximadamente a la
mitad de la altura de su cuerpo con tal de girarse a posición horizontal. El método de salto llamado rodillo
ventral (Fig. 1.16) no es utilizado por ningún otro animal, por lo cual las alturas de la Tabla 1.4 son las más
adecuadas para comparar las posibilidades de salto.
Los animales saltan doblando sus piernas y extendiéndolas rápidamente. Generalmente, la distancia de
aceleración des algo más corta que las piernas del animal. Una vez en el aire, el animal sólo experimenta la
aceleración de la gravedad, de modo·que las fórmulas
de las aceleración constante son aplicables. También
podemos analizar la fase de despegue si hacemos la
aproximación de que la aceleración ad es constante durante el despegue. Esta aptóximación se utiliza en ~J siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.lS
Utilizando los datos de la Tabla 1.4.calcular (a) la velocidad de despegue vd para un ser humano y (b) la aceleración de.despegue ad.
(a) Sea x la posición del punto medio de la-persona.
Elegiremos como +x la dirección hacia arriba y tomaremos como origen x = Oel punto· en que la persona se ha-
25
Movimiento rectilíneo
(a)
(b)
Figura 1 .16
Saltadores de altura empleando (a) la técnica tradicional de rodillo ventral y (b) la más
reciente de Fosbury. En ambos casos el atleta mantiene todo lo que puede de su peso por debajo de la
barra. [(a) United Press International; (b)] Wide World Photos.]
26
Movimiento rectilfneo
EJERCICIOS SOBRE LOS TEMAS
SUPLEMENTARIOS
Sección 1.8
(b)
(a)
(e)
Figura 1 .17 Posiciones durante el salto vertical; (a) agachado,
con v; O; (b) completamente extendido en el despegue, con v; vd;
(e) altura máxima, con v ; O. La coordenada x indica la altura del
punto medio de la persona. El origen (x ; O) está en la altura del punto medio de la posición mostrada en (b).
lla de pie justo antes de dejar el suelo, como en la Fig.
l.17b. Para hallar la velocidad de despegue, consideremos la fase de ascenso. Durante esta fase, la aceleración
es - g y la velocidad cambia desde v0 =vd hasta v = O. La
2
altura cambia en (x - x 0) = h = 1 m, por lo cual v2 = v0
+ 2a(x - x0) se convierte en
o =v~-2gh
o
v/ = 2gh
Así
u,
= y2gh = y (2)(9,8 m s- 2)(1 m)
= 4,4 m s1
(b) Consideraremos que durante-la fase de despegue
la aceleración ad es constante. La velocidad aumenta desde v0 =Oa v =vd y la altura cambia en (x - x 0) =d = 0,5
m. Así pues, durante la fase de despegue~ v2 = v/ + 2a(x
- x0) se convierte en
v/ = 2a~
Comparando esto con d/ = 2gh, encontramos
h
ª1= -¡¡g
=
o'.s:
(9,8 m s- 2 )
= 19,6 m s-
2
Las aceleraciones y los tiempos de despegue son
muy distintos para diferentes animales. ¡Un hombre
que saltara con la misma aceleración qúe una pulga alcanzaría una altura de más de 50 m! A pesar de tan
grandes diferencias, veremos en el Capítulo 6 que la
cantidad de energía total que una masa muscular dada
puede proporcionar por salto es aproximadamente la
misma para todos los animales.
1
Salto -vertical
1.77 Un salmón :salta verticalmente fuera del agua
con una velocidad inicial de 6 m s-1• (a) ¿Qué altura alcanzará? (b) ¿Cuánto tiempo estará el sal!nón
fuera del agua?
1-78 ¿A qué altura llegaría una mujer que saltara
con la misma velocidad de despegue que una pulga?
1-79 A partir de la Tabla 1.4, calcular la acelera-:
ción media de despegue y la velocidad de despegue
de una langosta, suponiendo que la aceleración es
constante. Comparar estos resultados con los del
hombre del Ejemplo 1.15.
1-80 Un astronauta con traje espacial puede saltar
0,5 m en vertical en la superficie de la Tierra. La aceleración de la gravedad en Marte es 0,4 veces la de
la Tierra. Si su velocidad de despegue es la misma,
¿a qué altura llegará un astronauta que salte en Marte?
1-81 Si un ser humano alcanzara una aceleración
de despegue igual a la de la pulga, ¿a qué altura llegaría? (Considerar que la distancia de aceleración
es de 0,5 m.)
1-82 Calcular el tiempo de despegue para un ser humano y una pulga a partir de la Tabla 1.4.
Lecturas adicionales
Alfred M. Bork and Arnold B. Arons. Resource Letter Col
R-1 on Collateral Reading in Physics, American Journal
of Physics, vol. 35, 1967, p. l. Una bibliografia.
Marjorie Nicholson. Science and Literature. American Journal ofPhysics, vol. 33, 1965, p. 175. Una bibliografía. ..
Arnold B. Arons and Alfred M. Bork, Science and Ideas~
Prentice Hall, Inc, Englewood Cliffs, N. J., 1964. U na antología.
American Foundation for Continuing Education. The
Mystery of Matter, Oxford University Press, New York,
1965. Una antología.
National Science Foundation, Exp/oring the Universe,
McGraw-Hill Book Co., New York, 1963. Una antología.
W. }:. Magie, Source Book in Physics, McGraw-Hill Book
Co., New York, 1935. Una antología.
L. B. Macurdy, Standards of Mass, Physics Today, vol. 4,
Abril 1951, p. 7.
D. Brouwer, The Accurate Measurement of Time, Physics
Today, vol. 4, Agosto 1951, p. 6.
Movimiento rectilíneo
Stillman Drake, Discoveries and Opinions of Galileo, Doubleday and Co., Garden City1 New York, 1957.
Giorgio de Santillana, The Crime of Galileo, University of
Chicago Press, Chicago, 1955.
JamesHansen, ThecrimeofGalileo,Science8J, Marzo 1981,
p. 14.
R. B. Lindsay, Galileo Galilei, 1564-1642, and the Motion of
FallingBodies,AmericanJournalofPhysics, vol.10, 1942,
p. 285.
Sir James Gray, How Animals Move, Cambridge University
Press, Cambridge, 1953. Las pp. 69-80 analizan el salto.
R. McNeill Alexander, AnimalMechanics, University ofWashington Press, Seattle, 1968. Las pp. 28-33 analizan el salto.
.
David P. Willoughby, Running and Jumping, Natural History, vol. 83, Marzo 1974, p. 68. Comparación de diversos animales.
Artículos del Scientific American:
27
Herbert Butterfield, Toe Scientific Revolution, Septiembre
1960, p. 173.
P.A.M. Dirac, Toe Physicist's Picture ofNature, Mayo 1963,
p. 45.
Freeman J. Dyson, Mathematics in the Physical Sciences,
Septiembre 1964, p. 128.
Allen V. Astin, Standards ofMeasurement, Junio 1968, p. 50.
Lord Ritchie-Calder, Conversion to the Metric System, Julio 1970, p. 17.
Barry N. Taylor, Donald N. Langenberg y William H. Parker, Toe Fundamental Physical Constants, Octubre 1970,
p. 62.
J. E. Ravetz, Toe Origins ofCopernican Revolutions, Octubre 1966, p. 88.
Stillman Drake, Galileo's Discovery of the Law of Free Fall,
Mayo 1973, p. 84.
Stillman Drake, Toe Role ofMusic in Galileo's Experiments.
Junio 1975, p. 98.
CAPÍTULO
2
MOVIMIENTO
EN DOS DIMENSIONES
Aunque la mayoría de los principios de la Mecánica
puedan ilustrarse mediante objetos que se desplazan
en línea recta, su aplicación incluye a menudo movimientos más complejos. Los animales que saltan hacia adelante, las pelotas lanzadas o golpeadas y los patinadores artísticos se mueven en un plano vertical u
horizontal. Las definiciones de posición, velocidad y
aceleración y sus relaciones pueden extenderse desde
el caso unidimensional al caso más general en el que estas magnitudes se representan por vectores. Los vectores son objetos matemáticos que tienen un módulo y
una dirección y que se pueden utilizar para representar muchas otras magnitudes físicas además de las que
se necesitan para describir el movimiento. En cambio,
otras magnitudes físicas, como la temperatura o el
tiempo, no tienen dirección y se pueden representar
por números ordinarios también llamados escalares.
(al
(/¡)
(e)
En la primera sección introducimos los vectores y
explicamos algunas de las reglas para su manejo. A
continuación formulamos de nuevo las definiciones del
capítulo precedente en lenguaje vectorial y mostramos
que el movimiento en un plano es equivalente a un par
de movimientos unidimensionales. Esto nos permite
llegar a los resultados del capítulo anterior y discutir
el movimiento de los proyectiles.
2.1
1
UNA INTRODUCCIÓN A LOS
VECTORES
En esta sección introducimos los vectores y vemos
cómo se suman y restan. Mientras que los vectores se
escriben con una flecha sobre su símbolo (A), en letra
impresa se escriben en negritas, como en A, s y v. El módulo del vector A se escribe A o IA1- Un vector se re-
(ti)
Figura 2 .1
(a) Los vectores A y B representan dos desplazamientos. (b) Para sumar B a A, colocamos su origen en el extremo de A. (Al mover un vector, éste no cambia mientras no se alteren Ía dirección
y el módulo.) (e) La suma C "'A+ Bes un vector que va del origen del primero, A, al extremo del segundo, B. C representa el desplazamiento neto. (d) No importa el orden en que se suman los vectores, A+ B
"'B + A.
28
29
Movimiento en dos dimensiones
YJ....
e
(a)
N
A
(1· ·Cf ºt'
e
D=B + A + C
(b)
(e)
Figura 2 .2
(a) Tres vectores A, By C. (b) y (e) Dos posibles
combinaciones para calcular la suma D de los tres vectores.
presenta en un diagrama por una flecha cuya longitud
es proporcional a su módulo y está orientado indicando su dirección y sentido. Por ejemplo, en la Fig. 2.1,
A, B y C tienen cada uno una dirección distinta y C es
mayor que A en módulo. También, IAl>IBI.
Suma de vectores I El concepto de adición
vectorial se ilustra por medio de un ejemplo de dos vectores que representan desplazamientos. Supongamos
que alguien recorre una cierta distancia en una dirección dada y que seguidamente se gira y recorre otra distancia en una nueva dirección. El cambio neto en laposición o desplazamiento depende del módulo y de la dirección de cada uno de los desplazamientos. Llamemos A al primer desplazamiento y B al segundo. El desplazamiento neto C es la suma de A y de B
C=A+B
El procedimiento para hallar C se muestra en la Fig.
2.1. Obsérvese que el orden de los vectores en la suma
es irrelevante: A + B y B + A son la misma cosa. Cuando hay tres o más vectores para sumar, se suman primero dos de ellos, después el siguiente, y así sucesivamente. Aquí también, el orden de los vectores carece
de importancia; por ejemplo, en la Fig. 2.2, A + B + C
= B +A+C.
El ejemplo siguiente muestra que el módulo de A
+ B depende de las direcciones relativas de A y de B.
B
A
•
A
1111
C = A+B = O
¾)·
(b)
(e)
C= A + B
(a )
s
D=A + B + C
.. ....
B
Figura 2 . 3
Suma de dos vectores desplazamiento que son iguales en módulo y (a) paralelos; (b) opuestos o antiparalelos; y (e) perpendiculares.
mente, ·construimos la suma C = A + B para los tres casos (Fig. 2.3).
(a) Como Ay B tienen la misma dirección y sentido, 1C 1
es igual a A + B = 2A = 2 km. C se dirige hacia el Este.
(b) Aquí, los vectores tienen sentidos opuestos. Así
pues, C = A - B = O.
2
2
2
(c) Por el teorema de Pitágoras, C =A + B = 2A2,
por lo cual
c=v2A = J2°km
Según la figura, C apunta hacia el Sureste.
Multiplicación de un vector por un escalar I La multiplicación de un vector por un escalar
se define de tal manera que se puedan aplicar las reglas usuales del álgebra. Si se ha de cumplir que 2A =
A + A, entonces debemos interpretar 2A como un vector de la misma dirección y sentido que A pero de doble
longitud. Por ej~mplo, si A es un desplazamiento de 2
mi hacia el Norte, entonces 2A es un desplazamiento de
4 mi hacia el Norte y 5A un desplazamiento de 10 mi hacia el Norte.
I La sustracción de
vectores se define también de tal manera que se cumplan las reglas algebraicas usuales. Para que se cum-
Sustracción de vectores
Ejemplo 2.1.
Una persona anda 1 km hacia el Este. Si la persona
anda luego otro kilómetro, ¿cuál es la distancia final desde el punto de partida si el segundo kilómetro ha sido recorrido (a) hacia el Este, (b) hacia el Oeste, (c) hacia el
Sur?
Llamaremos A al primer desplazamiento y B al segundo. Utilizando el procedimiento indicado anterior-
B
Figura 2 .4
El vector C = B - A se halla sumando - A a B.
Movimiento en dos dimensiones
30
pla que A - A= O, -A debe interpretarse como un vector del mismo módulo que A pero de sentido opuesto.
Así, si A es un desplazamiento de 2 millas hacia el Norte, -A es un desplazamiento de 2 millas hacia el Sur, y
-3A es un desplazamiento de 6 millas hacia el Sur. La
diferencia de vectores C = B - A= B + (-A) se halla sumando el vector - A al vector B, tal como en la Fig. 2.4.
Componentes de un vector
y
B,
X
I
Un vector en
-un plano dado se especifica mediante dos datos, sumódulo y su dirección y sentido. El vector puede especificarse de forma equivalente mediante otras dos cantidades, sus componentes en un par de ejes perpendiculares. Tales componentes resultan a menudo útiles en
los cálculos vectoriales.
El método para hallar las componentes de un vector se muestra en la Fig. 2.5. El vector A se traza de nuevo a partir del origen de los ejes x-y, y las componentes de A, llamadas A. y Ay, se construyen trazando las
líneas de puntos perpendicularmente a los ejes. Las expresiones que relacionan las componentes con el módulo de A y el ángulo 8 que forma con el eje de las x
pueden obtenerse mediante algunas propiedades de los
triángulos rectángulos.
La Fig. 2.6 muestra un triángulo rectángulo de lados a, b y c. Estos satisfacen el teorema de Pitágoras
B,
(a)
(i> l
Figura 2 .7
Ejemplo 2.2.
El seno, el coseno y la tangente del ángulo 8 se definen como
sen 0
=--.cateto opuesto
h~1p_o_t,....ec...n-u-sa-:
cos 0
=
cateto contiguo b
h'1potenusa
e
t an 0 =
cateto opuesto a
.
cateto contiguo b
a
e
Así, en la Fig. 2.5b, las componentes Ax y Ay satisfacen
a2 + b2 = c2
y
y
(2.1)
y
A Xi +Ayi = A2
(2.2)
Además,
cos
0
A,,
=A,
A
sen0 = - 11
A
(2.3)
A 11 = Asen0
(2.4)
o
X
X
(al
Figura 2 .5
lbl
(a) Un vector A y los ejes perpendiculares x e y . (b)
!Las componentes de A son Ax y A,.
90° -8
Cateto
opuesto, a
90°
Cateto contiguo, b
Figura 2.6
Triángulo rectángulo.
A,,= A cos0,
A. es positiva cuando se dirige en la dirección +x y negativa cuando apunta hacia la dirección - x. Análogamente, Ay puede ser positiva o negativa, como veremos
en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.2
Hallar las componentes de los vectores A y B de la
Fig. 2.7, si A= 2 y B = 3.
Utilizando tablas trigonométricas o una calculadora
electrónica, hallamos que cos 30° = 0,866 y sen 30° =
0,500. Por lo tanto,
A.= A cos 8 = 2 cos 30° = 2(0,866) = 1,73
Ay = A sen O= 2 sen 30º = 2(0,500) = 1,00
31
M ovimiento en dos dimensiones
)'
)'
)'
A,
X
X
(d
(h )
(a)
Figura 2 .8 (a) x e y son vectores unitarios, es decir, vectores de longitud unidad dirigidos a lo largo
de los ejes de coordenadas. (b) Un vector A puede construirse a partir de sus componentes A. y A,. (e) C
= A+ B en componentes es c. = A. + B., C, =A,+ B,.
y
Según la Fig. 2.7b, B, es positiva y B, es negativa. Con
cos 45º =sen 45° = 0,707,
B, = 3 cos 45º = 3(0,707) = 2,12
B, = -3 sen 45º = -3(0,707) "". -2,12
La suma de dos o más vectores puede calcularse _d e
forma conveniente en función de las componentes.
Para ello, definimos el vector unitario x (léase «x sombrero»), un vector de longitud unidad en la dirección
+x. Análogamente, y es un vector unitario en la dirección +y. Con estos vectores unitarios, un vector A df
componentes A, y Ay puede escribirse como
A= A,x + A,y
Si un vector B se escribe también como
B =B,x
la suma C
6
4
2
Las componentes de C son la suma de las respectivas
componentes de A y de B (Fig. 2.8). Ello se ilustra en
el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.3
En la Fig. 2.9, A = 2x +y, y B = 4x + 7y. (a) Hallar
las componentes de C = A + B. (b) Hallar el módulo de
C y el ángulo (} que forma con el e}e de las x.
(a) Utilizando la Ec. 2.5
=(2 + 4)x + (1 + 7)y = 6:x + &y
4
2
Figura 2 .9
6
X
Ejemplo 2.3.
Por lo tanto, C, = 6 y e, = 8.
(b) Por el teorema de Pitágoras,
c2 = e 2 + ey2 = 62 + g 2 = 100
+Byy
= A + B es
e
8
X
por lo cual C
satisface
= 10. En la Fig. 2.9 vemos que el ángulo (}
tan O=
e
7!
= 6s = 1,333
r
Utilizando una calculadora encontramos(}= 53º.
2.2
1
VELOCIDAD EN DOS
DIMENSIONES
En dos dimensiones, la posición, la velocidad y la aceleración se representan mediante vectores. Sus definiciones son análogas a las correspondientes al movi-
32
Movimiento en dos dimensiones
y
y
X
X
(b)
(a)
Figura 2.1 O (a) Un objeto se mueve a lo largo de un camino en un plano. En el instante 11 se encuentra en el punto I y en el t2 en el punto 2. La velocidad media es paralela a 6s. (b) Cuando el intervalo
de tiempo t2 - t 1 se hace más pequeño, disminuye 6s. La velocidad mediav = ó.sló.t tiende a la velocidad
instantánea v en ti, que es tangente a la trayectoria en el punto l.
miento rectilíneo y sus componentes x se relacionan
unas con otras de la misma manera que x, v y a en el
movimiento rectilíneo. Como lo mismo ocurre para las
componentes y, un problema en que intervenga el movi-
miento en un plano es efectivamente un par de problemas
unidimensionales.
La Fig. 2.10 muestra un objeto que se mueve en el
plano deteiRlinado por los ejes x e y. Dicho objeto podría ser un coche, un animal o un glóbulo rojo y se representa simbólicamente mediante un punto. Si el desplazamiento en un intervalo de tiempo /).t se designa
por el vector !).s, la velocidad media del objeto es entonces
-V= -t.s
Como la velocidad media en un plano es equivalente a dos velocidades medias unidimensionales, todo
lo dicho en el capítulo precedente sobre las velocidades media e instantánea se cumple aquí para cada componente. Por ejemplo, la velocidad instantánea v es la
velocidad media para un intervalo de tiempo extremadamente corto. En función de las componentes
v=v,i +11,y
Aquí, v. y vy, son los cambios instantáneos que se producen en las coordenadas x e y del objeto. En cada ins- ·
y
y
(2.6)
t:,./
(2.10)
Podemos escribir /).s en función de sus componentes x
ey
t.s
= t.xx + t.jy
(2.7)
Entonces la velocidad media puede también escribirse
en función de sus componentes
-
t.x ,._
V
t.y ,._
= Tt X + óty
(2.8)
t.x
=
--¡-,
, ul
X
X
1
1
1
300
v.,
2
1
1
Adviértase que
-
"X
v
m--J
(b)
(a)
(2.9)
de modo que cada componente de la· velocidad media
aparece como una velocidad media unidimensional.
Figura 2.11
(a) Un coche recorre la mitad de una pista oval
de carreras. Su velocidad media v durante este recorrido apunta en
la dirección +x. (b) La aceleración media apunta en la dirección
-y.
a
33
Movimiento en dos dimensiones
tante, v se dirige según la tangente al camino o trayectoria del objeto (Fig. 2.10b). Estas ideas se ilustran en
el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.4
Un coche recorre la mitad de un autódromo oval a
una celeridad constante de 30 m s- 1 (Fig. 2.11). (a) ¿Cuáles son sus velocidades instantáneas en los puntos 1 y 2?
(b) Si tarda 40 s para ir de 1 a 2, cuya separación es de
300 m, ¿cuál será su velocidad media durante este intervalo?
(a) La velocidad instantánea es tangente a la trayectoria del coche y su módulo es igual a la celeridad. Así, en
el punto l la velocidad apunta en la dirección +y y v1 =
30 m s- 1 y. Análogamente, en el punto 2 la velocidad apunta en la dirección - y, y v2 = (30 m s-1)( - Y)= -30 m s- 1
y.
(b) La velocidad media es el desplazamiento dividido por el tiempo transcurrido. El desplazamiento es enteramente en la dirección x, por lo que As = (300 m)x.
Como At = 40 s.
-
As
300 m ~
!:J.v = - = -- x
At
40 s
= 7,5 ms_1~X
La velocidad media durante este intervalo de tiempo se dirige según el eje +x. Su módulo es menor que la celeridad anterior de 30 m s- 1 porque no se ha desplazado en
línea recta.
2.3
1
ACELERACIÓN EN DOS
DIMENSIONES
La aceleración de un objeto que se mueve en un plano se define de la misma manera que en.el caso unidimensional. Supongamos que en un intervalo de tiempo D.t = t2 - t 1 la velocidad varía en D.v = v2 - v 1• Enton ces, fa aceleración media es
(2.11)
La aceleración instantánea a es la aceleración media durante un ·intervalo de tiempo extremadamente corto
(Fig. 2.12). En componentes,
(2. 12)
en la queª• y ay son las variaciones por unidad de tiempo de v. y vy, respectivamente.
El ejemplo siguiente ilustra el cálculo de la aceleración media.
Ejemplo 2.5
En el ejemplo precedente la velocidad del coche cam1
biaba desde v1 = 30 m s- 1 y a v2 = -30 m s- y en 40 s.
¿Cuál era la aceleración media del coche en ese intervalo
de tiempo?
La aceleración media se define como el cambio de velocidad dividido por el tiempo transcurrido
_
v
-
v
ª = _2 A_t_1 =
(-30 m s-1y) - (30 m s- 1y)
40s
= -1,5 m s-2y
Así pues, la aceleración media durante el tiempo en que
el coche va desde el punto 1 hasta el punto 2 tiene la dirección de -y, es decir, hacia abajo en la Fig. 2.1 l b.
Este ejemplo ilustra un punto importante. Una velocidad constante significa que la aceleración es nula,
pero una celeridad constante p uede o n o corresponder
a una aceleración nula. U n objeto que se mueve sobre
un camino curvilíneo con una celeridad constante tiene una velocidad que cambia de dirección, por lo tanto está acelerado! Sentimos los efectos de esta aceleración cuando el coche toma una cu rva rápidamente.
Insistimos, la aceleración es nula sólo cuando la celeridad y la dirección del movimiento son ambas constantes.
2.4
1
CALCULO DEL MOVIMIENTO
DE UN OBJETO
Tal como hemos in dicado, un problema en el que interviene el movimiento de un objeto en u n plano es
equivalente a un par de problemas de movimiento rectilíneo. Por consiguiente, las compon entes x e y de la
posición y la velocidad de u n objeto pueden calcularse exactamen te como an tes si la aceleración y la posición inicial y la velocidad inicial son conocidas. Por
ejemplo, supongamos que un objeto está inicialmente
en reposo en el o rigen y que la aceleración es constante. En una dimen sión , la posición y la velocidad consigu ientes en tal situación vienen dadas por D.x = v 0 D.t
+
a(M)2 y v = v0 + a/).t. Aquí, se cumplen ecuaciones semejantes para los movimientos en x y en y separadamen te
½
= vo X /).t + f a. (f).t)2
f).y = vo1M + ay (f).t)2
Vx = Vox + ax D.t
vy = Voy + ay tú
/),,x
(2.13)
+
(2.14)
34
Movimiento en dos dimensiones
(a)
(b)
Figura 2.12
(a) La curva negra representa el camino seguido por un objeto. Las velocidades en los
puntos I y 2 son vectores tangentes a la trayectoria en los instantes t 1 y t 2• (b) La aceleración media en.tre, t 1 y t 2 es paralela a Av.
a
Cada una de las restantes ecuaciones de aceleración constante de las hojas de portada lleva también a
.un par de ecuaciones para las componentes del movimiento bidimensional.
La utilización de estas ecuaciones se ilustra en la
sección siguiente.
2.5
1
PROYECTILES
Son ejemplos de proyectiles los objetos que caen de las
ventanas, los animales al saltar y las pelotas al ser lanzadas o golpeadas con el pie. Si se desprecia la resistencia del aire, el movimiento de un proyectil sólo se ve
influido por la aceleración constante de la gravedad. Dadas la posición y velocidad iniciales, las posiciones y velocidades subsiguientes pueden hallarse utilizando las
ecuaciones de aceleración constante.
Para utilizar estas ecuaciones en el movimiento de
un proyectil, tomemos el eje x horizontal y el eje +y dirigido hacia arriba. Entonces, ª •= O y ay= -g, y las
ecuaciones 2.13 y 2.14 se convierten en
Ax= Vox lit; Liy = Voy Lit -
+ g (Lit)2
(2.15)
(2.16)
Las ecuaciones de Lix y vx muestran que el movimiento horizontal es uniforme y las ecuaciones de Liy y vy
muestran que el movimiento vertical es el de un objeto sobre el que únicamente actúa la gravedad.
Las ecuaciones del movimiento vertical se pueden
utilizar como en el movimiento rectilíneo para respon-
der a varias preguntas. Por ejemplo, el proyectil llega
al suelo cuando y es igual a la altura del suelo, y la altura máxima se alcanza cuando vy = O. Este tratamiento puede aplicarse a problemas cualitativos y cuantitativos de movimiento de proyectiles.
·
Dos interesantes ejemplos de movimiento de proyectiles se muestran a menudo como experiencias de
cátedra. En el primero de ellos, dos bolas de acero se
sueltan simultáneamente desde una misma altura sobre el suelo. La bola 1 se proyecta horizontalmente mediante un muelle mientras la bola 2 se deja caer desde
el reposo. Se trata de predecir cuál de ellas llegará antes al suelo.
Aunque este problema parece dificil al principio,
su resolución es trivial una vez que se advierte que ambas bolas tienen la misma velocidad vertical inicial y
las mismas componentes de posición y la misma aceleración. Por consiguiente, las ecuaciones para el movimiento vertical de las dos bolas son las mismas y deberán por lo tanto llegar al suelo simultáneamente (Fig.
2.13). Esto ilustra claramente la idea de que el movimiento vertical y el horizontal son independientes.
La segunda demostración es algo más elaborada.
Se dispara un proyectil mediante un cañón que apunta hacia un animal de peluche (Fig. 2.14). Justo en el
momento en que el proyectil sale del cañón se suelta
el animal y se deja caer. Por sorprendente que parezca, el proyectil alcanza al animal en el aire. La clave
está en que si no hubiera aceleración gravitatoria el
proyectil recorrería una línea recta. Sin embargo, como
el proyectil y el animal de peluche experimentan la mis-
35
Movimiento en dos dimensiones
ma aceleración gravitatoria, ambos descienden en la
misma proporción con respecto al punto donde hubieran estado en caso contrario. Por consiguiente, si el cañón apunta directamente al anima l, el único efecto de
la aceleración gravitatoria es que se encontrarán algo
por debajo de donde estaba el animal inicialmente.
Los siguientes ejemplos ilustran la solución de problemas cuantitativos del movimiento de proyectiles.
Ejemplo 2.6
.
Se da un puntapié a una pelota desde el suelo con una
velocidad de 25 m s- i y un ángulo de 30° con respecto a la
horizontal. (Fig. 2.15) (a) ¿Cuándo alcanza la máxima altura? (b) ¿En qué posición se encuentra en dicho instante?
(a) Según la Fig. 2.15b, los componentes de la velocidad inicial son:
Figura 2 .14 El proyectil y el animal de peluche caen juntos
cuando se les suelta simultáneamente. Chocarán en el punto señalado con una cruz.
v0, = v0 cos 30º = (25 m s-1) (0,866) = 21,7 m s-1
1
1
Voy= v0 sen 30º = (25 m s- ) (0,500) = 12,5 m s- ·
(b) Según las ecuaciones 2.15, el desplazamiento tras
1,28 s viene dado por
Se alcanza la máxima altura cuando vy = O. Según vy
g tlt ello ocurre cuando
tlx = v 0, tlt = (21,7 m s-1) (1,28 s) = 27,8 m
fly = Voy /:;,t =
g (t:.t}2
= v0y •A
_
ut -
(uoy - uy) _ ( 12,5 m
g
-
s- 1 -
9, 8 ms - 2
O) _
-
1•28 S
+
= (12,5 m s- 1) (1,28 s) -
+g (9,8 m s-
2
)
(1,28 s)2
=7,97 m
Por consiguiente, la pelota se halla a 7,97 m de altura a una distancia horizontal de 27,8 m del punto donde
fue golpeada.
Ejemplo 2.7
Se sirve horizontalmente una pelota de tenis a unos
2,4 m por encima del suelo y a 30 m s~1 (Fig. 2.16). (a) La
red está a 12 m de distancia y a 0,9 m de altura. ¿Salvará
la pelota la red? (b) ¿Dónde aterrizará la pelota?
(a) Para encontrar la altura de la pelota en la red, debemos utilizar primeramente las ecuaciones del movimiento horizontal, en las que x = 12 m, para saber cuándo
alcanzará la red. A partir de este momento, podemos determinar la altura. De tlx = vo,tlt se obtiene
t:.t = t:.x =
u0 ,,
12 m
30 m s-1
= O4 s
'
Utilizando t:.t =0,4 s, Yo= 2,4 m y Voy = O, la posición vertical es
y =Yo+ v 0,¡tlt - ½g(tlt}2
= 2,4 m - ½(9,8 m s-2)(0,4 s)2 = 1,62 m
Figura 2 .13 Fotografías de exposición múltiple muestran que
una bola dejada caer desde el reposo y una proyectada hacia adelante caen al mismo tiempo. (Reproducida con permiso del editor
de PSSC Physics, cuarta edición, 1976, por D. C. Heath and Co.
Lexington, Massachusetts.)
Como la red sólo tiene 0,9 m de altura, es evidente que
la pelota la pasará.
(b) La pelota aterriza en el instante ten que y= O. Una
vez que hayamos obtenido este tiempo, se podrá hallar la
distancia que ha _recorrido en el movimiento horizontal.
36
Movimiento en dos dimensiones
y
y
(el
(b)
(a)
Figura 2 .15 (ti) Una pelota golpeada con el pie desde el suelo tiene v, =Oen el punto más elevado de su
trayectoria. Ejemplo 2.6. (b) Componentes de la velocidad inicial. (e) Componentes de la velocidad en el
punto más elevado.
Sustituyendo y=O y v0y=O en y=y0 +v0yt-
+gt2,
hallamos
O
=Yo -
½gt2
Así,
2 -
t t
g2yo --
2(2,4 m) - 0490
9,8 m s-2 -
'
s
2
= 0,100 s
Por lo tanto, la distancia que la pelota recorre antes de
aterrizar es
x =
V0zl
bre la horizontal, ya que la pelota va más rápida y su
trayectoria es más plana. Mientras un jugador puede
determinar su mejor ángulo de servicio tras sucesivos
ensayos, las fórmulas del movimiento de proyectiles
pueden utilizarse para predecir dicho ángulo si se conoce la velocidad inicial. Los consejos que dan los tratados de tenis se basan a menudo en este tipo de análisis. Muchas otras pruebas atléticas en las que intervienen proyectiles que se lanzan o golpean pueden discutirse mediante las fórmulas del movimiento de proyectiles.
= (30 m s""'1)(0,700 s) = 21,0 m
RESUMEN
Proyectiles en atletismo I El ejemplo precedente ilustra cómo las fórmulas del movimiento de proyectiles pueden aplicarse al análisis de un servicio en tenis. En un saque, la pelota ha de salvar la red en un margen estrecho pero seguro y ha de caer en el interior del
cuadro de servicio. Si un principiante lanza la pelota
con excesiva lentitud, ésta no pasará la red a no ser
que se la lance ligeramente por encima de la dirección
horizontal. Los jugadores más expertos pueden servir
horizontalmente o con una inclinación muy ligera so-
X
Figura 2 .16
2.7.
Pelota de tenis servida horizontalmente. Ejemplo
En dos dimensiones, la posición, la velocidad y la aceleración tienen módulo y dirección y, por lo tanto, se
representan mediante vectores. En los diagramas, los
vectores se representan mediante flechas. Para hallar
la suma C = A + B, se dibuja el origen de B a partir
del extremo de A; C es entonces el vector que parte del
origen de A y llega hasta el extremo de B. Al multiplicar un vector por un escalar o número ordinario positivo se aumenta su módulo en este factor sin cambiar
su sentido, al multiplicarlo por un escalar negativo, se
invierte su sentido además de modificar su módulo.
Muchos cálculos en los que intervienen vectores se
simplifican con la elección de un par de ejes x-y conveniente, y procediendo al cálculo de las componentes
de los vectores. Si A forma un ángulo 8 con respecto a
la dirección x positiva, sus componentes son Ax = A
cos 8 y Ay= A sen 8. Al sumar las componentes x de
dos o más vectores se obtiene la componente x de su
vector suma. Análogamente, la suma de componentes
y da la componente y de la suma.
La velocidad y la aceleración en el plano se definen
estableciendo las definiciones unidimensionales en for-
37
Movimiento en dos dimensiones
a
ma vectorial v = l:ls/l:lt y = l:lv/ l:lt. De este modo,
las componentes x de estas magnitudes se relacionan
entre sí exactamente del mismo modo que en una dimensión y lo mismo ocurre con las componentes y, por
lo cual el movimiento en un plano es efectivamente un
par de movimientos unidimensionales. Por consiguiente, si se conoce la aceleración, la posición inicial y la velocidad inicial, el movimiento resultante puede hallarse del·mismo modo que en una dimensión.
y
Lista de repaso
Figura 2.17
Definir o explicar:
vector
escalar
adición de vectores
sustracción de vectores
componentes de un vector
. vector unitario
velocidad en dos
dimensiones
aceleración en dos
dimensiones
proyectil
Figura 2.18
2-2 y 2-4.
Ejercicios
Q 2.13 La componente vertical de la aceleración de
un proyectil es ......... , y la componente horizontal es
EJERCICIOS
Sección 2.1
CUESTIONES DE REPASO
Q 2.1 ¿Cuál es la diferencia entre un escalar y un
vector?
Q 2.2 ¿Cómo se representan los vectores en la escritura y en los libros?
Q 2.3 Si A es paralelo a B. ¿Cuál es el módulo de
A + B? ¿Y el de A - B? ¿Y el de 2A?
Q 2.4 Si A es perpendicular a B. ¿Cuáles el módulo
de A+ B?
Q 2.5 La velocidad media en un plano es el .........
dividido por el ....... ..
Q 2.6 La aceleración media en un plano es el.. .......
dividida por el .........
Q 2.7 La aceleración es nula cuando tanto el ....... ..
como la ......... de la velocidad son constantes.
Q 2.8 El movimiento en un plano es equivalente a
un par de ....... ..
Q 2.9 El movimiento de un proyectil sólo es influido por (supóngase despreciable la resistencia del
aire) la .........
Q 2.10 El instante en que un proyectil llega al suelo puede obtenerse a partir de las ecuaciones del movimiento ........ .
Q 2.11 Cuando un proyectil se halla en el punto
más alto de su trayectoria, la componente ......... de
su velocidad es nula.
. Q 2.12 La componente ......... de la velocidad de un
proyectil permanece constante durante el movimiento.
Ejercicio 2.1.
1
Introducción a los vectores
2-1 La Figura 2.17 muestra un conjunto de vectores que pueden combinarse de diversas maneras.
Por ejemplo, A+ C B. Hallar (a) E+ C, (b) A+
F; (c) A+ D; (d) E+ A; (e) E+ 2A; (f) A-B; (g)
B-A; (h) C-A.
2-2 ¿Para qué valor de O de la Fig. 2.18 la suma C
=A+ B tendrá (a) un módulo mínimo y (b) un módulo máximo? (c) Hallar C cuando (J = 90°.
=
2-3 Lacomponentexdeunvectores - lOylacomponente y es +3. (a) Dibujar un conjunto de ejes x-y
y trazar el vector. (b) Calcular el módulo y la dirección del vector.
2-4 Si en la Fig. 2.18 O= 72º, hallar (a) la dirección
y módulo de C = A + B mediante una gráfica <;_onstruida con regla y transportador; (b) el módulo y dirección de C utilizando el método de las componentes.
y
y
8 =6
X
A =4
Figura 2.19
X
Ejercicio 2-5.
Figura 2.20
2-6 y 2-7.
Ejercicios
38
Movimiento en dos dimensiones
2-S Para los vectores A y B de la Fig. 2.19, hallar
(a)A+B;(b)B - A;(c)A-B.
2-6 Utilizando las componentes de los vectores de
la Fig. 2.20, hallar el módulo y dirección de E = A
+B+C+D.
2-7 Utilizando las componentes de los vectores de
la Fig. 2.20, hallar el módulo y la dirección de F =
A - C+B - 2D.
2-8 Una chica anda 10 millas hacia el norte, tuerce
hacia el noroeste y anda 5 millas más. ¿Cuál es su
situación final?
2-9 Un barco parte hacia un punto situado 100 millas al norte, pero una fuerte tempestad le desvía hacia un punto situado a 200 millas al este de su punto de partida. ¿Cuánto habrá de navegar y en qué dirección para llegar al destino previsto?
1
2-10 Una persona anda hacia el noreste a 3 mi hy otra va hacia el sur a 4 mi h-t. ¿Qué distancia les
separa tras dos horas de camino?
2-11 Para los vectores de la Fig. 2.21, hallar el módulo y la dirección de (a) D =A+ B + C; (b) E=
A - B - C.
2-12 Para los vectores de la Fig. 2.22, hallar el módulo y la dirección de (a) D =A+ B + C; (b) E=
A - B - C.
Sección 2.2
1
Velocidad en dos dimensiones
2-13 Un coche recorre una pista circular de 500 metros de diámetro con una celeridad constante de 20
1
m s- • (a) ¿Cuánto tarda en recorrer la mitad de la
pista? (b) ¿Cuáles su velocidad media en este intervalo de tiempo?
2-14 Un coche recorre una pista circular de 1000
metros de radio con una celeridad constante de 10
m s·1• (a) ¿Cuánto tarda en dar una vuelta completa a la pista? (b) ¿Cuál es su velocidad media durante este intervalo de tiempo?
2-15 Se lanza una pelota a 30 m s·1 con un ángulo
de 20º con respecto a la ditección horizontal. Encontrar las componentes vertical_y horizontal de
esta veloc;idad inicial.
2-16 Un avión vuela durante 3 horas hasta llegar a
un punto situado a 600 millas al norte y 800 millas
al este de su punto de partida. Encontrar el módulo y la dirección de su velocidad media.
Sección 2.3
1
Aceleración en dos dimensiones
2-17 Un coche que inicialmente se dirige hacia el
norte, recorre un semicírculo de 500 m de radio con
y
8 =8
/C
A= 6
Figura 2.21
X
Ejercicio 2-11.
Figura 2.22
Ejercicio 2-12.
una celeridad constante de 20 m s-1• (a) ¿Cuánto
tiempo tarda? y (b) ¿cuál es el módulo y la dirección de su aceleración media?
2-18 Un rifle que apunta formando un ángulo de
30º con la horizontal, dispara una bala a 250 m s· 1.•
Si"la bala se acelera uniformemente en el cañón durante 0,006 s, qallar (a) el módulo de la aceleración
y (b) sus componentes vertical y horizontal.
2-19 Un jugador de tenis efectúa un servicio que lleva la pelota al campo contrario, donde bota y es golpeada por el adversario, que la devuelve hacia el primer jugador. Describir la dirección y el módulo de
la aceleración durante cada parte del movimiento.
2-20 La Tierra gira alrededor del Sol una vez cada
año, según una órbita aproximadamente circular.
Hallar el módulo de la aceleración media asociada
con este movimiento en un intervalo de 6 meses. (La
distancia media de la Tierra al Sol es de 1,50 X 1011 m).
Sección 2.4
Sección 2.S
1
I
Cálculo del movimiento de un objeto y
Proyectiles
2-21 Un balón de fútbol lanzado al aire desde el suelo llega de nuevo al suelo a 30 m de donde partió,
tras 4 s de vuelo. (a) Hallar la velocidad media en
el aire. (b) Hallar la aceleración media en el aire.
2-22 Se lanza horizontalmente una pelota a 20 m
s-1 desde una ventana a 15 m de altura. (a) ¿Cuándo llegará al suelo? (b) ¿Dónde tocará el suelo?
2-23 Un rifle que apunta formando un ángulo de
1
30º con la horizontal, dispara una bala a 500 m s- •
El cañón del rifle mide 0,70 m de largo. (a) Hallar
la aceleración media en el cañón del rifle. (b) Encontrar las componentes horizontal y vertical de dicha aceleración.
2-24 Una bola de nieve se lanza desde 2 m de altura a una velocidad de 1Om s-i formando un ángulo
de 30º con la horizontal. (a) Encontrar la posición
39
Movimiento en dos dimensiones
horizontal y vertical después de 1 s. (b) Hallar las
componentes de la velocidad después de 1 s.
2-25 (a) ¿Cuánto tiempo estará en el aire la bola de
nieve del ejercicio anterior? (b) ¿Dónde tocará el
suelo?
2-26 Una pelota de béisbol se lanza a 40 m s-, formando un ángulo de 30º con la horizontal. (a) ¿A
qué altura llegará? (b) ¿Cuándo alcanzará dicha altura? (c) ¿Cuál será su distancia horizontal al bateador en este momento?
2-27 Para la pelota de béisbol del ejercicio anterior,
encontrar (a) la distancia que recorrerá; (b) el tiempo total que pasa en el aire. (Considérese que la pelota se lanza desde el mismo suelo.)
2-28 Se apunta un rifle directamente a un blanco situado a una distancia de 200 m y a la misma altura
del rifle. Si la bala sale del cañón a 500 m s-i ¿por
cuánta distancia fallará el blanco?
2-29 La Tierra da una vuelta alrededor de su eje cada
24 horas. Hallar el módulo de la aceleración media
de un punto en el ecuador en un intervalo de 6 horas. (El radio de laTierra es de 6,38 X 106 m).
PROBLEMAS
2-30 Supóngase que en la Fig. 2.14 el animal de peluche está inicialmente a 1 m por encima y a 1,3 m
a la derecha del cañón que le apunta. El animal empieza a caer cuando se dispara el proyectil a 10 m
s- 1 • (a) ¿Cuáles son las componentes iniciales vertical y horizontal de la velocidad del proyectil? (b)
¿Cuánto tiempo tarda la coordenada horizontal del
proyectil en cambiar en 1,5 m? (c) ¿Cuáles son las
posiciones verticales del proyectil y del animal en
ese instante?
2-31 Se lanza horizontalmente una pelota con velocidad v 0 desde una altura h y otra se deja caer con
la misma velocidad inicial. ¿Cuál de las dos bolas llegará antes al suelo? (b) ¿Cuál de las dos bolas tendrá mayor velocidad al llegar al suelo?
2-32 Un defensa lanza una pelota de fútbol de tal
modo que ésta sube 4 pies en 20 yardas y luego empieza a caer. ¿Cuál era la velocidad y dirección inicial de la pelota?
*2-33 Un hombre quiere atravesar a ·remo un río de
0,5 millas de ancho. Dirige su bote hacia la orilla
opuesta y rema a 2 mi h- 1 con respecto al agua. La
corriente es de 4 mi h- 1• (a) ¿Cuánto tarda en cruzar el río? (b) ¿En qué lugar alcanza la otra orilla?
2-34 Se lanza horizontalmente una pelota de tenis
a una altura de 8 pies y a 40 pies de una red que tiene 3 pies de altura. (a) Si ha de pasar la red con un
margen de al menos 0,5 pies, ¿cuál es la mínima velocidad inicial? (Despreciar la resistencia del aire.)
(b) Si pasa a 0,5 pies por encima de la red, ¿dónde
tocará el suelo?
2-35 Algunos libros aconsejan efectuar los servicios
de tenis con una ligera inclinación por debajo de la
horizontal. Para ver si es un buen consejo, supóngase que una pelota se lanza formando un ángulo
de 5º por debajo de la horizontal a una altura de 8
pies con la velocidad relativamente alta de 100 pies
s- i. ¿A qué altura llegará cuando alcance la red a 40
pies de distancia? (La red tiene 3 pies de altura. Despreciar la resistencia del aire.)
2-36 Las pantallas de los tubos de rayos catódicos
de los televisores y los osciloscopios emiten luz
cuando son golpeados por electrones rápidos. Se
utilizan placas eléctricas deflectoras para controlar
en qué punto chocan los electrones. En la Figura
2.23, electrones con una velocidad horizontal inicial
de 2 X 107 m s- 1 experimentan una aceleración vertical de 10 14 m s- i mientras se hallan entre las placas, de 0,2 m de longitud. (a) ¿Cuánto tiempo estarán los electrones entre las placas? (b) ¿En qué dirección se moverán los electrones tras salir de las
placas? (c) ¿Cuánto se habrán desplazado verticalmente los electrones al salir de las placas?
*2-37 Se sirve una pelota de tenis a 2,5 m por encima de la pista y con un ángulo de 5º sobre la horizontal, con una velocidad inicial de 30 m s-i (a)
¿Cuándo llegará al suelo? (b) ¿Qué distancia recorrerá?
2-38 Una saltadora de esquí deja la rampa con un
ángulo de 20º sobre la horizontal. Aterriza 3,5 s después en un punto a 20 m de su punto de despegue.
(a) ¿Cuál es su velocidad inicial? (b) ¿Qué distancia
recorre horizontalmente?
L..._/_---,-__,,/
t
o-----t•►
tJ
1/
= 1014
7
f--o,2m---j
Figura 2 .23
Problema 2-36.
ms '
40
Movimiento en dos dimensiones
2-39 Un chico a 10 m de un edificio puede justo alcanzar el tejado, situado a 12 m de altura sobre él,
con una pelota lanzada con el ángulo óptimo con
respecto al suelo. Hallar las componentes de la velocidad inicial de la pelota.
2-40 Deducir una fórmula para la máxima altura
alcanzada por un proyectil en función de las componentes de su velocidad inicial.
*2-41 Demuéstrese que las componentes horizontal
y vertical del desplazamiento de un proyectil satisfacen una ecuación de la forma Ay= a AX+ b ( AX)2,
de modo que su trayectoria es una parábola.
RESPUESTA A LAS CUESTIONES DE REPASO
Q 2-1, el escalar sólo tiene módulo, mientras que el
vector tiene también dirección; Q 2-2, con flechas
sobre los símbolos, con caracteres en negrita; Q 2-3,
2
2
A + B, A - B, 2A; Q 2-4, (A + B ) 112 ; Q 2-5, desplazamiento, tiempo transcurrido; Q 2-6, cambio de
velocidad, tiempo transcurrido; Q 2-7, módulo, dirección; Q 2-8, movimientos unidimensionales;
Q 2-9, aceleración de la gravedad; Q 2-10, vertical;
Q 2-11, vertical; Q 2-12, horizontal; Q 2-13, -g, O.
TEMAS SUPLEMENTARIOS
2.6
1
PROYECTILES EN
BIOMECANICA
El movimiento de proyectiles tiene múltiples aplicaciones en el movimiento atlético y animal. Aquí estudiamos diversos aspectos de ·este tema.
En las aplicaciones del movimiento de proyectiles
es conveniente tener una fórmula-para la distancia horizontal recorrida o alcance R. Para obtener dicha fórmula consideramos un proyectil lanzado desde una superficie plana (Fig. 2.24). El proyectil aterriza en el ins-
y
R
X
Figura 2.24 Un proyectil con una velocidad v0 lanzado con un
ángulo Ocon respecto a la horizontal tiene un alcance R.
tante t en que y es de nuevo cero. El alcance puede hallarse a partir de la ecuación para x cuando se conoce
el tiempo en que el proyectil toca el suelo.
. Cuando Ay = O, se puede escribir Ay = v0yAt -½ g(Ay)2 como
½ gflt) At = O
(voy -
Las soluciones de esta ecuación son At = O, que corresponde al instante del lanzamiento, y
(2.17)
que es el instante en que el proyectil llega al suelo.
Sustituyendo este tiempo en AX = v0,At, el alcance
es
R
= _2_v""'0z;_V-'-o.._11
g
Si la velocidad inicial del proyectil forma un ángulo de
tiro 80 con el suelo (Fig. 2.24), entoncesvox= cos 8oY
v0y = v0 sen B. El alcance puede expresarse entonces
como
2v/ sen0 cos B
g
0
R=-~---0
(2.18)
Alternativamente, si se utiliza la identidad trigonométrica sen 2 80 = 2 sen 80 cos·80
v2
R
= -g0-sen200
(2.19)
De dichas ecuaciones pueden obtenerse dos características interesantes del movimiento de proyectiles.
En primer lugar, sen 8 = cos (90° - 80), por lo cual al sustituir 80por su complementario 90 ° - 80.en la Ec. 2.18, el
alcance no se modifica. Por ejemplo, las pelotas lanzadas con un ángulo de 30° o de 60° caerán en el mismo
punto. No obstante, la pelota lanzada con 60° tendrá
una trayectoria más elevada, permanecerá más tiempo
en el aire; y los jugadores tendrían más tiempo para situarse en aquel punto (Fig. 2.25). En segundo lugar, el
valor máximo del seno es + 1 cuando su argumento es
90º , por lo cual, según 2.19, el alcance es máximo cuando 28 = 90° o sea cuando 8 = 45°. Se consigue el máximo
alcance sobre terreno plano cuando el ángulo de lanzamiento vale 8 = 45° (Fig. 2.25).
41
Movimiento en dos dimensiones
Altura de
lanzamiento
/
/
Figura 2.25
Las pelotas golpeadas con la misma celeridad inicial desde el suelo, con ángulos de tiro de 30° y 60° tienen el mismo
alcance. El alcance máximo tiene lugar cuando el ángulo de tiro es
45° .
El cálculo del alcance resulta algo más complicado cuando las alturas de despegue y de aterrizaje no
son la misma. Sin embargo, puede observarse en la Fig.
2.26 que un disparo efectuado desde una posición más
elevada conseguirá alcance máximo para un ángulo de
tiro menor que 45º. Por el contrario, un objeto lanzado desde una posición inferior a la de su' aterrizaje logrará el máximo alcance para un ángulo mayor que 45º
(véase el Problema 2-55).
,
El siguiente ejemplo muestra cómo se pueden utilizar las fórmulas del alcance para estudiar una situación que se presenta en atletismo.
Ejemplo 2.8
Unjugadord.e béisbol.lanza una pelota a 120 pies-1• (a)
¿A qué distancia máxima puede lanzar la pelota, suponi_endo que se coge a la misma altura desde la que se lanza? (b) Si desea lanzar la pelota a la mitad de la distancia
máxima en el tiempo más breve posible, ¿eón qué ángulo debe lanzarlo? (e) ¿Cuál es .el.tiempo transcurrido en
cada una de dichas situaciones?
(a) El alcance máximo se consigue para un ángulo de
lanzamiento de 45ó, o sea sen 280 = 1 en la Ec. 2.19. Así
pues,
R
=u
0
2
lg
=(120 pie s- )2/(32 pie s- =450 pies
1
2
)
(b) Al despejar sen 280 de la Ec. 2.19 y al utilizar R =
(450 pies)/2 = 225 pies
sen 280 = gRlvr/ = (32 pie s-2 )(225 pie~)/(120 pie s-1)2 = 0,5
280 = 30º
Puede conseguirse el mismo alcance con 00 = 90º - 15º
= 75º, pero el tiempo transcurrido sería mayor.
(c) Altener en cuenta la ecuación 2.17 y voy= 110 sen
Oo, los tiempos transcurridos son
Figura 2.26 Lanzamiento efectuado por encima del nivel del
suelo. Las trayectorias para un ángulo de tiro de 45° y otro más pequeño se cortan en un punto por debajo de la altura de lanzamiento. La trayectoria más plana tiene un mayor alcance.
Ata = 2uovfg = 2(120 pie s-1)(sen 45º)/(32 pie s-2) = 5,30 s
At~ = 2(120 pie s- 1)(sen 15º)/(32 pie s-2) = 1,94 s
Obsérvese que el tiempo transcurrido en la parte (b)
es menor que la mitad del de la parte (a), aunque el alcance es la mitad, porque la trayectoria en (b) es mucho
más aplanada. El tiempo para dos de los tiros más cortos es menor que !:,.t. en (5,30 s) -2(1,94 s) = 1,42 s. Más
que lanzar directamente la pelota a la base, un jugador la
lanza a ·o tro más cercano el cual se encarga de lanzarla a
la base.'Ello hace que la precisión del lanzamiento no tenga tanta importancia y además ahorra tiempo. (Al considerar el tiempo que se tarda en efectuar el segundo lanzamiento, estos ahorros de tiempo disminuyen, en tanto
que si tomáramos en consideración los efectos del rozamiento del aire, dicho ahorro aumentaría.)
Salto horizontal I En la Sección 1.8 vimos que las
fórmulas de aceleración constante podían utilizarse
para analizar el salto vertical de los animales. Análogamente, las fórmulas del movimiento de proyectiles
pueden utilizarse para estudiar el salto horizontal, ya
que describen adecuadamente el movimiento del animal en el aire si se desprecia la resistencia del mismo.
Aunque un lanzamiento con un ángulo de 45º produce el alcance máximo para un terreno plano con una
celeridad inicial dada (Fig. 2.27), un animal puede en
general saltar en otro ángulo por razones relacionadas
con sus necesidades o su estructura. Por ejemplo, las
langóstas a menudo saltan al aire y luego se ponen avolar. En este caso, el alcance del salto es claramente irrelevante, pero el tiempo de duración puede ser significativo. Empiecen a volar o no, Ías langostas acostumbran a saltar con un ángulo de 55º aproximadamente.
42
Movimiento en dos dimensiones
Figura 2.27 Las ranas saltan frecuentemente con un ángulo
de lanzamiento de unos 45°, que es el ángulo que produce el máximo alcance sobre un suelo plano.
El cálculo de la velocidad de despegue se ilustra en
el siguiente ejémplo.
Ejemplo 2.9
¿Cuál es la velocidad de despegue de una langosta si
el ángulo de su salto es 55º y su alcance es 0,8 m?
Como conocemos R y 80, podemos encontrar vo a partir de
2
R
con sen 55º
Uo2
=-2ug0 -sen00 cos 00
= 0,819 y cos 55º = 0,574,
gR
_ (9,8 m s-2)(0,8 m)
2sen 00 cos 80 2(0,819)(0,574)
=_
___:c..___ _
=8,3 m2 s- 2
u0 = 2,9 m s1
EJERCICIOS SOBRE LOS TEMAS
SUPLEMENTARIOS
Sección 2.6
1
Proyectiles en biomecánica
20 m s- 1, ¿a qué distancia debe situarse de su amigo si
quiere alcanzarlo?
2-46 Se dispara horizontalmente un rifle desde la
cumbre de una montaña. Mediante un gráfico,
muéstrese el efecto de la curvatura terrestre sobre el
alcance del proyectil.
2-47 Un canguro puede saltar 8 m. Si despega con
un ángulo de 45° con respecto a la horizontal, ¿cuál
es su velocidad de despegue?
2-48 Se lanza una pelota de béisbol con un ángulo
de tiro de 10° con respecto a la horizontal y la pelota
recupera su altura original 70 m más allá. ¿Cuál era
su velocidad inicial?
2-49 Un motorista acrobático despega de una rampa que forma 30° con la horizontal, sobrevuela justo
una fila de camiones de ~6 m de ancho y aterriz~ a la
misma altura del punto despegue. ¿Cuál es su velocidad de despegue?
2-50 Un rifle se apunta ligeramente por encima de
un blanco situado a 200 m de distancia y a la misma
altura que el rifle. La bala sale del cañón a 500 m s- l y
da en el centro del blanco.¿Qué ángulo forma con la
horizontal el cañón del fusil?
2-51 ·una pelota de fútbol se lanza a 60 m de distáncia. Si el ángulo del disparo con el suelo es de 60º
¿Cuánto vale su velocidad inicial?
2-52 Una embarcación de rescate debe disparar un
proyectil que arrastra un cable de socorro a un barco
en apuros situado a 300 m de distancia. La velocidad
inicial del disparo es de 100 m s· 1• ¿Cuáles son los posibles ángulos de disparo? (Despréciese el efecto del
cable de arrastre).
2-53 Se dispara un proyectil de mortero contra un
objetivo situado a 500 m a su mismo nivel, con una
velocidad inicial de 90 m s-•. ¿Cuál es el ángulo de
disparo? (Los morteros se disparan con grandes ángulos.)
2-54 Se lanza una pelota de fútbol desde el suelo con
una velocidad inicial vo y un ángulo 80. Hallar la velocidad v y el ángulo Ocon que llega al suelo.
2-42 Se lanza desde el suelo una pelota de fútbol
1
con una velocidad de 20 m s- • Encontrar el alcance si el ángulo de tiro es de (a) 30º, (b) 60º y (e) 45º .
2-43 En d ejemplo anterior, ¿cuánto tiempo permanece'rá la pelota en al aire en cada uno de los tres
casos?
PROBLEMAS SOBRE LOS TEMAS
2-44 Un astronauta vestido con su traje espacial
SUPLEMENTARIOS
puede dar saltos de 2 m de largo sobre la Tierra. ·
2-55 Con la ayuda de un gráfico mostrar que el al¿Cuál sería la longitud de sus saltos en un planeta
cance máximo para un objeto lanzado con una cedonde la aceleración gravitatoria fuera la mitad de
leridad dada desde una altura inferior a la de su punla de la superficie terrestre?
2-45· Una chica desea lanzar una bola de nieve a
to de aterrizaje se alcanza con un ángulo mayor de
otro chico. Suponiendo que pueda lanzar la bola a
45º.
Movimiento en dos dimensiones
43
2-56 (a) Explicar por qué el alcance máximo para
un hombre que salta de pie no se obtiene para un ángulo de despegue de 45°. (b) ¿Será el ángulo mayor o
menor que 45°? Explicarlo.
2-57 Una rana puede saltar 0,9 m con un ángulo de
despegue de 45°. (a) ¿Qué velocidad inicial debe tener? (b) Con la misma velocidad inicial, pero dirigida verticalmente, ¿a qué altura podría llegar? (c) La
altura máxima de salto para la rana es 0,3 m. ¿Cuáles
son las posibles explicaciones para esta diferencia?
2-58 Una pulga puede saltar 0,03 m. (a) Si el ángulo
de despegue es de 70°, ¿cuál es su velocidad inicial?
(b) Si la pulga alcanza esta velocidad en una distancia de despegue de 8 X 10·4 m, ¿cuál es la aceleración
media durante el despegue?
2-59 Un chico puede lanzar una pelota a una distancia horizontal máxima de 60 m. Suponiendo que
puede lanzarla con la misma fuerza en la dirección
vertical. ¿Qué altura alcanzaría la pelota?
*2-60 Demostrar que para una pelota lanzada desde
el suelo, la razón de la altura máxima al alcance es
1/4 tan 0o.
2-61 La curvatura de la Tierra resulta relevante en
los cálculos de proyectiles cuando la distancia recorrida R es una fracción significativa del radio de
la tierra R T. Despreciando todas las posibles variaciones de g, demostrar que (a) el tiempo suplementario que el proyectil se halla en movimiento viene
dado aproximadamente por
ó.t
=ó.y/v =(R / 2RT )/v
011
2
011 ;
· ó.R
.
d a d o por
(b) el error relativo
R viene
ó.R/ R
= v0.,,2/ gR1.
2-62 A partir de la ecuación del problema precedente, hallar el error relativo en el alcance de un proyectil, debido a la curvatura de la Tierra, si éste se
dispara con un ángulo de 45° y un alcance estimado
de 100 km. (El radio medio de la Tierra es de 6,38 X
X 106 m).
Lecturas adkionales
Sir James Gray, How Animals Move, Cambridge University
Press, Cambridge, 1953. Las pp. 69-80 hablan del salto.
R. McNeill Alexander, Animal Mechanics. University of Washington Press, Seattle, 1968. Las pp. 28-33 hablan del salto.
Artículos del Scientific American:
Stillman Drake and James MacLachlan, Galileo's Discovery
of the Parabolic Trajectory, Marzo 1975, p. 102.
Cornelius T. Leondes, Inertial Navigation for Aircraft, Marzo 1970, p. 80.
Graham Hoyle, The Leap of the Grasshopper, Enero 1958,
p. 30.
Miriam Rotschild, et al., The Flying Leap of the Flea, Noviembre 1973, p. 92.
CAPÍTULO
3
LAS LEYES DE NEWTON
DEL MOVIMIENTO
Tras haber aprendido cómo se describe el movimiento, podemos pasar a la cuestión más fundamental de
qué es lo que produce el movimiento. Un objeto se pone
en movimiento cuando es empujado o arrastrado por
una fuerza o sometido a ella. La discusión de las fuerzas y sus efectos es el tema central de la mecánica.
Aunque en la naturaleza hay muchos tipos de fuerzas, los efectos de cualquiera de ellas se describen rigurosamente mediante las tres leyes generales del movimiento formuladas por primera vez y de forma completa por Sir Isaac Newton (1643-1727). Guiado por
observaciones astronómicas precedentes, y haciendo
uso de una enorme intuición, Newton desarrolló las leyes del movimiento y también la expresión de la atracción gravitatoria de dos objetos. Demostró así que los
movimientos orbitales de los planetas y la Luna presentaban una concordancia cuantitativa con las predicciones que él realizó mediante estas leyes.
~l trabajo de Newton representó un gigantesco
paso adelante en nuestra comprensión del mundo natural y ejerció una grall influencia sobre la ciencia y sobre la manera de entender la ciencia. Durante dos siglos, las leyes de Newton del movimiento fueron la base
de la mecánica y los investigadores posteriores hallaron un completo acuerdo entre la teoría y la experiencia para una amplia· gama de fenómenos. ;\unque los
progresos del siglo veinte hayan demostrado que las leyes de Newton son inadecuadas para el estudio del
mundo atómico y a velocidades comparables a la de la
luz; 3 X 108 m s- 1, siguen suministrando un marco extremadamente preciso para el estudio de los objetos
44
macroscópicos a velocidades ordinarias. Por lo tanto,
resultan totalmente adecuadas para la aplicación a la
mayoría de problemas de campos tales como la astronomía, la biomecánica, la geología y la ingeniería. Las
modificaciones de la mecánica en el siglo veinte se discuten en capítulos posteriores.
3.1
1
FUERZA, PESO Y MASA
GRAVITATORIA
Si empujamos o arrastramos un objeto, estamos ejerciendo una fuerza sobre él. Las fuerzas tienen módulo
y dirección y son, por lo tanto, magnitudes vectoriales Se comprueba que la fuerza neta o total ejercida sobre un objeto es la suma vectorial de todas las fuerzas
que actúan sobre el mismo. Por ejemplo, si dos fuerzas del mismo módulo pero de sentido contrario ra ctúan sobre un mismo cuerpo, la fuerza total sobre el
mismo es nula.
Las fuerzas que sólo se ejercen cuando dos objetos
están en contacto se denominan fuerzas de contacto.
.Ejemplos de ellas son la fuerza que un muelle comprimido ejerce sobre un objeto unido a él, la fuerza hacia
arriba que ejerce una mesa sobre un libro que esté encima de ella y la fuerza ejercida sobre un hueso por un
músculo en contracción. Otras fuerzas, entre las que
·se incluyen la gravitatoria, la magnética y la eléctrica,
pueden ejercerse entre objetos que no estén en contacto. Por ejemplo, la atracción gravitatoria del Sol mantiene a la Tierra en una órbita aproximadamente circu- .
lar. Sin embargo, el origen subyacente de las fuerzas de
45
Las leyes de Newton del movimiento
Así pues, el peso w es paralelo a la aceleración de la gravedad, g, y la Ec. 3.1 puede escribirse en forma vectorial
como
Figura 3. 1
Las fuerzas tienen módulo y dirección y son magnitudes vectoriales. (a) F, y F2 son iguales en módulo pero opuestas, siendo así su suma nula. (b) Como F 1 y F2 son iguales, la fuerza
neta es F = F 1 + F2 = 2F1
contacto que los objetos se ejercen mutuamente se encuentra en fuerzas magnéticas y eléctricas que actúan
entre las partículas que los constituyen, de manera que
la distinción no es clara.
Para poder establecer formulaciones cuantitativas
sobre las fuerzas, hemos de definir la unidad de fuerza. Una manera de conseguirlo es utilizar un muelle
para medir la fuerza gravitatoria sobre un objeto tomado como patrón. Si el muelle se comprime, una aguja se mueve a lo largo de una escala calibrada. Cuando el patrón se coloca sobre una plataforma montada
sobre el muelle, la aguja se mueve una cierta distancia.
.Se dice entonces que el objeto patrón ejerce sobre el
muelle una fuerza unidad. Siempre se obtendrá el mismo valor si se utiliza este procedimiento en puntos de
la Tierra donde la aceleración de la gravedad es la misma. Las otras fuerzas se pueden medir entonces determinando la compresión del muelle una vez que la escala se ha calibrado utilizando múltiples copias del objeto patrón. En la Sección 3.6 veremos que las unidades de fuerza también pueden definirse midiendo la
aceleración de un objeto patrón.
La unidad SI es el newton (N) y la unidad en el sistema británico es la libra (lb). Estas unidades están relacionadas por
1N
=
0,225 lb
Una fuerza particularmente importante es la de la
gravedad sobre un objeto, a la que se llama peso w. El
peso de un hombre bastante corpulento puede ser de
1000 No 225 lb.
Estrechamente relacionada con el peso aparece la
masa gravitatoria m de un objeto, que se define como
el peso dividido por la aceleración de la gravedad en el
lugar donde se encuentra el objeto:
w
m=-
g
(3.1)
La fuerza de la gravedad atrae los objetos hacia abajo,
en la dirección en que caerían si no se les sostuviera.
(3.2)
w=mg
La unidad SI de una masa gravitatoria es el kilogramo (kg). Por ejemplo, un hombre que pesa 1000 N so-
bre la Tierra, tiene una masa gravitatoria de w/g =
1000 N/9,8 rn s-2 = 102 kg. No utilizaremos la unidad
británica de masa.
Un objeto de masa gravitatoria de 1 kg pesa w =
mg = (1 kg)(9,8 rn s-2) = 9,8 N. Corno IN= 0,225 lb,
su peso es 2,2 lb. Es un factor de conversión fácil de recordar: una masa de 1 kg pesa 2,2 lb.
La masa, cuyo símbolo dimensional es M, completa el conjunto básico de dimensiones flsicas. Todas las
magnitudes flsicas pueden escribirse en función de las
dirnensiQnes de longitud, masa y tiempo. La Tabla 3.1
muestra las masas de algunos objetos representativos.
En esta sección hemos introducido dos conceptos
clave: fuerza y masa gravitatoria. Una fuerza es algo
que arrastra o empuja un cuerpo. La fuerza que la gravedad ejerce sobre un objeto.se denomina peso y la masa
gravitatoria de un objeto es su peso dividido por la aceleración gravitatoria. En las secciones siguientes investigarnos las relaciones entre fuerzas y masas.
TABLA3.1
Masas representativas en kilogramos.
Electrón
Protón
Átomo de oxígeno
Molécula de insulina (proteina pequefia,
Molécula de penicilina
Ameba gigante
Hormiga
Colibrí
Perro
Hombre
Elefante
Ballena azul
Buque petrolero
Luna
Tierra
Sol
Nuestra galaxia
9 X 10-31
2 X
10-21
3 X 10- 2s
10-23
10- 18
10-s
10-5
10-2
101
102
104
105
108
7 X 1022
6 X 1024
2 X 1030
2 X 1041
46
3.2
Las leyes de Newton detmovimiento
1
DENSIDAD
Cuando hablamos de las propiedades de los materiales en general, en vez de referirnos a objetos determinados, resulta conveniente referirse a la masa por unidad de volumen o densidad. Si una muestra de material tiene una masa m y un volumen V, su densidad viene dada por el cociente
masa
m
P =volumen= V
(3.3)
(El símbolo es la letra griega ro). En unidades SI, las
densidades se expresan en kilogramos por metro cúbico
(kg m-3 ). Por ejemplo, si un bloque de madera tiene una
masa de 50 kg y un volumen de 0,1 m3, su densidad es
3
p = m/V= (50 kg/0,1 m ) = 500 kg m-3 •
En la Tabla 3.2 se recogen las densidades de diversos materiales. Obsérvese que la densidad varía con la
temperatura y la presión, especialmente para los gases.
lntimamente relacionado con la densidad, existe el
concepto de densidad relativa definida como la razón
de la densidad de una substancia a la del agua a OºC
La densidad relativa puede obtenerse fácilmente de la
tabla 3.2, ya que la densidad del agua a OºC es de
1000 kg m-J. Por ejemplo, la densidad relativa del mercurio es la magnitud adimensional 13600/ 1000 = 13,6.
3.3 I PRIMERA LEY DE NEWTON
Según el punto de vista aristotélico que dominó las
ideas medievales sobre el movimiento, los objetos se
mueven sólo si están sometidos a una fuerza responsable de su movimiento. Así, un carro que se suelta del
caballo que lo está arrastrando se para porque no hay
ninguna fuerza que lo arrastre. El punto de vista moderno es que el carro va frenando y se detiene debido
a las fuerzas de fricción que actúan sobre el mismo.
Este punto de vista se resume en la primera ley de Newton, que establece que
Todo objeto continúa en estado de reposo, o de movimiento uniforme rectilíneo, a no ser que sobre él actúen fuerzas que le hagan cambiar dicho estado.
TABLA3.2
Algu~as densidades representativas en kg m- 3. Las
. Un enunci~do equivalente de la primera ley es que
densidades de los materiales se refieren a -condicios1
sobre un obJeto no actúan fuerzas, o si la suma to!'e~ de presión a~mosférica y Oº C, excepto cuando se
1nd1ca lo contrario (a 0° C, 1 cm3 de agua tiene una tal de las fuerzas que actúan sobre el objeto es nula, en. tonces
masa de 1 gramo).
Espacio interestelar
Máximo vacío de laboratorio
Hidrógeno (H2)
Aire, a OºC y 1 atmósfera
a IOOºC y 1 atmósfera
a Oº C y 50 atmósferas
Agua,_a OºC y 1 atmósfera
a 100ºC y 1 atmósfera
a Oº C y 50 atmósferas
Sangre completa, a 25ºC
Mercurio
Aluminio
Hie_rro, acero
Cobre
Plomo
Oro
Densidad del núc!eo de la Tierra
Densidad del S~I, en su centro
Estrellas enanas_blancas
Núcleos atómicos
Estrellas de neutrones
10- 18 -
10- 21
(1) un objeto en reposo sigue en reposo y
(2) un objeto en movimiento sigue moviéndose con velocidad constante.
10- 11
0,0899
1,29
0,95
6,5
1000
958
1002
1059,5
13 600
2700
7800
8900
11 300
19 300
9500
1,6 X 105
108 -
1011
1011
1015
La primera ley se cumple en esta forma sólo para
medidas efectuadas por determinados observadores.
Una chica montada en un tiovivo ve objetos que sin estar sometidos a ninguna fuerza neta experimentan movimientos bastante complicados, mientras que un chico que permanezca quieto sobre el suelo los ve en reposo o moviéndose con velocidad constante. Por lo
tanto, la primera ley de Newton, tal como la hemos
enunciado, es válida para el chico que está en reposo,
pero no para la chica. La clave está en que la chica está
sometida á aceleración, ya que su velocidad está cambiando, y la primera ley de Newton, tal como la hemos
establecido, no es válida para un observador que se acelere.
La primera ley nos lleva a definir un sistema de
coordenadas inercial o sistema de referencia inercial
como aquel en que se cumple la primera ley de New-
47
Las leyes de Newton del movimiento
ton. Estrictamente hablando, el chico del ejemplo precedente no está en un sistema totalmente inercial ya
que se halla sobre la Tierra, que efectúa diariamente
una rotación sobre su eje, gira alrededor del Solanualmente y se mueve con el sistema solar respecto a las estrellas muy lejanas. Generalmente, estos efectos pueden despreciarse y se puede tratar la Tierra cqmo un sistema inercial. Sin embargo, la rotación diaria de la
Tierra afecta a los movimientos de gran escala de la atmósfera y los océanos.
Un sistema de coordenadas que se mueve a velocidad constante respecto a un sistema inercial, es a su
vez un sistema inercial. Para comprender esto, consideremos un observador que se encuentra parado en la
carretera y otro observador en un coche que se mueve
a velocidad constante. Si ambos observadores miden
la velocidad de un objeto móvil, sus medidas diferirán
en una constante, que es su velocidad relativa. Así pues,
estarán de acuerdo en si el objeto está acelerado o no,
y la primera ley de Newton será igualmente válida para
los dos observadores.
Tras esta explicación, vemos que los coches y los
aviones que se mueven a velocidad constante con respecto al suelo son sistemas de referencia inerciales,
mientras que los vehículos acelerados, como los tiovivivos y los columpios, no lo son. Para mayor claridad,
consideremos el conductor de un coche acelerado,
quien nota que el respaldo de su asiento ejerce una fuerza sobre él. Respecto al suelo está acelerado, pero respecto al coche no. La primera ley de Newton concuerda con las medidas de un observador en resposo en el
suelo: el estado de movimiento del conductor está siendo cambiado por fuerzas que actúan sobre él. La primera ley de Newton no es válida en el sistema de referencia del coche acelerado ya que existe una fuerza sobre el conductor, aunque éste permanece en reposo.
3.4
1
A
Figura 3.2 Una pelota en la cima de una colina está en equilibrio inestable. En el valle se encuentra en equilibrio estable. En la
parte plana su equilibrio es neutro.
ble: un pequeño desplazamiento conduce a una fuerza
no equilibrada que aumenta aún más el desplazamiento con respecto a la posición de equilibrio. Por el contrario, en el punto B del valle la pelota rodará de nuevo hacia su posición inicial cuando sea desplazada de
la misma. Esto es un equilibrio estable: un pequeño
desplazamiento conduce a una fuerza no equilibrada
que retorna la pelota a su posición de equilibrio. Finalmente, en una zona plana cerca de C, no aparecen
fuerzas no equilibradas aunque la pelota se desplace ligeramente. Esto es un equilibrio neutro.
Según la primera ley de Newton, la fuerza neta sobre un objeto debe ser cero para que el movimiento de
traslación del objeto permanezca invariante. Este es un
requisito para el equilibrio. Si se trata de un objeto que
puede girar y no de una partícula puntiforme, existe.entonces un segundo requisito; que no actúen efectos de
rotación o momentos que alteren el estado de rotación
del movimiento. Se discutirá este segundo requisito en
el capítulo siguiente.
El tipo más sencillo de situación de equilibrio es
aquél en que actúan dos fuerzas sobre un objeto. Una
mujer de pie sobre el pavimento es atraída hacia abajo por la atracción de la gravedad terrestre, con una
fuerza que es su peso w (Fig. 3.3a). Como, pese a ello,
EQUILIBRIO
Cuando el estado de movimiento de un objeto no cambia incluso si actúan sobre él dos o más fuerzas, se dice
que el objeto está en equilibrio. Hay tres tipos de equilibrio: inestable, estable y neutro. Quedan mejor definidos con la ayuda de un ejemplo.
Supongamos una pelota situada exactamente en la
cumbre de una pequeña colina {punto A en la Fig. 3.2).
Puede permanecer allí en reposo brevemente, pues si
una ligera brisa la desplaza un poco, se acelerará rápidamente pendiente abajo. Esto es un equilibrio inesta-
(a )
(b)
Figura 3.3 (a) Como la mujer está en equilibritJ, la fuerza N
ejercida por el suelo sobre la mujer es igual en módulo a su peso w
y de sentido opuesto; (b) si las fuerzas F 1 y F2 ejercidas por los dos
equipos tienen el mismo módulo, el nudo estará en equilibrio y permanecerá en reposo.
Las leyes de Newton del movimiento
48
F,uclo
w
(a)
(a)
(b)
(b)
Figura 3.4
(a) El semáforo colgado de dos cables se halla en
equil~brio bajo la acción de tres fuerzas. (b) El vector suma de las
Figura 3.6 La fuerza sobre la persona es igual en módulo y de
sentido opuesto a la fuerza sobre (a) la pared, (b) el suelo.
tres fuerzas es cero.
(a)
w
Figura 3.5 (a) Un trineo que se desplaza con velocidad constante. Las fuerzas que actúan sobre él incluyen su peso w, una fuerza normal N, una fuerza de rozamiento f que se opone a su movimiento, y una fuerza T ejercida por la cuerda. (b) El vector suma de
las fuerzas es cero, ya que el trineo se halla en equilibrio.
permanece en reposo, la primera ley nos dice que la
fuerza neta sobre ella debe ser nula, por lo cual debe
actuar sobre ella una fuerza igual y dirigida hacia arriba ejercida por el suelo. Dicha fuerza se designa mediante Nen la Fig 3.3a, ya que es normal o perpendicular al suelo (la fuerza normal N tiene módulo N; ello
no se debe confundir con la abreviatura convencional
para el newton, N). Considérense ahora dos equipos
que tiran de una cuerda en sentidos opuestos (Fig. 3_. 3b).
Si las fuerzas ejercidas tienen exactamente el mismo
módulo, el nudo de la cuerda permanecerá en reposo,
pero si uno de los equipos tira c<;m más fuerza, el nudo
empezará a moverse en dicha dirección.
La Figura 3.4a muestra un semáforo en equilibrio
bajo la acción de tres fuerzas. El vector su~a de las
fuerzas sobre el semáforo debe ser nulo (F1g. 3.4b).
Análogamente, el trineo de la Fig. 3.5 se mueve con velocidad constante sobre una superficie cubierta de nieve. Como su velocidad es constante, la fuerza neta sobre el mismo debe ser nula, según la primera ley, y está
en equilibrio. El concepto de equilibrio no se halla ~ues
restringido a los objetos en reposo, ya que un obJeto
que se mueve con velocidad constante con respecto a un
observador inercial estará en reposo con respecto a otro
observador inercial.
Resumiendo: un objeto estará en equilibrio de traslación si el vector suma de las fuerzas que actúan sobre él es nulo. El tipo de equilibrio se determina observando cómo cambian las fuerzas cuando el objeto es
apartado ligeramente de su estado inicial de reposo o de
movimiento uniforme.
3 .5
1
TERCERA LEY DE NEWTON
Tratamos ahora de la tercera ley de Newton, dejando
la segunda para la siguiente sección. La tercera ley de
Newton relaciona las fuerzas que dos objetos se ejercen mutuamente y nos resulta familiar en una forma general por nuestras experiencias cotidianas. Por ejemplo, supongamos que estamos en reposo en una piscina. Si empujamos una pared con las piernas, la pared
ejerce una fuerza que nos lleva hacia el interior de la
piscina. La fuerza de reacción que la pared ejerce sobre nosotros es de sentido opuesto a la fuerza que nosotros ejercemos sobre la pared (Fig. 3.6). Análogamente, para empezar a andar hacia adelante, el pie debe
ejercer una fuerza hacia atrás sobre el suelo; el suelo,
a su vez, nos empuja hacia adelante.
Newton observó que cuando una persona ejerce
una fuerza sobre un objeto, el objeto ejerce una fuerza sobre la persona que es igual en módulo y de sentido
opuesto. Esta relación, que se conoce como la tercera
ley de Newton, es válida tanto si la persona como el objeto están acelerados o no. Las dos fuerzas que actúan
entre una persona y un objeto o entre dos objetos sellaman fuerzas de acción y reacción. La formulación general de la tercera ley de Newton es
Para cada acción existe siempre una reacción igual
pero de sentido opuesto.
Las leyes de Newton del movimiento
Dicho de forma más explícita, si un objeto ejerce
una fuerza F sobre un segundo objeto, entonces el segundo objeto ejerce una fuerza -F igual y de sentido
opuesto sobre el primero. Por ejemplo, si empujamos
una silla con una fuerza horizontal de 10 N, la silla ejerce una fuerza sobre nosotros de 1O Nen sentido opuesto. Si la Tierra ejerce una fuerza gravitatoria de 1 lb hacia abajo sobre un libro, entonces el libro ejerce una
fuerza vertical hacia arriba de 1 lb sobre la Tierra.
Es imp_o rtante advertir que en cada caso las dos
fuerzas de acción y reacdón actúan sobre objetos diferentes y por lo tanto sus efectos no se anulan. Cuando se empuja la silla, ésta empieza a moverse a menos
que exista una fuerza de rozamiento suficientemente
grande ejercida por el suelo y que impida el movimiento. O bien si un libro no está sometido a ninguna otra
fuerza que la gravedad, caerá hacia el suelo. En otras
palabras, sólo lasfuerzas que actúan sobre un objeto particular pueden afectar a su estado de movimiento; las
fuerzas ejercidas por un objeto afectarán al movimiento de otros objetos.
· Existen muchas situaciones en que las fuerzas son
. iguales pero de sentido opuesto, pero que no son pares de acción-reacción eri el sentido de la tercera ley.
Esto ocurre a menudo, como en el ejemplo siguiente,
cuando un objeto está en equilibrio y por lo tanto las
fuerzas se anulan como una consecuencia de la prime-
ra ley.
Por ejemplo, hemos visto en la sección precedente
que las fuerzas w y N que actúan sobre la mujer tienen
el mismo módulo y sentidos opuestos (Fig. 3.7). Ambas actúan sobre el mismo objeto y no constituyen un
par de acción-reacción. Como su peso w es una fuerza
hacia abajo ejercida sobre ella por la Tierra, la corres-
(a)
(b)
Figura 3.7 (a) Fuerzas sobre una mujer en'equilibrio. (b) La
reacció n al peso de la mujer es una fuerza - w sobre la Tierra; la reacción a la fuerza N ejercida por el suelo es una fuerza -N que ella ejerce sobre el suelo.
·
49
pondiente fuerza de reacción es una fuerza gravitatoria -w dirigida hacia arriba ejercida por ella sobre la
Tierra. Análogamente, la reacción a la fuerza normal
N ejercida sobre ella por el suelo es una fuerza hacia
abajo, -N, ejercida por la mujer sobre el suelo.
Aunque es costumbre referirse a las fuerzas de acción y reacción, el punto más importante de la tercera
ley es que las fuerzas entre dos objetos son siempre
iguales y de sentido opuesto. Cuál es la de acción y cuál
la de reacción es a menudo una simple cuestión de elección, como en el caso de las fuerzas gravitatorias.
3.6
1
SEGUNDA LEY DE NEWTON
Cuando existe una fuerza neta que actúa sobre un objeto, dicho objeto experimenta una aceleración en la
misma dirección·de la fuerza. La aceleración y la fuerza son también proporcionales en módulo; si la fuerza
sobre un objeto dado es doble, también lo es la aceleración.
Si dos magnitudes son proporcionales, una de ellas
es igual a un número, o constante de proporcionalidad,
por la otra. Así pues, podemos relacionar la fuerza F
con la aceleración a por la segunda ley de Newton,
F=ma
(3.4)
La constante de proporcionalidad m se denomina la
masa del objeto. (Estrictamente hablando, es su masa
inercial, pero veremos en la Sección 3.10 que la masa
gravitatoria y la masa inercial de un objeto son iguales.)
La masa de un objeto es una medida de la cantidad de materia de que consta, o, en otras palabras, de
su inercia. Cuanto mayor es la masa de un objeto, menor es el efecto que una fuerza dada produce sobre su
movimiento. La masa se relaciona con el peso, pero es
muy diferente de éste. El peso de un objeto es la fuerza que la gravedad ejerce sobre el objeto y es, por lo tanto, una magnitud vectorial; la masa, en cambio, es una
magnitud escalar.
La segunda ley de Newton F =ma proporciona otra
manera de definir las unidades de fuerza en los diversos
sistemas. Una fuerza de 1 N que actúa sobre una masa
2
de 1 kg produce una aceleración de· l m s- :
lN
= (1 kgXI m s-2) = l
kg m s-2
Esta definición es equivalente a la que hemos dado antes.
Para ilustrar el uso de estas unidades y de la segunda ley, podemos observar que un coche de 1000 kg ace-
50
Las leyes de Newton del movimiento
}erándose a 2 m s- 2 debe estar sometido a una fuerza F
.
.
2
= ma = (1000 k_g)(2 m s- ) = 2000 N. Análogamente, si
al aplicar una fuerza de 50 N a un trineo le produce
una aceleración de 2 m s-z entonces su masa ha de ser
m = Fla = (50 N)/(2 m s-2) = 25 kg.
Más adelante, en éste y en otros capítulos, veremos
muchos ejemplos y aplicaciones de la segunda ley de
Newton. Sin embargo,.podemos ver en este punto que
la segunda ley explica por qué la igualdad de las fuerzas _de acción y reacción no siempre es evidente. Como
a = F/m, la aceleración que resulta de una fuerza dada
varía inversamente con la masa del objeto. Una persona que salta de un acantilado experimenta una aceleración g resultante de la fuerza gravitatoria ejercida
por la Tierra sobre su cuerpo. La Tierra experimenta
una fuerza de igual valor, pero su aceleración es mucho menor debido a su gran masa. Análogamente,
cuando chocan un coche pequeño y un gran camión,
las fuerzas sobre cada vehículo valen lo mismo, pero
la aceleración del coche es mucho mayor que la del camión.
3 .7
1
IMPORTANCIA DE LAS LEYES
DE NEWTON DEL MOVIMIENTO
Las tres leyes de Newton del movimiento constituyen
enunciados muy fundamentales acerca del mundo físico. Toda la mecánica puede considerarse como aplicación directa o indirecta de las leyes de Newton a una
gran diversidad de fuerzas y de sistemas. Aunque introduciremos muchas otras magnitudes y conceptos en
nuestra exposición de la mecánica de los capítulos siguientes, ninguno será tan básico como las leyes de
Newton del movimiento. Por lo tanto, antes de empezar a tratar fuerzas especiales y ejemplos de cómo se
utilizan estas leyes, las enunciamos aquí conjuntamente para mayor énfasis y posteriores referencias.
Primera ley de Newton del movimiento. Cuando sobre un
objeto no actúa ninguna fuerza neta, (]) el objeto en reposo permanece en reposo o (2) el objeto en movimiento sigue moviéndose con velocidad constante en módulo y dirección.
Segunda ley de Newton del movimiento. La fuerza F necesaria para producir una aceleración a es
F=ma
(3.4)
donde m es la masa del objeto.
Tercera ley de Newton del movimiento. Para toda acción,
existe una fuerza de reacción igualpero de sentido contra-
rio. Las fuerzas de acción y reacción actúan sobre objetos
diferentes.
Obsérvese que en esta forma, las leyes de Newton
sólo pueden aplicarse con respecto a sistemas de coordenadas inerciales.
3 .8 I ALGUNOS EJEMPLOS DE LAS
LEYES DE NEWTON
Damos ahora varios ejemplos de cómo se utilizan las
leyes de Newton del movimiento. En cada caso, empleamos un procedimiento sistemático para relacionar
la aceleración de uno o varios objetos con las fuerzas
presentes.
1 Para cada objeto, dibujamos icuidadosamente un
esquema que muestre las fuerzas que actúan sobre él.
2 Aplicamos entonces la segunda ley de Newton,
F = ma, a cada objeto por separado. Si hay n fuerzas
F 1, F2•••• , Fn, actuando sobre un objeto, la fuerza neta
F es la suma de las fuerzas, y tenemos
F = F 1 + F2 + F 3 + ... + Fn = ma
En forma de componentes, resulta
F, = F1x + F2x +... +F.,= ma,
Fy = F1y+ F2y+... + F y = may
0
(3.5)
(3.6)
3 Al igual que en los capítulos anteriores, no sustituimos en general los valores numéricos hasta el final. Así, despejamos primero los símbolos de las incógnitas y luego introducimos los números, si nos
los dan. Este método facilita el repaso de los errores algebraicos y físicos y a menudo reduce los cálculos matemáticos.
4 Incluimos las unidades de las magnitudes numéricas para ver si la respuesta final tiene las dimensiones correctas.
Utilizamos estos pasos en los ejemplos que damos
a continuación y también en los de los restantes capítulos.
Ejemplo 3.1
Un ascensor tiene una masa de 1000 kg. (a) Cuando
acelera hacia arriba a 3 m s-2, ¿cuál es la tensión del cable, es decir, cuál es la fuerza T que el cable ejerce sobre el
ascensor? (b) ¿ Cuál es la tensión si la aceleración es de 3
m s-2 hacia abajo?
(a) Las fuerzas que actúan sobre el ascensor son su
peso w y la fuerza hacia arriba T ejercida por el cable (Fig.
Las leyes de Newton del movimiento
!:i 1
SIR
ISAAC
NEWTON
(1642-1727)
(Culver Pictures)
Nacido en 1642, el año de la muerte de Galileo, Newton llevó a cabo los avances decisivos necesarios para completar nuestra comprensión del movimiento. Además, se
le deben importantes contribuciones a la óptica y a las matemáticas.
Newton fue un niño delgado y endeble que fue educado por su abuela al casarse
de nuevo su madre, viuda, cuando él tenía dos años. A su niñez dificil se deben quizás sus posteriores tendencias psicóticas. A pesar de su brillante carrera, se angustiaba sobremanera cuando publicaba algún trabajo y resultaba irracionalmente violento cuando se le discutían sus ideas. Sufrió como mínimo dos grandes trastornos
nerviosos.
Como estudiante en Cambridge (1661 a 1665), Newton dominó pronto la literatura de las ciencias y las matemáticas y empezó a adentrarse en regiones inexploradas. Formuló el teorema del binomio y los conceptos básicos del cálculo. Durante
este período y en los años inmediatamente posteriores, dio comienzo también a su investigación en óptica y en el movimiento de los planetas. Dedujo que la fuerza sobre
un planeta debida al Sol ha de variar como l/r2• Unos 20 años después generalizó
esta idea a la ley de gravitación universal.
Aunque los trabajos de Newton sólo se conocían en un estrecho círculo, debido
a su oposición a publicarlos, fue nombrado profesor en Cambridge en 1669. Desarrolló el primer telescopio de espejo para evitar las distorsiones producidas pot las lentes. Al ver la entusiasta acogida que la Royal Society de Londres dispensó a este telescopio, se animó a presentar a dicha sociedad sus .otras investigaciones en óptica
en 1672. Robert Hooke, la mayor autoridad en óptica, se mostró en desacuerdo con
algunas de las ideas de Newton. Ello originó agrias polémicas y un aislamiento de
Newton durante varios años.
Los mayores logros de Newton fueron sus progresos en mecánica. Aunque obtuvo muchos de sus resultados en los inicios de su carrera, no presentó su teoría del movimiento planetario hasta que no fue forzado a ello, en 1684, por Edmond Halley,
un astrónomo que había oído hablar de sus trabajos.
52
Las leyes de Newton del movimiento
La obra clásica de Newton, Principia Mathematica, apareció en 1687. Escrita en
latín, contenía las tres leyes del movimiento y la ley de gravitación universal. Este tratado constituyó uno de los pilares de la ciencia moderna e hizo a Newton internacionalmente famoso. Por otro lado, marcó también el fin de la investigación activa
de Newton, quien se decantó gradualmente hacia la política, la teología y las disputas de prioridad científica.
Newton llegó a director de la Casa de la Moneda, cargo bien remunerado y con
pocas obligaciones. Sin embargo, lo tomó con seriedad y demostró especial celo en
enviar a la horca a los fabricantes de moneda falsa. También desempeñ.ó el papel de
dirigente de la ciencia inglesa, llegando a Presidente de la Royal Society en 1703; en
1705, fue el primer científico en ser nombrado caballero. Por desgracia, se aprovechó repetidas veces de su posición para llevar a cabo agrias controversias con varios
científicos. La más prolongada de éstas fue una batalla de 25 añ.os con Leibniz (y
que acabó con la muerte de Newton en 1727) sobre la prioridad en el desarrollo del
cálculo infinitesimal. Actualmente se reconoce que Leibniz desarrolló independientemente el cálculo después que Newton, pero antes de que Newton hubiera publicado sus resultados.
3.8). Utilizando la Ec. 3.6 con las dos fuerzas presentes
F1y+ F2y = may
Con F 1y = T y F 2y = -w = -mg, esta expresión se convierte en
T-mg=may
a= v2l2 .:1x = (20 m s-1)/2(0,5 m) = 400 m s-2
o
T=m(g + ay)
(i)
Entonces, con ay= 3 m s-2 y m = 1000 kg,
T = (1000 kg)(9,8 m s- 2 + 3 m s- 2)
= 12 800 N
Obsérvese que la tensión Tes mayor que el peso mg. El
cable debe soportar el peso del ascensor y además ha de
suministrar la fuerza necesaria para acelerarlo.
(b) La ecuación (i) se cumple sea cual sea el signo de
ay. Cuando a se dirige hacia abajo, ay= -3 m s-z, y la Ec. (i)
da
T= m(g + ay)
2
= (1000 kg)(9,8 m s- -3 m
s- 2)
zamiento entre el disco y el hielo es despreciable? (Supóngase aceleración constante).
Para resolver este problema, hallamos la aceleración
y aplicamos a continuación la segunda ley de Newton. Según las fórmulas de aceleración constante de la tabla 1.3,
tenemos v2 = v.2 + 2 at..x. Con v0 = O,
= 6800 N
Obsérvese que ahora Tes menor que el peso mg, ya que
se deja que el ascensor se acelere hacia abajo.
Ejemplo 3.2
Un jugador de hockey sobre hielo golpea un disco de
masa 0,17 kg con su stick, acelerándolo sobre el hielo desde el resposo hasta una velocidad de 20 m s- 1 en una distancia de 0,5 m (Fig. 3.9). ¿Qué fuerza debe ejercer si el ro-
Así pues, la fuerza neta sobre el disco es
F= ma = (0,17 kg)(400 m s-1)
=68 N.
Esta fuerza neta de 68 N en la dirección de la aceleración es la fuerza S que el stick del jugador debe ejercer
sobre el disco. Rilo se sigue de que las únicas otras fuerzas
que actúan sobre el disco son su peso (hacia abajo) y una
fuerza normal (hacia arriba) debida al hielo. Estas dos
fuerzas deben cancelarse exactamente, ya que la aceleración no tiene componente vertical por lo cual Fy =may =O.
Supongamos que dos personas tiran de los extremos de una cuerda con fuerzas de sentido opuesto FI y
F2 y en la misma dirección. La cuerda, a su vez, ejerce
· fuerzas -F I y -F2 sobre las personas, de acuerdo con la
tercera ley del movimiento. Por la segunda ley sabemos
que F1 -A= m a, donde mes la masa de la cuerda y a su
aceleración. Si dkha aceleración es nula o si la masa de
la cuerda es tan pequeña que podemos idealizar la
cuerda como si fuera de masa nula, tendríamos Fi - F2 =
= O. En esta situación especial, las fuerzas ejercidas por .
la cuerda sobre las dos personas tiene_n el mismo módu-
53
Las leyes de Newton del movimiento
T
/
(b)
X
w
(a)
(b)
Figura 3 .8
(a) Ascensor y cable. (b) La fuerza del cable sobre
el ascensor T y el peso del ascensor w. Cuando el ascensor se acelera hacia arriba, Tes mayor que w.
Figura 3.9
(a) Un jugador de hockey golpea un disco. (b) Diagrama de fuerzas del disco. Como la aceleración es horizontal, la
componente vertical de la fuerza neta es cero, y la fuerza normal N
tiene el mismo módulo que el peso w.
da con el mismo símbolo Ten el diagrama de fuerzas de
cada uno de los vagones.
(a) Como ay= Opara cada vagón, Fy= ma = O, por lo
cual
y
lo, y la cuerda puede considerarse como un simple
transmisor de la fuerza de una persona a la otra; ocurre
como si dichas personas se dieran la mano y tiraran la
una de la otra. La fuerza en cualquier punto de la cuerda se denomina tensión, y es la misma en todos los puntos sólo si la cuerda no está acelerada o bien si su masa
se puede considerar nula. La tensión en un punto cualquiera de la cuerda podría medirse en principio cortándola por dicho punto e insertando en su lugar un dinamómetro.
Ejemplo 3.3
Un niño arrastra un tren de dos vagones con una fuerza horizontal F de 10 N. El vagón 1 tiene una masa m 1 =
3 kg y la masa del segundo vagón es m2 = 1 kg (Fig. 3.10).
La masa de la cuerda que conecta los vagones es suficientemente pequeña como para suponerla nula y el rozamiento puede despreciarse. (a) Hallar las fuerzas normales que el suelo ejerce sobre cada vagón. (b) ¿Cuáles la tensión de la cuerda? (c) ¿Cuánto vale la aceleración del tren?
En este problema tenemos un sistema de varios objetos. Los tres objetos de interés son los dos vagones y la
cuerda que los une. Cuando se aplica la segunda ley de
Newton F = ma a cada objeto, resulta un sistema de ecuaciones que han de resolverse simultáneamente.
El hecho de que la masa de la cuerda sea nula (m =
O) implica que la fuerza neta sobre la cuerda ha de ser
nula. Por consiguiente, las fuerzas ejercidas por ambos vagones sobre los extremos de la cuerda han de anularse.
Las reacciones a estas fuerzas que actúan sobre los vagones han de ser también iguales pero de sentido opuesto.
Por ello, hemos denotado la fuerza de tensión de la cuer-
Así, las fuerzas normales ejercidas por el suelo valen
N2 = w2 = m,.g =(1 kg)(9,8 m s-2 )
N 1 = w 1 = m,g =(3 kg)(9,8 m s-2)
= 9,80 N
= 29,4 N
(b) Para ambos vagones a,= a, de modo que para el
vagón 1, Fx = m,ax se convierte en
(i)
Tanto T como a son incógnitas y por lo tanto no las podemos obtener con una sola ecuación; para resolver un
problema se necesitan tantas ecuaciones como incógnitas. La segunda relación entre Ty a se obtiene aplicando
F, = m2ax al segundo vagón:
(ii)
Esto da a= Tlm2. Sustituyendo esta expresión en la
Ec. (i),
Despejando T,
T= --F-=
l
lON -2S N
3 kg - '
+ 1 kg
(c) Ahora podemos hallar a a partir de la Ec. (ii);
a=L= 2,SN =2,Sms- 2
m2
l kg
Adviértase que si hubiéramos considerado el tren como
54
Las leyes de Newton del movimiento
1-x
8
b;;lb;;~//1/,
(a)
(1)
F
W¡
(b)
(e)
Figura 3.1 O (a) El sistema del Ejemplo 3.3. (b) y (e) muestran los diagramas de fuerzas de los vagones (2) y ( 1) respectivamente.
un solo objeto de masa m = m, + m 2 = (3 + l )kg = 4 kg,
podríamos haber encontrado directamente la aceleración
a partir de a = Flm = 10 N/4 kg = 2,5 m s-2 • Sin embargo, las fuerzas normáles y la tensión sólo pueden hallarse considerando los vagones por separado y no el sistema como un todo.
demos despejarlas a no ser que consideremos el movimiento de m2•
Aplicamos ahora la segunda ley de Newton al bloque
2. Como se está acelerando hacia abajo, ay:;= - a y Fy=m2ay
se convierte en
(ii)
Ejemplo 3.4
Un bloque de masa m 1 = 20 kg puede moverse libremente por una superficie horizontal. Una cuerda que pasa
por una polea lo une con un bloque de masa m2 = 10 kg,
que está colgando (Fig. 3.11). Suponiendo para simplificar que las masas de la cuerda y la polea son despreciables y que no hay rozamiento, hallar (a) las fuerzas sobre
los bloques y (b) su aceleración. (c) Si el sistema está inicialmente en reposo, ¿cuánto se habrá movido al cabo de
2 s?
Este problema es análogo al anterior de los dos vagones, aunque aquí una masa se mueve horizontalmente
y la otra lo hace verticalmente. De nuevo, el hecho de que
la cuerda y la polea tengan masa nula implica q ue la fuerza ejercida por la cuerda sobre m1 es igual en módulo a
la fuerza ejercida por la cuerda sobre m2• Por lo tanto, designamos ambas fuerzas con el mismo símbolo T.
(a) En primer lugar aplicamos F = ma al bloque de
la superficie. Como no tiene componente vertical de aceleración, la componente vertical de la fuerza neta debe ser
cero. Por lo tanto, la fuerza normal N, sobre el bloque 1
debida a la superficie es
N,
= w, =m,g = (20 kg)(9,8 m s-2) = 196 N
Esta ecuación comprende también las dos incógnitas, T
y a. Como el número de ecuaciones es ahora igual al número de incógnitas, podemos despejar Ty a. Según la Ec.
(i) tenemos a = Tlm 1• Sustituyendo este valor en la Ec.
(ii) se obtiene
Despejando T
T=--w_2_
+ m2
m1
( 10 kg)(9,8 m s- 2 )
10kg
+ 20kg
= 65,3 N
(b) Utilizando la Ec. (i), la aceleración es
ª -- L..
m 1
65,3 N - 3 27 m s- 2
20 kg - ·
(c) Como el sistema está inicialmente en reposo y se
acelera unifor memente, la distancia que recorre en 2 s es
tu
= ½a (llt) 2 = ½(3,27 ms- 2)(2 s)2 = 6,54 m
Así, si conocemos la posición y la velocidad iniciales, podemos hallar el movimiento producido por las fuerzas.
El sistema se está acelerando con una aceleración desconocida a. El bloque 1 tiene ax= a, por lo que Fx = m 1ax
se convierte en
(i)
Nótese que tanto T como a son incógnitas y que no po-
Ejemplo 3.5
Una paracaidista de peso w llega al suelo con las piernas flexionadas y se detiene con una aceleración 3g hacia
arriba. Hallar la fuerza ejercida por el suelo sobre ella durante la toma de tierra (Fig. 3.12).
Las fuerzas sobre la paraé~idista son su peso w y la
55
Las leyes de Newton del movimiento
L
m,
X
ªx = O
T
ay = - a
ªl
w2
Wt
(e)
(b)
(a)
Figura 3.11
(b) y (e) son los diagramas de fuerzas de los dos bloques cuando están conectados como·
se muestra en (a).
fuerza normal N debida ar suelo. Con m = wlg y a= 3g,
Fy = may se convierte en
N- w
= ma = (¡)(3g) = 3w
N=4w
La fuerza sobre sus pies debida al suelo es cuatro veces
su peso. En cambio, si simplemente está de pie sobre el
suelo, la fuerza normal es igual a su peso. Adviértase que
si mantuviera las piernas rígidas durante el aterrizaje, se
pararía con una acelera~ión mayor en una distancia más
corta y las fuerzas sobre sus pies sería mayores.
L
3.9 I FUERZAS GRAVITATORIAS
El estudio del movimiento planetario condujo a Newton a establecer la fórmula de la fuerza gravitatoria entre dos masas. Esta fórmula, conocida como ley de la
gravitación universal, es considerada una ley fundamental de la naturaleza. Haciendo uso de esta ley y de las
tres leyes del movimiento, Newton fue capaz de deducir
las leyes o bservadas del movimiento planetario. Asimismo, consiguió determinar con precisión el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra y explkar cualitativamente las mareas de nuestros océanos.
La ley de la gravitación universal establece que todos los objetos del universo se atraen entre sí. Para dos
esferas, o para dos cuerpos de cualquier forma que sean
tan pequeños en comparación con su separación que
se puedan considerar como partículas puntuales, la ley
tiene una forma sencilla. Si dos esferas o partículas tienen masas gravitatorias m y m' y si sus centros están separados por una distanciar, las fuerzas entre ambas esferas o partículas valen
Gmm'
F= - 2
-r
(3.7)
G se denomina la constante gravitatoria y su valor experimental es
N
(a)
(b)
Figura 3 .12 (a) Una paracaidista se detiene con una aceleración de 3 g. (b) Las fuerzas sobre ella son una fuerza normal N debida al suelo y su peso w.
G = 6,67 X 10-11 N m2 kg-2
Las fuerzas gravitatorias se dirigen en la dirección de
la recta que une los centros de las dos esferas (Fig.
3.13). El valor de la fuerza gravitatoria varía com o l/r2,
por lo que la Ec. 3.7 es una ley inversocuadrática.
56
Las leyes de Newton del movimiento
~
~ ~
F
1•
•1
r
w
Figura 3 .13 Dos esferas ejercen entre si fuerzas atractivas. F
y F' son iguales y opuestas de acuerdo con la tercera ley de Newton
del movimiento.
Como se ha advertido, la Ec. 3.7 se aplica directamente a esferas y partículas puntuales. Para objetos
más complicados deben sumarse las fuerzas entre todos los pares de partículas para hallar las fuerzas gravitatorias netas entre los objetos. Sin embargo, estas
fuerzas netas son también iguales y de sentido contrario, tal como lo requiere la tercera ley del movimiento.
La fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra sobre
un objeto es relativamente grande a causa de la gran
masa de la Tierra. Por el contrario, la'fuerza gravitatoria entre dos objetos de masa mediana es muy pequeña y dificil de detectar, tal como se demuestra en
el siguiente ejemplo.
Eje!)lplo 3.6
Los centros de dos esferas de 10 kg distan entre sí 0,1
m. (a) ¿Cuál es su atracción gravitatoria? (b) ¿Cuál es la
razón de esta atracción al peso de una de las esferas?
(a) Utilizando la ley de Newton de la gravitación, las
fuerzas entre las esferas valen
F
= G mm' = (6,67 X 10- N m2 kg-2) ( lO kg)(lO kg)
~
~lmf
= 6,67 X 10- N
11
Una persona de masa m tiene un peso w =
GmMy/Ri en la superficie terrestre.
Figura 3.14
3.10
I PESO
El peso de un objeto es la fuerza gravitatoria que éste
experimenta. Para un objeto próximo a la superficie
terrestre, dicha fuerza se debe en su mayor parte a la
atracción de la Tierra.
Llamemos RT al radio de la Tierra y MT a su masa
(Fig. 3.14). Un objeto de masa gravitatoria en la superficie de la Tierra está sometido a una fuerza gravitatoria que según la Ec. (3. 7) vale
m
F
= G ñiMT
Rl
La aceleración g resultante de esta fuerza puede calcularse mediante la segunda ley de Newton, F = ma, que
contiene la masa inercial m:
7
g=
Dichas fuerzas se dirigen a lo largo de la recta que une
los centros de las esferas.
(b) El peso de una de las esferas es
w
= mg = (10 kg)(9,8 m s-2 ) = 98 N
Luego la razón de las fuerzas gravitatorias entre las esferas al peso de una esfera es
f = 6,67 ~ i-1N = 6,81 X 10-9
El pequeño valor de esta razón explica por _qué no notamos la atracción gravitatoria entre objetos de dimensiones ordinarias.
En el Capítulo 5 veremos cómo la ley de Newton de
la gravitación universal permite comprender el movimiento de los planetas y de la Luna, así como las mareas.
(3.8)
!_ = _]_
m
m
(e ñiRlMT )
Si suponemos que la masa inercial y la masa gravitatoria valen lo mismo, tenemos mlm = l, y hallamos
M
g=G-T
R2
T
(3.9)
Este resultado dice que la aceleración de la gravedad
es la misma para todos los objetos. Esto está de acuerdo con los expe1:1mentos y justifica la hipótesis de que
las masas inercial y gravitatoria de un objeto son iguales.
Téngase en cuenta que el radio de la Tierra ETes de
6400 km. Por consiguiente, la aceleración gravitatoria
a unos pocos metros o incluso a unos pocos kilómetros por encima de la superficie terrestre no diferirá de
57
Las leyes de Newton del movimiento
2
manera apreciable del valor en la superficie, 9,8 m s- •
Tal como hemos visto, la masa y el peso son magnitudes relacionadas pero diferentes. La masa de un objeto es una propiedad intrínseca del mismo, se halle en
Chicago, en la Luna o en el espacio interestelar. La
masa constituye una medida de la cantidad de materia del objeto y determina su inercia o su respuesta a
una fuerza. El peso de un objeto varía en cambio según la posición y es la fuerza resultante de la gravedad.
La masa de un objeto queda determinada solamente por la cantidad de materia presente y es independiente de su estado fisico o químico. Por ejemplo, si
un metro cúbico de oxígeno gaseoso a la presión atmosférica se enfría, acabará licuándose y ocupará un
volumen de 10- 3 m 3• Sin embargo, seguirá teniendo el
mismo número de moléculas y la misma masa. Análogamente, cuando un volumen de hidrógeno gaseoso y
otro volumen de oxígeno gaseoso se combinan para
formar agua líquida, el volumen se reduce enormemente, pero la masa permanece de nuevo invariable. El siguiente ejemplo ilustra aún más la-relación entre masa
y peso.
Ejemplo 3.7
Un astronauta pesa 700 N sobre la Tierra. ¿Cuál es su
peso en un planeta X, cuyo radio Res R = RT/2 y su masa
Mx = MT/8?
Sobre la Tierra, su peso es
donde mes su masa. Sobre el planeta X, su masa es la misma, pero su peso es
l
t
i ,f
(a)
.!
(e)
(b)
Figura 3 .15 (a) Mujer sometida a una aceleración hacia arriba
en un ascensor. (b) Fuerzas que actúan sobre la mujer. (e) La mujer
ejerce una fuerza w' sobre la balanza. Por la tercera ley de Newton,
S = -w'.
leración se dirige hacia abajo, sentimos como si nuestro peso se redujera. Nuestro peso es la fuerza gravitatoria que sobre nosotros ejerce la Tierra, y ésta, claro
está, no varía por el hecho de encontrarnos en el ascensor. Sin embargo, la percepción de nuestro peso viene
determinada por las fuerzas que sobre nosotros ejerzan
el suelo, la silla o lo que nos soporte. Dichas fuerzas no
son iguales al peso cuando estamos sometidos a una
aceleración.
Definimos el peso efectivo w• de una persona o un
objeto como la fuerza total que dicho objeto ejerce sobre un dinamómetro, o balanza de resorte. Según la_tercera ley de Newton del movimiento, ésta tiene el mismo módulo y sentido opuesto a la fuerza S que el dinamómetro ejerce sobre la persona o el objeto, de
modo que
GmMx
Gm(MT/8)
w•= -S
Rx
(RTl2)2
1
Aunque dicha medición no siempre sea factible,
esta definición resultará útil para comprender y calcular el peso efectivo de un objeto acelerado. En el siguiente ejemplo mostramos cómo se calcula el peso
efectivo.
Wx =--2- =
4 ·GmMT
=----=-WT
8 R/
2
Por lo tanto, su peso sobre el planeta X es(-½- )(700
N) = 350 N .
(3.10)
Ejemplo 3.8
3.11
PESO EFECTIVO
Cuando un ascensor empieza a moverse hacia arriba,
acelera brevemente y a continuación sigue a velocidad
constante h~sta que se aproxima al piso deseado. Durante la aceleración hacia arriba nos sentimos más pesados que lo habitual. Análogamente, cuando la ace-
Una mujer de masa m, permanece en pie sobre una balanza en un ascensor. Hallar su peso efectivo si el ascensor ·se acelera hacia arriba a 0,2 g.
Las fuerzas que actúan sobre la mujer son su peso
w = mg y la fuerza S debida a la balanza (Fig. 3.15).
Según la segunda ley de Newton F = ma,
s ·- mg=ma,
S = mg+ma
58
Las leyes de Newton del movimiento
perimentará una fuerza grande y desagradable al detenerse súbitamente.
3.12 I ROZAMIENTO
Figura 3.16 Un astronauta en caída libre tiene peso efectivo
nulo, y se siente como si no pesara (NASA).
Como por definición el peso efectivo tiene el mismo módulo que la fuerza de la balanza S,
w' = m (g +a) = mg (l + 0,2) = 1,2 mg
El peso efectivo de la mujer es pues 1,2 veces un peso
normal, mg.
Si la aceleración se dirigiera hacia abajo, un cálculo
análogo pondría de manifiesto que el peso de la mujer es
menor que mg.
Según la Fig. 3.15, resulta claro cómo hallar el peso
efectivo w' en general. Por definición, w' = -S, donde S
es la fuerza ejercida por la balanza. A partir de la segunda ley de Newton, S - mg =ma o sea -S =mg - ma,
Así pues
w' =mg-ma
(3.11)
Un objeto en caída libre tiene una aceleración a
igual a g, por lo cual su peso efectivo es nulo. Como un
satélite artificial en órbita alrededor de la Tierra se halla
en caída libre, el peso efectivo de un astronauta en dicho satélite será nulo, y flotará libremente en el interior
de la nave si no se mantiene atado. Sin embargo, aunque su peso efectivo sea nulo, no por ello su masa habrá
cambiado (Fig. 3.16). Si inadvertidamente se impulsa
en una pared y va a chocar de cabeza contra la otra, ex-
El rozamiento es una fuerza que siempre se opone al
deslizamiento de un objeto sobre otro. Las fuerzas de
rozamiento son muy importantes, ya que nos permiten andar, utilizar vehículos de ruedas y sostener libros. Desde un punto de vista microscópico, el rozamiento proviene de muchos pequeños enlaces ocasionales entre los puntos de contacto de ambas superficies.
Frecuentemente intentamos reducir las fuerzas de
rozamiento que se oponen al movimiento deseado. Ello
se consigue a menudo con rodillos o ruedas, ya que en
la rodadura las superficies se separan con una fuerza
mucho menor que la necesaria en el deslizamiento.
Las fuerzas de rozamiento en los fluidos se llaman
fuerzas viscosas. A menudo son muy pequeñas si se
comparan con el rozamiento entre superficies sólidas.
Por lo tanto, el uso de líquidos lubrificantes como el
aceite, que se interpone entre las superficies de los metales, disminuye enormemente el rozamiento. Análogamente, una capa de aire suministra un soporte casi
sin rozamiento para los vehículos aerodeslizadores o
para las mesas experimentales de aire.
Cuando andamos o corremos no advertimos ningún rozamiento en las rodillas ni en las articulaciones
de las piernas. Estas y muchas otras articulaciones de
los mamíferos se encuentran bien lubrificadas mediante fluido sinovial, que pasa a través del cartílago que reviste las articulaciones cuando éstas se mueven. (Fig.
3.17) Este lubrificante tiende a ser absorbido cuando
la articulación está en reposo, aumentando entonces el
rozamiento y facilitando el mantener una posición fija.
Esto constituye un excelente ejemplo de la sabia ingeniería biológica que ha empleado la naturaleza. Otros
ejemplos de lubricación en nuestros cuerpos incluyen
la saliva que incorporamos a los alimentos al masticarlos, y los recubrimientos mucosos del corazón, pulmones e intestinos que minimizan el rozamiento en el
movimiento que estos órganos realizan para cumplir
sus funciones.
·
Para establecer enunciados cuantitativos sobre el
rozamiento, consideremos un bloque en reposo sobre
una superficie horizontal (Fig. 3.18 a, b). Como el bloque está en reposo, la primera ley requiere que la fuerza neta sobre él sea nula. Las fuerzas verticales son el
peso w y la fuerza normal N, por lo cual se ha de cum-
59
Las leyes de Newton del movimiento
Material poroso
elástico de apoyo
_1....---·Hueso
Membrana
sinovial
/~i~1;:!o
J__
articular
.}
Lubrificante
(fluido sinovial)
Hueso
(b)
(a)
Figura 3.17 Las articulaciones humanas se lubrificar ,;on el
fluido sinovial que pasa a través del cartilago por< so que las reviste. (a) Articulación humana típica. (b) Modelo aproximadamente
equivalente a la articulación. (Tomado de Duncan Dowson, «Lubrication in Human Joints», Verna Wright, (ed), en Lubrication and
Wear in Joints, Lippincott; Philadelphia, 1969.)
plir que N = w. En la dirección horizontal no hay ninguna fuerza aplicada ni hay movimiento, de modo que
la fuerza de rozamiento debe ser también nula, de
acuerdo con la primera ley.
Supongamos ahora que aplicamos una pequeña
fuerza horizontal T hacia la derecha (Fig. 3.18c). Si el
bloque permanece en reposo, la fuerza de rozamiento
f, ya no puede ser nula, porque la primera ley requiere
que la fuerza neta sea nula, o sea;/. = T. Si T aumenta
gradualmente, f, también aumenta. Eventualmente,
cuando T se hace suficientemente grande, el bloque em-
pieza a deslizarse. Por lo tanto existe una máxima fuerza posible de rozamiento estático f,(máx).
Experimentalmente, se comprueba que f,(máx) tiene las siguientes propiedades:
1 f,(máx) es independiente del área de la superficie
de contacto. Por ejemplo, si serráramos el bloque
por la mitad y colocáramos una pieza sobre la
otra (Fig. 3.18d),:.f.(máx) seguiría siendo la misma.
2 Para un par de superficies dadas, .f.(máx) es pro-
porcional a la fuerza normal N.
3 El número que relaciona .f.(máx) y N, llamado
coeficiente de rozamiento estático, µ,, se define
como
(3.12)
µ,, depende de la naturaleza de las dos superfi-
cies y de su limpieza, lisura, humedad, etc. Los valores típicos de µ,, para metales sobre metales se
hallan comprendidos entre 0,3 y l. Valores por encima de 1 no se encuentran en circunstancias ordinarias. Sin embargo, en los metales expuestos
al aire se forman delgadas capas de óxido sobre
sus superficies. Si las superficies se ponen en contacto en el vacío, actuán grandes fuerzas de enlace que aumentan bastante el valor deµ,. Cuando
se usan aceites lubrificantes,µ, es 0, 1 aproximadamente para metales sobre metales. Para teflón
sobre metales, µ,
0,04. En una articulación
sana de la cadera, el fluido sinovial reduce µ, hasta el valor notablemente bajo de 0,003.
=
T
f,
(a)
kl
(t.1)
Figura 3.18 (a) Bloque en reposo sobre una superficie horizontal. (b) Diagrama de fuerzas. (e) El
diagrama de fuerzas cuando se aplica una fuerza T. (d) El rozamiento estático máximo es independiente
del área de la superficie de contacto.
60
Las leyes de Newton del movimiento
4 La fuerza necesaria para mantener un objeto des-
lizándose a velocidad constante es menor que la necesaria para ponerlo en movimiento. Por ejemplo,
es más fácil mantener en movimiento una mesa
pesada o una caja que ponerla en movimiento.
Así, el rozamiento cinético o de deslizamiento fk
es menor que f.(máx). Es también independiente
del área de contacto y satisface
/k = µkN
µ,
=
f,(máx)
N
SON
'
(c) Como el bloque se mueve a velocidad constante
cuando se le aplica una fuerza de 32 N, la fuerza neta
debe ser cero. Por consiguiente, la fuerza de rozamiento
fk ha de ser igual a la fuerza aplicada, o sea
A=32N
(3.13)
Aquí, µk es el coeficiente de rozamiento cinético
y queda determinado por la naturaleza de ambas superficies.
= 40 N = 0 8
De nuevo, la fuerza normal ha de ser igual al peso, es decir, 50 N, por lo que
/k
µk=-
= 32N
.- = 0,64
5 µk es aproximadamente independiente de la velocidad, y como /k <J.(máx).
µk<µ,
(3.14)
Es importante darse cuenta de que estas propiedades de las fuerzas de rozamiento no constituyen afirmaciones fundamentales sobre el mundo físico. Por lo
tanto, son completamente diferentes de las leyes de
Newton del movimiento o de la ley de gravitación universal. Aunque dan una buena descripción de las fuerzas de rozamiento en situaciones corrientes, representan sólo una aproximación a un problema complejo.
Una discusión más completa debería incluir las características específicas de las fuerzas entre las moléculas
que forman ambas superficies. El rozamiento es un fenómeno cuya comprensión es aún incompleta, a causa de su gran complejidad.
Los ejemplos siguientes muestran cómo se tiene en
cuenta el rozamiénto.
Como ya observamos anteriormente, el valor de µ,,
es generalmente igual o menor que la unidad. Esto fr~cuentemente limita la fuerza que una persona o un animal puede ejercer. Por ejemplo, cuando alguien intente
empujar o tirar horizontalmente sobre un terreno plano, la fuerza que ejerce viene acompañada por u~a
fuerza de reacción igual y de sentido opuesto que actua
sobre él. Así, resbalará si dicha fuerza de reacción sobrepasa la máxima fuerza de movimiento, qu~ es igual a
su peso si µ, = l. En terrenos blandos, los animales con
pezuñas o garras pueden hundirlas ligeramente y
aumentar algo la fuerza que pueden ejercer sin resbalar.
Las locomotoras se construyen muy pesadas para
aumentar la máxima fuerza de rozamiento.
Estas ideas se utilizan en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 3.9
Ejemplo 3.10
Un bloque de 50 N se halla sobre una superficie plana horizontal (Fig. 3.18). (a) Si al aplicarle una fuerza horizontal de T = 20 N el bloque sigue en reposo, ¿cuánto
vale la fuerza de rozamiento? (b) El bloque empieza a deslizarse cuando Tse aumenta hasta 40 N. ¿Cuánto vale µ,?
(c) El bloque se sigue moviendo a velocidad constante
cuando T se reduce a 32 N. ¿Cuánto vale µ,?
(a) Como el bloque permanece en reposo cuando se
le aplica la fuerza T, la fuerza de rozamiento f, ha de ser
igual pero de sentido opuesto a T. Por consiguiente,
N
SON
Tal como era de esperar, el coeficiente de rozamiento cinético µk es menor que el coeficiente de rozamiento
estático µ,.
En una historieta cómica, Superman extiende su brazo y detiene un camión embalado antes de que llegue a
su cuerpo (Fig. 3.19). Para comprobar si ello resulta con-
f,=T=20N
(b) Como el bloque empieza a deslizarse cuando la
fuerza aplicada llega a 40 N, la máxima fuerza de rozamiento es
f,(máx) = 40 N
Las fuerzas verticales deben sumar cero, por lo cual la
fuerza normal N es igual al peso w, o sea, 50 N. Por Jo tanto
Figura 3.19
Superman tratando de detener un camión a gran
velocidad. Como el coeficiente de rozamiento de sus pies sobre la carretera es a lo sumo 1, nuestro personaje no puede ejercer una fuerza
horizontal mayor que su peso sin deslizar por la fuerza de reacción
igualmente grande ejercida por el camión sobre él. A pesar de una
fuerza excepcional, su esfuerzo para detener el camión es una distancia como la longitud de su brazo fracasará por completo.
61
Las leyes de Newton del movimiento
sistente con los principios de la fisica, supongamos que
el camión se mueve a 30 m s-•, que su masa Mes de 50 000 kg
y que la masa de Superman, m, es de 100 kg. Si la fuerza
que puede ejercer viene limitada por la fu,erza de rozamiento entre sus pies y el suelo, y si µ,, = /J,k = C, ¿cuál es
la distancia mínima en la que podría detener el éamión?
La fuerza máxima que puede ejercer es F = µ,,N = µ,,
mg, por lo cual
2
)
F= (1) (100 kg)(9,8 m s-
= 980 N.
Por consiguiente, la aceleración del camión puede valer como máximo
En este problema es conveniente tomar los ejes de
coordenadas tal como se indica. Por definición, la fuerza
normal N es perpendicular a la superficie, o sea en la dirección -x. Análogamente, la fuerza de rozamiento f, es paralela a la superficie, o sea en la dirección y. Según la Fig.
3.20c, las componentes del peso w son
w, = w cos 8,
Cuando el bloque permanece en reposo, la primera
ley requiere que las componentes x e y de las fuerzas se
anulen, respectivamente. Por lo tanto
f, = w sen 8
N = wcos.8
a - F 980 N - O0196
-2
- M - 50 000 kg - "
ms
Utilizando la relación v2 =
tancia de frenado es
l:!,.x
-ul =
= -2a
2
Vo
+ 2aAx con v =
wy = -w sen 8
O, la dis-
Dividiendo estas ecuaciones miembro a miembro, el peso
w se anula y queda
f.
(30 m s- 1)2
2(0,0196 m s-2)
N
= sen 8 = tan 8
cos8
Cuando el bloque está a punto de empezar a deslizarse,
f, = f,(máx) = µ, N, y 8 = 8(máx). Así, hallamos
= -23 000 m = -23 km
Como la máxima fuerza que puede ejercer Superman está
limitada en esta situación a su peso, ¡tendría que emplear
23 km para poder detener el camión! (El signo menos se
debe a que Ax y a tienen sentidos opuestos).
El ejemplo siguiente nos muestra cómo él coeficiente de rozamiento estático puede medirse en un laboratorio de fisica.
µ,, = tan 8(máx)
Un dispositivo de este tipo nos proporciona una manera sencilla de medir el coeficiente de rozamiento estático. El ángulo se va aumentando gradualmente hasta que
el bloque empieza a moverse. Por ejemplo, si (} (máx) =
37º, entonces µ, = tan 37º = 0,754.
Ejemplo 3.11
Un bloque se encuentra en reposo sobre un plano inclinado (Fig. 3.20). El coeficiente de rozamiento estático
es µ,. ¿Cuál es el máximo ángulo de inclinación posible
8(máx) de la superficie para el cual el bloque permanece
en reposo?
RESUMEN
Se define la masa de un objeto como la razón de su
peso w a la aceleración de la gravedad g. También se
puede definir como el cociente entre la fuerza neta apli-
¡_e \
1
(a)
Figura 3.20
peso w.
(b)
(e)
(a) Bloque sobre un plano inclinado. (b) Fuerzas sobre el bloque. (e) Componentes del
62
Las leyes de Newton del movimiento
cada al objeto y la aceleración producida. La densidad
de un objeto es la razón de su masa a su volumen, p =
m/V. Su densidad relativa es la razón de su densidad
a la del agua a OºC y a presión atmosférica.
Las tres leyes de Newton del movimiento nos permiten predecir el movimiento de un objeto a partir de
las fuerzas que actúan sobre el mismo. La primera ley
establece que en un sistema inercial de coordenadas, el
objeto permanece en reposo o con velocidad constante, a no ser que se le aplique una fuerza total no nula.
Cuando sobre un objeto no actúa una fuerza neta, aunque sobre él actuen dos o más fuerzas, se dice que el objeto está en equilibrio. El tipo de equilibrio (estable,
inestable o neutro) viene determinado al observar si éste tiende a volver a su estado original de reposo o movimiento uniforme al ser perturbado Hgeramente.
La segunda ley enuncia que la fÚerza F necesaria
para producir una aceleración a satisface
F=ma
Lista de repaso
Definir o explicar:
fuerza
fuerza de contacto
peso
newton
masa gravitatoria
kilogramo
·densidad
densidad relativa
primera ley de Newton
del movimiento
sistema inercial de coordenadas
equilibrio: estable, inestable, neutro
fuerza normal
tensión
tercera ley de Newton
del movimiento
fuerzas de acción-reacción
segunda ley de Newton
del movimiento
masa inercial
ley de gravitación universal
constante gravitatoria
ley inversocuadrática
peso efectivo
fuerza de rozamiento
coeficientes de rozamiento estático y
de rozamiento cinético
donde m es la inercia o masa del objeto. La tercera ley CUESTIONES DE REPASO
afirma que si un objeto A ejerce una fuerza: sobre B,
Q 3-1 Las fuerzas que sólo se ejercen cuando dos
entonces B ejerce una fuerza igual pero de sentido conobjetos
se están tocando se llaman ........ .
trario sobre A. Como dichas fuerzas actúan sobre objeQ
3-2
El
peso de un objeto es la fuerza ......... sobre
tos diferentes, sus efectos no se anulan.
el
mismo.
Todos los objetos ejercen fuerzas gravitatorias enQ 3-3 La masa de un objeto es igual a su peso ditre sí. Las fuerzas entre dos esferas o entre dos partívidido por ........ .
culas puntuales son proporcionales al producto de sus
Q 3-4 La densidad es la razón de la masa de un obmasas e inversamente proporcionales al cuadrado de
jeto a su ........ .
su distancia. La masa de un objeto es la misma en cualQ 3-5 Un material de peso específico l tiene la misquier punto del universo; su peso, w = mg, depende de
ma densidad que ........ .
la aceleración de la gravedad en el punto en que se en3-6 Según la primera ley de Newton, sobre un ohcuentra el objeto. El peso percibido o peso efectivo de- .
Jeto que se mueve con velocidad constante con respende además de la aceleración, y viene dado por
pecto a un sistema inercial actúa ........ .
Q 3-7 Si un objeto vuelve a su posición original de
wc = m (g-a)
reposo al ser apartado ligeramente de ella, se halla
en ........ .
Q 3-8 Si un objeto A ejerce una fuerza sobre un obUna persona en caída libre tiene peso efectivo nulo.
jeto
B, .B ejerce sobre A ........ .
Cuando la fuerza aplicada a un objeto que está en
Q 3-9 La aceleración de un objeto es igual a la fuerreposo sobre una superficie supera la máxima fuerza
za neta que actúa sobre el mismo dividida por ........ .
de rozamiento estático µ/v, aquél empieza a moverse.
Q
3-10 La ley de la gravitación universal es de tipo
La fuerza de rozamiento cinético, µkN, es en general
inversocuadrático
porque la fuerza gravitatoria vamenor que la .fuerza máxima de rozamiento estático.
ría
como
........
.
Los coeficientes µ, y µk dependen de la naturaleza de
Q 3-11 La masa gravitatoria de un objeto es igual
las superficies y, por lo general, son menores que 1. Las
a su ........ .
fuerzas de rozamiento entre dos superficies no depenQ
3-12 La ..... .... de un objeto es la misma en cualden de su área de contacto.
9
63
Las leyes de Newton del movimiento
ION
-
-+- - ~20 N
20 N
15 N
Figura 3.21
Ejercicio 3-1.
Figura 3.22
Ejercicio 3-2.
3-5 Una mujer tiene una masa de 50 kg. ¿Cuál_es
su peso en newtons?
3-6 ¿Cuánto pesa un bistec de 1 kg?
3-7 Hallar el peso de 500 g de azúcar cande en (a)
newtons; (b) libras.
3-8 Una barra de caramelo pesa 1 onza (1 oz) (16
oz = 1 lb). Hallar su masa en kilogramos.
3-9 Una mujer pesa 120 libras ¿Cuál es su masa en
kilos?
3-10 Un superpetrolero pesa 200 000 toneladas,
¿cuál es su masa en kilos?
Sección 3.2. 1 Densidad (véase la Tabla 3.2 para las
densidades que se necesiten)
10 N
Figura 3.23
Ejercicio 3-3.
quier lugar; su ......... deI?ende de la posición del objeto en el universo.
Q 3-13 El peso efectivo de; un objeto es nulo cuando se halla en ........ .
Q 3-14 La máxima fuerza de rozamiento entre dos
superficies dadas es independiente de ......... y proporcional a .........
Q 3-15 La fuerza necesaria para mantener un objeto con velocidad de deslizamiento constante es
menor que la que se necesita para .... ·:•..
Q 3-16 El coeficiente de rozamiento estático es generalmente menor que ......... , y mayor que el coeficiente de ........ .
EJERCICIOS
Sección 3.1 1 Fuerza, Peso y
Masa Gravitatoria
3-1 Hallar el módulo y la dirección de la fuerza neta
sobre el objeto de la Fig. 3.21.
3-2 Hallar el módulo y la dirección de la fuerza neta
sobre el objeto de la Fig. 3.22.
3-3 Hallar el módulo y la dirección de la fuerza neta
sobre el objeto de la Fig. 3.23.
3-4 Un hombre pesa 980 N. ¿Cuál es su masa en kilogramos?
3-11 ¿Cuál es la masa de un litro de sangre completa? (1 litro = 10· 3 m 3).
3-12 Los átomos de hidrógeno son la materia más
común en muchas regiones del espacio interestelar.
Un átomo de hidrógeno tiene una masa de 1,67 X
10· 27 kg. Si en una «nube de gas» interestelar hay
en promedio un átomo de hidrógeno por centímetro cúbico, ¿cuál es la densidad de la nube en unidades SI?
3-13 (a) A partir de los datos solares y terrestres tabulados en las cubiertas interiores de este libro, calcúlese la densidad media d~l Sol (b) ¿Es esta densidad consistente con la que se da para el Sol en la Tabla 3.2? Explíquese.
3-14 Una barra cilíndrica de hierro tiene 1 cm de radio y 20 cm de longitud. ¿Cuál es su masa?
3-15 El núcleo del átomo de uranio puede describirse aproximadamente como una esfera de radio
8,7 x 10·15 m.y masa 3,5 X 10· 25 kg. (a) ¿Cuál es su
densidad media? (b) ¿Cuál es su peso específico?
3-16 Las estre_llas de neutrones constituyen una de
las últimas fases de la evolución estelar. Una estrella de neutrones típica tiene un radio de 104 m y una
masa de 2 X 1030 kg. (a) ¿Cuál es su densidad media? (b) Hallar la razón de esta densidad con relación a la del plomo.
3-17 ¿Cuál es el peso específico del agua a 0ºC de
temperatura y 50 atm de presión?
3-18 Una lámina de oro tiene un espesor de 10 micrometros (1 µ m = 10·6 m) ¿Cuál es la masa de un
fragmento cuadrado de 10 cm de lado?
3-19 En la industria del petróleo se define un barril
como 42 galones donde 1 galón = 3,786 litros =
3,786 X 10-3 m 3• Hállese la masa en kilogramos de
un barril de aceite de densidad relativa 0,8.
64
Las leyes de Newton del movimiento
3-20 Hallar la densidad de la gasolina si 5 kg ocupan un.volumen de 7,35 X 10-3 m 3•
3-21 El ácido de las baterías tiene una densidad de
1290 kg m- 3 ,"y contiene un 35 por ciento en peso
de ácido sulfúrico. ¿Cuál es -la masa del ácido sulfúrico contenido en! litro?(! litro = 10-3 m 3 de ácido de batería).
3-22 (a) Calcular la variación en tanto por ciento
de la densidad del aire cuando se calienta a presión
atmosférica desde 0° C hasta 100° C. (b) Calcular la
correspondiente variación para el agua.
3-23 (a) ¿Cuál es el peso específico del plomo? (b)
¿Cuál es la.masa de un cubo de plomo de 10 cm de
lado?
Sección 3.3
to y
Primera ley de Newton del movimien-
Sección 3.4
Equilibrio
3-24 ¿Para cuál de los siguientes observadores se
cumple la primera ley de Newton del movimiento
en la forma en que la hemos enunciado? (a) Una per·sona que se mueve en un plano a velocidad constante y con dirección constante. (b) Un paracaidista.que acaba de lanzarse del avión. (c) Un paracaidista que ha alcanzado la velocidad terminal y que
está cayendo a velocidad constante. (d) El piloto de
un avión que está despegando de la pista. Explique
su razonamiento.
3-25 Una persona se encuentra en un coche que da
vueltas a una pista circular. ¿Las observaciones de
esta persona estarán de acuerdo con la primera ley
de Newton del movimiento tal como la hemos enunciado en este capítulo? ¿Depende la respuesta de si
la velocidad es o ·no constante? Explicarlo.
3-26 Un coche avanza a velocidad constante por
una carretera rectilínea que forma un ángulo de 10º
con la horizontal. (a) ¿Se encuentra en equilibrio?
(b) ¿Qué fuerzas actúan sobre el coche?
3-27 Un avión de 2000 kg está en vuelo horizontal
a velocidad constante. (a) ¿Cuál es la fuerza neta sobre el avión? (b) ¿Cuál es la fuerza ascensional sobre el avión debida al aire?
3-28 Una piedra redonda que se ·encuen,tra sobre
un camión empieza a rodar hacia atrás cuando el camión se pone en movimiento. El conductor está en
reposo con respecto al camión y deduce que hay
una fuerza que hace rodar a la piedra hacia el fondo del mismo. (a) ¿Su deducción es correcta? (b)
. ¿Qué fuerzas actúan sobre la piedra? (c) ¿Con res-
pecto al suelo, la piedra se mueve hacia atrás o hacia adelante?
3-29 En la Fig. 3.4, los cables forman un ángulo de
30º con la dirección horizontal. ¿Cuánto valen las
fuerzas F1 y F2 que ejercen sobre el semáforo si su
peso es w?
3-30 (a) Se coloca un lápiz sobre una mesa. ¿En qué
tipo de equilibrio se halla si su sección·transversal
es hexagonal? (b) ¿En qué tipo de equilibrio se halla si su sección transversal es circular? (c) Supóngase que dejamos verticalmente el lápiz en equilibrio
sobre su punta. ¿En qué tipo de equilibrio se halla?
3-31 ¿Qué tipo de equilibrio representa el semáforo de la Fig. 3.4? Explicar qué ocurriría si se desplazara ligeramente bien en dirección horizontal,
bien en vertical.
3-32 Un avión lanza en paracaídas un paquete de
enseres de emergencia. La fuerza de resistencia del
aire crece aproximadamente como el cuadrado de
la velocidad, por lo cual el paquete alcanza rápidamente una velocidad máxima constante de caída.
(a) Cuando llega a dicha velocidad, ¿se halla el paquete en equilibrio? (b) ¿Qué ocurriría con su estado de movimiento si una breve racha de viento le impulsara lateralmente? (c) ¿Qué ocurriría a su estado de movimiento si hubiera una breve ráfaga descendente de aire?
3-33 Un coche recorre una pista circular con velocidad constante. ¿Se halla en equilibrio? Explíquese:
Sección 3.5
1
Tercera ley de Newton
3-34 Un bote que flota sobre un río está amarrado
·por un cabo al muelle. (a) Dibujar un diagrama que
muestre todas las fuerzas que actúan sobre el bote.
(b) Identificar las fuerzas horizontales que actúan
sobre el bote y las fuerzas de reacción asociadas. (c)
Identificar las fuerzas verticales que actúan sobre el
bote y las fuerzas de reacción asociadas. (d) ¿Cuál
es la fuerza neta sobre el bote?
3-35 Un avión es arrastrado por un camión a una velocidad constante con respecto a la pista. Ambos están conectados entre sí mediante una barra de
hierro. (a) ¿Cuáles son las fuerzas sobre el avión?
(b) ¿Cuáles son las fuerzas sobre el camión? (c) ¿Cuál
es la fuerza neta sobre el avión? (d) ¿Cuál es la fuerza neta sobre el camión? (e) ¿Cuál es la fuerza neta
sobre la barra de hierro? (f) Identificar las fuerzas
de acción-reacci6n que actúan sobre el avión, el
camión y la barra.
65
Las leyes de Newtón del movimiento
· 3-36 Un avión está volando horizontalmente con
una velocidad constante. Las hélices impulsan el
aire hacia atrás. (a) ¿El avión está en equilibrio? (b)
¿Qué fuerzas actúan en el plano horizontal?
3-37 (a) Una chica aguanta en su mano una pelota
inmóvil. Identificar las fuerzas que actúan sobre la
pelota y sus respectivas reacciones. (b) La chica lanza la pelota al aire. ¿Cuáles son las fuerzas sobre la
pelota mientras está en el aire? ¿Cuáles son las reacciones a estas fuerzas?
3-38 Un coche va frenando al acercarse a un stop
en una carretera recta y plana. (a) ¿Cuáles son las
fuerzas que actúan sobre el coche? (b) ¿Cuáles son
las reacciones a estas fuerzas?
Sección 3.6
1
"Segunda ley de Newton
3-39 La aceleración de despegue de una chica eri
salto vertical es de 20 m s· 2• Su masa es de 50 kg.
(a) ¿Qué fuerza ejerce el suelo sobre la chica? (b).
¿Cuál es la razón de esta fuerza a su peso?
3-40 ¿Qué aceleración se produce cuando se aplica
una fuerza de 100 Na una roca de 10 kg?
3-41 ¿Qué fuerza neta se necesita para dar a un coche de 1000 kg una aceleración de 3 m s-2? .
3-42 Una pelota de béisbol de 0,15 kg es golpeada
por un bate con una fuerza de 5000 N. ¿Cuál es la
aceleración de la pelota?
Sección 3.8
ton
1
Algunos ejemplos de las leyes de New-
3-43 Un ascensor de 900 kg de masa se acelera hacia arriba a 3 m s· 2• ¿Cuál es la tensión del cable
que sube al ascensor?
3-44 Un caballo puede ejercer una fuerza horizontal de 3,5 X 104 N sobre una cuerda que pasa por
una polea para levantar cargas verticalmente. ¿Cuál
es la aceleración de una carga de peso (a) 3,5 X
4
10 N; (b) 3 X 104 N? (Despreciar las masas de la
cuerda y de la polea.)
3-45 El cable de un ascensor, cuyo peso es ligero en
comparación con el del ascensor, puede aguantar
una carga de 10 000 N. Si el ascensor y los ocupantes pesan 8000 N, ¿cuál es la máxima aceleración
posible hacia arriba del ascensor?
3-46 ún hombre de 60 kg cuelga de un cable ligero
atado a un helicóptero. Hallar la tensión del cable
si la aceleación es de (a) 5 m s· 2 hacia arriba; (b) 5
m s· 2 hacia abajo.
3-47 Un fémur humano se rompe si la fuerza de
compresión es de 2 X 105 N. Una persona de masa
60 kg cae a tierra sobre una pierna, por lo cual hay
una fuerza de compresión sobre el fémur. (a) ¿Qué
aceleración producirá fractura? (b) Expresarla en
función de la aceleración de la gravedad.
3-48 Una chica de 55 kg quiere deslizarse hacia abajo por una cuerda estacionaria que puede soportar
una fuerza de 400 N. ¿Cuál es la aceleración mínima de la muchacha si quiere deslizarse con seguridad?
4
3-49 Una máquina ~ue pesa 4 X 10 kg arrastra un
tren que pesa 2 X 10 kg por una vía plana con una
aceleración de 0,5 m s-2 • ¿Cuál sería la aceleración si
el tren pesase 105 kg?
3-50 En un choque, un automóvil de 1000 kg de
masa se detiene con aceleración constante en 2 m a
partir de una velocidad inicial de 20 m s· 1• (a) ¿Cuál
es la aceleración del coche? (b) ¿Cuál es la fuerza sobre el coche durante la colisión?
3-51 Una pelota de tenis de 0,058 kg de masa inicialmente en reposo se saca con una velocidad de
45 m s· 1 • Si la raqueta permanece en contacto con
la pelota durante 0,004 s, ¿cuál es la fuerza media
sobre la pelota durante el saque? (Supóngase que la
aceleración es constante).
Sección 3.9
1
Fuerzas gravitatorias
3-52 La Luna está a 3,9 X 105 km del centro de la
Tierra. La masa de la Luna es de 7,3 X 1022 kg y la .
masa de la Tierra es de 6,0 X 1024 kg. ¿A qué distancia del centro de la Tierra las fuerzas gravitatorias de la Luna y de la Tierra son iguales y de sentido opuesto? (Supóngase que el objeto se halla en
la recta que une el centro de la Luna con el de la
Tierra.)
3-53 La masa del Sol es de 2,0 X 1030 kg y la distancia de la Luna al Sol es de 1,5 X 108 km. Utilizando los datos del ejemplo anterior, hallar la razón de las fuerzas ejercidas por la Tierra y por el
Sol sobre la Luna.
3-54 Cuando un cohete espacial se halla a una distancia RT de la .superficie de la Tierra, la atracciói;i
gravitatoria terrestre sobre el mismo es de
144 000 N. ¿Cuál es la atracción gravitatoria terrestre cuando la nave se halla a una distancia 3 RT de la
superficie? (RT es el radio de la Tierra).
Sección 3.10
1
Peso
3-55 La aceleración de la gravedad sobre la super-
66
Las leyes de Newton del movimiento
ficie de Marte es de 3,62 m s-2 • ¿Cuánto pesaría en
Marte una persona que sobre la Tierra pesara 800 N?
lb?
3-56 La masa de Marte es 6,42 X 1023 kg y la aceleración de la gravedad en su superficie ~s 3,62 m
s-2 • ¿Cuál es el radio de Marte?
3-57 La aceleración de la gravedad en la superficie
de un planeta es la mitad que en la superficie de la
Tierra. Si el radio del planeta es la mitad que el radio de la Tierra, ¿cuál es su masa con relación a la
masa de la Tierra?
3-58 El radio del planeta Y es la tercera parte del radio de la Tierra y su masa es (1/3)3 = 1/27 veces la
de la Tierra. ¿Cuánto pesaría en él un astronauta de
70 kg de masa?
3-59 Si se supone que la Tierra es una esfera uni6
forme de radio 6,38 X 10 m, calcúlese su masa a partir de G y de g.
3-60 Una azafata tiene 50 kg de masa. (a) ¿Cuál es
su, peso en el suelo? (b) ¿En que fracción varía su
peso cuando se halla en un avión a 6,38 km sobre
el suelo? (El radio de la Tierra es de 6380 km).
Sección 3.11
1
Peso efectivo
3-61 Un avión de combate se lanza en picado con
una aceleración de 3 g. ¿Cuál es el módulo y la dirección del peso efectivo del piloto si su peso es w?
3-62 Un coche de carreras acelera sobre una pista
plana con una aceleración igual ag. Si la masa del
piloto es de 60 kg, ¿cuál es el módulo y la dirección
de su peso efectivo?
3-63 Un coche que inicialmente se mueve sobre una
carretera recta y plana a 30 m s- i se detiene en 10 s.
(a) Suponiendo constante su aceleración ¿cuánto
vale ésta? (b) El conductor tiene masa m. ¿Cuál es el
módulo y la dirección de su peso efectivo mientras el
coche reduce su marcha?
3-64 Un astronauta de masa m se halla en una nave
espacial que despega verticalmente de la superficie
de la Tierra. Su aceleración se mantiene igual a 9,8
m s-2• (a) ¿Cuál es el peso efectivo del astronauta justo después del lanzamiento? (b) ¿Cuál es su peso
. efectivo cuando .la nave se halla a una altura respecto a la superficie igual al radio de la.Tierra?
Sección 3.12
1
Rozamiento
.3-65 Un caballo de 7500 N de peso puede ejercer
una fuerza horizontal de 6500 N sobre una carga.
¿Cuál es el coeficiente de rozamiento estático entre
el suelo y las pezuñas del caballo? (Supóngase que
la fuerza que puede ejercer el caballo está limitada
por su tendencia a resbalar.)
3-66 U na nevera pesa 1000 N. Se le aplica una fuerza horizontal de 200 N pero la nevera no se mueve.
(a) ¿Cuánto vale la fuerza de rozamiento? (b) ¿Qué
conclusión sacamos sobre el coeficiente de rozamiento estático?
3-67 Una caja de 100 N de peso está en reposo sobre un suelo horizontal'. El coeficiente de rozamiento estático es 0,3. ¿Cuál es la mínima fuerza necesaria para empezar el movimiento?
3-68 Una caja de 100 N de peso es empujada sobre
un suelo horizontal. El coeficiente de rozamiento cinético es 0,2. ¿Qué aceleración se producirá si se le
aplica una fuerza horizontal de 40 N?
3-69 En los coches de carreras, se colocan a veces
unas superficies llamadas spoilers para que produzcan una fuerza contra el suelo debida al aire que se
precipita contra el coche. ¿Cuál es su objetivo?
3-70 Una nevera de 120 kg de masa se halla en reposo sobre el suelo de una cocina (µ, = 0,4 y µt =
0,2). (a) Si nadie toca la nevera, ¿cuál es la fuerza
ejercida por el suelo sobre la nevera? (b) Si un chico de 40 kg se apoya contra la nevera ejerciendo sobre ella una fuerza horizontal igual a la mitad de su
peso, ¿cuál es la fuerza de rozamiento ejercida por
el suelo sobre la nevera?
3-71 Un trineo de 1000 N de peso se arrastra sobre
un suelo plano y cubierto de nieve. El coeficiente de rozamiento estático es 0,3 y el coeficiente
de rozamiento cinético es 0,15. Hallar la fuerza necesaria para (a) poner el trineo en movimiento; (b)
mantenerlo a velocidad constante.
3-72 Un bloque de piedra de peso total de 60 000 N
se utiliza en un concurso de caballos de arrastre. El
coeficiente de rozamiento estático entre el bloque
de piedra y la tierra es 0,6 y el coeficiente de rozamiento cinético es 0,4. (a) ¿Qué fuerza ha de ejercer un par de caballos para poner el bloque en movimiento? (b) ¿Qué fuerza han de ejercer los caballos para mantener el bloque en movimiento a velocidad constante?
3-73 ¿Cómo puede utilizarse el plano inclinado variable de la Fig. 3.20 para medir el coeficiente de rozamiento cinético de un objeto sobre dicho plano?
PROBLEMAS
3-74 Un planeta de radio R está compuesto por un
Las leyes de Newton del movimiento
Figura 3.24
Problema 3-74.
núcleo de radio R/2 y densidad p y una capa externa
de densidad p/2 (Fig. 3.24). ¿Cuál es la densidad
media del planeta en conjunto?
3-75 Un automóvil de 1 000 kg está viajando a
15 m s- i y se detiene en un stop con aceleración constante en 100 m. ¿Cuál es la fuerza de rozamiento sobre el coche?
3-76 Una pelota de 0,5 kg se encuentra inicialmente
en reposo. Si se le aplica una fuerza de 10 N durante
2 s, ¿cuál será la velocidad final de la pelota?
3-77 Un jugador de hockey que pesa 800 N llega a
pararse desde una velocidad de 10 m s- 1 en l s. (a)
¿Cuál es su masa? (b)¿Cuál es su aceleración media?
(c) ¿Qué fuerza se necesita para conseguir esta aceleración?
3-78 Un corredor pedestre golpea el suelo con una
velocidad de 1Om s-, hacia abajo. Si la masa efectiva
del pie y de la pierna que se detienen es de 9 kg, ¿cuál
es la fuerza sobre el pie cuando se para con una aceleración constante en (a)0,03 m sobre una superficie
blanda; (b) 0,005 m sobre una superficie dura?
3-79 Una mujer de .55 kg salta desde una roca llegando al suelo a 5 m s-1• (a) Si cae sobre los pies manteniendo el cuerpo rígido, se para en 0,15 m. ¿Cuál es
la fuerza media hacia arriba que se ejerce sobre la
mujer durante el impacto? (b) Si durante el impacto
flexiona sus piernas y su cuerpo, se detiene en 0,5 m.
¿Cuál es la fuerza media que experimenta ahora?
3-80 Un chico está pescando con una caña que puede aguantar como máximo una fuerza de 40 N. Si
pesca un pez de 3 kg, que puede ejercer una fuerza de
60 N durante varios segundos, ¿cuál es la aceleración
mínima con que se debe soltar el hilo durante ese intervalo?
3-81 Un tren del metro tiene tres vagones de 1,2 X
105 N de peso cada uno. La fuerza de rozamiento sobre cada vagón es de 103 N y el primer vagón, que actúa de máquina, ejerce una fuerza horizontal de 4,8
4
X 10 N sobre los raíles. (a) ¿Cuál es la aceleración
67
del tren? (b) ¿Cuál es la tensión en el acoplamiento
entre el primer y el segundo vagón? (c) ¿Cuál es la
tensión entre el segundo y el tercer vagón?
3-82 Si una mujer de 60 kg baja una pendiente de
45° a velocidad constante, ¿cuál es la fuerza que
debe ejercer paralelamente al suelo si (a) baja en línea recta por la pendiente; (b) baja la pendiente en
zig-zag de tal modo que el ángulo de bajada efectivo
es de 30°?
3-83 Un hombre de 60 kg tira horizontalmente de
una cuerda con una fuerza de 600 N. La cuerda pasa
por una polea y está atada a un poste de 25 kg de
masa colocado en el suelo. Si la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento vertical del poste es
de 300 N, (a) ¿cuál es la aceleración vertical del poste? (Supóngase que el hombre se mueve cuando el
poste se mueve.) (b) Si la fuerza de rozamiento es la
misma, ¿cuál sería la masa máxima de un poste que
pudiera arrastrar el hombre por el suelo?
3-84 Un carro de 5 X 103 N de peso es arrastrado por
una carretera horizontal fangosa por un caballo de
500 kg. El coeficiente de rozamiento entre las ruedas
del carro y el suelo es 0,2. (a) Si el carro es arrastrado
a velocidad constante, ¿qué fuerza habrá de ejercer
el caballo sobre el suelo para arrastrar el carro? (b) Si
el carro se acelera desde el reposo hasta una velocidad de 5 m s_, en 5 s, ¿qué fuerza ha de ejercer el caballo sobre el suelo?
3-85 El radio del planeta Venus es de 6, 1 x 103 km; y
el de la Tierra es de 6,4 X 103 km. La masa de Venus
es el 82 por ciento de la masa de la Tierra. ¿Cuál es la
aceleración de la gravedad de la superficie de Venus?
3-86 Dos esferas de plomo de 0,1 m de radio se hallan en contacto. (a) ¿Cuál será la masa de cada esfera? (b) ¿Cual es la fuerza gravitatoria entre ambas?
3-87 Se cree que existen estrellas de neutrones con
una densidad comparable a la de los núcleos atómicos, 10 17 kg m-3 • Supóngase que dos esferas de 0,01
m de radio y dicha densidad se situaran a 1 m de distancia de la Tierra. (a) ¿Cuál sería el peso de cada esfera? (b) ¿Cuál sería la atracción gravitatoria entre
ambas?
3-88 Un hombre de 60 kg quiere correr sobre hielo.
El coeficiente de rozamiento estático entre sus zapatos y el suelo es 0,1. ¿Cuál es su máxima aceleración
posible?
3-89 Una chica de 40 kg esquía por una pendiente
que forma un ángulo de 37° con la horizontal (despreciar la resistencia del aire). Si el coeficiente de rozamiento cinético entre los esquís y la nieve es O, l,
¿cuál es su aceleración?
68
Las leyes de Newton del movimiento
•
m¡
2m
m¡
Figura 3 .25
Problemas 3-90 y 3-91.
Figura 3.26
3-90 En la Fig. 3.25, las cuerdas y las poleas se su-
ponen sin masa y no hay rozamiento. Hallar (a) la
tensión en las cuerdas y (b) la aceleración del sistema.
3-91 Repetir el problema anterior si el coeficiente de
rozamiento cinético entre el bloque que se halla sobre la superficie y la superficie es 0,1.
3-92 En la figura 3.26 la cuerda y la polea se suponen sin masa y no hay rozamiento. Hallar (a) la tensión en la cuerda y (b) la aceleración.
3-93 En el problema anterior, m 1 =2 kg y mi= 3 kg.
Hallar (a) la tensión en la cuerda y (b) la aceleración.
(c) Si el sistema se suelta desde el reposo, ¿cuáles son
su velocidad y suposición al cabo de 0,5 segundos?
*3-94 Dos personas quieren empujar un congelador
de alimentos de 2000 N de peso hacia arriba por un
plano inclinado que forma un ángulo de 37º con la
horizontal. El coeficiente de rozamiento cinético entre el congelador y el plano es 0,5. (a) ¿Cuál es la mínima fuerza que han de ejercer las personas para que
el congelador se deslice plano arriba? (b) ¿Qué aceleración tendrá el congelador si se suelta y empieza a
resbalar plano abajo? (c) Si resbala 4 m plano abajo
y choca con un objeto pesado, parándose en 0,5 m,
¿qué fuerza media ejerce sobre el _o bjeto pesado?
*3-95 Un hombre puede ejercer una fuerza de 700 N
sobre una cuerda atada a un trineo. La cuerda forma
un ángulo de 30° con la horizontal. Si el coeficiente
de rozamiento cinético entre el trineo y el suelo es
0,4, ¿cuál es la máxima carga sobre el trineo que el
hombre puede arrastrar con velocidad constante?
*3-96 Una caja de 600 N de peso está en reposo sobre
una rampa que forma un ángulo de 37° con la horizontal. El coeficiente de rozamiento estático entre la
caja y la rampa es 0,8. Hallar lá mínima fuerza nece-
Problemas 3-92 y 3-93.
saria para mover la caja rampa abajo si la fuerza se
aplica (a) paralelamente a la rampa; (b) horizontalmente.
*3-97 En un salto de esquí, la pendiente forma inicialmente un ángulo de 45° con la horizontal. Si el
coeficiente de rozamiento cinético entre los esquís y
la nieve es 0,1, hallar (a) la aceleración del esquiador
y (b) la velocidad que alcanza tras bajar 40 m por la
rampa.
3-98 Si no hubiera rozamiento, ¿cuál sería la aceleración del bloque de la Fig. 3.27?
*3-99 Si el coeficiente de rozamiento cinético es 0,2,
¿cuál es la aceleración del bloque de la Fig. 3.27?
RESPUESTA A LAS CUESTIONES DE REPASO
Q 3-1 fuerzas de contacto; Q 3-2, gravitatoria;
Q 3-3, la aceleración de la gravedad; Q 3-4, volumen; Q 3-5, el agua a 0ºC, Q 3-6, una fuerza neta
nula; Q 3-7, equilibrio e!itable; Q 3-8, una fuerza de
reacción igual pero de sentido opuesto; Q 3-9,
masa; Q 3-10, l/r2 ; Q 3-11, masa inerte; Q 3-12,
masa, peso; Q 3-13, caída libre; Q 3-14, área de
contacto, fuerza normal; Q 3-15, comience ·a moverse; Q 3-16, uno, rozamiento cinético o de deslizamiento.
Lecturas adicionales
E. N. daCosta Andrade, Sir Isaac Newton: His Life and Work,
Scil:mce Study series, Doubleday and Co., Garden City,
New York, 1958.
69
Las leyes de Newton del movimiento
John R. Cameron and James R. Skofronick,Medica/ Physics,
John Wiley and Sons, Inc. New York, 1978. Se estudian
los rozamientos en el cuerpo en las páginas 27 y 56-58.
Artículos del Scientific American:
Figura 3.27
Problemas 3-98 y 3-99.
Richard S. Westfall, Never at Rest, Cambridge University
Press, Cambridge, 1981. Biografia de Newton.
Herbert Butterfield, The Origins of Modern Science, The
Macmillan Co., New York, 1960. Los Capítulos 8 y 10
analizan la obra de Newton.
William J. Kaufmann 111, Listening for the Whisper of Gravity Waves, Science 80, Mayo/Junio 1980, p. 64.
J. W. Beams, Finding a Better Value for G, Physics Today,
vol. 24, Mayo 1971, p. 34.
R. McNeill Alexander, Animal M echanics, U niversity of Washington Press, Seattle, 1968. Las págs. 55-66 analizan el
rozamiento en los animales.
E. H . Freitag, The Friction of Solids, Contemporary Physics,
vol. 2, 1961, p. 198.
Ernest Rabinowitz, Friction (Resource Letter F-l)American
Journal ofPhysics, vol. 31, 1963, p. 897. Una bibliografia.
l. Bernard Cohen, Newton, diciembre 1955, p. 73.
D. Sciama, Inertia, febrero 1957, p. 99.
Car! Gans, How Snakes Move, junio 1970, p. 82.
W. A. Heiskane, The Earth's Gravity, septiembre 1955, p.
164.
George Gamow, Gravity, marzo 1961, p. 94.
R. H. Dicke, The Eotvos Experiment, diciembre 1961, p. 84.
Clifford C. Will, Gravitational Theory, noviembre 1974, p.
24.
R. C. van Flandern, Is Gravity Getting Weaker, febrero 1976,
p. 44.
.
F. Palmer, Friction, febrero 1956, p. 54.
Ernest Rabinowitz, Stick and ~lip, mayo 1956, p. 109.
Artfculos de Investigación y Ciencia
Stillman Drake, La manzana de Newton y el diálogo de Galileo, octubre 1980, p. 106.
l. Bernard Cohe, El descubrimiento newtoniano de la gravitación, mayo 1981, p. 110.
Daniel Z. Friedman, Supergravedad y la unificación de las leyes de la fisica, abril 1978, p. 78.
CAPÍTULO
4
ESTÁTICA
La Estática es el estudio de las fuerzas que actúan sobre un objeto que está en equilibrio y en reposo. Aunque no se produzca movimiento, hay muchas cuestiones interesantes con relación a estas fuerzas que pueden resolverse mediante las leyes de Newton. Por ejemplo, se pueden hallar las fuerzas que actúan sobre las
distintas partes de las estructuras de ingeniería, tales
como puentes o edificios, o de las estructuras biológicas, como las mandíbulas, los distintos miembros
o la columna ve_rtebral. La estática puede utilizarse
para comprender la multiplicación de fuerzas o ventaja mecánica obtenida con las máquinas simples, tales
como las diversas palancas que se encuentran en el
cuerpo humano. También le conciernen problemas de
equilibrio y estabilidad tanto para objetos como para
animales. La gama de cuestiones que se pueden solucionar mediante la estática la hace valiosísima en campos tan diversos como la ingeniería, la anatomía comparada, la terapéutica fisica y la ortodoncia.
Antes de considerar aplicaciones de la estática, hemos de analizar las condiciones de equilibrio de un sólido rígido: un objeto ideal que ocupa un lugar en el espacio y que no cambia su forma ni su tamafio al ser sometido a una fuerza. Los o~jetos reales están constituidos por un gran número de partículas (átomos y moléculas) que se mantienen unidas por fuerzas_que actuán entre ellas, y éstos pueden vibrar o doblarse al ser
sometidos a fuerzas. Sin embargo, objetos· como los
huesos y las vigas de acero son suficientemente rígidos
como para que dichas deformaciones resulten despreciables.
70
Un sólido rígido estará en equilibrio si se cumplen
dos condiciones. La condición de que la fuerza neta
sea nula es suficiente para asegurar que una partícula
puntual permanece en reposo; para un cuerpo rígido,
esta condición significa que el cuerp.o como un todo no
se acelerará, o que se encuentra en equilibrio de traslación. Sin embargo, un sólido rígido empezará a girar si
actúan sobre él fuerzas de modo que haya un efecto
neto de rotación, o momento. Por lo tanto, la ausencia
de un momento neto es la segunda condición necesaria
para el equilibrio de un sólido rígido.
También al considerar el equilibrio y la estabilidad
necesitamos utilizar el concepto de centro de gravedad.
Este es el punto en que se puede considerar concentrado
el peso de un sólido rígido.
Figura 4.1
Fuerzas iguales y opuestas aplicadas a lados opuestos de un taburete giratorio obligarán a éste a girar. Por tanto, no
está en equilibrio aún cuando la fuerza neta sea nula.
71
Estática
Figura 4 .2
El momento sobre el cuerpo rígido alrededor del
punto P tiene un módulo r = rF sen 8.
4.1
rá a girar. Así pues, el asiento no permanece en reposo aun cuando F =F1 + F2 =O, es decir, sin haber fuer'Za neta.
Es evidente que, además de F = O, necesitamos otra
condición de equilibrio para excluir la posibilidad de
movimiento de rotación. La magnitud que indica la capacidad de una fuerza para producir rotación se llama
momento. Un sólido rígido está en equilibrio de rotación
cuando no actúa sobre él ningún momento neto. El momento T depende de la fuerza F, de la distancia r des-
I MOMENTOS
Supongamos un objeto sometido a dos fuerzas iguales
pero opuestas. La fuerza neta es cero, de modo que el
objeto está en equilibrio de traslación. Sin embargo,
puede no estar en equilibrio de rotación. Como ejemplo, consideremos un taburete de asiento giratorio
(Fig. 4.1). Si un niño aplica dos fuerzas opuestas F 1 y
F 2 = -F1 en lados opuestos del asiento, éste empeza-
de un punto del eje de rotación hasta el punto en que
actúa la fuerza y del ángulo (J entre r y F (Fig. 4.2). Dejando para más adelante la especificación de las direcciones, el módulo del momento alrededor del punto P
vale
T=
rFsen 8
◄4.,_F_-+L±¡,..◄---------
- , -.-:-, ~
( h)
F
la)
(e)
El momento tiene un módulo r = rFsen 8. Por consiguiente es máximo cuando r y Festán en ángulo como en (a). El momento es cero cuando r y F son paralelos (8 = 0°) como en (b) u
opuestos (8 = 180°) como en (e).
Figura 4.3
F
F
Figura 4 .4 -Vista superior de una puerta basculante con goznes en P. Un muelle se opone a que se
abra la puerta, de modo que el ángulo de deflexión <I> aumenta con el momento aplicado. Cuando una fuerza F se aplica en oposición o paralelamente a r no da lugar a momento alguno. El mayor momento se produce cuando F es perpendicular a r y r es lo más grande posible. .
(4.1)
72
Estática
línea de acción
de F
(a)
(b)
Figura 4.6 El módulo del momento alrededor de P es r = rF sen O, que puede escribirse también
como (a) T = r1. F, donde '1. = r sen Oes el brazo de palanca o (b) r = rF1., donde F1. =Fsen O.
Esta expresión del momento puede ilustrarse de varias maneras. Por ejemplo, supongamos que hemos de
destornillar una tuerca enmohecida (Fig. 4.3). Para
hacer máximo el momento utilizamos la llave inglesa
más larga de que disponemos y ejer~mos la mayor
fuerza posible. Cuando 8 =90º, sen 8 = 1, que es el mayor valor que puede tomar sen 8. Por consiguiente, será
conveniente ejercer la fuerza formando un ángulo recto con la llave. Notemos que cuando 8 =Oº o 180º, entonces sen 8 = Oy no hay momento.
Otro ejemplo lo proporciona la puerta basculante
de la Fig. 4.4. Un muelle se opone a la rotación de la
puerta y permite que se abra con un ángulo 8 que aumenta con el momento. Observemos que el momento
es tanto mayor cuanto más lejos de la bisagra se aplica la fuerza, y cuando se aplica perpendicularmente a
ella.
El módulo del momento r = rF sen 8, puede reescribirse también (Fig. 4.5a) como
r=r.1.F
Dirección y sentido del momento I Especificar la dirección del momento resulta sencillo para
un objeto tal como una llave inglesa o una puerta, limitadas a girar sobre un eje dado. En este caso, sólo es necesario considerar los momentos debidos a las fuerzas
que actúan perpendicularmente a dicho eje. Una fuerza
(o una componente de una fuerza) paralela al eje, no
tendrá ningún efecto sobre el estado de movimiento rotacional, ya que los goznes u otras restricciones ejercerán momentos compensadores.
En una situación de este tipo, podemos dibujar figuras bidimensionales, como las Fig. 4.3 y 4.4, con las
fuerzas y los vectores distancia r desde un punto P def
eje situado en un plano perpendicular al eje de rotación.
De los momentos que tienden a producir rotaciones en
sentido opuesto a las agujas del reloj se dice que están dirigidos a lo largo del eje y hacia afuera de la página, y se
consideran por convenio positivos. En la figura 4.6a, ,.
se representa por un punto dentro de un círculo que re-
(4.2)
donde el subíndice .l significa perpendicular. Es decir,
el módulo del momento es el producto de la fuerza por
la distancia perpendicular a la línea de acción de la fuerza. La distancia perpendicular o brazo de palanca r1. =r
sen 8 depende tanto de la distancia de P al punto donde actúa la fuerza como del ángulo; es máximo cuando 8 ~ 90º y sen 8 = l. El momento puede escribirse
también (Fig. 4.5b) en términos de la componente de
la fuerza F.1. =F sen 8 perpendicular a r:
(4.3)
'"(
tf
P•
(a)
J
P•
0 r
(b)
}-,
0r
Figura 4 .6
(a) Los momentos que producen rotaciones contrarias a las agujas del reloj se toman como positivos. (b) Los momentos que producen rotaciones en el sentido de las agujas del reloj se
consideran negativos.
73
Estática
e
Figura 4. 7
C = A X B tiene por módulo AB sen 8. Su dirección viene dada por la regla de la mano derecha.
presenta la punta de una flecha. Análogamente, los
momentos que producen rotafiones en el sentido de las
agujas del reloj se dirigen a lo largo del eje hacia el interior de la página, y por convenio se les atribuye signo
negativo. En este caso, -r se representa por una cruz dentro de un círculo (Fig. 4.6b), que simbolizaría la cola de
una flecha.
Para objetos capaces de girar alrededor de cualquier eje, como pelotas o gimnastas, se necesita una definición más general de la dirección del momento. Dicha definición, que se reduce a la anterior para objetos
que giran alrededor de ejes fijos, se da en términos del
producto vectorial de dos vectores.
El producto vectorial de A por B es un vector C perpendicular a A y a B, que se designa por
C=AXB
(4.4)
El móclulo de Ces (ver Fig. 4.7)
C =ABsen 0
(4.5)
donde (} es el ángulo entre A y B.
Como Ces perpendicular tanto a A como a B, se dirige perpendicularmente al plano definido por A y B.
Puede determinarse el sentido de C mediante la regla de
la mano derecha del siguiente modo:
l. Poner en contacto la cola de ambos vectores y
colocar la mano derecha en su intersección.
2. Orientar los dedos de la mano derecha a lo largo del primer vector (A en la Fig. 4.7).
3. Orientar el brazo de modo que se pueda doblar
la mano por la muñeca y girar la palma de la mano
hacia adelante con un ángulo menor de 180º hasta
que los dedos apunten hacia B.
4. El pulgar apuntará entonces en el sentido de C
=AX B.
A partir de la definición del producto vectorial se
sigue que A X B y B X A tienen sentidos opuestos, o
sea, A X B = -B X A. Por lo tanto, el orden de los factores es importante en el producto vectorial; este producto no tiene, pues, la propiedad conmutativa. Ello
contrasta con el álgebra ordinaria, donde x · y =y· x,
y con la suma vectorial, donde A+ B = B + A. Dichas
operaciones son conmutativas.
Según esta notación, el momento -r puede escribirse
como
-r = rXF
Vemos que el módulo de-res -r = rFsen 0, tal como habíamos dicho. La dirección y sentido de -r vienen dados por la regla de la mano derecha e indican el eje y
el sentido en el que la rotación tiende a producirse.
Para ilustrar la regla de la mano derecha, supóngase que r está en la dirección +x y que F está en la dirección +y (Fig. 4.8a). Utilizando la regla de la mano
derecha, dirigimos los dedos de la mano derecha en la
dirección +x. Cuando nuestra palma da frente a la dirección +y, y nuestro pulgar sale de la página, podemos girar los dedos 90º hacia la dirección +y. Por lo
·tanto, -r = r X F apunta hacia fuera de la página.
Supóngase por el contrario que r apunta en la dirección -x y F en la dirección +y (Fig. 4.8b). Dirigiendo los dedos hacia -x con la palma hacia +y, podemos girarlos 90º desde r hasta F. En este caso, el pulgar y -r = r X F apuntan hacia dentro de la página. Oby
_1·
T
F
0
F
X
(a)
(b)
(a) Cuando se calculan los momentos con respecto al punto P, 'T =r X F se dirige hacia fuera de la página. (b)T se dirige hacia dentro de la página.
Figura 4 .8
(4.6)
74
Estática
El signo menos significa que el momento neto tiende a
producir rotación en el sentido de las agujas del reloj. Adviértase que en el resultado sólo aparece la distancia/ entre las líneas de acción de las fuerzas, por lo que el momento es independiente de la posición del punto P.
/'
En la sección siguiente veremos cómo se utilizan
los momentos para determinar si un sistema se halla
en equilibrio rotacional.
Figura 4.9
El momento debido a un par es el mismo con respecto a cualquier punto.
4 .2 I EQUILIBRIO DE CUERPOS
RÍGIDOS
sérvese que estos resultados son equivalentes a los de la
Fig: 4.6.
Del análisis de la sección precedente se desprende que
hay dos condiciones para el equilibrio de un cuerpo rígido:
Pares I Dos fuerzas iguales pero opuestas y cuyas
líneas de acción sean diferentes constituyen un par. Las
fuerzas aplicadas al asiento giratorio de la Fig. 4.1 son
un ejemplo de par. Los pares no ejercen una fuerza
neta sobre los objetos, aunque sí ejercen un momento
neto. Tienen la interesante propiedad de que el momento neto es independiente de la elección del punto
P a partir del cual se miden las distancias. Ello se ve explícitamente en el siguiente ejemplo.
l La fuerza neta sobre el objeto ha de ser cero
Ejemplo 4.1
Dos fuerzas iguales y opuestas actúan sobre un objeto con líneas de acción diferentes (Fig. 4.9). Hallar el momento neto sobre el objeto que resulta de estas fuerzas.
Si calculamos el momento con respecto al punto P de
la figura, el momento resultante de la fuerza en x 2 es r 2 =
- x-iF. El momento resultante de la fuerza en x1 es T1 = x,F.
El momento neto es
T
= r 1 + r2 = x 1F = (X¡
-
X2)F
=-
xiF
IF
F=O
(4.7)
2 El momento neto sobre el objeto, calculado con respecto a cualquier punto, debe ser cero
"' = O
(4.8)
Estas dos condiciones aseguran que un sólido rígido se hallará en equilibrio de traslación y de rotación.
Anteriormente han sido tratadas mediante argumentos
cualitativos o intuitivos, pero pueden deducirse mediante la aplicación de las leyes de Newton del movimiento a las fuerzas que actúan sobre el sólido rígido
y a las fuerzas entre sus partículas constituyentes.
Una aplicación familiar de estas condiciones la tenemos cuando dos niños se balancean en un columpio de tabla (Fig. 4.10). Si sus pesos son diferentes, no
tardan en darse cuenta de que el niño más pesado ha de
situarse más cerca del pivote. Por ejemplo, si un niño
pesa el doble que el otro, se ha de sentar a la mitad de la
N
(e)
Figura 4.1 O (a), (b) Cuando dos niños se balancean en un columpio, el de más peso debe estar más
cerca del pivote. (e) Otra configuración de equilibrio.
75
Estática
distancia del pivote. Veamos cómo se deduce este resultado a partir de las condiciones de equilibrio.
Ejemplo 4.2
Dos niños de pesos w 1 y w2 se columpian en una tabla que oscila alrededor de su centro (Fig. 4.10). {a) ¿Cuál
es la razón de sus distancias x 2/x 1 medidas a partir del pivote? (b) Si w1 = 200 N, w2 = 400 N y x 1 = 1 m, cuánto
vale x2? (Para simplificar, suponemos que la tabla no pesa;
ello no afectará al resultado.)
(a) Según la primera condición de equilibrio, la fuerza N ejercida por el soporte ha de contrarrestar sus pesos
de modo que la fuerza neta sea nula:
N -
W¡ -
W2
= O,
N = W¡
+ W2
Esto no nos da información alguna sobre sus posiciones.
Sin embargo, todavía no hemos utilizado la condición de
que el momento total sea nulo. Calcularemos los momentos con respecto al pivote P. Así, el brazo de palanca de
N es cero, ya que su línea de acción pasa por el pivote, y
su momento es cero. Los momentos resultantes de los pesos son r 1 = x 1w 1 y r 2 = -x2w2 • Por lo tanto, -r = -r1 + -r2
= O exige que
Ello es compatible con nuestra afirmación inicial de que si
un niño pesa el doble que el otro, ha de sentarse a la mitad
de distancia del pivote.
En el ejemplo anterior hemos escogido para el cálculo de los momentos el punto del pivote. Sin embargo,
las condiciones de equilibrio dicen que los momentos
calculados con respectoa cualquier punto han de sumar
cero. En el siguiente ejemplo resolveremos el mismo
problema calculando los momentos con respecto a un
punto diferente y encontraremos que el resultado es el
mismo.
Ejemplo 4.3
Hallar de nuevo x2/x1 para el balancín del ejemplo
precedente, calculando los momentos con respecto al
punto Pi, donde se sienta el niño de peso w1•
Para empezar dibujamos de nuevo el diagrama de
fuerzas de la Fig. 4.10 como ·en la Fig. 4.11. Calculando
los momentos con respecto a P 1, N y w2 producen momentos x 1N y -(x1 + x2)w2 , respectivamente; w1 no produce momento, ya que su brazo de palanca es nulo. En
el equilibrio, la suma de estos momentos debe ser cero,
es decir
(i)
o bien
Pero las fuerzas también han de sumar cero, por lo que
Esta es la condición que relaciona las posiciones xi y xi
cuando el columpio oscila. Una posición puede escogerse
arbitrariamente, mientras que la otra queda determinada
por esta condición.
(b) Si w 1 = 200 N, w 2 ,,; 400 N y x 1 = 1 m, entonces hemos de tener
w
x2
(200 N)
= x 1 w21 = (1 m) (400 N) = 0,5 m
N - w1
-
w2 = O
o bien
Sustituyendo Nen la Ec. (i), hallamos
-(X¡
+ X2)W2 + X¡(W ¡ + Wz) = 0
Anulando algunos términos obtenemos nuestro resultado anterior
N
Figura 4.11
Cálculo de los momentos con respecto a P 1•
Este ejemplo muestra cómo a menudo podemos
simplificar los cálculos escogiendo adecuadamente el
punto con respecto al que calculamos los momentos.
Por ejemplo, utilizando el pivote eliminamos la fuerza
total desconocida N de la ecuación de los momentos.
Los mismos resultados finales se obtienen sea cual sea
el punto con respecto al que calculamos los momentos.
Utilizamos ahora las condiciones de equilibrio para
hallar las fuerzas en un antebrazo humano.
76
Estática
!--cable
Pivote --t:J.----+------___J
0,15 m w
Húmero
E
Cúbito.
(a)
(b)
Figura 4 .12 (a) El antebrazo está sostenido por el músculo bíceps y tiene su eje de giro en el codo.
(b) El antebrazo puede considerarse corno una barra apoyada en un pivote y sostenida por un cable. El
pivote representa la articulación del codo y el cable al bíceps. (Adaptado de Williarns y Lissner.)
Ejemplo 4.4
que, con respecto a la articulacion, el brazo de palanca del
peso es mucho mayor que el del músculo. cuando sostenemos un peso con la mano, todavía está más lejos de la
articulación, y las fuerzas adicionales que el músculo y la
articulación han de hacer son por Jo tanto aún mayores.
Un modelo para el antebrazo en la posición que indica la Fig. 4.12 es una barra con un pivote en su extremo y sujeta por un cable. El peso w del antebrazo es 12 N
y se puede suponer concentrado en el punto indicado. Hallar la tensión T ejercida por el bíceps y la fuerza E ejercida por la articulación del codo.
La tensión T y el peso w no tienen componentes horizontales. Como la fuerza horizontal neta ha de ser nula,
la fuerza E ejercida por la articulación no puede tener
componente horizontal. Supongamos que E se dirige hacia abajo; un resultado negativo indicará que, contrariamente a Jo supuesto, E se ·dirige hacia arriba.
Aplicando la condición F = O,
4 .3
1
EL CENTRO DE GRAVEDAD
El momento con respecto a cualquier punto producido por el peso de un objeto es igual al que produciría
u n objeto puntual con su mismo peso y situado en un
punto llamado centro de gravedad(C.G.) (Fig. 4.13).
Esto simplifica la mecánica de los objetos estáticos y
móviles y ya estaba implícito en el Ejemplo 4.4 cuando tratábamos el peso del antebrazo como concentrado en un punto. Los centros de gravedad de objetos simétricos y uniformemente densos están situados en sus
centros geométricos (Fig. 4.14). Para los objetos no tan
simétricos, el C.G. puede calcularse matemáticamente
o localizarse experimentalmente.
T-E-w=0
Esta ecuación contiene dos incógnitas, TyE. Al calcular
los momentos con respecto al pivote, E no produce momento, w produce un momento -(0,15 m)w y T produce
un momento (0,05 m)T. Así pues, -r = O se convierte en
-0,15w + 0,05T = O
o bien
T= 3w = 3(12 N) = 36 N
r-7
C.G. I
1
La primera ·ecuación da entonces
w
w
E=T-w= 36N -12 N= 24 N
E es positiva y, por lo tanto, está dirigida hacia abajo, tal
como habíamos supuesto inicialmente.
Notemos que la tensión T ejercida por el músculo y
la fuerza E ejercida por el codo son considerablemente
mayores que el peso que están aguantando. Esto se debe a
'
Figura 4 .13 El momento producido por el peso de un cuerpo
rígido es igual al producido por un objeto concentrado del mismo
peso situado en el centro de gravedad.
77
Estática
/4
Figura 4.14 El centro de gravedad de un objeto simétrico uniformemente denso está en su centro geométrico. Obsérvese que el
C.G. del buñuelo está en el centro del agujero y, por tanto, no en el
objeto mismo.
Un objeto suspendido siempre cuelga de manera
que su centro de gravedad se encuentra directamente
por debajo del punto de suspensión, ya que en esta
posición el momento que resulta del peso con respecto a ese punto es cero (Fig. 4.15). Esta observación proporciona una manera de localizar el C.G. experimentalmente. Si un objeto está suspendido por un punto
Pi, está en reposo cuando su C.G. está situado en la vertical que pasa.por P 1• Si suspendemos el objeto por un
segundo puntoP2, el C.G. permanece en la vertical que
pasa por P 2• El C.G. se encuentra pues en la intersección de estas dos lineas (Fig. 4.16).
Mostraremos ahora cómo encontrar matemáticame·nte el C.G. empezando por el sistema más simple
posible: dos masas puntuales en los extremos de una
barra sin peso (Fig. 4.17). Tomamos el C.G. a una distancia x 1 de w1 y a una distancia x2 de w2 • En estas condiciones, el momento neto con respecto al C.G., debido a los dos pesos, debe ser igual pero opuesto. Esto
es análogo al columpio del ejemplo 4.2 y podemos utilizar la condición de equilibrio que obtuvimos allí,
(b)
(a)
Figura 4 . 16 (a) El centro de gravedad está en la vertical que
pasa por P,. (b) El C.G. se halla también en la vertical que pasa por
P 2, de modo que se encuentra en la intersección de las dos rectas.
x 2lx1 = w1/w2 • Por ejemplo, si w1 = w 2, entonces x 1 =
x2; el C.G. está situado en la mitad, tal como ocurre
siempre en un objeto simétrico. Si w2 = 2w1, entonces
x2 = x 1/2; el C.G. está entonces más cerca del punto
más pesado, tal como cabía esperar.
Otra manera de encontrar el C.G. de dos pesos lleva a una fórmula que puede ser inmediatamente adaptada a cualquier número de pesos. La Fig. 4.18 muestra los mismos dos pesos situados sobre una barra sin
peso dirigida a lo largo del eje x. El C.G. es un punto
desconocido X. A partir de la definición, un peso w =
w1 + w2 , concentrado en el punto X producirá un momento igual a la suma de los momentos debidos a w 1
y w2 • El momento de cada uno de ellos respecto al origen es r 1 = -x1w1 y r 2 = -x2 w2 • Así pues, el momento total res
Un solo peso w en el punto X produce un momento
= - Xw. Igualando ambas expresiones parar encontramos que el C.G. está situado en
r
X
= X¡ W¡ + X2W2.
w
Supongamos, por ejemplo, que w1
W W¡
+ W2 = 2W1, y
+ x 2 w1
2w1
X= X¡W¡
Figura 4 . 15 Un objeto quedará colgado de forma tal que su
centro de gravedad esté por debajo del punto de suspensión, P.
= w2. Entonces
=X¡+
x2
2
Así pues, el centro· de gravedad X está situado a mitad
78
Estática
/
C.G.
C.G.
w1
(a)
Figura 4 .17
(b)
Centro de gravedad de dos pesos puntuales. (a) Pesos iguales. (b) Pesos desiguales.
de camino entre los dos pesos, tal como habíamos encontrado antes.
Si hay más de dos pesos, el C.G. se encuentra de
la misma manera. El resultado es
X=
X1W1
+ X2W2 + X3W3 +
w
(4.9)
donde
(4.10)
El siguiente ejemplo ilustra cómo utilizar este resultado en el caso de tres pesos.
Ejemplo 4.5
Un tablón sin peso de 4 ro de largo tiene un bloque
de cemento en el extremo izquierdo, otro en el centro y
dos bloques en el extremo derecho (Fig. 4.19). ¿Dónde
está el centro de gravedad?
Llamemos w0 al peso del bloque; el valor numérico
no es necesario ya que se va a anular. Podemos elegir arbitrariamente nuestro origen; lo tomaremos en el extremo de la izquierda. Entonces el peso total es w = w 1 + w2
+ wJ = 4w0 y la Ec. 4.9 se convierte en
X
= _x-=1_W-=-1_+_x-=2_W-=-2_+_x~3_w~3
w
= O + (2 m)Wo + (4 m)(2w =2,5 ro
0)
4w0
Así pues, el C.G. se halla .entre el centro del tablón y su
extremo más pesado.
La Ec. 4.9 del centro de gravedad contiene los pesos
tanto en el numerador como en el denominador. Si sustituimos w = mg para cada peso, los factores g se anulan. Entonces, X se expresa en función dé las masas en
vez de en función de los pesos y se denomina centro de
masas (C.M.). No hay diferencia entre el C.G. y el C.M.
mientras g tenga la misma dirección y módulo para
cada peso.
Aunque sólo hemos tratado de pesos colocados en
diversos puntos en línea recta, el procedimiento para
hallar el centro de gravedad de configuraciones más com-
X
X1
X
O> - - - - - - > - - - - - - - - - - - - - . . . - - - - - X
w
Figura 4 .18
El centro de gravedad de dos pesos puntuales situados sobre una barra sin peso se halla en X.
t=
·I
4m-------
Figura 4 .19 El centro de gravedad se halla entre el centro de
la tabla y el extremo más pesado.
79
Estática
(b)
(a)
Figura 4.20 El tablón está (a) en equilibrio; (b) no está en equilibrio. El área de la base definida
por los soportes aparece sombreada.
plicadas es básicamente el mismo. Si los pesos se hallan en diversos puntos en un plano, entonces el C.G.
se encuentra en un punto (X. Y.) del plano. La Ec. 4.9
se utiliza para hallar X y una ecuación análoga para
las coordenadas y de los pesos se emplea para obtener
Y.
4.4
I ESTABILIDAD Y EQUILIBRIO
El número y la posición de las patas de un animal se
han determinado parcialmente, según parece, por sus
necesidades de estabilidad y de equilibrio. La idea básica se ilustra mediante el tablón de la Fig. 4.20. Si su
centro de gravedad se halla entre los soportes, los momentos en torno al C. G. debidos a N I y a N2 son opuestos y se anulan, y por lo tanto el tablón se halla en equi-
(<J)
librio. Sin embargo, cuando el centro de gravedad se
halla a la izquierda de ambos soportes, los momentos
de N 1 y N2 con re_specto al C.G. son ambos positivos.
Como el momento neto no es nulo, el tablón se cae.
Así, un objeto se halla en equilibrio sólo cuando su centro de gravedad se halla por encima del área de la base definida por sus soportes.
Un animal que se sostiene sobre cuatro patas es
análogo a una mesa. Una mesa colocada sobre una superficie que se vaya inclinando gradualmente, acaba
por caerse cuando su centro de gravedad ya no se halla sobre la superficie delimitada por los extremos de
sus cuatro patas (Fig. 4.21). Cuanto más cortas sean
las patas para una mesa de forma determinada, mayor
será el ángulo 8 en que esto ocurra y mayor será su estabilidad; una mesa baja es más estable que una mesa
(h)
Figura 4.21
Una mesa volcará cuando la recta vertical que pasa por el centro de masa caiga fuera
del área de la base formada por las patas. Como O,< Ob, una mesa de patas largas (a) es menos estable que
una de patas cortas (b).
80
Estática
Figura 4.23
Un vclo~istu, en la saltJa e induso Jurante la
carrera, tiene su centro de masas muy por delante de sus pies, como
se muestra en este dibujo. Esto significa que se encuentra en una posición muy inestable. Logra mantener el equilibrio llevando sus piernas hacia adelante justo a tiempo de evitar la caída. Esta posición extrema ayuda al atleta a ejercer sobre el suelo una fuerza mayor que
aumenta su aceleración.
Figura 4.22 Diagrama de un cuadrúpedo andando tal como
se ve desde arriba. El círculo representa la pata que no toca el suelo. Obsérvese que el centro de gravedad está siempre dentro del triángulo formado por las tres patas que se apoyan en el suelo.
alta. Análogamente, el centro de gravedad de los automóviles, los barcos y las vasijas ha de mantenerse lo
más bajo posible para asegurar la máxima estabilidad.
Así pues, podemos ver que las ratas y las ardillas, cuyas piernas son relativamente cortas, están bien adaptadas para vivir en terrenos escarpados o en las ramas
de los árboles. En cambio, el caballo y el antílope, cuyas patas son largas, se encuentran bien dispuestos
para ser eficaces en la carrera sobre terrenos casi planos.
Si un cuadrúpedo levanta una pata, permanecerá
en equilibrio si ~u centro de gravedad se encuentra por
encima del área triangular de la base delimitada por
las tres patas restantes. Moviendo las patas en el orden correcto, puede andar lentamente manteniendo
siempre tres patas en contacto con el suelo, y con el centro de niasas por encima del triángulo definido por ellas
(Fig. 4.22). Este orden es: delantera derecha, trasera izquierda, delantera izquierda, trasera ·derecha, y es el
que siguen todos los animales cuadrúpedos y los niños
que van a gatas. Está claro que los seres humanos, los
pájaros y algunos animales pueden mantenerse en equilibrio sobre uno o dos pies, pero ello ocurre gracias a
que sus pies son suficientemente anchos conio para permitírselo.
Cuando un cuadrúpedo corre velozmente, puede
ocurrir que sólo una o dos de sus patas estén en el sue-
lo en el mismo instante. La tendencia a inclinarse diagonalmente hacia adelante o a balancearse hacia los lados se ve contrarrestada cuando las otras patas bajan
al suelo. Así pues, se requieren breves períodos de inestabilidad para el movimiento rápido de cuadrúpedos
o bípedos (Fig. 4.23).
Para que los animales de pies pequeños sean estables, es necesario que tengan como mínimo tres patas
en el suelo, así los insectos, que tienen seis patas, pueden mover tres al mismo tiempo y ser todavía estables
en cualquier instante. Como su masa es muy pequeña,
incluso un ligero soplo de aire los haría caer si tuvieran
períodos de inestabilidad. La necesidad de ser estables
incluso con vientó moderado explica también por qué
sus patas no son casi verticales como las de los mamíferos, sino que se doblan hacia afuera.
El hecho de que los animales tengan en general el
mínimo número de patas compatibles con la estabilidad se relaciona aparentemente con razones de fuerza
y de peso. Una sola pata que pesara lo mismo que dos
patas más delgadas es más adecuada para resistir los
momentos que tienden a doblarla. De acuerdo con ello,
la fracción de peso del cuerpo correspondiente a las patas se hace mínima, manteniendo el número de patas lo
más pequeño posible.
4.5
1
PALANCAS; VENTAJA
MECANICA
Las palancas, los sistemas de poleas y los gatos son
ejemplos de máquinas. En cada caso, se aplica una fuerza F. y se contrarresta una fuerza de carga Fi. La ventaja mecánica (V.M.) de la máquina se define como la
razón de los módulos de estas fuerzas
· mecamca
, . = VM
EL
ventaJa
. • = F.
(4.11)
Estática
81
partir del fulcro, como en el ejemplo precedente. Si las
fuerzas son perpendiculares a la palanca, la razón de
la fuerza de carga y aplicada en equilibrio es
11
F.
x, x.
~
Jif
F.
(a)
T~,
"
- ¡x~,,
1---I
¡:
/, = .,-u
J·;,
X 1,
lt i
Por lo tanto, para todas las clases de palancas,
\"
V .M. = .:..E...
"4
1
F,
X1--l
(e)
(b)
Figura 4 .24 (a). (b) y (e) muestran las posiciones relativas de
la fuerza aplicada F,. la fuerza de carga (o resistente) F¿ y el fulcro
de las palancas de las clases l. 11 y 111, respectivamente. La fuerza
de carga FL mostrada aquí es igual y opuesta a la fuerza producida
por la palanca sobre la carga -FL.
I Una palanca es en esencia una barra
rígida utilizada con un fulcro (Fig. 4.24). Según las posiciones relativas de F1 , F. y el fulcro, se definen tres clases de palanca. El ejemplo siguiente ilustra los efectos
de una palanca.
.Palancas
Ejemplo 4.6
Supongamos que la carga F1 de una palanca de la clase
I (Fig. 4.24a) tiene un valor de 2000 N. Una persona ejerce una fuerza de F. = 500 N para equilibrar la carga. (a)
¿Cuál es la razón de las ditancias x. y xL? (b) ¿Cuál es la
ventaja mecánica de dicha palanca?
(a) Para hallar x/x,., calculamos los momentos con
respecto al fulcro. El momento debido a FL es r. = - x F
y el momento debido a FL es T ¿ = xLFL. Para equilibrarse, su suma debe ser cero, por lo cual
0
0,
y
(b) La ventaja mecánica de la palanca al ser utilizada
de esta manera es
V.M.
=
FL =
Xª
Fa
XL
(fuerzas l. palanca)
(4.12)
X /,
= 4
Para todas las clases de pala ncas la ventaja mecánica puede expresarse como una razón de distancias a
Con las fuerzas perpendiculares a la palanca, la ventaja mecánica de las palancas de la clase 111 es siempre menor que 1 y la ventaja mecánica de las palancas
de la clase II es siempre mayor que 1. Las palancas de
clase I pueden tener ventaja mecánica mayor o menor
que l .
Para todas las palancas, la V.M. dada por la Ec.
4.12 es un valor ideal. Las máquinas reales siempre tienen fuerzas de rozamiento que reducen la ventaja mecánica real por debajo de su valor ideal.
4.6
1
MÚSCULOS
En los cuerpos de los animales se encuentran muchos
ejemplos de palancas. Los músculos proporcionan las
fuerzas necesarias para el uso de dichas palancas.
Un músculo se compone de miles de fibras largas
y finas. Cuando un músculo es estimulado por una señal eléctrica del sistema nervioso, se contrae brevemente o se crispa, ejerciendo por consiguiente una fuerza.
Una serie de pulst>s enviados a un músculo producen
una serie de contracciones en las fibras. Éstas aparecen
muy seguidas en el tiempo, pero se producen en distintos instantes en lugares diferentes del músculo, de tal
modo que el resultado aparente es una contracción
suave del músculo. Si la frecuencia de las contracciones
aumenta, la tensión del músculo aumenta hasta un estado de tensión máxima. Más allá de este valor, un
aumento de la frecuencia de impulsos nerviosos no
produce ningún aumento de tensión.
La máxima tensión de un músculo es proporcional
al área de su sección transversal en el punto más ancho. Esta máxima tensión depende también de la longitud del músculo, que puede variar. La mayor tensión
puede conseguirse cuando el músculo está sólo ligeramente alargado con respecto a su posición de descanso o sin perturbar y vale alrededor de 30 a 40 newtons
por centímetro cuadrado de sección. La máxima tensión posible disminuye rápidamente si el músculo se
alarga o se acorta mucho. Para ver un ejemplo de esto,
82
Estática
incline su mufieca hacia adelante tanto como pueda e
intente cerrar el pufio. La mayoría de la gente, o bien
no llega a cerrar los dedos, o lo hace con poca fuerza.
4.7
1
Vértebras
cervicales
PALANCAS EN EL CUERPO
El desarrollo evolutivo de brazos, piernas y otras estructuras del esqueleto ha sido fuertemente influido por
las necesidades de los animales. Recordemos que cuando las fuerzas son perpendiculares a una palanca, su
ventaja mecánica es F/F. = x/xt. Por lo tanto, las extremidades cortas con pequefios valores de xt tendrán
ventajas mecánicas relativamente grandes y serán capaces de ejercer grandes fuerzas (Fig. 4.25). Sin embargo, la distancia que recorre el extremo de un miembro
es proporcional a su longitud xu por lo que el movimiento rápido requiere extremidades largas. Por consiguiente, es necesario llegar a un compromiso entre la
fuerza y la velocidad de movimiento. Por ejemplo, la
pata delantera de un caballo de carreras tiene una ventaja me~nica de 0,08. El armadillo, que es un animal
zapador, tiene una pata delantera cuya ventaja mecánica es O 25. Por lo tanto, aunque no puede moverse con
tant~ ;eloci~ad, tiene la fuerza suficiente para excavar.
La columna vertebral I La columna vertebral
humana consta de 24 vértebras separadas por discos impregnados de un fluido. Cuando una persona s~ agacha, la columna se comporta como una palanca de
poca ventaja mecánica. Así; el agacharse para recoger
aunque sea un objeto ligero, produce una gran fuerza
sobre el disco sacro/umbar, que separa la última vértebra del sacro, el hueso que sostiene la columna vertebral (Fig. 4.26). Si este disco se debilita puede romperse
o deformarse y ejercer presión sobre los nervios próximos y producir grandes dolores.
Vértebras
torácicas
Vértebras
lumbares
Sacro
Figura 4.26
Anatomía de la columna vertebral.
Para comprender por qué esta fuerza es tan grande, .
podemos utilizar un modelo que trata la columna como
una barra con pivote. El pivote corresponde al sacro
y ejerce una fuerza R (Fig. 4.27). Los diversos músculos de la espalda son equivalentes a un solo músculo
que produjera una fuerza T, tal como se muestra.
Cuando la espalda está horizontal, el ángulo a es de
12º. w es el peso del torso, cabeza y brazos, que alcanza aproximadamente el 65 por ciento del peso total del
cuerpo.
Obsérvese que como a es pequeño, la linea de acción de T pasa cerca del pivote, por lo cual el brazo de
palanca r.L es pequefio. Sin embargo, el peso w actúa
en ángulo rect.o con respecto a la columna y su brazo
de palanca es mucho mayor. Por consiguiente, para
que sus momentos se equilibren, la fuerza muscular T
---
Figura 4 .25 Una extremidad que está siendo flexionada puede representarse por una barra pivotada sostenida por un cable. El
cable representa un músculo y el pivote representa una articulación.
La ventaja mecánica de la extremidad es x/x0 mientras que la distanciad que se desplaza el extremo del miembro es proporcional a xL.
Figura 4.27 Diagrama de fuerzas para la columna vertebral
de una persona inclinada, con la espalda horizontal.
83
Estática
debe ser mucho mayor que el peso. Como T es grande, también lo es su componente horizontal. En el equilibrio, la fuerza R debida al sacro ha de tener una componente horizontal igual pero opuesta, de modo que la
fuerza debida al sacro es también mucho mayor que el
peso.
Si estos cálculos se efectúan en detalle, los números que se obtienen son impresionantes. Para un hombre de 170 lb (una masa de 77 kg), ¡T y R se aproximan a
las 500 lb! Si el hombre, además, está levantando un
niño de 40 lb, de modo que en el extremo derecho de la
barra de la Fig. 4.27 haya un peso adicional de 40 lb, ¡T
y R alcanzan las 750 lb! Tales fuerzas en los músculos y
en el disco son potencialmente peligrosas.
Como el inclinarse, incluso sin levantar un peso,
produce una gran tensión sobre la columna, debería
evitarse. Si, por el contrario, se flexionan las rodillas
pero se mantiene la espalda vertical, los centros de gravedad de todos los pesos están aproximadamente en la
vertical del sacro. En consecuencia, sus momentos con
respecto al sacro son pequeños y los músculos no han
de hacer ninguna fuerza apreciable. La fuerza sobre el
disco es entonces, aproximadamente, igual al peso total que sostiene. Para el hombre de 170 lb, este peso
es aproximadamente de 110 lb para sólo el cuerpo y de
150 lb con una carga de 40 lb. Ésta es una manera mucho más segura de levantar incluso un objeto ligero
(Fig. 4.28).
RESUMEN
La magnitud que indica la capacidad de una fuerza
para producir rotaciones es el momento -r. Si una fuerza F actúa a una distanciar de un punto del eje de rotación, el momento con respecto a este punto tiene por
módulo rF sen 0, donde 0 es el ángulo que forman r y
F. El momento es una magnitud vectorial y se dirige
perpendicularmente al plano de r y F, o a lo largo del
eje de rotación. En notación vectorial T = r X F, la dirección y el sentido de -r se dan por la regla de la mano derecha. Por otra parte, si el movimiento tiene lugar en un
plano dado, los momentos de sentido contrario al de las
agujas del reloj se toman por convenio como positivos y
los que van en el sentido de las agujas del reloj como negativos.
Para que un cuerpo rígido esté en equilibrio, se han
de satisfacer las dos ecuaciones vectoriales siguientes:
F=O
'T = o
La primera de ellas es la condición de que la fuerza
neta sea nula y asegura que no hay cambios en el movimiento de traslación. La segunda es la condición de
que el momento neto con respecto a algún punto conveniente se anula; ello asegura que el movimiento de rotación permanece invariante.
Para objetos en reposo o en movimiento, puede
considerarse que todo el peso y la masa se hallan localizados en un punto denominado centro de gravedad
o centro de masas. Ello facilita la comprensión de la estabilidad y el equilibrio.
La ventaja mecánica de una palanca u otra máquina similar se define como el cociente V.M. =FLF• de la
fuerza de carga FL equilibrada mediante una fuerza
aplicada F•. En los cuerpos de los animales, los miembros de poca ventaja mecánica son los más aptos para
la carrera, en tanto que los de gran ventaja mecánica
son los capaces de ejercer grandes fuerzas.
Lista de repaso
Definir o explicar:
sólido rígido
momento
producto vectorial
par de fuerzas
condiciones de equilibrio
centro de gravedad
centro de masas
máquinas
ventaja mecánica
/
(a)
Figura 4.28
un peso. •
(b)
Maneras (a) incorrecta y (b) correcta de levantar
CUESTIONES DE REPASO
Q 4-1 Un cuerpo rígido no cambia su ......... al ser
sometido a una fuerza.
84
Estática
Q 4-2 La magnitud que indica la capacidad de una
fuerza para producir rotaciones se denomina ........ .
Q 4-3 La distancia perpendicular desde el eje de rotación hasta la linea de acción de una fuerza es el ........ .
Q 4-4 El máximo momento se obtiene cuando una
fuerza se aplica ......... a una llave inglesa.
Q 4-5 El producto vectorial de dos vectores es
......... al plano determinado por dichos vectores.
Q 4-6 Según nuestro convenio de signos, los momentos en el sentido de las agujas del reloj son ........ .
y los de sentido opuesto son .........
Q 4-7 Dos fuerzas del mismo módulo pero de sentidos opuestos se denominan ........ .
Q 4-8 Para que un sólido rígido se halle en equilibrio de traslación la ......... sobre él debe ser nula.
cero.
Q 4-9 Para que un sólido rígido se halle en equilibrio de rotación, el ......... sobre él debe ser nulo.
Q 4-10 La condición de equilibrio rotacional puede ser aplicada con respecto a ........ .
Q 4-11 El peso de un objeto se halla concentrado
·efectivamente en su .........
Q 4-12 Un objeto está en ee¡_uilibrio cuando su centro de gravedad se halla por debajo de su .........
Q 4-13 La ventaja mecánica es la razón de ......... a
Q 4-14 Cuando se aplican fuerzas perpendicular:
mente a una palanca, su ventaja mecánica es la distancia desde el fulcro al ...... ... dividido por la distancia hasta ........ .
¡-o,s m--J
p
i----1 m---t---1
m - --+-0,5 m
w¡ = óN
Figura 4 .29
0,5 m~
w3 = 20N
Ejercicios 4-1, 4-2 y 4-9.
B
e
Figura 4 .30 Los vectores están dibujados a partir del centro
del rectángulo. Ejercicios 4-3 y 4-4.
EJERCICIOS
Sección 4.1.
1
Momentos
4-1 Hallar el módulo y el signo del momento debido a cada uno de los pesos de la Fig. 4.29 con respecto al punto P.
4-2 Hallar el módulo y el signo del momento debido a cada·uno de los pesos de la Fig. 4.29 con respecto al punto Q.
4-3 En la Fig. 4.30, considerar los productos vectoriales A X A, A X B, A X C,AXDy AX E. (a)¿Cuáles de estos productos vectoriales son. nulos? (b)
¿Cuáles se dirigen hacia dentro de la página? (c)
¿Cuáles se dirigen hacia fuera de la página? (d)
¿Cuáles son iguales a algún otro en módulo y dirección?
Figura 4 .31
Ejercicios 4-5, 4-6 y 4-8.
4-4 En la Fig. 4.30, ¿Cuáles son las direcciones de
(a) B XC; (b) C X B; (c) B X E?
4-5 En la Fig. 4.31 ¿cuánto valen los brazos de palanca con respecto al punto P para el cálculo de los
momentos de las fuerzas F, y F2?
4-6 En la Fig. 4.31, hallar los momentos debidos a
F 1 y F2 con respecto· al punto P.
85
Estática
o
1
f--o,3m- -
F
1
(b)
(a)
Figura 4 .32
(e)
Ejercicio 4-7.
4-11 Hallar las fuerzas F 1 y F2 sobre el diente de la
Figura 4 .33
Ejercicio 4-11.
4-7 Un ciclista aplica una fuerza F de 100 N hacia
abajo sobre el pedal de su bicicleta (Fig. 4.32). (a)
Hallar el módulo, dirección y sentido de los momentos en cada una de las posiciones que se muestran. (b) ¿En qué posición el momento es máximo?
Fig. 4.33. (En ortodoncia, las fuerzas aplicadas en
los dientes se trasmiten a los huesos que los sostienen. Gradualmente, el tejido del hueso se destruye y
permite que el diente se mueva o gire. En el espacio .
intermedio va creciendo nuevo tejido óseo. Las fuerzas han de ser suficientemente pequeñas para no dañar la raíz del diente.)
4-12 La Fig. 4.34 muestra el antebrazo considerado en el Ejemplo 4.4 cuando la persona sostiene un
peso de 12 N (w1) en la mano (w es el peso del antebrazo). (a) Hallar la fuerza T ejercida por el músculo del bíceps y la fuerza E ejercida por la articulación del codo. (b) En el Ejemplo 4.4, con w1 = O,
encontramos T = 36 N y E= 24 N. ¿Por qué estas
fuerzas valen aquí más del doble?
4-13 Unos niños de pesos w 1 y w2 se balancean en
un balancín. El peso w del columpio puede consi-
Sección 4.2 1 Equilibrio de cuerpos rígidos
4-8 La barra de la Fig. 4.31 tiene un pivote en el
punto P. ¿Tendrá tendencia a empezar a girar si ini-
cialmente se encuentra en reposo? Explíquese e indíquese en qué dirección giraría caso de que su respuesta sea afirmativa.
4-9 De una barra de peso nulo sostenida por dos
cuerdas verticales cuelgan cuatro pesos (Fig. 4.29).
Hallar las tensiones T 1 y T 2 de las cuerdas.
4-10 Dos niños se balancean en un balancín de
masa nula. Uno de ellos pesa 160 N y está sentado
a 1,5 m del fulcro. El segundo está sentado a 2 mal
otro lado del fulcro. ¿Cuánto pesa el segundo niño?
T
músculo bíceps
1
- o,osm
1
0,15 m
E
I
w
Figura 4 .34
Ejercicios 4-12 y 4-30.
,
- 12N
0, 2rnW¡
-
'
12N
86
Estática
W¡
=2 N
=1m
W2
=5 N
=2 m
W3
= 1O N
=4 m
01----•-- - - e • - - - - - - - • - - - - -
1
X¡
Figura 4.35
x2
x3
X
Ejercicio 4-15.
derarse aplicado en el centro de gravedad, que se halla por encima del pivote. En función de w, w 1 y w 2
(a) hallar la fuerza ejercida por el pivote, y (b) hallar la razón x 2/x 1 de las distancias de los niños al
pivote.
4-14 Una pesada carga de ropa mojada se cuelga
de una cuerda. ¿Es más probable que se rompa la
cuerda si se tensa fuertemente o bien si se deja co~gar holgadamente? Explíquese.
Sección 4.3
1
El centro de gravedad
4-15 Tres pesos se hallan sobre una barra de peso
nulo, tal como se muestra en la Fig. 4.35. ¿Dónde
está su centro de gravedad?
4-16 Dos pesos cuelgan de _los extremos de una
barra horizontal de 1 m de longitud. Si el peso en x =O
vale 10 N y el centro de gravedad está en x = 0,8 m,
¿cuánto vale el peso en x = 1 m? (Despreciar el peso
de la barra.)
4-17 El antebrazo de una mujer tiene una masa de
1, 1 kg y su brazo tiene una masa de 1,3 kg. Cuando su brazo se mantiene recto, el C.G. del antebrazo está a 0,3 m de la articulación del hombro y el
C.G. del brazo está a 0,07 m de dicha articulación.
¿Cuál es la posición del centro de gravedad de todo
el brazo con respecto a la articulación del hombro?
4-18 Un excursionista de 80 kg lleva una mochila
de 20 kg. El centro de gravedad del excursionista se
halla a 1,1 m por encima del suelo cuando no lleva
mochila. El C.G. de la mochila se halla a 1,3 m del
suelo cuando es transportada. ¿A qué altura sobre el
suelo se encuentra el C.G. del excursionista y lamochila?
4-19 Los ejes de un coche están separados 3 m. Las
· ruedas delanteras soportan un peso tota~ de 9000 N
y las traseras, de 7000 N. ¿A qué distancia se halla
el centro de gravedad del eje delantero?
4-20 A partir de los datos de la contracubierta posterior, hállese la posición del centro de masas del sistema Tierra:Luna.
Figura 4.36
Ejercicio 4-21. Figura 4.37
Sección 4.4
1
Ejercicio 4-23.
Estabilidad y equilibrio
4-21 ¿A qué ángulo () se caerá la mesa de la Fig.
4.36?
4-22 Los buques que regresan sin carga a su puerto de origen se lastran a menudo con piedras en sus
bodegas o con agua en sus tanques. ¿Por qué?
4-23 Un divertido juguete consiste en un muñeco
que sostiene un alambre curvado con pesos en sus
extremos (Fig. 4.37). Este juguete es estable en laposición de la figura y no cae al empujarlo suavemente. Explicar por qué. (Indicación: ¿Dónde está el centro de gravedad?)
4-24 Una viga de acero de 1000 kg de masa y 10 m
de longitud reposa sobre un bloque de cemento, sobresaliendo 4 m de su longitud del borde del bloque. ¿Hasta qué distancia puede andar una persona de 100 kg sobre la viga?
I-F- - - - 2
Figura 4.38
Ejercicio 4-25.
Figura 4.39
Ejercicio 4-26.
m- - --l
- -i¡--o,~ m
Estática
87
2cm
F
u~
f---4cm
,cm
Figura 4.40
Sección 4.5
Ejercicio 4-27.
1
F
20cm
Figura 4.41
Figura 4 .43
Problema 4-33. Figura 4.44
Ejercicio 4-28
Palancas; ventaja mecánica
4-25 Un hombre coloca una barra de 2 ro de largo
bajo una roca de 4500 N de peso. Utiliza un fulcro
a 0,2 ro del punto donde la barra toca la roca (Fig.
4.38). ¿Qué fuerza F ha de ejercer para levantarla?
4-26 Un remo se mantiene a 0,4 m de la horquilla
(Fig. 4.39). Si, en promedio, toca el agua a 1,4 m de
la horquilla, ¿cuál es su ventaja mecánica?
4-27 La Fig. 4.40 muestra unas pinzas. ¿Cuál es su
ventaja mecánica?
4-.28 La Fig. 4.41 muestra unas tenazas. (a) ¿Cuál
es su ventaja mecánica? (b) Si se les aplica una fuerza F = 10 N, ¿cuál es la fuerza que ejercen sobre el
objeto?
4-29 Dar ejemplos de palancas de clase I con V.M.
igual a 1, menor que 1 y mayor que l.
Sección 4.7
1
Palancas en el cuerpo
4-30 La Figura 4.34 muestra el antebrazo como una
barra con pivote. T es la fuerza ejercida por el bíceps. (a) ¿Qué clase de palanca representa? (b) ¿Cuál
es la ventaja mecánica del antebrazo para sostener
su propio peso, w? (c) ¿Cuál es su ventaja mecánica
para sostener una carga w1 en la mano? (d) Si el músculo se contrae 1 cm, ¿cuánto se moverá la carga de
la mano?
4-31 La cabeza gira alrededor de la articulación atlanto-occipital (Fig. 4.42). Los músculos esplenios
conectados tras la articulación sostienen la cabeza.
Articulación
atlanto-occipital
Figura 4.45
Problemas 4-35 y 4-36.
Figura 4.46
Problema 4-37.
J
Dirección de
4 la fuerza
Dirección de la fuerza
debida a los músculos
a nteriores
Figura 4.42
cicio 4-31.
Problema 4-34
debida a los
músculos esplenios
Músculos que mueven y sostienen la cabeza. Ejer-
Estática
88
y
y
,,,T
l
1
1
1
1
l,2
1
---.- - 1"9-i
1
l
1
M
Í
(hombre 1• 5 m
solo)
1
-lo,3mi-
m--1
Figura 4 .4 7
Un caballo apoyado sobre tres patas y visto desde arriba. Problema 4-38.
e.e.
1
1
X
Tm
Figura 4 .48
Problema 4-39.
Figura 4.49
Problema 4-40.
4-39 ¿Cuál es la posición del centro de masas de las
(a) ¿Qué clase de palanca representan? (b) Los músculos anteriores producen movimientos de la cabeza hacia adelante. ¿Qué clase de palanca representa su acción? (c) ¿Qué músculos tienen mayor ventaja mecánica? Dar razones que lo expliquen.
PROBLEMAS
4-32 Un vector A apunta hacia el Norte, y el vector C = A X B. apunta verticalmente hacia arriba.
¿Qué se puede afirmar sobre (a) la componente vertical de B, (b) la componente de B hacia el Este; (c) la
componente de B hacia el Norte?
4-33 Hallar la tensión en las cuerdas de la Fig. 4.43.
4-34 En la Fig. 4.44 un objeto es sostenido por una
barra pivotante de peso nulo y un cable. Hallar la
tensión sobre el cable y ia fuerza ejercida por la bisagra.
4-35 En la Fig. 4.45 un objeto es sostenido de lamanera indicada por una barra pivotante de masa nula
y un cable. Si w = 1000 N , hallar (a) la tensión en el
cable y (b) la fuerza sobre la barra en la bisagra.
4-36 En la Fig. 4.45 la barra pivotante y el cable se
suponen de masa nula. El cable se rompe si su tensión sobrepasa los 2000 N. ¿Cuál es el máximo peso
w que puede sostener?
4-37 La tensión Ten cada extremo de la cadena de
la Fig. 4.46 es 20 N. ¿Cuánto pesa la cadena?
4-38 Un caballo permanece en pie con su pata delantera izquierda levantada sin tocar el suelo (Fig.
4.47). La pata trasera izquierda y la delantera derecha sostienen cada upa 1500 N del peso total, que es
5000 N. (a) ¿Qué fuerza ejerce la pata trasera derecha? (b) Calcular la posición (X, Y) del centro de gravedad.
tres masas de la Fig. 4.48?
*4-40 El hombre de la Fig. 4.49 tiene una masa de
100 kg. Mantiene sus brazos rectos y en cruz y en
una mano sostiene una masa M. (a) Hallar las coordenadas vertical y horizontal del C.G. del hombre
más la masa M. (Escoger como origen el punto medio entre sus dos pies.) (b) ¿Cuál es la masa máxima
que puede sostener sin caerse?
*4-41 Una mesa de cuatro patas tiene una superficie de 20 kg de masa. Las patas están colocadas en
las esquinas de la superficie y cada una de ellas tiene 2 kg de masa. Las dimensiones de la mesa se
muestran en la Fig. 4.50. ¿A qué ángulo Ose volcará la mesa?
4-42 La mesa de la Fig. 4.50 tiene patas cuya masa
puede considerarse nula. ¿A qué ángulo Ose volcará?
4-43 Un tablón uniforme de madera tiene una masa
de 20 kg y una longitud de 2 m. Se practica en él
un agujero circular con centro a 0,5 m de uno de
sus extremos. Si el C.G. se halla ahora a 0,9 m del
extremo opuesto ¿cuál es la masa de la madera extraída?
*4-44 La molécula de amoníaco (NH 3) es una pirámide con tres átomos de hidrógeno (H) en la base
y el nitrógeno (N) en el vértice superior. Los cen-
Figura 4 .50
Problemas 4-41 y 4-42.
89
Estática
T
Músculo deltoides
'1
1
1
1
1
1
(a)
1
· ¡- .
C.G.•:- --:1m 0,41m
º·~
•---35cm- -----+1
w
= 35 N
Figura 4 .52
Problema
4-46.
(b)
· Figura 4 .5 1
Problema 4-45. (Adaptado de Williams y Lissner. l
- - - - 0 ,7 1 - - - - t
tros de los átomos de hidrógeno están separados
16,3 nm (1 nm = 10-9 m) entre sí, y el átomo de nitrógeno se halla a 3,8 nm sobre el centro de la base.
¿Dónde se halla el centro de masa de la molécula
con relación al átomo de nitrógeno? (La masa del
átomo de nitrógeno es 14 veces la del átomo de hidrógeno).
*4-45 El músculo deltoides levanta el brazo hasta la
posición horizontal (Fig. 4.51). (a) Hallar la tensión
T ejercida por el músculo y las componentes R, y
R, de la fuerza ejercida por la articulación del hombro. (b) ¿Cuál es la ventaja mecánica del músculo
para levantar el brazo?
*4-46 Un jarro que tiene 0,4 m de altura tiene su centro de gravedad a 0,15 m del fondo, que es un círculo de 0,05 m de radio (Fig. 4.52). ¿Cuánto se puede inclinar el jarro sin que se caiga?
4-47 Demostrar que la V.M. de una palanca de clase 111 es siempre menor que 1, considerando que las
fuerzas son perpendiculares a la palanca.
4-48 Demostrar que la V.M. de una palanca de clase II es siempre mayor que 1, suponiendo que las
fuerzas son perpendiculares a la palanca.
*4-49 En la Fig. 4.53, el peso del tronco es.w= 490 N.
Encontrar la fuerza T ejercida por los músculos de
la columna vertebral y las componentes R, y R, de
la fuerza R ejercida por el pivote (sacro) si el peso
que sostiene w1 es (a) cero; (b) 175 N.
\
1
Figura 4.53
Problema 4-49.
4-50 Demostrar que 1 Nm = 1 kg m2 s-2•
RESPUESTA A LAS CUESTIONES DE REPASO
Q 4-1, tamaño o forma; Q 4-2, momento; Q 4-3, brazo
de palanca; Q 4-4, perpendicularmente; Q 4-S, perpendicular; Q 4-6, negativos, positivos; Q 4-7, par de fuerzas;
Q 4-8, fuerza neta; Q 4-9, momento neto; Q 4-10, cualquier punto; Q 4-11, centro de gravedad; Q 4-12, base;
Q 4-13, fuerza de carga, fuerza aplicada; Q 4-14, punto
donde actúa la fuerza, carga.
TEMAS SUPLEMENTARIOS
4.8
1
LAS MANDÍBULAS DE LOS
ANIMALES
La mecánica nos permite comprender por qué muchas
estructuras anatómicas han evolucionado hasta su es-
90
Estática
4.54). El masetero y elpterygoides empujan hacia adelante y hacia arriba (fuerza M).
Un reptil primitivo que muerde con una fuerza dirigida hacia arriba - B la comida situada entre sus
dientes posteriores experimenta una reacción igual
pero opuesta B sobre su mandíbula. Como la fuerza
muscular M se aplica cerca de la articulación, se puede alcanzar el equilibrio estático sólo si la fuerza R ejercida sobre la articulación es grande y dirigida hacia
abajo.
Calculando los momentos con respecto al punto O,
el momento neto resulta ser cero si
tado actual, ya que las funciones mecánicas de los huesos, músculos y articulaciones determinan en gran parte sus formas y dimensiones. El desarrollo de la mandíbula inferior de los mamíferos proporciona un buen
ejemplo de ello.
Resulta a menudo ventajoso para un animal poder
morder con fuerza. La fuerza del mordisco depende
del módulo, dirección y punto de aplicación de las fuerzas ejercidas por los músculos que cierran la mandíbula. Esto conduce a unas ciertas formas y dimensiones
óptimas para la mandíbula. Además, los huesos de la
articulación 9e la mandíbula superior con la inferior
deben ser lo suficientemente resistentes a fin de evitar
fracturas y dislocaciones. A partir de restos fósiles, sabemos que los mamíferos han evolucionado a partir
de reptiles mamiferoides. A medida que esto ocurría,
los músculos implantados en la mandíbula inferior iban
creciendo progresivamente, mientras que los huesos de
la articulación iban disminuyendo de tamaño. La apa. rente paradoja puede explicarse en términos de los
cambios de dirección y de punto de aplicación de las
fuerzas musculares.
La Fig. 4.54 muestra las diferencias básicas existentes entre la mandíbula inferior de un reptil primitivo y
el típico aspecto de un mamífero actual. El primero es
una simple barra con unos músculos que empujan hacia arriba, implantados en un punto cercano a la articulación. La mandíbula de los mamíferos tiene una
gran protuberancia llamada apófisis coronoides. Implantado en ella se encuentra el músculo temporal que
empuja hacia atrás y hacia arriba (fuerza T en la Fig.
o sea
Como la fuerza neta sobre la mandíbula debe ser cero,
M - B · - R = O, y la fuerza muscular requerida es
M
= B + R = B ( 1 + ::)
Por ejemplo, si x 8 = 2xR y B = 1 N, entonces R = 2 N
y M= 3 N. Así pues, la fuerza E sobre la comida es.menor que las fuerzas M y R ejercidas por el músculo y
la articulación, respectivamente. Se ve claramente que
la solidez de la articulación es un factor que limita la
fuerza con que puede morder el reptil y el margen de
seguridad del músculo.
En la mandíbula de los mamíferos, la fuerza M se
aplica asimismo a partir de la articulación y otra fuerza muscular, T, se halla también presente (Fig. 4.55).
Si las líneas de acción de T, M y B se cortan en un pun-
Pivote
de la mandíbula)
Apófisis
coronoide
J
• o
8
ta)
---Pivote
(articulación
de la mandíbula)
R
= XB B
XR
M (articulación
- xr-f-xR
R
B
(h)
Figura 4 .54 (a) Mandíbula inferior de un reptil primitivo.Mes la fuerza debida al músculo.
Bes la fuerza de reacción que presenta el objeto que está siendo mordido y Res la fuerza debida a la
articulación de la mandíbula en J. (b) Mandíbula de mamífero. Las fuerzas musculares son ·T y M.
Como se explica en el texto, la fuerza R debida a la articulación de la mandíbula puede ser nula si fas
líneas de acción de las tres fuerzas T, 8 y M se cor.tan de la manera que se muestra aquí.
91
Estática
Por consiguiente, la fuerza B ejercida por la mandíbula sobre la comida es mayor que cualquiera de las dos fuerzas musculares Ty M, y la fuerza debida a la articulación
es nula. (Esta conclusión resulta también evidente a partir
de las longitudes de los vectores de la Fig. 4.55b.) Por el
contrario, en el caso del reptil hallamos que la fuerza Bes
menor que la fuerza muscular o la fuerza de la articulación.
X
(a)
(b l
Figura 4 .55 Fuerzas sobre la mandíbula de un mamífero cuando la articulación no suministra fuerza alguna.
to, sus momentos con respecto a este punto son cero.
Por consiguiente, la segunda condición de equil1brio,
1' = O, requiere que también la línea de acción de R pase
por este punto. Además, cuando las fuerzas también
satisfacen T + M + B = O, la articulación no debe pro-
Tal como hemos comparado las mandíbulas de los
mamíferos con mandíbulas más primitivas, se pueden
comparar también las de distintos mamíferos. Los carnívoros utilizan sus poderosos incisivos para desgarrar
y transportar sus presas, mientras que los herbívoros
muelen su comida lateralmente entre los molares. El
peso del músculo temporal de un carnívoro oscila entre la mitad y los dos tercios del peso total de los ~úsculos que cierran las mandíbulas. Sin embargo, en los
herbívoros, este músculo sólo pesa una décima parte
del total. Dejamos como ejercicio la demostración de
por qué ésta es la adaptación más conveniente a las necesidades de estos dos tipos de animales.
porcionar ninguna fuerza R para satis/acer la condición
F = O. Si T + M + B no es nula, o si sus líneas de acción no se cortan en un punto común, la articulación
deberá proporcionar una fuerza R, que de todos modos será mucho menor que la correspondiente en el reptil. Por lo tanto, la articulación no necesita una estructura tan grande y por lo tanto no limita el tamaño del
músculo que puede tener el animal.
Ejemplo 4.7
Para ilustrar la superioridad de la mandíbula de los
mamíferos, supongamos que las fuerzas musculares y
M de la Fig. 4.55 forman ambas un ángulo de 8 = 45º con
la horizontal. ¿Cómo se ha de relacionar M con T para
que la articulación no tenga que hacer ninguna fuerza R
y cuánto valdrá la fuerza B ejercida sobre la comida? (Suponer que las líneas de acción de B, T y M se cortan en
un punto común, de modo que se cumple la segunda condición de equilibrio T = O.)
Como ambas fuerzas tienen componentes x e y, la
condición F = O puede utilizarse en componentes como
F, = O y F, = O. Con F, = Oobtenemos
r
4 .9
1
CENTRO DE GRAVEDAD DE
LOS SERES HUMANOS
La información sobre el centro de gravedad de los seres humanos resulta útil en muchas aplicaciones. El
centro de gravedad de un objeto en caída libre sigue
la misma trayectoria que una partícula simple, aun
cuando el objeto esté girando o cambie de forma. Ello
simplifica el análisis del salto, la gimnasia y otras actividades atléticas. En terapéutica física, un amputado
Balanza 1
Balanza 2
C.G.
TcosO-McosO = O
de modo que M
= T. Con F, = O.
T sen () + M sen () - B = O
Utilizando M = T y sen () = sen 45º =
B = (T + M) sen () = 2T sen () =
V2/2
.Jir
Figura 4.56
persona.
Método para hallar el centro de gravedad de una
92
Estática
y
X
Figura 4.58 El hombre de la Fig. 4.57 aparece ahora inclinado, de modo que su espalda queda casi horizontal. Obsérvese que
su centro de gravedad está todavía sobre los pies. (Adaptado de Williams y Lissner.)
1 1
X
Figura 4.57 Extremidades, posición de las articulaciones (círculos negros) y posición de los centros de gravedad (circulos blancos) de varias partes del cuerpo de un hombre típico. (Adaptado de
Williarns y Lissner.)
bla de longitud l es sostenida en sus extremos por soportes afilados que descansan sobre balanzas ajustadas de manera que su cero corresponda a la tabla sola.
Cuando la persona se tiende sobre la tabla, las balanzas
marcan w1 y w2, respectivamente.
La condición -r = O para el momento neto sobre ia
tabla pueqe utilizarse para hallar X. Calculando los
momentos con respecto al punto P,
o
lw
2
X=----
con un miembro artificial más ligero que el correspondiente miembro natural tiene su centro de gravedad
desplazado. Ello se ha de tener en cuenta al planificar
la rehabilitación de aquella persona.
En la Sección 4.3 hemos descrito cómo puede localizarse el centro de gravedad colgando un objeto de
dos puntos diferentes. Existe otra técnica más adecuada para los hombres y los animales (Fig. 4.56). Una ta-
w1
+ W2
(4.11)
La medida se repite dos veces más, primero con el individuo de pie y luego con el individuo girado 90°. De este
modo se determinan las tres coordenadas del centro de
gravedad.
La medida detallada de las masas, los tamaños y
los centros de gravedad de las partes del cuerpo es dificil y los resultados varían según los individuos. Los
93
Estática
discutir algunos dispositivos de poleas típicos en los
ejemplos siguientes. Suponemos en ellos que el rozamiento es despreciable y que cuerdas y poleas tienen
masa nula.
Ejemplo 4.8
¿Qué fuerza F.se necesita aplicar para levantar el peso
w de la Fig. 4.59?
Las fuerzas sobre la polea 1 se muestran en la Fig.
4.59b. La cuerda es continua y la tensión a ambos lados
de la polea es la misma. Si el peso se levanta a velocidad
constante, el sistema se halla en equilibrio. Por lo tanto,
2F. - w = O, y F.= w/2. La fuerza necesaria es sólo la mitad
del peso y la ventaja mecánica es
w
(hl
(ti)
Figura 4.59
La tensión en la cuerda es la misma en todo el sistema, de modo que las dos fuerzas a ambos lados de la polea I son
iguales.
datos para un hombre típico se dan en las Figs. 4.57 y
4.58 y en la Tabla 41, y se utilizan en algunos de los
ejercicios.
4 .1 O
I
V.M. -~
Fa -- 2
Ejemplo 4.9
¿Qué fuerza F. es necesario aplicar para levantar el
peso w con el sistema de poleas de la Fig. 4.60? ¿Cuál es
la ventaja mecánica del sistema?
De nuevo, la tensión en cada segmento vertical de la
cuerda es la misma, por lo que 4F. - w = Oy F. = w/4. La
ventaja mecánica de este sistema es
VM
. . =~=4
Fa
SISTEMAS DE POLEAS
Las poleas, como las palancas, son máquinas simples
que se utilizan en muchas situaciones. Una sola polea
se utiliza para cambiar el sentido de una fuerza, mientras que las combinaciones de varias poleas pueden utilizarse para reducir la fuerza que se necesita para levantar una carga pesada.
Si el rozamiento en los soportes es despreciable, la
tensión de equilibrio en el cable o cuerda es la misma
a cada lado de la polea. Esta propiedad se utiliza para
De los dos ejemplos precedentes, podemos deducir
una regla para la ventaja mecánica de un sistema de poleas utilizado para levantar pesos. La ventaja mecánica del sistema es igual al número de cuerdas paralelas
que sostienen la polea a la cual la carga va atada: 2 en
la Fig. 4.59 y 4 en la Fig. 4.60. Obsérvese que esta regla no se aplica cuando, como en el ejemplo siguiente,
las fuerzas aplicadas a la carga no son paralelas.
TABLA 4.1
Masas y centros de gravedad de partes del cuerpo del hombre de las Figs. 4.57
y 4.58. Su inasa total es m y su altura es h. Por ejemplo, si su masa es 70 kg,
entonces la masa de su tronco y cabeza es 0,593 m =0,593 (70 kg) = 41,5.
Posición del centro de gravedad
de las distintas partes del cuerpo
Fig. 4.57
Fig. 4.58
Parte
Masa
X
y
X
y
Tronco y cabeza
Brazos
Antebrazos y manos
Muslos
Piernas y pies
0 ,593m
0,053m
0,043m
0,10 h
0 ,14h
0,24h
0 ,12 h
0,10 h
0 ,70 h
0,75 h
0,64 h
0,42 h
0,19 h
0,26 h
0.35 h
0,52 h
0,45 h
0,29 h
0,40 h
0, 18 i•
0,193m
0,.118m
0,34h
0,11 h
O, 17 h
94
Estática
/.
Esta fuerza puede variarse cambiando bien w o bien
fJ. Como cos (J varía de 1 a Ocuando (J va de Oº a 90º, esF,
F,
F,
F,
cogiendo el ángulo correcto puede obtenerse cualquier
fuerza entre Oy 2w. Cuando 0 es grande, cos 0 es pequeño. En este caso, el peso w y la tensión en la cuerda son
mucho mayores que la fuerza FL ejercida sobre el pie.
EJERCICIOS SOBRE LOS TEMAS
SUPLEMENTARIOS
Sección 4.8
w
w
<bl
lú l
Figura 4 .60
Ejemplo 4.9.
Ejemplo 4.10
En la Fig. 4.61 se muestra la tracción aplicada a la
pierna de un paciente. ¿Qué fuerza horizontal se ejerce sobre la pierna?
La suma de las fuerzas sobre cada polea es nula, ya
que las poleas están en reposo. Según la Fig. 4.61b, las
fuerzas horizontales que actúan sobre la polea atada al
pie satisfacen
2w cos (J
-
FL = O
Las mandíbulas de los animales
4-51 Una serpiente ejerce una fuerza muscular M=
5 N (ver Fig. 4.54a). M actúa a una distancia de 0,03
m a partir de la articulación y la fuerza del mordisco resultante es 2 N. Hallar (a) la distancia desde la
articulación hasta la línea de acción de la fuerza del
mordisco y (b) la fuerza ejercida por la articulación
de la mandíbula.
4-52 (a) En un herbívoro típico, el máximo valor
de la fuerza Tes una décima parte del valor máximo de la fuerza M de la Fig. 4.62. Suponiendo que
en la articulación no se ejerce ninguna fuerza, ¿dónde esperaremos que el animal ejerza una mayor fuerza para morder, en la parte delantera o en la parte
trasera de la mandíbula? (b) En un carnívoro, el
máximo valor de T es aproximadamente el doble
del de M ¿Dónde es de esperar que se ejerza la máxima fuerza, más lejos o más cerc~ de la articulación
de la mandíbula que en el herbívoro? Explicarlo.
Sección 4.9
1
Centro de gravedad de los seres huma-
nos
o
FL = 2w cos
(a )
Figura 4 .61
1
(J
4-53 Una tabla de 4 m de largo se utiliza para ha-
llar el C.G. como en la Fig. 4.56. Cuando una per-
( b)
(a) Sistema de poleas empleado para aplicar una fuerza en una tracción de pierna. El
módulo de esta fuerza puede ajustarse variando el ángulo 8. La polea 1 está unida al pie y las poleas 2 y
3 están montadas sobre un armazón que no se muestra en la figura. (b) Fuerzas que actúan sobre la polea
l.
95
Estática
4-58 Supóngase que en la Fig. 4.60 se tira de la cuerda a 0,25 m s-1• ¿Con qué velocidad subirá la carga?
PROBLEMAS SOBRE LOS TEMAS
SUPLEMENTARIOS
B
Figura 4.62
4-59 Un mamífero muerde de tal modo que la fuerza muscular M de la Fig. 4.62 vale 30 N. ¿Cuál es
la fuerza B del mordisco? (Supóngase B, = Bm = 45º.)
4-60 En un determinado carnívoro, el módulo de la
fuerza T vale 1,3 veces el módulo de la fuerza M
(Fig. 4.62). No hay ninguna fuerza en la articulación
de la mandíbula. Si f)m = 60º, hallar (a) fJ, y (b) la razón B/M.
EJercicio 4-52; Problemas 4-59 y 4-60.
Lecturas adicionales
sona está sobre la tabla, las balanzas marcan w1 =
200 N y w2 = 600 N. ¿Cuál es la posición del C.G.
de la persona?
4-54 Utilizando los datos de la Tabla 4.1, hallar el
C.G. del hombre de la Fig. 4.57.
4-55 Utilizando los datos de la Tabla 4.1, hallar el
C.G. del hombre de la Fig. 4.58.
Sección 4.10
1
Sistemas de poleas
4-56 ¿Qué fuerza F debe aplicarse en la Fig. 4.63
para levantar la carga?
4-57 En la Fig. 4.61, se debe aplicar una fuerza de
50 N a la pierna. Si se cuelga del cable un peso de
1O kg de masa, ¿qué ángulo 0 debería utilizarse?
/.
John M. Cooper and Ruth B. Glassow, Kinesiology, 4.ª ed.,
C.V. Mosby, Co, St. Louis, 1976. Equilibrio y palancas
del cuerpo humano.
Signi Brunnstrom, Clinica/ Kinesio/ogy, 3." ed., F. A. Davis
Co. Filadelfia 1972. Equilibrio y palancas del cuerpo humano.
KatherineF. WellsandJanetWessel,Kinesiology, 5.ª ed., W.
B. Saunders Co, Filadelfia 1971. Equilibrio y palancas del
cuerpo humano.
Marian Williams and Herbert R. Lissner, Biomechanics oj
Human Motion, W. B. Saunders Co. Filadelfia, 1962. Aplicaciones a la terapéutica fisica.
John J. Hay, The Biomechanics of Sports Techniques, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1973.
Sir James Gray, How Anima/s Move, Cambridge University
Press, Cambridge, 1953. El capítulo 3 analiza el equilibrio y la estabilidad.
R. A. R. Tricker and B. J. K. Tricker, The Science ofMovement, Milis and Boon, Ltd. Londres, 1967. Los capítulos
3, 4, 15 y 16 analizan el equilibrio y la estabilidad.
R. C. Thurow, Edgewise Orthodontics, 3." ed., The C. V.
Mosby Co, St. Louis, 1972. Aplicaciones de la estática.
R. Me. Neill Alexander, Animal Mechanics, University of
Washington Press, Seattle, 1968. Las páginas 5-13 analizan las mandíbulas de los animales.
A. W. Crompton, On the Lower Jaw of Diarthrognathus
and the Origin of the Mammalian Lower Jaw, Proceedings of the Zoological Society ofLondon, vol. 140, 1963,
pp. 697-753.
Artículos·del Scientific American
Figura 4 -63
Ejercicio 4-56.
Milton Hildebrand, How Animals Run, mayo 1960, p. 148.
Jearl Walker, In Judo and Aikido Application ofthe Physics
of Forces Makes the Weak Equal to the Strong, The Amateur Scientist, Julio 1980, p. 150.
CAPÍTULO
5
MOVIMIENTO
CIRCULAR
Las leyes de Newton del movimiento nos permiten ha·
llar el movimiento de cualquier objeto si conocemos
las fuerzas que actúan sobre el mismo y su velocidad
y su posición iniciales. En el capítulo precedente, consideramos objetos que estaban en equilibrio y permanecían en reposo. Antes, analizamos el movimiento
uniformemente acelerado que se presenta cuando la
fuerza neta es constante en módulo y dirección. En este
capítulo consideraremos otro tipo de movimiento que
se encuentra frecuentemente, el movimiento en una
trayectoria circular.
Veremos que cuando un objeto se mueve en un camino circular con celeridad constante, su aceleración
se dirige hacia el centro del círculo. La fuerza necesaria para producir esta aceleración puede tener diversos
orígenes. El rozamiento suministra la fuerza requerida en el caso de un coche sobre una pista plana y circular; la gravedad, para un satélite artificial en órbita
alrededor de la Tierra; las fuerzas eléctricas, para un
electrón en órbita alrededor del núcleo atómico. En
este capítulo, discutimos éstos y otros ejemplos de movimiento circular.
La rotación de un sólido rígido alrededor de un eje
está íntimamente relacionada con el movimiento de un
objeto en un camino circul~r. Es muy fácil hallar ejemplos: las cuchillas de una máquina de cortar céped,
las ruedas de los automóviles, la Tierra en el giro sobre
su eje. Cada punto de tal objeto está describiendo un
movimiento circular. Veremos nuevamente que las leyes de Newton permiten predecir y analizar dichos movimientos.
96
5 .1 I ACELERACIÓN CENTRÍPETA
Consideremos un coche que se mueve por una pista circular con celeridad constante (Fig. 5. la). Se dice que
el coche efectúa un movimiento circular uniforme, y la
componente de su aceleración en la dirección del movimiento es nula. Sin embargo, el vector velocidad v
/J.v
e
•
(11)
(hl
Figura 5.1
Un coche por una pista circular a celeridad constante posee una aceleración dirigida hacia el centro C del círculo. La
componente tangencial de la áceleración es nula porque la celeridad
es constante. .
97
Movimiento circular
está cambiando continuamente de dirección. La Fig.
5. lb muestra que el cambio de velocidad t::.v que se produce en un breve intervalo de tiempo t::.t apunta hacia
el centro del círculo. La aceleración a es t::.v/t::.t, evaluada para t::.t tendiendo a cero, de modo que a apunta también hacia el centro del círculo, es decir, se dirige radia/mente hacia el centro. Demostraremos en la
Sección 5.10 que para el movimiento en un círculo de radio r con celeridad v, esta aceleración hacia el centro,
o aceleración centrípeta, tiene un módulo de
v2
(5.1)
a=..
r
El subíndice r nos recuerda que la aceleración es radial. El siguiente ejemplo ilustra el concepto de aceleración radial.
Ejemplo 5.1
Un coche recorre una pista circular plana de 200 m
de radio con celeridad constante de 30 m s-i . ¿Cuál es su
aceleración?
Como la celeridad es constante no hay aceleración
tangencial. Sin embargo, como el vector velocidad está
cambiando de dirección, existe una aceleración hacia el
centro del círculo. El módulo de esta aceleración es
v2
a,. = 7 =
(30 m s- 1)2
_
200 m = 4,5 m s 2
En ausencia de cualquier fuerza neta un objeto se
mueve en línea recta a celeridad constante de acuerdo
con la primera ley de Newton. Si la trayectoria del objeto es circular, posee entonces una aceleración radial
a,= v2Ir y, por lo tanto, existe una fuerza que produce esta aceleración. Según la segunda ley, la fuerza debe
ser igual a la masa por la aceleración. Asípues, la fuerza F necesaria para producir una aceleración a, es
F= ma
..
2
= mvr
(5.2)
En el caso de un coche que circula por una pista plana, la aceleración centrípeta resulta de la fuerza de rozamiento ejercida por los neumáticos sobre la carretera (Fig. 5.2). También actúan otras fuerzas sobre el coche: su peso, dirigido hacia abajo; una fuerza normal,
igual pero opuesta, dirigida hacia arriba, debida a la
carretera; una fuerza hacia atrás debida a la resistencia del aire; una fuerza hacia adelante ejercida por la
carretera sobre los neumáticos. Sin embargo, la única
fuerza que puede producir la aceleración radial es la
fuerza de rozamiento, que actúa perpendicularmente
Figura 5 .2
Fuerzas que actúan sobre un cocheen una pista circular plana. No se muestran las fuerzas debidas al aire y la carretera a lo largo de la dirección del movimiento.
al movimiento. Por lo tanto, la fuerza de rozamiento
máxima posible establece un límite para la aceleración
centrípeta del coche. Este límite se determina gracias
al coeficiente de rozamiento estático y no al coeficiente de rozamiento cinético, ya que el neumático está instantáneamente en reposo con respecto a la carretera
en el punto de contacto. Si el conductor intenta tomar
una curva demasiado deprisa, la fuerza máxima de rozamiento será sobrepasada y el coche patinará. Una
vez que ha empezado a patinar, el coche desliza en lugar de rodar y entonces la fuerza de rozamiento se determina por medio del coeficiente de rozamiento cinético y su módulo disminuye. Esta reducción de la fuerza de rozamiento dificulta el control del vehículo y puede provocar un accídente. La fuerza necesaria para
producir una aceleración centrípeta se calcula en el
ejemplo siguiente.
Ejemplo 5.2
El coche del ejemplo precedente recorre una pista circular plana de 200 m de radio a 30 m s-i y tiene una aceleración centrípeta a, = 4,5 m s-2• (a) Si la masa del coche
es 1000 kg, ¿cuál es la fuerza de rozamiento necesaria para
proporcionar esta aceleración? (b) Si el coeficiente de rozamiento estático, µ, es 0,8, ¿cuál es la celeridad máxima
que puede alcanzar el coche en la pista?
(a) Como la masa es 1000 kg y la aceleración es 4,~
·m s-2, la segunda l"ey de Newton dice que
F = ma, = (1000 kg)(4,5 m s-2) = 4500 N
Esta es la fuerza de rozamiento necesaria para recorrer la
pista circular a 30 m s- 1•
(b) A partir de la Fig. 5.2 se ve que la fuerza normal
N tiene un módulo igual al peso w = mg. Así pues, la máxi
98
Movimiento circular
ma fuerza de rozamiento posible es µ.,N
locidad máxima satisface la ecuación
= µ.,mg y la ve-
2
u
-m,= µ,l?'lg
o bien
u
C•
= ...¡¡;:;;:g
Obsérvese que la masa desaparece y por lo tanto la velocidad máxima en la pista es la misma para cualquier coche siempre y cuando el coeficiente de rozamiento estático sea el mismo. Sustituyendo los valores numéricos, tenemos
v
= [(0,8X200 m)(9,8 m s-2)] 112 = 39,6 m s-•
Si el conductor intenta sobrepasar los 39,6 m s- 1 , el coche no podrá seguir ya su trayectoria circular y se deslizará como en la Fig. 5.3.
I Resulta útil escribir la expresión de la aceleración centrípeta en notación vectorial. En la Fig. 5.3, r es un vector radial que parte del
centro y r ;::; r/r es un vector unitario en dicha dirección. La aceleración a, tiene la misma dirección pero
sentido opuesto que r, por lo que
vz~
(5.3)
ª~= - - r
.Notación vectorial
r
(b )
(a )
Figura 5 .3 (a) Un coche sobre una pista circular plana de radio r requiere una aceleración a,= v2 / r. (b) Si la carretera no puede
suministrar una fuerza de rozamiento mv2 /r, el coche tenderá entonces a moverse casi en línea recta y derrapará.
!Figura 5 .5
Un coche que recorre una pista circular con celeridad creciente tiene una aceleración centrípeta a,= v2Ir y una aceleración tangencial ar igual a la tasa de cambio de la celeridad. (Obsérvese
que v y a, son mayores en Pi que en P ,.)
De la misma manera, la fuerza F = ma., que produce
la aceleración puede escribirse en forma vectorial como
F
;f
/
/
/
/
~f-~
2
,
r
r
Figura 5 .4
El vector t = r/r es paralelo ar y tiene módulo unidad. a, y F = ma tienen sentidos opuestos a r y r.
mv2 ~
r
(5.4)
--r
La ecuación a,= -(v2 /r)í: también es aplicable en
otros casos distintos del movimiento circular uniforme. Cuando un coche recorre una pista circular con celeridad variable, su aceleración tiene una componente
tangencial ar a lo largo de la dirección del movimiento, cuyo módulo es igual a la tasa de cambio de la celeridad (Fig. 5.5). Sin embargo, la componente perpendicular de la aceleración sigue siendo v2Ir. Asimismo, si el
coche circula por una carretera que no sea circ.ular,
cualquier pequeño segmento de la carretera puede ser
considerado·como un trozo de circunferencia. El radio
de esta circunferencia se llama radio de curvatura en el
punto P (Pig. 5.6). La componente de la aceleración
perpendicular al movimiento es de nuevo v2Ir.
/
V
=-
...----
......
'--.
"\
\
1
\
\
1
\
\
'
Figura 5 .6 En P la carretera tiene un radio de curvatura r. La
aceleración centrípeta en Pes a, = v 2/r.
Movimiento circular
5 .2
99
Dividiendo la primera ecuación por la segunda, las masas se anulan y queda
EJEMPLOS DE MOVIMIENTO
CIRCULAR
En la sección anterior hemos considerado con cierto
detalle el ejemplo de un coche que se desplaza por una
pista circular plana. Discutiremos ahora otros ejemplos de movimiento circular.
sen 0
cose
Como sen 0/cos 0 = tan 0, tenemos
2
Curvas peraltadas
v
·¡
Las buenas autopistas tienen normalmente las curvas peraltadas o inclinadas,
de tal manera que la fuerza normal ejercida sobre la
carretera por un coche tenga una componente horizontal. Esta componente horizontal puede proporcionar parte o toda la fuerza necesaria para producir la
aceleración centrípeta, reduciendo así el papel de la
fuerza de rozamiento. La carretera resulta así más segura, especialmente en situaciones resbaladizas.
Para examinar esta idea con detalle, consideremos
un coche en una curva peraltada. Supongamos que el
conductor quiere circular a la celeridad idónea v, de
modo que no se necesita la fuerza de rozamiento para
producir aceleración centrípeta. El problema es entonces encontrar cuál ha de ser esta celeridad.
La Fig. 5.7 muestra las fuerzas relevantes que actúan sobre el coche: su peso, w = mg y la fuerza normal N. (Las fuerzas a lo largo de la dirección del movimiento no juegan ningún papel aquí.) Como la componente horizontal de N debe proporcionar toda la aceleración centrípeta, .
Nsen8
= mu
2
r
No hay componente vertical de la aceleración, por lo
que la fuerza neta vertical es cero, y
uz
rg
= rg tan 0
(5.5)
Esta ecuación da la ·celeridad v con que el coche
puede tomar una curva peraltada con un ángulo 0 sin
intervención de las fuerzas de rozamiento. A cualquier
otra celeridad será necesaria una fuerza de rozamiento para complementar la componente horizontal de la
fuerza normal. En un día muy húmedo, un coche que
vaya a una velocidad mayor tiende a resbalar hacia fuera de la curva, mientras que un coche que vaya más lento tiende a resbalar hacia el centro de la curva. La utilización de esta fórmula se ilustra mediante el siguiente ejemplo.
Ejemplo 5.3
Una curva de radio 900 m está peraltada de manera
que el rozamiento no interviene cuando la celeridad es de
30 m s-1 • ¿Cuál es el ángulo del peralte 8?
Despejando tan Ode la Ec. S.S.
v2
(30 m s- 1) 2
tan 8 = rg = (900 m)(9,8 m s-2) = O, 102
8 = 6º
Como hemos visto, en una carretera peraltada, una
componente de las fuerza.s normales proporciona par-
Neos 0 = mg
y
N
<:,
o"'
"
~
11
~-.vx = .V sen 6
.<
~)
Figura 5 .8
Figura 5 .7
Un coche sobre una curva peraltada desplazándose a una celeridad idónea v, de modo que la componente horizontal
N, de la fuerza normal suministra la acele.r ación centrípeta y no se
necesita fuerza de rozamiento.
~)
(a) Las fuerzas sobre un pájaro son su peso w y una
fuerza de sustentación L. (Las fuerzas de empuje hacia adelante y
de resistencia hacia atrás no aparecen representadas.) (b) Cuando el
pájaro se inclina, la fuerza de sustentación L tiene una componente
horizontal.
Movimiento circular
100
te o toda la fuerza centrípeta. El peralte también proporciona toda la fuerza necesaria para que un pájaro
o un avión giren. Un pájaro se mantiene en el aire gracias a las fuerzas aerodinámicas de sustentación perpendiculares a la superficie de sus alas. Cuando un ala
o el borde de un ala gira con respecto a su eje longitudinal, las fuerzas de sustentación quedan descompensadas y el pájaro se inclina o se peralta. En los aviones, el peralte se consigue con los alerones, que Son superficies móviles situadas en la parte posterior de las
alas. El peralte hace que la fuerza aerodinámica de sustentación tenga una componente horizontal y que así
el pájaro o el avión puedan girar (Fig. 5.8).
Esta situación es idéntica a la de una curva peraltada y por lo tanto se puede usar la Ec. 5.5 para relacionar el ángulo de peralte, la celeridad y el radio de la curva. Por ejemplo, pájaros como las golondrinas, que
pueden maniobrar muy rápidamente, experimentan
aceleraciones varias veces superiores a g.
ces T es negativa, lo que corresponde a una fuerza
opuesta al sentido considerado. Sin embargo, una cuerda sólo puede tirar, pero no empujar, de modo que esto
no puede ocurrir. Por consiguiente, si el cubo gira lentamente, él y su contenido caerán de la órbita circular;
para evitar mojarnos debemos tener TA 2'.: Oen el punto
más elevado del círculo, o bien
U 2
~
>g
R -
Por ejemplo, si R
= 1 m, vA debe satisfacer
Movimiento en un círculo vertical I Al girar un cubo lleno de agua en un círculo vertical se tiene un ejemplo simple pero llamativo de movimiento
circular. Vamos a ver cómo se puede evitar que el agua
se derrame girando el cubo de manera suficientemente rápida.
La Fig. 5.9 muestra un cubo de masa total m girando en un círculo de radio R. En el punto más elevado del
círculo (punto A), la tensión TA de la cuerda tiene el
mismo sentido que el peso w = mg, de modo que F = ma,
da
TA
2
+ mg = --¡-,
mu
mu 2
TA =--A- - mg
R
Así pues, la tensión es ahora menor que mv/lR en una
cantidad igual al peso. Si v/lR es menor que g, enton-
/
/
I
d
Figura 5 .9
Fuerzas que actúan sobre un cubo dando vueltas
en un círculo vertical. Si la cuerda se rompe en la parte alta del círculo, el cubo sigue la trayectoria de trazos.
Figura 5.1 O Las norias de los parques de atracciones puede tener grandes aceleraciones centrípetas. Sus ocupantes sienten pesos
efectivos muy grandes (M. Sternheim).
101
Movimiento circular
Es natural preguntarnos por qué el cubo y el agua
no caen cuando llegan al punto más elevado del círculo.
La respuesta es que caen, pero no suficientemente deprisa. Una manera de ver esto es considerar lo que pasa
cuando la cuerda se rompe al alcanzar el cubo el extremo superior del círculo. Seguirá entonces la curva
de trazos de la Fig. 5.9 y caerá menos rápidamente que
cuando la cuerda está intacta. Así pues, la cuerda hace
que el cubo y su contenido caigan más rápidamente todavía que cuando caen bajo la influencia de la gravedad sola.
En el punto inferior del círculo (punto B), la tensió n en la cuerda T8 y la aceleración son opuestas al
peso, por lo cual
mu
T8
-
2
mg = -f-•
mu
do por las fuerzas ejercidas por el asiento o el suelo sobre el que nos hallamos. El peso efectivo es nulo para
una persona en caída libre y, en términos generales,
viene dado por
w =mg-ma
En algunas norias de los parques de atracciones
(F ig. 5. 10) se llegan a producir aceleraciones considerables, y el peso efectivo puede llegar a diferir mucho
demg.
Ejemplo 5.4
En unas atracciones de feria, una chica de masa m
está en una jaula cilíndrica de radio R. Se hace girar la jaula alrededor de su eje de simetría con celeridad v (Fig.
5.11). ¿Cuál es el peso efectivo de la chica?
Según la Ec. 5.6, w' = mg - ma. Tornando componentes horizontales y verticales,
2
T8 =-f-+mg
Así pues, la tensión en este punto es m v/lR más el
peso. Aunque ya comentamos qué ocurriría si la cuerda
se rompiera en el punto más elevado del círculo, es más
probable que se rompa en el punto inferior. Ello es así
porque la tensió2 n en el punto
A es menor que m v/lR y
.
mayor que m v 8 IR en el punto B. Por otro lado, la fuerza de la gravedad acelera el cubo en·su caída, de modo
que su velocidad es mayor en el punto B que en el A, lo
cual incrementa aún más la tensión en el punto más
bajo.
Peso efectivo
Ya observamos en el Capítulo 3
que nuestro peso percibido o efectivo viene deter mina-
Eje de
rotación
w/ = - mg
Utilizando el teorema de Pitágoras (Fig. 5. 1lc),
w•
w; = mv
2
1
1
Figura 5 .11
/R
X
- R - ---<
(b)
Fuerzas sobre una chica en una jaula giratoria.
(~Y
La sedimentación de un material en un líquido
ocurre porque el peso del material es mayor que el de
un volumen igual de líquido. La velocidad de sedimentación es proporcional a la aceleración de la gravedad
g que puede aumentarse, como hemos visto, haciendo
girar el material rápidamente en una centrifugadora.
Las ultracentrifugadoras que se utilizan en los laboratorios de investigación alcanzan aceleraciones de más
-de -500 000 g.
1
(a)
2
Vemos que el peso efectivo de la chica es mayor que mg.
1
,__-
= mjg +
y
1
1
1
1
1
1
(5.6)
(e)
102
5.3
Movimiento circular
1
VARIABLES ANGULARES
Supóngase que un corredor ha recorrido 100 m de los
400 m de una pista circular. Si decimos que ha recorrido una cuarta parte de la pista, o 90º, estamos describiendo su movimiento en términos de la variación de
su posición angular. La tasa con que ésta varía es la velocidad angular, y la tasa de cambio de ésta es a su vez
la aceleración angular. Estas variables angulares resultan especialmente útiles en el estudio de la rotación de
un sólido rígido alrededor de un eje fijo. Por ejemplo,
cada punto del radio de trazo grueso de la rueda de la
Fig. 5.12 recorre 360° en cada vuelta completa, aunque
los puntos próximos al borde han recorrido un camino
más largo que los puntos próximos al eje.
Los ángulos pueden medirse ya sea en grados o en
radianes (rad). Fijándonos en la Fig. 5.12, definimos la
posición angular 0 en radianes como
(5.7)
Este resultado para fJ es el mismo en cualquier punto
del radio de trazo grueso de la rueda. El valor des para
un punto a una distanciar del eje de rotación es r(J. Para
cada vuelta completa de la rueda, ses igual a la longitud
de la circunferencia 2rrr, y 0 = 2rr radianes. Como un
círculo completo son 360°, 2rr rad = 360° y l rad =
360°/2rr = 57,3° (Fig. 5.13).
La definición (J = sir implica que 0 no tiene dimensiones, ya que es el cociente de dos longitudes. Así pues,
el radián no es una unidad en el mismo sentido que el
metro o el pie. Utilizamos radianes como recordatorio de cómo se definen los ángulos.
Velocidad angular I El módulo de la velocidad
angular w (omega) es igual a la tasa de cambio del án-
gulo. La celeridad angular media se define como ilJ =
Á01Át, donde Á0 es la variación del ángulo en el intervalo de tiempo Át. Cuando Át se hace muy pequeño, la velocidad angular instantánea eli radianes por segundo es
d0
w = -
dt
(5.8)
Si (J se expresa en radianes y t en segundos, las unidades de w serán radianes por segundo. Por ejemplo, si un
corredor da una vuelta completa a una pista en 50 s, su
celeridad angular es (2rr rad)/(50 s) = 0,126 rad s- 1•
El vector"' se considera, por convenio, dirigido sobre el eje de rotación. Se dirige hacia afuera de la página, paralelo al eje de rotación, si ésta es de sentido
opuesto al giro de las agujas del reloj (Fig. 5.14a). Si
la rotación tiene lugar en el mismo sentido que éstas,
como en la Fig. 5.14b, w se dirige hacia el interior de
la página. (Estos convenios son análogos a los adoptados con respecto al sentido de los momentos de las
fuer zas en el Capítulo 4). Una manera de identificar el
sentido de w consiste en curvar los dedos de la mano derecha alrededor del eje de rotación en el sentido de la rotación. El pulgar de dicha mano señala entonces el sentido de "'(Fig. 5.15). El siguiente ejemplo ilustra estas
ideas.
Ejemplo 5.5
Un disco gira en el sentido de las agujas del reloj con
velocidad angular constante de dos revoluciones por segundo (Fig. 5.14b) (a) ¿Cuál es la dirección y el módulo
de su velocidad angular? (b) ¿Cuál es el ángulo de rotación al cabo de 4 s?
(a) El disco gira dos veces, o sea 41r radianes cada segundo, de modo que su velocidad angular vale
Oº
360°
2,r
6
grados
270°
30°
,r
45°
,r
4
,r
3,r
2
2
90°
radianes
,r
Figura 5 .12
Una rueda de radio R gira alrededor de su eje. El
radio de trazo grueso estaba inicialmente en posición vertical y la rueda ha girado un ángulo 8. El punto a una distanci,1 r del centro se
ha desplazado una distancia s = r8.
180°
Figura 5 .13 Ángulos típicos en grados y radianes. Un objeto
que da una vuelta y media se dice que ha girado 2,r+ ,r= 3,rradianes. 1 radián = 57,3°.
103
Movimiento circular
w
= t::i.0 = 411 rad = 471 rad 5- 1
l::,.t
Is
El vector w se dirige hacia el interior de la página ya
que el movimiento tiene el sentido de las agujas del reloj.
(b) En 4 s, el disco describe un ángulo
!:i.8
= wllt = (4rr rad s- 1)(4 s) = 16rr rad.
La celeridad v =dsldt de un punto de un objeto en rotación puede relacionarse con w. Por definición 8 = sir,
de modo que w = d0/dt = (ds/dt)(l/r) = v/r y
(5.9)
v = rw
En unidades S.I., r se exrresa en metros y w en radianes por segundo (rad s- ), pero el producto rw se expresa en rad m s- 1 = m s-1; los radianes desaparecen en
el resultado final.
La celeridad de los puntos de un objeto en rotación es proporcional a su distancia r al eje de rotación.
En el ejemplo siguiente se muestran las elevadas velocidades que se llegan a encontrar a veces en los objetos en rotación.
Ejemplo 5.6
La velocidad máxima de las cuchillas de las máquinas de cortar el césped se limita para reducir el riesgo del
lanzamiento de piedrecitas u otros objetos. Un modelo
corriente tiene una tasa de rotación de 3700 revoluciones
por minuto y una cuchilla de 0,25 m de radio. ¿Cuál es la
celeridad del filo de ia cuchilla?
Para utilizar v = rw, debemos calcular w. Para ello,
convertimos 3700 rev min-i a rad s-',
w
= 3700
Figura 5 .15 Doblando los dedos de la mano derecha en la dirección de la rotación, el pulgar queda perpendicular al disco y señala el sentido de w.
re_v (211 rad) ( 1 min)
mrn
rev
60 s
= 387 rad 5 _
1
Así pues, la velocidad en el filo de la cuchilla es v =
rad min- 1) = 97 m s-1, casi de 350
km/hora.
rw
= (0,25 m)(387
Aceleración angular I La tasa de cambio de
la velocidad angular es la aceleración angular a (alfa).
dw
dt
(5.10)
a =-
Las unidades S.I. de a son radianes por segundo. Si la
orientación del eje de rotación no varía, a es paralela
al eje y tiene o bien el mismo sentido o bien sentido
opuesto a w. Por ejemplo, si el disco de la Fig. 5.16 está
aumentando su tasa de rotación, a y w tienen el mismo
sentido. Si el disco está frenando, a es opuesto a w.
Si la velocidad angular del objeto cambia, de modo
que tiene aceleración angular, los puntos del objeto experimentarán como consecuencia una aceleración tangencial (Fig. 5.16). El vaior de ésta en un punto es a7
Dirección
Dirección
de rotación
Dirección
de rotaci ·
/
Figura 5 .14
/
la)
(a)
(/,)
(a) Para rotaciones en sentido contrario a las agujas del reloj w está dirigida hacia fuera de la página. (b) Para rotaciones con el mismo sentido que las agujas del reloj westá dirigida
hacia dentro de la página.
{h)
Figura 5. 16
En (a), la velocidad angular del disco está aumentando, por lo cual <r y w son paralelos. En (b), la velocidad angular
está disminuyendo y a y w son antiparalelos. También se muestran
las aceleracione.s tangencial y radial, a 7 y an de un punto del disco.
104
Movimiento circular
= dv/dt. Por lo cual, como v = rw, tenemos dv/dt = r
dwldt, y
(5.11)
Los puntos sobre un objeto en rotación experimentan además una aceleración radial o centrípeta de mó2
dulo v /r. Como v = wr, la aceleración centrípeta puede expresarse en términos de las variables angulares
como
2
a, = - w r i'
(5.12)
Si las fuerzas entre las partículas de un objeto en rotación rápida tal como una centrifugadora o una estrella no son suficientemente intensas para proporcionar esta aceleración centrípeta, dicho objeto se romperá cuando alcance una velocidad angular crítica w,.
Consideremos, por ejemplo, la estrella en rotación de
la Fig. 5.17 de masa M y radio R. Una partícula de
masa m sobre el ecuador tiene una aceleración u}R. La
2
fuerza gravitatoria GmMIR debida a la estrella ha de
valer como mínimo ma,. Así, la estrella está en el límite de su estabilidad para una velocidad angular w, que
satisfaga mw,2R = GmMJR2, o sea
w/ = GM/R 3
La densidad de la estrella es la razón de la masa a su
4
volumen, p = M/( 1rR3), de modo que
3
w
2
e
= ±1rGp
3
(5.13)
Este resultado implica que la velocidad angular
máxima de una estrella viene determinada por su densidad. Una estrella con la densidad del Sol no puede girar más de una vuelta cada 3 horas; en realidad, el Sol
tan sólo da una vuelta cada 27 días. Los púlsares, en
cambio, son estrellas que dan una vuelta cada 0,03 se-
l7l
Ecuador
Figura 5 .17 Estrella en rotación sobre su eje. Las partículas
del ecuador son las más rápidas y experimentan la máxima aceleración centrípeta. Ecuador.
gundos. Según la Ec. 5.13, sus densidades deben ser
·enormes. Se cree que los púlsares son estrellas de neutrones, con densidades comparables a las del núcleo
atómico, unas 1012 veces mayores que las del Sol.
Cálculo del movimiento I Describir la rotación de un sólido rígido puede resultar muy dificil si
la velocidad y la aceleración angulares no son paralelas. Esta situación se da, por ejemplo, en el Capítulo 7,
cuando estudiamos el movimiento de un giroscopio o la
precesión de los equinoccios de la Tierra. Sin embargo,
cuando un objeto se ve obligado a girar alrededor de un
eje fijo en el espacio, sus variables angulares (), w y a
vienen relacionadas de forma análoga a como lo están
las variables x, v y a para el movimiento rectilíneo (véase la Tabla5.l). Por consiguiente, dadas la aceleración
angular y la posición y velocidad angulares iniciales, se
puede calcular el movimiento subsiguiente, como en el
Capítulo l. Por ejemplo, si la aceleración angular es
constante, la deducción de las ecuaciones del movimiento tiene lugar exactamente como antes, con los obvios cambios de notación. Los resultados se recogen en
TABLA 5.1
Comparación de los movimientos de traslación y rotación
Magnitud
Traslación
Rotación
Relación
Posición,
desplazamiento
Velocidad
Aceleración
x,s
e
s = re
V
w
a=a,+ar
a
u= rw
ªr = ra
a, = w2r
105
Movimiento circular
TABLA5.2
Ecuaciones para aceleración angular constante a a lo largo del eje de rotación
y sus análogas del movimiento de traslación. Al emple¡u estas ecuaciones, un
sentido a lo largo del eje de rotación se toma positivo y el otro negativo; 8, w y
a pueden ser positivos o negativos.
Aceleración angular constante a
(5. 14)
·w = w0 + a !::,.t
!::,.O = w 0 !::,.t + ½a (!::,.t)2
(5.15)
(5. 16)
w = ½(w0 + w)
!::,.O = ½(w0 + w)!::,.t
(5. 17)
w 2 = w/ + 2at:;.0
(5. 18)
Aceleración lineal constante a
u = u0 + a !ir
:ix = u0 1t + ½a (!::,.t) 2
u= ½(u0 + u)
:ix = ½(u0 + u) !::,.t
u2 = u0 2 + 2a j.x
la Tabla 5.2, para mayor comodidad de referencia, y se
ilustran en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 5.7
En el Ejemplo 5.6, las cuchillas de una máquina de
cortar el césped giran con una velocidad de 387 rad s- i.
Si la cuchilla se detiene con aceleración angular constante en 3 s, hallar el número de vueltas que describe mientras se para.
El ángulo recorrido es
1
b.8=+ (wo+w)t::.t=+ (387+0)rads- (3s)=58lrad
El número de vueltas es 58l/21r = 92,4
5.4
MOMENTO DE UNA FUERZA,
ACELERACIÓN ANGULAR V
MOMENTO DE INERCIA
En el Capítulo 4 vimos que cuando el momento neto
sobre un sólido rígido limitado a girar alrededor de un
eje fijo es nulo, su movimiento rotacional permanece
constante. Cuando el momento neto no es nulo, el objeto experimenta una aceleración angular proporcional a
dicho momento. Podemos identificar la constante de
proporcionalidad aplicando la segunda ley de Newton
del movimiento a un objeto sencillo.
_
La F ig. 5.18 representa una masa puntual m en
el extremo de una cuerda que describe un circunferencia sobre un plano horizontal sin rozamiento. Las fuerzas verticales sobre la masa son su peso w y una fuerza normal N. Dichas fuerzas so.n iguales en módulo y
sus momentos con respecto al ceptro C se anulan. La
tensión en la cuerda, que produce la .aceleración centrípeta a,, se dirige hacia el centro; por ello, como su línea de acción pasa por C, su momento con respecto a
dicho punto es nulo. Sólo la fuerza F. aplicada perpendicularmente a la cuerda produce un momento con res-
pecto a C. Según la segunda ley de Newton del movimiento, F. = mar, y por la Ec. 5.11, ar= ra. Así pues, el
momento debido a F.¡uede escribirse como r = rF. =
r(mar) = rm(ra) = (mr )a. La magnitud mr es el momento de inercia I de la masa puntual. En notación vectorial, nuestro resultado es
r=Ia
(5.14)
Esta ecuación tiene una forma análoga a la ~egunda ley de Newton, F = ma, que relaciona la fuerza neta
con la aceleración; la Ec. 5. 14 relaciona el momento
neto y la aceleración angular. El momento de inercia es
análogo a la masa, e indica la inercia del objeto frente a
las variaciones de movimiento rotacional. Aunque hemos obtenido la Ec. 5.14 para un objeto particularmente simple, su aplicación al movimiento de sólidos rígidos alrededor de un eje es muy general, con tal de que el
momento de inercia se calcule tal como se describe en la
subsección siguiente.
Figura 5 .18
La fuerza F. ejerce sobre m un momento alrededor del punto C. También produce una aceleración tangencial a,.
106
Movimiento circulw
Vemos pues que el momento de inercia depende de la
posición del eje de rotación.
(a)
(b)
Figura 5.19
Dos masas puntuales sobre una barra sin masa
con eje de rotación (a) que pasa por el centro; (b) que pasa por un
extremo.
I
Aunque ,,. = la sea se. mejánte a F = ma es importante observar que tanto el
momento ,,. como el momento de inercia/ dependen de
la posición del eje de rotación. Comprobaremos también que I depende de la forma y de la masa del objeto
en rotación.
Para calcular el momento de inercia de un objeto
complicado, debemos descomponerlo mentalmente en N
pequeñas porciones de masas mi, m2, ... mN, cada una
de las cuales se hallará a una distancia r1, r 2 ••• , rN del
eje de rotación, respectivamente. El momento de inercia de la primera porción es m 1li, el de la segunda es
m2?i y así sucesivamente. El momento de inercia neto
es la suma de estos términos.
Momento de inercia
/=mir/+ m2r/ + ... + mNri
(5.15)
Según esto, el momento de inercia es grande cuando las porciones se hallan lejos del eje de rotación. En
los siguientes ejemplos, mostramos cómo se calcula el
momento de inercia.
Ejemplo 5.8
Dos masas puntuales m iguales se encuentran en los
extremos de una barra fina de longitud / y de masa despréciable (Fig. 5.19). Hállese el momento de inercia con
respecto a un eje perpendicular a la barra y"que pase (a)
por su centro; (b) por uno de sus extremos.
(a) Para un eje que pase por el centro, cada masa se
halla a una distancia //2 del mismo. Al sumar los términos en mr2 para ambas masas
(b) Para un eje que pase por uno de los extremos, r =
Opara la masa en dicho extremo y r = / para la masa del
otro, por lo cual
I = O+mf =m/2
Ejemplo 5.9
Hallar el momento de inercia de una rueda de bicicleta de radio R si la masa m está concentrada en la llanta y
el neumático (la masa de los radios se considera despreciable).
Si descomponemos el neumático en pequeñas porciones, cada una se halla a la misma distancia R del eje. Así,
el momento de inercia es precisamente la masa total m
multiplicada por R 2 •
I = mR 2
Esta disposición proporciona el máximo momento de
inercia para una rueda de masa y radio dados. Este gran
momento de inercia es el principal responsable de la estabilidad de la bicicleta. Los momentos producidos por
las irregularidades de la calzada sólo producirán pequeñas aceleraciones angulares ya que a = ,,/ I, e I es grande.
A menudo se necesita el momento de inercia de objetos tales como barras o cilindros cuya masa se halla
distribuida de forma continua. Si esta distribución se
conoce con detalle, I puede calcularse matemáticamente. Excepto en unos pocos casos particulares, corno los
de los ejemplos precedentes ello exige matemáticas superiores a las del nivel de este texto. Algunos de los
principales resultados se recogen en la Tabla 5.3.
Para objetos irregulares tales corno un hueso o el
antebrazo, es necesario por lo general determinar el
momento de inercia experimentalmente. Tales resultados experimentales se expresan a menudo en función
de la masa m del objeto y de un radio de giro k definido por
I
= m k2
o bien
k
{Tml
= -y-;;;_
(5. 16)
Una masa puntual m a una distancia k del eje de rotación tendría el mismo momento de inercia que el objeto real. Por ejemplo, el radio de giro de la esfera vale,
según la Tabla 5.3.
·
k
=¡;=JE§-=
R
A=
0,63R
El ejemplo siguiente muestra cómo se puede utilizar la relación ,,. = la en un problema en que intervienen rotación y traslación.
Ejemplo 5.10
Una rueda se halla montada en un eje horizontal de.
107
Movimiento circular
TABLAS.3
Momentos de inercia. La masa de cada objeto se toma igual a m. La línea de trazos es el eje de rotación.
1
e
,1
1
1
1
I == ½mR2
Disco uniforme o cilindro de
radioR
I
== nm/2
Varilla de longitud/ con el eje
de rotación por su centro
I
== ¼m/2
Varilla de longitud/ con el eje
de rotación por un extremo
I
= mR2
Anillo delgado o corteza cilíndrica de radio R
1"
~
1
1
1
Esfera de radio R
I
= jmR
2
Corteza esférica de radio R
radio r = 0,01 m soportado por cojinetes sin rozamiento
(Fig. 5.20). Se arrolla a dicho eje una cuerda de cuyo extremo cuelga un bloque de 5 kg que se suelta.partiendo del
reposo. Éste cae con una aceleración de 0,02 m s-1• (a)
¿Cuál es la tensión en la cuerda? (b) ¿Cuál es el momento
de inercia de la rueda y el eje?
(a) Según la segunda ley de Newton para la masa que
cae, m g - T = m a. Al despejar T,
T = m (g - a) = (5 kg)(9,8 - 0,02) m s- 2 = 48,9 N
(b) Las líneas de acción de la fuerza de los cojinetes N y
del peso Mg pasa por el eje de rotación, de modo que su
momento es nulo; ell módulo del momento debido a Tes rT.
La aceleración a del bloque es igual a la aceleración tan-
108
Movimiento circular
<lucen fuerzas entre sí. Sin embargo, una diferencia
fundamental es que existen dos tipos de cargas, descritas en términos matemáticos como positiva y negativa. Aunque dos masas siempre se atraen mutuamente, las cargas del mismo signo (ambas positivas o ambas negativas) se repelen, mientras que cargas distin~
tas se atraen. Otra complicación es que las cargas pueden producir dos tipos de fuerzas. Las cargas en reposo ejercen entre sí fuerzas eléctricas, pero las cargas en
movimiento ejercen además otras fuerzas, denominadas fuerzas magnéticas.
l<I)
lb>
Figura 5 .20
(a) Una rueda con su eje montado sobre cojinetes sin rozamiento mantiene colgado un bloque de masa m por medio de una cuerda arroll~da alrededor del eje. (b) Fuerzas sobre el
eje y sobre la masa que cae. T es la tensión sobre la cuerda y N es
la fuerza ejercida por los cojinetes.
gencial de un punto del borde del eje. Como a = rcx, r=
la se convierte en rT = la Ir. Si despejamos l,
l = ,-2T = (0,01 m)2(48,9 N) = O245 k m2
'
a
O, 02 m s-2
g
Este ejemplo sugiere un método para determinar J
experimentalmente. Midiendo el tiempo que tarda la
masa en caer podemos determinar su aceleración y hallar J. Este procedimiento se utiliza a menudo en los laboratorios de fisica elemental.
5.5 I CARGAS ELÉCTRICAS:
FUERZAS FUNDAMENTALES
Hemos visto que las fuerzas gravitatorias son las responsables de que los planetas se mantengan en sus órbitas casi circulares alrededor del Sol. Las fuerzas eléctricas, que son en cierta manera muy similares a las
fuerzás gravitatorias, tienen aspectos totalmente distintos y son las responsables de que los electrones se
mantengan en sus órbitas en los átomos. Aunque diferimos el estudio completo de las fuerzas eléctricas
ha~ta el"Cl!,pítulo 18, las introducimos aquí y estudiamos·~n ~odelo simple de átomo.
La fuerza gravitatoria es una fuerza fundamental
de la naturaleza. R,elacionado con esta fuerza está el
concepto de mása; que juega un papel básico en la dc,:scripción del m°Ündo fisico. Un concepto igualmente básico es el de ·carga: Al igual que dos masas producen
fuerzas la una· sobre la otra, también dos cargas pro-
La carga y la estructura de la materia I Mientras la descripción completa de átomos y
moléculas requiere matemáticas muy complicadas, un
modelo atómico sencillo (Fig. 5.21) permite comprender algo acerca de. las cargas, sus propiedades y el papel que desempeñan en la naturaleza. Existen algo más
de cien especies atómicas o elementos, que se hallan en
la naturaleza o que han sido producidos artificialmente. El radio atómico típico es del orden de 10-io m. El
modelo describe los átomos de manera semejante a un
sistema solar, con electrones cargados negativamente
que efectúan órbitas en torno a un núcleo pesado, cargado positivamente. La fuerza eléctrica atractiva entre
los electrones negativos y el núcleo positivo mantiene
juntos los componentes del átomo, así como la atracción gravitatoria mantiene juntos los componentes del
sistema solar. Cuando un átomo tiene todos sus electrones, es eléctricamente neutro, es decir, su carga total es cero. Si se añaden o se quitan uno o más electrones, se dice que el átomo está ionizado.
Figura 5 .21 Modelo sencillo de átomo. Los electrones de carga negativa dan vueltas alrededor de un pequeño núcleo pesado bajo
la influencia de fuerzas eléctricas. El núcleo, que no está representado a escala, contiene dos clases de nucleones: los protones de carga positiva y los neutrones que son neutros.
109
Movimiento circular
Los componentes del núcleo pesado no fueron totalmente identificados hasta los años 1930. Estos componentes, cuya denominación común es nucleones, se
dividen en neutrones, o partículas sin carga, y protones, que son partículas cargadas positivamente. La carga del protón se representa mediante el símbolo e y es
exactamente igual al valor absoluto de la carga del electrón, -e. Un neutrón o un protón es aproximadamente unas 1800 veces más pesado que un electrón.
El radio nuclear típico es del orden de 10-14 m, algo
así como 10 000 veces menor que el de un átomo. Nos
podemos preguntar cómo un núcleo puede mantener
tan juntas muchas partículas positivas, los protones, si
se repelen entre ellos. La explicación se basa en la existencia de otra fuerza fundamental de la naturaleza que
no depende de la carga. Si dos protones se acercan uno
al otro, se repelen eléctricamente cada vez más hasta
que llegan a estar lo suficientemente cerca uno del otro
como para que la fuerza nuclear fuerte tenga efecto.
Esta fuerza supera la repulsión eléctrica y mantiene
1:1nidos los protones.
Los átomos se combinan de varias maneras, que dependen de las fuerzas eléctricas producidas por las cargas, para formar moléculas y objetos macroscópicos
que, en su estado normal, son eléctricamente neutros.
Así pues, los objetos corrientes no están en general cargados, pero su existencia y solidez depende de las cargas presentes en su estructura microscópica.
En la investigación fisica reciente se han descubierto dos hechos notables referentes a las cargas. Utilizando aceleradores de partículas se han producido
reacciones nucleares complejas en las que se crean y se
destruyen partículas. De este modo se han descubierto muchas partículas de vida corta que no se encuentran habitualmente en la materia. Cada una de estas
partículas tiene una carga eléctrica que es un múltiplo
entero exacto de la carga del electrón, O±é, ±2e... En estos últimos años se ha llegado a la com;lusión de que los
nucleones no son los objetos más elementales, sino que
son también estructuras compuestas de partículas llamadas quarks. Los quarks parecen poseer cargas que
son una fracción de la del electrón. Sin embargo, nunca
han sido observadas partículas con tales cargas fraccionarias. Así pues, por ahora parece que las cargas no
pueden existir si no es e·n unidades que sean múltiplos
de la del electrón.
La segunda observación es que cuando las partículas .se crean o ~e destruyen, la carga neta permanece
constante. Este hecho se conoce con el nombre de conservación de la carga. Por ejemplo, si se destruye una
carga positiva, se ha de destruir también la carga negativa, dejando invariante la carga total neta. Las razones
profundas de estas propiedades de la carga no se conocen.
I
Las cuatro fuerzas fundamentales
Además de fuerzas eléctricas, las cargas ejercen fuerzas
magnéticas entre sí, si se hallan en movimiento. Como
los objetos en reposo en un sistema de referencia se hallan en movimiento en otro sistema, resulta evidente
que las fuerzas eléctricas y magnéticas han de estar íntimamente relacionadas, y pueden verse como formas
de las fuerzas electromagnéticas. Las fuerzas electromagnéticas y las gravitatorias son dos de las fuerzas
fundamentales de la naturaleza, y las leyes de Newton
se les aplican de la misma manera. Se conocen un total
de cuatro fuerzas fundamentales. Las otras dos son la
fuerza nuclear fuerte, que acabamos de mencionar, y la
fuerza débil, responsable de la radiactividad de algunos
núcleos que pueden desintegrarse o transformarse en
otras especies nucleares. Se cree en la actualidad que las
fuerzas débiles y electromagnéticas pueden hallarse intrínsecamente relacionadas, .de modo que hay como
máximo tres fuerzas fundamentales verdaderas. En orden decreciente de intensidad, las fuerzas fundamentales entre partículas subatómicas son la fuerte, la electromagnética, la débil y la gravita,toria.
A diferencia de las fuerzas electromagnéticas y gravitatoria, las fuerzas fuertes y las débiles sólo actúan a
distancias comparables con las dimensiones nucleares.
A estas distancias tan pequeñas, las leyes de Newton
no se pueden aplicar sin modificaciones. Sin embargo,
muchos de los conceptos desarrollados en nuestra discusión de dichas leyes siguen siendo aplicables.
5 .6
I
LEY DE COULOMB
Los primeros estudios detallados sobre las fuerzas entre cargas fueron llevados a cabo en 1784 por Charles
Augustin de Coulomb (1736- 1806), quien halló que la
fuerza eléctrica, al igual que la fuerza gravitatoria, es
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Sin embargo, como hay dos tipos de carga, la fuerza puede ser atractiva o repulsiva.
Dos cargas puntuales, q1 y q2, ejercen entre sí fuerzas eléctricas iguales y de sentido opuesto. Si la distancia que va de q1 a q2 es r, entonces la fuerza que experimenta q1debida a q2 viene dada por la ley de Coulomb,
F 12
= kq1q2r
r2
(5.17)
11 O
Movimiento circular
CHARLES
AUGUSTIN
DE COULOMB
(1736-1806)
HENRY
CAVENDISH
(1731 - 1810)
(The Bettmann A rchive.)
(Radio T ime.o; H uhon Picturc Library.)
Aunque hoy es conocida como ley de Coulomb, la expresión de la fuerza electrostática entre dos cargas fue descubierta por primera vez por Henry Cavendish. Ello no
es sorprendente cuando se sabe algo de la curiosa personalidad de Cavendish.
Charles Augustin de Coulomb era un noble francés que empezó su carrera como
ingeniero-militar y poco a poco se fue interesando en la investigación científica. Al
empezar la Revolución Francesa se retiró prudentemente a la seguridad que le ofrecía una ciudad provinciana donde se concentró en sus experimentos. En 1777 se presentó a un premio ofrecido por la Academia Francesa de Ciencias para la mejora de
las brújulas magnéticas. Así halló que si se cuelga una aguja de brújula de un hilo
fino o de un cabello, el momento ejercido por la aguja es proporcional al ángulo que
ésta ha girado. Este principio de la balanza de torsión le permitió medir con precisión las fuerzas electrostáticas y descubrir la ley de las fuerzas. Sus resultados se publicaron de la manera normal, y se hizo famoso por este importante descubrimiento.
Desconocido por Coulomb, su contemporáneo inglés, Cavendish, ya había efectuado el mismo tipo de experimentos electrostáticos con una balanza de torsión. Cavendish era una persona extraordinariamente excéntrica: tímido, despistado y solitario hasta el punto de insistir en que le dejaran morir solo. Nunca completó sus estudios en Cambridge porque no podía resistir presentarse ante sus profesores en los
exámenes. Evitaba a la gente, sobre todo a las mujeres, tanto como podía.
Cavendish procedía de una familia_rica y nunca tuvo que preocuparse por el dinero. Dedicado a la investigación científica durante toda su vida, hizo muchos descubrimientos importantes. Sin embargo, publicó muy pocos de ellos y no le importaba en absoluto llegar a la fama por sus descubrimientos. En particular, sus investigaciones eléctricas anticiparon muchos descubrimientos de las décadas siguientes,
pero permanecieron inéditos hasta que James Clerk Maxwell examinó sus notas algunas décadas después de su muerte. Cavendish publicó algunos de sus primeros trabajos sobre las propiedades del hidrógeno, pero los experimentos en que descubrió
el gas inerte, actualmente denominado argón, permanecieron ignorados hasta que se
repitieron un siglo más tarde.
1 11
Movimiento circular
El experimento más importante llevado a cabo por Cavendish fue la medida de
la masa de la Tierra. Según la ley de Newton de la gravitación universal, se sigue que
la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra es g = GM¡IR/ , donde G
es la constante gravitatoria y Mr y Rr son la masa y el radio de la Tierra respectivamente. Como g y R r pueden medirse fácilmente, una determinación de G o de M r determina la otra magnitud. Cavendish utilizó una balanza de torsión para medir la pequeña fuerza gravitatoria ejercida por dos grandes esferas sobre dos esferas pequeñas situadas en los extremos de una barra giratoria. Con ello obtuvo un valor de G
y, por lo tanto, de la masa de la Tierra.
Aquí, res un vector unitario que apunta de q2 a q 1 y k
es una constante que se determina experimentalmente.
La unidad S.I. de carga es el culombio (C). En unidades S.I. se halla
k
= 9,0 X
109 N m2 C
2
(5. 18)
y que el valor de la carga de un protón o un electrón
es, en valor absoluto,
e = 1,60 X 10- 19 C
(5. 19)
El culombio es una unidad de carga muy grande. Por
ejemplo, según la ley de Coulomb, la fuerza entre un
par de cargas de 1 C que disten 1 m entre sí vale
F = (9 X 109 N m 2 c-2 ) (l C)(l C) = 9 X 109 N
(l m)2
¡Esto es aproximadamente un millón de toneladas! Por
consiguiente, casi nunca se encuentran cargas aisladas
tan grandes como un culombio.
El sentido de la fuerza eléctrica depende del signo
relativo de las cargas q 1 y q2 (Fig. 5.22). Si ambas cargas tienen el mismo signo (ambas positivas o negativas), entonces q 1q2 es positiva, de modo que F12 tiene
el mismo sentido que r y las cargas se repelen. Si las cargas tienen signos opuestos, una positiva y la otra negativa, entonces q1q2 es negativa; F12 tiene entonces el
(a)
sentido de -r y las cargas se atraen. En cada caso, se
cumple la tercera ley de Newton: la fuerza F21 sobre q2
debida a q 1 es igual a -F 12•
La ley de la fuerza gravitatoria (ver Capítulo 3)
puede escribirse en una forma vectorial análoga a la
Ec. 5.17 para la fuerza eléctrica. La fuerza gravitatoria
sobre una partícula de masa m1 debida a una partícula
de masa m2, es
De nuevo, res el vector unitario que se dirige de la partícula 2 hacia la partícula 1; el signo menos indica que
la fuerza se dirige hacia la partícula 2, es decir, que la
fuerza es atractiva. Puesto que ambas fuerzas, gravitatoria y eléctrica, varían como l/r2 , su cociente para
un par de partículas de carga y masa dadas es independiente de la distancia que las separa.
Los dos ejemplos siguientes ilustran algunas peculiaridades del átomo más simple, el de hidrógeno, constituido por un único electrón que gira alrededor de un
protón.
(bl
Figura 5 .22
(a) Cargas iguales, positivas o negativas, se repelen entre sí. (b) Cargas de distinto signo, positiva una y negativa otra,
se atraen mutuamente.
Figura 5 .23 Modelo sencillo de átomo de hidrógeno. Un electrón negativo describe una órbita circular alrededor de un protón positivo pesado.
Movimiento circular
112
Ejemplo S.11
En un modelo simple de átomo de hidrógeno normal
no perturbado, un electrón gira alrededor de un protón en una órbita circular de radio 5,29 X 10- 11 m. La
masa del protón es M= 1,67 X 10-27 kg y la masa del electrón, m = 9,11 X 10-31 kg (Fig. 5.23). ¿Cuáles son las fuerzas gravitatoria y eléctrica que el protón ejerce sobre el
electrón?
_Como el protón y el electrón tienen cargas opuestas,
+e y -e, la fuerza eléctrica es atractiva y su módulo es
ke2
r
Esta es una velocidad muy elevada; es aproximadamente
el 1 por ciento de la velocidad de la luz, 3 X 108 m s- 1•
Veremos luego que este modelo sencillo del átomo
de hidrógeno y su generalización para átomos con muchos electrones predice correctamente algunas, pero no
todas, las propiedades de los átomos. El fracaso de la
mecánica newtoniana en la explicación de muchos fenómenos atómicos llevó a principios de siglo a cambios
revolucionarios en nuestra visión del mundo de los niveles atómico y subatómico.
F=-2
(1 6 X 10-19 q2
(9 X 109 N m2 c-2) (5.~9 X 10-11 m)2
=
= 8,23 X 10-8 N
La fuerza gravitatoria también es atractiva; según vimos
en el capítulo tercero, su módulo es
F _ GmM
G -
r2
= (6,67 X 10- 11 N m2 kg-2)
X
(1,67 X 10- 27 kg)(9,l l X 10-31 kg)
(5,29 X 10-11 m) 2
= 3,63 X IQ-4
7
N
La comparación entre ambas fuerzas muestra que en esta
situación la fuerza eléctrica es unas 1039 veces más intensa que la fuerza gravitatoria. Así pues, en fisica atómica
la fuerza gravitatoria puede despreciarse totalmente.
Ejemplo S.12
Utilizando los números dados en el ejemplo anterior,
hallar la velocidad del electrón en el átomo de hidrógeno.
La aceleración centrípeta del electrón se produce
como resultado de la fuerza eléctrica, por lo cual la celeridad v satisface
RESUMEN
Un objeto en movimiento circular tiene una aceleración centrípeta a,= -(v2Ir) r dirigida hacia el centro
del círculo. Si su celeridad varía, tiene además una aceleración tangencial a7 en la dirección del movimiento.
La aceleración centrípeta viene producida por una
fuerza neta igual a una ma, que actúa sobre el objeto.
En una curva plana de una carretera, esta fuerza neta
es debida por completo al rozamiento, pero parte de
la misma puede ser debida a la fuerza normal en una
curva peraltada. Cuando un objeto describe rápidamente un círculo vertical, se necesita una fuerza hacia
abajo, además de su peso, para mantener la trayectoria del objeto.
La posición, velocidad y aceleración angulares describen convenientemente el movimiento rotacional de
un sólido rígido alrededor de un eje fijo . Sus definiciones y relaciones son análogas a las del movimiento rectilíneo de traslación y se resumen en las Tablas 5.1 y 5.2.
Cuando un sólido rígido forzado a girar respecto
a un eje fijo tiene un momento neto con respecto a dicho eje, su aceleración angular puede calcularse a partir de
-r
mv 2
ke2
-r-
=-;r
V=
-Jrñr
o
{ke2
Introduciendo en esta fórmula los valores numéricos del
ejemplo anterior,
v - [(9 X 109 N m2 c-2)(1,6 X 10-19 q2]112
(9,11 X 10- 31 kg)(5,29 X 10- 11 m)
= 2,19 x 106 m s- 1
= la
El momento de inercia I vale mr2 para una masa
puntual, de modo que es grande cuando la masa se halla
lejos del eje de rotación. Para un objeto CO!Jlplicado,
lo dividimos en muchas partes pequeñas y sumamos
las contribuciones mr2 individuales de cada parte.
Los átomos están compuestos por electrones de
carga negativa que dan vueltas alrededor de un núcleo
denso y positivo. Las cargas en reposo ejercen fuerzas
eléctricas entre sí, mientras las cargas en movimiento
ejercen también fuerzas magnéticas. Las fuerzas fundamentales conocidas son la fuerte, la electromagnética,
113
Movimiento circular
la débil y la gravitatoria, _en orden decreciente de intensidad.
La ley de Coulomb establece que la fuerza eléctrica
entre dos cargas es proporcional al producto de las cargas o inversamente proporcional al cuadrado de su distancia:
F
- kqlq2
r2
12 -
La fuerza es atractiva para cargas de distinto signo, y
es repulsiva para cargas del mismo signo. Las fuerzas
eléctricas mantienen los electrones en sus órbitas alrededor de los átomos.
Lista de repaso
Definir o explicar:
movimiento circular
uniforme
aceleración centrípeta
aceleración tangencial
radio de curvatura
curva peraltada
radián
posición, velocidad,
aceleración angulares
momento
momento de inercia
radio de giro
carga eléctrica
fuerza eléctrica
núcleo
modelo atómico
nucleones, protones,
neutrones
carga del electrón
quarks
conservación de la carga
fuerza magnética
fuerzas electromagnéticas
fuerza fuerte, débil
ley de Coulomb
CUESTIONES DE REPASO
Q 5-1 El movimiento en una trayectoria circular
con celeridad constante es ........ .
Q 5-2 Cuando un objeto se mueve en una trayectoria circular con celeridad constante, tiene una aceleración dirigida hacia........ .
Q 5-3 Sobre un objeto en movimiento circular uniforme debe actuar una fuerza neta dirigida hacia ........ .
Q 5-4 Un coche derrapa cuando la fuerza máxima
de rozamiento sobre una carretera plana es menor
que ........ .
Q 5-5 Si un objeto que se desplaza por un camino
circular cambia su celeridad, tiene una ......... igual
a la tasa de cambio de la celeridad.
Q 5-6 Una circunferencia completa son ......... radianes.
Q 5-7 La velocidad angular es la tasa de cambio de
......... , y está orientada a lo largo del... ..... .
Q 5-8 La aceleración angular es la tasa de cambio
de la........ .
Q 5-9 La aceleración angular de un sólido rígido alrededor de un eje fijo es proporcional... ..... .
Q 5-10 El momento de inercia de una masa puntual depende de su masa y de la........ .
Q 5-11 Para un objeto dado, el momento de inercia depende de la situación del ........ .
Q 5-12 Los átomos y moléculas mantienen su coherencia gracias a ........ .
Q 5-13 Los núcleos mantienen su coherencia gracias a ........ .
Q 5-14 Cargas iguales ......... , cargas de distir:to signo ........ .
Q 5-15 Un núcleo está constituido por dos tipos de
......... , los:........ y los ........ .
Q 5-16 Un núcleo es unas ......... veces menor que
un átomo.
Q 5-17 Los nucleones están formados por........ .
Q 5-18 Las cuatro fuerzas fundamentales son........ .
Q 5-19 La fuerza eléctrica entre dos cargas es inversamente proporcional. ....... .
EJERCICIOS
Sección 5.1
1
Aceleración centrípeta
5-1 Una chica corre sobre una pista circular de 100
m de radio a una celeridad de 8 m s· 1• ¿Cuál es su
aceleración?
5-2 Un chico va en bicicleta a 10 m s- 1 por una curva plana de·200 m de radio. (a) ¿Cuál es su aceleración? (b) Si el chico y la bicicleta tienen una masa
total de 70 kg, ¿qué fuerza se necesita para producir esta aceleración?
5-3 Un coche de carreras toma una curva a 60 m
1
s- • Si la fuerza necesaria para producir la aceleración centrípeta es igual al peso del coche, ¿cuál es
el radio de la curva?
5-4 Un hombre no lleva puesto el cinturón de seguridad en el coche, y tiende a deslizarse hacia la izquierda cuando el coche toma una curva hacia la derecha. ¿Existe alguna fuerza que empuja al hombre
hacia la izquierda? Explicarlo.
5-5 Las velocidades de las centrifugadoras están limitadas en parte por la solidez de los materiales usados en su construcción. Una centrifugadora hace girar a 60 000 rpm una muestra de 10 g (10-3 kg) en
114
Movimiento circular
un radio de 0,05 m. (a) ¿Qué fuerza ejerce la centrifugadora sobre la muestra? (b) ¿Cuál sería la masa
de la muestra en reposo con un peso igual a esta
fuerza?
5-6 Un niño está sentado a 4 m del centro de un tiovivo que da una vuelta completa cada 10 s. ¿Cuál
es la aceleración del niño?
5-7 Un caza a reacción que vuela a 500 m s·1 sale
de un picado en una trayectoria circular. ¿Cuál es
el radio de la trayectoria si el piloto está sometido
a una aceleración hacia arriba de 5g?
5-8 El radio de la órbita de la Tierra alrededor del
Sol es 1,5 X 108 km y su período 365 días. ¿Cuál es
la aceleración centrípeta de la Tierra?
5-9 Un piloto bien entrenado puede salir de un picado en una trayectoria circular con una aceleración hacia arriba de 5,5g en la parte inferior de la
trayectoria. Un piloto no entrenado puede efectuar
la misma maniobra con la misma velocidad pero
con una aceleración de sólo 3g. ¿Cuál es la razón
del radio mínimo de las trayectorias en que pueden
volar los dos pilotos?
5-10 Una centrifugadora utilizada para experimentar la tolerancia humana a la aceleración tiene la cabina a una distancia de 16 m del eje vertical de rotación. ¿Qué celeridad se necesita para producir una
aceleración horizontal de 1lg?
5-11 Un coche recorre una curva plana de 0,25 km
de radio. El coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y la carretera es 0,4. ¿A qué velocidad empezará el coche a derrapar?
5-12 Una mujer de 60 kg corre en una pista circular plana de 200 m de radio a 6 m s·1• (a) ¿Cuál es
su aceleración? (b) ¿Qué fuerza produce su aceleración? (c) ¿Cuánto vale esta fuerza?
5-13 Demuéstrese que v2lr tiene dimensiones de
aceleración.
Sección 5.2
1
Ejemplos de movimiento circular
5-14 ¿Con qué ángulo tendría que estar peraltada
la pista del Ejercicio 5-12 para que no hubiera necesidad de fuerza de rozamiento?
5-15 Un coche de carreras toma una curva de 4000
pies de radio. Si la fuerza de rozamiento es cero y
la celeridad es 200 pie s· 1, ¿cuál es el ángulo de peralte de la curva?
5-16 Una pista curvada tiene un radio de 336 m y
un peralte de 35º. ¿A qué celeridad la fuerza de rozamiento es nula?
5-17 ¿Por qué no es seguro conducir a bajas velocidades por una curva muy peraltada en un día húmedo?
5-18 Una golondrina describe un arco horizontal
de 15 m de radio a 18 m s·1 • (a) ¿Cuál es su aceleración? (b) ¿Cuál es su ángulo de peralte?
5-19 Una curva está peraltada de manera que no se
requiere fuerza de rozamiento cuando se toma a 60
km h- 1• Si un coche va a 40 km h - t por la curva, ¿en
qué dirección la carretera ejerce la fuerza de rozamiento?
5-20 Un aeroplano asciende y vuelve a caer describiendo un arco de círculo de radio R. Si su celeridad es 400 m s· 1, ¿con qué radio experimentará el piloto la ingravidez en la parte superior del arco?
5-21 Una muestra gira en una ultracentrifugadora
de manera que su peso efectivo es 105 veces su peso
normal. Si la muestra se encuentra en un radio de
0,05 m, ¿cuántas revoluciones por minuto efectúa
la máquina?
5-22 Un pájaro de peso w vuela a 15 m s· 1 en un círculo horizontal de 15 m de radio. ¿Cuál es el peso
efectivo del pájaro?
5-23 Una noria de un parque de atracciones de 16 m
de radio gira uniformemente una vez cada 20 s. (a)
¿Cuál es la aceleración centrípeta? (b) ¿Cuál es el
peso efectivo de·un pasajero de 45 kg en el punto más
alto de su trayectoria¿ (c) ¿Cuál es el peso efectivo
del pasajero en el punto más bajo de su trayectoria?
Sección 5.3
1
Variables angulares
5-24 Un punto de una rueda de bicicleta se desplaza s = 1 m. Si dicho punto se halla a 0,4 m del eje
de la rueda, ¿cuánto vale el ángulo girado (a) en radianes; (b) en grados?
5-25 A continuación se dan varios ángulos en radianes. Hallar sus valores correspondientes en grados, y dibujar sus coordenadas angulares sobre circircunferencias como en la Fig. 5.13. (a) O= 1Tl3 rad;
(b) O= 31T/4 rad; (c) O= 91T/4 rad.
Figura 5.24
Ejercicio 5-26.
11 5
Movimiento circular
(a)
(b)
Figura 5 . 25
Las flechas indican el sentido de giro de la esfera
alrededor de un eje vertical. Ejercicios 5-27 y 5-28.
5-26 La Fig. 5.24 muestra un triángulo rectángulo
con dos de sus ángulos indicados. (a) Hallar ambos
ángulos en radianes. (b) La suma de los ángulos internos de un triángulo vale 180º. Hallar el tercer ángulo de la Fig. 5.24 en radianes.
5-27 La Fig. 5.25 muestra una esfera que gira sobre un eje vertical ¿Cuál es la dirección de la velocidad angular en (a) y en (b)?
5-28 Si la esfera de la Fig. 5.25a gira con velocidad
angular constante. ¿Cuál es la dirección y el valor
de w si el desplazamiento angular es (a) rr radianes
en 0,4 s; (b) 270º en 0,6 s?
5-29 Un ciclista cruza frente a nosotros de izquierda a derecha. Si su celeridad es 5 m s- 1• (a) ¿Cuál es
la dirección y el módulo de la velocidad angular de
una de sus ruedas, de 0,4 m de radio? (b) El ciclista está aumentando su velocidad al pasar frente a
nosotros, de forma que su aceleración vale 1 m s-2 •
¿Cuál es la aceleración angular de una rueda?
5-30 (a) Hallar la aceleración radial en el borde de
un disco de 0,15 m de radio que gira a 78 rev min- 1•
(b) El disco se detiene con aceleración angular uniforme en 2 s. Hallar la aceleración tangencial y la angular en su borde.
5-31 Una ultracentrifugadora produce una aceleración radial 300 000 veces la aceleración de la gravedad a una distancia de 0,05 m del eje de rotación.
¿Cuál es la velocidad angular de este punto en radianes por segundo y en revoluciones por minuto?
5-32 La rtieda de una noria en un parque de atracciones describe un círculo vertical cada 20 s. Su radio mide 10 m. (a) ¿Cuál es su velocidad angular en
radianes por segundo? (b) ¿Cuál es la aceleración radial de un pasajero?
5-33 Los púlsares son objetos astronómicos que gi- ·
ran hasta una vez cada 0,03 s. A partir de los datos
de la Tabla 3.2, determinar si se trata de (a) estrellas ordinarias como nuestro Sol, (b) enanas blancas, (c) estrellas de neutrones.
5-34 Supóngase que una rueda tiene una velocidad
1
angular inicial de wo = 10 rad s- • Su aceleración an2
gular es de 2,5 rad s- en sentido opuesto a wo. (a)
Cuánto tardará la rueda en detenerse? (b) ¿Qué ángulo ha descrito la rueda en este intervalo?
5-35 Un coche acelera uniformemente desde el reposo hasta 20 m s- 1 en 15 s. Sus ruedas tienen un radio de 0,3 m. (a) ¿Cuál es la velocidad angular final
de las ruedas? (b) ¿Cuál es la aceleración angular?
(e) ¿Cuál es su desplazamiento angular durante este
intervalo de 15 s?
5-36 El cigüeñal de un motor de automóvil gira a
700 revoluciones por minuto. Se aprieta el acelerador y en 6 s su velocidad aumenta hasta 3500 rev
min- 1• (a) Hallar la velocidad inicial y final en rad
s- 1• (b) Hallar la aceleración angular media. (c) Suponiendo aceleración angular constante, hallar el
desplazamiento angular durante el período de aceleración de 6 s. (d) Hallar la aceleración tangencial
de un punto del cigüeñal que se encuentra a 0,2 m de
su eje.
Sección 5.4 1 Momento, movimiento angular y momento de inercia
5-37 Una rueda de bicicleta tiene una masa de 2 kg
y un radio de 0,35 m ¿Cuál es su momento de inercia?
5-38 Dos ruedas de masa m cada una tienen un radio
R. La rueda A es un disco uniforme en tanto que la
B tiene casi toda su masa concentrada en su borde.
Hallar la razón de los momentos de inercia 18 / IA5-39 Hallar el radio de giro de una barra de longitud / pivotada sobre un eje que pasa por su centro.
5-40 ¿Cuál es el radio de giro de una cáscara esférica de radio R que gira alrededor de un eje que pasa
por su centro?
5-41 Una rueda de moler, formada por un disco de
grosor uniforme, tiene 0,08 m de radio y 2 kg de
masa. (a) ¿Cuál es su momento de inercia? (b) ¿Qué
momento se necesitaría para acelerarle del reposo
hasta 120 rad s-i en 8 s?
5-42 Considerando la Tierra como una esfera uniforme, calcúlese su momento de inercia respecto de
un eje que pasa por su centro. (El radio medio de
116
Movimiento circular
Sección 5.6
1
Ley de Coulomb
5-49 Un kilogramo de hidrógeno molecular contie-
m,
Figura 5.26
Ejercicios 5-43 y 5-44.
6
la Tierra es 6,38 X 10 m. Su masa total es 5,98 X
1024 kg).
5-43 Dos masas m1 y m2 cuelgan de una polea de
masa M (Fig. 5.26). Esta es un cilindro sólido de radio R y gira sin rozamiento. ¿Cuál es la aceleración
tangencial de la rueda si M = m2 y m 1 = -½- m2?
5-44 Dos masas m, y m2 cuelgan de una polea de
masa M sin rozamiento. Si toda la masa de la polea está prácticamente concentrada en su pared exterior, y M = 2m2 = 3 mi, hallar la aceleración de
m 1 y de m 2 •
.
ne 3,O 1 X 1026 moléculas, cada una de las cuales consiste en dos átomos de hidrógeno. (a)¿Cuál es la carga total de electrones en 1 kg de hidrógeno? (b) ¿Cuál
es la carga total de los protones? (c) Si se extrajeran
todos los electrones y se colocaran a 1 m de distancia
de los protones, ¿cuál sería la fuerza eléctrica entre
ellos?
5-50 La separación mínima entre dos protones en
un núcleo es de unos 10· 15 m. (a) Hallar la fuerza eléctrica entre dos protones a esta distancia. (b) Hallar
la razón de esta fuerza a la fuerza entre un protón
y un electrón separados 10· 10 m.
5-51 Un cristal de sal común está formado por iones Na\ a los que falta un electrón, y iones cr, que
tienen un electrón en exceso. ¿Cuál es la fuerza entre un ion Na+ y un ion cr separados 5 X 10· 10 m?
5-52 En un modelo sencillo del átomo normal de hidrógeno, el radio de la órbita electrónica circular es
5,29 X 10· 11 m y la celeridad del electrón 2,19 X 106
1
m s- • Hallar (a) la aceleración del electrón y (b) el
número de órbitas que describe por segundo.
PROBLEMAS
Sección 5.5
tales
1
Cargas eléctricas; fuerzas fundamen-
5-45 Se puede proporcionar a los objetos una carga eléctrica neta por frotamiento, tal como puede
observar la gente que anda sobre alfombras de lana
en tiempo seco. ¿Cuántos electrones se han de transferir para proporcionar a un objeto una carga neta
de+ 10°6 C? Los electrones, ¿se han de añadir al objeto o se han de quitar de él?
23
5-46 Un gramo de hidrógeno contiene unos 6 X 10
electrones en los átomos. ¿Qué fracción de los electrones se ha de quitar de la muestra para conferirle
una carga neta de 10· 3 C?
5-47 Dos cargas idénticas situadas a 0,1 m de distancia la una de la otra ejercen fuerzas eléctricas mutuas de 10 N. (a) ¿Cuánto vale cada una de estas cargas? (b) Hallar la razón de esta carga a la carga del
electrón.
5-48 Los protones de los rayos cósmicos llegan a la
parte superior de la atmósfera a un ritmo medio de
1500 protones por metro cuadrado y por segundo.
¿Qué carga eléctrica recibe la Tierra en un día? (El
radio de la Tierra es 6,4 x 106 m.)
5-53 Un coche recorre una curva de 100 m de radio y peraltada a 20° a una celeridad tal que no se necesita el rozamiento. (a) ¿Cuál es la celeridad delcoche? (b) Encontrar la razón de la fuerza normal al
peso.
*5-54 Un coche de peso w recorre una curva de 200
m de radio con un peralte de 10º . (a) ¿A qué celeridad no se requiere rozamiento? (b) ¿Qué fuerza de
rozamiento se necesita si el coche viaja a 5 m s-• más
deprisa que dicha celeridad?
*5-55 Una curva de 300 m de radio tiene un peralte
de 10º . (a) ¿A qué celeridad no se requiere rozamiento? (b) Si el coeficiente de rozamiento es 0,8, ¿cuál
es la celeridad máxima y la mínima con que se puede tomar la curva?
5-56 Un pájaro de 0,3 kg describe en su vuelo una
curva horizontal de 20 m de radio a 15 m s- 1• (a)
¿Cuál es su ángulo de peralte? (b) ¿Cuál es la fuerza de sustentación ejercida por el aire sobre el pájaro?
5-57 El radio de la Tierra es 6400 km y gira sobre
su eje una vez cada 24 h. (a) ¿Cuál es la aceleración
centrípeta en el ecuador? (b) Si un hombre pesa
117
Movimiento circular
700 Nen el Polo Norte, ¿cuál es su peso efectivo en
el ecuador? (c) En realidad, la Tierra no es totalmente esférica, sino que está ligeramente achatada
en los polos y abombada en el ecuador. ¿Qué efecto
cualitativo tendra esto en la respuesta de la parte
(b)?
5-58 Una piedra de 2 kg está atada a una cuerda ligera de I m de longitud y se le hace girar en un círculo horizontal. La cuerda forma un ángulo de 30º
con la horizontal. (a) ¿Cuál es la tensión de la cuerda? (b) ¿Cuál es la celeridad de la piedra?
5-59 Un avión que vuela a 400 m s·• puede experimentar dentro de los límites de seguridad una aceleración de-8g cuando toma una curva. ¿Cuánto tardará el avión en girar 180º?
5-60 En una carrera olímpica de bobsleigh, un trineo
describe un giro horizontal a 120 km h -•, sometiendo a sus tripulantes a un peso efectivo 5 veces mayor que el habitual. ¿Cuánto vale el radio de giro?
5-61 Una noria de un parque de atracciones hace girar a sus ocupantes en un círculo vertical a celeridad constante. En el punto más alto del círculo, los
ocupantes tienen un peso efectivo d irigido hacia
arriba y de módulo dos veces igual al peso habitual,
w. (a) ¿Cuál será su peso efectivo en el punto más
· bajo del círculo? (b) ¿Cuál es su peso efectivo a medio camino del círculo?
5-62 En el centro de un disco de radio R se practica un orificio circular de radio 0,4R. Calcular el momento de inercia de la pieza resultante si su masa,
repartida uniformemente es m.
*5-63 Una rueda de radio R tiene un grosor a desde
r =0 ar= R/ 2, y 2adesde r = R/2 ar= R. Sisu densidad es p, ¿cuál es su momento de inercia?
5-64 Una persona se halla de pie sobre la Tierra en
un punto a medio camino entre el ecuador y el polo
Norte. Hallar la velocidad en m s· • debido a la rotación diaria de la Tierra. (El radio de la Tierra vale
6
6,38 X 10 m.)
5-65 Una rueda de afilar tiene un grosor uniforme,
una masa de 3 kg y un radio de 10 cm. Inicialmente
se muevé a 2400 revoluciones por minuto. Se aprieta
una herramienta contra la rueda con una fuerza
normal de 10 N. Si el coeficiente de rozamiento es 0,7
y si no actúa ningún ótro elemento. sobre la rueda,
¿cuánto tardará ésta en detenerse?
5-66 Un bloque de 10 kg de masa se halla en reposo sobre una superficie horizontal. El coeficiente de
rozamiento cinético vale 0,1. Una cuerda horizon-
2a
+q ---- --2a -
Figura 5.27
2a
--- +q
Problema 5-69 (b).
tal sin masa atada a dicho bloque pasa por una polea sin fricción y en su extremo se cuelga un bloque
de 20 kg de masa. Al soltarlo, el sistema se mueve 2 m
en I s. ¿Cuál es la masa de la polea si es un cilindro
macizo?
5-67 Bloques de 10 kg y 30 kg de masa cuelgan a
cada lado de una polea de los extremos de una cuerda sin masa. La polea tiene una masa de 3 kg, un radio de 0,1 m y un radio de giro de 0,08 m. Si el sistema tiene una aceleración de 3 m s· 2 • ¿Qué momento ejercen las fuerzas de rozamiento en los cojinetes
de la polea?
5-68 Entre los centros de dos bolas de plomo de 5
kg de masa hay una distancia de 1 m. (a) Un átomo de plomo tiene una masa de 3,44 X 10·25 kg.
¿Cuántos átomos hay en cada bola? (b) Si cada átomo tiene 82 electrones. ¿Qué fracción de electrones
debería transferirse de una bola a la otra para que
sus atracciones gravitatoria y electrostática fueran
iguales? (Despréciese la masa de los electrones
transferidos.)
5-69 Dos cargas positivas idénticas q están a una
distancia 2a una de la otra. (a) Si una tercerá carga
positiva Q se coloca a medio camino entre ambas.
¿Cuál es la fuerza neta sobre Q? (b) Si la carga secoloca a distancia 2a de cada una de las anteriores,
como en la Fig. 5.27, hallar el módulo y la dirección de la fuerza neta que actúa sobre ella.
5-70 Cargas positivas q y 2q están separadas una
distancia d. ¿Dónde podemos colocar una tercera
carga de modo que las fuerzas debidas a las dos anteriores se anulen?
RESPUESTA A LAS CUESTIONES DE REPASO
Q 5-1, un movimiento circular uniforme; Q 5-2, el
centro del círculo; Q 5-3, el centro del círculo; Q 5-4,
mv 2/r; Q 5-5, aceleración tangencial; Q 5-6, 2rr;
Q 5-7, la posición angular, eje de rotación; Q 5-8, la
Movimiento circular
118
velocidad angular; Q S-9, al momento neto con respecto a dicho eje; Q 5-10, posición del eje de rotación; Q 5-11, eje de rotación; Q 5-12, las fuerzas
eléctricas; Q 5-13, las fuerzas nucleares fuertes;
Q 5-14, se repelen, se atraen; Q 5-15, nucleones, protones, neutrones; Q 5-16, 10 000; Q 5-17, quarks;
Q 5-18, fuertes, electromagnéticas, débiles, gravitatorias; Q 5-19, al cuadrado de la distancia.
TEMAS SUPLEMENTARIOS
5.7
1
SATÉLITES; MAREAS
El gran triunfo de Newton fue su demostración de que
con las leyes del movimiento y la ley universal de la gravitación, podía comprenderse con detalle el movimiento de los planetas alrededor del Sol y el de la Luna alrededor de la Tierra. Además, pudo utilizar estas leyes
para explicar cualitativamente las mareas.
Podemos investigar los factores que intervienen en
el movimiento de los satélites si consideramos un satélite artificial en órbita circular alrededor de la Tierra.
Al igual que un cubo de agua que gira en un círculo vertical, el satélite tiene una aceleración hacia la Tierra debida a la gravedad. Esta cayendo lo suficientemente rápido pa,ra permanecer en dicha órbita (Fig. 5.28). Podemos encontrar una fórmula que relacione el radio
de la órbita r y el período T, que es el tiempo necesario
para recorrer una órbita completa.
Si la masa del satélite es m y la masa de la Tierra
es Mr, la fuerza gravitatoria que se ejerce sobre el satélite es, GmMT/r2• Como F = ma,, tenemos
2
GmMr _ mv
----,z-- -, -
En el período T, el satélite recorre una distancia 21rr,
por lo cual su celeridad es v = 21rr/T, y la ecuación precedente puede escribirse
m {2'l r)
-GmM
,-2- --;:
r
2
7
Despejando
_
r encontramos la relación entre T y r,
y2
= Cr3
(5.20)
donde la constante C es
4rr2
C= - -
M7G
(5.21)
Figura 5 .28 Cohetes situados en P con sus motores apagados
experimentan una aceleración gravitatoria hacia la Tierra. La trae
yectoria (a) corresponde a un cohete sin velocidad inicial, el cual cae
en línea recta. Cuando al cohete se le da una velocidad inicial v0 cada
vez mayor en la dirección representada en la figura, las trayectorias
varían en la forma indicada por (b), (e) y asi sucesivamente. La trayectoria (e) es una órbita circular cerrada que corresponde a un satélite terrestre artificial. Si la velocidad inicial es aún mayor, el cohete escapará de la Tierra (/). Obsérvese que el cohete está siempre
cayendo, exactamente como Jo hace una piedra que se lanza. En órbita circular se mueve paralelamente a la superficie lo suficientemente rápido como para que su caída lo mantenga alrededor de la Tierra.
Obsérvese que Ces independiente de la masa m del satélite. Así pues, el movimiento de la Luna y de todos
los satélites artificiales de la Tierra satisfarán la ecua= Cr3 con el mismo valor de C.
ción
La relación = Cr3 también es válida para los planetas que describen órbitas aproximadamente circulares alrededor del Sol. (En este caso, M r de la constante C debe ser sustituida por la masa solar y r por el radio medio de la órbita.) Esta fue una de las tres leyes
del movimiento de los planetas descubiertas por Kepler a principios del siglo XVII a partir del análisis preciso de las observaciones hechas por investigadores an-·
teriores. Newton demostró que las tres leyes pueden deducirse utilizando la ley d~ la gravitación universal y
las ecuaciones del movimiento.
En el ejemplo siguiente calculamos el radio de la órbita de un satélite de comunicaciones que tiene un pe-
r
r
119
Movimiento circular
ríodo exactamente de 1 día y por consiguiente siempre
está en la vertical del mismo punto de la Tierra.
Ejemplo S.13
La Luna tiene un periodo Ti de 27,3 días y una órbita
de radio ri = 3,84 X I05 km.¿Cuál es el radio r, de la órbita
de un satélite que tiene un período T, de 1 día?
Podemos aplicar
Cr3 tanto para el satélite artificial como para la Luna:
r=
T,2 = Cr,3
T/=Cr/
Si dividimos estas ecuaciones miembro a miembro se simplifican las C y queda
T,2
T2
i
o
'• = r [ T ]213 = (3.84 X
~
= 4.24 X 10 km
1•
-•
3
r
= -;r•
L
105 km)
[
J día
,
V)d~
]21s
4
El movimiento del satélite natural de la Tierra, la
Luna, proporcionó otra comprobación de las ideas de
Newton. Su aceleración, aL = v2lr, puede calcularse a
partir dt: su período y de su distancia a la Tierra. A partir de la dependencia en l/r2 de la fuerza gravitatoria
y del valor de g en la superficie de la Tierra, se puede
predecir también la aceleración gravitatoriag' en la órbita de la Luna. Newton halló una buena concordancia entre aL y g' (véase el Problema 5-78).
Mareas I Newton dio la primera explicación de
los intervalos entre pleamares consecutivas, y evaluó su
altura típica. Su explicación hace intervenir una sutil interacción entre las fuerzas gravitatorias y el movimiento circular.
Imaginemos que inicialmente la Tierra y la Luna
se hallan aisladas del Sol, y que están en reposo, sin contar la rotación diaria de la Tierra. La fuerza gravitatoria
ejercida por la Luna sobre el agua que cubre la mayopr
parte de la superficie terrestre la atrae hacia el lado
donde se halla la Luna, produciendo una protuberancia
(Fig. 5.29a). A medida que la Tierra gira, una región
dada de la Tierra encontrará la protuberancia una vez
al día, produciendo una pleamar, y una bajamar doce
horas más tarde.
Sin embargo, hay aproximadamente dos pleamares
y dos bajamares al día. Newton advirtió que ello ocurre
porque tanto la Tierra como la_Luna se hallan ambas
en movimiento en trayectorias casi circulares alrededor de su centro de masas común bajo la influencia de
su atracción gravitatoria. (Este efecto no es muy obvio,
ya que la masa de la Tierra es unas ochenta veces mayor
que la de la Luna, y por consiguiente describe un círculo
mucho menor). El agua más lejana al centro de masas
tiene la máxima aceleración centrípeta, alr, pero en
aquel punto la atracción de la Luna es mínima. Por
consiguiente, el peso efectivo del agua en dicho lado se
reduce y tiene lugar en él, una segunda protuberancia
(Fig. 5.29b).
Este razonamiento sugiere que debería tener lugar una
Eje de
rotación
de la tierra
o
Luna
C.M.
Luna
(al
Figura 5. 29
{/>)
(a) La Luna y la Tierra, no representadas a escala. Si el único movimiento de
ambas fuera la rotación diaria de la Tierra, el agua sería atraída hacia el lado de la Tierra más
próximo a la Luna. (b) La Tierra y la Luna se mueven en órbitas aproximadamente circulares
(perpendiculares a la página) alrededor de su centro de masa común, C.M. El agua más alejada
del C.M. tiene la máxima aceleración centripeta, pero la mínima atracción debida a la Luna. El
peso efectivo de dicha agua queda reducido.
120
Movimiento circular
pleamar cada 12 horas. En realidad, tiene lugar cada
12 horas y 25 minutos ya que la posición de la Luna va
cambiando a medida que la Tierra gira. La atracción
gravitacional del Sol también interviene en las mareas,
pero su contribución es menos de la mitad de la de la
Luna. Cuando el S_o l y la Luna se hallan en línea recta
en luna llena o luna nueva, tienen lugar pleamares más
acusadas que la media. Cuando sus direcciones respectivas forman un ángulo recto (en cuarto creciente o
cuarto menguante) las mareas son menores que la media.
Los argumentos de Newton pueden desarrollarse
cuantitativamente y predicen que el nivel del agua subiría y bajaría aproximadamente 0,5 m en una Tierra
totalmente cubierta por el agua. Ello es más o menos lo
que se observa en alta mar. Sin embargo, cerca de los
continentes, los efectos de las diversas profundidades y
de las bahías en las que el agua tiende a resonar como el
agua que oscila en una bañera, pueden dar lugar amareas mucho más acusadas. La comprensión cuantitativa de las mareas sigue siendo un problema dificil y
no completamente resuelto.
5.8 I EFECTOS FISIOLÓGICOS DE
LA ACELERACIO~
Con la aparición de la aviación de alta velocidad y,
más recientemente, de los viajes espaciales, ha surgido
un considerable trabajo de investigación de las reacciones fisiológicas de los seres humanos frente a la aceleración. En la Tabla 5.4 se dan algunas aceleraciones
representativas con sus tiempos de duración.
La mayoría de nosotros hemos experimentado aceleraciones verticales moderadas en los ascensores rápidos. Los efectos que sentimos están relacionados con
el hecho de que la mayor parte de nuestro cuerpo, pero
no todo, es prácticainente rígido. La sangre circula en
vasos dilatables, de manera que cuando el cuerpo es
acelerado hacia arriba, la sangre se acumula en la parte inferior del cuerpo. Cuando la aceleración es hacia
abajo, aumenta el volumen de sangre en la parte superior del cuerpo. A su vez, los órganos internos del
cuerpo no se mantienen rígidamente en su sitio y su desplazamiento durante la aceleración puede producir
sensaciones desagradables.
TABLAS.4
Duración aproximada y valor de algunas aceleraciones cortas en múltiplos
de la aceleración gravitatoria, g = 9,8 m s-2
Tipo de aceleración
Ascensores
De servicio rápido
Límite de confort
Parada de emergencia
Automóviles
Parada confortable
Muy desagradable
Máximo posible
Choque (posible supervivencia)
Aviones
Despegue normal
Despegue catapultado
Aterrizar con choque (posible supervivencia)
Eyecc~ón de un asiento
Seres humanos
Apertura paracaídas
Aterrizaje en paracaídas
Caída en una malla de bombero
Aceleración en
múltiplos de g
0,1- 0,2
0,3
2,5
Duración
(segundos)
1- 5
0,25
0,45
0,70
20- 100
5-8
3- 5
0,5
2,5-6
20-100
10- 20
1.5
10-15
025
8- 33
3-4
20
3
0.1
Q,2-0.5
0,1 -0.2
0, 1
Adaptado de D. E. Goldman y H. E. von Gierke en Harris & Crede (eds), Shock and Vibration
Handbook, McGraw-Hill, New YOrk, 1961, Capít_u lo 44.
Movimiento circular
La capacidad de una persona para soportar una
aceleración depende tanto del valor como de la duración de la aceleración. Debido a la inercia de la sangre y de los órganos dilatables, los efectos que sobre
ellos tienen las aceleraciones moderadas (unas poca·s
g) son poco importantes si la aceleración sólo dura una
pequeña fracción de segundo. El límite de tolerancia
es, pues, algunas decenas de g y depende de la resistencia estructural de las vértebras. A medida que el tiempo de duración aumenta, también aumentan los peligros.
Se han hecho estudios detallados de las perturbaciones en la circulación de pilotos sometidos a aceleraciones que duran algunos segundos o más. Al salir
de un picado, los pilotos de un avión pueden experimentar durante varios segundos dos tipos sucesivos de·
desvanecimientos. Primero ocurre una pérdida de la visión cuando la aceleración es de unos 3g, y se debe a
una reducción de la presión de la sangre en la retina,
que es muy sensible a la falta de oxígeno. La presión
de la sangre disminuye porque el corazón tiene dificultades para bombear una sangre cuyo peso efectivo ha
aumentado. Modificando la postura del piloto, entrenándolo a poner en tensión sus músculos abdominales y equipándolo con un traje de vuelo que reduzca la
acumulación de la sangre en la parte inferior del cuerpo, el umbral para la pérdida de visión puede aumentarse hasta unos 5g. Por otra parte, la reducción del suministro de oxígeno al cerebro lleva a un desvanecimiento o inconsciencia total a unos 6g. Como muchos
aviones de gran potencia pueden llegar a los 9g al salir de un picado, los límites de tolerancia humana pueden sobrepasarse con facilidad.
Cuando un avión sube y a continuación da vueltas
en posición invertida, tanto el piloto como el avión resultan mis susceptibles de lo que son en el punto más
bajo de un picado. Una acumulación de sangre en íos
vasos de la cabeza provoca una reducción de la actividad cardíaca y por lo tanto reduce el suministro de oxígeno a la retina y al cerebro. .En general, los aviones no
están diseñados para soportar en esta maniobra esfuerzos tan altos como en un picado, de modo que sólo serán estructuralmente seguros con esfuerzos poco superiores a g. En el ejemplo siguiente se proporciona una
ilustración del peso efectivo hacia arriba que se alcanza
en algunas maniobras.
Ejemplo 5.14
Un avión de masa m vuela a una celeridad de 300 m
s-• en un circulo vertical (Fig. 5.30). ¿Cuál es el radio mí-
121
✓l~s
= - w'
(a)
Figura 5 .30
bre el avión.
(b)
S es la fuerza hacia abajo ejercida por el aire so-
nimo del círculo para que el peso efectivo hacia arriba no
sobrepase 3mg?
Como el peso efectivo w'se dirige ahora hacia arriba
y su módulo vale 3mg, w'= -3mg. Según la Ec. 5.6, w'
= mg· - ma, de modo que
-3mg = mg- ma
o a = 4g. La aceleración es aquí la aceleración centrípeta, por lo cual tenemos
vz
-=4g
r
Así pues, el radio que nos producirá un peso efectivo hacia arriba de 3mg es
v2
(300 m s- 1)2
r - - - ---= 2300 m
- 4g - 4(9,8 m s-2)
Un radio menor producirá un peso efectivo mayor.
5 .9
I PERCEPCIÓN SENSORIAL DEL
MOVIMIENTO ANGULAR
Si se vendan los ojos de una persona y se la sienta en
una silla que pueda girar sin rozamiento, se observan
los siguientes resultados:
1 Si la silla se gira 90º en el sentido de las agujas
del reloj y se para, la persona puede identificar
el sentido del giro y el frenado. Si se invierte el
sentido del giro, los resultados son equivalentes.
2 Si la silla se acelera rápidamente y la rotación se
mantiene, la persona puede identificar correctamente el sentido de giro durante los 20 primeros
segundos. Después de este período, las respuestas son inciertas.
_3 Si después de 30 s la velocidad de la silla dismi-
122
Movimiento circular
Nervio auditivo
Endolinfa
Cóclea
Oído
medio
Trompa de
Eustaquio
Figura 5.31
Una vista esquemática del oído derecho de un ser
humano. Los tres canales semicirculares mutuamente perpendiculares funcionan como indicadores de rotaciones alrededor de los tres
ejes perpendiculares en el espacio.
nuye, la persona indica en general que el movimiento ha cesado.
4 Si la silla se detiene del todo, la persona percibe
en general una rotación en sentido opuesto.
Para interpretar estos resultados hemos de examinar la estructura del oído interno que se compone de
dos partes (Fig. 5.31). Una parte, la cóclea, contiene
los elementos auditivos. La otra parte está formada
por tres canales semicirculares cuya función principal
no es la audición, sino la detección de los movimieq.,_tos de la cabeza.
·
La estructura de uno de los canales semicirculares
se muestra en la Fig. 5.32. El canal contiene un fluidc
acuoso denominado endolinfa y tiene una protuberancia parecida a una puerta giratoria, llamada cúpula,
que percibe el movimiento relativo del fluido. Para entender el funcionamiento del canal, considérese lo que
le ocurre a un recipiente lleno de agua, colgado de una
cuerda, cuando se le hace girar. (Fig. 5.33.) El agua
está inicialmente en reposo 'f permanece en reposo
cuando el recipiente empieza a girar, ya que la fuerza de
rozamiento entre la pared y el agua es pequeña. Sin embargo, el momento resultante de esta fuerza incrementa
gradualmente la velocidad angular del agua y, pasados
unos segundos, el agua gira con la misma velocidad angular del recipiente. Si se para bruscamente el recipiente, el agua continúa girando durante un tiempo. El movimiento relativo del agua y del recipiente es ahora
opuesto al que había cuando el recipiente empezó su
movimiento.
Figura 5 .32 Un canal semicircular de un ser humano. La endolinfa es un fluido que puede circular alrededor del canal. La ampolla es una protuberancia en la que se proyecta la cúpula. La cúpula puede bloquear todo el canal, pero es elástica y se dobla cuando el fluido se mueve. Cuando la cúpula es empujada a un lado por
el fluido que circula, el nervio sensorial detecta este movimiento y
la información es transmitida al cerebro.
En el oído interno, la endolinfa tarda un segundo
en empezar a moverse con la misma velocidad que el
canal, aproximadamente, por lo cual la cúpula es desviada por este movimiento relativo del fluido. Esta desviación es detectada por el nervio y la información se
transmite al cerebro. Cuando el canal, el fluido y la cúpula giran todos a la misma velocidad, la cúpula empieza a volver a su posición normal. Sin embargo, la
Wcubo> O
Wcubo= O
000
(a)
Figura 5 .33
(b)
(e)
(a) Se hace girar un cubo de agua, con ésta inicialmente en reposo. (Pequeños trozos de papel sobre la superficie
hacen fácilmente visible el movimiento.) El agua permanece casi en
reposo unos cuantos segundos y el cubo se mueve en el sentido de
las agujas del reloj con respecto al agua. (b) Pasado un rato los momentos de fricción han aumentado la velocidad angular del agua y
ésta posee la misma velocidad angular que el cubo. (e) Cuando el
cubo se detiene el agua continúa moviéndose durante algún tiempo
hasta que se frena por los momentos de fricción. Con respecto al
agua, el cubo se mueve ahora en sentido contrario a las agujas del reloj.
123
Movimiento circular
fuerza elástica que actúa sobre ella es tan pequeña que
tarda unos 20 s para llegar de nuevo a su posición inicial. La rotación se percibe durante unos 20 s, pero después el oído ya no puede detectar la rotación.
Si se reduce ahora la velocidad de giro, la velocidad del canal disminuye mientras el fluido sigue moviéndose por un instante a una velocidad superior. Así
pues, la cúpula se desvía en la dirección opuesta y el individuo percibe un cambio en el sentido de giro. Si esta
rotación más lenta prosigue durante 20 s, la cúpula
vuelve una vez más a su posición normal y de nuevo
el individuo deja de notar el movimiento. Finalmente,
si la rotación cesa, la cúpula se desvía de nuevo y el individuo percibe una rotación de sentido opuesto al de
la rotación original.
Si se somete un individuo a esta serie de experiencias pero sin vendarle los ojos, éstos no miran directamente los objetos del exterior que les van pasando por
delante. Por el contrario, los ojos se fijan brevemente
en un objeto dado, luego se fijan en otro y así sucesivamente. Este fenóineno se denomina reflejo nistagmus. Los ojos continúan saltando de un objeto a otro
mientras el nervio sensorial detecta inclinaciones de la
cúpula. Cuando la cúpula recupera su posición normal, cesa la acción refleja de los ojos y el individuo, si
no está suficientemente entrenado, desliza la vista de
forma continua sobre los sucesivos objetos circundantes. Entonces se pierde el equilibrio.
Cuando cesa el giro, la cúpula se desvía de nuevo
y vuelve a actuar el reflejo nistagmus, ahora en sentido opuesto. Los objetos en reposo parece que se muevan y que luego vuelvan de nuevo atrás. Los músculos de posición intentan responder a movimientos
inexistentes y sobreviene el tambaleo.
5.1 O I DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DE LA ACELERACIÓN
RADIAL
En la Fig. 5.34, un objeto recorre con celeridad constante v un camino circular de radio r. El vector de posición r es el vector que va desde el centro del círculo
hasta el objeto en un instante t; v es el vector velocidad en este mismo instante. Ambos vectores son constantes en módulo pero no en dirección. Cuando el objeto da una vuelta entera, el vector de posición describe todo el círculo, así como el vector velocidad. Así
pues, el vector de posición r y el vector velocidad v giran con el mismo ritmo y sus variaciones relativas en
Figura 5 .34
El vector velocidad v y el vector de posición r giran al mismo ritmo, de modo que el ángulo Oes el mismo en ambos
triángulos. Al ser semejantes los triángulos se tiene t:nlv = lk/r.
cada instante han de ser las mismas. Supongamos, por
ejemplo, que en un breve intervalo de tiempo t:..t, la velocidad cambia en t:..v y la posición en t:..r (Fig. 5.34).
Debemos pues tener
~ lóv 1= ; lór 1
(Esta ecuación se puede obtener también utilizando
triángulos semejantes, como demuestra la Fig. 5.34.)
Dividiendo por t:..t,
~
!; = !
1
1
1 ~: 1
Esto muestra que la variación de v con respect9 a v es
la misma que la de la variación de r con respecto a r.
Si t:..t es muy pequeño, entonces t:..v/ t:..t es la aceleración a, y t:..rlt:..t es la velocidad v. Obtenemos así
Multiplicando por v obtenemos el resultado deseado,
2
a,= v /r.
EJERCICIOS SOBRE LOS TEMAS
SUPLEMENTARIOS
Sección 5. 7
1
Satélites
5-71 Un satélite artificial terrestre describe una ór-
bita circular cuyo radio es 1/4 del de la órbita de la
124
Luna. ¿Cuál es su período?
5-72 Un satélite artificial ha de colocarse en órbita
alrededor del Sol de manera que su período sea 8
años terrestres. Por definición, el radio de una órbita de la Tierra es 1 unidad astronómica (U.A.).
¿Cuál es el radio de la órbita del satélite en U.A.?
5-73 La distancia entre el Sol y la Tierra es de l
U.A. ¿Cuál es la duración de un «año» en un planeta situado a 9 U.A. del Sol?
5-74 La distancia media de Marte hasta el Sol es
1,524 veces la distancia de la Tierra al Sol. ¿Cuánto tarda Marte en describir una vuelta alrededor del
Sol?
5-75 A partir de los datos de la contracubierta, hallar el tiempo que un satélite artificial necesitaría
para dar una vuelta al Sol en una órbita cuyo radio
fuera dos veces el radio del Sol.
5-76 El período de la órbita de la Luna alrededor de
la Tierra es de 27,3 días, y su distancia media es 3,84
8
X 10 m. A partir de estos datos, evaluar la masa de
la Tierra.
5-77 La teoría de Newton de las mareas predice que
la diferencia de nivel de los océanos entre marea
alta y marea baja debe ser h = 3GMR/12gr3, donde G es la constante de la gravitación, M la masa
de la Luna, R rel radio medio de la Tierra, g la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra
y ria distancia Tierra-Luna. A partir de los datos numéricos de la contracubierta posterior, evalúese h.
PROBLEMAS SOBRE LOS TEMAS
SUPLEMENTARIOS
5-78 El radio de la órbita de la Luna es 3,84 X 105
km, y su período es de 27,3 días. (a) Encontrar su
aceleración ªL· (b) La aceleración gravitatoria en la
superficie de la Tierra, que está situada a 6400 km
Movimiento circular
de su centro, es g = 9,8 m s·2 • Utilizando la dependencia de 1/r de la ley de la fuerza gravitatoria,
¿qué aceleración gravitatoria g cabe esperar en el radio de la órbita de la Luna? (c) Comparar g y ªL•
(Ésta fue una de las comprobaciones originales de
Newton de la ley de la gravitación universal.)
5-79 Supongamos que la fuerza gravitatoria fuera
proporcional a l/r3 en lugar de 1/r. ¿Cuál sería la
relación entre el período de un planeta y el radio de
su órbita? Comparar este resultado con la relación
obtenida = Cr3•
r
Lecturas adicionales
D. E. Goldman and H. E. von Gierke, en Cyril M. Harris
and Charles E. Crede ( eds), Shock and vibration handbook,
McGraw-Hill Book Co., Nueva York, 1961, cap. 44. Efectos de choques y vibraciones sobre los seres humanos.
Otto Glasser (ed), Medica/ Physics, vol. 1, The Year Book Publishers, Inc., Chicago 1944, p. 22. Efectos de la aceleración.
J . L. E. D reyer, Tycho Brahe: A picture of scientific lije and
work in the sixteenth century, Dover Publications, loe.,
Nueva York, 1963. Brahe y sus observaciones de los movimientos planetarios.
Artículos del Scientijic American
J. W. Beams, Ultrahigh-speed rotation, Abril 1961, p. 134.
Terence A. Rogers, The physiological effects of acceleration,
Febrero 1962, p. 60.
Gerald Feinberg, Ordinary matter, Mayo 1967, p. 126.
Thomas C. Van Vlandern, Is gravity getting weaker?, Febrero 1976, p. 44.
Richard P. Post and Stephen F . Post, Fly wheels, Diciembre
1973, p. 17.
Curtis Wilson, How did Kepler discover his first two laws?,
Marzo 1972, p. 92.
UNIDAD 2
Jonathan Rawle/ Stock Boston.
TEMAS
ADICIONALES
DE MECÁNICA
Los principios descritos en la Unidad 1 forman la base
del análisis de todos los problemas de la mecánica. En
particúlar, las leyes de Newton del movimiento nos dicen cómo se han de utilizar las fuerzas que actúan sobre los objetos para predecir su movimiento. Sin embargo, hay muchos tipos de problemas para los cuales
es dificil o poco conveniente utilizar directamente las
leyes de Newton. Por ejemplo, es dificil determinar todas las fuerzas cuando un esquiador desciende por una
pendiente irregular, cuando dos objetos chocan o
cuando un patinador empieza a girar rápidamente. Sin
embargo, existen maneras'convenientes de tratar estos
problemas, basadas en leyes de conservación.
En el primer capítulo de esta unidad se define trabajo y energía, y se demuestra que el trabajo realizado
sobre un objeto es igual a la variación de su energía.
Cuándo no se realiza trabajo, la energía permanece
constante y se dice que se conserva. En tal situación, si
se conoce la energía inicial de un objeto -o de un sistema de objetos- se puede llegar inmediatamente a diversas conclusiones sobre su estado de movimiento en
algún instante posterior, aunque se carezca de información detallada sobr,e las fuerzas presentes.
En el Capítulo 7 se estudia el fmpetu y el momento
angular. Cuando sobre el sistema no actúa una fuerza
neta, su ímpetu o momento lineal se conserva, y cuando
no actúa un momento neto, se conserva su momento
angular. Estas leyes de conservación permiten analizar
parcial o totalmente algunos problemas de aspecto muy
difícil. Por ejemplo, el ímpetu se conserva en colisiones
entre dos objetos -dos coches, una raqueta y una pelota, dos cuerpos astronómicos- en que las fuerzas exte127
128
Unidad 2
riores debidas a otros objetos sean nulas, o despreciables en comparación con las fuerzas muy grandes que
los objetos en colisión ejercen entre sí. Análogamente,
el hecho de que el momento angular de un patinador,
un saltador o un gimnasta se conserva en ciertas maniobras o ejercicios ayuda a explicar lo que pueden o no
realizar.
A diferencia de los sólidos rígidos idealizados utilizados como ilustración de los principios de la mecánica, los objetos reales pueden deformarse significativamente o incluso romperse si se les somete a fuerzas
o momentos. En el Capítulo 8 vemos cómo la fuerza
sobre un objeto depende de su tamaño, forma y composición. Los materiales de construcción, los huesos y los
árboles constituyen ejemplos claros de la importancia
de estas cuestiones.
El capítulo final de esta unidad aplica las leyes de
Newton del movimiento a las oscilaciones y vibraciones mecánicas. A partir de un conocimiento de las fuerzas, podemos saber si puede presentarse movimiento
vibracional y predecir su frecuencia. Las características generales de este tipo de movimiento son usualmente muy parecidas, tanto si se trata de las oscilaciones de las moléculas de un sólido alrededor de sus posiciones de equilibrio, como de las vibraciones de las
cuerdas vocales humanas al producir sonidos o a las
de una tela de araña que vibra al debatirse en ella algún insecto.
Con esta unidad concluye nuestro desarrollo formal de la mecánica, pero no es de ninguna manera el fin
de su utilidad para nosotros. A través de este texto haremos uso explícito o implícito de los principios de la
mecánica. Como estas dos primeras unidades se basan
prácticamente del todo en las leyes de Newton, el campo general de aplicación de la mecánica es tan amplio
como variadas las fuerzas que aparecen en la naturaleza. Incluso en nuestro análisis de los átomos y moléculas, en donde las leyes de Newton fallan, muchos de los
principios que ya hemos discutido sobreviven aún. En
particular, las leyes de conservación permanecerán
como conceptos de validez universal.
CAPÍTULO
6
TRABAJO,
ENERGÍA YPOTENCIA
;Trabajo, energía y potencia son palabras que en la vida
cotidiana tienen una gran variedad de significados. Sin
embargo, para el científico estos términos tienen definiciones muy específicas. En este capítulo consideramos estas definiciones y las relaciones entre el trabajo
y los distintos tipos de energía de los sistemas mecánicos. Aunque estas relaciones se obtienen de las leyes
de Newton, pueden a menudo utilizarse cuando las
fuerzas no se conocen o cuando el sistema es tan complicado que la aplicación directa de las leyes de Newton ofrece dificultades insuperables.
Este capítulo también nos proporciona nuestro primer contacto con una ley de conservación. Hallamos
que bajo ci!rtas condiciones la energía mecánica de un
sistema es constante y se dice entonces que se conserva. Ello proporciona una herramienta muy importante para la comprensión y la resolución de ciertos problemas mecánicos.
Sin embargo, sabemos en la actualidad que una ley
de conservación mucho más amplia es válida en ia naturaleza. Si calculamos la energía total -mecánica,
eléctrica, térmica y otras- esta energía total es constante, aunque no se conserve cada una de ellas por separado. Lo que se observa en la naturaleza es un intercambio de energía de un tipo a otro, manteniéndose
constante su suma. Esta ley de conservación de la energía total se llegó a comprender en su totalidad cuando
Einstein demostró que masa y energía son dos formas
de la misma magnitud. Así se vio que no sólo la energía
puede pasar de una forma a otra, sino que también
puede ·convertirse en masa o viceversa.
La energía es un concepto que juega un papel clave en una enorme gama de aplicaciones. Los procesos
biológicos, el clima, la evolución de los sistemas astronómicos, las reacciones químicas, todos ellos se hallan restringidos por el hecho de la conservación de la
energía y por las limitaciones sobre cómo la energía
puede ser utilizada y transformada. Algunas de estas limitaciones se consideran en el Capítulo 11, donde estudiamos la energía térmica, que es la energía asociada con los movimientos de las moléculas de un cuerpo.
Además, cada vez somos más conscientes de la importancia de la energía en nuestra sociedad tecnológica.
Veremos que los principios básicos desarrollados en
este capítulo nos pueden ayudar a comprender las posibilidades y dificultades asociadas con las alternativas de nuestras decrecientes reservas de combustibles
fósiles.
6.1
TRABAJO
En esta sección definimos el trabajo efectuado por una
fuerza sobre un objeto y mostramos cómo calcularlo.
En las secciones siguientes se verá claramente que el
concepto de trabajo juega un papel fundamental en el
análisis de muchos problemas mecánicos.
Supongamos que un objeto es desplazado una distancias, y que una fuerza F que actúa sobre él tiene una
componente constante F, a lo largo des (Fig. 6.1 ). Entonces el trabajo efectuado por la fuerza se define como
el producto de la componente de la fuerza por el módulo del desplazamiento.
W = F,s
(6.1)
129
130
Trabajo, energía y potencia
Figura 6.1
El trabajo
efectuado por la fuerza F durante un desplazamiento s es W = F, s.
Figura 6.2 La componente de F a lo largo de s es
F, =F cos 8. El trabajo
es entonces W = Fs cos 8.
f
~
~
~
~
(<1)
Si F forma un ángulo Ocon s, como en la Fig. 6.2, entonces F, = F cos Oy el trabajo puede escribirse como
W=Fscos O
(6.2)
La unidad S.I. de trabajo es eljulio (J). Como el
trabajo tiene dimensiones de fuerza multiplicada por
distancia, un julio es un newton-metro.
Obsérvese que nuestra definición de trabajo difiere en cierta manera de su significado habitual. De
acuerdo con la Ec. 6.2, hacemos el doble de trabajo al
empujar un objeto sobre el suelo al doblar su peso o
la distancia recorrida. Esto es coherente con la noción
cotidiana de trabajo. Sin embargo, esto no es así si permanecemos en un sitio sosteniendo una carga pesada.
Creeremos entonces que estamos efectuando un duro
trabajo, pero como no hay desplazamiento, concluimos que no se hace ningún trabajo sobre el peso.
Sin embargo, se hace trabajo en el cuerpo ya que
los impulsos nerviosos inducen repetidamente contracciones de las fibras musculares. A diferencia de un hueso o de un poste de acero, una fibra muscular no puede sostener una carga estáticamente. Por el contrario,
debe relajarse y contraerse repetidamente, haciendo
trabajo en cada contracción. No somos conscientes de
este proceso debido al gran número de fibras musculares y a la rapidez de las contracciones.
En los siguientes ejemplos veremos cómo se puede
calcular el trabajo hecho por una fuerza que actúa sobre un objeto.
Ejemplo 6.1
Un hombre aplica una fuerza de 600 N sobre un mueble y lo desplaza 2 m. Encontrar el trabajo que se hace si
la fuerza y el desplazamiento son: (a) paralelos; (b) forman ángulo recto; (c) sus direcciones son opuestas (Fig.
6.3).
~
i....!-.
~
~
~
lb)
(1'}
Figura 6 .3 Se aplica una fuerza (a) paralelamente al movimiento, (b) perpendicularmente al movimiento y (e) en sentido opuesto
al movimiento. En cada uno de los casos el trabajo efectuado por la
fuerza F es diferente. En (e) podemos imaginar que el muelle está
siendo frenado y llevado al reposo. En (a) el hombre realiza trabajo
sobre el mueble, en (b) no realiza trabajo alguno y en (e) el mueble
realiza trabajo sobre el hombre.
(a) Cuando F y s son paralelos, cos 8 = cos Oº = 1 y
W =Fs cos 8 =(600 N)(2 m)(l) = 1200 J
El hombre efectúa un trabajo de 1200 J sobre el mueble.
Como F es paralelo a s, F, =F y obtenemos el mismo resultado que al utilizar W = F, s.
(b) Cuando F es perpendicular a s, cos 8 = cos 90° =
Oy W = O. Por tanto, si la fuerza es perpendicular al desplazamiento no se efectúa trabajo.
(c) Cuando F y s tienen sentidos opuestos, cos 8 = cos
180° = - 1 y
W=Fs cos 8 = (600 N)(2 m)( -1) = -1200 J
En este caso el trabajo efectuado por la fuerza es negativo y, por lo tanto, el objeto está efectuando trabajo sobre
el hombre. Obsérvese que aquí F es opuesta a s, de modo
queF,= -F.
Ejemplo 6.2
Un caballo arrastra una barcaza a lo largo de un canal mediante una cuerda cuya tensión es de 1000 N (Fig.
6.4). La cuerda forma un ángulo de 1Oº con el camino del
caballo y la dirección de la barcaza. (a) ¿Cuánto trabajo
efectúa el caballo al arrastrar la barcaza 100 m contra
corriente a velocidad constante? (b) ¿Cuáles la fuerza neta
sobre la barcaza?
(a) El trabajo efectuado por la fuerza constante Tal
mover la barcaza una distancia s viene dado por
W= Tscos 8
Trabajo, energía y potencia
(a)
131
(b )
Figura 6.4 (a) Caballo tirando de una barcaza a velocidad
constante. (b) La tensión en la cuerda es T.
donde 8 es el ángulo entre Ty s. Utilizando cos 10º = 0,985,
W= (1000 N)(lO0 m)(0,985) = 9,85 X 104 J
(b) Como la barcaza se desplaza a velocidad constante, la suma de todas las fuerzas debe ser nula. Ha de haber una fuerza que actúe sobre ella y que no aparece en
la Fig. 6.4, una fuerza ejercida por el agua sobre la barcaza, que es igual y opuesta a T.
En este ejemplo, el trabajo neto efectuado por todas
las fuerzas que actúan sobre la barcaza es cero, ya que la
fuerza neta es nula. El trabajo realizado por la fuerza debida al agua es -9,85 X 104 J . En otras palabras, la bar_caza realiza un trabajo de 9,85 X 104 J sobre el agua.
En la ecuación en que hemos definido el trabajo,
W
= F,s = Fs cos 8, hemos supuesto que la fuerza F era
constante. En muchas situaciones esto sólo es, como
máximo, una aproximación. Si la fuerza varía en módulo y dirección con respecto al desplazamiento, el procedimiento correcto es considerar el trabajo hecho en
una serie de pequeños desplazamientos sucesivos. En
cada desplazamiento, calculamos t..W = F,s, donde F,
es la fuerza media en esta parte del movimiento. La
suma de todos estos pequeños términos nos da el trabajo total realizado.
En este libro no necesitaremos calcular tales sumas.
Sin embargo, utilizaremos un método gráfico para calcular el trabajo. Observemos que si representamos grá-
F
,• F
cob
ficamente una fuerza constante F, en función de s para
un movimiento dado, entonces el área rectangular bajo
la curva es el producto F,s (Fig. 6.5). Esto es igual al trabajo efectuado por la fuerza. Este resultado tiene una
validez general: el área comprendida bajo la gráfica de
F, en fimrión de s para cualquier movimiento es el trabajo realizado.
Hay otro punto que debe ser observado al calcular
el trabajo total o neto realizado sobre un objeto. Si sobre éste actúan varias fuerzas, podemos hallar su suma
vectorial y calcular a continuación el trabajo realizado por esta fuerza neta. Alternativamente, sé puede calcular el trabajo realizado por cada una de las fuerzas
y sumar los escalares resultantes. Ambos procedimientos llevan al mismo resultado.
6.2
1
ENERGÍA CINÉTICA
La energía cinética de un objeto es la medida del trabajo que un objeto puede realizar en virtud de su movimiento. Como demostraremos a continuación, la
energía cinética de traslación de un objeto de masa m
y velocidad ves mv1.
.
El trabajo realizado sobre un objeto y su energía cinética se relacionan mediante el siguiente principio
fundamental:
+
La energía cinética final de un objeto es igual a su
energía cinética inicial más el trabajo total realizado sobre él por todas las fuerzas que actúan sobre él.
Este principio de trabajo-energía puede deducirse
de forma general a partir de las leyes de Newton del movimiento. Sin embargo, resulta más instructivo para
nuestros propósitos plantearnos esta cuestión en una
situación sencilla.
Consideremos un objeto de masa m sometido a una
fuerza constante F (Fig. 6.6). El objeto se desplaza una
distancias paralela a F. Como su aceleración a= Flm
es constante, la velocidad inicial v0 y la velocidad final
v satisfacen las fórmulas del movimiento con acelera-
vo
V
.,,-- - - - -/ ,,
/
/
f--- -
- --(
/
/
1
1
1
1//
1
1
)
/
L _____ _¡,
Desplazamiento
Figura 6.5 El área bajo la curva es el trabajo realizado por la
fuerza constante F que actúa a lo largo del desplazamiento s.
Figura 6 .6 Una fuerza F realiza trabajo sobre un objeto cuando éste se desplaza una dis~ancia s. La velocidad varía de v0 a v.
132
Trabajo, energfa y potencia
ción constante del Capítulo l. En la tabla de la contra2
cubierta ( o en la Tabla 1.3) tenemos que v =vl + 2a s.
Al multiplicar por m/2, esta expresión se convierte en
(6.3)
Haciendo uso de la segunda ley de Newton, F =ma,
el trabajo realizado por la fuerza Fes W = Fs =mas,
que es el último término de la Ec. 6.3. La enegía cinética
final E, y la inicial E,. vienen definidas por
y
E"•
= 12 mvO2
Ejemplo 6.3
Una mujer empuja un cochecito de juguete, inicialmente en reposo, hacia un nifio ejerciendo una fuerza horizontal constante F de 5 Na lo largo de 1 m (Fig. 6.7a). (a)
¿Cuánto trabajo se hace sobre el cochecito? (b) ¿Cuál es su
energía cinética final? (c) Si el cochecito tiene una masa de
0,1 kg, ¿cuál es su velocidad final? (Considerar que las
fuerzas de rozamiento no realizan trabajo.)
(a) La fuerza que la mujer ejerce sobre el cochecito es
paralela al desplazamiento, de manera que el trabajo que
ella realiza sobre el juguete e's
(6.4)
W=Fs= (5 N)(l m) = 5 J
Por lo tanto, la Ec. 6.3 puede escribirse
E, = E,, + W
(6.5)
De aquí que la energía cinética final del objeto sea igual
a su energía cinética inicial más el trabajo realizado sobre él. O~sérvese que trabajo y energía cinética tienen
las mismas dimensiones y unidades.
Una consecuencia de la Ec. 6.5 es que, si se realiza
trabajo sobre un objeto, su energía cinética aumenta.
Inversamente, si un objeto produce trabajo sobre un
agente externo, su energía cinética disminuye. Esto se
pone de manifiesto cuando se considera el trabajo que
se hace sobre una persona que frena o detiene un objeto en movimiento. Los siguientes ejemplos deberían
servir para aclarar estas ideas.
(b) La energía cinética inicial E, es cero, por lo tanto la
energía cinética final del cochecito•es
E, = E,, + W = O + (5 J) = 5 J
(c) La energía cinética final es E,=
U
= /2E,m, =
y-;;;
½mv2, de modo que
(2)(5 J) - 10
-1
0, 1 kg ms
Ejemplo 6.4
En el ejemplo anterior, la mujer suelta el cochecito de
juguete cuando éste tiene una energía cinética de 5 J. Se
desplaza por el suelo y llega al nifio, que lo para ejerciendo una fuerza constante F' opuesta a su movimiento. El
cochecito recorre 0,25 m hasta pararse. Hallar F' (Fig.
6.7b) si las fuerzas de rozamiento no efectúan trabajo sobre el juguete.
Mientras el cochecito se mueve hacia el nifio, no se
hace trabajo sobre él y su energía cinética permanece igual
a 5 J hasta llegar al nifio. La energía cinética inicial Ec
es 5 J y la energía cinética final es cero, ya que el coch;
se detiene, por lo tanto
W = E, - E,, = O- 5 J = - 5 J
(a)
s'
....
F'
..........--
~
(b)
Como F' es opuesta as', el trabajo efectuado es W= -F's'.
Así
~
Figura 6.7
(a) Una mujer empuja un cochecito de juguete hacia la derecha, ejerciendo sobre éste una fuerza horizontal F que es
· paralela a su desplazamiento s. (b) Un niño al parar el cochecito ejerce sobre él una fuerza F' en sentido opuesto al desplazamiento t del
coche cuando se lleva éste al reposo.
F' = _ W =
s'
( - 5 J)
- (0,25 m)
= 20 N
=
El signo negativo del trabajo realizado, W -5 J, indica que el coche efectúa.trabajo sobre el niño. Estos dos
ejemplos muestran que el trabajo positivo realizado sobre un objeto le confiere energía cinética, que permanece
disponible para realizar trabajo, como en este caso ocurre
con el nifio.
Trabajo, energía y potencia
6.3
1
ENERGIA POTENCIAL Y
FUERZAS CONSERVATIVAS
La relación trabajo-energía de la sección precedente incluye el trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre el objeto. Sin embargo, cuando las fuerzas
gravitatorias realizan trabajo, resulta útil tratarlas por
separado, y referirse a las otras fuerzas que actúan sobre el objeto como juerzas aplicadas, a falta de mejor
nombre. Veremos que el trabajo realizado por la gravedad sobre el objeto puede tenerse en cuenta automáticamente mediante la introducción de otra forma de
energía denominada energía potencial. Las fuerzas que
pueden describirse de esta manera se llaman fuerzas
conservativas. La condición que una fuerza debe satisfacer para ser conservativa se estudia al final de esta sección.
Para introducir~os en el concepto de energía potencial gravitatoria, supongamos que se lanza una bola
verticalmente hacia arriba. Su velocidad va disminuyendo a medida que asciende. Desde el punto de vista
de este capítulo, la fuerza de la gravedad mg realiza trabajo negativo, ya que su sentido es opuesto al del desplazamiento, y, de acuerdo con ello, la energía cinética va disminuyendo. Una vez que la bola empieza a descender, la fuerza de la gravedad efectúa la misma cantidad de trabajo, esta vez positivo, y la energía cinética recupera su valor inicial cuando la bola llega de nuevo al punto de partida.
Alternativamente, se puede considerar que la bola
ascendente va perdiendo energía cinética y ganando energía potencial. Dicha energía potencial se convierte de
nuevo en energía cinética cuando la bola cae. En general, la energía potencial es la energía asociada con
la posición o la configuración de un sistema mecánico. La energía potencial se puede convertir, al menos
en principio, en energía cinética o se puede utilizar para
efectuar trabajo.
Demos ahora a estas ideas forma cuantitativa. En la
Fig. 6.8a, una bola asciende desde una altura inicial ho
a una altura h. La fuerza gravitatoria mg tiene sentido
opuesto al desplazamientos= h - h0 , por lo cual el trabajo que realiza es negativo
W(grav) = - mg(h - h0 )
Sin embargo, según hemos visto, la energía potencial aumenta en esta situación, y la variación de ener-
133
gía potencial au = U - U 0 es positiva. El valor de au
es por definición, igual al del trabajo W(grav), cambiado de signo, de modo que
U - U 0 = - W(grav)
(6.6)
A partir de la expresión para W(grav), la Ec. (6.6) se
convierte en
U - U0 = mg(h - h0)
(6.7)
Este resultado para la variación de la energía potencial hace intervenir en cada miembro una diferencia de
dos términos, y sugiere definir la propia energía potencial en h y en h0 , respectivamente, como
U=mgh
y
Uo=mgho
(6.8)
Como es fácil ver, estas definiciones no especifican
de forma unívoca las energías potenciales, pero son,
no obstante, muy útiles.
Por el principio trabajo-energía, E,= E,, + W(grav)
= E, - (U - Uo), de manera que tenemos el importante
resuitado
E, + U = E,. + Uo
(W. = O)
(6.9)
La notación W. = O nos recuerda que el trabajo realizado por las fuerzas aplicadas es nulo; sólo la fuerza
gravitatoria efectúa trabajo. La suma de la energía cinética más la energía potencial se. denomina energía
mecánica total
E=E,+ U
(6.10)
Así pues, la Ec. (6:9) significa .que cuando las fuerzas
aplicadas no realizan ningún trabajo, la energía mecánica
total se mantiene constante, es decir, se conserva.
Si también las fuerzas aplicadas realizan trabajo
W,, la Ec. 6.9 se debe generalizar para incluirlo. Tenemos entonces
E, + U
= E,. + Uo + W.
(6. 11)
o bien
E = Eo+ W.
(6.12)
La energía mecánica final E = E, + U es igual a la
energía mecánica inicial Eo +E,,+ Uomás el trabajo-realizadO por las fuerzas aplicadas.
Al interpretar estos resultados deben tenerse en
.:uenta diversos puntos. En primer lugar, hemos con-
134
Trabajo, energía y potencia
el
1
__ .J.. __ "º
1
1
w =mg
tu)
(/, )
Figura 6.8 (a) Una bola asciende una distancias = h - '10 • La
fuerza de la gravedad realiza un trabajo W(grav) = - mg(h - '10). (b)
Un bloque se desliza por un plano inclinado. La componente de w
en la dirección des es w, = - mg cos IJ , por lo cual W (grav) = -mgs
cos 0. Como s cos 0 = h - '10, obtenemos nuevamente W(grav) =
- mg(h - '10).
siderado una bola que se movía verticalmente hacia
arriba. Sin embargo, aun cuando un objeto describa
una trayectoria más complicada, el trabajo realizado
por la fuerza gravitatoria sigue siendo -mg (h - h0 ),
de manera que la variación de energía potencial au =
U - U 0 sólo depende de la diferencia de alturas. Ello
se verifica, por ejemplo, en la Fig. 6.8b para un objeto
que se mueve a lo largo de un plano inclinado.
En segundo lugar, supongamos que se miden las alturas con respecto a otro nivel de referencia, de modo
que h y ho cambian en una misma cantidad. Entonces
au =mg(h-ho) sigue siendo el mismo, a un cuando U y
U0 hayan cambiado. Por ello, podemos medir alturas
con respecto a cualquier nivel de referencia que nos resulte más conveniente: el suelo, el terrado de un edificio
o el que sea.
En tercer lugar, si un objeto sube demasiado, la
fuerza gravitatoria no es constante y mgh ya no es la
forma apropiada de la energía potencial. No obstante,
el cambio de energía potencial se sigue definiendo
como el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad
cambiado de signo, tal como en la Ec. 6.6. Una definición semejante de au se aplica también a otras fuerzas
conservativas. Consideraremos estos puntos posteriormente en este capítulo.
Finalmente, se debe recordar que E = Eo + w. es
tan sólo una forma más del principio original trabajoenergía, E, = E,, + W, donde W incluye el trabajo realizado por todas las fuerzas. En E = Eo + W. , el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad sigue estando presente, pero se distingue ahora del trabajo W. realizado por las otras fuerzas «aplicadas» y se toma en
consideración a través de la energía potencial.
El siguiente ejemplo pone de manifiesto cómo puede utilizarse la conservación de la energía para resolver un problema que de otro modo sería muy difícil.
Ejemplo 6.5
Una chica desciende esquiando una colina de 20 m de
altura (Fig. 6.9). Si se supone que ha partido del reposo
y que el rozamiento es despreciable, ¿cuál es su velocidad
al llegar al pie de la colina?
Las fuerzas que actúan sobre la esquiadora son su
peso y la fuerza normal debida al suelo. Los efectos del
peso (fuerza gravitatoria) están contenidos en la energía
potencial y la fuerza normal no realiza trabajo ya que es
perpendicular al desplazamiento. Así pues, no hay trabajo realizado por fuerzas aplicadas y la energía total E =
Ec + U es constante.
Como podemos escoger arbitrariamente el nivel de referencia para la energía potencial, tomamos el pie de la colina como nivel en que U = O. La energía cinética en la
cumbre es Eco= O, ya que parte del reposo; su energía po-
T
d= 20m
l ________
(a)
(b)
Figura 6 .9 Las fuerzas sobre la esquiadora son una fuerza normal N y el peso w = mg.
Trabajo, energía y potencia
135
e
Los efectos de cualquier fuerza conservativa pueden
describirse siempre mediante un término apropiado de
energía potencial.
~___...L.~
_¿__j
l...L..
mg
B
A
Figura 6.1 O El trabajo realizado por la gravedad es el mismo
para los caminos ABC y AC. Siempre que el trabajo efectuado por
una fuerza sea el mismo para todos los caminos, se dice que la fuerza es conservativa, y sus efectos pueden incluirse en la energia potencial.
tencial en este punto es U0 = mgd. La energía cinética final al pie de la colina es Ec = mil y su energía potencia final es U= O. Por lo tanto, Ec + U = Ec0 + U0, se convierte en
+
Su velocidad v al pie de la colina vale entonces
v=
y2gd =
= 19,8 m s-
v'2(9,8 m s- 2)(20 m)
1
Este ejemplo muestra la ventaja de la conservación
de la energía para resolver problemas de mecánica. No
podemos utilizar la ecuación F = ma directamente a no
ser que conozcamos con toda exactitud la forma de la
pendiente de modo que podamos calcular la fuerza en
cada punto. Incluso si la conociéramos el cálculo resultaría dificil. La conservación de la energía nos da
de forma inmediata la velocidad a cualquier altura.
Fuerzas conservativas I La fuerza gravitatoria tiene la interesante propiedad de que cuando un objeto se mueve de un punto a otro, el trabajo realizado
por esta fuerza no depende del camino recorrido. Por
ejemplo, en la Fig. 6.1O, el trabajo efectuado por la gravedad cuando un objeto se desplaza de B a Ces -mg(h
- h0). La gravedad no realiza ningún trabajo cuando
el objeto se mueve horizontalmente de A a B, de modo
que el trabajo total hecho por la gravedad a lo largo
del camino ABC es -mg(h - h0 ). Cuando el bloque
se mueve verticalmente de A a C, el trabajo realizado
por la gravedad es de nuevo - mg(h •- h0 ). Por consiguiente, el .trabajo es el mismo para ambos caminos.
Las fuerzas que tienen la propiedad de que el trabajo que realizan es el mismo para todos los caminos
entre dos puntos dados cualesquiera se llamanfuerzas
conservativas. Las fuerzas gravitatorias, eléctricas y
elásticas son ejemplos de fuerzas conservativas; el rozamiento y otras muchas fuerzas no son conservativas.
6.4 I FUERZAS DISIPATIVAS
Hemos visto que el trabajo realizado por las fuerzas
conservativas puede tratarse convenientemente mediante la introducción del concepto de energía potencial. Este no es el caso de las fuerzas de rozamiento, que
deben ser tratadas como fuerzas aplicadas.
Como el trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento depende del camino, el rozamiento no es una
fuerza conservativa. Además, el rozamiento siempre se
opone al movimiento y por lo tanto realiza siempre trabajo negativo. La energía gastada por un objeto contra las fuerzas de rozamiento se convierte generalmente en energía calorífica y, por lo tanto, se pierde como
energía mecánica, como en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 6.6
Supongamos que, como en el ejemplo precedente, una
esquiadora desciende una colina de 20 m de altura. Sin
embargo, en esta ocasión las fuerzas de rozamiento no
son despreciables, de modo que su velocidad al pie de la colina vale tan sólo 10 m s-,. ¿Cuánto trabajo realizan las
fuerzas de rozamiento si su masa es 50 kg?
Tomemos de nuevo el pie de la colina como nivel de
referencia para el cálculo de energías potenciales, lo cual
significa que su energía potencial final es U= O. Por otro
lado, su energía cinética inicial sigue siendo E, =O. Al uti•
lizar E = Eo + W., se tiene en este caso
+mtl + O= O+ mgd + w.
W.=+ mv -mgd
2
= ½(50 kg)( IO m s- 1)2 = - 7300 J
(50 kg)(9,8 m s-2)(20 m)
Como hemos anticipado, el trabajo efectuado por las
fuerzas aplicadas es negativo, ya que las fuerzas de rozamiento siempre se oponen al movimiento. La esquiadora
ha efectuado pues un trabajo de 7300 J contra la fuerza
de rozamiento y esta energía mecánica se ha convertido
en energía térmica.
La fuerza de rozamiento sobre un objeto que se desplaza: se expresó antes como el producto del coeficiente de rozamiento cinético por la fuerza normal. (Como
el trabajo se realiza sólo sobre objetos que se desplazan, el coeficiente de rozamiento que debe utilizarse es
136
Trabajo, energía y potencia
el cinético. Cuando un objeto rueda, el punto de contacto entre el objeto y la superficie sobre la que rueda
se halla instantáneamente en reposo. En este caso especial, las fuerzas de rozamiento no realizan trabajo.)
La fuerza de rozamiento se dirige siempre en sentido
opuesto al del movimiento, por lo cual si un objeto se
desplaza una distancia s venciendo una fuerza de rozamiento µKN, la energía perdida es
w.= µKNs
(6.13)
Mostramos esto en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 6.7
La esquiadora del Ejemplo 6.5 llega a la parte llana
al pie de la pendiente con una velocidad de 19,8 m s- 1 y
entonces, girando los esquis oblicuamente al movimiento, se para rápidamente. Si el coeficiente de rozamiento cinético es 2,5, ¿qué distancia habrá recorrido antes de detenerse?
Como el suelo está todo al mismo nivel, no hay cambio de energía potencial y toda su energía cinética, + mv2 ,
ha de disiparse. La fuerza normal es igual y opuesta al
peso, por lo cual el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento sobre una distancia s es w. = µKmgs. Así pues
+mv =µxmgs
2
y
El coeficiente de rozamiento en este ejemplo es grande
porque la esquiadora deforma y mueve la nieve cuando
se detiene. Su energía se disipa entonces en parte como calor y en parte como energía necesaria para revolver la nie-
ve.
6 .5 I OBSERVACIONES SOBRE EL
TRABAJO Y LA ENERGIA
En esta sección, comentaremos el siguiente resultado
general
E, + U = E,, + Uo + W.
o bien
E=Eo+ W.
La energía mecánica total de un objeto se define como
2
E = E, + U, donde la energía cinética es .E, = mv ,
y la energía potencial U puede considerarse como energía debida a la posición.
Como hemos visto, si las fuerzas aplicadas no reali-
+
zan trabajo, la energía mecánica total E es constante. En
este caso
E, + U = E,. + Uo
(W. = O)
Este resultado se conoce como conservación de la energía mecánica. Bajo tales circunstancias, la energía mecánica total, es decir, la sum:1 de la energía potencial
más la energía cinética, permanece constante aunque
cada una pueda cambiar a expensas de la otra.
En muchas situaciones existen fuerzas disipativas
que convierten la energía mecánica en calor, sonido u
otras formas de energía. El calor o el ruido producidos por una sierra o un taladro constituyen buenos
ejemplos de ello. El calor representa la energía transferida al movimiento desordenado de las moléculas de
una sustancia, que hace aumentar su velocidad media o
su energía térmica. Como veremos posteriormente en el
Capítulo 10, aumentar la energía molecular media es
equivalente a aumentar la temperatura.
La energía térmica puede a su vez convertirse en
energía mecánica, como en una máquina de vapor, en
la cual la expansión del vapor caliente realiza trabajo.
Las limitaciones inherentes a los procesos correspondientes se discuten en el Capítulo 11.
Formas de energía I La energía existe en muchas otras formas además de la energía mecánica y la
energía térmica. Un objeto caliente transmite energía a
su alrededor no solamente por contacto directo sino
también por emisión de ondas.electromagnéticas que
viajan a la velocidad de la luz. Los enlaces químicos en
las moléculas provienen de las fuerzas eléctricas. Se
pueden romper o alterar estos enlaces químicos haciendo que liberen energía química. Por ejemplo, cuando
un combustible fósil se pone en contacto con oxígeno a
una temperatura elevada, ocurren cambios químicos
que desprenden energía. Análogamente, el cuerpo humano utiliza los ·aiimentos para sintetizar moleculas
que luego se rompen para proporcionar la energía necesaria.
La energía asociada a las fuerzas que mantienen
unidos los núcleos de los átomos es muy grande. Una
parte de ella se libera en armas nucleares o en reactores nucleares cuando los núcleos de uranio se rompen
(fisi6n) en núcleos menores. También se libera energía
cuando los átomos de hidrógeno se combinan o se fusionan (fusión) para formar núcleos mayores. La fusión proporciona la energía de las estrellas y de las
bombas de hidrógeno. De una forma más controlada,
Trabajo, energía y potencia
137
la fusión puede proporcionar gran parte de nuestra
energía futura si los actuales programas de investigación tienen éxito. La Tabla 6.1 da las energías asociadas a varios fenómenos.
Conservación de la energía total I Hemos
visto que existen muchas formas de energía. Se puede
comprobar experimentalmente que la energía puede
cambiar de forma pero nunca ser creada ni destruida.
TABLA 6.1
Valores aproximados de la energía asociada con diversos casos y fenómenos.
Energía (J)
Descripción
Gran explosión (Big bang)
Energía en forma de ondas de radio emitida por la galaxia durante su vida
Energía de rotación de la Vía Láctea
Energía liberada en la explosión de una
supernova
Fusión del hidrógeno de los océanos
Energía de rotación de la Tierra
Energía solar que incide por año sobre la
Tierra
Energía eólica disipada por año en las
proximidades de la superficie terrestre
Consumo global de energía por año de
los seres humanos
Energía disipada en un año por las mareas
Consumo anual de eriergía en los Estados
Unidos de América
Energía liberada durante las erupciones
del Krakatoa en 1883
Energía liberada por una bomba de fusión
de 15 megatones
Producción anual de energía eléctrica de
grandes centrales
Tempestad de truenos
Energía liberada al quemar una tonelada
de carbón
Energía cinética de grandes aviones
a reacción
Energía liberada al quemar I litro
de gasolina
.Consumo medio diario de energía en forma
de alimentos de un ser humano adulto
Energía cinética de una carrera de base
en béisbol
Trabajo realizado por el corazón humano
en cada latido
Trabajo realizado al pasar esta página
Salto de una pulga
Descarga de una neurona
Energía típica de un protón en un núcleo
Energía típica de un electrón en un átomo
Energía para romer un enlace en el DNA
1068
10ss
1052
1044
1034
1029
5 X 1024
1022
3 X 102º
1020
8 X 1019
1018
1017
1016
1015
3 X 101º
109
3 X 107
107
103
Éste es el principio de conservaci6n de la energía total.
Históricamente, las anomalías en la conservación de
la energía han llevado a la identificación de nuevas formas de energía. Como la energía aparece bajo muchas
formas, la conservación de la energía es un concepto
subyacente que unifica toda la ciencia. Aunque 1a conservación de la energía mecánica sólo ocurre en circunstancias especiales, la energía total siempre se conserva. En este capítulo, nuestros comentarios se limitan básicamente a la energía mecánica, pero los conceptos aquí desarrollados aparecerán a menudo en el
resto del libro.
6.6 I RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
MEDIANTE TRABAJO Y
ENERGÍA
Hemos utilizado ejemplos sencillos para inferir un resultado general.
E=Eo+ W.
En esta sección presentamos ejemplos qµe ilustran la
gran diversidad de situaciones en que trabajo y energía resultan conceptos de gran utilidad.
Para la resolución de problemas mediante trabajo
y energía se acostumbra a seguir un procedimiento sistemático, que incluye los pasos siguientes:
1 Se dibuja un diagrama con todas las fuerzas que
actúan sobre el objeto de interés. En casos simples, este paso puede realizarse mentalmente,
pero en situaciones complejas resulta una gran
ayuda trazar realmente el diagrama.
2 Identificamos las fuerzas aplicadas que realizan
trabajo y las fuerzas-conservativas que, como la
gravitatoria, pueden ser incluidas en la energía
potencial.
3 Se calcula el trabajo realizado por las fuerzas
aplicadas y la energía mecánica en dos puntos
del movimiento. Estas magnitudes se relacionan
entonces mediante E = Eo + W•.
En los siguientes ejemplos se utiliza este procedimiento.
Ejemplo 6.8
Dos pelotas idénticas de masa m se lanzan desde una
ventana a una altura h sobre el suelo. La celeridad inicial de ·
cada una de ellas es v0 pero se lanzan en direcciones diferentes (Fig. 6.1 1). ¿Cuál es la celeridad de cada pelota
al llegar al suelo? (Despréciese la resistem;ia del aire.)
138
Trabajo, energía y potencia
mgi~~
mg
Figura 6 .11
Dos pelotas idénticas lanzadas en direcciones diferentes con la misma celeridad inicial. La fuerza sobre cada una de
ellas es mg y está dirigida hacia abajo.
Ambas pelotas están sometidas tan sólo a la fuerza
de la gravedad mg tras haber sido dejadas, por lo cual su
energía mecánica total es constante. La energía potencial
inicial de cada pelota es, si se toma el suelo como nivel
de referencia, U 0 = mgh y la energía potencial final es U
= O. Además, ambas pelotas tienen la misma energía cinética inicial, E, =-½mva2. Así pues, E,+ U= E, + Uo nos
asegura que la e~ergía cinética final de ambas es la misma,
y que las pelotas llegan al suelo con la misma celeridad.
2
Con E, = 1mv , ésta satisface
0
+mv = +mva2 + mgh
2
o bien
V=
Figura 6.12 . Fotografia de un saltador de pértiga a intervalos
de tiempo igualmente espaciados. Obsérvese que el saltador está casi
en reposo en la parte superior del salto donde toda su energía cinética se ha convertido en energía potencial. (Dr. Harold Edgerton,
MIT, Cambridge, Ma.)
YVo + 2gh
2
Así, aunque las dos pelotas no llegan al suelo al mismo
tiempo, llegan a él con la misma celeridad.
Ejemplo 6.9
En el salto de pértiga, un atleta utiliza una pértiga
para convertir la energía cinética de su carrera en energía potencial cuando la pértiga está en posición vertical
(Fig. 6.12). Un buen corredor alcanza una velocidad de
10 m s- 1• Despreciando la altura adicional que el atleta
puede ganar por la fuerza de sus brazos sobre la posición
de sus manos en la pértiga, ¿a que altura puede elevar el atleta su centro de gravedad?
Inicialmente, su C.G. se halla a l m del suelo, aproximadamente. Un instante antes de que el atleta empiece a
utilizar la pértiga, U0 = Oy Ec0 = mv2, donde v = 10 m
s-i . En el punto más alto de un salto ideal, v = O, por lo
cual Ec = O, y U= mgh, donde h es la altura de su centro
de gravedad por encima de su posición inicial. Como
mientras el atleta está en el aire sólo actúa.sobre él la fuerza de la gravedad, E = Eo y
+
O+ mgh
=
+mv + O
2
Entonces
(l0ms- 1)2
v2
h = 2g = 2(9,8 m s- 2 ) =
5' 1 m
Su centro de gravedad se halla por tanto a unos 6,1 m sobre el nivel del suelo. En la actualidad, el récord del mundo de salto de pértiga alcanza los 6 m.
Ejemplo 6.10
En una presa en la desembocadura del río Rance, en
Francia, se utilizan las mareas para generar energía eléctrica. En dicho punto, la diferencia de alturas entre la
pleamar y la bajamar es, en promedio, de unos 8,5 m. La
represa se cierra una vez que se ha llenado con la pleamar,
y en la bajamar, unas 6 horas después aproximadamente,
se deja caer el agua por las turbinas que impulsan los generadores eléctricos (Fig. 6.13). El área de la represa es
23 km 2 = 23 X 106 m 2 . ¿Cuánto trabajo realiza el agua al
caer, suponiendo que sus energías cinéticas inicial y final
son despreciables?
Como ambas energías cinéticas son nulas, tenemos U
U - Uo. Para calcular esta dife= Uo + W o sea W
0 ,
0
'."'
139
Trabajo, energía y potencia
Figura 6.13 Central eléctrica alimentada por las mareas en la
desembocadura del río Rance, en Francia. El agua entra en la represa
por las turbinas durante la pleamar, y sale de ella durante la bajamar.
Las turbinas también pueden utilizar electricidad de otras instalaciones para bombear agua extra e incrementar la altura de caída del
agua. (Foto de la Embajada Francesa y del Servicio de Información.)
rencia de energía potencfal necesitamos la masa de. agua
y la altura que cae. La masa es el producto de la densidad (p =l 03 kg m- 3) por el volumen, que es el área A por
la profundidad d. Por consiguiente, la masa es m = p A d.
El agua de la parte superior de la represa cae los 8,5 m,
pero a medida que el nivel desciende, el agua cae una distancia cada vez menor; en promedio, la caída es la mitad
de la profundidad. Así pues, el trabajo realizado por las
fuerzas aplicadas es
W0
=U
- Uo
= -mgh = -(pAd)g (f) = -½pAgd
2
= -½(l000 kg m-3)(23 x
l0 6 m2)(9,8 m s-2)(8,5 m) 2
-8,14 X l0 12 J
Este trabajo es negativo porque el agua realiza trabajo sobre las turbinas. Parte de ésta se pierde como energía térmica, pero en su mayoría se transforma en energía
eléctrica. Esta instalación puede proporcionar suficiente
electricidad para unos pocos centenares de miles de usuarios. Se han propuesto centrales mucho mayores para la
bahía de Fundy, que podrían suministrar gran parte de
la energía eléctrica necesaria en Canadá oriental y en la
región de Nueva Inglaterra de los Estados Unidos.
140
6 .7
Trabajo, energfa y potencia
ENERGÍA POTENCIAL
GRAVITATORIA
Hemos visto en la Sección 6.3 que puede tenerse en
cuenta la fuerza gravitacional sobre un objeto en las
proximidades de la superficie terrestre definiendo su
energía potencial como mgh. Hemós supuesto para ello
que la fuerza de la gravedad mg es constante, y hemos
utilizado la propiedad según la cual el trabajo que realiza sólo depende de la variación de alturas y no del camino recorrido. Cuando el desplazamiento es una fracción significativa del radio terrestre Rn ya no es correcto tratar la fuerza gravitatoria como constante. Sin embargo, puede demostrarse que el trabajo realizado sigue dependiendo tan sólo de las alturas inicial y final.
En términos más formales, la fuerza de la gravedad sigue siendo una fuerza conservativa. Así pues, el concepto de energía potencial se puede seguir utilizando
para tener en cuenta la fuerza gravitacional, aunque
debe modificarse la fórmula para U. Construimos a
continuación esta fórmula, mediante argumentos cualitativos. En la Sección 6.13 se presenta una deducción
más rigurosa.
Hemos visto en el Capítulo 5 que la fuerza gravitacional atractiva entre dos puntos o masas esféricas M y
m puede escribirse de forma vectorial como
F=
_
GMmr
r2
(6.14)
Cuando la separación rse hace muy grande, esta fuerza resulta despreciable, lo cual sugiere definir que la
energía potencial de ambas masas es nula cuando r se
hace infinito. Con este convenio para el nivel de referencia, dos objetos muy distantes -que no ejercen
fuerzas entre sí- tampoco tienen energía potencial. A
medida que los objetos se aproximan, la fuerza gravitatoria efectúa trabajo sobre ellos, aumentando su
energía cinética y disminuyendo su energía potencial.
(Recuérdese que U aumenta cuando elevamos un objeto
y disminuye cuando desciende.) Como lJ es nula en r =
00, es negativa cuando r disminuye.
Esto significa que U es negativa, pero ¿cuál es su valor? Claramente, el trabajo realizado a medida que las
masas se aproximan es proporcional a la intensidad de
la fuerza gravitatoria, por lo cual debe variar como
GMm. Por otra parte, dimensiona/mente, el trabajo o
la energía es una fuerza multiplicada por una distan·
cia. Como F varía como el cuadrado de la distancia de
separación, l/r2, U debe variar como el inverso de una
distancia. La única distancia que interviene en este pro-
blema es la separación r, por lo cual se puede adivinar
que U variará como 1/r. Al reunir toda esta información, resulta que U es negativo, proporcional a GMm y
proporcional a 1/r. Por consiguiente, U debe ser de la
forma
(6.15)
Este argumento no excluye la posibilidad de un factor numérico adicional en esta expresión para U. Obsérvese que cuando r=oo, U= O, tal como exige nuestra
elección del púnto cero para la energía potencial. Este
trabajo también puede intuirse si se arguye que «el tra2
bajo es igual a la fuerza GMmlr multiplicada por la
distancia r». Como las masas se desplazan desde una
·separación infinita a una separación r, lo cual es muy
distinto de desplazarse una distanciar, esta aproximación no es correcta.
A final de esta sección demostraremos que la Ec.
6.15 equivale a la expresión más simple U = mgh cuando un objeto permanece en las proximidades de la superficie de la Tierra. No obstante, se debe utilizar siempre que los cambios de altura constituyan una fracción
apreciable del radio terrestre, tal como en las siguientes
aplicaciones a satélites.
Energía de un satélite ILa energía mecánica total de un satélite en una órbita circular puede calcularse con la ayuda de la Ec. 6.15. Aplicando la segunda ley
de Newton del movimiento F =ma al movimiento circular de una masa m bajo la atracción gravitatoria
terrestre, tenemos
GM,m
mu2
-r-2-=,-
o sea
GM,m
2
mu=
- -r
Así pues, la energía cinética puede escribirse como
_ 1
1
_ GM,m _
2
E,. mu - ~ - U
2
2
Como U es negativa, E, es positiva y su valor es el doble del de U en valor absoluto. La energía total es
E
= E, + U = -½ U + U = ½U
o bien
(6. 16)
·141
Trabajo, energía y potencia
Ejemplo 6.11
¿Cuánto trabajo se debe realizar para elevar un satélite artificial de masa m desde la superficie de la Tierra y
ponerlo en una órbita circular de radio igual al doble del
radio terrestre?
Inicialmente, E, = O y Uo = -GM.,mlRr- Cuando el
satélite se halla en órbita, y según la Ec. 6.16, su energía
mecánica total vale E= -GM-¡m/Ry. Como E= Eó + W.,
tenemos
GM.,m
(-GM.,m)
3GM.,m
W,, = E - E0 = - --- - - - - - =
4Rr
4Rr
Rr
Velocidad de escape.
La velocidad de escape es la mínima velocidad inicial v 0 necesaria para que
un proyectil disparado verticalmente en la superficie
de la Tierra pueda escapar de la fuerza gravitatoria
terrestre (Fig. 6.14). En la superficie de la Tierra la velocidad es vo, de modo que
Si el proyectil ha de escapar permanentemente de
la Tierra, r llegará a alcanzar un valor muy grande, de
modo que U = O. Si tiene .la energía mínima necesaria
para ello, su velocidad y su energía cinética serán también nulas a esta distancia. Así pues, la energía total necesaria para escapar de la Tierra es E= Ec+V = O.
Como la energía mecánica se conserva
Figura 6.14 Un cohete disparado desde la superficie de la
Tierra debe tener como mínimo una velocidad igual a la de escape
para, escapar totalmente de la atracción gravitatoria terrestre
(NASA).
Entonces
Vo
por lo que la velocidad de escape es
= [iGii;
✓~
v0
Podemos simplificar ligeramente estos resultados
teniendo en cuenta que el peso de un objeto de masa
m sobre la superficie de la Tierra es mg = GM-¡ITl/R/_
v0
=
f§fF- =
y2gRr
(6.17)
Esta es la velocidad mínima necesaria en la superficie
de la Tierra para escapar de la atracción terrestre. La
velocidad de escape para cualquier planeta puede hallarse a partir de su aceleración gravitatoria y de su radio. Para la Tierra, g = 9,8 m s- 2 y Rr = 6,4 X 10 6 m,
= y2(9,8 m s- 2)(6,38 ,X
= 1,12 X 104 m s-1
106 m)
Objetos próximos a la superficie de la
Tierra I Anteriormente hemos utilizado en este ca-
pítulo U = mgh para la energía potencial gravitatoria,
mientras que aquí hemos utilizado U= -GM.,mlr. Dejamos como problema demostrar que si un objeto se halla a una pequeña altura h sobre la superficie de la Tierra, su energía potencial es
U= -
GM.,m
(Rr+ h)
~-
GMMr.,m
(1 - Rhr)
142
Trabajo, energía y potencia
=
(El símbolo significa «aproximadamente igual».)
Utilizando g = GM,I R/, esa expresión se convierte en
U = - mgRr + mgh
Como siempre tratamos de diferencias de energía potencial, el término constante -mgRr desaparece de los
cálculos. Así pues, si estamos suficientemente cerca de
la superficie tetrestre, podemos utilizar U = mgh.
6.8
1
ENERGÍA POJENCIAL
ELÉCTRICA
(6.18)
Aquí, k = 9 X 10 Nm C . Excepto el signo menos y el
hecho de que qQ puede ser ta nto positivo como negativo, esta fórmula es formalmente análoga a la ley de
la fuerza gravitatoria. Podemo s por lo tanto afirmar inmediatamente que la fuerza eléctrica es conservativa.
Si reemplazamos -GMm por kqQ en la fórmula de la
energía potencial gravitatoria, U = -GMmlr, obtenemos la siguiente expresión para la energía potencial de
una carga q en presencia de una segunda carga Q.
9
2
2
U = kqQ
r
E = - J..ke2
2
ªº
l (9 X 10~ N m 2 c· 2)( l,6 X 10- w C)2
2
5,3 X 10- 11 m
== - 2,17 X 10-ui J
Para extraer el electrón del átomo, se le debe suministrar 2,17 X 10· 18 J de una manera u otra.
La fuerza gravitatoria no es la única fuerza conservativa que encontramos. La fuerza eléctrica también es
conservativa. En el' Capítulo 5 vimos que la fuerza sobre una carga q debida a una segunda carga Q separadas una distancia r es
F - k qQ ~
r2 r
satélite en órbita debida a las fuerzas gravitatorias es E=
- GM¡m/2r. Este resultado permanece válido para este
problema si sustituimos GM¡m por ( - kqQ). Entonces, E
= +kqQ/2r. Conq = -e, Q = eyr = a 0 ,obtenemoslaenergía del electrón
(6. 19)
Como la fuerza eléctrica es conservativa, el cambio de
energía potencial si la carga q se desplaza de r 1 a r2 es
el mismo sea cual sea el camino recorrido.
Como la energía potencial eléctrica y la gravitatoria tienen idéntica forma matemática, los resultados obtenidos en la sección precedente pueden aplicarse de inmediato al caso de las fuerzas eléctricas, como en el
ejemplo siguiente.
Ejemplo 6.12
En un átomo de hidrógeno, el electrón gira alrededor
de un protón bajo la influencia de la fuerza eléctrica. Si
la órbita es circular con radio a0 = 5,3 X 10· 11 m, ¿cuál es
la energía del electrón? (Las cargas del electrón y del protón son, respectivamente, -e = -1,60 X 10-19 C y +e=
+l,60 X 10-19C.)
En la sección precedente calculamos que la energía de un
En física atómica, un julio es una unidad de energía muy grande. U na unidad más conveniente es el electronvoltio (eV), donde
leV
= 1,60 X
10· 19 J
Como ilustración, en el ejemplo anterior la energía
18
del átomo de hidrógeno ha resultado ser 2,17 X 10·
J, o sea
(2.17 X 10
11<
J)
(l eV)
(1,6 X 10- 19 J)
= 13,6 eV
6.9 I POTENCIA
A menudo interesa menos la cantidad neta de trabajo
realizado que la velocidad a la cual se realiza. Por ejemplo, podemos sacar nieve de una carretera con una pala
de mano o con un quitanieves . Se hace el mismo trabajo, pero el quitanieves lo hace más rápidamente. Decimos que el quitanieves es más potente. En esta secció n estudiaremos la relación entre trabajo y potencia.
Cuando se realiza la cantidad de trabajo ~W en un
intervalo de tiempo l:!,,.t, la potencia media se define
como la tasa media a la que se realiza el trabajo
-
t.W
<P=1:!,,.t
(6.20)
La potencia instantánea <P se halla considerando intervalos de tiempo cada vez más pequeños, así
<P
= dW
dt
(6.21)
Según esta definición, vemos que en el S.I. la unidad
de potencia es un julio por segundo, que se denomina
143
Trabajo, energía y potencia
vatio (W). Un vatio resulta una unidad demasiado pequeña para muchos fines. Se necesitan unos 9 k ilovatios
( 1 k W = 103 W) para superar las fuerzas disipativas que
actúan sobre un coche de 2000 kg cuando se mueve a
1
una velocidad cqnstante de unos 65 km h- • Una central
eléctrica de dimensiones medias puede generar 200 me6
ga vatios ( l MW = l 0 W) y una central bastante grande
puede generar l gigavatio (l GW = 109 W).
Las compañías eléctricas acostumbran a facturar la
energía por kilovatios-hora (kW h), que consiste en una
potencia de l kilovatio que actúa durante l hora. E n
términos de unidades S.I.?
1 kW h
= {10 W)(3600 s) = 3,6 X 10
3
6
J
En los ejemplos siguientes calculamos la potencia
producida por un hombre y por una central eléctrica
eólica.
Ejemplo 6.13
Un hombre de 70 kg sube corriendo un tramo de escaleras de 3 m de desnivel en 2 s. (a) ¿Cuánto trabajo
hace? (b) ¿Cual es su potencia media?
(a) El trabajo realizado t.W es igual a la variación de
su energía potencial, mgh. Así,
t:,. W
(b) La energía cinética de dicha cantidad de aire es
E, = ½mv2 = 1(pAvt)v2
(c) La potencia eólica disponible es la energía cinética
del viento dividida por el tiempo que tarda en pasar por el
círculo definido por las aspas. Como el 30 % se convierte
en potencia eléctrica,
(P
= (0,30)E, = (0,30)( ½pAu3t) = O, 15pAu3
{
t:i.t
m- 3)(30
m 2)(10 m s- ')ª
= 5400 W = S,4 k W
Esta potencia es suficiente para el consumo doméstico
de cinco casas medias. Obsérvese, sin embargo, que se necesita una velocidad del viento bastante elevada, de unos
36 km h- 1• Como<Pvaría con v3, si la velocidad del viento
disminuye en un 50 %, la potencia eléctrica se reduciría a
(5,4/23) kW = 0,675 kW.
Otra expresión de la potencia resulta ú.til en muchas ocasiones. El trabajo realizado por una fuerza F
que actúa a lo largo de un pequeño desplazamiento !:,.s
durante un corto intervalo de tiempo !:,.tes t:,. W =F,t:u.
Dividiendo por !:,.t se obtiene la potencia
CP
= 20601
iP = t:,. w =
t
= (0,15)(1.2 kg
= mgh = (70 kg)(9,8 m s-2)(3 m)
=F
s
(b) Su potencia media es el trabajo realizado dividido por el tiempo transcurrido,
= ip Av3t
t:i.s
!:,.t
Como !:,.si!:,.t es la velocidad, la potencia también viene dada por
2060 J = 1030 w
2s
que es una potencia bastante elevada para un hombre.
(6.22)
Así pues, la potencia es la fuerza por la velocidad. Este
resultado se emplea en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 6.14
Las aspas de un molino de viento de una central eólica barren un círculo de área A. (a) Si el viento tiene una
velocidad v perpendicular a dicho círculo, ¿cuál es la masa
de aire que pasa a través suyo en un tiempo t? (b) ¿Cuál es
la energía cinética de dicho aire? (c) Supóngase que la máquina convierte el 30 % de la energía eólica en energía eléctrica, y que A= 30 m 2 yv= I0m s- 1 (36km h- 1). ¿Cuál esla
potencia eléctrica producida? (La densidad del aire a 20º C
es 1,2kgm-3 .)
(a) Durante el tiempo t el viento recorre una distancia v t. Por consiguiente, todo el aire comprendido en un
cilindro de área transversal A, longitud vt y volumen V =
Avt, cruzará el círculo. Al multiplicar V por la densidad
del aire p se obtiene para la masa
m
= pAvt
Ejemplo 6.15
Un piano de 250 kg es elevado en un montacargas a
una velocidad constante de 0,1 m s- 1 • ¿Cuál es la potencia
consumida por el montacargas?
Como la fuerza mg es paralela a la velocidad,
<P
= Fu = (250 kg)(9,8 m s- 1)(0,1 m s-1)
= 245W
6 .1 O I TRABAJO Y ENERGÍA
EN EL MOVIMIENTO
DE ROTACIÓN
Los objetos pueden tener energía cinética asociada con
su movimiento de rotación, tal como ocurre en el caso
Trabajo, energía y potencia
144
de la traslación. Obtenemos ahora expresiones para el
trabajo, potencia y energía cinética apropiadas para
objetos que giran alrededor de un eje fijo.
Consideremos una rueda de radio r que gira alrededor de su eje. Cuando describe un ángulo O, cada
punto de su borde recorre una distancias = rO. Una
fuerza F que actúe tangencialmente sobre la rueda durante este desplazamiento realizará un trabajo Fs = FrO.
Como Fr es el momento r debido a esa fuerza, el trabajo
realizado puede escribirse como
W=rO
(6.23)
La potencia se define como b.W/t::..t. Utilizando el
resultado obtenido para W, (P = rb.0/t::..t. Como t::..0/ t::..t
= w, tenemos
(P
= TW
(6.24)
lógicas - 8, v - w, F- r y m - l. Si se tienen objetos
en rotación, los términos de trabajo y de energía en
E= Eo + w. deben tomarlos en consideración, como en
el ejemplo siguiente.
Ejemplo 6.16
Un cubo de 20 kg se mantiene en un pozo mediante
una cuerda sin masa enrollada en un torno (Fig. 6.15).
Éste es un cilindro de 0,2 m de radio y 0,2 kg m2 de momento de inercia. Si el cubo se suelta desde el reposo, ¿cuál es
su velocidad justo antes de chocar contra el agua a 10 m de
profundidad? (Supóngase que no hay rozamiento ni resistencia del aire.)
Tomando las alturas para la energía potencial con referencia al nivel del agua, U0 = mgh, y U = O. La energía
cinética inicial es nula. Cuando el cubo choca con el agua,
su velocidad es v, la velocidad angular de la polea es w =vir,
2
2
2
y su energía cinética conjunta es E, =-½mv +-½Iw =-½mv +
½Iv2/r2• Como la energía mecánica se conserva, E= Eo y
Cuando un objeto se mueve en un camino circular,
v
= wr, de modo que
su energía cinética puede escri2
birse como {mr2w • Si un sólido rígido gira alrededor
de un eje fijo, cada una de las partículas que lo constituyen se mueve en u n círculo con la misma velocidad
angular. Sumar las energías cinéticas individuales supone pues sumar los factores mr2, es decir, calcular el
momento de inercia. Así pues, la energía cinética es
.!.mu2 +.!.¡E.:.=
mgh
2
2
-r
1
J,
1
1
Figura 6.15 Al caer el cubo, su energía potencial se convierte
en energía cinética del propio cubo y del torno.
r
Al despejar v se obtiene
u
=[
2mgh
m
+ l / r2
]112
(2)(20 kg)(9,8 m s- 2)(10 m) ]112
(20 kg) + (0,2 kg m2)/ (0,2 m)2
12,5 m s-1
=[
=
(6.25)
Todos estos resultados son análogos a las fórmulas correspondientes de la traslación, con la sustitución
2
En el ejemplo anterior, si el cubo no hubiera estado
atado al torno, habría adquirido una velocidad mayor.
Parte de su energía potencial se ha convertido en energía cinética del torno. Análogamente, si un objeto baja
rodando por una pendiente, parte de su energía potencial se convierte en energía cinética rotacional, y llega a
la base con una velocidad menor que la que habría adquirido un objeto que se hubiera deslizado sin rozamiento.
6 .11
1
EL SALTO. LEYES DE ESCALA
EN FISIOLOGÍA
En el Capítulo 1 relacionamos las alturas alcanzadas
por los animales en sus saltos con las velocidades yaceleraciones que intervienen en los mismos. Aquí describimos un procedimiento llamado de escala e inventado
por Galileo que permite llegar a algunas conclusiones
generales sobre el salto. Empezamos analizando de
nuevo el salto vertical de un hombre en términos de trabajo y energía.
La Figura 6.16 muestra un hombre que salta. lni-
145
Trabajo, energía y potencia
L _____c.
el
1//7/////7///7//7///,1/,?,
N
(b)
(a)
(e)
Figura 6 .16 (a) Un hombre preparándose para saltar. Las fuerzas sobre el hombre son su peso w
hacia abajo y la fuerza normal N del suelo que actúa hacia arriba. (b) El hombre en el despegue. (e) Durante la permanencia en el aire la única fuerza sobre el hombre es w. El cambio total en la posición de su
centro de gravedad durante el salto es d + h.
cialmente, éste se agacha bajando su centro de gravedad una distancia d denominada distancia de aceleración. Mediremos la energía potencial con respecto a
este nivel de referencia. A medida que se va acelerando e irguiendo, realiza trabajo para aumentar sus energías potencial y cinética. En el instante de despegue, su
energía potencial es U0 = mgd. Si su velocidad ascendente en este instante vale v0 , su energía cinética es
½mvt Así pues, al alcanzar la posición erguida de
despegue, ha realizado un trabajo W.que vale
W. = mgd+ ½ mv/
Desde el despegue hasta la máxima altura del salto, la única fuerza que actúa sobre el hombre es su
peso. Por lo tanto, mientras está en el aire, su energía
mecánica es constante. En el punto más alto del salto,
Ec0 = Oy U = mg(h + d). Su suma ha de ser igual a la
energía total en el momento de despegue, de modo que
W.= mgd + ½ mv/
= mg(h + d)
(6.26)
En consecuencia, la energía total que el hombre debe
proporcionar para el salto es w. = mg(h + d). En lo que
sigue de este análisis despreciamos d con respecto a h
y utilizamos
w.= mgh
Esta aproximación no es muy buena para los seres hu-
= +,
manos, ya que d/h
pero resulta adecuada para
animales de menor tamaño. Obsérvese que la Ec. 6.26
nos proporciona la velocidad de despegue
Uo=-v2gh
Una vez encontrada la energía total en función de
la altura alcanzada en el salto, podemos esperar determinar la energía gastada por los diversos músculos y
comparar las cifras resultantes para varios animales.
Por desgracia, el gran número de huesos y de músculos que tal análisis implica lo hacen muy complicado,
una dificultad característica de muchos problemas biológicos. Sin embargo, podemos realizar algunos progresos si comparamos la capacidad de salto de diferentes animales mediante un procedimiento llamado de escala. La hipótesis de escala supone que las características básicas de un sistema biológico cambian con su tamaño de forma sencilla, pero plausible. Este procedimiento, que puede utilizarse en muchos problemas fisiológicos, lleva a leyes de escala que expresan la capacidad de S¡ilto en función del tamaño de un animal
y que pueden compararse con los datos experimentales.
El modelo de escala más simple supone que la masa
m de un animal es proporcional a su volumen y que
este volumen es proporcional al cubo de una cierta longitud característica /. Así pues, la hipótesis de escala es
m = cP, donde ces una constante. Por ejemplo, la razón de las lo ngitudes características de un ratón de
146
Trabajo, energía y potencia
0,02 kg y de una vaca de 700 kg sería
~ = (- mvaca )
l,..00
m,.,60 ,
113
= ( 700 kg )
0,02 kg
113
= 32,7
Esta cifra puede representar, por ejemplo, las longitudes relativas de las piernas.
Utilizando esta longitud, observamos que el volumen de un animal o de cualquiera de ·sus órganos es
proporcional a /3; la superficie del cuerpo y las áreas
de las secciones transversales de los músculos son proporcionales a I2 y la longitud de los miembros es proporcional a l.
Al comparar la capacidad de salto de los animales
observamos con sorpresa que las alturas de los saltos
son bastante parecidas para animales que son muy diferentes en tamaño. Así, la rata canguro,_del tamaño de
un éonejo aproximadamente, salta casi tanto como un
canguro grande. Las langostas y las pulgas saltan aproximadamente a la misma altura. Podemos preguntarnos a qué se debe este resultado.
Se nos ocurren inmediatamente dos posibilidades:
1 La energía proporcionada por unidad de masa
muscular es la misma para todos los animales.
2 La potencia proporcionada por unidad de masa
muscular es la misma para todos los animales.
Examinamos aquí la primera hipótesis, dejando la
segunda como problema (Problema 6-110). La primera
hipótesis establece que un animal debería poder realizar una cantidad de trabajo proporcional a su masa, m.
Pero hemos visto que el trabajo realizado durante un
salto de altura hes mgh. Así mgh a: m, y h no depende de
mol.
Esta predicción de que la altura alcanzada es independiente del tamaño del animal es aproximadamente
correcta al ser comparada con los resultados experimentales. En cambio, las predicciones obtenidas a partir de la segunda hipótesis están en desacuerdo con los
datos. Por lo tanto, podemos deducir que la energía
consumida· por unidad de masa es aproximadamente la
misma para todos los animales de las mismas caracte-rísticas generales.
Otra conclusión se sigue al observar que la velocidad de despegue vo = J2ih es aproximadamente independiente del tamaño. La distancia de·aceleración des
proporcional a la longitud característica l, de modo que
el tiempo de despegue t = d/v= d/(½vo) también varía
como/.
La potencia consumida por unidad de masa es la
energía consumida por unidad de masa dividida por
ese tiempo. Como la energía consumida por unidad de
masa es independiente de 1, la potencia debe variar
como 1//. Esto predice que los animales más grandes
consumirán su energía a una tasa más reducida.
Las comparaciones entre mamíferos e insectos se
complican debido a la diferente manera en que utilizan los músculos de las piernas para el salto. Los mamíferos utilizan directamente las contracciones musculares, pero los insectos utilizan un dispositivo de catapulta. Por ejemplo, las pulgas tienen un material elástico denominado resilina en la articulación de las ro- ·
dillas. La pulga dobla gradualmente sus patas, estirando la resilina y la rodilla queda ftjada en una determi-.
nada posición. En el momento del salto, la rodilla se
desbloquea y la resilina se contrae rápidamente y hace
que las patas se estiren. Así pues, los insectos emplean
la energía potencial elástica almacenada y utilizan sus
músculos de forma más bien indirecta.
El análisis de las leyes de escala tal como lo hemos
aplicado al salto muestra los interesantes resultados
que a menudo pueden obtenerse aún en sistemas biológicos complejos. En el modelo que hemos utilizado
hemos supuesto que todas las dimensiones del cuerpo
siguen la misma escala que la masa del animal. Sin embargo, es posible hacer otras hipótesis de escala, como
veremos en el Capítulo 8.
RESUMEN
La manera más sencilla de resolver muchos problemas
es la que se basa en los conceptos de trabajo y energía. La relación entre estas magnitudes se resume en
los dos enunciados más importantes de este capítulo.
1 La energía cinética final de un objeto es igual a su
energía cinética inicial más el trabajo W realizado por todas las fuerzas que actúan sobre él:
Ec=Eca+ W
En esta ecuación, W = F,s, dondes es el desplazamiento del objeto y F, es la componente de la
fuerza neta en la dirección del desplazamiento.
Ec0 = ½ mv~ y Ec = mv2 son la energía cinética del objeto antes y después del desplazamiento, respectivamente.
2 Si sobre un objeto actúan fuerzas conservativas,
sus efectos pueden tomarse en consideración mediante la inclusión de términos apropiados en
la energía potencial U. Las otras fuerzas que actúan sobre el objeto se denomina fuerzas aplica-
+
Trabajo, energía y potencia
147
das, y realizan un trabajo W•. Así pues, la relación general trabajo-energía escrita anteriormente se puede reescribir en la forma más útil
Ec + U
= Ec0 + U 0 + W.
Una fuerza es conservativa si el trabajo realizado
por ella entre dos puntos cualesquiera no depende del
camino recorrido. Las fuerzas gravitatorias y eléctricas
son conservativas.
Cuando no hay trabajo realizado por fuerzas aplicadas, la energía mecánica total E= Ec +Use conserva. Tanto la energía cinética como la potencial pueden
variar, pero su suma debe permanecer constante. En
presencia de fuerzas disipativas, la energía mecánica se
convierte en energía térmica. La energía no se crea ni
se destruye, tan sólo se transforma de una forma a otra.
Cerca de la superficie de la Tierra, la fuerza gravitatoria es aproximadamente constante, y la energía potencial es U = mgh. La forma más general para la energía potencial gravitatoria es U= -GM mir. La energía
potencial eléctrica de dos cargas puntuales es U =
kqQ/r.
La tasa t:,,. W/ t:,,.t con que se realiza trabajo o se transfiere energía es la potencia. Úna expresión equivalente es
= F,v.
Las fórmulas para el trabajo, la potencia y la energía cinética de un objeto en rotación alrededor de un eje
fijo se obtienen sustituyendo s, v, F y m por sus análogos
0, w, re I , respectivamente.
Lista de repaso
Definir o explicar:
trabajo
julio
energía cinética
energía potencial
fuerza conservativa
energía mecánica total
fuerza disipativa
fuerza aplicada
conservación de la
energía mecánica
velocidad de escape
energía potencial
gravitatoria
energía potencial
eléctrica
electronvoltio
potencia
vatio
kilovatio-hora
energía cinética
rotacional
leyes de escala
Q 6-2 La unidad S.l. de trabajo es el ........ .
Q 6-3 La energía cinética de un objeto es una medida de su capacidad para .........
Q 6-4 La energía cinética de traslación de un objeto
de masa m y velocidad v es ........ .
Q 6-5 La energía cinética final de un objeto es igual
a la ......... más el trabajo total realizado por ....... ..
Q,6-6 Las fuerzas que pueden incluirse en la energía
potencial se denominan ....... ..
Q 6-7 La energía mecánica total es la ......... más la
Q 6-8 _L a energía mecánica se conserva cuando
Q 6-9 La energía potencial es energía asociada con
la ........ .
Q 6-10 La posición en que la energía potencial es
nula es .........
Q 6-11 En general, el aumento de energía potencial
es igual al .........
Q 6-12 Las fuerzas disipativas generalmente convierten energía mecánica en .........
Q 6-13 El trabajo realizado por las fuerzas de ro.
zamiento es siempre .........
Q 6-14 La fórmula U= mgh de la energía potencial
gravitatoria se cumple para objetos ....... ..
Q 6-15 La velocidad mínima con que debe dispararse verticalmente un objeto desde la superficie terrestre para que éste abandone permanentemente la
Tierra se denomina ........ .
Q 6-16 Potencia es la tasa con que ........ .
Q 6-17 La unidad S.I. de potencia es el ....... ..
Q 6-18 El kiÍovatio-hora es una unidad de ........ .
Q 6-19 ......... suponen que las características básicas de un sistema biológico varían con su tamaño
global de forma directa.
EJERCICIOS
Sección 6.1
1
Trabajo
6-1 Un niño arrastra un coche de juguete con una
fuerza de 10 N que forma un ángulo de 20º con la
horizontal (Fig. 6.17). Si el coche avanza 6 m, ¿cuánto trabajo ha hecho el niño?
CUESTIONES DE REPASO
Q 6-1 El trabajo realizado por una fuerza es positivo cuando F es ......... a s, negativo cuando F es
......... a s, y nulo cuando F es ......... a s.
Figura 6 .17
Ejercicio 6-1.
148
Trabajo, energía y potencia
6-2 Una chica empuja horizontalmente una silla
con una fuerza de 300 N. Calcular el trabajo realizado sobre la silla si (a) ésta se mueve 2 m paralelamente a la fuerza; (b) se mueve 1 m en sentido
opuesto a la fuerza; (c) la silla no se mueve.
6-3 Una mujer ejerce una fuerza horizontal constante de 200 N sobre un niño y un triciclo. El triciclo avanza 2 m y el trabajo realizado por la mujer
vale 100 J. ¿Cuál es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento del triciclo?
6-4 Una motocicleta se detiene deslizándose 5 m.
Mientras se está parando, la fuerza sobre la moto
debida al pavimento es de 200 N y se opone directamente al movimiento. (a) ¿Cuánto trabajo efectúa el pavimento sobre la moto? (b) ¿Cuánto trabajo hace la moto sobre el pavimento?
6-5 Una chica arrastra una caja que pesa 40 N una
distancia de 10 m sobre el suelo a velocidad constante. ¿Cuánto trabajo realiza si el coeficiente cinético de rozamiento vale 0,2?
6-6 Una caja de masa 10 kg cae verticalmente una
distancia de 2 m. ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza
gravitatoria?
6-7 Un coche de masa 1300 kg desciende 100 m
por una pendiente, que forma un ángulo de 10º con
· la horizontal. ¿Cuánto trabajo realiza sobre el coche la fuerza gravitatoria?
Sección 6.2
1
Energía cinética
6-8 Un automóvil de 1000 kg tiene una velocidad
de 40 km h-1• ¿Cuál es su energía cinética?
6-9 Cuál es la energía cinética de una piedra de 0,25
kg que se está moviendo a 10 m s-1?
6-10 Una pelota de béisbol de 0,15 kg de masa se
lanza a 30 m s-1• (a) ¿Cuál es su energía cinética? (b)
Si es lanzada por un hombre que ejerce sobre ella
una fuerza constante en una distancia de 1,5 m, ¿qué
fuerza ejerce el hombre?
6-11 Un hombre de 100 kg se encuentra en un coche que viaja a 20 m s- 1 • (a) Hallar su energía cinética. (b) El coche choca contra una pared de hormigón y se detiene tras haber hundido 1 m su parte
delantera. El hombre lleva cinturón de seguridad.
¿Cuál es la fuerza media ejercida por dicho cinturón de seguridad durante el choque?
6-12 Demostrar que la energía cinética tiene dimensiones de fuerza multiplicada por distancia.
1
6-13 Un pez espada de 200 kg embiste a 5 m s- a
un yate de madera que se halla en reposo. Su espa-
da penetra 1 m en el casco y el pez queda parado.
(a) ¿Cuál es la energía cinética inicial del pez? (b)
¿Cuánto trabajo ha realizado el pez?
6-14 Las cañas de pescar se venden a menudo con
la indicación de que pueden resistir una determinada fuerza. ¿Qué fuerza ha de poder resistir una caña
para poder capturar un salmón de 10 kg que se halla nadando a 3 m s- l y que se detiene en 0,2 m?
6-15 Una pelota de béisbol se lanza desde el centro
del campo hasta la segunda base y su velocidad disminuye desde 20 m s-1 hasta 15 m s- 1• Si su masa es
de 0,15 kg, ¿cuánta energía ha perdido debido a la
resistencia del aire? (Suponer que la altura final es
la misma que la altura inicial.)
6-16 Una pelota de masa 0,2 kg cae verticalmente
una distancia de 10 m. (a) ¿Cuánto trabajo realiza
la fuerza de la gravedad sobre la pelota? (b) Si inicialmente se hallaba en reposo ¿cuál es su velocidad
tras caer 10 m?
6-17 Un palo de golf golpea una pelota en reposo sobre el césped. Ambos permanecen en contacto una distancia de 2 cm. Si la pelota adquiere una
velocidad de 60 m s- l, y si su masa es 0,047 kg, ¿cuál
es la fuerza media ejercida por el palo?
Sección 6.3 j Energía potencial y fuerzas conservativas
6-18 Un nadador salta desde la palanca a la piscina, nada hasta el borde y se encarama de nuevo a
la palanca. Identificar y analizar los tipos de fuerzas presentes y el trabajo que realizan.
6-l9 Las carreteras de montaña serpentean en general a un lado y otro de la montaña en vez de subir
en línea rectá hacia arriba. ¿Por qué?
6-20 Un niño alcanza con un columpio una altura
máxima de 2 m sobre la posición más baja de su recorrido. ¿Cuál es la velocidad del columpio en el
punto más bajo? (Despreciar la fuerza de rozamiento.)
6-21 Una lata de cerveza se deja caer desde una ventana que se halla a 100 pies de altura sobre el suelo. ¿Qué velocidad tendtá en el momento de aterrizar? (Despreciar la resistencia del aire.)
6-22 Un coche que va a 40 m s- 1 choca contra una
pared de hormigón. ¿Desde qué altura tendría que
dejarse caer el coche sobre un sueló de hormigón
para conseguir los mismos resultados?
6-23 Un niño está sentado en una noria de feria.
¿Qué trabajo realizan sobre él las fuerzas gravitatorias en una vuelta completa?
Trabajo, energía y porencia
sm
Figura 6.18
149
o,s"iñ]
Ejercicio 6-24.
6-24 Un salmón de 4,5 N nada una distancia de 5
m a velocidad constante remontando un paso piscícola. La fuerza disipativa debida al agua vale 1,3
N. El pez subé 0,5 mal remontar el paso en cuestión (Fig. 6.18). (a) ¿Cuánto trabajo debe realizar el
pez para contrarrestar la fuerza disipativa? (b) ¿Cuál
es el cambio de la energía potencial del pez? (c)
¿Cuáles el trabajo total que efectúa el pez al remontar el paso?
6-25 Una pelota de béisbol lanzada verticalmente
hacia arriba alcanza una altura de 50 m. ¿Cuál era
su velocidad inicial? (Despreciar la resistencia del
aire.)
6-26 El agua fluye sobre un dique y desciende una
altura h en suave corriente, tal como se muestra en
la Fig. 6.19. Suponer que la velocidad del agua es
nula en el punto superior del dique. ¿Cuál es su velocidad al pie de la cascada?
6-27 Un coche se precipita por un acantilado con
una velocidad de 30 ro s- 1• ¿Cuál será su velocidad
tras 20 m de caída?
6-28 ¿Cuánto trabajo debe realizar una bomba para
subir 100 kg de agua desde el fondo de un pozo de
300 m hasta la superficie? (Supóngase que la variación de energía cinética es despreciable.)
6-29 Un ascensor y su carga tienen una masa de
2000 kg, y está contrapesado por una placa metálica de 1700 kg que baja cuando el ascensor sube.
¿Cuánto trabajo debe hacer el motor contra la fuer•
za de la gravedad para elevar 30 m el ascensor?
Sección 6.4
1
Fuerzas disipativas
6-30 Un disco de hockey se desliza sobre el hiek
1
con una velocidad inicial de 4 m s- • El coeficiente
de rozamiento cinético vale 0,1. ¿Qué distancia recorrerá el disco hasta detenerse?
6-31 Una caja con una velocidad inicial de 2 m s- 1
se desliza 0,5 m por un suelo horizontal hasta detenerse. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento cinético?
6-32 En algunos parques de atracciones se puede
descender por una rampa como la que se muestra
en la Fig. 6.20. (a) ¿Cuál es la velocidad en la base
de la rampa? (Suponer que la rampa no presenta rozamiento.) (b) ¿Qué distancia/ se necesita para detenerse si el coeficiente de rozamiento en la base vale
0,5?
6-33 Un trineo se desliza 100 m por una colina cuya
falda forma un ángulo de 30º con la horizontal. El
trineo llega a la base de la pendiente con una velocidad de 20 m s-i. ¿Qué fracción de la energía se ha
perdido por rozamiento?
Sección 6.5 1 Observaciones sobre el trabajo y la
energía. Sección 6.6 1 Resolución de problemas mediante trabajo y energía
6-34 Una chica de 50 kg sube a una montaña de
3000 m de altura. (a) ¿Cuánto trabajo realiza? (b)
Un kilo de grasa suministra unos 3,8 X 107J de energía. Si convierte grasa en energía con un rendimiento del 20 por ciento, ¿cuánta grasa consumirá en la
ascensión?
6-35 Un hombre que está a régimen alimenticio levanta 1000 veces una masa de 10 kg a 0,5 m de altura. (a) ¿Cuánto trabajo hace? (b) La grasa suministra 3,8 X 107 J de energía por kilo, la cual se convierte en energía mecánica con un rendimiento del
20 por ciento. ¿Cuánta grasa perderá el hombre que
realiza este ejercicio?
6-36 Un hombre levanta verticalmente una masa de
20 kg a 0,5 m de altura. (a) ¿Cuánto trabajo. hace
contra las fuerzas gravitatorias?
T
IL----- -" "'- -- Figura 6 .19 Agua que rebosa sobre un dique. En la parte superior tiene velocidad cero y cae una distancia h. Ejercicio 6-26.
Figura 6.20 Perfil de una rampa de parque de atracciones. /
es la distancia de parada. Ejercicio 6-32.
150
Trabajo, energía y potencia
(b) Cuando baja la masa a su altura inicial, ¿cuánto trabajo se realiza sobre el hombre? (c) ¿Qué
ocurre con esta energía?
6-37 Un depósito tiene un volumen de 107 m3 • Si el
agua del depósito cae en promedio una altura de 30
m y si el 80 % de la energía potencial perdida es
transformada en energía eléctrica mediante turbinas, ¿cuánta energía eléctrica se produce? (La densidad del agua es 1000 kg m-3.)
6-38 El agua de un río entra en unos rápidos con
una velocidad de 3 m s-l y sale de ellos con una velocidad de 15 m s- 1• La altura del río cambia entre
200 mala entrada y 180 mala salida de los rápidos. ¿Qué fracción de la energía potencial perdida
por el agua se disipa?
6-39 Al salir del lago Ontario, el río San Lorenzo
tiene un caudal de 6800 m3 s-l. El lago Ontario se
halla a 75 m sobre el nivel del mar. Si se desprecia
el agua que pueda entrar en el río más abajo, ¿cuál
es la máxima energía que, en principio, podría extraerse mediante centrales eléctricas cada 24 horas?
(La densidad del agua es 1000 kg m- 3.)
6-40 En la Fig. 6.21, la polea y las cuerdas se consideran sin masa, y se desprecia el rozamiento. Si el
sistema se suelta desde el reposo, ¿cuál es su velocidad cuando las masas se han desplazado una distancia el!
6-41 En la Fig. 6.21, la polea y las cuerdas se consideran sin masa. El coeficiente de rozamiento cinético entre ei bloque y el plano vale 0,2, y m = 5 kg.
(a) ¿Cuánto trabajo se realiza contra el rozamiento
cuando el sistema se desplaza 3 m? (b) Si inicialmente se halla en reposo, ¿cuál es su velocidad cuando se ha desplazado 3 m?
6-42 Un hombre sube una caja de 20 kg de masa a
una altura de 1,6 m y la lanza con una velocidad de
6 m s- 1• ¿Cuánto trabajo realiza sobre la caja?
6-43 Un telearrastre lleva una chica de 40 kg basta
m
Figura 6.21
Ejercicios 6-40, 6-41 y 6-79.
la cumbre de una pista de esquí. El desnivel de la pista es de 100 m. La esquiadora parte del reposo y su
velocidad durante todo el movimiento es 1 m s- 1• Si
se desprecia el rozamiento, ¿cuánto trabajo hace el
telearrastre sobre la chica?
Sección 6. 7
1
Energía potencial gravitatoria
(Utilícense los datos terrestres y solares de la tabla
de la contracubierta posterior.)
6-44 Una nave espacial de masa m se halla en órbita circular alrededor de la Tierra. Su distancia a
la superficie de la Tierra es igual al radio terrestre.
¿Cuánta energía se necesita para doblar su distancia a la superficie de la Tierra?
6-45 Supóngase que una nave espacial de masa m
se halla en órbita circular alrededor del Sol a medio camino entre éste y la Tierra. (a) En términos
de la masa solar M, y de la distancia R entre el Sol
y la Tierra, ¿cuánta energía E, se necesita para que
la nave espacial pueda abandonar el sistema solar?
(b) ¿Cuánta energía E 1-se necesitó para que la nave
escapara de la Tierra? (c) Hállese el valor numérico
de la razón E/E7 •
6-46 Dos estaciones espaciales idénticas chocan de
frente y se detienen a una distancia sobre la Tierra
igual a dos veces el radio terrestre. ¿Con qué velocidad llegarán sus fragmentos a la superficie de la
Tierra si se desprecian las fuerzas disipativas?
6-47 ¿Cuál es la variación de energía potencial gravitatoria de dos bolas de 10 kg de masa cuyos centros se hallaban a 10 m de distancia el uno del otro
cuando se acercan hasta sólo 0,1 m de distancia?
6-48 ¿Cuánta energía se necesitaría para que la
Luna «escapara» de la Tierra»
6-49 En el planeta X, la aceleración de la gravedad
es cuatro veces la de la Tierra, y el radio del planeta es el doble del de la Tierra. ¿Cuál es la velocidad
de escape?
6-50 La distancia media desde el centro de la Tierra
hasta el centro de la Luna es de unos 3,84 X 105 km.
¿Cuál es la menor distancia desde el centro de la
Tierra a la cual las energías potenciales gravitatorias debidas a la Tierra y a la Luna son iguales? La
masa de la Luna vale aproximadamente 1,2 X 10-2
MT.
6-51 ¿Cuál es la velocidad de escape de la Luna?
Trabajo, energía y potencia
Sección 6.8
1
La energía potencial eléctrica
6-52 Un protón se dispara hacia otro protón que se
mantiene en reposo. La velocidad del protón inci1
dente es 2 X 106 m s- • ¿A qué distancia se pararán
los protones?
6-53 Un electrón se dispara hacia un protón que se
mantiene en reposo. La velocidad inicial del electrón es 107 m s- 1• ¿Cuáles su velocidad cuando se halla a 10- 11 m del protón?
6-54 Según la teoría de Bohr del átomo de hidrógeno, los únicos radios posibles de las órbitas del
11
electrón son ao, i2ao, 32ao, ... donde a0 = 5,3 X 10- m.
¿Cuánta energía (en electronvoltios) ha de suministrarse para una transición desde la órbita de radio
a0 a la órbita de radio n2ao, n = 2, 3, ...? (Esta energía puede suministrarse mediante radiación electromagnética.)
6-55 El núcleo de un átomo de uranio contiene 92
protones. Los electrones se mueven en órbitas de diversos radios, y la de los electrones más proximos
al núcleo tiene 1/ 92 veces el radio de la órbita del electrón del átomo de hidrógeno. Hallar la razón de las
energias necesarias para liberar uno de los electrones más profundos del átomo de uranio y para liberar el electrón del átomo de hidrógeno.
6-56 Hallar la razón de las energías potenciales gravitatorias y eléctricas del electrón y el protón en un
átomo de hidrógeno.
6-57 En el tubo de rayos catódicos de un televisor,
un electrón es acelerado mediante fuerzas eléctricas
desde el reposo hast;:t 8 X 107 m s- 1• ¿Cuál es la variación de su energía potencial eléctrica (a) en julios, (b) en electronvoltios?
6-58 En un aparato de rayos X, los electrones se
aceleran mediante fuerzas eléctricas. Si inicialmente se hallan en reposo y pierden 50 000 eV de energía potencial eléctrica, ¿cuál es su velocidad final?
Sección 6.9
1
Potencia
6-59 Dos equipos de estudiantes tiran de una cuerda en un juego. El equipo A está ganando, ya que
la cuerda se mueve en su dirección a una velocidad
constante de 0,01 m s- 1• La tensión en la cuerda vale
4000 N. ¿Qué potencia desarrolla el equipo A?
6-60 Si un hombre puede realizar trabajo mecánico a razón de 8 W por kilo de masa de su cuerpo durante una actividad continua, ¿a qué velocidad puede· subir escaleras?
151
6-61 U na chica de 40 kg de masa trepa por una cuerda hasta 8 m de altura con velocidad constante en
15 s. ¿Qué potencia desarrolla durante la ascensión?
6-62 Un motor de montacargas tiene una potencia
de 2000 W. ¿A qué velocidad puede levantar una
carga de 1000 kg?
6-63 Las velocidades de crucero para peces de 0,3
m de largo son aproximadamente de 0,35 m s- 1• La
potencia media consumida es de unos 4,5 W por
kilo de masa de su cuerpo. Suponer que la masa del
pez es de 0,4 kg. (a) ¿Cuál es la potencia media consumida por el pez en su natación de crucero? (b)
¿Cuál es la fuerza media ejercida por el pez sobre
el agua? (c) ¿Cuánto trabajo realiza el pez en 10 minutos?
6-64 El motor de una bomba de agua puede desarrollar una potencia de 1000 W. Si el cambio de
energía cinética es despreciable, ¿cuántos kilos de
agua puede subir por segundo desde un pozo de 20
m de profundidad?
6-65 ¿Cuánto cuesta mantener encendida una bombilla de 100 W durante 24 horas si la energía eléctrica cuesta 5 centavos por kilowatio-hora (kWh)?
6-66 La masa total de un hombre y una bicicleta es
100 kg, y avanzan con una velocidad constante de
8 m s- 1 cuesta arriba por una pendiente que forma
un ángulo de 4º con la horizontal. ¿Qué potencia
debe desarrollar el ciclista contra las fuerzas gravitatorias?
6-67 Un ciclista debe desarrollar una potencia de
100 W contra las fuerzas disipativas para correr a
una velocidad constante de 5 m s- 1 en terreno llano. (a) Si las fuerzas disipativas fueran independientes de la velocidad, ¿qué potencia debería desarrollar a una velocidad constante de lO m s- 1? (b) La
parte de fuerza_s disipativas debida a la resistencia
del aire aumenta de hecho rápidamente con la velocidad. Si suponemos que las fuerzas disipativas
son proporcionales al cuadrado de la velocidad,
¿qué potencia debería desarrollar para mantener
una velocidad constante de lO m s-,?
6-68 Un coche de 2000 kg acelera desde el reposo
hasta 30 m s- 1 en 10 s. ¿Qué potencia media se necesita para ello?
6-69 Un telesilla transporta dos esquiadores a la
cumbre de una colina de 500 m de altura cada 12 s.
La masa media de un esquiador más su equipo es
de 80 kg. Si se supone que las fuerzas disipativas
152
son despreciables, hallar la potencia desarrollada
por el motor del telesilla.
6-70 La luz solar directa llega a una superficie horizontal con una tasa de 200 vatios por metro cuadrado de área. En este valor se han promediado días
y noches, estaciones del año y tiempo despejado o
nuboso. Supóngase que el 10 % de esta energía solar pudiera convertirse en energía eléctrica. ¿Qué
área, en kilómetros cuadrados, se necesitaría para
sustituir una gran central nuclear de 109 W?
6-71 Una familia americana media de 4 personas
consume en su hogar una potencia total de 8 k W.
(a) La energía solar directa incide sobre una superficie horizontal con una tasa media de 200 vatios
por metro cuadrado. Si el 20 por ciento de esta energía se pudiera aprovechar y utilizar, ¿qué área se necesitaría para suministrar los 8 kW? (b) Compárese esta área con la del tejado de una casa unifamiliar media.
6-72 La energía solar incide sobre la superficie
terrestre con una tasa de 350 W por metro cuadrado, donde se ha promediado la latitud, las horas del
día y las estaciones del año. (Dicha energía se recibe independientemente de las condiciones meteorológicas.) Un 2 por ciento de dicha energía se convierte en energía eólica. (a) Hallar la razón de lapotencia eólica generada por el Sol sobre el globo
terráqueo a la potencia total consumida por los humanos, que es de unos 10 13 W. (El radio terrestre es
unos 6,38 X 106 m.) (b) Se ha sugerido que podría
aprovecharse como máximo un 3 por ciento de la
energía eólica para las actividades humanas. ¿Pvdría resultar suficiente para abastecer nuestras necesidades globales de energía?
Sección 6.10 1 Trabajo y energía en el movimiento
de rotación (Véase la Tabla 5.3 para los momentos
de inercia.)
6-73 Una rueda de triciclo de momento de inercia
0,04 kg m2 gira una vez por segundo. ¿Cuál es su
energía cinética?
6-74 A partir de los datos astronómicos de la contracubierta posterior, hallar la energía cinética asociada con la rotación diaria de la Tierra. (Supóngase que ésta es una esfera uniforme.)
6-75 Un cilindro de 3 kg y de 0,2 m de radio gira al1
rededor de su eje a 40 rad s· • (a) Hallar la energía
cinética si el cilindro es macizo. (b) Hallar la energía cinética si el cilindro es una corteza fina.
Trabajo, energía y potencia
6-76 Los refinamientos en tecnología de materiales
han abierto la posibilidad de utilizar la energía almacenada en volantes para hacer funcionar coches.
(a) Si un volante es un cilindro macizo de 1000 kg
de masa y 1 m de rádio, ¿cuál es su energía cinética
1
cuando gira a 1000 rad s· ? (b) ¿Durante cuanto
tiempo puede suministrar energía a un coche a una
potencia medida de 20 kW?
6-77 El conjunto de las cuchillas de una máquina
de segar el césped tiene una masa de 3 kg y un radio de giro de 0,1 m, y gira a 300 rad s· 1• (a) ¿Cuál
es su energía cinética? (b) Cuando la máquina se detiene, las cuchillas se paran en 100 rotaciones completas. ¿Cuál es el momento medio que actúa sobre
las cuchillas? (c) ¿Qué ha pasado con la energía cinética?
6-78 Un taladro eléctrico gira a 200 rad s·1 al perforar un bloque de madera. Si su motor desarrolla
400 W de potencia, ¿qué momento ejerce la madera sobre la broca?
6-79 En la Fig. 6.21, la polea es un cilindro uniforme de masa m y radio r. Las cuerdas no tienen masa
y no hay rozamiento. Si el sistema se halla inicialmente en reposo, hallar la velocidad de los bloques
cuando han recorrido una distancia d.
6-80 U na rueda de bicicleta tiene una masa de 4 kg
y un radio de 0,35 m. Toda su masa puede considerarse concentrada en su borde. Cuando la bicicleta
se levanta del suelo y la rueda se hace girar a 5 rev
s· 1, ésta se detiene tras 20 revoluciones completas.
(a) ¿Cuál es el momento medio ejercido sobre la rueda? (b) Si dicho momento se debe. por completo a
la fricción en los cojinetes, y si dicha fuerza actúa a
una distancia de l cm del eje oponiéndose al movimiento, ¿cuál es su valor?
Sección 6.11
1
El salto. Leyes de escala en fisiología
6-81 Utilizando los datos de la Tabla 1.4 calcular
el trabajo y la potencia por unidad de masa en un
salto de (a) un canguro y (b) una langosta.
6-82 ¿Cuál de los animales de la Tabla 1.4 realiza
la máxima cantidad de trabajo por unidad de masa
en el salto?¿Cuál de ellos realiza el mínimo trabajo?
6-83 Demostrar que si la velocidad con que el oxígeno es absorbido por un animal y suministrado a
sus tejidos varía proporcionalmente a la superficie
de sus arterias, su producción de potencia por unidad de masa debería variar como r'. ¿Qué sugiere
esto con respecto al ritmo del pulso?
Trabajo, energía y potencia
1,53
6-84 ¿Cómo varía la tasa de pérdida de calor por
*6-88 En un cierto río el salmón del Problema 6-87
unidad de masa del cuerpo en un ambiente frío con
la longitud característica/ del animal?(La velocidad
de pérdida de calor es proporcional al área de la superficie.)
encuentra una cascada de 6 m de altura. Para facilitar el ascenso del salmón se construye un paso para
peces, que consiste en una serie de chorros en pendiente que comunican con estanques escalonados
donde la velocidad del agua es prácticamente nula.
Si a cada estanque con su correspondiente chorro
inclinado lo llamamos un escalón, ¿cuál es el mínimo número de escalones necesario para permitir
que el salmón ascienda la cascada sin tener que saltar?
6-89 Puede calcularse fácilmente un límite superior
para la cantidad de energía que puede obtenerse del
agua en los Estados Unidos. La precipitación media anual es de unos 0,75 m, y el área del país es de
6
2
8 X 10 km • (a) ¿Cuál es la masa de la precipitación
anual? (b) Al promediar sobre montañas, llanos y
áreas costeras, la elevación media del país es de unos
500 m. Si toda el agua de lluvia llegara eventualmente a los océanos, ¿cuánta energía potencial se disiparía? (c) En realidad, dos tercios de dicha agua
se evaporan y vuelven a la atmósfera. Supóngase
que toda el agua restante se utilizara para producir
energía eléctrica. ¿Cuál sería la potencia media producida suponiendo que no se disipara energía en
forma de calor? (La capacidad hidroeléctrica instalada en Estados Unidos es de unos 65 GW.)
6-90 Las grandes centrales eléctricas de combustibles fósiles o nucleares operan de forma más económica cuando funcionan las 24 horas del día al
completo. El exceso de energía eléctrica puede ser
«almacenado» y recuperado bombeando agua a un
depósito en la cumbre de una montaña y dejándola
caer a través de turbinas en los momentos de máxima demanda. En una de tales instalaciones, el agua
cae una distancia media de 250 m. El depósito tiene un área superficial media de 1,3 km2 y una profundidad media de 10 m. (a) ¿De cuánta energía se
dispone cada vez que se vacía el depósito? (b) Si se
vacía en un período de 10 horas y el 80 por ciento
de su energía se transforma en energía eléctrica,
·¿cuál es la potencia generada?
6-91 En algunas zonas de la Bahía de Fundy, la diferencia de nivel entre la pleamar y la bajamar puede llegar hasta 17 m. La diferencia media de nivel
en la bahía es de unos 4 m. La bahía tiene unos 300
km de longitud y 65 km de ancho. (a) ¿Qué energía
potencial gravitatoria se pierde cuando la bahía se
vacía? (b) Supóngase que la mitad de esta energía
PROBLEMAS
6-85 Una fuerza horizontal F aplicada a un bloque
de masa m lo empuja a velocidad constante v una
distancia / a lo largo de un plano que forma un ángulo 0 con la horizontal (Fig. 6.22). Si el rozamiento es despreciable, ¿qué trabajo realiza la fuerza F?
6-86 La fuerza necesaria para comprimir cierto
muelle una distancia s con respecto a su longitud
normal en ausencia de perturbaciones es F = KS,
donde K = 300 N m- 1• (a) Trazar un gráfico de F en
función de s. (b) ¿Cuánto trabajo debe realizarse
para comprimir el muelle 0,2 m? (c) ¿Cuánto trabajo debe realizarse para comprimirlo 0,2 m más?
*6-87 Si un salmón encuentra una cascada al remontar un río, intentará ascender la cascada mediante
una de las dos maneras siguientes. Si puede nadar
bastante deprisa, remontará directamente la cascada. Si no puede, saltará desde la base de la cascada
hasta una altura donde la velocidad del agua sea lo
suficientemente baja para poder ser remontada.
Supóngase que el salmón puede alcanzar una velocidad máxima de 5 m s- l en agua estancada y que
el agua en el punto superior de la cascada y en la
base de la misma está en reposo. (a) ¿Cuál es la máxima altura de una cascada que el salmón puede remontar nadando sin saltar? (b) Si la cascada tiene
1 m de altura, ¿cuál es la velocidad del pez con respecto a la base cuando empieza a nadar hacia arriba en la parte inferior del chorro de la cascada? (c)
Si la cascada tiene 2 m de altura, ¿cuál es la mínima altura del chorro a la que el pez deberá saltar
para poder remontar nadando el resto del camino?
(d) Para poder saltar la distancia necesaria en la parte (c), ¿cuál ha de ser la velocidad inicial del pez
cuando sale del agua?
Figura 6 .22
Problema 6-85.
154
pudiera transformarse en energía eléctrica cada vez
que la bahía se vacía y cada vez que se llena. Aproximadamente hay dos pleamares y dos bajamares
cada día. ¿Cuál sería la potencia eléctrica media generada? (c) Hallar la razón de esta potencia a lapotencia eléctrica consumida habitualmente en Canadá, que es de unos 2 X 1$) 10 W.
6-92 El agua de los lados de la Tierra contiguo y
opuesto a la Luna está a nivel más alto que el agua
de los lados intermedios. La rotación de la Tierra
entre estas protuberancias produce aproximadamente dos pleamares y dos bajamares al día. (a) Demostrar que cuando el agua de un área A del océano disminuye de nivel entre pleamar y bajamar una
altura d, la disminución de energía potencial gravitatoria es pgA<Í12, donde p es la densidad del agua. ·
(b) Suponiendo que la Tierra estuviera completamente cubierta por agua, demostrar que el total global de las disminuciones de energía potencial sería
4rrR/ pg<Í, donde R7 es el radio de la Tierra. (Parte
de esta energía se disipa en forma de calor cada día,
y es reemplazada por energía cinética del movimiento de rotación de la Tierra. En este proceso, la rotación se decelera ligeramente, de modo que el día se
alarga 1,5 X 10- 3 segundos por siglo.)
6-93 En el problema anterior se da una fórmula
para las variaciones diarias de energía potencial asociadas con las mareas. (a) Calcular dicha eriergía si
la variación media de nivel d entre pleamar y bajamar es 0,5 m. (La densidad del agua es 1000 kg m-3
y el radio de la Tierra es 6,38 X 106 m.) (b) ¿Qué potencia media corresponde a esta energía? (c) ¿Cuál
es la r, .tón de esta potencia a la potencia total consumida en todo el mundo, que es de unos 10 13 W?
6-94 Las cataratas de la Herradura del río Niágara,
en el Canadá, tienen aproximadamente 50 m de altura y 800 de anchura. El agua se mueve a 10 m s·1
y tiene una profundidad de 1 m en el momento de
caer. (a) ¿Qué volumen de agua cae por las cataratas
cada segundo? (b) ¿Cuál es el cambio de energía potencial de este volumen de agua? (Un metro cúbico
de agua tiene 103 kg de masa.) (c) Si esta energía potencial se convirtiera directamente en energía eléctrica, ¿qué potencia eléctrica se produciría? (d) La
capacidad total de producción de potencia eléctrica de los estados Unidos es aproximadamente de
5 X 10 11 W. ¿Qué porcentaje de esta potencia podría
producirse si se aprovechara el 80 por ciento de la
energía de las cataratas?
Trabajo, energía y potencia
6-95 Para que un coche de 2000 kg pueda mantener una velocidad constante de 65 km h- 1 debe realizarse trabajo contra las fuerzas disipativas a una.
tasa de 9 kW. (a) ¿Cuánto valen las fuerzas disipativas? (b) El rendimiento de un motor de gasolina
es tan sólo del 20 por ciento, parte de la potencia
se pierde en la transmisión y en los engranajes, y se
necesita cierta potencia adicional para hacer funcionar las luces, el generador, la bomba de agua y
otros accesorios. Por consiguiente, tan sólo un 12,5
por ciento de la energía obtenida al quemar gasolina se utiliza de hecho para mantener el coche en
marcha. ¿Qué distancia puede recorrer el coche a
esta velocidad con un litro de gasolina, que contie7
ne 3,4 X 10 J de energía química?
6-96 (a) ¿Cuál es la energía cinética de un coche de
2000 kg que corre a 65 km h- 1? (b) Si dicha velocidad se logra en 10 s, ¿qué potencia media se necesita? (c) Hallar la razón de esta potencia a los 9 kW
necesarios para mantener constante la velocidad de
65 km h- 1• {d)A partir de los datos del problema anterior, calcular los litros de gasolina necesarios para
acelerar un coche desde el reposo hasta los 65 km
h-1.
6-97 Cuando un coche sube por una pendiente, se
necesita suministrarle cierta potencia adiciona! además de la necesaria para mantener una velocidad
constante en terreno llano. Para el coche del Problema 6-95, a 65 km h- 1, ¿qué ángulo forma la carretera con la horizontal si la potencia total necesaria
es el doble que en terreno llano?
6-98 Parte de la potencia necesaria para mantener
en movimiento un coche es disipada por la resistencia del aire, y parte en el trabajo de deformación de
los neumáticos a medida que ruedan por la carretera (resistencia de la carretera). A 65 km h-1 , éstas
son aproximadamente iguales. (a) La resistencia del
aire varía aproximadamente como el cuadrado de
la velocidad, en tanto que la resistencia de la carretera es casi independiente de la misma ¿En qué factor aumentará el consumo de potencia si de duplica la velocidad? (b) ¿En qué factor se reducirá el número de kilómetros que pueden hacerse por litn? de
gasolina?
·
*6-99 La energía potencial de un objeto de masa m
a una altura h sobre la superficie de la Tierra es U
= -GM-¡1nl(RT + h). RT es el radio de la Tierra y
M7 es su masa. Utilizando la Ec. B.15 del Apéndice B, demostrar para h ~ R7 que
155
Trabajo, energía y potencia
U~ - GM.,m
(1 - ~Rr ).
Rr
*6-100 Demostrar que para un cohete que se dispa-
ra desde las proximidades de la Tierra, la mínima velocidad para escapar del sistema solar es v, =
./2C/T, donde C es la circunferencia de la órbita
terrestre y T es 1 año, el período de la rotación de
la· Tierra alrededor del Sol. (Despreciar la energía
necesaria para escapar de la Tierra.)
6-101 Utilizando la fórmula del problema anterior,
comparar las velocidades necesarias para escapar
de la Tierra y del sistema solar.
6-102 Suponiendo que todos los planetas tienen la
misma densidad, o razón de la masa al volumen, demostrar cómo varía la velocidad de escape con el radio del planeta.
6-103 Durante una época se creyó que la energía
del Sol procedía de fuentes gravitatorias. Si el Sol
hubiera sido primitivamente mayor y se hubiera
contraído a su tamaño actual, se habría transformado energía potencial gravitatoria en calor. Para
evaluar la energía implicada, supóngase que el Sol
hubiera consistido originariamente en dos partes
distantes, cada una de masa M/2, con M , la masa
del Sol. (a) Demuéstrese que si dichas partes se hubieran llevado desde el infinito hasta una separación media R,, la energía liberada habría sido
GM,2/4R,(R,es el radio del Sol). (b) Calcúlese esta
energía a partir de los datos de la contracubierta
posterior de este libro. (c) Se cree que el Sol ha estado irradiando energía con la presente tasa, 3,8 X
1026 W, durante 5 X 109 años. ¿Cuánto tiempo podría irradiar a este ritmo según la estimación de la
parte (b)? (El breve período que podría durar esta
energía se utilizó en una época para establecer un límite para la edad del sistema solar. Dicho límite fue
utilizado como argumento contra la teoría de la evolución de Darwin, ya que esta necesitaba una escala temporal mucho mayor. La principal fuente de
energía solar es la fusión nuclear.)
6-104 Una estación espacial que orbita alrededor
de la Tierra a una distancia de la superficie igual al
radio terrestre lanza un paquete de instrumentos
con una velocidad inicial de 5000 m s- 1 con relación
a la Tierra. ¿Cuál es la velocidad de éste cuando llega a la atmósfera, a unos pocos kilómetros tan sólo
de la superficie terrestre?
*6-105 La energía disipada en los océanos por las
mareas es restablecida a través de fuerzas de rozamiento a partir de la energía cinética de rotación de
la Tierra. Supóngase que de algún modo se pudiera
extraer de las mareas la energía para hacer frente a
las necesidades energéticas actuales de 1013 W. (Esta
potencia es en realidad 100 veces superior a la que,
según cálculos realistas, podría extraerse de las mareas.) Si ello supusiera una pérdida adicional de
energía cinética terrestre, ¿cuánto se alargaría el día
después de un siglo? (Supóngase que la Tierra es una
esfera uniforme y utilícense los datos solares y terrestres de la contracubierta posterior.)
*6-106 El día se alarga 1,5 X 10-3 s cada siglo debido al rozamiento de las mareas. ¿Con qué tasa éstas disipan energía? (Supóngase que la Tierra es una
esfera uniforme y utilícense los datos solares y
terrestres de la contracubierta posterior.)
6-107 La fuerza muscular es proporcional al área
·de la sección transversal del músculo. Demuéstrese
que si la velocidad de contracción es constante, la
potencia por kilogramo es proporcional a /-1•
*6-108 Demostrar que si la potencia producida por
2
un animal de longitud l varía como / , la velocidad
con que puede subir por una pendiente varía como
_rl,
6-109 Demostrar que si el consumo de oxígeno de
un mamífero de longitud característica/ varía como
2
/ , el tiempo que puede permanecer bajo el agua sin
respirar varía como /.
6-110 Demostrar que si la potencia producida por
unidad de masa de músculo fuera la misma para todos los animales del mismo tipo, la altura de su salto variaría como 1213 , donde / es la longitud característica del inimal.
RESPUESTAS A LAS CUESTIONES DE REPASO
Q 6-1, paralela, opuesta, perpendicular; ·Q 6-2, ju2
mv ; Q 6-5,
lio; Q 6-3, realizar trabajo; Q 6-4,
energía cinética inicial, todas las fuerzas que actúan
sobre él; Q 6-6, conservativas; Q 6-7, energía cinética, energía potencial; Q 6-8, las fuerzas aplicadas
no realizan trabajo; Q 6-9, posición o configuración; Q 6-10, arbitraria; Q 6-11, trabajo realizado
por fuerzas conservativas; Q 6-12, energía térmica;
Q 6-13, negativo; Q 6-14, próximos a la superficie
de la Tierra; Q 6-15, velocidad de escape; Q 6-16, se
realiza trabajo; Q 6-17, vatio; Q 6-18, energía;
Q 6-19, las leyes de escala.
+
Trabajo, energía y potencia
156
TEMAS SUPLEMENTARIOS
6 .12
1
LACARRERA
En nuestro análisis del salto hemos supuesto que todo
el trabajo realizado por los músculos se convierte en
energía mecánica y que no se disipa energía. Ello no
puede ser cierto para un animal que corra a velocidad
constante por un terreno llano. En este caso la energía mecánica permanece constante. Sin _embargo, en
cada zancada, los músculos consumen energía para
acelerar las piernas y levantar el centro de gravedad
del cuerpo. Esta energía se disipa cuando las piernas se
detienen y baja el centro de gravedad del cuerpo. En
este problema interviene una gran variedad de fuerzas
disipativas, por lo que un análisis directo basado en
las leyes de Newton sería muy dificil.
Otro tipo de modelo de análisis ha sido propuesto
recientemente por el matemático J. B. Keller, quien
deja de lado los detalles específicos de estas fuerzas. Se
supone que el corredor ejerce una fuerza netafque varía con el tiempo pero que nunca sobrepas_a una determinada fuerza máxima, Fmax- La potencia consumida
por el corredor es la fuerza por la velocidad,fv. Una
fuerza disipativa, D, se opone al movimiento y se supone que es proporcional a la velocidad, de modo que
D = cv. El corredor dispone de una reserva inicial de
energía, E 0 , pero una vez que ésta se ha agotado la velocidad viene limitada por el ritmo a (que se supone
constante) con que los procesos metabólicos proporcionan energía adicional.
Dadas estas hipótesis, el problema matemático
consiste en hallar la fuerzafque el corredor ha de ejercer para correr una determinada carrera tan rápidamente como le sea posible. Los cuatro pa_rámetros fisiológicos de este modelo -las magnitudes Fmm e, Eo
y a- se escogen comparando los tiempos calculados
con las marcas mundiales en varias distancias. Si el modelo predice entonces correctamente los tiempos de
muchas otras marcas, puede considerarse adecuado y
sus parámetros fisiológicos pueden ser utilizados en el
estudio de otras actividades.
La solución de Keller a este problema establece que
para recorridos inferiores a 291 m, un corredor habría
de ejercer la fuerza máxima Fmax a lo largo de toda la
carrera. En recorridos más largos, debe acelerar lo más
posible durante uno o dos segundos y correr entonces
a velocidad constante hasta disminuir ligeramente su
velocidad en los últimos pasos. Estos resultados están
de acuerdo con el consejo de mantener siempre un rit-
TABLA 6.2
Parámetros fisiológicos en unidades S. l. para el modelo de Keller de la carrera atlética de un hombre
de 80 kg. Estas constantes son todas proporcionales a la masa del cuerpo. Por ejemplo, para un corredor de 100 kg de masa, los parámetros deberían
multiplicarse por 100/80 = 1,25.
Fuerza máxima
Coeficiente de la
fuerza disipativa
Energía metabólica almacenada
Ritmo de conversión de la energía
metabólica
F...., . = 976 N
e
E0
= 89,7 Ns m= 193 000 J
1
a= 3330 W
mo constante. Sin embargo, los corredores terminan a
menudo las carreras largas con un aumento de su velocidad, más que con una disminución de la misma.
Los aspectos competitivos de la carrera son los motivos de esta ligera discrepancia.
La Tabla 6-2 da los cuatro parámetros fisiológicos
hallados al comparar con las marcas mundiales. La
Fig. 6-23 muestra que la curva teórica velocidad media-distancia concuerda bien con los datos para todas
las distancias hasta 10 000 m. El gran aumento de velocidad inicial y la posterior reducción de velocidad a
medida que la distancia aumenta es correctamente predicha por la teoda.
La utilización de los parámetros fisológicós se
muestra en el siguiente ejemplo.
12
o
Figura 6 .23
500
l 000
1500
Distancia de la carrera (metros)
2000
Velocidad media en carreras de diferentes di_stancias. Los puntos representan las celeridades medias de marcas mundiales masculinas. La curva es la predicción teórica utilizando los valores de los cuatro parámetros en el modelo de Keller que da el mejor ajuste a las marcas mundiales. (Tomado de Joseph B. Keller,
Physics Today. American Institute of Physics.)
157
Trabajo, energía y potencia
Ejemplo 6.17
La marca mundial de los S000 m es 796,6 s, correspondiente a una velocidad media de 6,28 m s-,. Hallarla
potencia disipada a esta velocidad por un corredor de 80
kg de masa, y compararla con el ritmo con que los procesos metabólicos proporcionan la energía adicional.
La potencia disipada es <J>d = Dv = (cv)v. Según la Tabla 6.2, e= 89,7 N m- 1 y
<Pd
= cu 2 = (89,7 N s m - 1)(6,28 m s·
1) 2
= 3S38 W
FT-
Aún queda por ver si este modelo particular describe
correctamente las características más importantes de
la carrera. En todo caso, muestra cómo un modelo simple que se basa en consideraciones energéticas puede
ser útil para aclarar un problema muy complejo.
6.13 I DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DE LA ENERGÍA
POTENCIAL GRAVITATORIA
Cuando la separación entre m y Mvaría en .6.r, el trabajo .6.W8 realizado por la fuerza gravitatoria es igual,
con signo opuesto, al cambio de energía potencial .6.U
(véase Ec. 6.6). El signo menos corresponde al hecho de
que cuando un objeto se eleva por encima de la Tierra,
su energía potencial aumenta; la fuerza gravitatoria
hace un trabajo negativo. Así pues, si F, es la componente de la fuerza gravitatoria media en la dirección r
(Fig.- 6.24),
= F. !::,.r = -!::,.'U
T
~
M
Figura 6.24 Como la fuerza gravitatoria F es opuesta a r, F,
= -F. Cuando m se separa de M, la fuerza gravitatoria realiza trabajo negativo y aumenta la energía potencial.
dU
dr
Podemos comprobar que la Ec. 6.15 satisface esta relación, si utilizamos la Ec. B.23 del Apéndice B,
.!!_
dr
La energía se suministra a un ritmo de a= 3330 W, de
modo que el corredor está consumiendo energía almacenada. La diferencia entre la energía consumida y la energía producida es 208 W. En 797 s, esto corresponde a un
consumo de energía de E = (208 W)(797 s) = 166 000 J.
Esta cantidad se aproxima a la energía total almacenada
Eo= 193 000 J, indicando, como era de esperar, que el corredor ha consumido casi toda la energía que tenía almacenada.
!::,. wg
Dividiendo por .ó.r y haciendo que .ó.r se haga muy pequeño,
(J_)
- _...!...r
r 2
Por consiguiente, la elección U
~ = GmM : ,
=
-GmM/r da
(+.) = - c,~M
El signo menos indica que F tiene sentido opuesto al
de r, por lo que es equivalente a la Ec. 6.14.
EJERCICIOS SOBRE LOS TEMAS
SUPLEMENTARIOS
Sección 6.11 1 La carrera
6-111 (a) Según el modelo de Keller, ¿cuál es la fuerza disipativa sobre un hombre de 80 kg de masa que
1
corre a 8 m s· ? (b) ¿Cuál es su consumo de potencia?
6-112 El metabolismo de un gramo de grasa proporciona unos 8000 J de energía mecánica. Si toda
su energía proviene del metabolismo de la grasa,
¿cuánta grasa consumirá un corredor de 80 kg de
masa que vaya a 7 m s· 1 según el modelo de Keller?
PROBLEMAS SOBRE LOS TEMAS
SUPLEMENTARIOS
6-113 En el modelo de Keller el consumo de potencia de un corredor es igual a la potencia absorbida
cuando v2 = ale. Calcular la velocidad a que esto
ocurre y compararla con la velocidad media de la
marca mundial de los 5000 m que es de 6,28 m s· 1 •
6-114 (a) Calcular la fuerza máxima que puede ejercer un corredor de 60 kg. (b) En una carrera de 2000
m, la velocidad media de la marca mundial es de
1
6,64 m s· • ¿Cuál es la fuerza disipativa? (c) Explíquese la diferencia.
6-115 (a) Supóngase que un corredor ejerce la fuerza máxima posible y que no tiene ninguna producción adicional de energía. ¿Qué distancia podría recorrer con la energía almacenada? (b) ¿Cuánto tiempo se necesita para que los procesos metabólicos
proporcionen una cantidad de energía igual a las reservas almacenadas al principio de la carrera?
158
Lecturas adicionales
Elmer L. Offenbacher, Physics and the Vertical Jump, American Journal of Physics. vol. 38, 1970, p. 829.
Sir James Gray, How Animals Move, Cambridge University
Press, Cambridge 1953. Las páginas 69-80 analizan el salto.
R. McNeill Alexander,Anima/ Mechanics, University ofWashington Press, Seattle, 1968. Las páginas 28-33 analizan
el salto.
E. F. Adolph, Qt.antitative Relations in the Physiological
Constitutions of Mammals, Science, vol. 109, 1949, p.
579. Leyes de escala en biología.
Walter R. Stahl, Similarity and Dimensional Methods in Biology, Science, vol. 137, 1962, p. 205.
A. Gold, Energy Expenditure in Animal Locomotion, Science, vol. 181, 1973, p. 275.
John Maynard Smith, Mathematica/ Ideas in Bio/ogy, Cambridge University Press, Cambridge, 1968. Leyes de escala de la carrera.
J oseph B. Keller, A Theory of Competitive Running, Physics
Today, vol. 26, septiembre 1973, p . 42.
Knut Schmidt-Nielsen, Locomotion: Energy Cost of Swimming, FlyingandRunning, Science, vol. 177, 1972,p. 222.
Knut Schmidt-1':lielsen,How Anima/s Work, Cambridge University Press, London, 1972. Aplicaciones de los principios flsicos a la fisiología; leyes de escala.
Galileo Galilei, Dialogues Concerning Two New Sciences, traducido al inglés por Henry Crew y Alfonso de Salvio, The
MacMillan Co., New York, 1914; Dover Publications,
New York, 1954. El primer análisis de las leyes de escala
en biología.
David.Pilbeam and Stephen Jay Gould, Size and Scaling in
Human Evolution, Science, vol. 186, 1974, p. 892.
V. A. Tucker, The Energetic Cost of Moving About, American Scientist, vol. 63, 1975, p. 413. Ventajas de volar, nadar o ir en bicicleta comparadas con el andar y el correr.
Trabajo, energía y potencia
sobre fuentes alternativas de energía y temas afines. Algunos artículos relacionados con los temas mencionados en este capítulo son:
George F. D. Duff, Tidal power in the Bay of Fundy, Technology Review, Noviembre, 1978, p. 34.
M. R. Gustavson, Limits to Wind Power Utilization, Science,
vol. 204, Abril 6, 1979, p. 13.
John D . Isaacs and Walter R. Schmitt, Ocean Energy: Forms
and Prospects, Science, vol. 207, Enero 18, 1980, p. 265.
G. Waring, Energy and the Automobile, The Physics Teacher,
vol. 18, 1980, p. 494.
Kelly Beatty, Solar Satellites, Science 80, Diciembre 1980,
p. 28.
Los libros siguientes presentan discusiones detalladas sobre las consecuencias de la finitud de los recursos de energía, efectos ambientales, la ciencia y la tecnología de fuentes alternativas de energía.
Robert H. Romer, Energy, An Introduction to Physics, W. H.
Freeman and Co., San Francisco, 1976. Texto básico de
física con muchas aplicaciones a la energía.
Joseph Priest, Energy for a Technologica/ Society, Segunda
edición, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, 1979.
Edición en rústica.
John M. Fowler, Energy and the Environment, McGraw-Hill
Book Co., New York, 1975. Edición en rústica.
Energy, Readingsfrom Scientific American, W. H. Freeman
and Co., San Francisco, 1979. Edición en rústica.
Artículos del Scientific American:
Milton Hildebrand, How Animals Run, Mayo 1960, p. 149.
Henry W. Ryder, Harry J. Carr and Paul H erget, Future Performances in Footracing, Junio, 1976, p. 109.
Artículos de Investigación y Ciencia
Las lecturas adicionales del Capítulo 11 incluyen
muchas referencias a temas relacionados con la energía. Las revistas Science y Scientific American (Investigación y Ciencia) publican muchos artículos actuales
T. J . Dawson, Canguros, Octubre 1977, p. 52. Energética del
salto.
Charles L. Gray, Ahorro de combustible en vehículos ligeros,
Julio 1981, p. 8.
CAPÍTULO 7
ÍMPETU Y
MOVIMIENTO ANGULAR
Hemos visto cómo puede utilizarse la conservación de
la energía para analizar el movimiento tanto de sistemas simples como complicados en muchas situaciones.
En este capítulo introducimos otras dos magnitudts
que se conservan en ciertas condiciones: ímpetu y momento angular. Al igual que la conservación de la energía, la conservación del ímpetu y del momento angular son conceptos de vasta aplicabilidad y resultan úti"les incluso en el mundo subatómico, donde no se cumplen las leyes de Newton.
.Muchos sucesos de la vida corriente pueden consi•
derarse como choques, aun cuando en general no los
tengamos como tales. Un jugador de béisbol que lanza o recoge una pelota, un puñetazo en un combate de
boxeo y la acción de los cinturones de seguridad sobre
los pasajeros en un accidente de automóvil constituyen ejemplos de colisiones. Aunque los choques no son
sucesos extraños a nuestra experiencia, es dificil analizarlos mediante los métodos propuestos hasta ahora
en este libro. En particular, como las fuerzas que actúan durante un choque son difíciles dé determinar, se
hace dificil aplicar directamente la segunda ley de Newton. Además, en muchos choques la energía mecánica
no se conserva y los métodos de conservación de la
energía Útilizados en el capítulo anterior resultan por
lo tanto inadecuados.
El ímpetu, conocido también como cantidad de
movimiento, resulta especialmente útil en el estudio de
las colisiones. El ímpetu de un objeto es,el producto de
su masa por la velocidad. Cuando dos objetos chocan,
el ímpetu de. cada uno de ellos puede variar, pero el ímpetu total del sistema constituido por ambos objetos a
menudo permanece constante, ya sea exactamente o
con muy buena aproximación.
El cambio del ímpetu de un objeto se relaciona directamente con las fuerzas que actúan sobre dicho objeto. Debido a ello, a veces podemos hallar las fuerzas
medias que intervienen en un proceso complicado midiendo el cambio del ímpetu. Las fuerzas que intervienen en los cambios de ímpetu vienen contenidas en una
magnitud denominada impulso.
El momento angular de un sólido rígido que gira
con respecto a un eje fijo es el producto de su momento de inercia por su velocidad angular. Lo mismo que la
conservación del ímpetu se puede utilizar para estudiar
el movimiento de traslación, la conservación del momento angular es una ayuda inestimable en problemas
complicados de movimiento de rotación. Por ejemplo,
los patinadores artísticos en sus giros, los gimnastas en
sus saltos y los gatos en sus caídas tienen momento angular constante. Este hecho es de suma importancia
para comprender sus movimientos.
7.1
1
IMPULSO E ÍMPETU
Mediante un ejemplo, definimos ahora impulso e fmpetu y hallamos la relación entre ambos. La Fig. 7.1
muestra un hombre que está empujando una cómoda
provista de ruedas. Supondremos que las fuerzas de rozamiento sobre la cómoda son despreciables. Mediante las leyes de Newton podemos hallar una relación entre las fuerzas que actúan sobre la cómoda, el cambio
de su velocidad y el tiempo que actúan las fuerzas.
159
lmpetu y momento angular
160
--
F
u
u
(J
o
()
u
V
N
(a)
~
u
,
\\' = m g
(b)
Figura 7 .1
(a) Un hombre empuja una cómoda, que se desplaza sin rozamiento sobre ruedas. (b) Las fuerzas que actúan sobre la
cómoda son F, el peso w = mg y la fuerza normal N.
(bJ
(a l
Figura 7.2 Pasajero de un vehículo durante una colisión, (a)
sin cinturón alguno, (b) con sólo un cinturón ventral, (e) con cinturón de seguridad completo.
= p' -
p, la fuerza media F sobre la pelota vale
F = mu' = (0,15 kg)(40 m s-1) = 6000 N
3
La fuerza F actúa sobre la cómoda durante un intervalo t:.t. Durante este período la velocidad de la cómoda cambia desde v hasta v'. Por definición, la aceleración media a es el cambio de velocidad dividido
por el tiempo, a = (v' - v)/ t:.t. Por otro lado, según la
segunda ley de Newton, la aceleración media y la fuerza están relacionadas por F = ma, de modo que
-F=m (V'- t:.t-- V)
o bien
Ft:.t =
mv' - mv
(7.1)
El producto de la fuerza media por el tiempo, F !1t,
se denomina impulso. El producto mv es el ímpetu,
p =mv
(7.2)
Vemos que el ímpetu de un objeto tiene las dimensiones
de fuerza por tiempo, o de masa por velocidad. La unidad S.I. de ímpetu es el kilogramo-metro por segundo
(kg m s- 1). La Ec. 7 .1 significa que el impulso es igual a la
variación del ímpetu.
F t:.t = p' -
p
(7.3)
El siguiente ejemplo muestra cómo puede utilizarse
este resultado.
Ejemplo 7.1
Una pelota de béisbol inicialmente en reposo se golpea con un bate. La velocidad de la pelota, de masa 0,15
kg, en el instante inmediatamente posterior al choque,
vale 40 m s-i. Si la duración del impacto es 10- 3 s, ¿cuál
es la fuerza media sobre la pelota?
El ímpetu inicial p de la pelota es nulo, ya que parte
del reposo; el ímpetu final es p' = mv'. Así pues, como F t::.t
6.t
( 10- s)
que es una fuerza muy considerable. ·
I Los accidentes de automóvil son sucesos complicados en los que interviene un gran número de variables. Sin embargo,
muchas cuestiones referentes a la seguridad de los pasajeros pueden analizarse mediante los conceptos de
impulso y de ímpetu.
Para visualizar lo que ocurre en un accidente, supongamos que un coche choca de frente contra una pared de piedra o contra un árbol a velocidad apreciable. La parte frontal del coche se hundirá y el compartimento de pasajeros se parará en el espacio de un metro, aproximadamente. El tiempo típico necesario para
que ello ocurra es del orden de las décimas de segundo. Un pasajero con cinturón de seguridad se parará
por lo tanto en unas décimas de segundo. Sin embargo, un pasajero sin cinturón se deslizará hacia delante
aproximadamente con la misma velocidad del coche y
chocará contra el parabrisas o con el tablero de instrumentos (Fig. 7.2). Tal pasajero se parará en un tiempo muy
corto y experimentará unas fuerzas mucho mayores
durante el impacto. La fuerza se aplicará además a una
superficie menor, lo que agravará las lesiones. El siguiente ejemplo muestra la diferencia entre ambas situaciones.
Seguridad en las autopistas
Ejemplo 7.2
Un coche que va a 10 m s-• (unos 36 km h- 1) choca contra un árbol. (a) Un pasajero sin cinturón golpea el parabrisas con la cabeza y se para en 0,02 s. El área de contacto entre la cabeza y el parabrisas es de 6 X 10-• m2
y la masa de la cabeza es de 5 kg. Hallar la fuerza media y
la fuerza media por unidad de masa que se ejerce sobre la
161
lmpetu y momento angular
cabeza. (b) Un pasajero de 70 kg de masa que lleva cinturón de seguridad se pará en 0,5 s. El área del cinturón de
seguridad en contacto con el pasajero es 0,1 m2 • Encontrar
la fuerza media y la fuerza media por unidad de área.
(a) De nuevo utilizaremos F llt = p' - p. El ímpetu final es cero, ya que el parabrisas se halla en reposo, y el
ímpetu inicial es la masa de la cabeza multiplicada por su
velocidad. Entonces, la fuerza media vale
F =L
D.t
= (5 kg)(IO m s-t) = 25 000 N
0,002 s
Fig. 7.3 mostramos dos objetos que chocan. El rozamiento es despreciable y cada objeto experimenta una
fuerza gravitatoria y una fuerza normal. Durante la colisión también se ejercen mutuamente fuerzas el uno sobre el otro. Estas fuerzas, F 12 y F2 i, son un par de acción-reacción, de modo que son igua\es y opuestas, y
F12
+ F 21 = O.
Si la duración del choque es t:.t, la variación de ímpetu de cada objeto puede calcularse a partir de las
fuerzas m~dfas F 12 y F21· Para~. F 12_!:.t = p'1 - ·P 1 y,
para m2, F 21 t:.t = p'2· - , p 2. Pero F 12 + F 21 = Oy, por lo
tanto, si sumamos estas dos ecuaciones encontramos
La fuerza media por unidad de área es
1
P1-
f. =
A
25 000 N
6 X 10-4 m
= 4 16 X 101 N m-z
'
Esto representa una fuerza muy grande por unidad de
área y es seguro que producirá serias lesiones.
(b) Se encuentra la fuerza media como la variación
de ímpetu de todo el cuerpo cuando }a velocidad del coche pasa de 10 m s-1 a cero. Así pues, F vale
F = .L = (70 kg)(JO m s- 1)
D.t
0,2 s
= 3500 N
Esta fuerza es mucho menor que la fuerza ejercida sobre
la cabeza del pasajero anterior, que no llevaba cinturón.
La fuerza media por unidad de área es
Como este valor es mucho menor que la fuerza por unidad de área sobre un pasajero que no lleva cinturón en
un factor 3000, la posibilidad de lesiones graves es por
consiguiente mucho menor para este pasajero.
El mejorar la seguridad de los pasajeros en los choques de automóviles supone aumentar el tiempo durante el cual cambia el ímpetu, o bien supone aumentar el área sobre la cual se aplican las fuerzas deceleradoras. En la primera categoría incluiremos mejoras
en los cinturones de seguridad y en los diseños de las
partes delanteras de los automóviles que permitan un
frenado más lento del compartimento de los pasajeros.
La eliminación de objetos angulosos y la utilización de
sacos hinchables de aire constituyen ejemplos en los
que se intenta aumentar el área de contacto.
7.2
1
CONSERVACIÓN DEL iMPETU
El concepto de ímpetu resulta muy útil cuando dos o
.más objetos interactúan entre sí. Por ejemplo, en la
+P 2
1
P1
-
P2 = O
o bien
(7.4)
Esta ecuación significa que el ímpetu neto de ambos
objetos antes y después del choque es el mismo, es decir,
que el fmpetu total del sistema se conserva.
Este resultado es importante, ya que significa que
se pueden relacionar las velocidades de los objetos antes y después del choque sin saber nada acerca de las
fuerzas que actúan entre ellos durante el choque. El hecho de que estas fuerzas sean siempre iguales y opuestas es suficiente para obtener dicho resultado. El siguiente ejemplo esclarece esta idea.
Ejemplo 7.3
Un neutrón que se desplaza a 2700 m s-i choca de frente eón un átomo de nitrógeno en reposo y es absorbido
por éste. La masa del neutrón es m = 1,67 X 10-27 kg y la
del átomo de nitrógeno es M = 23,0 X 10- 27 kg. ¿Cuál es
la velocidad final del cuerpo resultante? (Fig. 7.4)
Las únicas fuerzas que afectan al movimiento durante el choque son las que actúan entre el neutrón y el átomo. Por lo tanto, el ímpetu neto es constante. Antes del
choque,p =mv, y después,p' = (m + M)v', donde v' es la
velocidad final. Entonces, mv = (m + M)v', de donde,
(1,67 X 10-27 kg)(2700 m s- 1)
mu
v'=-- - - =
( 1,67 + 23,0) X 10-27 kg
(m + M)
1
= 183 m sPara saber cuándo se conserva el ímpetu, debemos
entender el papel de las fuerzas internas y externas. En
la Fig. 7 .3, las fuerzas normal y gravitatoria son externas. Como no hay movimiento vertical, N 1 + w 1 =
O y N 2 + w2 = O, y no hay impulso neto como resultado de estas fuerzas. La fuerza F 12 es una fuerza exter-
162
lmpetu y momento angular
Vz
V
Antes
del choque
N¡
/
N¡
v,
m,
mi
ví
Después
del choque
,,
,
,
,
l •\ yl
.,
.,
,
Ni
N1
1
,w2
.,
.,
/
Figura 7 .3
Dos objetos deslizan sin rozamiento dirigiéndose cada uno hacia el otro. Sus ímpetus iniciales son p1=m,v, y p2=m2v2. Durante el choque los objetos se ejercen entre sí fuerzas iguales y opuestas.
Después del choque los ímpetus de los dos objetos son p', = m,v', y p', = m,v',.
na que actúa sobre m 1 y F 21 es una fuerza externa que
actúa sobre m2• Sin embargo, si consideramos m 1 y m2
como un solo sistema, podemos decir que F 12 y F 21 son
fuerzas internas del sistema. Entonces, en la Fig. 7.3,
no existe fuerza externa neta que actúa sobre el sistema.
El ímpetu de m 1 solo no se conserva, ni tampoco el de
m2 solo, sin embargo, el ímpetu neto del sistema total
sí se conserva.
· Siempre que no actúe una fuerza exterior neta sobre
un sistema, su ímpetu se conserva. Por lo tanto, el ímpetu se conserva siempre en un sistema aislado, o sea, sometido únicamente a fuerzas internas.
M
m+M
m
o
v'
.. V
Neutrón
Átomo de
nitrógeno
(a)
(bJ
Figura 7 .4 (a) Un neutrón choca contra un átomo de nitrógeno en reposo. (b) El neutrón es absorbido y se forma un solo objeto
de masam +M.
·
En muchas situaciones de interés, el ímpetu sólo se
conserva aproximadamente, ya que actúan fuerzas externas netas. Sin embargo, los impulsos resultantes de
estas fuerzas externas son a menudo pequeños y pueden despreciarse. Por ejemplo, cuando dos coches chocan, ejercen entre sí fuerzas enormes durante un tiempo muy corto, y el impulso sobre cada uno de ellos es
notable. Una fuerza externa como el rozamiento también puede estar presente, pero su valor no es lo suficientemente grande para contribuir con ningún impulso apreciable durante el breve tiempo que dura el choque. Por lo tanto, únicamente las fuerzas internas entre ambos coches son realmente importantes, y se puede utilizar la conservación del ímpetu para estudiar el
choque.
El ímpetu también se conserva con buena aproximación cuando un objeto explota, ya que fuerzas internas contribuyen con un apreciable impulso durante
el breve lapso de la explosión. Por ejemplo, al disparar un fusil, éste debe retroceder para conservar el ímpetu cuando la bala y los gases resultantes de la explosión de la pólvora avanzan hacia adelante. En el siguiente ejemplo se discute una situación de este tipo.
lmpetu y momento angular
163
1 - - - -- - - d - - - ------l
V
m
_o--------►
Figura 7 .5
El cañón dispara una bala hacia la derecha. El cañón está fijo sobre el suelo del vagón.
Ejemplo 7.4
Se monta un cañón en el interior de un vagón de tren
que está inicialmente en reposo pero que puede moverse
sin rozamiento (Fig. 7.5). Este cañón dispara una bala de
masa m = 5 kg con una velocidad horizontal v = 15 m s-•
desde un extremo del vagón. La masa total del cañón y
del vagón de tren es M = 15000 kg. (Suponer que la masa
de los gases de escape es despreciable.) (a) ¿Cuál es la velocidad V del vagón mientras la bala está en el aire? {b) Si la
bala se incrusta en la pared opuesta, ¿cuál es la velocidad
del vagón y la bala después del impacto?
(a) Al disparar, el cañón ejerce una fuerza hacia la derecha sobre la bala. La bala ejerce una fuerza igual y
opuesta sobre el cañón y, por lo tanto, el vagón y el cañón reculan hacia la izquierda. El ímpetu neto se conserva, ya que la fuerza de rozamiento externa se considera
despreciable en este ejemplo. El ímpetu antes de disparar
es cero y, por lo tanto, después del disparo el ímpetu de
la bala hacia la derecha ha de ser igual en módulo al del
vagón y cañón hacia la izquierda. Entonces, mv = MV, y
mv
V=
(5 kg)(l5 m s- 1 )
M = (15 000 kg)
=5 X
10- :i m s- 1
La velocidad de retroceso del cañón y del vagón es pues
muy pequeña debido a su gran masa.
(b) Cuando la bala se incrusta en la pared, ésta ejerce una fuerza hacia la derecha sobre la pared (Fig. 7.5).
A su vez, la pared·ejerce una fuerza hacia la izquierda sobre la bala. La bala y el vagón cesan todo movimiento
cuando ésta se incrusta, ya que el ímpetu neto sigue siendo cero. Entretanto, el vagón habrá rodado hacia la izquierda mientras la bala se estaba desplazand9 hacia la
derecha por el aire.
Es importante observar que el ímpetu es una magnitud vectorial y que si el ímpetu total de un sistema es
constante, debe ser constante cada componente del mismo. Ello se ilustra mediante el siguiente ejemplo:
Ejemplo 7.5
Un coche de masa m = 1000 kg que avanza a 30 m
s-1 choca con otro de masa M = 2000 kg que viaja a 20 m
s - i en sentido opuesto. Inmediatamente después del choque, el coche de 1000 kg se mueve perpendicularmente a
su dirección original a 15 m s-1 • Hallar la velocidad delcoche de 2000 kg después del choque (Fig. 7.6).
Tomemos los ejes x e y como en la Fig. 7.6. La componente x del ímpetu total de ambos coches se conserva,
por lo cual
Como v'., = O, podemos despejar V', y sustituir
, _ mv,. + MV,.
V ,.M
mv,.
=-¡;¡ +
- 1000 kg (30
-1)
- 2000 kg
ms
V
+ (-
r
20
ms
-1) -
-
-5 m s-1
La componente inicial del ímpetu en la dirección y es
nula, de modo que mv',. + MV', O, y
V ' = - mv~ = v
M
1000 kg ( - 15
-1 = 7 5
s-1
2000 kg
m s )
' m ·
Vemos en estos ejemplos que la conservación del
ímpetu es una herramienta muy poderosa para el análisis de muchos tipos de problemas. Sin embargo, al
igual que la conservación de la energía, existen ciertos límites sobre lo que puede decirnos, y generalmente necesitamos información adicional sobre el estado final del sistema. Así pues, en el Ejemplo 7.3, sabemos que el neutrón y el núcleo se mueven juntos
como un solo objeto, y en el Ejemplo 7.4 conocemos
la velocidad de la bala de cañón. La conservación del
ímpetu por sí misma sólo nos dice que el ímpetu total
de un sistema se conserva en ausencia de una fuerza ex-
(al
(/¡)
Figura 7 .6 Las componentes x e y del ímpetu total de los dos
coches se conservan por separado en el choque.
164
/mpetu y momento angular
terna neta, pero no cómo dicho ímpetu se reparte entre
los objetos del sistema.
I
Balistocardiografía
La balistocardiografiaes
una aplicación del principio de conservación del ímpetu a un problema médico, el estudio de las funciones
y anomalías del corazón. Cuando un ventrículo izquierdo se contrae, bombea sangre a la aorta. Esta tiene paredes flexibles y se dilata, permitiendo un desplazamiento neto de sangre hacia la cabeza. Una persona
tendida sobre una mesa sostenida, casi sin fricción, por
chorros de aire a presión retrocederá en la dirección
opuesta. La masa de la persona es muy grande en comparación con la de la sangre desplazada, por lo cual la
velocidad de retroceso es pequeña, del orden de 1 milímetro por segundo o aún menor. Las velocidades de
retroceso van variando continuamente, y su promedio
durante un ciclo cardíaco es nulo. La gráfica de tales
movimientos se denomina balistocardiograma. Hasta
ahora, los intentos de utilizar estas medidas para el
diagnóstico sólo han tenido un éxito limitado.
7.3
1
MOVIMIENTO DEL CENTRO
DE MASAS
El movimiento de dos objetos en una colisión o el de
los fragmentos de una bomba de artillería al estallar
puede ser muy complicado y dificil de predecir. Sin embargo, el movimiento del centro de masas (C.M.) de tales sistemas no es afectado por las fuerzas internas y
viene determinado completamente por las fuerzas externas que actúan sobre el sistema. Así, cuando el neutrón del Ejemplo 7.3 es absorbido por el núcleo, la ve.locidad del centro de masas de ambos objetos es la misma antes y después de la colisión. Análogamente, cuando se dispara el proyectil del Ejemplo 7.4, éste avanza
a la derecha un trecho mayor que el que recorre hacia
la izquierda el vagón, y el C.M. del proyectil más el vagón permanece en reposo. En ambos casos, no hay
fuerza externa neta, por lo cual la velocidad V del C.M.
es constante.
Este importante resultado se sigue de la definición
del centro de masas. Por ejemplo, supongamos que una
masa m1 se halla en x1 y una m 2 en x 2, la masa total es
M =m 1 + m2. Vimos en el Capítulo 4 que su centro de
masas se halla situado en
(a)
(b)
Figura 7.7
(a) Trayectoria de un proyectil de artillería. (b) El
movimiento del centro de masas de un sistema está determinado únicamente por las fuerzas externas. Por lo tanto, el centro de masas del
proyectil prosigue su trayectoria original después de la explosión.
Ninguno de los fragmentos necesita seguir esta trayectoria.
En un intervalo de tiempo At, xi cambia en vi M,
x2 en v 2 At, y X en V M. Dichos cambios se relacionan
mediante
Al dividir por At y utilizar la definición del ímpetu, obtenemos en notación vectorial una expresión
para la velocidad del C.M.
(7.5)
Según este resultado vemos que cuando no hay
fuerza externa neta y el ímpetu total P• + p2 es constante, la velocidad del C.M. permanece constante.
Cuando sobre el sistema actúa una fuerza externa neta
Fext, el centro de masas tiene una aceleración dada por
F••,IM. Así pues, el C.M. se mueve bajo la influencia de
Fex, exactamente de la misma manera que lo haría una
sola partícula de masa M. Este principio se ilustra en el
siguiente ejemplo.
Ejemplo 7.6
Una granada de artillería hace explosión en el aire.
Despreciando la resistencia del aire, ¿qué puede decirse
con respecto al movimiento subsiguiente de los fragmentos en que se divide?
Antes de la explosión la granada se mueve en la trayectoria descrita en nuestro análisis del movimiento de
proyectiles del Capítulo 2. Tras la explosión los fragmentos.vuelan en muchas direcciones y no podemos determinar nada sobre el movimiento individual de ninguno de
ellos a no ser que tengamos más información. Sin embargo, su centro de masas no resulta afectado por las fuer-
165
lmpetu y momento angular
-
1
\
\
\
\
1
1
1
\1
1
Figura 7 .8 El centro de gravedad del saltador se mueve según
una trayectoria de proyectil tras abandonar el trampolín.
zas internas de la explosión y, por lo tanto, sigue describiendo la trayectoria original (Fig. 7.7). Análogamente,
los saltadores de trampolín o los gimnastas pueden realizar ejercicios muy complicados, pero su centro de masas
sigue trayectorias sencillas (Fig. 7.8).
7.4
1
COLISIONES ELASTICAS
E INELÁSTICAS
En una breve coHsión, el 1mpetu total se conserva, ya
sea exactamente ya sea en buena aproximación. Sin
embargo, la energía mecánica puede o no conservarse
(u)
Figura 7 .9 (a) Un coche choca con un camión parado. (b) En
un choque completamente inelástico, ambos vehículos quedan unidos y se desplazan como un todo.
en dichas situaciones. Por ejemplo, cuando lanzamos
una pelota de goma contra un pavimentó de cemento,
ésta vuelve a subir hasta prácticamente la misma altura inicial; se ha perdido poca energía mecánica en el
choque contra el suelo. Por el contrario, si lanzamos
una bola de plastilina, ésta se queda en el punto donde cae. Toda su energía cinética se ha perdido como calor o como trabajo realizado en la deformación de la
plastilina.
Se dice que un choque es elástico cuando conserva
la energía mecánica, e inelástico si no la conserva. En
un choque completamente inelástico cesa el movimiento relativo; los objetos se unen y se mueven como un
solo objeto, como ocurre cuando los parachoques de
dos coches quedan enlazados (Fig. 7.9a). Este tipo de
choque disipa la máxima cantidad de energía cinética
posible dentro de las restricciones de la conservación
del ímpetu.
Si sabemos hasta qué punto se conserva la energía
mecánica en un cierto choque, podemos utilizar esta información conjuntamente con la conservación del ímpetu para analizar el movimiento. Ilustraremos esta
idea para los dos casos extremos de choques completamente elásticos y completamente inelásticos. Pueden
realizarse cálculos parecidos en situaciones intermedias entre estos extremos, pero revisten mayor complejidad.
Choques completamente inelásticos
1
Ya hemos examinado un choque completamente inelástico en el Ejemplo 7.3, en que un neutrón era capturado por un núcleo de nitrógeno. Estudiamos ahora
tales choques con mayor detalle.
En un choque completamente inelástico la cantidad de energía mecánica perdida por calor y trabajo de
deformación depende de las masas relativas de ambos
objetos. Por ejemplo, supóngase que un choque de masa
m1, con velocidad v 1 choca contra un camión parado
de masa m 2 y que a continuación ambos vehículos se
166
lmpetu y momento angular
mueven juntos (Fig. 7.9). La razón de la energía cinética final a la inicial es
E',
E,,
½(m 1 + m 2 )u'2
½m 1 u/
La conservación del ímpetu exige que m 1v1 = (m 1 +
m2)v', o sea v' = m1v1/(m1 + m2). Con esta expresión
para v' hallamos
(choque completa- (7.6)
mente inelástico)
Este resultado implica que la energía cinética final
es pequeña cuando la masa m 1 inicialmente en movimiento es pequeña en comparación con la masa estacionaria m 2 ; en el choque se pierde la mayor parte de
la energía cinética. Este resultado se ilustra en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 7.7
(a) Un coche de 1000 kg que corre a 10 m s- 1 choca
contra un camión parado de 9000 kg y queda empotrado
en él (Fig. 7.9). ¿Cuánta energía cinética se pierde? (b) Si,
en vez de esto, el camión se moviera inicialmente a 10 m
s- 1 y el coche estuviera parado, ¿cuánta energía cinética
se disiparía?
(a) La energía <;:inética del coche antes del choque es
Ec = m1v/ =
(1000 kg)(lO m s- 1)2 = 5 X 104 J. Tras
el choque, la energía cinética total de los dos vehículos es
+
+
= (1000 kg)(5
X 104 J)
( 1000 + 9000) kg
=5
X
l
El kárate proporciona una aplicación interesante
de choques inelásticos. Un luchador de kárate intenta
reducir a su adversario transformando energía cinética en trabajo de deformación en alguna zona vulnerable. Como la fracción de energía cinética transformada es máxima cuando la masa en movimiento es pequeña, el luchador de kárate intenta aplicar una gran
cantidad de energía cinética con una parte relativamente pequeña de su cuerpo, como por ejemplo un brazo.
En un puñetazo (Fig. 7.10) se intenta que el puño aseste el golpe en el instante en que su velocidad es máxima, lo que ocurre cuando el brazo está extendido en
un 70 por ciento (Fig. 7 .11 ). Abalanzars.e hacia adelante aumenta la velocidad y por consiguiente la energía cinética del impacto. Los expertos en kárate raramente deben dar más de un golpe. El impacto conseguido con un movimiento lateral de todo el brazo supone velocidades menores y mayores masas corporales; hay menos trabajo de deformación y el riesgo de
una pérdida del equilibrio.
Choques elásticos.
1 Después de chocar, dos
objetos pueden moverse en varias direcciones. Si conocemos la dirección de ambos podemos utilizar la
conservación del ímpetu y de la energía para calcular
las velocidades finales . El procedimiento es directo, en
principio, pero la apariencia de los resultados es complicada y su interpretación no es sencilla, excepto en algunos casos especiales.
03 J
Así pues, la energía cinética disipada es
E e, - E' e
= (5 X 104 J)
- (5 X 10 3 J)
= 4,5 X 104 J
Se disipa el noventa por ciento de la energía cinética.
(b) Ahora Ec, = t(9000 kg)(I0 m s- 1)2 = 4,5 , x 10 5
J,y
E . = (9000 kg)( 4,5 X !0 5 J) =
',
(9000
+ lO00)kg
105 J
4 05
' X
Porconsiguiente,Ec -E'c=(4,5X 15 J)-(4,05X 10 5 J)
= 4,5 X 104 J. Como est~ valor es el mismo que se obtuvo
en la parte (a), ambos choques son igualmente destructivos. Sin embargo, aquí sólo se disipa el 10 por ciento de
la energía ya que el camión, de mayor masa, tiene mucha
más energía cinética de la que tenía el coche a la misma velocidad.
Figura 7 .1 O Puñetazo hacia adelante en kárate. La línea de trazos muestra la trayectoria del puño.
167
lmpetu y momento angular
Estos resultados se cumplen para cualesquiera masas mi ym2. Cuandom1= m2,seobtieneEr, = Oy E,, =Er,Este resultado es familiar a los jugadores de billar: una
bola en movimiento se detiene al chocar frontalmente
con una bola en reposo, y transfiere a ésta toda su energía cinética. Por el contrario, cuando las masas son
muy diferentes se transfiere poca energía, sea cual sea
la masa que inicialmente estaba en movimiento. Ello
se cumple en cualquier choque elástico, y no tan sólo
en el caso frontal considerado aquí. El ejemplo siguiente estudia una colisión frontal.
6
i----
g"'
"O
.,
~
.,
5
4
3
-¡¡
u
2
OO
o, 1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 o,7 0,8
Primera posición como extensión relativa del braz,o
Ejemplo 7.8
Figura 7.11
La celeridad del puño en función de la extensión
relativa del brazo en un puñetazo de kárate hacia adelante. Los datos proceden del estudio de películas de alta velocidad. (Tomado de
J. D. Walker, American Journa/ ofPhysics, vol. 43, octubre 1975, p.
845.)
Afortunadamente, varias de estas características pueden ponerse de manifiesto en uno de tales casos: el choque frontal de un objeto en movimiento y uno en reposo, con ambos objetos moviéndose después del choque ya sea paralelamente ya antiparalelamente en la dirección original del movimiento (Fig. 7.12). A l aplicar
la conservación del ímpetu a esta situación
Un neutrón de masa m y velocidad t1 1 experimenta un
choque frontal con un núcleo de carbono de masa 12 m.
(a) ¿Qué fracción de su energía cinética se transmite al núcleo de carbono? (b) ¿Cuáles son las velocidades del-neutrón y del átomo de carbono tras el choque?
(a) Al utilizar la Be. 7.10 con m 1 = m y m2 = 12 m,
E
4m 1m2
E
', = (m1 + m 2)2 '•
E,/E,, = 48/13 = 0.284
=
4m(l2m) E
+ 12m)2 ' •
(m
2
El núcleo de carbono ha adquirido el 28,4 por ciento
de la energía cinética, de modo que al neutrón le queda todavía el 71,6 por ciento de su energía inicial.
(b) Según la parte (a),
(7.7)
Como la colisión es elástica, E,, = E,, + E,,, o sea
(7.8)
Si se despeja v'1 de la Ec. 7.7 y se sustituye el resultado
en la Ec. 7.8, se puede obtener v'2 tras una serie de manipulaciones algebraicas. Obtenemos entonces para las
energías cinéticas
(m1 - mz)z
E', =
(m 1
E,.
(m1
+
(7.9)
)2 Er'
m2
4m 1m2
(7.10)
+ m2)2 Er,
Al introducir m 1 = m y m2 = 12m, se halla
y
Escogemos la raíz cuadrada positiva de v' 2 ya que el
núcleo se mueve hacia adelante al ser golpeado por el neutrón, y no para atrás. Entonces, como m1 v 1 = m I v' 1 + m2 v'2.
se halla
m2 ,
v;=v1 --v
m¡ 2
_ _ 12m(2u1 ) 11
Vi
m
13 --TTU1
-
(11)
(/1)
Figura 7 .1 2
(a) Antes de una colisión frontal entre un objeto
en movimiento y uno en reposo. (b) Movimiento tras la colisión.
El neutrón ha invertido el sentido de su movimiento,
t1 1• Esta inversión de sentido
siempre tiene lugar en choques frontales cuando la masa
del objeto inicialmente en movimiento es menor que la
del objeto en reposo.
y su velocidad es (11/13)
168
lmpetu y momento angular
En los reactores nucleares, los neutrones procedentes de la fisión de un núcleo de uranio deben ser frenados por un moderador antes de que puedan ser capturados por otro núcleo de uranio y producir su fisión
como paso siguiente de la reacci6n en cadena. A veces
se utiliza como moderador carbono en forma de grafito, pero es más frecuente utilizar agua. Cada molécula de agua contiene dos núcleos de hidrógeno (protones) más uno de oxígeno. Como la masa del protón
difiere de la del neutrón en tan sólo un 0,1 por ciento,
los protones son ideales para frenar neutrones.
7 .5 I MOMENTO ANGULAR DE
UN SOLIDO RÍGIDO
Hemos visto que cuando sobre un objeto o sistema de
objetos no actúa una fuerza externa neta su ímpetu se
conserva. Análogamente, cuando no hay un momento neto debido a fuerzas externas, el momento angular
se conserva.
Este importante resultado puede obtenerse directamente de la segunda ley de Newton cuando ésta se escribe, como en el Capítulo 5, en la forma conveniente
para el movimiento de rotación,
T
= la
(7.11)
Como antes, T es el momento de las fuerzas, I el momento de inercia ya la aceleración angular. Si la velocidad angular de un objeto que gira alrededor de un
eje fijo varía de w·a w' en un tiempo t:,,t, su aceleración
angular es a = (w' - w)/!!,,.t. Al substituir esta expresión
de a en la Ec. 7.11 y al multiplicar por t:,,r, se obtiene
'1'
::i.1
= lw' -
lw
(7.12)
Ejemplo 7.9
Se define el momento angular como
L = /w
(7.13)
De esta forma, la Ec. 7.12 se convierte en
'1'
::i.t
= L' -
L
Estos resultados parecen sencillos. En efecto, podrían haberse adivinado inmediatamente a partir de
las ecuaciones análogas para el movimiento de traslación, con las sustituciones F-7', m-L v-"'· Sin embargo, la conservación del momento angular es un
principio distinto y muy importante, con aplicaciones
tan diversas como la física atómica, el patinaje artístico
y la astronomía.
La conservación del momento angular puede ilustrarse fácilmente. Supongamos que damos vueltas en
un taburete que posee cojinetes bien lubrificados. El
rozamiento es pequeño, como lo es el momento que
tiende a modificar el momento angular. Si giramos con •
brazos y piernas pegados al cuerpo y a continuación los
estiramos, el momento de inercia aumenta. Como el
momento angular L = fo>es casi constante, la velocidad
angular "' disminuye. Por el contrario, si inicialmente
damos vueltas con los miembros extendidos y a continuación los llevamos a una posición más próxima al eje
de rotación, la velocidad angular aumenta. Esto es precisamente lo que hace una patinadora artística: comienza dando un giro con los miembros extendidos
para después aumentar su velocidad angular al pegar
sus miembros al cuerpo (Fig. 7.13).
En ambos ejemplos se conserva el momento angular pero hay una variación de la energía cinética de rotación. Cuando los brazos están extendidos o encogidos, existen fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre el cuerpo y los miembros. Estas dos fuerzas no producen ningún momento neto, pero sí hacen trabajo.
Entonces, cuando se encogen los miembros para girar
más rápido se está haciendo un trabajo que aumenta
la energía cinética. Este cambio de energía se calcula
en el ejemplo siguiente.
(7.14)
Este resultado establece que el impulso angular T l::,,t
es igual a la variación de momento angular L' - L.
Cuando el momento neto sobre el objeto es cero sumomento angular permanece constante, es decir, se conserva. Análogamente, si sobre un sistema de objetos
no actúa ningún momento externo neto, su momento
angular total se conserva.
'
Una patinadora artística empieza a girar a 31r rad s-•
con los brazos extendidos. (a) Si su momento de inercia
con los brazos encogidos es el 60 por ciento del que tiene
con los brazos extendidos, ¿cuál es su velocidad angular
cuando encoge los brazos? (b) ¿En qué proporción varía
su energía cinética?
(a) Si consideramos que el hielo no tiene prácticamente rozamiento, el momento cinético se conserva: f w' =lw.
Con I' = 0,6 I y w = 31r rad s- 1, tenemos
, _ lw _ 31T rad s- 1 _ 5 ad s-l
/' 0,6
- '1T r
w -
(b) Sus energías cinéticas inicial y final son respectivamente E, = ½I w2 y E',= ½l'w'2 • Para hallar en qué
169
lmpetu y momento angular
Figura 7. 13
Una patinadora artística puede aumentar su velocidad angular plegando sus brazos. (Fotografias de David Leonardi.)
proporción varía la energía cinética, calculamos
t::,,.Ec _ E' e - Ec
E,
E,
½(0,6/)(51r rad s- 1 ) 2
-
½J(31r rad
½J(h rad s- 1) 2
s- 1) 2
2
3
La patinadora aumenta su energía cinética en un 67 por
ciento cuando encoge los brazos, y este aumento es igual
al trabajo que ha hecho para acercar los brazos al cuerpo.
La conservación del momento angular no significa
que la posición angular del objeto permanezca invariable en ausencia de momentos externos. Se da un
ejemplo de ello en la Fig. 7 .14, en la que una persona
hace girar su silla giratoria mediante una secuencia
adecuada de movimientos.
Un ejemplo más interesante de este principio lo proporciona la caída de un gato, que siempre aterriza sobre sus patas si la caída es lo suficientemente larga. Miremos la Fig. 7.15, en (b) el gato se prepara para girar
alrededor de su eje horizontal retrayendo sus patas delanteras hacia el eje, para disminuir así el momento de
inercia de lé1 parte delantera. Las patas traseras se mantienen extendidas y por lo tanto la parte trasera tiene
un momento de inercia mayor. En (e) el gato gira la
parte delantera en una dirección y la parte trasera en
la dirección opuesta, tal como requiere la conservación
del momento angular. En (d) las patas delanteras permanecen extendidas y se encogen las patas traseras, de
modo que la parte trasera es ahora la de menor momento de inercia. Asi, en (e) el gato gira la parte trasera co¡¡
sólo una rotación muy pequeña de la parte delantera en
sentido contrario.
Al igual que los patinadores artísticos, los saltadores de trampolín -así como los astronautas que flotan
en las naves espaciales y los gimnastas- pueden girar
alrededor de su eje longitudinal (es decir, pueden hacer
barrenas o tirabuzones). Este movimiento supone una
rotación alrededor de un eje·que pasa por su centro de
masas y que va desde la cabeza hasta los pies. Además,
pueden dar volteretas (saltos mortales) o rotar alrededor de un eje que pasa por su C.M. y va desde uno de
sus costados hasta el otro. También pueden modificar
el momento de inercia con respecto a cualquiera de estos dos ejes. Una vez en el aire, un saltador ya no está
170
lmpetu y momento angular
.,,,,r--- . . . . ......
/
I
sometido a ningún momento con respecto a su C.M.,
por lo cual su momento angular (otal es constante. Sin
embargo, puede haber un intercambio entre los momentos angulares asociados con el giro longitudinal y
la voltereta. Comprender la conservación del momento
angular ha ayudado a muchos atletas a desarrollar
ejercicios y maniobras cada vez más complejos.
/
/
/
L~J
/
/
Rotación
de la silla
7.6
Figura 7 .14 Vista desde arriba de una persona sentada en una
silla giratoria que da vueltas con facilidad. Si mueve repetidamente
un brazo a lo largo de la trayectoria de trazos, la silla gira gradualmente en el sentido de las agujas del reloj. La silla está en movimiento
sólo cuando la mano se mueve a lo largo del trayecto circular, ya que
el momento cinético de la mano es cero cuando se mueve a lo largo
de la línea que pasa por el eje de rotación. Llevando una pesa en la
mano se consigue que la silla gire más deprisa.
/)
~ (/J
( ......,./
l \\
{e)
1,
\
l, \
1
1\
J \ í'-{~"Y.'17
t-) 1
/
/ 'J \
/
t----i1
¡
V?
\_,,,j' ,/
(d)
(
, _ _ _ _,,/
11-n
\ ..,
\
/
\ '\. _ _ _ ....- I
/
/
(h)
Figura 7 .15 Secuencia de movimientos realizados por un gato
que cae desde el reposo estando inicialmente patas arriba. Los dibujos se han hecho de fotografías tomadas a intervalos de 1/20 segundos. Los movimie_ntos están descr.itos en el texto. (Adaptado de
Tricker y Tricker.)
1
MOMENTO ANGULAR
DE UNA PARTÍCULA
El momento angular de una partícula (Fig. 7.16a) se define como el producto vectorial de su distancia r a un
punto especificado y su ímpetu p = mv:
L=rXp
(7.15)
El módulo de Les rp sen 0. Cuando r y p son perpendiculares, sen 0 = 1 y L = rp = rmv. Su dirección y sentido vienen dados por la regla de la mano derecha y
es perpéndicular a r y a p.
Esta definición de L es equivalente a la que hemos
dado antes, L = I w, si consideramos un sistema de partículás que giran con respecto a un centro común (Fig.
7.16b). Si una partícula de masa m se mueve en un círculo de radio r con velocidad v = rw, su momento angular vale rmv = rm(rw) = (mr2 )w y se dirige a lo largo
de w. Al sumar todas las partículas, w es la misma para
todas y se obtiene la suma de términos en mr2• Como
dicha suma es el momento de inercia I, el momento angular total es lw, como era de esperar.
El resultado básico de la sección anterior, T ~t =
L' -L, se aplica no sólo a un sólido rígido, sino también a una sola partícula. Así, cuando sobre una partícula no hay un momento neto con respecto a un punto dado, su momento angular relativo a dicho punto
se conserva. Por ejemplo, en la discusión de la Sección
7.3, el movimiento de la Tierra con respecto al Sol puede hallarse considerando la Tierra como una partícula puntual concentrada en su C.M. La línea de acción
de la fuerza gravitatoria ejercida por el Sol pasa a través del centro de éste, por lo que su momento con respecto a este punto es nulo. Por consiguiente, el momento angular de la Tierra con respecto al centro del
Sol es constante. La órbita de la Tierra es casi circular, pero no totalmente; en realidad es una elipse en la
cual la distancia Tierra-Sol varía en un 3 por ciento entre sus extremos. Vemos que aunque r, v y 0 puedan variar, el producto L = mrv sen 0 debe permanecer constante durante el movimiento (Fig. 7.16).
lmpetu y momento angular
L = rXp
(a)
171
L = lw
(b)
Figura 7 .16 (a) El momento angular de una particula es L =
r X p. (b) El momento angular total de un sistema de partículas que
giran alrededor de un centro común es la suma de los momentos angulares individuales. Dicha suma es equivalente a L = J w.
El momento angular total'de la Tierra se compone
de dos partes. Su momento angular orbital es el asociado con la revolución anual de la Tierra alrededor del
Sol, y su momento angular de giro o de spin se debe a
su rotación diaria alrededor de su eje. Análogamente,
un electrón en un átomo tiene tanto un momento angular orbital, debido a su movimiento alrededor del núcleo, como un momento angular de spin. En ausencia de momentos de fuerzas, dichos momentos angulares se conservan. Las consideraciones de momento
angular juegan un papel muy importante en la descripción de las propiedades atómicas.
RESUMEN
Si una fuerza neta F actúa durante un tiempo ó.t sobre un objeto, entonces
F t:,.t = p' - p
El producto de la fuerza media por el tiempo durante
el cual actúa se denomina impulso. El ímpetu p de un
objeto de masa m con velocidad ves p =mv. El impulso
es igual a la variación del ímpetu.
Cuando dos objetos chocan, el ímpetu de cada uno
de e!Ios se ve modificado. No obstante, el ímpetu total permanece constante, o se conserva, cuando sobre
los dos objetos no actúa una fuerza externa neta. Por
consiguiente, el ímpetu total de un sistema aislado se
conserva siempre. La conservación del ímpetu es particularmente útil en los problemas de choques, se conserve o no la energía mecánica.
Cuando sobre un objeto o sistema de objetos no actúa una fuerza externa neta, el ímpetu total se conserva y la velocidad de su centro de masas permanece
constante. Cuando hay una fuerza externa neta, el cen-
tro de masas se mueve bajo su influencia exactamente
de la misma manera como lo haría un partícula puntual
con una masa igual a la masa total del objeto o sistema
de objetos.
Los choques que conservan la energía mecánica se
denominan elásticos; los que no, se llaman inelásticos.
En un choque completamente inelástico, cesa todo movimiento relativo y, por consiguiente, todos los objetos se mueven, al final, como un todo. Cuando un objeto de masa pequeña choca de forma completamente
inelástica contra un objeto de masa grande en reposo,
la mayor parte de su energía mecánica se disipa como
calor o como trabajo de deformación. Cuando el objeto que se mueve es el de masa grande y el que está inicialmente en reposo es el de masa pequeña, se disipa
una fracción mucho menor de energía mecánica. En
los choques elásticos, la máxima transferencia de energía tiene lugar cuando ambas masas son iguales.
El momento angular de un sólido rígido que gira
con respecto a un eje fijo es L = /w. El momento angular de una partícula es L = r X p. Para un sistema
de partículas que giran con respecto a un centro común, ambas definiciones son equivalentes. Si un momento externo neto T actúa durante un tiempo !::,,.t, entonces
T !::,,.t = L' - L
El impulso angular es igual a la variación de momento angular. Si el momento neto sobre un sistema
es cero, su momento angular total se conserva.
Lista de repaso
Definir o explicar:
impulso
172
ímpetu
choque
conservación del ímpetu
balistocardiografia
movimiento del centro de masa~
choque elástico
choque inelástico
choque completamente inelástico
impulso angular
momento angula:r de un sólido rígido
conservación del momento
angular
momentos externos
momento angular de una partícula
momento angular orbital
momento angular de spin
CUESTIONES DE REPASO
Q 7-1 El impulso es el producto de ......... por ........ .
Q 7-2 El ímpetu es igual a ........ .
Q 7-3 El ímpetu es el producto de ......... por ........ .
de un objeto.
Q 7-4 El ímpetu se conserva usualmente en los
choques instantáneos ya que el impulso debido a
......... es despreciable.
Q 7-5 El ímpetu total de un sistema permanece
constante si ........ .
Q 7-6 Si el ímpetu de un sistema se conserva, cada
......... del vector ímpetu permanece constante.
Q 7-7 El centro de masas de un sistema se mueve
como una partícula de masa igual a ......... sometida
a la ........ .
Q 7-8 Un choque completamente inelástico disipa la
......... energía mecánica compatible con la conservación del ímpetu. .
Q 7-9 En un choque elástico ......... se disipa energía
mecánica.
Q 7-10 En los choques inelásticos la energía mecánica se transforma en ......... y en ....... ..
Q 7-11 El momento angular de un sólido rígido que
gira con respecto a un eje fijo es ........ .
Q 7-12 El momento angular de una partícula con
respecto a un punto es ........ .
Q 7-13 El momento angular de un sistema permanece constante cuando no hay ....._....
lmpetu y momento angular
EJERCICIOS
Sección 7.1 1 Impulso e ímpetu
7-1 Una pelota de golf inicialmente en reposo se
golpea con una fuerza media de 2600 N durante 1,25
3
X 10- s. ¿Cuál es la velocidad final de dicha pelota
si su masa vale 0,047 kg?
7-2 Si el ímpetu de un coche aumenta 9 X 104 kg m
s- t en 12 s, ¿cuál es la fuerza media que acelera el coche?
7-3 (a) ¿Cuánto cambia el ímpetu de un coche que
experimenta una fuerza de 6000 N durante 6 s1 (b)
Si la masa del coche vale 1000 kg, ¿cuánto cambia
su velocidad? ·
7-4 Un piloto que sale disparado de su avión experimenta una aceleración media de 12 g durante 0,25
s. (a) Si la masa del piloto e~ de 70 kg, ¿cuál es lafuerza media que actúa sobre él? (b) Hallar cuánto cambia el módulo de su velocidad.
7-5 Un bateador golpea una pelota de béisbol de
masa m, que se movía a una velocidad v, y la dirige
directamente hacia el lanzador con la misma velocidad, pero en sentido opuesto. Si la pelota y el bate
permanecen en contacto durante un intervalo t::..t,
¿cuál es la fuerza media ejercida por el ~ate?
7-6 Una pelota de goma de masa m sé lanza contra
una pared con una celeridad v y rebota con la misma
celeridad en el sentido opuesto. (a) ¿Cuál es el impulso que actúa sobre la pelota? (b) Se -lanza contra
la pared una bola de plastilina de igual masa y con la
misma celeridad y queda adherida a la pared. ¿Cuál
es el impulso sobre la bola?
Sección 7.2
1
Conservación del ímpetu
7-7 Un avión de hélices impulsa el aire hacia atrás
mientras avanza. Describir la fuerza sobre el avión
en términos de la variación del ímpetu del aire.
7-8 Un hombre está sentado en una silla fija a un vehículo que se encuentra inicialmente en reposo sobre raíles sin rozamiento. (a) Si lanza un saco de arena hacia el lado del vehículo, ¿se moverá éste? Explicarlo. (b) Si lanza el saco de. arena hacia atrás,
¿se moverá el vehículo? Explicarlo.
7-9 Un hombre sentado en el banco de una barca
de vela intenta avanzar soplando a las velas. Expli- .
car qué ocurrirá.
7-10 Un cohete de masa My velocidad vo estalla en
dos fragmentos en el preciso insta_nte en que llega a
173
lmpetu y momento angular
su altura máxima. Uno de los fragmentos, de masa
m 1 , se para y empieza a caer verticalmente hacia el
suelo. ¿Cuál es la velocidad del otro fragmento, de
masa m2, en el instante en que estalla el cohete?
7-11 Un vehículo de masa m se desliza sobre un
carril de aire sin rozamiento con una velocidad inicial v0 hacia otro vehículo de masa M que se halla
en reposo. ¿Cuál es la velocidad final de dichos vehículos si tras la colisión permanecen unidos?
7-12 Una bala de masa I g tiene una velocidad horizontal de 200 m s· 1• Se incrusta en un bloque de
madera de 1 kg de masa que se halla en reposo sobre la superficie lisa de una mesa. ¿Cuál es la velocidad del bloque y la bala tras el impacto? (Despréciese el rozamiento.)
7-13 Un camión de 4500 kg de masa que corre a
10 m s· 1 choca contra la parte trasera de un coche
en reposo. El coche y sus ocupantes tienen una masa
de 950 kg. (a) ¿Cuál es la velocidad del coche justo
después del choque si coche y camión quedan unidos? (b) Si el impacto dura 0,3 s, ¿cuál es la fuerza
media sobre un pasajero de 60 kg del coche?
7-14 El motor de una barca se avería y ésta se detiene en el agua en calma con su proa dirigida hacia la costa, que se halla a 5 m de distancia. El piloto
enfadado lanza horizontalmente por la popa una
caja de bebidas con una velocidad de 12 m s· 1 con
respecto al agua. La masa de la motora más el piloto
es de 240 kg, y la de la caja de bebidas 3 kg. (a)¿Cuál
es la velocidad de retroceso de la embarcación? (b)
¿Cuánto tardaría la barca en llegar a la costa con
esta velocidad? (c) ¿Llegará realmente a la costa en
este tiempo? Explíquese.
_
7-15 Cuando se contrae el ventrículo izquierdo del
corazón se produce un desplazamiento neto de sangre hacia la cabeza. Supóngase que una persona está
tendida sobre una mesa que se puede mover sin rozamiento y que está inicialmente en reposo. En una
contracción de 0,2 s de duración, 0,8 kg de sangre
se bombean 0,1 m de distancia. La masa de la persona más la de la mesa es de 80 kg. ¿Cuál es la velocidad de la persona y la mesa al final de la contracción?
7-16 ¿Se conserva el ímpetu cuando una bola de
plastilina choca contra el suelo? Explíquese.
7-17 Un objeto choca contra otro de la misma masa
que se halla en reposo. Tras el choque, el primer objeto se ha desviado un ángulo 8 con respecto a su dirección originai, y se observa que ambos objetos tie-
nen la misma celeridad. Hallar el ángulo <f> entre la
dirección del segundo objeto y la dirección original ·
del primero.
7-18 Un coche de 2000 kg y otro de 1000 kg que corren a 40 m s· 1 en sentidos opuestos chocan frontalmente y quedan unidos. ¿Cuál es su velocidad y dirección inmediatamente después del choque?
7-19 Supóngase _q ue un gran meteorito de 10 10 kg
de masa y 2 X 104 m s· 1 de velocidad chocara contra la Tierra y se desintegrara. (a) ¿Cuál sería la velocidad de retroceso de la Tierra? (Utilizar los datos solares y terrestres de la contracubierta posterior.) (b) ¿Qué fracción de la velocidad orbital de la
Tierra alrededor del Sol representa dicha velocidad
de retroceso?
7-20 Un coche que corre hacia el norte a 30 m s· 1
y tiene una masa de 1500 kg choca con otro de 1000
kg de masa y ambos quedan detenidos. ¿Cuál era la
celeridad y dirección del otro coche justo antes del
choque?
7-21 Un coche viaja a una velocidad v y es golpeado por detrás por otro coche de la misma masa y
con velocidad 2v. Si ambos coches quedan unidos,
¿cuál será su velocidad justo después del choque?
Sección 7.3
1
Movimiento del centro de masas
7-22 Un hombre de 70 kg está sentado en el centro
de una canoa en reposo de 30 kg de masa. Si se desplaza a un asiento 2 m más a proa, ¿qué distancia
se desplazará la canoa?
7-23 La Luna no gira alrededor de la Tierra, sino
que ambas giran con respecto a un punto común.
(a) ¿Cómo se llama dicho punto? (b) ¿Cuál es el radio de la trayectoria circular de la Tierra con respecto a dicho punto? (Utilizar los datos solares y
terrestres de la contracubierta posterior.)
7-24 Un hombre de 80 kg se halla sobre una balsa
de 120 kg, inicialmente en reposo. Si el hombre empieza a andar sobre ella a una velocidad de 1,5 m
s· 1 , ¿con qué velocidad se moverá la balsa?
Sección 7.4
1
Choques elásticos e inelásticos
7-25 Un coche de 1000 kg choca frontalmente, a
20 m s· 1, con un coche aparcado de 2000 kg de masa.
¿Cuanta energía mecánica se disipa si el choque es
(a) elástico; (b) completamente inelástico?
7-26 Un barco de masa m y velocidad v choca con-
lmpetu y momento angular
174
tra un iceberg inmóvil de masa 10 m. Hallar la velocidad resultante del iceberg si (a) el choque es
completamente inelástico; (b) el choque es elástico
y el barco sale despedido hacia atrás con la misma
celeridad inicial.
7-27 Uno de los inconvenientes de utilizar los protones de las· moléculas del agua para frenar neutrones en un reactor es que, ocasionalmente, un protón captura un neutrón en el choque, formando un
deuterón, hidrógeno pesado o núcleo de deuterio. Si
el protón se halla inicialmente en reposo al capturar el neutrón, ¿cuál es la razón de la energía cinética del deuterón resultante a la-del neutrón? (Supóngase que las masas del protón y del neutrón son
la mitad de la masa del deuterón.)
7-28 Las moléculas del agua pesada contienen un
átomo de oxígeno más dos átomos de hidrógeno pesado o deuterio. La masa del deuterio es el doble de
la del neutrón. (a) ¿Qué fracción de energía cinética se transfiere cuando un neutrón choca frontal y
elásticamente con un núcleo de deuterio? (b) ¿Cuál
es la razón de la velocidad inicial a la final del neutrón en tal choque? (El agua pesada se utiliza como
moderador en diversas centrales nucleares.)
Sección 7.5 1 Momento angular de un sólido rígido
7-29 Una rueda de bicicleta que tiene 0,36 m de radio se está moviendo a 6 m s- 1• La masa de la rueda es 2 kg. (a)¿Cuál es la velocidad angular de la rueda? (b) Suponiendo que la masa de la rueda está
concentrada en su periferia, hallar su energía cinética. (c) ¿Cuál es el momento angular de la rueda?
7-30 Un acróbata sostiene una larga pértiga y avanza sobre la cuerda floja. (a) Utilizando argumentos
de momento angular, explicar cómo habría de inclinar la pértiga si se empieza a inclinar hacia la derecha. (b) ¿Qué efecto tendrán los pesos del extremo de la pértiga?
7-31 Una rueda de triciclo de 2 kg de masa tiene un
momento de inercia de 0,04 kg m 2 • (a) ¿Cuál es su
radio de giro? (b) Si la rueda da una vuelta por segundo, ¿cuál es el momento angular de la rueda?
(c) ¿Cuál es la energía cinética de la rueda?
7-32 Un cilindro de 3 kg de masa y 0,2 m de radio
gira alrededor de su eje a 40 rad s- 1• (a) Hallar su
energía cinética y su momento angular si el cilindro
es macizo. (b) Hallar su energía cinética y su momento angular si el cilindro es hueco.
7-33 ¿Por qué extendemos los brazos cuando andamos sobre una valla?
7-34 Un coche está parado con su motor en punto
muerto. Si de repente se pisa el acelerador a fondo,
el lado izquierdo del coche se hunde un poco y el
de la derecha se levanta. ¿De qué manera gira el cigüeñal?
7-35 ¿Por qué un avión de un solo motor levanta
el alerón de un ala y baja el alerón de la otra para
volar en posición- horizontal? ¿Es ello necesario en
aviones de dos motores?
7-36 Una rueda de pulimentar, que es un disco de
espesor uniforme, tiene ·un radio de 0,08 m y una
masa de 2 kg. (a) ¿Cuál es su momento de inercia?
(b) ¿Qué momento se necesita para acelerarla desde el reposo hasta 120 rad s-• en 8 s?
7-37 Un volante de 500 kg de masa y radio de giro
de 0,5 m gira a 1000 rad s-1• ¿Durante cuánto tiempo puede ejercer un momento de 250 N m sobre un
engranaje?
7-38 Un saltador deja el trampolín con el cuerpo ex1
tendido y hace un salto mortal a 3 rad s- • Si flexiona
las piernas y apoya su pecho contra las rodillas, su
momento de inercia decrece en un factor 5. (a) ¿En
qué factor variará su velocidad angular? (b) ¿En qué
factor variará su energía cinética de rotación?
7-39 Una chica con los brazos extendidos tiene un
2
momento de inercia de 2 kg m , y gira en un taburete
con una velocidad angular de 6 rad s-•. En un cierto
instante, coge un objeto de 3 kg en cada mano, y los
mantiene a 0,8 m del eje de rotación. Si dichos objetos estaban inicialmente en reposo, ¿cuál es su velocidad angular?
Sección 7.6
1
Momento angular de una partícula
7-40 Calcular los momentos angulares (a) orbital y
(b) de spin de la Tierra. (Utilizar los datos solares
y terrestres de la contracubierta posterior y suponer que la Tierra es una esfera de densidad uniforme.)
7-41 Un satélite artificial describe una órbita elíptica alrededor de la Tierra (Fig. 7 .17). En el punto
A su celeridad es v y su distancia al centro de la
Figura 7 .17
Ejercicio 7-41.
lmpetu y momento angular
Tierra es r. En el punto B, su distancia al centro de
la Tierra es 2r. ¿Cuánto vale su celeridad?
7-42 En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, el electrón en la órbita más p,equeña tiene un momento angular de 1,055 X 10- 4 kg m2 s- 1• El radio
de la órbita es 5,29 X 10- 11 m y la masa del electrón
es 9,11 X 10- 31 kg. (a) ¿Cuál es la celeridad v del electrón? (b) Hallar la razón v/c, donde e = 3,00 X 10s
m s- i es la velocidad de la luz.
175
Figura 7.18 Cuando la bola levantada se suelta inicia un balanceo y choca elásticamente con la segunda bola. Tras una serie de
colisiones, la bola de la derecha se balancea hacia arriba mientras
las otras permanecen en reposo. Problema 7-50.
PROBLEMAS
7-43 Un coche de 1000 kg y un camión de 2000 kg
corren ambos a 20 m s- 1 antes de chocar de frente.
Hallar sus velocidades finales justo después del choque: (a) si la colisión es elástica, (b) si permanecen
unidos.
7-44 Un hombre está sentado en un trineo sobre un
estanque helado de modo que las fuerzas de rozamiento son nulas. Dispone de una ametralladora
que dispara balas de 1,3 X 10- 2 kg de masa con una
velocidad de salida de 800 m s- 1• (a) ¿Cuál es el ímpetu de cada bala? (b) ¿Cuál es la fuerza media sobre el hombre, por cada bala que dispara, si experimenta dicha fuerza durante 0,2 s? (c) ¿Cuál es la
velocidad del hombre y el trineo tras haber disparado 100 balas? Supóngase que la masa del hombre, el t rineo y la ametralladora es de 90 kg y despréciese la pérdida de masa de las 100 balas disparadas.
7-45 Un vagón de carga vacío rueda inicialmente a
5 m s-i y recoge 1000 kg de agua en un.a tormenta en
que llueve verticalmente. Si no hay rozamiento y si
la masa del vagón vacío es 12 000 kg, ¿cuál es su velocidad final?
7-46 Un vagón de carga de 30 000 kgde masarueda a 5 m s-1 bajo un dispositivo de carga de cereales en que 1O 000 kg de grano caen verticalmente sobre el vagón. (a) Suponiendo que las fuerzas de rozamiento entre los raíles y el vagón son nulas, ¿cuál
es la velocidad final de éste? (b) ¿Cuánta energía cinética ha perdido el vagón y en qué se ha transformado esta energía?
*7-47 Una bola de billar choca contra otra bola idéntica y se desvía 45º de su dirección original. Demostrar que si el choque es elástico, la otra bola deberá
moverse formando un ángulo de 90º con la primera y con su misma velocidad.
7-48 (a) Si la distancia den la Fig. 7.5 vaie 6 m, ¿qué
distancia recorre la bala del Ejemplo 7.4 antes de
chocar con la pared del vagón? (b) ¿Qué distancia recorren el cañón y el vagón? (c) Demostrar que el centro de gravedad del sistema total permanece en reposo cuando se dispara la bala.
* 7-49 Una bala de 10- 2 kg de masa y velocidad inicial horizontal de 250 m s- 1 se incrusta en un bloque de madera de 1 kg de masa. El bloque de madera cuelga del extremo de una cuerda larga. (a)
¿Cuál es la velocidad del bloque y de la bala tras el
impacto? (b) ¿A qué altura llegarán el bloque y la
bala en su oscilación?
*7-50 Explíquese cómo funciona el juguete de la Fig.
7.18. El juguete se compone de un conjunto debolas de acero colgadas de cuerdas. Cuando una bola
se levanta y se deja caer, la última bola del otro extremo oscila hacia arriba. Si son dos las bolas que
se desplazan inicialmente, son dos las bolas del extremo opuesto las que oscilan entonces hacia arriba.
7-51 Un coche choca con velocidad v 0 contra (a) un
coche parado de igual masa, (b) una pared maciza y
(c) un vehículo de igual masa que va en sentido
opuesto a velocidad v o. ¿Cuál es el choque más
perjudicial _para Jos pasajeros? Dar una explicación.
7-52 Un núcleo de carbono 14 emite una partícula
beta (electrón) y un neutrino (v) y se transforma en
un núcleo de nitrógeno 14. La partícula beta y el núcleo de nitrógeno pueden observarse porque dejan
una traza de iones en un detector. En cambio, el neutrino es muy dificil de detectar directamente ya que
raramente interacciona con los átomos por los que
pasa. Supóngase que en una desintegración particular la partícula beta tiene ímpetu p y que el núcleo de nitrógeno tiene un ímpetu de módulo p
+
176
lmpetu y momento angular
perpendicular a p. ¿Cuál es el módulo y dirección
del ímpetu del neutrino?
7-53 Dos objetos de masa mi y m2 se hallan uno en
cada extremo de un muelle. Si se tira de ambos objetos y se sueltan a partir del reposo, ¿cuál es la razón EJE,, de sus respectivas energías cinéticas en
cualquier instante?
7-54 Un núcleo de plutonio 239 en reposo se desintegra en una partícula alfa (núcleo de helio) más un
núcleo de uranio 235. Se halla que la energía cinética de la partícula alfa es 5,06 MeV, donde
1MeV=l06eV = 1,60 X 10- 13 J. La masa de un núcleo de uranio es 235/4 veces la de una partícula
27
alfa, cuya masa es 6,64 X 10- kg. (a) ¿Cuál es la velocidad de la partícula alfa? (b) ¿Cuál es la velocidad del núcleo de uranio? (c) ¿Cuál es la energía cinética del núcleo de uranio en MeV?
7-55 Un núcleo en reposo se desintegra en una partícula alfa de masa m y en un núcleo de masa M.
¿Qué fracción de la energía cinética total del sistema se lleva el núcleo de masa M!
7-56 Una nave espacial, inicialmente de masa M y
velocidad V, dispara un proyectil de masa m y velocidad v (ambas velocidades son relativas a la
Tierra). Hallar el módulo de la velocidad resultan. te V' de la astronave (a) s_i ves paralela a V; (b) si v
es opuesta a V; (c) si ves perpendicular a V.
7-57 Un coche de 1000 kg que viaja a 20 m s· 1 hacia
el norte choca contra un camión de 1O 000 kg que se
dirige hacia el sur con la misma celeridad. Inmediatamente después de la colisión, el coche se mueve hacia el este a 20 m s· 1• (a) ¿Con qué velocidad y en
qué dirección-Se mueve el camión tras el choque?
(b) ¿Cuánta energía mecánica se disipa en el choque?
7-58 En una bicicleta en marcha (Fig. 7-19) el momento cinético de las ruedas se dirige hacia la izquierda del ciclista. Si la bicicleta se lleva «sin ma-
L
Figura 7 .19
Problema 7-58.
nos», ¿qué efecto se produce cuando el ciclista se inclina hacia su izquierda? Explicarlo.
7-59 Una chica de 50 kg de masa que se halla en
pie en el centro de una masa giratoria se hace girar a 1,5 rev por segundo. En cada mano sostiene
una masa de 6 kg e inicialmente éstas se hallan pegadas a su cuerpo. Hacer una estimación de su velocidad de rotación cuando extienda los brazos hacia afuera. (Despreciar el momento de inercia de la
mesa giratoria.)
7-60 Un insecto de 10·3 kg de masa camina por el
borde de un plato de tocadiscos de 0,5 kg de masa
y 0,15 m de radio. Si el insecto llega al lugar del plato
desde donde partió, ¿cuánto habrá girado el plato?
(Despreciar el rozamiento en los soportes y tratar el
plato como un cilindro macizo.)
7-61 Si se fundieran las capas de hielo de los polos
de la Tierra, ¿qué le ocurriría a la longitud del día?
Dar una explicación.
*7-62 En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, las únicas órbitas electrónicas posibles son
aquellas cuyo momento angular es nh/2rr, donde n
es un entero y hes la constante de Planck. (a) ¿Qué
relación deben satisfacer el radio y el ímpetu en este
modelo? (b) Vimos en el Capítulo 6 que la energía
cinética de un electrón en una órbita de radio r es
-½mv2 = ke2/2r. Demostrar que los posibles radios de
2 2
2
las órbitas son n h / (4rr kme2). (c) ¿Cuál es la energía cinética y la energía total para estos radios?
*7-63 En algunos problemas sencillos, una molécula diatómica puede representarse como unas pesas
de gimnasia con dos masas en los extremos de una
barra rígida y con momento de inercia l. Según el
modelo de Bohr, una molécula de este tipo sólo puede tener un momento angular que sea múltiplo entero de h/2rr, donde hes la constante de Planck; el
momento angular se dice entonces que está cuantificado. ¿Cuáles son las posibles energías cinéticas de
rotación de tal molécula?
7-64 Miramos de frente un avión de un solo motor.
La hélice empieza a girar en sentido contrario al de
las agujas del reloj. (a) ¿Son iguales las fuerzas que
hace el suelo sobre las ruedas montadas una bajo
cada ala? Si no es así, ¿cuál de ellas es mayor: la que
actúa sobre la rueda derecha o sobre la rueda izquierda? (b) Si el motor gira ya con una velocidad
angular constante, ¿cuál de las dos ruedas experimentará la fuerza mayor debida al suelo?
7-65 Un hombre sentado en un taburete que gira
sin rozamiento sostiene en cada mano una masa de
lmpetu y momento angular
5 kg. Con las manos en su regazo el momento de
inercia con respecto a un eje vertical es 20 kg m 2 •
Con los brazos estirados hacia afuera el momento
de inercia total es 35 kg m2 • Inicialmente el hombre
tiene una velocidad angular de 3 rad s- i con los brazos en el regazo. (a) ¿Cuál es la velocidad angular
del hombre cuando extiende los brazos? (b) Si el
hombre suelta las masas cuando tiene los brazos extendidos, ¿cuál es entonces su velocidad angular?
7-66 Un saltador de altura h desea dar un doble salto hacia adelante con los brazos alrededor de sus
piernas encogidas. Salta del trampolín en posición
erguida con una velocidad angular de 2,0 rad s- 1• Su
radio de giro es 0,25h cuando está erguido y 0,lh en
la posición encogida. (a) ¿Cuál es la velocidad angular en la posición encogida? (b) ¿Cuál es el tiempo
mínimo necesario para dar dos vueltas completas?
(c) Si inicialmente no tiene velocidad vertical de traslación, ¿cuál es la mínima altura que ha de tener el
Figura 7 .20
177
trampolín sobre el agua para que el atleta consiga su
doble salto? (d) ¿Las personas altas tienen alguna
ventaja en este ejercicio?
7-67 La Fig. 7.20 muestra un helicóptero en vuelo.
La gran hélice que proporciona la fuerza de sustentación gira en el sentido de las agujas del reloj cuando se mira desde arriba. Explicar, utilizando el momento de la fuerza y el momento angular, el papel de
la pequeña hélice que está en la cola del aparato. La
hélice pequeña gira alrededor de un eje horizontal.
7-68 Una cierta estrella es, inicialmente, semejante
a nuestro Sol, con un radio de 7 X 10 8 m y un período de rotación sobre su eje de unos 27 días. Luego evoluciona a una estrella de neutrones de un radio de tan sólo 104 m y un período de 0,1 s. Suponiendo que la masa permanece constante, calcular
la razón de su (a) momento angular, (b) energía cinética, inicial y final. (El momento angular disminuye, lo cual indica que cierto momento angular
Problema 7-67. (Cortesía de Sikorsky Aircraft, Division of United Technologies.)
178
debe de haber sido llevado por el material escapado
de la estrella. La energía cinética aumenta como
consecuencia de la conversión de energía potencial
gravitatoria en otras formas de energía a medida
que la estrella se colapsa.)
*7-69 Una de las leyes de Kepler del movimiento planetario establece que la línea que une el planeta al
Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Demuéstrese que esta ley se sigue del hecho de que el momento angular del planeta se conserva.
*7-70 Una larga barra de madera de masa m y longitud 2a puede pivotar en un plano horizontal alrededor de su punto medio. Se dispara horizontalmente una bala de masa m/60 con velocidad v perpendicularmente a la barra hacia uno de sus extremos. ¿Cuál es la velocidad angular resultante de la
barra?
lmpetu y momento angular
Figura 7 .2 1
Un lanzador de peso en acción. Idealmente, el ímpetu de las partes del cuerpo es muy pequeño inmediatamente después del lanzamiento. El ímpetu del cuerpo se transfiere a la bola.
RESPUESTAS A LAS CUESTIONES DE REPASO
Q 7-1, la fuerza, el tiempo transcurrido; Q 7-2, la
variación del ímpetu; Q 7-3, la masa, la velocidad;
Q 7-4, fuerzas externas; Q 7-5, la fuerza externa neta
es cero; Q 7-6, componente; Q 7-7, la del sistema,
fuerza externa neta; Q 7-8, máxima; Q 7-9, no;
Q 7-10, calor, trabajo de deformación; Q 7-11, Jw;
Q 7-12, r X p; Q 7-13, momento externo neto.
TEMAS SUPLEMENTARIOS
7.7 I ÍMPETU Y EMPLEO DEL
CUERPO
En muchas actividades atléticas se intenta llevar al
máximo la transferencia de ímpetu. Por ejemplo, en el
boxeo, los puñetazos propinados mediante una simple
extensión del brazo no son ni mucho menos tan efectivos en el intercambio de ímpetu con el adversario
como los que se propinan poniendo en movimiento
todo el cuerpo. Sin embargo, en kárate, se consiguen
grandes transferencias de ímpetu mediante un movimiento muy veloz de los miembros más que por movimientos de todo el cuerpo.
Los deportes de lucha no son los únicos en que la
transferencia de ímpetu es importante. Por ejemplo, el
objetivo primordial de un lanzador de pesos es transformar el movimiento lento de todo su cuerpo en movimiento rápido del peso (Fig. 7.21). El ímpetu también juega un papel importante en los deportes en que
se golpea una pelota.
La Tabla 7.1 da las velocidades típicas y los tiempos medidos en buenos atletas de varios deportes en
que se utilizan pelotas. El percusor es el instrumento
utilizado para golpear la pelota, tal como el bate de
béisbol, la raqueta de tenis o el pie. Para obtener informaciones útiles a partir de estos datos utilizando el
impulso y el ímpetu, hemos de advertir que la masa
del percusor, y por lo tanto su ímpetu, es algo ambigua. Tomando el tenis como ejemplo, el percusor es
una raqueta de 0,4 kg de masa. Sin embargo, al utilizar la raqueta, el brazo y parte del cuerpo pueden considerarse como parte del percusor; la raqueta actúa
como una simple prolongación del cuerpo. La masa
efectiva del percusor depende de qué parte del cuerpo
se utiliza y de la manera como se utiliza. Cuando alguien impulsa la raqueta de tenis por acción sobre todo
de la muñeca, la masa efectiva de la raqueta es pequeña y no se puede dar mucha firmeza al golpe.
Ha de tenerse también en cuenta que la persona
que golpea la pelota está en contacto con el suelo. Ello
significa que la pelota y el objeto que la golpea no pueden considerarse realmente como un sistema aislado
sin fuerzas externas. Cuando una raqueta de tenis golpea la pelota, según la tercera ley de Newton la pelota
ejerce una fuerza sobre la raqueta, la raqueta ejerce
una fuerza sobre el cuerpo y el cuerpo ejerce una fuerza sobre el suelo. Por consiguiente, si una raqueta
transfiere ímpetu a la pelota, también transfiere ímpetu al suelo.
lmpetu y momento angular
179
TABLA 7.1
Masas de las pelotas, velocidades de los percusores antes y después del impacto y tiempos de impacto durante
los que pelotas y percusores están en contacto.
Masa de la pelota
Velocidad de la pelota
(m s- 1)
Pelota
(kg)
Antes
Béisbol (golpe a pelota parada)
Rugby (puntapié)
Pelota de golf (driver)
Balonmano (saque)
Fútbol (puntapié)
Pelota de squash (servicio)
Softball (golpe a pelota parada)
Pelota de tenis (servicio)
0,115
0,42
0,047
0,.061
0,143
0,032
0,17
0,058
o
o
o
o
o
o
o
o
Para evitar los detalles dificiles de esta situación es
conveniente definir la masa efectiva del percusor. Es decir, intentamos que el percusor y la pelota puedan considerarse como dos partes de un sistema sobre el que
no actúan fuerzas exteriores, de modo que el ímpetu total del percusor y de la pelota puede considerarse constante. Esta masa efectiva no es un simple truco que nos
permita calcular un número sin sentido. Un estudio detallado de los movimientos de un atleta puede ayudar
a comprender cómo se puede aumentar la masa efectiva del percusor y por lo tanto cómo se puede aumentar la velocidad de la pelota.
Designamos la masa de la pelota por m y su velocidad final por v'; su velocidad inicial es nula. La masa
efectiva del percusor se designa como M y sus velocidades inicial y final son V y V'. Si el movimiento es en
línea recta y el ímpetu se conserva,
MV=mv'
+ MV'
mu'
V - V'
Antes
Después
39
28
69
23
26
49
35
51
31
18
51
19
18
44
32
38
Tiem. impac.
(s)
Después
27
12
35
14
13
34
22
33
1,35
8
1,25
1,35
8
3
3
4
X
X
X
X
X
X
X
X
10-3
10-3
10-3
10- 2
10- 3
10-~
10- 3
10-3
Ejemplo 7.10
(a) Utilizando los datos de la Tabla 7.1 para un saque de tenis, calcular la masa efectiva de la raqueta. (b)
¿Cuál es la fuerza media sobre la pelota de tenis durante
el impacto?
(a) Con los datos de la Tabla 7.1, la masa efectiva de
la raqueta es
M
=
mu'
V - V'
= (0,,058 kg)(5 l m s- = O 59 k
1
(38 - 33) m
s- 1
)
'
g
Esta masa es mayor que la masa de la raqueta sola, que
es 0,4 kg.
(b) Durante el impacto, la fuerza media.Fsobre la pelota se halla a partir de Ft:i.t = m(v' - v). Con v = O y el
tiempo de impacto de 4 X 10-3 s,
F_
-
m(u' - v) _ (0,058 kg)(51 m s- 1) _
!:it
4 X 10-3 s
- 740 N
(7 .1 6)
Suponiendo que m, v', Vy V' se conocen, podemos despejar de esta ecuación la masa efectiva del percusor
M=
Velocidad del percusor
(m s- 1)
=.:- = ie
.- ··· -· _.- _ .... .
(7 .17)
Obsérvese que esta masa efectiva puede aumentarse
efectuando el movimiento de tal modo que se haga mínimo el cambio de velocidad del percusor durante el
impacto (Fig. 7.22).
Figura 7.22 El bateador tiene apoyados firmemente los pies
en el suelo y su cuerpo se mueve hacia la bola en el impacto. Esto
aumenta la masa efectiva de percusión del bate.
180
lmpetu y momento angular
3
Figura 7 .23 Giroscopio de juguete. Sus tres pares de pivotes
(1, 2, 3) le aislan de cualquier momento externo. (Cortesía de Sperry
Division, Sperry Rand Corporation.)
7 .8
1
MOVIMIENTO GIROSCÓPICO
La relación entre el momento de la fuerza y el momento angular origina algunos movimientos curiosos. El
comportamiento de un giroscopio es un buen ejemplo
de ello (Fig. 7.23). Un giroscopio está construido de
tal manera que una rueda giratoria es sostenida por debajo de su centro de gravedad y está aislada de cualquier momento externo. Así pues, el momento angular
de la rueda giratoria siempre apunta en una dirección
dada aun cuando el marco se incline o gire.
Los giroscopios de diseño muy sofisticado rio tienen prácticamente rozamiento y se utilizan para la navegación inercial de sistemas tales como aviones, co-
hetes o barcos. Tres giroscopios de este tipo indican
tres direcciones fijas en el espacio. A partir de las medidas de la aceleración del vehículo con respecto a estos tres ejes se pueden calcular electrónicamente las variaciones de velocidad y de posición del vehículo.
La Fig. 7 .24 muestra una peonza sobre un soporte.
La rueda gira con respecto a un eje fijo por un extremo.
Si la peonza se dispone como se muestra y luego se suelta, se caerá si la rueda no está girando. Sin embargo, si
la rueda gira rápidamente la peonza no caerá, sino que
describirá movimientos de precesión: el eje gira despacio
en un plano horizontal. Para analizar este movimiento
debemos ver cómo el momento de la fuerza afecta al
momento angular de la rueda.
La fuerza gravitatoria w ejerce un momento sobre
la peonza con respecto al extremo fijo en el·soporte.
Si la rueda no. gira, el momento angular inicial L; es
cero. El momento de la fuerza produce un momento
angular L1 en un tiempo Lit; T At = Lr Como el momento -r = r X w y el momento angular resultante son
perpendiculares a r y a w, la peonza gira en.el sentido de
las agujas del reloj y cae.
Cuando la rueda gira la situación es distinta. Hay
entonces un momento angular inicial L, a lo largo del
eje de la peonza: -r·es perpendicular a L, y el momento
angular final después de un breve int~rvalo de tiempo
Ates L1 = L, + T Lit. Como T Ates perpendicular a L,, -r
actúa para variar la dirección, pero no el módulo del
momento angular,.Entonces, L1 y L, tienen los mismos
módulos pero direcdónes distintas (Fig. 7.24c). El
momento de la fuerza origina el momento angular y la
peonza describe un movimiento de precesión circular.
Las peonzas son dispositivos fascinantes para hacer experimentos y pueden producirse con ellas muchos tipos diferentes de movimientos. Cuando el extremo del eje contrario al pivote se suelta exactamente
con la velocidad horizontal inicial adecuada, se produce el movimiento de precesión del eje que acabamos
de describir. Si, por el contrario, se suelta simplemente el extremo del eje, la peonza empieza a caer y adquiere gradualmente una velocidad precesional hacia
los lados. El resultado es un movimiento vertical de la
peonza llamado nutación, que se produce junto con la
precesión horizontal. Si la peonza gira con suficiente
rapidez, el valor del desplazamiento vertical o nutacional es inicialmente pequeño y disminuye rápidamente
como resultado de los efectos de rozamiento. Después
de un breve intervalo sólo se observa el movimiento de
precesión.
181
lmpetu y momento angular
1
1
/
/
\V
lb l
lal
(e)
Figura 7.24 (a) El momento producido por w obliga a la peonza a girar en el sentido de las agujas
del reloj y a caer. El disco no está girando. (b) y (e) Cuando el disco gira el momento hace que el momento angular efectúe un movimiento de precesión en un plano horizontal. El extremo de la peonza se mueve
a lo largo del círculo de trazos.
Precesión de los equinoccios I La Tierra
_gira alrededor de su eje con un período de un día. El
eje de rotación efectúa una precesión muy lenta que da
lugar a lo que se denomina precesión de los equinoccios.
Cuando se formó la Tierra, algo más de masa se
acumuló a lo largo del ecuador que en los polos debido a la aceleración centrípeta. La Luna y, en cierta manera, el Sol, ejercen fuerzas desiguales sobre los lados
opuestos de la Tierra (Fig. 7.25). El momento neto gravitatorio sobre un planeta esférico es cero, por lo tanto el momento neto sobre la Tierra proviene únicamente de la desigualdad de las fuerzas sobre la franja ecuatorial, y es bastante pequeño.
Como el momento es pequeño, la precesión es muy
lenta y un ciclo completo dura 25 800 años. Uno de los
efectos de esta precesión es el lento cambio en el instante del año en que una estrella se ve en una posición
dada. Durante los últimos 2000 años este tiempo ha sufrido un corrimiento de un mes. Un segundo resultado
es el corrimiento· gradual de las estaciones. Dentro de
12 900 años el invierno tendrá lugar en la posición de
la órbita terrestre en que actualmente tiene lugar el verano.
Luna
---------·------0
EJERCICIOS SOBRE LOS TEMAS
SUPLEMENTARIOS
Sección 7.7 1 Ímpetu y empleo del cuerpo
Figura 7 .25
El eje de rotación de la Tierra está inclinado del
modo que se indica. Las fuerzas gravitatorias ejercidas sobre la franja ec1,1atorial son F, y F1. F, es mayor que F1 porque la parte próxima de la Tierra está más cerca de la Luna. La precesión tiene lugar
a lo largo de la línea de trazos.
7-71 ¿Cuál es la fuerza media sobre el pie en un saque de rugby?
7-72 Utilizando los datos de la Tabla 7.1 hallar la
fuerza media sobre la mano de un jugador de balonmano cuando lanza la pelota.
7-73 Analizar, en función del impulso y del ímpetu,
182
lmpetu y momento angular
la diferencia entre el boxeo sin guantes y con guantes.
7-74 ¿Cuál es la masa efectiva del percusor en un
puntapié de fútbol?
7-75 Utilizar los datos de la Tabla 7.1 para el béisbol a fin de hallar (a) la energía cinética transferida a
la pelota y (b) la energía mecánica perdida.
7-76 (a) En un puntapié de rugby, ¿cuál es la masa
efectiva del percusor? (b) ¿Qué porcentaje del cuerpo de una persona de 80 kg representa esto?
7-77 Analizar cómo el concepto de masa efectiva
del percusor se aplica a las técnicas del boxeo.
Sección 7.8
1
L
Figura 7.26 Volante montado sobre un eje visto desde la parte posterior del barco. La rotación de la rueda es tal que su momento angular está dirigido según se muestra en la figura. Problema 7-82.
Movimiento giroscópico
7-78 Un chico sostiene una rueda de bicicleta que
gira rápidamente. La rueda está en un plano horizontal. Vista desde arriba, la rotación tiene lugar en
el sentido contrario de las agujas del reloj. (a) ¿Qué
dirección tendrá el momento angular? (b) El chico
trata de girar el plano de rotación de la rueda empujando hacia la derecha sobre el extremo superior
del eje y hacia la izquierda sobre el extremo inferior. ¿Cuál es la dirección del momento de la fuerza? (c) ¿Qué le pasa a la rueda?
7-79 « Una peonza caerá al suelo si se la suelta cuando no está girando, pero efectuará una precesión si
está girando». Como este enunciado no establece
una velocidad de rotación mínima, podemos pensar que cualquier velocidad de rotación arbitrariamente pequeñ.a es suficiente para evitar la caída. Explicar cómo la nutación resuelve esta aparente paradoja.
PROBLEMAS SOBRE LOS TEMAS
SUPLEMENTARIOS
7-80 (a) Si un momento aplicado a la Tierra redujera la longitud del día en una hora, ¿qué impulso
angular se necesitaría? (b) Si el momento proviene
de un par de fuerzas aplicadas en los lados opuestos del ecuador durante una hora, ¿qué fuerza se necesitaría~ (Utilizar los datos solares y terrestres de la
contracubierta posterior.)
*7-81 Un peso cuelga del extremo libre del eje de una
peonza similar a la de la Fig. 7.24. ¿Qué efecto cualitativo tendrá sobre su velocidad de precesión?
7-82 En los grandes barcos se usan. a menudo volantes de inercia para reducir el balanceo debido a
las olas. Si una gran ola se acerca al barco por la izquierda, tal como se muestra en la Fig. 7 .26, ¿cómo
afectará al movimiento posterior del barco?
Lecturas adicionales
James G. Hay, The Biomechanics of Sports Techniques, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J ., 1973. Conservación del
ímpetu en atletismo.
Stanley Plagenhoef, Patterns ofHuman Motion: A Cinematographic Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J .,
1971. Conservación del impetu en atletismo.
Jearl D. Walker, Karate Strikes, American Journal ofPhysics,
vol. 43, octubre 1975, p. 845.
F. l. Ordway, Principies of Rocket Engines, Sky and Te/escape, vol. 14, 1954, p. 48.
R. A. R. Tricker y B. J. K. Tricker, The Science of Movement, Milis and Boon Ltd, London, 1966. Aplicacione~
del momento angular al equilibrio y al movimiento.
R. L. Page, The Mechanics of Swimming and Diving, The
Physics Teacher, vol. 14, p. 72, 1976.
Chris D. Zafiratos, An Altemative Treatment of Gyroscopic Behavior, The Physics Teacher, vol. 20, 1982, p. 34.
Cliff Frohlich, Do Springboard Divers Violate Angular Momentum Conservation?, American Journa/ ofPhysics, vol.
47, Julio 1979, p. 583.
James Gray, How Animals Move, Cambridge University
Press, Cambridge 1953. Efectos giroscópicos en el movimiento de los insectos.
Artículos del Scientific American:
H. W. Lewis, Ballistocardiography, febrero 1958, p. 89.
Alfred Gessow, The Changing Helicopter, abril 1967, p: 38.
James E. McDonald, The Coriolis Effect, mayo 1952, p. 72.
Cornelius T . Leondes, Inertial Navigation for Aircraft, marzo 1970, p. 80.
Artículos de Investigación y Ciencia:
Cliff Frohlich, Física del salto mortal y del salto en tirabuzón,
mayo 1980, pág. 90.
Jearl Walker, Rattleback, diciembre 1979, pág. 116.
Jearl Walker, Peonzas, mayo 1981, pág. 138.
CAPÍTULO
8
PROPIEDADES ELÁSTICAS
DE LOS MATERIALES
Hemos analizado el movimiento de los objetos con la
hipótesis implícita de que nunca cambian de forma ni
de tamaño. Sin embargo, los objetos constituidos por
materiales reales siempre pueden deformarse, al menos
ligeramente, e incluso pueden romperse cuando se, les
aplican fuerzas o momentos. Por ejemplo, las vigas de
acero o de madera se curvan ligeramente cuando se les
cuelga u n peso, y un hueso se puede torcer y aun romperse cuando es sometido al momento de una fuerza.
Aunque la cohesión de los materiales se debe a fuerzas muy complicadas entre las moléculas, los efectos
de estas fuerzas pueden clasificarse adecuadamente
atendiendo sólo a unas pocas magnitudes medidas.
Con estas magnitudes puede determinarse la forma y
el tamaño de la viga de acero necesaria para sostener
sin riesgo una determinada carga, o el momento que
un determinado hueso puede resistir sin llegar a romperse.
La primera parte de este capítulo se dedica a la descripción de los esfuerzos que producen deformaciones
F r - -- - -~
en los materiales. Hallamos que la deformación depende de la manera como se aplican los esfuerzos. Mediante parámetros determinados experimentalmente
podemos analizar la resistencia de los materiales y el diseño óptimo de los objetos. Aplicamos también nuestros resultados para hallar la relación entre la altura y
el radio de las columnas, relación que usamos en el análisis de las dimensiones de los árboles y en el desarrollo de una interesante hipótesis de escala entre la estructura y la función de los animales.
8 .1
ASPECTOS GENERALES DE
LOS ESFUERZOS Y LAS
DEFORMACIONES
Si una fuerza determinada produce en una cinta de
caucho un cierto alargamiento, se necesita el doble de
fuerza para producir la misma deformación en dos cintas iguales al mismo tiempo o, lo que es lo mismo, en
una sola cinta cuya sección transversal sea el doble de la
- F
~ --------g •
(a)
Figura 8. 1
(h)
Barra sometida a (a) tracción; (b) compresión; (e) fuerzas cortantes o tangenciales.
183
Propiedades elásticas de l os materiales
184
Figura 8.2
Una barra de longitud/ y área A sometida a un esfuerzo de tracción tiene su longitud incrementada en /1l. La razón
/1l/l es.la deformación, e.
anterior. Así pues, las deformaciones de los materiales
se determinan por /a fuerza por unidad de área y no por
la fuerza total. Por esta razón resulta útil definir el esfuerzo a en una barra de sección transversal A
(Fig. 8. l a) sometida a una fuerza F como el cociente
entre la fuerza y el área,
F
(8.1)
a =A
El esfuerzo es contrarrestado por las fuerzas intermoleculares del material. Por ejemplo, si la pata de una
mesa sostiene un peso de 100 N, entonces las fuerzas intermoleculares han de ejercer una fuerza de 100 N hacia arriba sobre la capa superior de moléculas de la
pata.
Habitualmente se definen tres tipos de esfuerzos
(Fig. 8.1). El esfuerzo de tracción es la fuerza por unidad de área que tiende a producir una elongación del
objeto. El esfuerzo de compresión tiende a comprimir
Esfuerzo
Límite
elástico"-..
el objeto. El esfuerzo tangencial o cortante corresponde a la aplicación de fuerzas del tipo de las que ejercen las tijeras.
El cambio de longitud de una barra sometida a esfuerzos de tracción o de compresión es proporcional a
su longitud. Por ejemplo, si una barra de longitud / sometida a una fuerza de tensión F se estira una distancia fl./, entonces cada mitad de la barra se estira ½ll./.
La deformación E es la variación relativa de la longitud
(Fig. 8.2).
E
=
Esfuerzo
Esfuerzo
máximo
Punto de
de tracción fractura
o
Figura 8 .3 Experimento para medir la relación existente entre
esfuerzo y deformación.
o
.......--~'--J
Límite
/~
lineal - -•
A
"".
\
~
Deformación. e
tracción -
compresión
A
s/•
e/ •
Deformación, e
(a)
•
(b)
Figura 8 .4
(a) Esfuerzo asociado a una deformación por tracción dada en un metal dúctil. (b) Gráfica esfuerzo-deformación de un material frágil como el hueso. El punto de fractura D (no representado)
está muy cerca del punto de esfuerzo máximo C. Obsérvese que las pendientes en la región lineal de la curva no son las mismas para la tracción y la compresión.
t:,./
l
(8.2)
185
Propiedades elásticas de los materiales
Según esta definición, vemos que E no tiene dimensiones y, por lo tanto, no depende de la longitud de la
barra. Hay tres tipos de deformaciones: de tracción,
de compresión y tangencial. Cualquier deformación de
un objeto puede considerarse como una combinación
de estas tres deformaciones. La Ec. 8.2 define las deformaciones de tracción y de compresión. Más adelante se describe·n las deformaciones tangenciales o cortantes.
La relación entre el esfuerzo y la deformación para
un material sometido a tracción puede hallarse experimentalmente. Una barra sujetada firmemente por
uno de sus extremos se estira gradualmente y se toma
nota a intervalos de la fuerza F necesaria (Fig. 8.3). La
variación relativa de la longitud es la deformación y la
fuerza por unidad de área es el esfuerzo. En la Fig. 8.4
se muestran resultados típicos de este tipo de experimentos. Para esfuerzos de compresión y tangenciales
pueden obtenerse gráficas análogas.
Para pequeños valores de la deformación, la gráfica esfuerzo-deformación (Fig. 8.4) es una línea recta;
el esfuerzo a es linealmente proporcional a -la deformación E. Esta es la región lineal del material. Más allá
del límite lineal A, el esfuerzo ya no es linealmente proporcional a la deformación. Sin embargo, desde A hasta el límite elástico o punto de deformación plástica B,
el objeto recupera aún sus dimensiones originales cuando deja de aplicársele la fuerza F. La deformación hasta B se denomina elástica. Si la fuerza aplicada se aumenta aún más, la deformación crece muy rápidamente. En esta región el objeto no recupera totalmente sus
dimensiones originales al dejar de aplicarle la fuerza,
sino que presenta una deformación permanente. El
punto más alto C de la curva esfuerzo-deformación es
la intensidad máxima de esfuerzo del material, o su esfuerzo máximo. Más allá de este punto se sigue produciendo deformación adicional aunque la fuerza aplicada ser.eduzca y en el punto D se produce la fractura. Desde B hasta D se dice que el material experimenta defqrmación plástica. Si los puntos de esfuerzo máximo C y de fractura D están muy próximos, como en
la Fig. 8.4b, se dice que el material es frágil; si están suficientemente distantes, como en la Fig. 8.4a, se dice
que el material es dúctil.
Al estudiar las propiedades de los materiales debe
tenerse en cuenta que todos los materiales exhiben el fenómeno de lafatiga. Después de aplicar y dejar de aplicar muchas veces una carga, su esfu~rzo máximo disminuye gradualmente y por fin el material cede, inclu-
so bajo esfuerzos pequeños. Por ejemplo, un clip de papeles que se doble adelante y atrás muchas véces seguidas acaba por romperse. Los efectos de la fatiga han
de considerarse en situaciones tan diversas como en la
construcción de un puente o en el diseño de agujas para
insertar en las fracturas de huesos.
Las causas de la fatiga de los materiales aún no se
conocen con exactitud, pero se cree que tras repetidas
deformaciones la estructura molecular interna del material varía. Estos cambios llevan como consecuencia
una disminución de la fuerza intermolecular y por lo
tanto una disminución de la resistencia del material.
8 .2 I MÓDULO DE YOUNG
Las deformaciones elásticas de un sólido se relacionan
con los esfuerzos asociados a través de magnitudes denominadas módulos elásticos. En la región lineal de la
curva esfuerzo-deformación para la tracción o la compresión, su pendiente es el cociente entre el esfuerzo y
la deformación y se denomina módulo de Young E del
material
(8.3)
Para materiales homogéneos tales como el acero,
los módulos de Young para la tracción y para la compresión son en general iguales. Para materiales no homogénos como, por ejemplo, el hormigón y los huesos, los módulos para la tracción y la compresión son
diferentes. La Tabla 8.1 recoge diversos módulos de
Young representativos, esfuerzos máximos de tracción
a, y de compresión a, para diversos materiales.
El ejemplo siguiente muestra la relación que hemos
descrito.
Ejemplo 8.1
(a) Si el área de la sección transversal mínima del fémur de un hombre adulto es 6 X 10-4 m 2 , ¿a qué carga de
compresión se produce fractura? (El fémur es el mayor
hueso de la pierna.) (b) Suponiendo que la relación esfuerzo-deformación permanece lineal hasta la fractura,
hallar la deformación a que ocurre ésta.
(a) Según la Tabla 8.1, el esfuerzo máximo de compresi9n a, para el hueso es 17 X 107 N m- 2 • Ésta esla fuerza
por unidad de superficie que producirá fractura; la fuerza
total se halla multiplicándola por el área de la sección
transversal del hueso. Así pues
F
= ocA = (17 X l07 N m-2)(6 X 10- 4 m 2 )
= 1,.02 X l05 N
186
Propiedades elásticas de los materiales
TABLA8.1
Móoulos de Young y esfuerzos máximos de materiales representativos. Todas
las magnitudes tienen unidades de N m-2
Esfuerzo
máximo de
Esfuerzo máximo
Módulo de
de
tracción,
a,
Young,E
compresión,
a,
Material
2 X 108
Aluminio
7 X 101
20 X 101
5 X 108
Acero
º
º
2
Ladrillo
7
Vidrio
Hueso (a lo largo de su eje)
Tracción
1,6
Compresión
0,9
Madera dura
Tendón
2
Caucho
Vasos sanguíneos
2
X 1010
X 1010
4 X 107
5 X 107
101º
X 101º
1010
12 X 107
x
x
17 X 107
108
107
106
X 105
Esta fuerza es grande; es alrededor de 15 veces el peso de
una persona de 70 kg. Sin embargo, se sobrepasa fácilmente si alguien cae desde varios metros de altura y llega
al suelo en posición rígida.
(b) Utilizando la definición del módulo de Young
E,= olE, con E= 0,9 X 1010 N m- 2 de la Tabla 8.1,
E=
o
E=
17 X 107 N m-2
0,9 X 1010 N m - 2 = 0,0189
Así pues, la longitud del hueso se reduce en un 1,9 por
ciento bajo la acción de la carga que produce la fractura.
El v;µor experime°'tal de la deformación en la fractura es
ligeramente mayor, ya que la cw:va esfuerzo-deformación
no es lineal (Fig: 9.4b), sino que se aplana ligeramente
como se muestra en la Fig. 9.4b cuando se llega al esfuerzo máximo.
La región lineal esfuerzo-deformación de la Fig. 8.4
se denomina también región de la ley de Hooke. En
esta región, como el esfuerzo se relaciona linealmente
con la deformación, la fuerza se relaciona linealmente
con la elongación. Ello puede verse si se utiliza la definición del módulo de Young escrita como o =.EE.
Con las definiciones del esfuerzo o = F/A y la deformación E = í::J./1/, esta relación se convierte en
Así pues, en la tracción o en la compresión la fuerza sobre un objeto es proporcional a su elongación,
F
11 X 108
= k t:,,,l
(8.4)
k se denomina la constante elástica o del muelle y es
(8.5)
La Ec. 8.4 recibe el nombre de ley de Hooke. La ley
de Hooke es válida mientras el objeto sometido a esfuerzos se enc1,1entra en la región lineal. Pór ejemplo,
muelles, ballestas y cintas de caucho obedecen a esta relación si las deformaciones no son demasiado grandes.
La constante k es grande para muelles duros. Según la
definición de k, vemos que aumentando el área de la
sección transversal o disminuyendo la longitud se consigue reforzar las propiedades elásticas del objeto. Las
fuerzas elásticas se vuelven a estudiar en el Capítulo 9.
8 .3
I
RESISTENCIA A LA FLEXIÓN
Casi todas las estructuras mecánicas, desde las vigas
hasta los troncos de los árboles o las extremidades de
los seres humanos, están sometidas a diversos tipos de
esfuerzos. Cuando el ·esfuerzo es una simple compresión o tracción, la forma del objeto es irrelevante, pues'..
to que la deformación sólo depende del área de la sección transversal. Sin embargo, la resistencia de un objeto a doblarse o su capacidad de doblarse sin romperse depende no sólo de la composición, sino también de
la forma del objeto. Por ejemplo, un tubo hueco hecho de una determinada cantidad de material es más
fuerte que una barra maciza de la misma longitud construida con la misma cantidad del mismo material. Aná-
187
Propiedades elásticas de los materiales
w
N =-
N=~
2
2
Superficie~
neutra
_
---- 7
f
N=
(b)
(a)
w-
_ ___ .J
w -
2
2
( e)
Figura 8.5 (a) y (b) Una barra rectangular se doblará bajo la acción de su propio peso cuando está
apoyada en dos puntos. (e) La mitad izquierda de la barra experimenta fuerzas procedentes del soporte
y de su peso. También ejerce fuerzas sobre ella la otra mitad de la barra.
logamente, existe una relación definida entre las longitudes y los radios de los troncos de los árboles y de
los miembros de los animales impuesta por su forma
y composición. En esta sección vemos cómo los hom-·
bres y la naturaleza diseñan las estructuras para conseguir la máxima resistencia con la máxima ligereza.
La Fig. 8.5 muestra una barra de longitud l y de
sección transversal rectangular de lados a y b. Apoyada sobre dos soportes se dobla ligeramente bajo su propio peso. Cuando miramos la mitad izquierda de la
barra (Fig. 8.5c), advertimos que la fuerza vertical del
soporte de la izquierda y el peso de esta mitad son iguales y de sentido opuesto. Sin embargo, estas fuerzas tienen líneas de acción diferentes, por lo cual forman un
par que tiende a girar la mitad de la viga en el sentido
de las agujas del reloj. Como la barra se halla en equilibrid, la mitad de la derecha ha de ejercer fuerzas que ·
produzcan un par igual y opuesto.
En la Fig. 8.5c vemos que la parte superior de la
barra está comprimida, en tanto que su parte inferior
está sometida a traccion. La superficie neutra no experimenta cambio de longitud. Ello significa que la fuerza de la barra depende de las propiedades elásticas del
material del que está formada.
Las superficies superior e inferior de la barra son
las que más se distorsionan, de modo que las mayores
fuerzas internas aparecerán en estas superficies (Fig.
8.6b). Estas fuerzas producen un momento que se opone al del peso y del soporte. Cuanto más lejos de la superficie neutra actúen, tanto mayor será su contribución al momento. Así pues, con barras anchas pueden
conseguirse grandes momentos con fuerzas internas relativamente pequeñas, haciendo por lo tanto posible
soportar cargas pesadas.
Esta idea puede escribirse de forma algo más cuantitativa. Un análisis matemático algo complicado
muestra que cuando la barra de la Fig. 8.5 se dobla
con un radio de curvatura R, el momento interno T de
la barra viene dado por (Fig. 8.7)
'T
\
R
_,, ,
✓~---1
/
neutra
(8.6)
E es el módulo de Young del material e IA se denomina momento de inercia de la-sección transversal. Para
/
(a)
= E/A
R
~---
------.-- -
(h )
Figura 8.6 (a) El plano sombreado, llamado superficie neutra,
no sufre cambios de dimensión cuando la barra se dobla. (b) Detalle de las fuerzas internas que actúan sobre la mitad izquierda de la
barra. Los pares de fuerzas en los bordes superior e inferior dan Jugar a los momentos más grandes debido a que son grandes y están
separadas.
Figura 8. 7
vatura R.
Una viga de longitud /se dobla con un radio de cur-
188
Propiedades elásticas de los materiales
Tablón 2
=
b 2cm
a = 6cm
Figura 8 .8
Tablones idénticos apoyados sobre la cara ancha y
sobre la cara estrecha.
una barra rectangular este momento de inercia es
(8.7)
Obsérvese que IA aumenta rápidamente al aumentar a,
ya que a interviene elevada al cubo.
La Tabla 8.2 recoge los momentos de inercia de la
sección transversal de diversas estructuras corrientes.
Utilizamos estos resultados en el siguiente ejemplo
para demostrar que un tablón grueso resiste mejor la
flexión que los delgados.
Ejemplo 8.2
Dos tablones idénticos de madera de 2 X 6 cm se apoyan por sus extremos {Fig. 8.8). Cada uno soporta su propio peso, pero uno de ellos reposa sobre su cara ancha
mientras que el otro se apoya sobre su parte estrecha.
¿Qué tablón se dobla más y cuál es la razón de los radios
de curvatura de ambos tablones?
Como cada tablón soporta su propio peso, el momento interno de los dos ha de ser el mismo. Así pues, segútt
la Ec. 8:6, /A1/R1 = IA2/R2 , donde R, y R 2 son los radios
de curvatura de los dos tablones. Utilizando la definición
de momento de inerci~ de la sección transversal para cada
uno de los tablones rectangulares vemos que IA , = (2
cm)3(6 cm)/12 = 4 cm 4 e /A 2 = (6 cm)3(2 cm)/12 = 36 cm4.
Entonces
4 cm 4
36 cm4
R¡
Estos resultados sugieren que para construir piezas
estructurales fuertes y ligeras, la mayor parte del material se ha de localizar lo más lejos posible de fa superficie neutra. Una viga en forma de I (Fig. 8.9) puede resistir mejor los momentos de flexión debidos a fuerzas
perpendiculares a su longitud que una viga de sección
transversal cuadrada construida con la misma cantidad
de material. En cambio, ambas pueden resistir la misma fuerza de compresión, puesto que el área de sus respectivas secciones transversales es la misma. Análogamente, un tubo hueco es más resistente a la flexión que
una barra maciza de la misma longitud y peso. A esto se
debe el que las patas de las mesas y las sillas metálicas
sean en general huecas (Fig. 8.10). Estas patas pueden
resistir mejor las fuerzas aplicadas en cualquier dirección perpendicular a su longitud, puesto que en promedio el metal está más alejado de la superficie neutra.
Según este análisis parecería ventajoso construir
piezas estructurales de diámetro grande y paredes finas. Sin embargo, la tendencia a sufrir una flexión lateral de las estructuras de paredes muy finas impone
un límite. La Fig. 8. 11 muestra un experimento que
uno mismo puede realizar fácilmente para ilustrar esta
=
o bien
Rz
R1
=9
El radio de curvatura del tablón que descansa sobre su
parte estrecha es nueve veces mayor que el del otro. Como
a mayor radio de curvatura corresponde menor flexión,
el -tablón 2 no se dobla tanto como el tablón l. Por consiguiente, es más dificil que el tablón 2 se rompa al p.onerle encima una carga pesada.
(a)
Figura 8 .9
(h)
(a) Una viga en I está construida de manera que la
mayor parte del material está cerca de las superficies exteriores durante la flexión debida a una fuerza vertical. (b) Con la misma finalidad se diseñan angulares con sección transversal en L. Este angular
podría utilizarse como soporte en una estantería. ·
189
Propiedades elásticas de los materiales
TABLA8.2
Momentos de inercia para carga vertic~I
Sección transversal
Rectángulo
Cilindro macizo:
Cilindro hueco:
Viga en I:
cada una de las partes
tiene un espesor t:
a se mide desde los puntos medios de las dos
placas horizontales
cuestión. Una hoja de cuaderno se enrolla formando un
cilindro de una sola capa y se pega con cinta adhesiva.
Una segunda hoja se enrolla formando un cilindro de
una pulgada de diámetro y se pega también con cinta
adhesiva. Al porier los cilindros en posición vertical y
dejarles encima un libro de texto, el cilindro mayor se
flexiona inmediatamente y se hunde, mientras que el
menor puede resistir esta carga. Así pues, las paredes
más delgadas del cilindro más ancho no pueden resistir
una fuerza aplicada aproximadamente en la dirección
de su eje. Consideraremos la flexión lateral con más detalle en la próxima sección.
La naturaleza ha hecho un gran uso del principio
de que las ·estructuras huecas son más resistentes que
las macizas de igual sección transversal. Los huesos
son en general huecos. Por ejemplo, en el fémur humano la razón del radio inte"rior al radio exterior es aproximadamente 0,5, y el área de su sección transversal es
sólo el 78 por ciento de la de un hueso·macizo que tuviera la misma resistencia a doblarse. Los mamíferos
. menores y los pájaros tienen huesos con paredes rela-
(t
<< a, b¡
tivamente más delgadas. Por ejemplo, la razón del radio interior al radio exterior del húmero de un cisne es
0,9 y su sección transversal es el 38 por ciento de la que
tendría un hueso macizo con la misma resistencia. El
peligro de derrumbamiento por flexión lateral en este
( b)
Figura 8.1 O Las patas de ambas sillas tienen la misma longitud y están construidas con la misma cantidad de material. Las de
(a) son cilindros macizos, mientras que las de (b) son cilindros huecos.
190
Propiedades elásticas de los materiales
(a)
(b)
Figura 8.11
(a) Un tubo de papel de paredes delgadas y gran
radio sufre flexión lateral con facilidad. (b) Un tubo más estrecho
pero con paredes más gruesas construido con una hoja de papel idéntica no flexionará bajo la misma carga.
hueso de pared tan fina se reduce gracias a pequeños
puntales de hueso presentes en el interior del húmero.
8.4
1
FLEXIÓN LATERAL Y DISEÑO
ESTRUCTURAL EN LA
NATURALEZA
En la naturaleza los fallos de los miembros estructurales se deben más a momentos de distintos tipos que
a simples esfuerzos de tracción o de compresión. Por
ejemplo, excepto cuando alguien cae desde una gran altura, las fracturas de los huesos de las extremidades
son el resultado en general de una flexión o una torsión. Hemos advertido en la sección precedente que un
tubo de paredes delgadas sufrirá fácilmente una flexión
lateral si se aplica una fuerza a lo largo de su eje. En general, cualquier viga o columna puede doblarse por la
acción de una fuerza de ese tipo. Discutimos aquí la resistencia a la flexión lateral de una columna cilíndrica
w
Figura 8 .12 Columna cilindrica inclinada de manera que su
peso no caiga directamente sobre el centro de su base, punto P.
y utilizamos nuestros resultados comprobando cómo
la naturaleza parece haber utilizado la resistencia a sufrir flexión lateral como criterio en el diseño de los troncos de los árboles.
Para entender cómo se produce la flexión lateral o
pandeo consideremos la larga y delgada columna cilíndrica de la Fig. 8.12. Se mantiene casi, pero no del
todo, vertical, de modo que su centro de gravedad no se
halla exactamente en la vertical del centro de su base,
punto P. El peso, por lo tanto, ejerce un momento con
respecto al punto P que hace que la columna se doble.
Si el material es suficientemente resistente, la fle~ión
cesa cuando los momentos debidos a las fuerzas internas del material llegan a ser suficientemente grandes
para contrarrestar el momento debido al peso. Sin embargo, si la columna es muy alta y delgada, a medida
que se va doblando, el momento debido al peso crece
más rápidamente que los momentos debidos a las fuerzas internas. Entonces, la columna se doblará y
derrumbará.
De modo general, cualquier columna vertical que soporte una carga o incluso sólo su propio peso llegará
a pandearse si manteniendo fijo su radio va aumentándose su altura. La altura critica viene determinada por
el módulo de Young del material. Ello se debe a que
el módulo de Young determina las fuerzas internas
correspondientes a una deformación dada.
Para un cilindro macizo de radio r que sostiene sólo
su propio peso, la altura crítica es, según se demostrará en la Sección 8.7,
(8.8)
Aquí c es una constante que depende del peso por
unidad de volumen y del módulo de Young del material que forma la columna. Este resultado implica, por
ejemplo, que si una columna está en el límite de estabilidad al pandeo, el duplicar su radio no permite duplicar su altura. Ello se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 8.3
Dos columnas están hechas del mismo material. Una
de ellas tiene radio r 1 y el radio de la otra es 2r1 • Si ambas columnas pueden soportar sin doblarse justamente su
propio peso, ¿cuál es la razón de sus alturas?
La altura de la columna de radio r 1 es /1 = cr.2'3• La
otra columna tiene una altura /2 = c(2r1)213. La razón
/ 2/ /1es
!1, l1 -
(2r1)2/3 - (2)2/3
2/3 '1
= 1'59
191
Propiedades elásticas de los materiales
100
.
,JI'
.,,,, :
·-:'ji'-·:;...
.
.. .,it' "•
·;,,·,·
~ --:
.
.
10
0,1
10
te que sobre los objetos actúen fuerzas tangenciales
cortantes o fuerzas de torsión. En esta sección describimos cualitativamente las fuerza~ cortantes y, de forma algo más cuantitativa, los momentos de torsión.
Un ejeínpio sencillo de esfuerzos y deformaciones
cortantes, fácil de hacer, consiste en colocar un libro
sobre una mesa y ejercer fuerzas iguales en direcciones
opuestas sobre sus cubiertas (Fig. 8.14). Cada página se
desplaza ligeramente con respecto a la siguiente, y la
forma del libro cambia aun cuando su altura h y su anchura w permanecen práticamente iguales.
En la Fig. 8.14, el libro se deforma un ángulo a. La
cubierta superior se desplaza una distancia ó con respecto a la inferior. El esfuerzo cortante sobre la cubierta
superior es
·
Dié.mctro (m)
F
Figura 8 .13
Datos de árboles norteamericanos. La recta de
trazos corresponde a/= c,m, con e= 34,9 escogida para· ajustar los
datos. La recta de trazo continuo es el resultado teórico para una columna de sección decreciente que está a punto de sufrir flexión lateral. Probablemente no aparecen puntos experimentales por encima de esta recta porque esos árboles se flexionarían por su propio
peso. {Tomado de T. McMahon, Science, vol. 179, pp. 1201-1204,
marzo 23, 1973.)
(8.9)
ºs = A
La deformaci6n cortante es
E,
= hó = tan a
(8.10)
La razón entre o, y E, define el módulo cortante o de cizalladura,
Así pues, la columna de doble radio sólo puede ser 1,6 veces más alta que la otra columna.
La altura de los árboles I El resultado le,=
cr213 es bastante general. Por ejemplo, con valores adecuados de la constante e sigue siendo válido para columnas de sección decreciente, columnas huecas y columnas que soportan cargas. También ha de cumplirse para los árboles, es decir, la máxima altura que puede tener un árbol para seguir siendo estable frente al
pandeo es proporcional a r213• Puede investigarse si el
pandeo es o no el factor determinante que limita la altura de los árboles comparando las alturas y los radios
medidos (Fig. 8.13). Aunque hay una considerable dispersión en los datos, los resultados parecen confirmar
la idea de que el pandeo es el factor clave que determina las proporciones de los árboles. Veremos en la
Sección 8.6 que hay evidencias de que la resistencia al
pandeo también determina las proporciones del cuerpo de los animales.
8.5
1
MOMENTOS CORTANTES Y DE
TORSIÓN
Hasta ahora sólo hemos considerado esfuerzos de compresión y de tracción. Sin embargo, también es frecuen-
(8. 11)
La Tabla 8.3 da los módulos cortantes de algunos materiales. Normalmente, el módulo cortante oscila entre
un tercio y un medio del módulo de Young del material.
Aun cuando un objeto se halle sometido sólo a fuerzas cortantes se pueden presentar esfuerzos de tracción
o de compresión en diversos planos del objeto. Por
ejemplo, el cubo de la Fig. 8.15 se halla en equilibrio
de traslación y de rotación bajo la acción de cuatro
fuerzas cortantes de igual módulo que actúan sobre sus
caras. Tal como se muestra, el cubo se deforma lige-
TABLA 8.3
Módulos cortantes para algunos materiales en N m- 2
Módulo cortante, G
Material
Aluminio
Huesos (largos)
Cobre
Vidrio
Madera dura
Acero
Tungsteno
2,4 X 10 10
10 10
4,2 X 10 1º
2 ,3 X 1010
1010
8,4 X 10 10
11,4 X 101º
192
Propiedades elásticas de los materiales
1/
(
(a)
<b)
Figura 8.14 Un libro sometido a fuerzas cortantes se deforma. Su cubierta superior se desplaza una distancia ó con respecto a
la inferior, y el lomo del libro forma un ángulo a con la vertical.
ramente bajo la acción de estas fuerzas. Si examinamos un corte imaginario a lo largo de un plano diagonal, tal como en la Fig. 8.15b, entonces la parte sombreada del cubo ha de experimentar una fuerza de compresión F en la dirección que se indica, ya que esta parte se halla en equilibrio. Análogamente, para el plano
de la Fig. 8.15c, la parte sombreada experimenta una
fuerza de tracción. El resultado neto es que el cuadrado que se muestra en la cara del <;:ubo de la Fig. 8.15d
se convierte en un rectángulo cuando el cubo se deforma bajo la acción de fuerzas cortantes.
Según este análisis, es claro que el esfuerzo y la deformación son magnitudes complicadas, excepto en algunos pocos casos particulares. Como hemos visto, las
fuerzas cortantes ~plicadas exteriormente producen
fuerzas de compresión y de tracción en el interior del
material. La especificación completa del esfuerzo debe
incluir las tres componentes de la fuerza sobre cada uno
de los tres planos perpendiculares que pasan por cada
punto del objeto. Tales análisis completos de las relaciones esfuerzo-deformación están más allá del alcance
de este libro.
Analizamos ahora brevemente el efecto de un momento dirigido a lo largo del eje de un cilindro debido
a fuerzas de torsión. Tales momentos se presentan
cuando la pierna de un esquiador se tuerce en una caída o cuando se transmite potencia mediante un eje giratorio. La Fig. 8.16 muestra un cilindro fijo por uno de
sus extremos. Se aplica un par de fuerzas en el extremo
libre, de tal manera que su momento se dirige a lo largo
del eje. Si la deformación resultante no es demasiado
grande, se encuentra que un plano trazado a lo largo
del eje del cilindro sufre una torsión, tal como en la Fig.
8.16b. El ángulo de torsión aumenta linealmente con la
distancia al extremo fijo, de modo que las líneas radiales permanecen rectas. Las rectas trazadas originalmente sobre la superficie del cilindro y paralelas a su eje
se curvan ligeramente.
~3
(a)
Figura 8.15 (a) Cubo sometido a cuatro fuerzas cortantes de igual valor. El cubo se deforma ligeramente pero está en equilibrio estático. (b) Las partes formadas por un corte imaginario a lo largo de un
plano diagonal están sometidas a esfuerzos de compresión. (e) El otro plano diagonal origina porciones
que experimentan esfuerzos de tracción. (d) Las rectas de trazos muestran un cuadrado sobre la cara del
cubo antes de que sean aplicadas las fuerzas cortantes. Un cuadrado trazado con esta orientación se deforma en un rectángulo por las fuerzas cortantes, aun cuando la cara del propio cubo se deforme desde
el cuadrado a un paralelogramo equilátero o rombo.
193
Propiedades elásticas de los materiales
(h)
(a)
(e)
Figura 8.16 (a) Cilindro de longitud/ y radio r. (b) El extremo más alejado del cilindro se mantiene
fijo por medio de una ligadura que no se muestra en la figura y el extremo próximo está sometido a fuerzas que producen un momento a lo largo del eje. La torsión resultante de los planos del cilindro aumenta
linealmente con la distancia al extremo fijo si el momento aplicado no es demasiado grande. (e) El extremo próximo. Las capas cilíndricas adyacentes se deforman tanto más cuanto más alejadas están del eje
del cilindro. Ésta es una deformación cortante.
Para hallar la relación entre el momento r y la deformación a, es necesario calcular el esfuerzo a, a diversas distancias del eje del cilindro. Como las capas cilíndricas adyacentes están sometidas a fuerzas cortantes (Fig. 8.16c), el esfuerzo a, y la deformación E, se
relacionan mediante a, = GE,. Cuando se calculan y se
suman los momentos sobre cada capa se halla, si a se
expresa en radianes,
'í
= GIP ~
(8.12)
TABLA8.4
La forma de esta ecuación es análoga a la del resultado para los momentos de flexión, pero IPes el momento de inercia polar. Para un cilindro de radio r,
(cilindro macizo)
sos de miembrqs humanos se recogen en la Tabla 8.4.
Bajo ciertas condiciones, una fuerza relativamente pequeña puede producir una fractura. Por ejemplo, la
puntera de un esquí se halla aproximadamente a un metro del talón de la bota del esquiador y, por lo tanto,
una fuerza de 100 Nen la puntera produce un momento de 100 N m. De acuerdo con la tabla, ello es sufi-
(8.13)
Como el momento de inercia polar crece con la cuarta potencia del radio, al doblar el radio de un cilindro
se aumenta su resistencia a la torsión en un factor 24
= 16.
Si un objeto se somete a un momento de torsión ere-ciente, llegará a romperse. Los mqmentos y los correspondientes ángulos a que esto ocurre para varios huc.-·
Momento y ángulo de rotura por torsión de huesos
humanos
Hueso
Pierna
Fémur
Tibia
Peroné
Brazo
Húmero
Radio
Cúbito
Momento de rotura
(Nm)
Ángulo de rotura
por torsión
140
100
12
1,5°
3,4 º
35,7º
60
20
20
5,9º
15,4 º
15,2 º
Propiedades elásticas de los materiales
194
100 N
t = lm--j
e
7::~
330 N
Figura 8. 17
Vista desde arriba de una bota de esquiador y un
esquí. Si el esquí y el pie no giran, el momento neto alrededor del talón debe ser cero. Así, una fuerza de 100 N aplicada al esquí da lugar a una fuerza de 330 N ejercida sobre el esquí por la punta del pie.
ciente para romper la tibia, el mayor de los dos huesos de la pierna.
La puntera de la bota se encuentra aproximadamente a 0,3 m del talón. Si el pie y el esquí no giran,
un momento aplicado de 100 N requiere que el esquiador haga una fuerza de 100 N m/0,3 m = 330 N en la
punta del pie (Fig. 8.17). Si el seguro se abre a una fuerza menor, el riesgo de lesiones disminuye.
Las fracturas de torsión en los huesos y en los cilindros metálicos no son en general roturas perpendi.culares al eje, sino fracturas espirales (Fig. 8.18). La explicación de este fenómeno viene sugerida por nuestro
análisis de las tensiones y las deformaciones en un cubo
sometido sólo a fuerzas cortantes. Hemos visto que
para algunas superficies -del cubo, el esfuerzo es puramente de compresión o de tracción y determinados
cuadrados convenientemente trazados sobre las caras
del cubo se deforman en rectángulos. Análogamente,
cuando una barra se tuerce, los planos que forman 45°
con el eje experimentan compresión pura o tracción
pura. La fractura ocurre cuando se sobrepasa el menor
de los esfuerzos máximos de tracción o de compresión
en uno de estos planos (Fig. 8.19).
Figura 8.18
Fractura espiral de tibia. (Cortesía del Dr. Ro-
bert C. Runyon.)
RESUMEN
Los objetos sometidos a fuerzas y momentos se deforman y pueden llegar a romperse. El cambio relativo de
tamaño o de forma es la deformación E y la fuerza por
unidad de superficie que produce la deformación es el
esfuerzo a. Para fuerzas o momentos aplicados pequeños, el esfuerzo y la deformación de un material se re-
111111111111111111111
(a)
(b)
Figura 8.19
(a) Cuando un cilindro es sometido a torsión, las rectas paralelas al eje se tuercen,
mientras que las que están en planos perpendiculares al eje no se ven afectadas. (b) Cuando el cilindro
sufre torsión, un cogjunto de rectas paralelas formando un ángulo de 45º con el eje se comprime y otro
conjunto se dilata. (e) Un cuadrado de la parte (b) se ha deformado en un rectángulo. El esfuerzo es tracción pura a lo largo de los lados largos y compresión pura a lo largo de los cortos.
195
Propiedades elásticas de los materiales
lacionan en general linealmente. La constante de proporcionalidad que relaciona el esfuerzo y la deformación en la región lineal es el módulo de Young para la
compresión o la tracción
En presencia de un esfuerzo cortante, la relación es
:londe G es el módulo cortante o de cizalladura.
Cuando una viga se dobla con un radio de curvatura R, el momento debido a la fuerza interna es
IA es el momento de inercia de la sección transversal.
-Si este momento de inercia de la viga es grande, el radio de curvatura para un momento dado también es
grande y la viga no se doble mucho.
Una columna de radio r que sostenga su propio
peso tiene una altura máxima o crítica
fer
= cr213
·e depende del módulo de Young del material y del peso
por unidad de volumen de la columna. Si la altura sobrepasa /,,, la columna pandeará. Este criterio parece
ser el factor que limita la altura de los árboles.
Un momento de torsión T aplicado a un cilindro
uniforme de longitud/ se relaciona con el ángulo a de
torsión del cilindro mediante
T
= GI
p
!!.
f
lP es el momento de inercia polar y depende del radio
del cilindro.
CUESTIONES DE REPASO
Q 8-1 Si se aplica una fuerza Fa una barra de área
transversal A, el esfuerzo es ........ .
Q 8-2 La deformación en un objeto sometido a esfuerzo es ........ .
Q 8-3 Los tres tipos de esfuerzo son ......... , ......... y
Q 8-4 En la región lineal, el ......... y la ......... son linealmente dependientes.
Q 8-5 Hasta el ......... , un objeto recupera su longitud original cuando cesa el esfuerzo.
Q 8-6 Si un material es fácil de comprimir, su
......... es pequeño.
Q 8-7 Si la fuerza necesaria para estirar un objeto
es proporcional a la elongación, el objeto obedece a
la ........ .
Q 8-8 Una barra con un gran momento de inercia
de la sección transversa es ......... a la flexión que una
......... con pequeño momento de inercia de la sección transversal.
Q 8-9 El pandeo de una columna se ·refiere a su colapso bajo la acción de fuerzas dirigidas aproximadamente según su ........ .
Q 8-10 El módulo cortante es la razón del ......... a
la ........ .
Q 8-11 La torsión de un cilindro produce esfuerzos
Lista de repaso
Definir o explicar:
esfuerzo y deformación
de tracción
esfuerzo y deformación
de compresión
límite lineal
límite elástico
intensidad máxima de
esfuerzo
frágil
dúctil
fatiga·
módulo de Young
ley de Hooke
constante elástica
o del muelle
superficie neutra
momento interno
momento de inercia de
la sección transversal
flexión lateral
altura crítica
esfuerzo y deformación
cortantes
módulo cortante o de
cizalladura
momento de inercia polar
EJERCICIOS
Sección 8.1 1 Aspectos generales del esfuerzo y la deformación
8-1 Una fuerza de tracción de 100 N se aplica a la
cara de 0,1 m2 de área de una barra. ¿Cuál es el esfuerzo en la barra?
8-2 Un esfuerzo de tracción de 2 X 106 N m-2 se aplica a una barra de 0,05 mi de sección transversal.
¿Cuál es la fuerza aplicada?
8-3 Un tubo de 0,4 m cambia su longitud 0,005 m
bajo la acción de un esfuerzo de compresión. ¿Cuál
es la deformación del tubo?
9-4 La mayor deformación de tracción que puede
ocurrir antes de la fractura en el aluminio es 0,003.
Propiedades elásticas de los materiales
196
¿Cuáles la variación máxima de longitud de un tubo
de aluminio de l m?
8-5 Una pierna humana puede considerarse como
una barra de hueso de 1,2 m de largo. Si la deformación unitaria es de 1,3 X 10· 4 cuando cada pierna soporta su peso, ¿cuánto se acorta cada pierna?
8-6 Una barra de caucho de 0,5 m de longitud y 10· 3
m de radio se alarga 0,1 m cuando se le aplica una
fuerza de 140 N. ¿Qué fuerza se necesitaría para
alargar 0,1 muna barra del mismo caucho de 0,5 m
de longitud y 2 x 10· 3 m de radio?
8-7 Un gato de automóvil sostiene la mitad del peso
de un cpche de 1500 kg. Si el esfuerzo no debe sobrepasar los 108 N m-2 y el gato tiene una sección circular maciza, ¿cuál debe ser el radio mínimo de ésta?
8-8 Un alambre de acero de 10 m de longitud tiene
un radio de 1 mm = 10·3 m. Su límite lineal es
2,5 X 108 N m-2 y su intensidad máxima de esfuerzo
es 5 X 108 N m· 2 • El alambre se fija por un extremo y
se cuelga verticalmente con un peso en el otro extremo. (a) Si el alambre se halla en su límite lineal,
¿cuánto vale el peso? (b) ¿Cuál es la máxima carga
que puede sostener el alambre?
2
8-9 Un cable de acero de 3 cm = 3 X 10· m de diámetro sostiene una silla en un telesilla de una estación de esquí. Si el máximo esfuerzo no debe sobrepasar los 108 N m-2 , ¿cuál es la máxima carga que
puede sostener el cable?
Sección 8.2
1
Módulo de Young
8-1 O Un alambre de aluminio tiene 20 m de longitud
y 2 mm = 2 X 10·3 m de radio. El límite lineal del
aluminio es 0,6 X 108 N m- 2• (a) ¿Qué fuerza de tracción se necesita para alargar.el alambre hasta su límite lineal? (b) ¿Cuánto se alargará el cable al aplicarle dicha fuerza?
8-11 Una masa de 100 kg se cuelga del extremo de
una barra vertical de acero de 2 m de altura y de sección transversal de 0,1 m2 de área. (a) Hallar el esfuerzo y la deformación en la barra. (b) ¿Cuánto se
acorta la barra? (c) ¿Cuál es la máxima masa que
puede colgarse de esta barra?
8-12 Un poste de madera dura de 10 cm por 15 cm
por 3 m sostiene una carga de 1000 N a lo largo de
su longitud. (a) Hallar el esfuerzo_y la deformación
en el poste. (b) ¿Cuál es su cambio de longitud?
8-13 Si el área de la sección transversal mínima de
un fémur humano es 6,45 X 10· 4 m2, ¿a qué carga
de tracción ocurre la fractura?
8-14 Una hoja de vidrio de 0,005 m de espesor tie-.
ne una superficie de 0,5 m2 • (a) Si se coloca horizontalmente, ¿cuál es la carga, distribuida uniformemente, que hará que se rompa la hoja? (b) ¿Cuál
es el cambio de espesor si se aplica la mitad de esta
carga?
8-15 Un poste vertical de acero de 3 m de altura tiene 0,1 m de radio y sostiene una carga de 105 N. (a)
Hallar el esfuerzo y la deformación del poste y (b)
su cambio de longitud.
8-16 El área media de la sección transversal de un
fémur de mujer es 10· 3 m 2 y su longitud es de 0,4
m. La mujer pesa 750 N. (a) ¿Cuál es el cambio de
longitud de este hueso cuando sostiene la mitad del
peso de la mujer? (b) Suponiendo que la relación esfuerzo-deformación es lineal hasta la fractura, ¿cuál
es el cambio de longitud justo antes de la fractura?
(c) ¿La respuesta de la parte (b) resulta superior O·
inferior al valor que se podría esperar en realidad?
8-17 ¿Cuál es la constante elástica de un fémur humano de área transversal media de 10· 3 m2 y longitud 0,4 m bajo compresión?
Sección 8.3
1
Resistencia a la flexión
8-18 Una barra cilíndrica de caucho tiene 0,5 m de
longitud y 0,005 m de radio. (a) ¿Cuál es su momento de inercia de la sección transversal? (b) ¿Qué momento ejercen las fuerzas elásticas internas sobre los
extremos de la barra cuando se la dobla hasta formar una circunferencia?
8-19 Una barra cilíndrica de acero de 2 m de largo
tiene 0,01 m de radio. Si se la carga de tal modo que
se dobla elásticamente con un radio de curvatura
de 20 m, ¿cuál es el momento debido a esta carga?
8-20 La sección transversal de un tablón tiene 1 cm
por 6 cm. (a) Calcular los momentos de inercia de
la sección transversal para cargas paralelas al lado
más largo y para cargas paralelas al lado más corto. (b) ¿Cuál es la razón de los radios de curvatura
para ambas deflexiones si se aplican al tablón cargas iguales en ambas orientaciones?
8-21 Dos tablones tienen la misma longitud. (a) El
tablón A tiene una sección transversal de 4 cm X 4
cm. ¿Cuál es el momento de inercia de la sección
transversal para fuerzas perpendiculares a uno de
sus lados? El tablón B tiene una sección transversal
de 2 cm X 8 cm. Hallar sus dos momentos de inercia para fuerzas perpendiculares a sus lados más
corto y más largo. (c) ¿Qué tablón sería más resis-
197
Propiedades elásticas de los materiales
tente si las fuerzas se aplicaran siempre en una cierta dirección perpendicular a su longitud? (d) ¿Cuál
sería el tablón más conveniente si las fuerzas se tuvieran que aplicar en diversas direcciones perpendiculares a su longitud?
8-22 Un cilindro hueco de acero de 10 m de longitud se fija a una base de cemento y se utiliza como
asta de bandera. Sus radios interior y exterior son
7 cm y 8 cm respectivamente. (a) ¿Cuál es el momento de inercia de su sección transversal? (b) Si el
viento ejerce en el punto más alto del asta una fuerza horizontal de 103 N, ¿cuál será su radio de curvatura?
8-23 En la Figura 8-14 se muestan dos fuerzas F de
igual módulo y sentido opuesto que actúan sobre
un libro que permanece en reposo y se deforma. (a)
¿Se halla el libro en equilibrio? (b) ¿Cuáles son las
otras dos fuerzas que actúan sobre él? (c) ¿Tienen
las otras fuerzas la misma línea de acción? Explíquese.
Sección 8.4 Flexión lateral y diseño estructural en
la naturaleza
8-24 En un monumento una columna tiene la resistencia justa para soportar el pandeo bajo su propio
peso. Dicha columna tiene 10 m de altura y 0,1 m
de radio. Si se quiere una columna semejante de 40
m de altura, ¿cuál debe ser su radio mínimo?
8-25 Una columna o una torre altas y delgadas son
menos susceptibles de pandeo si se sostienen mediante cables fijados a su punto más alto y al suelo a
una cierta distancia de la base. ¿Por qué es más efectiva una cantidad relativamente pequeña de material en forma de cables de sostén que añadida a la
propia estructura de la columna o torre?
8-26 Un árbol está en el límite de estabilidad con
respecto al pandeo. Si crece hasta duplicar su altura y se sigue hallando en dicho límite de estabilidad, ¿en qué factor varía el área de su sección transversal en la base?
8-27 Utilizando / = cr213 con el valor experimental
e = 34,9 m 113 , hallar la altura de un árbol cuyo tronco t iene un radio de m. Comentar si la respuesta
parece razonable.
8-28 Dar un argumento de por qué los datos de la
Fig. 8-13 no caen sobre una sola línea recta.
8-29 Una columna uniforme se pandeará bajo su
propio peso cuando
+
f
= ( _2E)l/3 r2/3
Wo
Para madera dura, E= 10 10 N m- 2 y Wo = 5900 N
3
m- • Comparar la longitud de una columna uniforme de madera de m de radio con la de un árbol
real del mismo radio, para el cual / = cr213 y e= 34 9
~
'
m .
+
Sección 8.5
1
Momentos cortantes y de torsión
8-30 Dos huesos de igual radio se someten a idénticos momentos de torsión. Si uno es más largo que
el otro, ¿cuál de ellos se romperá antes?
8-31 Una barra de acero se fija en un tornillo de carpintero de modo que un cubo de 0,01 m de lado sobresale por encima del tornillo. (a) Si se aplica una
fuerza de 100 N a lo largo de la superficie superior
del cubo, ¿cuánto valen el esfuerzo y la deformación? (b) ¿Cuál es el desplazamiento horizontal de
la cara superior?
8-32 Una ciclista de 75 kg apoya todo su peso sobre un pedal (Fig. 8.20). El diámetro del eje de éste
mide 1,5 cm. (a) Hallar el esfuerzo cortante sobre dicha barra. (b) Hallar la razón de este esfuerzo al
máximo esfuerzo cortante, de 108 N m-2 •
Eje del pedal
Figura 8 .20
Ejercicio 8-32.
8-33 Dos placas de metal ligeramente solapadas están unidas mediante una hilera de 10 remaches, cada
uno de los cuales tiene un radio de 3 mm = 3 X 10-3
m. Si el esfuerzo cortante sobre los remaches no
debe sobrepasar 108 N.m-2 , ¿cuál es la máxima fuerza que puede aplicarse a los extremos de las placas?
8-34 El bloque del freno de una bicicleta tiene un
módulo cortante de 107 N m- 2• Al aplicar el freno,
el bloque ejerce una fuerza de 100 N sobre el borde
de la rueda. La superficie en contacto con ésta mide
I cm X 5 cm, y el bloque tiene 0,8 cm de grosor. (a)
¿Cuál es el esfuerzo cortante sobre el bloqu.e? (b)
¿Qué distancia se desplaza la superficie en contacto?
198
Propiedades elásticas de los materiales
8-35 Un camión arrastra un remolque de 2000 kg.
El punto más débil de su conexión es una barrita de
acero de 2 cm de diámetro que se desliza a través
de un agujero de las barras de unión. El máximo esfuerzo cortante para el acero es 108 N m· 2 • (a) Durante un frenazo en seco, la conexión debe soportar una carga igual al 20 por ciento del peso del remolque. ¿Cuál es el esfuerzo cortante sobre la barrita de acero? (b) Hallar la razón de este esfuerzo al
esfuerzo máximo.
8-36 Una barra de acero tiene 0,4 m de longitud y
0,5 cm de radio. (a) Hallar su momento de inercia
polar. (b) Se fija uno de sus extremos y se tuerce el
otro. ¿Qué momento debe aplicarse para torcer dicho extremo 0,1 radianes (5,7°)? (c) Dicho momento
se aplica mediante una llave inglesa. Si la fuerza
aplicada normal a la llave inglesa es 100 N, ¿cuál es
la longitud de ésta?
PROBLEMAS
8-37 Tres tubos verticales de acero de 10 m de longitud sostienen un depósito de agua. Los radios interior y exterior de los tubos son 15 cm y 17 cm, respectivamente. Se diseña el depósito de manera que
el esfuerzo sobre los tubos no exceda de 108 N m-2 • (a)
Hallar el máximo volumen de agua que el depósito
puede contener, suponiendo que el peso de éste es
despreciable frente al del agua. (La densidad del
agua es 1000 kg m -J.) (b) ¿Cuánto se acortan los tubos cuando sostienen la carga máxima?
8-38 Supóngase que la viga en I mostrada en la Tabla 8.2 se gira 90º con respecto a su eje horizontal
longitudinal, de modo que la I se convierte en H.
El momento de inercia de su sección transversal al
sostener una carga vertical es entonces b3t/6, suponiendo t <<a, b. Hallar, para una viga con a=b,
la razón de este momento de inercia con el de la viga
en I en su orientación original.
8-39 Una noria de un parque de atracciones hace girar verticalmente un vagón y sus pasajeros, con una
masa total de 700 kg, en un círculo de 8 m de radio. En el punto más bajo del círculo el vagón se
mueve a 12 m s· 1 • Dicho vagón se encuentra en el extremo de un radio de acero. (a) Si el máximo esfuerzo debe ser el 1 por ciento del esfuerzo de fractura
del radio, ¿cuál debe ser su sección transversal? (b)
¿Cuál es la máxima elongación del radio debida al
vagón en movimiento?
Figura 8-21
Problema 8-43.
8-40 Un montacargas y su contenido tienen un
masa de 10 000 kg y se hallan en reposo. El cable
de acero que los sostiene experimenta un esfuerzo
igual al 10 por ciento de su esfuerzo de fractura. (a)
¿Cuál es el radio del cable? (b) Hallar la variación
relativa de longitud fl/// del cable cuando se pone
en marcha el motor y acelera el montacargas hacia
arriba a 2 m s· 2•
8-41 Dos columnas de piedra se hallan en el límite
de estabilidad frente al pandeo bajo su propio peso.
Si una tiene el doble de altura que la otra, hallar la
razón del peso de la más alta a la más baja.
8-42 Evaluar los momentos de torsión sobre el fémur de un jugador de rugby cuando gira de repente sobre un pie. ¿Tiene este resultado alguna relación con el tipo de botas y de terrenos en que debería jugarse?
8-43 La viga en forma de I de la Fig. 8-21 está construida con placas de 0,003 m de grosor y su sección
mide 0,3 por 0,4 m. (a) Calcular su momento de inercia de la sección transversal para cargas que se apliquen verticalmente. (b) Calcular dicho momento de
inercia para una viga de sección transversal cuadrada que tuviera el mismo peso por unidad de longitud.
8-44 Una barra de 100 N mide 5 m de longitud.
¿Cuál es el módulo del momento que sobre una mitad ejercen las fuerzas debidas a la otra mitad cuando se sostiene horizontalmente? (Indicaci6n: ver la
Fig. 8.5c y suponer que la barra se dobla muy poco.)
*8-45 Se construyen dos cilindros, uno de ellos macizo de radio r y el otro hueco de radios a =. 2r y b
= 3r/2. Si ambos cilindros se someten a la misma
carga, perpendicular a su eje mayor, ¿cuál es la razón de sus radios de curvatura?
8-46 Una barra de radio a se reemplaza por un tubo
hueco de la misma longitud y radio interior a. (a)
Si el tubo ha de tener el mismo momento de iner-
199
Propiedades elásticas de los materiales
cia de la sección transversal que la barra, ¿cuál ha
de ser su radio exterior? (b) ¿Cuál es la razón de los
pesos del tubo y de la barra?
8-47 El radio interiorde un hueso es la mitad del radio exterior. ¿Cuál sería el radio exterior del hueso
si, para un momento dado, se tuviera que torcer el
mismo ángulo que una barra de acero de la misma
longitud y de 1 cm de radio? (El momento de iner.cia polar de un cilindro hueco es rr(a4-b4}/2, donde a y b son el radio exterior y el radio interior, respectivamente.)
8-48 Un cigüeñal de hierro que conecta un motor
eléctrico a una máquina gira a 1800 revoluciones
por minuto. Su longitud es 0,4 m, su radio 1 cm y
transmite una potencia de 2 KW. ¿Cuál es el ángulo de torsión entre sus extremos?
RESPUESTA A LAS CUESTIONES DE REPASO
Q 8-1,F/A; Q 8-2, la deformación relativa; Q 8-3,
tracción, compresión, cortante; Q 8-4, esfuerzo, deformación; Q 8-5, límite elástico; Q 8-6, módulo
de Young; Q 8-7, ley de Hooke; Q 8-8, más resistente; Q 8-9, eje; Q 8-10, esfuerzo cortante, deformación cortante; Q-8-11, cortantes.
TEMAS SUPLEMENTARIOS
8.6 \ ESTRUCTURA Y FUNCIÓN
El criterio de la resistencia al pandeo se utilizó en la sección 8.4 para relacionar la estructura y el tamaño en
los árboles. También puede utilizarse para relacionar
la estructura y la función fisiológica en animales mediante una forma diferente del criterio de escala introducido en el Capítulo 6. Veremos que esta otra aproximación de escala lleva a resultados que están mucho
más de acuerdo con las observaciones experimentales.
La versión sencilla de escala adoptada anteriormente supone que todas las dimensiones del cuerpo de
los animales tienen una misma longitud de escala característica. Así pues, el volumen del cuerpo y, por lo
tanto, la masa m, varían como t3; la longitud varía
como I a: m 113 • Cualquier superficie A varía por lo tanto como /2, es decir, como m 213 = m0•67 y, por lo tanto,
se predice que el área superficial del cuerpo variará
como m 0•67 • También se predice que el ritmo metabólico -la tasa con que se consume la energía de los alimentos en el cuerpo- variará de la misma forma, ya
que el ritmo de absorción de oxígeno ha de variar como
el área de la superficie de los pulmones y el ritmo de
pérdida de calor ha de variar como el área de la superficie del cuerpo.
Las leyes de escala reales halladas experimentalmente no siempre coinciden exactamente con las predicciones de este sencillo modelo (Fig. 8.22). Por ejemplo, uno de los fallos de este modelo de escala fue observado por Kleiber en 1932, quien halló que la tasa
de producción de calor en los mamíferos cuyo tamaño oscilaba entre el del ratón y el del elefante no variaba como m0•67 , sino como m0•15 • Esta diferencia es pequeña, pero es suficiente para poner en duda la validez del modelo·.
Recientemente, McMahon sugirió que debería tenerse en cuenta el hecho de que la mayoría de las partes del cuerpo son más o menos cilíndricas y que quizás están constituidas para resistir al pandeo. Si ello es
verdad, la longitud / y el radio r de cada parte del cuerpo se relacionan, tal como vimos en la Sección 8.4,
como / a: r213 • Como el volumen de un cilindro es rrr2/,
la masa m debería ser proporcional ar/. Utilizando r
a: /312 , vemos que m a:. r 2I = (1312)2/ = t. Ello difiere significativamente de la otra hipótesis de escala, m a: t3.
En este modelo vemos que las longitudes deberían
seguir la ley de escala/a: m 114• Como además / a:. r 213, r213
114
31
a:m o r a:. m H. Así pues, nuestra hipótesis de escala
es que las longitudes y los radios de los segmentos del
cuerpo varían con relación a la masa como
/ <X ml/4,
r
<X m3/8
(8.14)
Podemos utilizar estos resultados para hallar cómo el
área de la superficie del cuerpo de los mamíferos de
miembros más o menos cilíndricos varía según su
masa.
Para hallar el área de la superficie hemos de observar que los miembros cilíndricos se conectan por alguno de sus extremos a otros miembros. El área de la superficie de un segmento será por lo tanto proporcional al área lateral del cilindro. Así pues, A,up = 2rrr/. Utilizando las relaciones de la Ec. 8.14, A,up a:. rly, por consiguiente,
A,up
<X m3/8ml/4
= m5/ 8
i = 0,625 se aproxima bastante a 0,63 y se ajusta bastante bien a los datos de áreas de la Fig. 8.22a.
Para hallar el ritmo metabólico calculamos no el
200
Propiedades elásticas de los materiales
área superficial sino la potencia consumida para contraer un músculo. Esta potencia CP es la fuerza ejercida, F, multiplicada por la velocidad de la contracción
muscular, v. Como se ha comprobado que los músculos de todos los mamíferos ejercen la misma fuerza por
unidad de área a= F/A, escribirnos la fuerza corno F
= aA. A es el área de la sección transversal del músculo. Por lo tanto,
(P
=Fu= aAu
Para fibras musculares estriadas se ha comprobado experimentalmente que la velocidad de contracción muscular es también la misma para todos los mamíferos.
Así pues, a y v no dependen de la masa y tenernos que
CP a: A. El área de ,a sección transversal A depende del
cuadrado del radio del músculo, A a: r2, de modo q~e
(P o:
A
ex ,2
a:
m0.75
Éste es precisamente el resultado que se muestra en la
Fig. 8.22b si suponernos que la potencia consumida y
el calor generado siguen la misma ley de escalá. La tasa
del trabajo realizado por el músculo cardíaco debe variar también como m0•15 y, corno los procesos metabólicos utilizan el oxígeno absorbido a través de las paredes de los pulmones, el área de éstos debe depender
de mº·15 • Ambos resultados han sido verificados experimentalmente.
A partir de estos resultados podernos h¡lllar también qué ley de escala sigue el ritmo del pulso. El ritmo
metabólico y, por consiguiente, la demanda de oxígeno
del cuerpo, es proporcional a m0•75. El volumen de-sangre bombeada en cada latido del corazón es proporcional al volumen del corazón, o a m. La sangre bombeada por segundo variará como mf, donde fes el ritmo del corazón. Así pues, mja: m0•75 , es decir,¡a: m -o.i5•
Ello significa que los animales mayores han de tener un
ritmo de pulso más lento.·También esto se ha comprobado experimentalmente.
En síntesis, la hipótesis de que la forma de los segmentos cilíndricos de los animales viene determinada
por el criterio del pandeo da lugar a leyes de escala que
están en buena concordancia con un gran número de
experimentos. Aunque estudios posteriores demostraran que este modelo no es adecuado para explicar otro
tipo de datos, de todas maneras muestra claramente
cómo los principios físicos pueden influir en la relación entre tamaño y función en sistemas biológicos.
8 .7
1
DEDUCCIÓN DE le,= c f'll 3
Consideremos el caso particular de una columna uniforme de radio r y altura/ que se dobla bajo su propio
peso con un radio de curvatura R (Fig. 8.23). El momento debido al peso w es r = wdy ha de ser contrarrestado por un momento en la base de la columna igual a
4
r = EI;.;R. Para un cilindro, / A = 1rr /4. Así pues,
Pendiente = 0,67
..
Chimpancé
Novillo
Cabra
.
Conejo
OveJa
Gato
~
103
o
o
-o 102
e::
'º
Conejillo de indias
.&.__----Pendiente
Ratón
-~ 10 1
I01 L....L-L---'-----'--....L..- ~ - - ' - e - -'"-;--------:
5
7
4
6
1
2
3
10° 10
!0
10
10
I0
10
I0
= 0,75
'8
el: 10º ~~--::---:--....,,.-":--~::----:-1
1
2
3
4
3
2
J0-
I0-
10-
10º 10
10
!0
10
Masa del cuerpo (kg)
Masa del cuerpo (g)
(a)
Figura 8-22
(b)
(a) Área de la superficie del cuerpo de mamíferos de distintos tamaños. (b} Ritmo
metabólico de varios mamíferos en función de su masa. Las rectas de trazo más grueso son las predicciones del modelo de resistencia al pandeo; las de trazo fino son las del modelo sencillo de escala. (Tomado de T. McMahon, Science, vol. 179, pp. 1201-1204, marzo 23, 1973.)
201
Propiedades elásticas de los materiales
cuando la columna se halla precisamente en el punto de
flexión lateral
(8.15)
R
Necesitamos ahora expresiones para w y para d.
Si el peso por unidad de volumen es Wo, el peso total es Wo veces el volumen o w = w0(1rr2l). La distancia
d puede hallarse en el triángulo de trazo grueso de la
Fig. 8.23. Los lados del triángulo tienen longitudes R,
R - d y h. Si el radio de curvatura es grande comparado con /, entonces h
l. Utilizando el teorema de Pitágoras,
=+
(R - d)2 +
r
(f
= R2
Elevando al cuadrado y despreciando el término J-, hallamos d = P/8R.
Utilizando nuestros resultados para w y den la Ec.
8.15,
4
¡2
-E'1Tr
- = wo('1Tr 2 / )8R
4R
o bien
/ = ( :~ )1
13
r 213
Ésta es la longitud o altura crítica(, de la Ec. 9.8 para
una columna uniforme. Aquí, e = (2Elwi 13 , donde E
es el módulo.de Young y Wo es el peso por unidad de
volumen de la columna.
EJERCICIOS SOBRE LOS TEMAS
SUPLEMENTARIOS
Sección 8.6
1
Estructura y función
8-49 Si las propiedades de los animales no dependieran de la resistencia al pandeo sino de la fuerza
de compresión, ¿cómo dependería del peso del cuerpo el área de la sección transversal de las patas de
los animales?
8-50 ¿Qué ley de escala con respecto a la masa del
cuerpo sigue el tiempo que un animal puede pasar
sin respirar debajo del agua? Utilizar la hipótesis de
escala de la Sección 8.6. (Supóngase que el oxígeno
consumido varía con el volumen.)
8-51 ¿Qué ley de escala con respecto a la masa del
cuerpo siguen las pérdidas de calor hacia el exte-
r - - -- - - -R - d -- - -- - --<
Figura 8-23 Una columna de longitud/ y radío r, apoyada en
su base, se dobla con un radio de curvatura R.
rior? (Utilizar la hipótesis de escala de la Sección
8.6.) Los resultados hallados, ¿son consistentes con
el hecho de que los animales pequeños casi nunca
se encuentran en las zonas árticas?
8-52 Si todos los mamíferos tuvieran el mismo número de latidos del corazón, ¿qué animales vivirían
más tiempo?
PROBLEMAS SOBRE LOS TEMAS
SUPLEMENTARIOS
8-53 Hallar cómo varía con la masa la velocidad
cori que un animal puede correr cuesta arriba, s·u poniendo (a) la ley de escala más sencilla, (b) el criterio
de la resistencia al pandeo.
8-54 Suponer que a medida que un hombre crece de
niño a adulto los huesos crecen según la relación / a:
r213• (a) Si el ángulo de rotura en la torsión es siempre
el mismo, ¿quiénes son más susceptibles a las fracturas, los niños o los adultos? (b) ¿Cómo varía el momento de torsión con la masa del cuerpo?
8-55 Si las proporciones de las partes del cuerpo de
los animales vienen determinadas por el criterio estructural de la resistencia al pandeo, ¿cómo varía
con la masa del cuerpo la altura que salta? Compárense los resultados obtenidos con los del Capítulo 6.
8-56 La columna de la Fig. 8-23 se romperá cuando
la tensión en los extremos interiores (o exteriores)
llegue al máximo a,. Demostrar que ello ocurre
cuando a, = Er/ R.
8-57 Utilizando los resultados del Problema 8-56
hallar el radio máximo de curvatura para un árbol
de madera dura con r = 0,25 m. Utilizar E =
10 1º N m-2 y a, = 108 N m-2•
202
8-58 ¿Cuál es el radio de una barra cilíndrica de acero que se rompe cuando el radio de curvatura es de
4 m? (Utilizar los resultados del Problema 8-56.)
Propiedades elásticas de los materiales
Francis Gaynor Evans, Stress and Strain in Bones, Charles
C. Thomas, Springfield 111, 1957.
Haywood Blum, Physics and the Art of Kicking and Punching, American Journal of Physics, vol. 45, 1977, p. 61.
Kárate y resistencia de materiales.
John R. Cameron and James G. Skofronick, Medica/ Physics,
John Wiley and Sons, Inc. New York, 1978. El capítulo
3 se dedica a la composición y resistencia de los huesos.
Horace Freeland Judson, «Take That, King Richard!»,
Science 80, julio/agosto, p. 44.
Lecturas adicionales
Artículos de Scientific American:
Harold M. Frost, An lntroduction to Biomechanics, Charles
C. Thomas, Springfield Ill, 1967. Breve introducción a las
propiedades de los materiales biológicos.
Hiroshi Yamada, en F. Gaynor Evans (ed), Strength of Biologica/ Materials, Williams and Wilkins Co., Baltimore
1970. Da los resultados de amplias investigaciones.
T. McMahon, Size and Shape in Biology, Science, vol. 179,
1973, p. 1201. Resistencia al pandeo y leyes de escala.
R. McNeill Alexander, Animal Mechanics, University of Washington Press, Seattle, 1968. Los capítulos 3 y 4 analizan
la resistencia y las propiedades elásticas.
John J. Gilman, Fracture in Solids, febrero 1960, p. 94.
Car! W. Condit, The Wind Bracing of Buildings, febrero
1974, p. 93.
Francis P. Bundy, Superhard Materials, agosto 1974, p. 62.
Thomas A. McMahon, The Mechanical Design ofTrees, julio 1975, p. 92.
Artículos de Investigación y Ciencia:
Jearl Walker, Chimeneas, puntas de lápiz y astrofísica, abril
1979, p. 108.
CAPÍTULO
9
MOVIMIENTO
VIBRATORIO
Cuando un objeto se desplaza repetidamente hacia
adelante y hacia atrás por el mismo camino se dice que
oscila o vibra. Algunos ejemplos familiares son un niño
en un columpio, un péndulo de reloj o la cuerda de un
violín. Las oscilaciones también juegan un papel importante en muchos fenómenos físicos fuera del campo de la mecánica. Por ejemplo, las moléculas de los sólidos vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio
y las corrientes de los circuitos eléctricos pueden cambiar de sentido y oscilar. También hay muchos ejemplos biológicos de oscilaciones, tales como la producción de sonido por las cuerdas vocales humanas o por
el movimiento de las alas de los insectos.
Aunque la naturaleza física de los sistemas vibratorios puede ser muy diversa, las ecuaciones que describen las oscilaciones de los objetos alrededor de su
posición de equilibrio tienen a menudo la misma forma. Una vibración de este tipo se denomina movimiento armónico simple y su descripción matemática es
siempre la misma excepto en los símbolos utilizados
en cada caso.
El movimiento armónico simple se caracteriza por
diversas magnitudes. La amplitud es el máximo desplazamiento del objeto oscilante con respecto a su posición de equfübrio. Una oscilación completa hacia adelante y hacia atrás, que devuelve el sistema a su estado original, se denomina un ciclo. El período T es el
tiempo que se emplea para describir un ciclo completo. Lafrecuenciaf de la oscilación es el ~úmero de ciclos por unidad de tiempo. Si el períodt> es½s, hay dos
. oscilaciones completas por segundo. El período y la
frecuencia se relacionan por f = 1/T.
En este capítulo hallamos ante todo las ecuaciones
generales que describen el movimiento armónico simple y analizamos varios ejemplos de dicho movimiento. Discutimos luego los efectos de una fuerza de rozamiento que disipa energía y de las fuerzas externas
que varían con el tiempo y proporcionan energía. H.allamos que hay una frecuencia especial de la fuerza externa para la cual las oscilaciones tienen su máxima
amplitud. Ejemplos de estos fenómenos de resonancia
se presentan a menudo en sistemas moleculares, mecánicos, biológicos y muchos otros.
9.1
MOVIMIENTO ARMÓNICO
SIMPLE; UN EXPERIMENTO
En el Capítulo 8 vimos que ciertos objetos, al ser comprimidos o estirados, ejercen una fuerza opuesta a dicha acción que es directamente proporcional a la longitud del alargamiento o de la compresión. Los sencillos muelles de alambre tienen esta propiedad. Cuando un peso colgado de uno de estos muelles se aparta
del equilibrio y se suelta, el movimiento resultante es
un movimiento armónico simple. Ello significa que la
posición, la velocidad y la aceleración varían con el
tiempo de una forma determinada.
La forma en que estas magnitudes varían con el
tiempo puede determinarse mediante un experimento
con un peso colgado de un muelle y una rueda vertical en rotación con un perno en un punto de su periferia. El peso colgante y el perno en rotación se iluminan
con una linterna y sus sombras se proyectan en una pan203
204
Movimiento vibratorio
pantalla
X
x=O
Figura 9. 1 Dispositivo experimental en el que coinciden las
sombras de un peso que cuelga de un muelle y de un perno montado
sobre una rueda. Ambas sombras experimentan movimiento armónico simple.
talla (Fig. 9.1). Una vez que el peso se ha puesto en movimiento, la velocidad de la rueda se ajusta de tal forma
que las dos sombras se muevan hacia arriba y hacia
abajo el mismo número de veces por segundo. Cuando
ello se consigue se advierte que el movimiento de ambas
sombras es idéntico, por lo cual ambas han de tener las
mismas ecuaciones para relacionar su posición, velocidad y aceleración. Así pues, podemos utilizar lo que
sabemos del movimiento circular del perno de la rueda
para obtener la descripción matemática del movimiento armónico simple del peso oscilante.
El perno se halla en un punto de radio R y está girando a una velocidad angular w en radianes por segundo. Poniendo en marcha el reloj cuando el perno está en su punto más alto, en el instante t éste ha recorrido
un ángulo 0 = wt. Como la rueda gira 2rr radianes en un
período T, también podemos escribir 2rr = wT. La frecuencia/, el número de ciclos por segundo, se define
como/= 1/T, de modo que
w
= 21rT = 21rf
(9.1}
Así pues, también podemos escribir el ángulo como 0
= 2rrft. Si el tiempo se mide en segundos, entonces f
se expresa en ciclos por segundo o hercios (Hz).
Según la Fig. 9 .2, la posición de la sombra del perno
es x = R cos 0, o bien
x
= R cos(21rfl)
Figura 9. 2
Posición de un perno montado sobre una rueda
que gira con velocidad angular constante w. jol objet9 está a una distancia R del eje de rotación. La p·osición x de la sombra es negativa
cuando la sombra está por debajo de la recta horizontal de trazos.
tre +l y-1, x va de adelante a atrás entre los valores R y
-R; R es la amplitud de la oscilación.
La velocidad v, dei ·perno que gira es siempre tangencial a su movimiento y su valor es :v, = wR = 2rrfR.
La Fig. 9.3 muestra Vr para la misma posición del objeto que en la Fig. 9.2. A·partir de la figura, la velocidad v de la sombra es
v = -v1 sen0 = -21r/Rsen(21rft)
(9.3)
El signo menos significa que -v se dirige hacia abajo
cuando el objeto se halla en la posición mostrada.
Para hallar la aceleración de la sombra, recordemos que la aceleración de un objeto en movimiento circular uniforme se dirige radialmente hacia el centro del
círculo y su módulo vale
a,= w~R
= (21rf)2 R
(9.4)
Según la Fig. 9.4 la aceleración de la sombra es
a= -a, cos 0
=
-(21rf)2 R cos(21rfl)
(9.5)
Nuevamente el signo menos significa que cuando la
Pantalla
v = -v, sen0
(9.2)
Hemos escogido el origen del eje de las x de tal forma
que x = O cuando la sombra se halla en el punto medio del recorrido. Como cos(2rr/t) se halla siempre en-
Figura 9.3 La velocidad instantánea v, del objeto que gira tiene un módulo v, = wR. La velocidad de la sombra es v; v es negativa cuando está e n la dirección -x.
Movimiento vibratorio
205
Pantalla
a=-a,cos6
Figura 9.4
La aceleración a,del objeto que gira tiene un módulo a,= (21rF)2R y la sombra posee una aceleración a.
(<i)
sombra se halla en la posición mostrada, la aceleración
a va en la dirección de las x negativas.
En síntesis, la sombra de un objeto que gira con velocidad angular constante a una distancia R del centro
de rotación se mueve de acuerdo con las ecuaciones
= R cos(21rft)
x
u
= -(21rf)Rsen(21rft)
a
=
-(21rf)2R
(9.6)
(/,)
cos(21rft)
A partir de estas ecuaciones obtenemos el importante
resultado
Figura 9.5 (a) Masa sobre una mesa horizontal sin rozamiento. (b) Cuando el muelle se alarga una distancia x, ejerce una fuerza
recuperadora F, = -kx opuesta al desplazamiento.
(9.7)
. Ello significa que la aceleración es opuesta a la dirección
del desplazamiento y es proporcional a su módulo. Veremos dentro de poco que esta relación también se presenta para un peso en un muelle y para un péndulo oscilante.
La ecuación (9.1)puede considerarse como una definición del movimiento armónico simple; siempre que el
movimiento de un objeto satisface dicha.ecuación está
describiendo un movimiento armónico simple con una
·frecuencia característica f Otra deducción alternativa
de estos resultados se presenta en la Sección 9.8.
9.2
1
PESO COLGADO DE UN
MUELLE
En el experimento que acabamos de describir, las sombras 9el perno en rotación y del peso que colgaba del
muelle se movían idénticamente. Así pues, el experimento muestra que el peso describe un movimiento armónico simple.
El hecho de que un objeto fijado a un muelle describa un movimiento armónico simple puede compro-
barse también matemáticamente con la ayuda de la segunda ley de Newton del movimiento. Mostramos a
continuación cómo se demuestra, empezando por el
caso más sencillo de una masa que se mueve horizontalmente sobre un plano sin rozamiento, y volviendo
posteriormente al peso colgado de un muelle.
Un muelle se diseña de tal modo que la fuerza aplicada y el cambio de longitud sean proporcionales. Así
pues, se necesita una fuerza
F =kx
(9.8)
para estirar un muelle una distancia x; k se denomina ia
constante del muelle o constante elástica y x es el cambio
de longitud con respecto a la longitud de equilibrio que
el muelle tiene en ausencia de fuerzas aplicadas.
En la Fig. 9.5 una masa m que puede desplazarse
horizontalmente y sin rozamiento sobre un plano ·se
fija a un muelle de constante elástica k. Cuando el muelle se estira una distancia x con respecto a su longitud
de equilibrio, ejerce una fuerza recuperadora F, =
- kx; el signo menos indica que la fuerza se opone al
desplazamiento x. Al utilizar la segunda ley de New-_
Movimiento vibratorio
206
ton, F= ma, se tiene inmediatamente -kx = ma, o sea
a=
k
--X
m
Esta ecuación es idéntica a la que define el movimiento armónico simple, a = - (21rj)2x, si hacemo·s que
(21rj)2 = k/m. Llegamos a la conclusión de que el peso
en el extremo del muelle describe un movimiento armónico simple con una frecuencia
f=]__= _l
T
2,,,
{k
,j-;;:¡
(9.9)
Ello muestra que si la masa aumenta, el muelle oscila
más lentamente; si el muelle se hace más rígido de
modo que k aumente, el muelle oscila más rápidamente. El siguiente ejemplo muestra cómo pueden hallarse la constante del muelle, la frecuencia del movimiento y la masa.
suspendido también describe un movimiento armónico
simple con la frecuencia dada por la Ec. 9.9. La única
diferencia es que en este caso oscila respecto de un panto de equilibrio desplazado una distanciad del extremo
del muelle sin estirar. Las frecuencias y los períodos son
los mismos para los movimientos vertical y horizontal.
Ejemplo 9.2
En el ejemplo precedente, una masa de O, 1kg se movía
horizontalmente sobre una mesa sin rozamiento en el extremo de un muelle de constante 25 N m- 1 • Supóngase
ahora que la masa se cuelga del muelle como en la Fig. 9.6.
(a) ¿Cuánto se alarga el muelle cuando la masa m está en
equilibrio? (b) Hallar la frecuencia característica cuando
la masa se pone en movimiento.
(a) En equilibrio, la fuerza recuperadora equilibra el
peso, es decir, -kd + mg = O. Al despejar d,
d =
mg
k
Ejemplo 9.1
El objeto de la Fig. 9.5 tiene una masa de 0,1 kg y se
encuentra sobre una mesa por la que desliza sin rozamiento. Si se le aplica una fuerza de 5N, el muelle se alarga
0,2 m. (a) ¿Cuál es la constante del muelle? (b) Hallar la
frecuencia característica y el período de las oscilaciones
cuando la masa es puesta en movimiento.
(a) La fuerza aplicada y la elongación resultante están relacionadas por F = kx, de modo que
I -
k -- x - -2...!i_
0,2 m -
25 N m -
l
(b) La frecuencia característica es
25 N m-1
0,1 kg
El período es T =
= 2,52 Hz
~ = 0,397 s
Supongamos ahora (Fig. 9.6) que un peso w = mg
cuelga de un muelle de constante k. En equilibrio, el
muelle se alargará una distancia d tal que su fuerza recuperadora F, = -kd contrarreste el peso mg, o sea
- kd + mg =O.Si el peso se desplaza hacia abajo una distancia adicional x, entonces la fuerza recuperadora es
-k(d +x). Aplicando F = ma, tenemos
-k(d
+ x) + mg = ma
Como -kd + mg = O, esta ecuación se reduce a -kx
= ma, que es el mismo resultado obtenido para la masa
en la mesa horizontal sin rozamiento. Así pues, el peso
= (0,1 kg)(9,8 m s25 N m - 1
2
)
= 0 0392 m
'
(b) Como la frecuencia es la misma en el movimiento vertical que en el horizontal, tiene el mismo valor que
el hallado en el Ejemplo 9.1, es decir, 2,52 Hz.
9.3
I EL PÉNDULO FÍSICO
Un objeto que oscila hacia atrás y hacia adelante también experimenta un movimiento armónico simple. Tal
objeto se denomina péndulofísico. Veremos que el péndulo fisico sirve como modelo para el análisis de ciertos
tipos de movimiento de los cuerpos. Un péndulo simple es un ejemplo idealizado de péndulo fisico y consiste en una varilla sin masa con una masa puntual en
su extremo. Los resultados para el péndulo simple pueden obtenerse fácilmente a partir de los resultados del
péndulo fisico.
Consideremos un objeto de forma arbitraria que
puede oscilar sin rozamiento alrededor de un eje A (Fig.
9.7). El objeto tiene masa m y momento de inercia J
con respecto a A. L¡_i distancia de A al centro de masa
C. G. es d. El objeto se desplaza inicialmente y se suelta. La Fig. 9.7 muestra el objeto cuando el desplazamiento es 8, que se torna corno positivo cuando el C. G.
está a la derecha de la vertical que pasa por A. Como
el movimiento no es lineal, sino angular, hemos de calcular momentos y ángulos más que fuerzas y distancias.
El momento es r = rF sen 8, donde res la longitud
de la recta desde A a C.G. y F sen 8 es la componente
Movimiento vibratorio
207
-1-d+x
d
_J __ _
---__ _ _. . . . ~ 1~ -
w~mg
w~
(a)
(b)
mg
Figura 9 .6
(a) Muelle de constante k. (b) Un peso w cuelga de un muelle. Está en equilibrio y permanece en reposo cuando kd = mg. (e) El peso se desplaza una distancia x de la posición de equilibrio.
La fuerza F,.d ebida al muelle es -k(d + x).
de la fuerza perpendicular a dicha línea. En la figura vemos que r = d y F = mg. El momento es por lo tanto
r = -mgd sen 8, donde el signo menos indica que el
momento va en la dirección de las agujas del reloj. Utilizando la forma angular de la segunda ley de Newton,
r = /ex, tenemos
-mgdsen0
= la
Ésta no es la ecuación del movimiento armónico
simple, aunque ex sea la aceleración angular asociada
con el desplazamiento 8. Sin embargo, para ángulos pequeños sen 8 y 0 son aproximadamente iguales. Por
ejemplo, si 8 se mide en radianes, sen 8 y 8 difieren sólo
en un 1 % a 15º y en un 5 % a 30º. Así pues, para pequeños ángulos tenemos
o
a= - mgd 0
I
mgd
a= - - - sen0
I
Esta ecuación tiene la forma correcta del movimiento armónico angular, ex = - (2rrf/8, si identificamos la frecuencia característica como
f= }__ =_
l ¡mgd
T
21r
y -¡-
(9.10)
Una regla graduada oscilando por un extremo es un
ejemplo de péndulo fisico.
Ejemplo 9.3
Una regla' graduada se cuelga por un extremo y se
(a)
(b)
Figura 9. 7
(a) Objeto de masa m y momento de inercia/ con
respecto al eje que pasa por A. (b) Diagrama esquemático que muestra la fuerza w =mg. La distancia A al centro de gravedad (C.G .) es d.
En equilibrio el C.G . está en la vertical de trazos y por debajo de A.
suelta. Su ángulo inicial con respecto a la vertical es ir/24
rad = 7,5º (Fig. 9.8). ¿Cuánto tarda la regla en llegar por
primera vez a la posición vertical?
Según la Tabla 5.3, el momento de inercia I de una
barra de masa m y longitud / con respecto a un eje que
pase por uno de sus extremos es m/2; la distancia d del
+·
208
Movimiento vibratorio
f
>
Figura 9.8
Regla graduada colgada por un extremo.
C.G. al eje de giro es+/. Según la Ec. 9.10,
~ ¡mgd = ~ mgl/ 2 = ~ ffg
f =
2-.r
-J¡
2
1
2w
3(9 ,8 m s2(lm)
2w -JTt
m/2 /3
2w
= 0 61 H
)
'
z
(b\
Obsérvese que la frecuencia no depende de la masa. La regla llega por primera vez a la posición vertical tras un
cuarto del período, o sea, t = T/4 = 1/4f Asi pues
I
I
1
= 4f = 4(0,61
5-1)
= 0,41 s
Péndulo simple I El péndulo simple es un sistema idealizado que constituye en ocasiones una buena aproximación a algunos sistemas reales. Consiste
en un punto de masa m situado en el extremo de una
varilla sin masa de longitud / que oscila con respecto
al otro extremo. Su momento de inercia es mI2 y d = l
(Fig. 9.9).
Utilizando los resultados del péndulo físico, la frecuencia del péndulo simple es
1 =~= 2~
ftJ = LA
(9.11)
El siguiente ejemplo describe un péndulo simple formado por una piedra atada a una cuerda.
Ejemplo 9.4
Una piedra se balancea en el extremo de una cuerda
de I m de longitud. ¿Cuál es su frecuencia característica?
Utilizando los resultados precedentes
f
·
= ~ fi_ = _!.__
2,,
-JI
211
/9,8 m s-2
1m
-J-
Figura 9 .9
(a) Un péndulo simple es una masa puntual en el
extremo de una varilla sin masa. (b) El período de un péndulo simple
es independiente de su masa.
= 0,5 Hz
Obsérvese que esta frecuencia es menor que la de la regla
graduada del Ejemplo 9.3. Ello se debe a que la mayor
parte de la masa de la regla se halla más próxima al eje
de rotación.
El resultado,/= (l/21r) y'g// para un péndulo simple,
resulta particularmente sencillo e interesante. Como g
es aproximadamente constante sobre la superficie de
la Tierra,fsólo depende de la longitud del péndulo simple. La masa no juega un papel importante, mientras
sea mucho mayor que la masa de la varilla o la cuerda, de forma que se pueda suponer que I = mf. Ello
se puede observar advirtiendo que el período de oscilación de diferentes personas en columpios idénticos
es, aproximadamente, independiente de su masa. La
dependencia del período con la longitud también puede verificarse de forma aproximada observando cómo
varía el período de un peso atado a una cuerda a medida que varía la longitud de la cuerda.
Las implicaciones de la variación del período con
la longitud son a menudo importantes en nuestras actividades cotidianas. La velocidad normal del andar
puede determinarse con buena aproximación considerando las piernas como barras rígidas oscilantes. Al
correr, la pierna se dobla durante su movimiento ha-
209
Movimiento vibratorio
cia adelante. Ello reduce su longitud y por lo tanto su
período. La pierna doblada se mueve hacia adelante
más rápidamente que una pierna rígida, reduciendo el
esfuerzo necesario. Además, los brazos se mueven de
forma opuesta a las piernas para producir contrapeso,
pero se mantienen doblados para reducir su período y
el esfuerzo necesario para moverlos hacia adelante y
hacia atrás.
9 .4
1
ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO
ARMÓNICO SIMPLE
En la sección precedente hemos estudiado el péndulo
que describe un movimiento armónico simple. Resulta conveniente tomar el cero de energía potencial cuando el péndulo se halla en su punto más bajo, de modo
que su energía en este punto es totalmente cinética.
Cuando el péndulo se halla en su punto más alto, su velocidad es nula y la energía es completamente potencial. Como la única fuerza que realiza trabajo es la gravitatoria, la energía mecánica total se conserva y la
energía potencial máxima es igual a la energía cinética
máxima. Cuando el péndulo oscila de un lado a otro,
hay una conversión continua de energía cinética en
energía potencial y viceversa (Fig. 9.10).
Análogamente, cuando una masa oscila en el extremo de un muelle, la energía total es constante y hay
un intercambio continuo entre las energías cinética y
potencial. La Fig. 9.5 muestra una masa en el extremo
de un muelle deslizándose sobre una superficie plana
sin rozamiento; el origen se toma en el punto de equilibrio donde la fuerza del muelle es nula. De nuevo, resulta conveniente definir el cero de energía potencial
en el punto de equilibrio. Cuando la masa pasa por x
= O, su energía es por completo cinética. En los puntos de máximo desplazamiento, la masa se halla en reposo momentáneamente y su energía cinética se anula. Toda la energía es entonces energía potencial elástica almacenada en el muelle.
La energía potencial en un desplazamiento particular x es igual al trabajo que debe realizarse para producir dicho desplazamiento. Vimos en la Sección 6.1 que
el trabajo realizado es igual al área bajo la gráfica del
movimiento en el plano fuerza-desplazamiento. Según
la Ec. 9.8, la fuerza necesaria para alargar un muelle es
F =kx, de modo que la gráfica es una recta (Fig. 9.11 ).
El área triangular sombreada es igual a f (base)(altura),
o sea t(x)(kx).Por consiguiente, la energía potencial en
x es
1
CU. = - kx 2
2
(9.12)
Obsérvese que se puede obtener este mismo resultado si
se multiplica la fuerza media F =-}kx por el desplazamiento x.
El ejemplo siguiente ilustra este resultado.
Ejemplo 9.5
Una masa de 2 kg en el extremo de un muelle se estira 0,3 m desde su posición de equilibrio y se suelta desde el reposo (Fig. 9.10). La constante del muelle es k =
Fuerza. F
Energía
-
Energía total
Altura = k x
Energía cinética
- -L------=~--.-.e:::::...._____J.___Desplazamiento
Base = x
Desplazamiento, x
Figura 9.1 O
A medida que un péndulo se aleja de su posició n
de equilibrio, su energía potencial aumenta y su energía cinética disminuye. Su suma, que es la energía total, permanece co nstante durante el movimiento.
Figura 9.11
El trabajo realizado al estirar un muelle desde su
longitud de equilibrio hasta una elo ngación x es el área bajo la gráfica fuerza-desplazamiento.
210
Movimiento vibratorio
1
65 N m- • (a) ¿Cuál es la energía potencial inicial del muelle? (b) ¿Cuál es la velocidad máxima que alcanzará la
masa? (c) Hallar la velocidad cuando el desplazamiento es
0,2m.
(a) Inicialmente el desplazamiento es 0,3 m, de modo
que
'U. 0
= ½kx2 = ½(65 N m- 1 )(0,3 m)2 = 2,9 J
(b) La energía es totalmente cinética cuando la masa
y el muelle pasan por la posición de equilibrio x = O. La
energía cinética es mv2 y es igual a la energía potencial
inicial. Así pues
+
o bien
2(2,9 J)
( 2 kg)
= 1,7 m s-1
(c) Cuando x = 0,2 m, el sistema tiene valores no nulos para la energía cinética y la energía potencial. La energía potencial puede obtenerse directamente de
k:I.
Como la energía total se conserva, es igual a la energía po-.
tencial inicial '\10 hallada en (a). Por consiguiente, podemos obtener la energía cinética y determinar la velocidad:
+
½mu 2 + ½kx 2
u
=j
= 'U.0
¾( ½
'U.0
-
kx2 )
=j (
1
2 ~g) [ 2,92 J - ½(65 N m- )(0,2 m)2]
-= 1,27 m s- 1
9 .5
1
gar a ser muy complicada en algunos sistemas. A me-_
nudo se supone que la fuerza disipativa F/es linealmente proporcional a v, o sea F, = --yv. (El comportamiento cualitativo de un oscilador no depende mucho de la forma exacta de esta ley de fuerzas.) Aquí, -y
es la constante de amortiguamiento y el signo menos indica que la fuerza de amortiguamiento se opone al movimiento.
El efecto de incluir la fuerza de amortiguamiento
en la ecuación de movimiento para un peso en el extremo de un muelle se representa en la Fig. 9.12. Si -y
es cero, las oscilaciones continúan indefinidamente con
la misma amplitud. Cuando hay un pequeño amortiguamiento, las oscilaciones disminuyen paulatinamente de amplitud hasta que son despreciables. Si es mayor, la amplitud de las oscilaciones disminuye más deprisa. Las oscilaciones ya no se pueden presentar cuando -y es muy grande; al ser desplazado, el peso vuelve
a la posición de equilibrio sin oscilar.
La teoría de oscilaciones amortiguadas tiene algunas aplicaciones biológicas interesantes. Por ejemplo,
proporciona una manera de medir el rozamiento pre-
OSCILACIONES
AMORTIGUADAS
La mayoría de situaciones reales en que se presentan
movimientos vibratorios no pueden describirse con
precisión mediante las ecuaciones del movimiento armónico simple debido a la presencia de fuerzas disipativas talés como el rozamiento o la resistencia del aire.
Por ejemplo, un niño en un columpio, un péndulo de
reloj y una cuerda de violín van parándose poco a poco
a no ser que se les vaya suministrando energía para
compensar las pérdidas. En esta sección describimos
brevemente la disminución de amplitud o amortiguamiento debido a las fuerzas disipativas. En la sección siguiente estudiamos qué ocurre cuando un sistema oscilante recibe energía de una fuente externa.
Las fuerzas disipativas dependen en general de la
velocidad, pero la dependencia exacta varía y puede lle-
(a) v~
(b)
(e)
~--
==~-___ ___
'Y=
o
-- ,,"
__
- ~-- ~
V
=
/
----. . . ....... _
x~
X~
'Y pequeña
/""",;;:
'Y grande
~
/
,~
-IP---=: ,---------------'Y muy grande
(d)
Figura 9. 12 Desplazamiento de un peso sobre un muelle en
función del tiempo. (a) S.in fuerzas disipativas. El desplazamiento es
alternativamente positivo y negativo con amplitud constante. (b)
Con una fuerza disipativa o de amortiguamiento, la amplitud disminuye gradualmente. (e) Con más amortiguamiento, la amplitud
disminuye más deprisa. (d) Si el amortiguamiento es muy grande,
no tienen Jugar oscilaciones.
211
Movimiento vibratorio
sente en las articulaciones de los miembros de los mamífe!os. Tal como observamos en el Capítulo 3, este rozamiento es muy pequeño debido a los efectos lubrificantes del fluido sinovial. Si nos sentamos de tal forma que la parte inferior de la pierna cuelgue libremente y la hacemos oscilar desde la rodilla, veremos que
poco a poco se va parando si dejamos de ejercer una
fuerza muscular. La medida del ritmo con que disminuye la amplitud proporciona información sobre las
fuerzas de rozamiento. En una rodilla normal hay muy
poco rozamiento y las oscilaciones se amortiguan muy
lentamente, tal como en la Fig. 9.12b.
Un ejemplo de movimiento fuertemente amortiguado lo constituye la cúpula del oído interno de los vertebrados. Vimos en el Capítulo 5 que ésta es una estructura de tipo puerta oscilante que se desplaza fácilmente de su posición de equilibrio debido al movimiento relativo de la endolinfa y el canal semicircular. Aquí,
la constante elástica k es muy pequeña y el amortiguamiento debido al fluido es relativamente grande. Como
resultado, la cúpula vuelve lentamente durante un período de unos 20 s a su posición de equilibrio y no efectúa ninguna oscilación. Esto es semejante a la situación
que se muestra en la Fig. 9.12d.
Otra estructura en el oído de los vertebrados, el otolito, proporciona un ejemplo de un amortiguamiento
intermedio. Todos los vertebrados tienen dos o tres
otolitos, que proporcionan información sobre la aceleración y la inclinación del animal. El otolito está formado por carbonato cálcico y es unas tres veces más
denso que el agua. Está conectado mediante un tejido
elástico a una cavidad llena de un fluido acuoso (Fig.
9. l 3a). Cuando la cabeza se inclina o se acelera el otolito se mueve con relación al fluido y este movimiento
es detectado por nervios sensores. Aunque el otolito sobrepasa la posición de equilibrio cuando la cabeza gira
o se acelera, sólo oscila unas pocas veces antes de llegar a pararse. Este tipo de situación se muestra en la
Fig. 9.12c. Así pues, la evolución ha con,seguido que,
en muy poco tiempo, la información sobre el giro o la
aceleración llegue al cerebro sin las ambigüedades inherentes a las oscilaciones continuadas.
9.6
l OSCILACIONES FORZADAS Y
RESONANCIA
En la sección precedente hemos visto que a no ser que
haya una aportación de energía, la amplitud de un oscilador disminuye en general con el tiempo debido a la
fuerza de .rozamiento. Para contrarrestar tales pérdi-
Fluido
(a)
(b)
Aceleración
(e)
Figura 9 . 13
(a) El otolito es más denso que el fluido que le rodea. La inclinación (b) o la aceleración (e) obliga al otolito a moverse. U\S terminaciones nerviosas adyacentes al otolito detectan su
movimiento. Obsérvese que en (b) y (e) las porciones laterales de la
cámara llena de fluido cambian de tamaño. (Adaptado de Alexander.)
das, los péndulos de reloj están conectados a muelles
arrollados, y los niños, al columpiarse, se dan impulso con los pies. Cuando un sistema oscilante recibe
energía se dice que está efectuando oscilaciones forza-
das.
Una cantante que mantenga una nota de cierta frec1:1encia puede llegar a inducir vibraciones en un vaso.
S1 la cantante persiste, la energía absorbida por el vaso
puede llegar a causar vibraciones tan grandes que el
vaso se rompe (Fig. 9.14). Ello sólo ocurre con vasos
de cristal de buena calidad. En vasos de calidad inferior, cuya composición es menos homogénea, las diversas partes del vaso tiene distintas frecuencias características y una sola frecuencia no producirá destrucción.
Los soldados rompen el paso al atravesar un puente ya que el paso de la marcha regular puede coincidir
con la frecuencia adecuada para hacer vibrar el puente y causar quizás su destrucción. Un ejemplo especta-·
cular de un puente puesto en movimiento y roto es el
Tacoma Narrows de Washington. El viento hizo oscilar el puente cada vez con mayor amplitud hasta romperlo (Fig. 9.15).
Las alas de los insectos pueden vibrar a unas 120 veces por segundo con sólo tres impulsos nerviosos por
segundo. Ello se debe a que los impulsos nerviosos lle-
Movimiento vibratorio
212
Figura 9.14 Una cantante entrenada puede romper un vaso
· sosteniendo la nota adecuada. (Ella Fitzgerald en un anuncio de cintas Memorex. Cortesía de Memorex Corporation.)
gan con la frecuencia adecuada para mantener el movimiento vibratorio natural del ala.
En todos estos ejemplos, se presentan por un lado
fuerzas disipativas que reducen las vibraciones y fuer-
zas exteriores que proporcionan energía. Según las circunstancias físicas puede haber un equilibrio entre ambos tipos de energía, de modo que la amplitud del movimiento sea constante, tal como en un reloj o en el ala
del insecto. A veces, la energía entra en el sistema más
rápidamente de lo que tarda en disiparse y se origina un
desastre, tal como en el vaso de cristal o en el puente
Tacoma Narrows. Finalmente, si la energía no entra en
el sistema con una frecuencia muy próxima a la adecuada, se produce muy poca vibración, ya que la energía suministrada se disipa rápidamente.
Tal como hemos visto, se proporciona energía a un
oscilador con un máximo de eficacia cuando la fuerza
externa actúa con la frecuencia correcta, qui;: en general es muy próxima a la que tendría el oscilador en ausencia de fuerzas exteriores. Este fenómeno se denomina resonancia y la frecuencia óptima se designa con
el nombre de frecuencia resonante (Fig. 9.16). Un niño
que se balancea en un columpio, o su padre al empujarlo desde atrás, aprenden pronto a aplicar las fuerzas
con el intervalo adecuado p~ra conseguir la máxima
amplitud. Análogamente, cuando la gente intenta desatascar un coche de la nieve o del fango consiguen la
máxima eficacia empujándolo hacia adelante y hacia
atrás y sincronizando sus esfuerzos de manera apropiada.
Un ejemplo espectacular de resonancia se halla en
las enormes mareas de la Bahía de Fundy, en Canadá.
El desnivel entre pleamar y bajamar en el océano es de
unos 0,3 m en promedio, pero en el interior de la bahía
alcanza un valor medio de 11 metros. Un motivo para
ello es que la frecuencia característica de oscilación del
agua al entrar y salir de la bahía es de unas 13 horas,
sólo ligeramente superior a las 12,4 horas entre pleamares sucesivas. Como la fuerza externa -las mareas del
Figura 9.15 Los vientos hicieron que el puente Tacoma Narrows se derrumbase después de varias
horas de vibraciones crecientes. Después de este desastre ocurrido en 1940 se modificaron sustancialmente otros puentes similares. (Fotos Wide World.)
213
Movimiento vibratorio
A
_-Y_
2rrfm
-y
2rrfm
f
f
.]L
2
= 0,2
= l,O
2[
2
j[_
3[
J.
2
Figura 9 .16 Gráficas de A en función de la frecuencia/0 de la fuerza externa para diferentes valores
de y. El pico de resonancia enfse va haciendo más ancho y menos pronunciado a medida que y aumenta.
océano- tienen una frecuencia próxima a la frecuencia característica de la bahía, se producen como resultado grandes amplitudes resonantes. Se han hecho diversos proyectos para controlar con diques parte del
flujo, y utilizarlo para generar energía eléctrica. Se espera que dichos diques acorten en efecto la bahía y disminuyan su período, en cuyo caso las dos frecuencias
estarían aún más próximas y el desnivel de las mareas
aumentaría aún más (Fig. 9.17).
Un ejemplo común de movimiento armónico simple es un péndulo fisico que oscila de un lado a otro
con ángulos relativamente pequeños. Si el péndulo tiene una masa m y un momento de inercia L y si des la
distancia desde el eje de rotación al centro de gravedad, la frecuencia característica del movimiento es
J=-1 {mgd
2,,,-J ¡
Para un péndulo simple con toda la masa concentrada a una distancia / del eje de rotación,
RESUMEN
Todo movimiento en que el desplazamiento x y la aceleración a se relacionan mediante
J=-1 fi
a= - (2,,,J)2x
La energía mecánica total de un objeto que describe un movimiento armónico simple es constante. Hay
un intercambio repetido entre la energía cinética y la
potencial. La energía potencial es
es un movimiento armónico simple.fes la frecuencia
natural o característica del movimiento. El período T
es el tiempo correspondiente a un ciclo completo, y
f= 1/T.
Una masa atada a un muelle experimenta un movimiento armónico simple al ser desplazada de su posición de equilibrio. Si la masa es m y la constante del
muelle es k, la frecuencia del movimiento es
J= _l
2,,,
{k
-J-;¡
2,,, -J¡
l
<u = -kx2
2
Si actúan fuerzas disipativas la energía no es constante y el movimiento se denomina amortiguado. El ritmo con que se amortigua el movimiento es proporcional al valor de la fuerza disipativa.
Si también se halla presente una fuerza externa que
proporciona energía al sistema, el movimiento es de
214
Movimiento vibratorio
nuevo semejante al armónico simple. Sin embargo, la
amplitud del movimiento depende de la frecuencia de
la fuerza externa. Cuando la frecuencia de la fuerza externa es igual a la frecuencia natural del oscilador, la
amplitud es máxima y el sistema entra en resonancia.
Lista de repaso
Definir o explicar:
movimiento armónico simple
amplitud
ciclo
frecuencia
hercio
período
movimiento del muelle
constante del muelle
fuerza recuperadora
péndulo fisico
péndulo simple
energía potencial
de un muelle
amortiguamiento
oscilaciones forzadas
resonancia
frecuencia resonante
CUESTIONES DE REPASO
(a)
Q 9-1 El tiempo necesario para una oscilación
completa es el .........; su recíproco es la .. .......
Q 9-2 La sombra de un perno eri una rueda que gira
describe un ........ .
Q 9-3 Un objeto describirá un movimiento armónico simple si su aceleración es proporcional al.. .......
Q 9-4 La fuerza necesaria para modificar la longitud de un muelle es proporcional al ........ .
Q 9-5 Al comparar un objeto que cuelga de un muelle con un sistema idéntico que se mueva horizontalmente y sin rozamiento, se comprueba que las
frecuencias características de oscilación son ........ .
Q 9-6 La frecuencia característica de oscilación de
una masa en un muelle disminuye si la masa ... ...... , y
aumenta si la constante del muelle ........ .
Q 9-7 Si la longitud de un péndulo simple aumenta,
su período .........
Q 9-8 La energía cinética de un oscilador armónico
simple es máxima cuando el desplazamiento es
......... y mínima cuando el desplazamiento es ........ .
Q 9-9 Las oscilaciones se amortiguan rápidamente
si ......... es grande.
Q 9-10 Cuando sobre un oscilador actúa una fuerza
externa, la amplitud es máxima a la ........ .
(b)
Figura 9.17
Los Hopewell Rocks en la costa de New Brunswick (a) en bajamar, (b) en pleamar. En el interior de la bahía de Fundy,
el desnivel de las mareas alcanza un valor medio de 11 m. La frecuencia característica de las oscilaciones de llenado y vaciado de bahía
es próxima a la de las mareas oceánicas, produciéndose como consecuencia
grandes
,.
. . amplitudes resonantes (New Brunswick Depart-
_
EJERCICIOS
Sección 9.1 1 Movimiento armónico simple. Un experimento.
9-1 En el experimento que compara el movimiento
215
Movimiento vibratorio
de las sombras del perno que gira y del peso que
oscila, la frecuencia angular de la rueda es w = 0,5
rad s- i. Hallar (a) la frecuenciafy (b) el periodo del
movimiento.
9-2 En un experimento que compara las sombras
del perno y del peso,!= 1,5 Hz. (a) Hallar w. (b)
Si la amplitud es 0,2 m, ¿cuál es la posición en t =
.!.
s?•
3
9-3 En un experimento que compara las s_o mbras .
del perno que gira y del peso que oscila, f = 0,5
Hz y la amplitud es 0,1 m. Hallar las posiciones y
velocidades de las sombras en (a) t = Os, (b) t = 0,5
s y (c) t = 1 s.
9-4 Un objeto que describe un movimiento armónico simple tiene su máximo desplazamiento, 0,2 m,
en t = O.Su frecuencia característica es 8 Hz. (a) Hallar los instantes en que las elongaciones son por primera vez 0,1 m, O ro, -0,1 m y -o,2·m. (b) Hallar
la velocidad en dichos instantes.
9-5 Un objeto en movimiento armónico simple con
una amplitud de 0,5 ro y un período de 2 s tiene una
velocidad de 1,11 m s· 1• ¿Cuál es su elongación?
9-6 Un objeto en movimiento armónico simple con
frecuencia 1O Hz tiene una velocidad máxima de 3
ro s·1 • ¿Cuál es la amplitud del movimiento?
9-7 ¿Para qué desplazamiento de un objeto en movimiento armónico simple es máximo el módulo de
(a) la velocidad, (b) la aceleración?
Sección 9.2
1
Peso colgado de un muelle
9-8 Dos masas m y M se cuelgan de dos muelles
idénticos de constante k. Cuando se ponen en movimiento, la frecuencia característica de Mes tres veces la de m. ¿Cuál es la razón Mlm?
9-9 La frecuencia ·-~aracterística de una masa que
oscila en el extremo de un muelle es 5 Hz. ¿Cuál es
la aceleración de la masa cuando el desplazamiento es 0,15 ro?
9-10 Un muelle se estira 0,05 m cuando se le cuelga una masa de 0,3 kg. (a) ¿Cuál es la constante del
muelle? (b) ¿Cuál es la frecuencia característica de
vibración de la masa en el extremo del muelle?
9-11 El periodo de una masa de 0,75 kg en un muelle es· 1,5 s. ¿Cuál es la constante del muelle?
9-12 Al colgar de un muelle una masa de 3 kg oscila una vez cada 4 s. ¿Cuál es la constante del muelle?
9-13 Cuando se aplica a un muelle una fuerza de
30 N se alarga 0,2 ro. (a) Si se le cuelga una masa
de 5 kg que permanece en reposo, ¿cuánto se habrá
alargado el muelle con respecto a su longitud original? (b) ¿Cuál es el período de oscilación de la masa
y el muelle?
9-14 ¿En qué factor debe aumentarse la masa de un
objeto fijado a un muelle para que se duplique el período de oscilación?
9-15 Cuando un pasajero de 80 kg de masa entra
en un coche, los amortiguadores se comprimen debido a su peso una distancia de 1,2 cm. Si la masa
total sostenida por éstos es de 900 kg (incluido el
ocupante), hallar la frecuencia característica de oscilación del coche y el pasajero.
9-16 Un objeto de 10 kg de masa colgado de un
muelle tiene una frecuencia característica de 2 Hz.
¿Cuánto variará la longitud del muelle al desengancharle el objeto?
Sección 9.3 1 El péndulo físico
9-17 Un pequeño peso oscila en el extremo de una
cuerda. Si el período es de 1 s, ¿cuál es la· longitud
de la cuerda?
9-18 Un péndulo simple tiene un período de 1,5 s
sobre la Tierra. Cuando se pone a oscilar en la superficie de otro planeta, el período resulta ser 0,75
s. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en este planeta?
9-19 Una bola de acero en el extremo de un cable
es utilizada para trabajos de demolición. El período de oscilación es de 7 s. ¿Cuál es la longitud del
cable? (Despreciar la masa del cable.)
9-20 (a) Calcule aproximadamente el momento de
· inercia de la parte iot:erior de su pierna y pie al oscilar con respecto a·la rodilla. (b) ¿Cuál es, aproximadamente, la frecuencia característica de la parte
inferior de su pierna y de su pie al oscilar con respecto a la rodilla? (c) ¿Cómo se ajusta el cálculo
aproximado de la parte (b) con sus observaciones
experimentales?
9-21 Una varilla uniforme se cuelga de un extremo.
El periodo característico de la oscilación es 2 s.
¿Cuál es la longitud de la varilla?
9-22 ¿Cuál es el error en tanto por ciento al utilizar sen (J = 9, donde (J se expresa en radianes, para
(a) 10º; (b) 20º; (c) 30º; (d) 40º?
9-23 ¿En qué factor debe modificarse la longitud de
un péndulo simple para duplicar el período de oscilación?
9-24 La aceleración de la gravedad g auménta en un
Movimiento vibratorio
216
0,44 por ciento al pasar del Ecuador a Groenlandia.
Si un péndulo tiene un período de 1 s en el Ecuador,
¿cuál será su período en Groenlandia?
9-25 Se deja pivotar una llave inglesa alrededor del
agujero de su extremo. Su radio de giro es 0,15 m y
su centro de gravedad se halla a O, 1 m por debajo de
dicho extremo. Si oscila como un péndulo fisico,
¿cuál es su frecuencia?
Sección 9.4
ple
1
Energía en el movimiento armónico sim-
con respecto a la rodilla, es 1,3 Hz. El moyimiento
se amortigua tras seis oscilaciones. (a) ¿Cuál es el período del movimiento? (b) ¿Cuánto tiempo oscila la
pierna?
.
9-34 El otolito de un pez tiene una masa de 0,1 g
= 10· 4 kg y una constante elástica de 3 N m· 1• (a) Hallar la frecuencia característica. {b) Suponiendo que
el otolito amortiguado se para en un tiempo igual
a dos veces su período natural, ¿cuánto tiempo permanece el otolito en movimiento tras un giro brusco de la cabeza del pez?
9-26 Una masa de 0,5 kg en el extremo de un muePROBLEMAS
lle tiene un período de 0,3 s. La amplitud del movi9-35 Durante el movimiento de un peso fijado a un
miento es 0,1 m. (a) ¿Cuál es la constante del muemuelle, la posición, la velocidad y la aceleración
lle? (b) ¿Cuál es la en.ergía potencial almacenada en
vienen
dadas por
el muelle en su desplazamiento máximo? (c) ¿Cuál
es la velocidad máxima de la masa?
x = x 0 cos(2nft) .
9-27 Una masa de 0,05 kg se cuelga de una cinta de
v = - 2efx0 sen(27ifi)
goma de masa despreciable, que se alarga 0,1 m. (a)
a = -(2n/) 2x 0 cos(2nft)
¿Cuál es la constante elástica de la cinta de goma?
(b) ¿Cuál es la frecuencia característica de oscilaCalcular x, v y a para (a) t = O y (b) t = l/(21). (c)
ción del sistema? (c) ¿Cuál es el período dé la osciDescribir con palabras cómo cambian con el tiempo
lación? {d) Si la masa se estira 0,05 m por debajo de
x, v y a desde t = O hasta t = 1/(2/).
su posición de equilibrio y se suelta, ¿cuál será la
9-36
Trazar las gráficas x-t, v-t y a-t correspondienenergía asociada a las oscilaciones?
tes a un ciclo completo para un objeto en movimien9-28 Una masa de 5 kg se fija a un muelle de consto armónico simple.
tante 100 N m· 1• ¿Si oscila con una velocidad máxi9-37
·Las ecuaciones 9.6 se han obtenido suponien1
ma de 4 m s· , ¿cuál es la amplitud del movimiento?
do que el reloj se ponía en marcha en t = Ocuando el
9-29 La amplitud de un oscilador armónico simple
desplazamiento del muelle era rriáximo, o cuando el
es 0,1 m. ¿Para qué desplazamiento.son iguales su
perno de la rueda se hallaba en su punto más elevaenergía cinética y su energía potencial?
do. Hállense las ecuaciones análogas para el caso en
9-30 Cuando el desplazamiento de un oscilador _
que t = O cuando la velocidad tenga su valor máarmónico simple es la mitad de su amplitud, ¿qué
ximo.
fracción de la energía total es energía cinética?
9-38 Un objeto fijado a un muelle describe un mo9-31 Una masa de 10 kg se fija a un muelle de consvimiento armónico simple. Su velocidad máxima es
1
tante 50 N m· • Se tira de ella 0,2 m desde su posi3 m s· 1, y su amplitud 0,4 m. (a) ¿Cuál es su desplación de equilibrio y se suelta. Hallar su velocidad
zamiento cuando v =3 m s· 11 (b) ¿Cuál es su despla(a) en ia posición de equilibrio, (b) para un desplazamiento cuando v = l,5 m s·1?
zamiento de -0,1 m.
9-39 Utilizando los órganos sensoriales dé sus patas, las arañas pueden detectar las vibraciones de sus
Sección 9.5 1 Oscilaciones amortiguadas
telas cuando una presa queda prendida en ellas. Al
3
9-32 El otolito de un pez tiene una masa de 0,022
quedar atrapado un insecto de 1 g = 10· kg la tela
5
g = 2,2 X 10· kg y la constante elástica efectiva es
vibra a 15 Hz. (a) ¿Cuál es la constante elástica de la
3 N m· !. (a) ¿Cuál es la frecuencia característica del
tela? (b) ¿Cuál sería la frecuencia cuando quedara
otolito? (b) ¿Es consistente esta frecuencia con la
capturado un insecto de 4 g?
idea de que el otolito debe responder rápidamente
9-40 El módulo de Young del hueso es E =
a las aceleraciones o a los cambios de orientación?
1,6 x 10 1º N m·2 • La tibia tiene 0,2 m de longitud y
9-33 La frecuencia característica de la parte infeuna sección transversal media de 0,02 m2 • (a) ¿Cuál
es la constante elástica del hueso? (b) Un hombre
rior de la pierna y del pie de un hombre, al oscilar
Movimiento vibratorio
pesa 750 N. ¿Cuánto se comprime el hueso si sostiene la mitad de este peso? (c) Si el hueso oscila longitudinalmente con la mitad del peso del cuerpo en
su extremo, ¿cuál es la frecuencia característica de
la oscilación?
-9-41 Un instructor desea preparar un experimento
sobre movimiento armónico simple. Sólo dispone
de una masa de 2 kg, pero tiene una colección de
muelles. ¿Qué constante elástica debe escoger para
tener un período de 2 s? (b) Si selecciona el muelle
midiendo la extensión de los.muelles disponibles al
colgarles la masa de 2 kg, ¿qué extensión habrá de
buscar?
9-42 La frecuencia característica del péndulo simple de un reloj es 0,7 Hz. El péndulo tiene 0,5 m de
longitud. ¿Cuánto habría de cambiar su longitud
para que el período fuera de 0,8 Hz?
9-43 La pierna humana puede estudiarse aproximadamente considerándola como un cilindro. (a) Haga
un cálculo aproximado de la frecuencia de sus piernas al oscilar con respecto a la cadera sin doblar la
rodilla. (b) Si al andar normalmente se hiciera con
las piernas oscilando a su frecuencia natural, ¿cuánto andaría en una hora?
9-44 (a) Si se supone que el brazo es una barra uniforme, calcular aproximadamente la frecuencia característica del brazo extendido. (b) Calcular
aproximadamente la frecuencia si el antebrazo forma un ángulo recto con el brazo al correr.
9-45 Una bola en el extremo de un cable de 30 m
se utiliza para trabajos de demolición. Si el desplazamiento angular máximo es 20º , ¿cuál es la velocidad de la bola en su punto más bajo? (Despreciar
la masa del cable.)
9-46 Una barra de 1 m de longitud se cuelga por
uno de sus extremos y en el otro tiene una pequeña
esfera. La barra y la esfera tienen la misma masa.
¿Cuál es la frecuencia de la oscilación?
9-47 Un chico de 50 kg cabalga sobre un bastón saltador, un bastón vertical que rebota sobre un muelle fijado en su extremo inferior. Salta 0,3 m en el
aire y, al aterrizar, comprime el muelle 0,05 m. (Despreciar la masa del bastón.) (a) ¿Cuánta energía se
almacena en el muelle? (b) ¿Cuál es la constante del
muelle? (c) ¿Cuál es la frecuencia característica de
oscilación?
9-48 Un peso colgado de un muelle lo alarga una
distancia den equilibrio. Demostrar que cuando el
pesó se pone en movimiento su frecuencia carac-
217
terística es
f=-l
27T
¡g
vci
9-49 Una pistola de juguete utiliza un muelle para
disparar dardos con ventosas en su punta. La masa
de los dardos es 0,03 kg y la constante del muelle
1
200 N m· • Si el muelle se comprime O, I m y se suelta, y si toda su energía se comunica al dardo, ¿a qué
altura llegará éste cuando se le dispara verticalmente?
9-50 Demostrar que la energía potencial de un péndulo simple desplazado un pequeño ángulo (J con
respecto a su posición de equilibrio es
CU.
= l.2 mg.t02
9-51 A partir del resultado del problema anterior,
hallar la máxima velocidad angular de un péndulo
simple si la amplitud de su movimiento es 80 •
*9-52 Deducir una fórmula para la energía potencial
de un péndulo fisico desplazado un pequeño ángulo (J con respecto a su posición de equilibrio.
9-53 Trazar la gráfica de CU. y de E0 en función del
tiempo durante un ciclo completo para un objeto
en movimiento armónico simple.
9-54 El otolito de un pez tiene una masa de 3 X 10-4
kg y una constante elástica efectiva k = 3 N m- 1• La
constante de amortiguamiento -y= 1,5 X 10·2 N m - 1
s. (a) ¿Cuál es la frecuencia característica del otolito? (b) ¿Cuál es la razón -y/(21rfm)? (c) ¿Presenta el
otolito una resonancia aguda?
RESPUESTAS A LAS CUESTIONES DE REPASO
Q 9-1, período, frecuencia; Q 9-2, movimiento armónico simple; Q 9-2, desplazamiento cambiado de
signo; Q 9-4, desplazamiento; Q 9-5, iguales; Q 9-6,
aumenta, aumenta; Q 9-7, aumenta; Q 9-8, cero, la
amplitud; Q 9-9, constante de amortiguamiento;
Q 9-10, frecuencia de resonancia.
TEMAS SUPLEMENTARIOS
9.7
1
LOS EFECTOS DE LA
VIBRACIÓN SOBRE LOS
SERES HUMANOS
Todos hemos experimentado el movimiento vibrato-
218
Movimiento vibratorio
~
.,
-o
~
-o
-o
"'
·e
~.o
,s
::s 1
e:
~
Figura 9.1 8
Reacciones medias del hombre al movimiento armónico simple. Los individuos están en asientos duros que vibran
verticalmente. (Adaptado de S. Lippert, Vibration Research.)
rio al andar o al correr. Además, estamos sometidos a .
movimientos vibratorios habituales cuando viajamos
en coches o aviones, cuando manejamos un tractor, utilizamos herramientas o trabajamos cerca de máquinas.
Los efectos de la vibración pueden ir desde ligeras molestias hasta el dolor y la muerte, según la amplitud, frecuencia y duración de la vibración. Se ha dedicado un
considerable esfuerzo de investigación al estudio y medida de estos efectos, para poder diseñar vehículos y
herramientas más confortables y seguros.
Los estudios de los efectos de la vibración utilizan
normalmente como variable la aceleración máxima,
amax, más que la amplitud. Según la Ec. 9.7, la aceleración se relaciona con el desplazamiento por a =
-(2rr/)2x. Cuando x es igual a la amplitud A o -A,
el valor de la aceleración es
(9.13)
cabeza
torso
superior
masa del
cuerpo
amortiguador
sistema
....,_..... tórax"-T-T""" abdomen
(simplificado)
Los experimentos de laboratorio se realizan a menudo con plataformas o asientos que vibran a una determinada frecuencia, aunque los movimientos vibratorios que se presentan en la práctica a menudo están
constituidos por una combinación de oscilaciones de
diferentes frecuencias. La Fig. 9.18 muestra las reacciones de individuos sentados en sillas duras con respecto a vibraciones verticales. La mayor sensibilidad
se presenta de 6 a 7 Hz; a frecuencias mayores o menores pueden tolerarse aceleraciones más elevadas.
Estas ideas se ilustran en el .ejemplo siguiente.
Ejemplo 9.6
muelle
¿Qué aceleración máxima se percibe como alarmante
a 6 Hz? ¿Cuál es la correspondiente amplitud de la vibración?
Según la Fig. 9. 18 la aceleración máxima a 6 Hz que
se percibe como alarmante es de unos 0,65 g, donde ges
la aceleración de la gravedad. Según la Ec. 9.13 la amplitud correspondiente es
-----....+
plataforma
vibratoria
□za
t
aplicada
~~e~~dividuo
de pie
(b)
Figura 9. 1 9
(a) Un modelo que trata el cuerpo como una sola
masa describe el movimiento adecuadamente para frecuencias de
!Íasta 2 Hz. El dispositivo, que se asemeja a un émbolo en un fluido, simboliza el amortiguamiento. (b) Un modelo más elaborado
que tiene en cuenta el movimiento relativo de las partes del cuerpo.
(Adaptaqo de R. R. Coermann et al., Aerospace Med., vol. 31, p.
443, 1960.)
A _ amax _ (0,65)(9,8 m s-2 )
- (2'17/) 2 (2'17(6 s-1 )]2
= 4,48 X
10-3 m
Las observaciones de la respuesta del cuerpo a las
vibraciones pueden describirse mediante modelos matemáticos (Fig. 9.19). Hasta frecuencias de unos 2 Hz,
el cuerpo reacciona como si fuera una sola masa en el
.extremo de un muelle con cierto amortiguamiento. Por
encima de 2 Hz hay un cierto movimiento relativo de
las distintas partes del cuerpo y se necesita un modelo
Movimiento vibratorio
mucho más complicado. El cuerpo como un todo tiene resonancia a unos 6 Hz, pero la masa abdominal tiene resonancia a 3 Hz, la pelvis a 5 y a 9 Hz, la cabeza
con respecto a los hombros a 20 Hz y los globos oculares en sus cavidades a 35 y 75 Hz (Fig. 9.20). La vibración próxima al nivel «alarmante» causa cambios fisiológicos en los sistemas circulatorio y nervioso, y perjudica la coordinación, la visión y el habla. Niveles más
altos de vibración pueden provocar serios trastornos
en los pulmones, el corazón, los intestinos y el cerebro, y pueden llegar a causar la muerte.
· Por encima de 20 Hz resulta relativamente fácil
proteger a la gente de vibraciones excesivas utilizando
asientos acolchonados y varios dispositivos sencillos
de suspensión. Sin embargo, los tractores y los camiones presentan la mayor parte de sus vibraciones éntre
1 Hz y 7 Hz, y se presentan a menudo aceleraciones
máximas de hasta lg. Pueden utilizarse muelles y suspensiones hidráulicas para reducir estas vibraciones
hasta niveles aceptables.
Es útil saber que cuando las piernas de una persona están ligeramente dobladas transmiten muchas menos vibraciones a la parte superior del cuerpo que cuando la persona se halla de pie o sentada en posición erguida. Los conductores de máquinas agrícolas a menudo se ponen de esta manera para reducir las vibraciones a un nivel inferior del que experimentan cuando están sentados. Análogamente, al ir en bicicleta por
un camino pedregoso, las molestias pueden reducirse
apoyando la mayor parte del peso en los pedales más
que en el sillín.
9.8 I DEDUCCIÓN DE LA-S
ECUACIONES DEL
MOVIMIENTO ARMÓNICO
La deducción dada en la Sección 9.1 de las expresiones de la posición, velocidad y aceleración de un oscilador se basaba en nuestro conocimiento del movimiento circular. Otra deducción más concisa puede
darse utilizando el cálculo diferencial. El problema básico es hallar una ecuación para la posición tal que la
correspondiente aceleración se relacione con ella mediante la Ec. 9.7. Intentemos para x una solución de
la forma x = R cos wt, donde R y w son constantes. La
velocidad es dxldt, por lo cual derivando x(ver Apéndice B, Ec. B. 27)
v
= -wR sen wt
219
Figura 9.20 La amplitud del movimiento de diversas partes
del cuerpo puede superar la de la vibración original. Esto sucede a
menudo cuando la frecuencia es próxima a la frecuencia resonante
de una determinada parte. Aquí un individuo está sentado en una
piataforma de ensayos construida para asemejar un automóvil. La
figura muestra los desplazamientos máximos del coche y el individuo. Obsérvese que la cabeza del individuo se desplaza una distancia h que es mayor que la distancia t que se mueve el coche de ensayos.
Como ta' aceleración es dvldt, derivando v tenemos
a
= -w R cos wt
2
Las expresiones de x y de a satisfacen entonces
a= -w2x.
Con w = 21rf, esta ecuación es precisamente la Ec. 9.7.
EJERCICIOS SOBRE LOS TEMAS
SUPLEMENTARIOS
Sección 9.7 1 Los efectos de la vibración sobre los seres humanos
9-55 Cuando un hombre se coloca sobre una pla-
taforma vibratoria se observa que su cabeza oscila
con relación a los hombros con una amplitud que
es máxima a 20 Hz. Evaluar la constante elástica de
este movimiento.
9-56 El asiento de un tractor está montado sobre
muelles. Cuando un adulto de 70 kg se sienta en él,
la frecuencia característica es 7 Hz. ¿Cuál es la frecuencia característica cuando se sienta en él un niño
de 25 kg? (Despreciar la masa del propio asiento.)
9-57 Una mujer de. 50 kg se sienta sobre un sillín
montado sobre muelles. El muelle se comprime
220
5 X 10-3 m. (Despreciar la masa del propio sillín.)
(a) ¿Cuál es la constante del muelle? (b) ¿Cuál es la
frecuencia característica del movimiento? (c) ¿Sería
un muelle apropiado para utilizarse en un vehículo?
9-58 ¿Cuál es la constante elástica de un asiento de
tractor si la frecuencia resonante es de 2 Hz cuando se sienta en él una persona de 70 kg? (Despreciar la masa del asiento.)
PROBLEMAS SOBRE LOS TEMAS
SUPLEMENTARIOS
9-59 Un hombre puede resistir vibraciones de 4 Hz
con una·aceleración máxima de 4g durante un breve
período, ¿Cuál es el desplazamiento máximo del
cuerpo en tales circunstancias?
9-60 Como las distintas partes del cuerpo de los
animales tienen diferentes frecuencias características de vibración, podemos imaginar dichas partes
como si estuvieran conectadas mediante muelles
(Fig. 9. l 9b). El muelle está formado por las articulaciones flexibles entre dichas partes del cuerpo. En el
Capítulo 8 vimos que la constante elástica es proporcional a la superficie de la sección transversal dividida por la longitud del material del muelle. (a)
Utilizando la hipótesis de escala de la Sección 8.6,
/ rx r213 , demostrar que la constante elástica es k rx m 112 ,
donde m es la masa del cuerpo. (b) Demostrar que
las frecuencias características deben seguir la ley de
escalaf rx m- 114·
·
9-61 El tórax y abdomen de un hombre de 60 kg tiene resonancia a unos 3 Hz. (a) Haciendo uso de los
resultados del Problema 9.60, ¿cuál habría de ser la
Movimiento vibratorio
frecuencia de resonancia en un ratón de 20 g? (b)
Experimentalmente, la frecuencia de resonancia en
los ratones se halla entre 18 y 25 Hz. ¿Cómo se ajusta
esto con el resultado del apartado (a)?
9-62 Cuando una persona permanece erguida sobre
una mesa de vibración existe una vibración de resonancia para el cuerpo como un todo, incluida la cabeza, de unos 2 Hz. El efecto sobre la parte superior
del cuerpo sólo disminuye ligeramente al doblar las
piernas. Cuando la frecuencia aumenta, la capacidad absorbente de las piernas dobladas aumenta
mucho. La amplitud en la cabeza sólo es el 30 por
ciento de ia de la mesa a 5 Hz. Explíquese esto en
términos de la parte de alta frecuencia de la Fig. 9.18.
Lecturas adicionales
C. M. Harris y C. E. Crede (eds.), Shock and Vibration
Handbook, vol. 3, McGraw-Hill Book Co., New York.
1961, D. E. Goldman y H. E. von Gierke, Efectos de los
choques y vibraciones sobre el hombre, Capítulo 44.
S. Lippert (ed.) Human vibration Research, The Macmillan
Co., New York, 1963.
C. H. Bachman, Sorne Observations on the Process of Walking, The Physics Teacher, September 1976, p. 360. Movimiento del péndulo y su relación con el andar.
R, McNeill Alexander, Animal Mechanics, University of
Washington Press, Seattle, 1968. Capítulo 7.
J. Resnick and D. Haliday,Ffsica, CECSA, México 1980. El
capítulo 15 presenta una discusión matemática más completa del movimiento vibratorio, incluyendo un estudio
cuantitativo de las oscilaciones forzadas y las resonancias.
UNIDAD 3
Jen and Den Bartlell¡ !'hoto R.:searcher~.
222
CALOR
El estudio del calor y de las propiedades térmicas de
la materia es en realidad un estudio de la energía y de
los intercambios de energía. Los fenómenos del calor
pueden interpretarse sobre una base molecular; por
ejemplo, una sustancia caliente tiene un mayor grado de actividad molecular que una sustancia fría. La
temperatura puede interpretarse pues como una medida de la energía cinética de este movimiento.
En el primer capítulo de esta unidad (Capítulo 10)
desarrollamos la base molecular de los fenómenos térmicos y la temperatura. Ello se consigue considerando un modelo simplificado para los gases reales, el gas
ideal. Este modelo es una buena aproximación a los
gases reales a presiones y densidades bajas. Sorprendentemente, el modelo del gas ideal también proporciona una descripción muy buena de los fenómenos de
difusión y de ósmosis.
Mucho antes de que se comprendiera o se reconociera la relación entre la energía molecular y los fenómenos térmicos, se dedicó un gran esfuerzo al estudio
de lo que hoy se denomina termodinámica. Habiendo observado que las propiedades térmicas de los materiales se podían caracterizar por magnitudes tales
como la presión, el volumen y la temperatura, se vio
que podían hacerse predicciones generales y sorprendentes sobre cómo los sistemas intercambian energía
térmica y realizan trabajo. En la base de estos estudios
se hallan la primera y la segunda ley de la termodinámica, a las que dedicamos el Capítulo 11. Como ejemplo de la generalidad de la termodinámica, mostrarnos
cómo Carnot, en 1824, predijo el máximo rendimiento-·posible para una máquina térmica. Tales máquinas
se utilizan en los automóviles y en las centrales de energía eléctrica. El resultado de Carnot demuestra que el
223
224
rendimiento óptimo de tales máquinas sólo depende
de las temperaturas a las que opera. La termodinámica ha demostrado ser un tratamiento poderoso y útil
de muchos problemas. Ello resulta particularmente
evidente a los estudiantes de química, ya que la termodinámica se utiliza a menudo en el estudio de las reacciones químicas.
En el capítulo final de esta unidad examinamos las
propiedades térmicas de diversas clases de materiales.
Estudiamos la dilatación térmica, la absorción del caJor y los cambios de fase tales como la fusión o la vaporización. También discutimos los tres tipos de transporte del calor: conducción, convección y radiación.
Los fenómenos tratados en este capítulo son todos bien
comprendidos a nivel molecular. Sin embargo, no nos
concentramos en esta descripción molecular sino que
describimos, en términos de la temperatura, el transporte de energía desde un objeto a otro y sus efectos.
Unidad 3
CAPÍTULO 10
TEMPERATURA Y
COMPORTAMIENTO
DE LOS GASES
El concepto de temperatura juega un papel importante en las ciencias físicas y biológicas. Tal como veremos en este capítulo, ello se debe a que la temperatura de un objeto está directamente relacionada con la
energía cinética media de los átomos y las moléculas
que componen dicho objeto. Como en los procesos naturales intervienen a menudo cambios de energía, la
temperatura juega un papel importante en estos cambios.
En nuestra experiencia cotidiana esta misma idea
sigue siendo válida. Nuestra percepción de lo frío y lo
caliente es en realidad una medida de la rapidez con
que se efectúan cambios de energía entre diversos objetos. Al tocar un objeto caliente se produce una transferencia rápida y en ocasiones perjudicial de energía a
nuestro cuerpo.
En este capítulo analizamos en primer lugar diversas escalas de temperatura. La medición de la temperatura se basa en la variación de las propiedades físicas de los materiales con la temperatura. Los gases diluidos -aquellos cuya separación intermolecular media es muy grande comparada con las dimensiones moleculares, de forma que las fuerzas de interacción molecular no tienen importancia- se utilizan a veces para
medir la temperatura, porque ésta y la presión están relacionadas mediante una expresión muy simple denominada ley de los gases ideales. La ley de los gases ideales puede deducirse aplicando las leyes de Newton del
movimiento a un modelo que describe las moléculas
del gas como partículas que no interaccionan. Este análisis aclara también la relación entre temperatura y
energía y proporciona un marco donde discutir los
procesos de difusión y de ósmosis.
10.1
1
ESCALAS DE TEMPERATURA
Muchas propiedades físicas tienen siempre un mismo
valor a um temperatura dada. Por ejemplo, la longitud de una varilla varía con la temperatura, pero tiene
el mismo valor cada vez que se coloca en un recipiente en el que hay hielo y agua. Gracias a la reproducibilidad de los experimentos de esta naturaleza, esas propiedades pueden utilizarse para definir una escala de
temperatura.
Un termómetro corriente utiliza el volumen de una
determinada masa de mercurio para indicar la temperatura. Un tubo delgado de vidrio se conecta a un bulbo algo más grueso. El bulbo y parte del tubo se llenan de mercurio y en el resto del tubo se hace el vacío
y se sella. A medida que la temperatura aumenta, el volumen del mercurio aumenta más rápidamente que el
del bulbo, por lo cual el mercurio sube por el tubo.
Para calibrar el termómetro se toman en general
dos temperaturas de referencia y se divide el intervalo
entre ambas en un cierto número de divisiones iguales.
Así pues, podemos tomar los puntos de congelación y
de ebullición del agua a la presión atmosférica normal
como temperaturas de referencia y dividir el intervalo
entre ambas en cien partes iguales. Tendríamos entonces la escala Celsius (centígrada) de temperatura, siponemos el Oº C en la temperatura de congelación y el
100º C en la temperatura de ebullición. Esta escala es
225
226
Temperatura y comportamiento de los gases
de uso corriente en la mayor parte del mundo y se usa
mucho en el trabajo científico. La escala Fahrenheit
(° F) utilizada en los Estados Unidos y en otros países
se definió originariamente estableciendo corno Oº F la
menor temperatura alcanzada con una mezcla prescrita de agua-hielo-sal y tornando corno 96º F la temperatura del cuerpo humano. Debido a la variabilidad de
la temperatura del cuerpo, esta escala se volvió a definir posteriormente, de modo que el agua se congelara
a 32º F e hirviera a 212º F. La relación entre la temperatura Celsius Te y la Fahrenheit TFviene dada exactamente por la ecuación
( 10. l)
Por ejemplo, la temperatura normal del cuerpo humano es 98,6º F que corresponde en la escala Celsius a
T0
= ~(TF -
32º F)
- 32º F)
= ~(98,6º F
= 37,0 º c.
El procedimiento que acabarnos de explicar para
definir una escala de temperatura no esclarece el significado de la temperatura y depende de la elección del
material. Por ejemplo, supongamos que se escogiera la
longitud de una barra de acero para medir la temperatura, con el mismo calibrado utilizado anteriormente. Aunque los termómetros de mercurio y de acero
coincidirían forzosamente en ambos puntos de referencia, podrían diferir ligeramente en las temperaturas intermedias. En las secciones siguientes veremos cómo
estas dificultades pueden evitarse utilizando las propiedades de los gases para definir una escala de temperaturas.
Más adelante en este capítulo introduciremos una
tercera escala de temperatura, la escala Kelvin o absoluta. Esta escala está íntimamente relacionada con el
movimiento molecular y de aquí que se use ampliamente en el mundo científico.
10.2
1·
MASAS MOLECULARES
La energía cinética de una molécula depende de su
masa, y la energía cinética neta de.un conjunto de moléculas depende también de la masa de las moléculas.
Por consiguiente, la temperatura y la presión de un
conjunto de moléculas depende de la masa de las moléculas. Antes de discutir estas relaciones describiremos la masa molecular y el mol-gramo.
Incluso una muestra relativamente pequeña de un
gas puro contiene un gran número de moléculas. Algunos gases, tales como el helio (He) o el argón (A)
son monoatómicos, es decir, sus moléculas están formadas por un solo átomo. Las moléculas de los gases
poliatómicos tales como el oxígeno (0 2), el nitrógeno
(N2) y el amoníaco (NH 3) contienen dos o más átomos.
Las masas de los átomos y moléculas se han tabulado utilizando una escala definida de tal manera que
12
la masa de un átomo de C es exactamente 12 unidades de masa atómica (u). Se ha comprobado que
1 u = 1,660 X 10- 27 kg
(10.2)
12
Además del C, el carbono que se encuentra en la
naturaleza contiene una pequeña cantidad de 13C, que ·
posee un neutrón más en su núcleo. La masa media del
carbono natural es por tanto 12,011 u.
Las masas atómicas de los elementos aparecen tabuladas en el Apéndice A. La masa molecular (a veces denominada, de forma imprecisa, peso molecular)
de una molécula es la suma de las masas de sus átomos constituyentes en unidades de masa atómica. En
el siguiente ejemplo se calculan algunas masas moleculares.
Ejemplo 10.1
Hallar la masa molecular del dióxido de carbono
(C02) Ydel hidrógeno molecular (H2). Las masas atómicas del H , O y C son 1,008 u, 15,999uy12,011 u, respecti
vamente.
M(C02)
= M(C) + 2 M(O)
= 12,011 u+ 2(15,999 u)
= 44,009 u
M(H2)
= 2 M(H) = 2(1,008 u)= 2,016 u
Un mol gramo, o simplemente un mol, de una sustancia es una cantidad de la misma cuya masa en gramos es numéricamente igual a la masa molecular en unidades de masa atómica. Así pues, un mol de CO2 tiene una masa de 44,009 g y 20,16 g de H 2 son 10 moles.
Debido a esta definición, 1 mol de CO 2 contiene exactamente el mismo número de moléculas que 1 mol de
cualquier otra sustancia. El número de moléculas en 1
mol se denomina número de Avogadro NA, donde
NA
= 6.02 X 1023
moléculas mor1
(10.3)
De modo más general, si las partículas de una sustancia son iones o átomos en lugar de moléculas, o una
mezcla de varios tipos de partículas, un mol también
está formada por NA partículas.
Temperatura y comportamiento de los gases
227
La presión ejercida por un gas sobre las paredes del
recipiente que lo contiene se define de manera análoga. La Fig. 10.2 muestra un gas encerrado en un cilindro provisto de un émbolo de área A. El módulo de la
fuerza F que el gas ejerce sobre el émbolo dividido por
A es la presión P:
( 10.5)
(u)
Figura 10. 1
(a) Sección transversal de una muestra de fluido
en equilibrio con una porción esférica. (b) Algunas de las fuerzas necesarias para mantener el equilibrio cuando se retira la porción.
10.3 I PRESIÓN
Cuando nos referimos a la presión de un gas sobre las
paredes del recipiente que lo contiene, o a la presión
ejercida sobre un líquido para obligarle a fluir, pensamos generalmente en una fuerza. En realidad, la presión de un fluido (un líquido o un gas) está íntimamente relacionada con ella, pero no es lo mismo que una
fuerza. La presión está relacionada con el módulo de
las fuerzas que una porción de fluido ejerce sobre sus
alrededores en todas direcciones. Los alrededores pueden ser el resto de la muestra o las paredes del recipiente.
Para ilustrar el primer caso consideremos un fluido en equilibrio como en la Fig. JO.la. Supongamos
que deseamos retirar una porción esférica del fluido
sin que el resto se vea perturbado. Entonces tendríamos que aplicar, de algún modo, fuerzas como las que
se muestran en la Fig. 10. l b. Estas fuerzas reemplazarían al efecto real del fluido retirado y serían perpendiculares en cada punto a la superficie esférica.
La suma de los módulos de las fuerzas normales dividida por el área de la superficie es la presión media Psobre la superficie de la esfera:
p _ módulo de las fuerzas normales sobre la superficie
-
área de la superficie
FN
El gas ejerce una fuerza por unidad de área igual a
P en módulo y normal en cada punto a las paredes del
recipiente. Los métodos de medida de presiones se discuten en el Capítulo 13.
La unidad S.I. de presión es el pascal, y 1 Pa = 1 N
m-2 • La presión atmosférica normal es
1 atmósfera = 1 atm = 1,013 X 105 Pa
= 14,7 lb pulg-2
= 1,013 bar
= 760 tor
= 760mmHg
El bar y el milibar se emplean mucho en meteorología. El torro el milímetro de mercurio se usan en medicina y fisiología. La presión atmosférica normal soporta
una columna de mercurio de altura 760 mm = 0,76 m.
La relación entre fuerza y presión se utiliza en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 10.2
Un gas a 10 atm de presión se halla en un recipiente
cúbico de 0,1 m de lado. Si la presión exterior es la atmosférica, ¿cuál es la fuerza neta sobre una pared del recipiente?
La fuerza debida al gas del interior es
F. = PiA = (10 atm)( 1,013 x
= 1,013 X
105 Pa atm-1 )(0,1 m)2
104N
La fuerza exterior debida a la atmósfera es
(10.4)
F0 = P0 A = (1,013 X 105 Pa)(0,l m) 2
= 0, 1013 X 104 N
Para obtener la presión P en un punto reduciremos
la esfera imaginaria hasta que su radio y su área sean
arbitrariamente pequeños.
La fuerza neta hacia afuera es la diferencia
=
A
F¡ - Fa
= 1,013
X 104 N - 0,1013 X 104 N
4
N
= 0,912 X 10
- - - - - -¡: --;'~~-_/ \
---•-►
'/11 '+::,
_ _ _ \ J __}\ I
____ _
Figura 10.2 La presión sobre el émbolo es igual a la fuerza F
ejercida sobre él por el gas dividida por el área A del émbolo.
En este ejemplo, la fuerza sobre la pared es proporcional a la diferencia entre la presión interna P, y
la presión atmosférica P•. La diferencia P, - P. se denomina presión manométrica del gas. Por ejemplo, el
Temperatura y comportamiento de los gases
228
aparato que mide la presión de los neumáticos da directamente la presión manométrica. En este libro, el
término «presión» sin ningún calificativo designará
siempre la presión absoluta y no la presión manométrica.
10.4 I LA LEY DE LOS
GASES IDEALES
El concepto de gas ideal se desarrolló a mediados del
siglo pasado como el modelo más simple al que los entonces nuevos métodos de la teoria cinética podían aplicarse. Casualmente los resultados de los cálculos con
este modelo estaban en completa concordancia con el
comportamiento observado de los gases reales diluidos, es decir, gases a presiones y densidades bajas.
En el modelo de gas ideal se supone que las moléculas son partículas puntuales que en modo alguno
colisionan o interaccionan entre sí. Cada molécula se
mueve en línea recta hasta que choca con las paredes
del recipiente y retrocede. Con estas hipótesis y las leyes de Newton del movimiento (ver Sección 10.9) se
puede predecir cómo están relacionados la presión P,
el volumen V y la temperatura Te de un conjunto de
moléculas. Los cálculos predicen que el producto PV
debe estar relacionado con la temperatura Celsius en
la forma
PV = aT0
+b
(10.6)
donde a y b son constantes que se determinan experimentalmente.
La Ec. 10.6 predice que el producto de P por V varía linealmente con la temperatura. La Fig. 10.3 muestra la recta PV = aTe + b a P constante y con valores
de a y b escogidos para que ajusten los datos. Obsérvese que en la gráfica aparece una temperatura mínima; cualquier intento para bajar la temperatura por debajo de Te= - 273,15º C exigiría que el volumen del
gas se hiciera negativo, lo cual es una clara imposibilidad. La existencia de este mínimo o cero absoluto de
temperatura hace conveniente definir una temperatura absoluta o temperatura Kelvin, T, medida a partir del
cero absoluto. Así
T
= T0 + 273,15
Los incrementos de temperatura en esta escala son los
mismos que en la escala Celsius (l° C = 1 K), pero T
= OK (cero Kelvin) representa la temperatura mínima.
(Nótese que el símbolo de grado º no se escribe cuando se trata de temperaturas Kelvin.) Extensos estudios
han confirmado que no existe proceso que pueda ser
utilizado para conseguir temperaturas po.r debajo de T
= O K, aunque se han llevado a cabo experimentos a
unas pocas millonésimas de Kelvin de esta temperatura. En la Tabla 10.1 se dan algunas temperaturas Kelvin típicas.
TABLA 10.1
Temperaturas Kelvin a las que tienen lugar fenómenos físicos y biológicos típicos
Descripción
V
P = constante
-273,ISºC
,,~
-300 -200 -100
(ºC)
O
100
200
300
400
500
Te
Figura 10.3
El volumen de un gas disminuye uniformemente
cuando disminuye la temperatura. La recta de trazo continuo une
puntos que corresponden a datos experimentales y la de trazo discontinuo es la extrapolación a volumen cero. Esta recta corta al eje
de temperaturas a -273,15° C.
(10.7)
Cero absoluto
Punto de fusión del nitrógeno
Congela la gasolina
Hielo seco (congela al CO2)
Congela el agua
Ardilla en hibernación
Temperatura corporal en el hombre
Temperatura corporal en las aves
Hierve el agua
Fuego de chimenea
Funde el oro
Llama de gas (estufa)
Superficie del Sol
Centro de la Tierra
Centro del Sol
T
o
67
123
195
273,15
275
310
315
373,15
1 100
1 336
1 900
6 000
16 000
101
229
Temperatura y comportamiento de los gases
Utilizando la temperatura Kelvin y la pendiente de
la recta de ra Fig. 10.3 para hallar a y b, la ley de los gases ideales PV =aTc +b puede escribirse de nuevo en la
forma
PV = nRT
p
PV
(I0.8)
. donde n es la cantidad de gas presente expresada en moles y R, llamada la constante universal de los gases, es
V
= 8,314 J mor1 K-1
R
(a)
V
(b)
= 0,08207 litro atm mor 1 K- 1
Figura 10.4
Según la ley de Boyle, para un gas a temperatura
fija, (a) Pes inversamente ¡>roporcional a V, o (b) PV es constante.
(l litro = 10-3 m3 = 103 cm3)
La definición de una escala de temperatura mediante la ley de los gases ideales tiene la ventaja de que no
depende de las propiedades específicas de un material
determinado, como el mercurio o el acero. Los termómetros de gas se mantienen en los laboratorios como
patrones y se utilizan para calibrar termómetros más
convenientes, como los termómetros de mercurio. Otra
ventaja importante de definir la temperatura de este
modo es que nos permite relacionar la temperatura con
magnitudes moleculares, como veremos en la próxima
sección.
Las condiciones normales para un gas son, por definición, P = 1 atm y Te = Oº C. El siguiente ejemplo
esclarece una propiedad importante de los gases ideales en condiciones normales.
Ejemplo 10.3
¿Cuál es el volumen de un mol de gas ideal en condiciones normales?
Según la Ec. 10.7, T =Te + 273,15 = 273,15 K. La ley
de los gases ideales da entonces
Esta es la ley de Bayle, descubierta por Robert Boyle
(1627-1691) mucho antes de que se desarrollara el modelo de gas ideal.
Si la presión es constante, la ley de los gases ideales establece
r =constante
V
(10.10)
que es la ley de Charles, descubierta por Jacques Charles (1746-1823) y Joseph Gay-Lussac (1778-1850). Esta
ley establece que a presión constante un incremento en
volumen es proporcional a un incremento en la temperatura.
En síntesis, todos los gases reales satisfacen muy satisfactoriamente la ley de los gases ideales si se hallan
suficientemente diluidos. La ley de los gases ideales
también proporciona una buena aproximación al comportamiento de los gases reales a presiones y temperaturas moderadas.
V= nRT
p
=
=
(1 mol)
1 atm
(0,08207 litro atm mor' K- 1)(273,15 K)
22,4 litros
Así pues, en condiciones normales, un mol de un gas ideal
ocupa 22,4 litros.
A menudo en experimentos o en aplicaciones se
mantiene constante la presión, el volumen o la temperatura de una cantidad dada de gas. Si la temperatura
es constante, la ley de los gases ideales predice
(Fig. 10.4).
PV = constante
(T constante)
(10.9)
10.5
1
MEZCLAS DE GASES
Muy a menudo, particularmente al considerar los procesos que dan soporte a la vida, debemos tratar con
mezclas de gases. Por ejemplo, cada mol de aire seco
contiene 0,78 moles de nitrógeno (N 2), 0,21 moles de
oxígeno (02) , 0,009 moles de argón, 0,0004 moles de
dióxido de carbono y trazas de varios otros gases. Estas proporciones son casi constantes hasta una altitud
de 80 km.
El tratamiento de las mezclas de gases diluidos se
ve simplificado por el hecho de que cada constituyente se comporta como si los otros no estuvieran presentes. Esto se sigue del modelo de gas ideal en el que su:
230
Temperatura y comportamiento de los gases
ponemos que las moléculas no interaccionan entre sí.
De este modo, admitamos que tenemos n{O 2) moles de
oxígeno y n{N2) moles de nitrógeno en un volumen V
de aire a una temperatura T. Las presiones parciales
de oxígeno y nitrógeno, P(02) y P{N2), habrán de satisfacer cada una la ley de los gases ideales
P(0 2) V
P(N2)V
= n(02 )RT
(10. 11)
= n(N )RT
2
La presión total P (si se ignoran las pequeñas cantidades de los otros gases presentes) del aire es la suma P
= P{02) + P(N2). El número de moles de aire es n =
n(02) + n{N2), de modo que sumando las Ecs. (10.11)
recuperamos para el aire PV = nRT.
La presión parcial de oxígeno es fácil de calcular si
se conoce la presión total del aire, como se muestra en
el ejemplo siguiente.
Ejemplo 10.4
¿Cuáles son las presiones parciales del oxígeno al nivel del mar y a una altitud de 7000 m, donde la presión
del aire es 0,45 atm?
Dividiendo P(O 2)V = n(O2)RT por PV = nRT tenemos
al nivel del mar, donde P = l atm,
P(O 2)
n(O2)
- p - = - n-
=
0,21 mol
l mol
= 0 •21
Así P(02) = 0,21 atm. El cociente es el mismo a 7000 m,
pero P = 0,45 atm, de modo que P(02 ) = (0,21)(0,45 atm)
= 0,096 atm, menos de la mitad de la presión a nivel del
mar.
La cantidad de un gas presente en nuestros cuerpos es directamente proporcional a la presión parcial
del gas en el aire que respiramos. Así, cada vez que
cambia la presión del aire lo hace el contenido de oxígeno y nitrógeno de ·nuestros cuerpos. Esto es de gran
importancia para los buzos.
·
A medida que un buzo desciende, la presión del
agua aumenta rápidamente. La presión del aire que el
buzo inhala también aumenta, ya que las presiones
dentro y fuera del cuerpo deben permanecer iguales.
Por ejemplo, la presión a 10,3 m por debajo de la superficie de un lago es 2 atm, y las presiones parciales
del oxígeno y del nitrógeno en los pulmones de un buzo
deben ser doble de las normales. Este aumento en la
presión del nitrógeno puede causar problemas porque
el nitrógeno es mucho más soluble en la sangre y en
los tejidos que el oxígeno.
Cuando el buzo de este ejemplo respira el aire a alta
presión, la cantidad de nitrógeno en los tejidos y la san:- .
gre aumenta gradualmente hasta un nivel doble del
normal. Si el buzo asciende ahora a la superficie demasiado deprisa, la presión parcial externa del nitrógeno desciende y el exceso de nitrógeno en el cuerpo
abandona la solución. Pero como no puede escapar rápidamente, forma burbujas en los tejidos y en el torrente sanguíneo produciendo los graves síntomas de la aeremia. Un ascenso lento y una descompresión gradual
evitan este problema.
10.6
I TEMPERATURA Y ENERGÍAS
MOLECULARES
La ley de los gases ideales, PV = nRT, se obtuvo origi.nariamente a partir de diversos tipos de experimentos.
Sin embargo, también es posible construir un modelo
teórico de gas qoe explique la ley de los gases ideales.
Una consecuencia de este modelo es la identificación
directa de la energía cinética media de las moléculas
del gas con la temperatura Kelvin.
En el modelo del gas ideal consideramos las moléculas como partículas que nunca chocan entre sí, sino
sólo con las r:.redes del recipiente. Dichas colisiones
se suponen elásticas, de tal forma que las moléculas no
pierden energía, pero cambian de dirección. El cambio
de dirección conlleva un cambio en el ímpetu de las moléculas, y esto significa que hay una fuerza de reacción
sobre las paredes del recipiente. La fuerza media por
unidad de área ejercida por las moléculas sobre las.paredes es la presión del gas.
En la Sección 10.9 utilizamos este modelo para deducir la expresión de la presión en las paredes debida
a las colisiones de las moléculas. El resultado de este
cálculo es que el producto de la presión por el volumen, PV, se relaciona con la energía cinética media de
las moléculas, {Edmed, como
(10.12)
Aquí n es el número de moles de gas presentes,.N A es
el número de A vogadro, m es la masa de una molécula y
(10.13)
Temperatura y comportamiento de los gases
231
2
La cantidad (v )med se denomina media cuadrática
de las velocidades y representa el valor medio de v2•
Si comparamos estos resultados del modelo con la
ley de los gases ideales, PV = nRT, tenemos
nRT
Número
relativo
de moltculas
T= 300 K
= JnNiE,)med
Así pues
(10.14)
La razón kB = (RINA) se denomina constante de Boltzmann y tiene el valor
kB
= 1,38 X 10-23 J K -l
Este resultado es sumamente importante. Nos da una
interpretación directa de la temperatura absoluta en
términos de la energía cinética media de las moléculas
de un gas.
La energía térmica k BT es un factor que aparece en
todas partes dentro de las ciencias de la naturaleza. Conociendo la temperatura podemos tener una medida
directa de la energía disponible para iniciar procesos
químicos, físicos y biológicos.
También podemos utilizar las Ecs. 10.13 y 10.14
para identificar lo que se denomina velocidad cuadrática media (cm) de las moléculas a una temperatura
dada. Con la velocidad cuadrática media definida como
2
2
( Vcm) = (V )med, tenemos
Vcm
= · \/P) = /
-
2
{i5:; = {3k;T
m
-J-;;;-
o
Las moléculas individuales de un gas pueden tener velocidades mucho mayores o mucho más pequeñas. Sin
embargo, tal como se muestra en la Fig. 10.5, hay una
velocidad a la que se encuentra el máximo número
de moléculas a una temperatura dada. Los picos de dichas curvas se presentan a velocidades ligeramente inferiores a Vcm• Así pues, en un sentido aproximado, podemos interpretar Vcm como una velocidad típica de las
moléculas del gas.
Estas relaciones nos permiten calcular la energía
molecular media y la velocidad cuadrática media de las
molécul~s en un gas ideal a una temperatura dada.
Ejemplo 10.5
(a) ¿Cuál es la energía cinética media de una molécula de hidrógeno a 27º C = 300 K? (b) ¿Cuál es su velocidad cuadrática inedia?
4000
6000
Figura 10.5 Distribución de velocidades moleculares del hidrógeno diatómico H 2• A temperaturas más elevadas la velocidad
máxima es mayor y hay una mayor dispersión.
(a) Según (Ec)m,d = ½ k 8 T
=f (1,38 X 10-23 J K-1)(300 K)
=6,21 X 10-21 J
(b) En el Ejemplo 10.1 hallamos que la masa molecular del H 2 es
2,016 u= (2,016 u)(l,66 X 10-27 kg u- 1)
= 3,35 X 10-27 kg
Así pues, utilizando
Vcm ,
(10.15)
2000
=
Vcm
= V2(E,)med,/m,
2(6,21 X 10-21 J)
(3,35 X 10-21 kg)
= 1930 m s
_1
En el Ejemplo 10.5 hemos calculado (Ec)med y Vcm
para la molécula de H 2 • Nuestros cálculos son correctos para el movimiento de traslaci6n, pero esta molécula también p~ede vibrar y girar, y cada uno de estos
movimientos tiene su energía cinética. En las ecuaciones que hemos desarrollado, (Ec)med debe interpretarse solamente como energía cinética de traslación.
Dos procesos que dependen- de la energía térmica
y que son muy importantes en sistemas biológicos son
la 6smosis y la difusión. Ambos pueden entenderse a
partir de la teoría cinética de los gases ideales y se describen en las dos secciones siguientes.
10.7 I DIFUSIÓN
Cuando se pulveriza un perfume en el aire, el olor llega paulatinamente a todas las partes de la habitación.
Análogamente, cuando se echa una gota de colorante
232
Temperatura y comportamiento de los gases
Figura 10.6 Un recipiente de aire tiene algunos átomos de helio soltados dentro de él en A. Los átomos de helio se extienden, y
en un cierto instante trazamos una superficie hemisférica imaginaria que separa aproximadamente las regiones de concentración alta
y baja en helio.
Figura 1 O. 7
Movimiento errático de un átomo. En promedio
la distancia / es proporcional a la raíz cuadrada del número de pasos
en línea recta.
en un disolvente, éste se extiende lentamente por todo
el recipiente, aunque tengamos un cuidado extremo er
no agitar ni perturbar el líquido. Este proceso lente
por el que se propagan las moléculas se denomina difu•
sión.
Podemos visualizar el proceso de difusión para un
gas típico refiriéndonos a la Fig. 10.6. Una pequeña
cantidad de gas helio se suelta en el punto A de un recipiente lleno de aire. En un momento determinado, dibujamos una superficie hemisférica imaginaria de forma que la mayor parte de átomos de helio queden en
el interior de la superficie y muy pocos fuera de ella. Estos átomos de helio se hallan en un constante moví-•
miento errático, chocando con las moléculas de aire,
otros átomos de helio y las paredes. Un cierto número
de átomos de helio cruzará esta superficie imaginaria
de dentro afuera, y otros de fuera adentro. Como la
mayor parte de los átomos de helio se hallan dentro,
habrá más átomos de helio que pasen de dentro afuera, aumentando así el número de átomos del exterior.
Vemos que hay un flujo neto de átomos de helio desde A hacia el resto del recipiente. Este flujo desde concentraciones más altas a concentraciones más bajas es
la difusión.
La distancia media en que se difunden los átomos
de helio aumenta con el tiempo, pero de forma curiosa. Considérese el recorrido de un átomo típico tal
como el que se muestra en la Fig. 10.7. El átomo efectúa muchas colisiones y cambia muchas veces de dirección. A menudo, el efecto de una línea recta o paso
es anulado aproximadamente por un paso posterior.
En promedio, la distancia/ desde el punto inicial Oaumenta, pero mucho más lentamente que el número de
pasos NP. Cuando se aplican métodos estadísticos a dicho camino se comprueba que / aumenta como la raíz
2
cuadrada del número de pasos, es decir, / ex: NP. Como
el número de pasos es proporcional al tiempo, J2 es proporcional a t. Este resultado para el caso de un movimiento errático es muy diferente de la relación / ex: t que
se cumple para el movimiento rectilíneo uniforme.
Convencionalmente, más que J2 ex: t se acostumbra
a escribir una ecuación para el desplazamiento cuadrá2
tico medio x cm en una dirección,
X~m
= 2Dt
(10.16)
donde D se denomina constante de difusión. Paralcm
y z2cm se cumplen ecuaciones análogas. El valor de D depende de la naturaleza del átomo o molécula que se difunde y del disolvente o medio (Tabla 10.2). El siguiente ejemplo numérico muestra la lentitud del proceso de
difusión en una situación típica.
Ejemplo 10.6
¿Cuánto tardará una molécula de hemoglobina en difundirse 1 cm = 10-2 m en agua?
Utilizando la Ecuación 10.16. con D = 6,9 X 10- 11 m2
1
s- y x = 10-2 m, tenemos
X ~m
(IQ-2 m)2
t = 2D = ·2(6,9 X 10- 11 m2 s- 1) = 7,24 X 105 s
Esto equivale a 201 horas, es decir, ¡unos 8,4 días!
Si bien la difusión es un proceso lento, constituye el
principal mecanismo utilizado por el cuerpo para la absorción y distribución de las sustancias que las células
necesitan para vivir. La eliminación de los subproductos de la función celular, tales como el dióxido de carbono, también se realiza por difusión.
Como se ha descrito en la Sección 10.5 es el lento
proceso de la difusión lo que determina la tasa de ab-
233
Temperatura y comportamiento de los gases
sorción y eliminación del nitrógeno durante la inmersión. La difusión es también un factor importante en la
conducción nerviosa, como veremos en el Capítulo 18,
y es el factor de control en la ósmosis que estudiamos a
continuación.
10.8
1
DISOLUCIONES DILUIDAS:
PRESIÓN OSMÓTICA
El comportamiento de los gases reales puede aproximarse a menudo de forma satisfactoria mediante la ley
de los gases idéales, que se deduce de un modelo que
considera las moléculas como pequeñas esferas que no
interactúan. De forma algo sorprendente, la presión osmótica de las disoluciones diluidas también puede predecirse con precisión utilizando una forma de la ley de
los gases ideales.
La Fig. 10.8 esclarece el significado de la presión osmótica. El recipiente exterior contiene agua y el interíor se llena inicialmente hasta la misma altura con una
disolución de azúcar en agua. Las moléculas de agua
pueden pasar libremente a través de la membrana, pero
las.moléculas de azúcar, de mayor tamaño, no pueden
atravesarla. Como la membrana es permeable a las moléculas de agua e impermeable a las moléculas de azúcar, la denominaremos semipermeable.
Como la concentración de moléculas de agua es
mayor en el recipiente exterior, hay una difusión neta
de moléculas de agua hacia el recipiente interior, que
TABLA 10.2
Valores típicos de la constante de difusión Da 20ºC =
293 K
Molécula
Hidrógeno (H2)
Oxígeno (02)
Oxígeno (02)
Glucosa (C6H 12O 6)
Hemoglobina
DNA
_ _.,..,..._--¡-Mcmbrana--t---.......__
/
Agua pura
~
......
1¡
--------
= (P + P,)- P.º
1
0
Agua pura
,~
Figura 10 .8 (a) Inicialmente el nivel de agua del recipiente exterior y el de la disolución de azúcar del recipiente interior son iguales. (b) La membrana del fondo del recipiente interior-no es permeable a las moléculas de azúcar. Las moléculas de agua penetran en el
recipiente interior hasta alcanzar el equilibrio en el que el nivel de la
disolución de azúcar es más alto que el del agua pura.
6.4
1.8
1.0
6.7
6.9
1.3
X
X
X
X
X
X
10-5
10- 5
10-9
10-10
10- 11
10-12
(10.17)
Si suponemos que el flujo neto de agua a través de la
membrana se detiene cuando son iguales las presiones
del agua, y que el azúcar obedece la ley de los gases
ideales, obtenemos
1
......
D(m2 s-1)
eleva el nivel de la disolución hasta que se alcanza un
nivel de equilibrio (Fig. 10.8b). Cuando esto ocurre, el
mismo número de moléculas de agua atraviesa la membrana en una y otra dirección. La presión adicional justo encima de la membrana debido al peso de la columna de disolución recibe el nombre de presión osmótica,
1r. En otras palabras, la presión osmótica es la presión
extra que se debe aplicar para detener el flujo de a~a
hacia la disolución.
La presión osmótica puede predecirse a partir de
un modelo sorprendentemente sencillo. Asociamos
una presión P,.° con el agua pura del recipiente exterior
y una presión P.; con el agua del recipiente interior. El
azúcar del interior tiene una presión P,, de modo que
la presión total en el interior es P,Í + P,. En equilibrio
(Fig. 10.8b), la diferencia de presión a través de la membrana es la presión osmótica,
1r
--- ---- ......
Disolvente
Aire
Aire
Agua
Agua
Agua
Agua
7T
= p = nRT
•
V
(10.18)
donde n es el número de moles de azúcar y V es el volumen de fluido en el recipiente interior.
Este curioso resultado puede interpretarse como
una indicación de que, en la disolución diluida, las moléculas de azúcar se comportan como un gas ideal. Resulta que como las· moléculas de azúcar chocan raramente las unas contra las otras, aunque se hallan casi
234
Temperatura y comportamiento de los gases
constantemente en colisión con moléculas de a~ua, se
comportan como partículas no interactivas. Esta es
precisamente la hipótesis básica del modelo de los gases ideales.
A veces resulta conveniente escribir la ecuación de
la presión osmótica en función de la concentración del
soluto. Si hay n moles de soluto en un volumen V de
disolución, la concentración es
( IO. 19)
Las unidades S.I. de c son moles por metro cúbico. La
presión osmótica viene dada entonces por
,,, = cRT
(10.20)
El ejemplo siguiente muestra la utilización de este resultado y esclarece el papel que juega la ósmosis en los
arces.
Ejemplo 10.7
La savia sube a principios de primavera en los arces
como resultado de la diferencia de presión osmótica entre la disolución de azúcar (savia) del interior del árbol y
el agua del suelo de alrededor de las raíces. La savia contiene un 1 por ciento en peso de sacarosa (C12H220 11) en
agua. Suponiendo que la temperatura es de 27º C, hallar
(a) la concentración en moles m-3 ; (b) la presión osmótica; (c) la altura que sube la savia.
(a) La masa molecular de la sacarosa es 12(12 u) +
22(1 u)+ 11(16 u)= 342 u, por lo cual un mol tiene 342
g de masa. Un metro cúbico de disolución tiene aproximadamente la misma masa que 1 m3 de agua, o sea, 103
kg. La masa de la sacarosa es un 1 por ciento, es decir,
10 kg = 104 g. Así pues, 1 m3 de disolución contiene 104
g/(342 g mor1) = 29,2 moles de sacarosa. Su concentración es 29,2 moles m-3•
(b) La presión osmótica es
1r=cRT
= (29,2 moles m-3)(8,314 J mor1 K-1)(300 K)
= 7,28 X 104 Pa
(c) El peso de la columna de savia dividido por el área
A de su base es igual a la presión osmótica. El peso puede
escribirse como w = pVg, donde pes la densidad de la savia
y es aproximadamente la del agua, 1000 Kg m-3• Si la altura del árbol es h, V = Ah, y
'1T
w
pAhg
= - = - - =phg
A
A
Entonces
h _ .!!.... _
7,28 X 104 Pa
_ 7 43 m
- pg - (1000 kg m - 3)(9,8 m s-2) - '
La concentración de azúcar en los arces puede ser mayor que un 1 por ciento y puede ser que la ósmosis sea la
responsable principal del ascenso primaveral de la savia
en los arces. En la mayoría de los demás árboles, la concentración de soluto que no pasaría a través de la pared
de las raíces es muy inferior. En estos casos, la presión osmótica es insuficiente para explicar el movimiento de fluidos en los. árboles. En el Capítulo 15 discutiremos otro
mecanismo para este transporte de fluidos.
La ósmosis es extremadamente imp ortante para la
comprensión de una gran variedad. de procesos biológicos. Los tejidos de las plantas y de los a nimales están compuestos de células que contienen disoluciones
complejas. En ellas están presentes solutos que pueden
pasar a través de la membrana celular junto con solutos impermeables. Los fluidos que rodean las células
son también disoluciones complejas de composicio nes
muy diversas. En equilibrio, las presiones osmóticas totales debidas a las moléculas y iones impermeables ha
de ser la misma en el interior y en el exterior de la célula, o la diferencia de presiones osmóticas hará que el
agua entre o salga de la célula, junto con los solutos
permeables.
Para mostrar esto, supongamos que una persona
·bebe una gran cantidad de agua. El agua entra en la
sangre, reduciend<> por consiguiente la concentración
de los solutos con respecto al tejido del cuerpo. Por lo
tanto, los tejidos del cuerpo toman agua. El flujo de
agua en los riñones también aumenta, debido al aumento de la diferencia de presiones osmóticas. Los riñones excretan entonces orina más diluida hasta que
la concentración de la sangre vuelve a su valor de equilibrio. Por el contrario, una persona con fiebre elevada puede perder una gran cantidad de agua de los tejidos y por consiguiente de la sangre hasta que resulte
imposible que los riñones absorban agua y solutos permeables.
Los fluidos que se suministran a los pacientes poi:
vía intravenosa se ajustan en general de tal manera que
sus concentraciones de solutos impermeables y sus presiones osmóticas se equilibren con las de los tejidos. Tales soluciones se denominan isotónicas. Si una célula
se coloca en una disolución con una concentración menor de solutos impermeables habrá tendencia a que el
agua penetre en la célula. Un glóbulo rojo tiene pare-
235
Temperatura y comportamiento de los gases
des relativamente rígidas. Al colocarlo en agua pura se
produce un flujo entrante de agua que eleva la presión
interior, ya que la célula casi no puede dilatarse. El
equilibrio se alcanzaría a 8 atm, pero en general las células se rompen antes de llegar a esta presión. Las células que pueden cambiar fácilmente de volumen se expandirán o se contraerán al ser colocadas en soluciones que no sean isotónicas.
Presión osmótica y energía
I
Recientemente ha renacido el interés por la diferencia de presión osmótica entre el agua dulce y el agua del mar. En la desembocadura en el mar de un caudaloso río, la gran diferencia de presión osmótica combinada con las enormes cantidades de agua implicadas sugiere que puede
extraerse energía en cantidades importantes.
En su forma más simple podemos imaginar un aparato como el de la Fig. 10.8 donde el agua pura es el
agua del río y la disolución el agua del mar. A medida
·q ue el agua dulce pasa a través de la membrana, la disolución se vierte en la parte alta del cilindro de tal manera que el flujo no se detenga. La concentración de
la disolución puede mantenerse constante ya que el volumen de agua dulce es pequeño comparado con el volumen de agua del mar. Empleando una turbina podría extraerse energía a partir del agua que fluye. Reqordando del Capítulo 6 que la potencia es la fuerza
por la velocidad, CP =Fv, y escribiendo la fuerza como
la presión por el área, tenemos que la potencia y la presión están relacionadas por
<J>
= PAv
(10.21)
donde Pes la presión osmótica, A el área de la membrana y v la velocidad de flujo. En el ejemplo siguiente hacemos una estimación de la potencia disponible
en la desembocadura de un río principal.
Ejemplo 10.8
El agua del mar contiene aproximadamente 1000 moles m- 3 de iones de sal. La desembocadura de un típico
río principal tiene un área transversal de 900 m2 y una ve1
locidad media de flujo de 0,5 m s- • (a) ¿Cuál es la presión osmótica en la confluencia del agua dulce con la del
mar? (b) ¿Cuál es la potencia disponible? (Suponer una
temperatura de 300 K.)
(a) La presión osmótica se halla a partir de
rr
= cRT
= (1000 mol m-3)(8,314 J mor1 K-1X300 K)
= 2,5 X 106 Pa
¡Esta presión es casi 25 atmósferas!
(b) Utilizando la Ec. 10.21,
= (2,5 X 106 PaX900 m2X0,5 m s-i)
= 1,125 X 109 W = 1125 MW
<J> = PAv
Esta es aproximadamente la potencia de salida de las
centrales térmicas muy grandes o nucleares.
En la práctica el aprovechamiento de esta energía
no es fácil. Por ejemplo, las dificultades para construir
una membrana de tamaño apropiado y su mantenimiento en condiciones operativas imposibilitarían su
uso. Sin embargo, esta energía puede todavía ser aprovechable empleando diferencias de presión de vapor entre el agua dulce y la del mar, lo cual no implica el uso
de membranas.
RESUMEN
La temperatura es una medida de la energía mecánica
de traslación media de las moléculas de una sustancia.
La escala de temperatura que más directamente caracteriza la energía es la escala Kelvin, cuyo origen es el
cero absoluto.
Las masas atómicas y moleculares se miden en unidades de masa atómica, donde la masa de un átomo
de 12C se define exactamente como 12 u: Un mol de
cualquier sustancia es una cantidad cuya masa en gramos es numéricamente igual a su masa molecular en
unidades de masa atómica y que contiene un número
de moléculas igual a NA, el número de Avogadro.
La presión de un gas o un líquido es la fuerza que
ejerce por unidad de área sobre sus alrededores o sobre las paredes del recipiente que le contiene.
El modelo de gas ideal supone que las moléculas gaseosas no interaccionan entre sí. El modelo predice que
la presión, el volumen, la cantidad de gas y la temperatura están relacionadas por
PV = nRT
La ley de los gases ideales se verifica muy bien para gases reales diluidos.
Cuando un gas real diluido está compuesto de varios tipos de moléculas, la presión neta es justo la suma
de las presiones de gas ideal para cada tipo de molécula. El modelo de gas ideal lleva asimismo a la identificación de la temperatura Kelvin con la energía cinética media por molécula
Temperatura y comportamiento de los gases
236
(Ec)mcd = ~kB T
Las moléculas se difunden lentamente desde las regiones de elevada concentración a las de baja concentración. La distancia cuadrática media de difusión en
una dirección, Xcm , se relaciona con el tiempo mediante
x\m = 2Dt
, La difusión ta'mbién juega un papel en el flujo osmótico de los fluidos a través de membranas semipermeables. El fluido permeable fluirá entre las regiones
de distinta concentración como si hubiera una diferencia de presión a través de la membrana igual a la presión osmótica,
7T
= cRT
donde e es la concentración del soluto impermeable.
Lista de repaso
Definir o explicar:
Celsius (centígrado)
Fahrenheit
masa molecular
mol
número de A vogadro
presión
presión absoluta,
manométrica
gas diluido
gas ideal
temperatura Kelvin
cero absoluto
presión parcial
constante de Boltzmann
velocidad cuadrática
media
difusión
constante de difusión
ósmosis
presión osmótica
movimiento errático
membrana semipermeable
concentración
soluto
isotónica
CUESTIONES DE REPASO
Q 10-1 Para usar como termómetro, una sustancia
debe tener una propiedad característica que cambie
con ........ .
Q 10-2 La escala Fahrenheit está basada en la definición de ......... temperaturas fijas y reproducibles.
Q 10-3 La unidad de masa atómica se escoge de
manera que la masa de un átomo de 12C sea exactamente ........ .
Q 10-4 La masa molecular es la suma·de las ........ .
Q 10-S La unidad S. l. de presión es el pascal, que es
1 ......... por.........
.
Q 10-6 Los empleados de una estación de servicio
comprueban que los neumáticos tengan la presión
......... correcta.
Q 10-7 Un conjunto de moléculas y/o átomos que
no interaccionan es ........ .
Q 10-8 Bajo ciertas condiciones, los gases ......... se
comportan como gases ....... ..
Q 10-9 A presión constante, el cero absoluto es la
temperatura extrapolada a la que el ......... se hace
cero.
Q 10-10 Las leyes de Boyle y de Charles son casos
especiales de la ley de .........
Q 10-11 Para un gas con varios tipos de moléculas,
la presión total es la ......... de las presiones parciales.
Q 10-12 La cantidad de gas disuelto en un líquido
en contacto con el gas es directamente proporcional
a ......... del gas.
Q 10-13 La constante de Boltzmann K8 es la constante de proporcionalidad que relaciona .. ....... y
......... de las moléculas del gas.
Q 10-14 La velocidad cuadrática media de las moléculas de un gas es proporcional a la ......... de la
temperatura Kelvin. '
Q 10-1S La difusión ocurre desde regiones de .........
concentración a regiones de ......... concentración.
Q 10-16 Una membrana ......... es aquella a través
de la cual sólo pueden pasar cierto tipo de moléculas.
Q 10-17 En la ecuación de la presión osmótica ésta
se presenta como si las moléculas del soluto se comportaran como un .........
Q 10-18 Una disolución con las mismas concentraciones de solutos a ambos lados de una membrana
semipermeable es ....... ..
EJERCICIOS
Sección 10.1
1
Escalas de temperatura
10-1 ¿Qué temperatura de la escala Celsius corresponde a 100º en la escala Fahrenheit?
10-2 ¿Qué temperatura de la escala Fahrenheit
corresponde a 50º en la escala Celsius?
10-3 ¿A qué temperatura coinciden las lecturas de
la escala Celsius_y la escala_Fa_!lrenheit?
237
Temperatura y comportamiento de los gases
10-4 ¿Qué temperatura de la escala Celsius corresponde a los 105º F ; una temperatura peligrosamente alta para los seres humanos?
Sección 10.2
1
Masas moleculares
Consúltese el Apéndice A cuando se necesiten masas atómicas.
10-5 Hallar la masa molecular del HCI.
10-6 En un experimento tosco se halla que la masa
molecular del NHJ es de 17 ,5 u . Si para la masa
del hidrógeno se utiliza el valor correcto, ¿cuál es la
masa atómica del nitrógeno a partir de este experimento?
10-7 ¿Cuál es la masa de dos moles de H2?
10-8 ¿Cuál es la masa de 0,3 moles de amoníaco,
NH3? (La masa molecular del NH 3 es 17,03 u.)
10-9 ¿Cuántas moléculas hay en tres moles de sacarosa?
10-10 ¿Cuántas moléculas hay en 0,7 moles de mercurio?
10-11 ¿En cuántos moles de tetracloruro de carbono (CCl4) estarán contenidas 9,5 X 1023 moléculas?
10-12 ¿Cuál es la masa de 6,02 X 1023 átomos de
m agnesio?
10-13 ¿Cuál es la masa de 17,4 X 1023 moléculas de
dióxido de carbono? (La masa molecular del CO2
es 44,0 u.)
10-14 ¿Cuántas moléculas hay en 18 g de cloruro
de hidrógeno, HCl? (La masa molecular del HCl es
34,46 u.)
Sección 10.3
1
Presión
10-15 ¿Cuál es la fuerza ejercida por la atmósfera
sobre un campo de 50 m por 100 m?
10-16 ¿Cuál es la fuerza debida a la atmósfera so-
bre una cara de una puerta de 2 m 2 de superficie?
10-17 Si la diferencia de presión en las dos caras de
una puerta cerrada de 2 m 2 de superficie es 0,01atm,
¿cuál es la fuerza neta sobre la puerta? ¿La podría
usted abrir con la mano?
10-18 ¿Qué presión ejercida sobre la base de 12 m 2
de un automóvil de 1300 kg sería necesaria para sostenerlo?
10-19 Evalúe la presión que usted ejerce sobre el
suelo cuando (a) permanece erguido sobre los dos
pies, (b) cuando está acostado.
Sección 10.4
1
La ley de los gases ideales
10-20 Un gas ocupa 5 m 3 a 1 atm de presión. ¿Cuál
es la presión cuando el volumen se reduce a 1,5 m 3
si la temperatura se mantiene constante?
10-21 La presión de un gas varía desde 1,5 atm hasta 0,3 atm a temperatura constante. ¿Cuál es la razón entre el volumen final y el inicial?
10-22 El volumen de un gas se duplica a presión
constante. ¿Cuál es la temperatura final si el gas se
hallaba inicialmente a 30º C?
10-23 Si la temperatura de un gas se eleva desde Oº
C hasta 100º Ca presión constante, ¿en qué factor
cambia su volumen?
10-24 ¿Cuál es el volumen de 3 moles de un gas ideal
a P = 2 atm y T = 300 K?
10-25 ¿Cuál es la temperatura de 1 mol de un gas
ideal a una presión de 0,3 atm en un volumen de 3
mJ?
10-26 Un mol de un gas ideal ocupa 2,24 X 10· 2 m 3
en condiciones normales. ¿Cuál será la presión si el
volumen aumenta hasta 1 m 3 a temperatura constante?
Sección 10.5
Mezclas de gases
10-27 Un tanque de gas a una presión de 3 atm está
compuesto de 0,35 moles de oxígeno y 0,65 moles
de helio. ¿Cuál es la presión parcial del oxígeno?
10-28 El aire normal contiene 0,21 moles de oxígeno por mol de aire. Si se desease cambiar esta proporción de modo que a una altitud donde la presión del aire es 0,40 atm la presión parcial del oxígeno fuera la misma que a nivel del mar, ¿cuántos
moles de oxígeno por mol de aire serían necesarios?
10-29 Si cada incremento en la a lt itud de 1000 m
produce una caída de presión de 0,78 atm, ¿por encima de qué altitud produciría el empleo de incluso
oxígeno puro una entrada de oxígeno por debajo de
la normal?
10-30 Un ser humano será víctima de una toxicidad debida al oxígeno cuando la presión parcial de
este gas alcanza unas 0,8 atm. Si la presión aumenta en 1 atm por cada 10,3 m p or debajo de la superficie del agua, ¿a qué profundidad el aire r espirado produciría toxicidad?
Sección 10.6 1 Temperatura y
Energías moleculares
10-31 Si se duplica la energía cinética media de un
Temperatura y comportamiento de los gases
238
gas y el volumen permanece constante, ¿cómo varía la presión?
10-32 ¿Cuál es la razón de las velocidades cuadráticas medias en el hidrógeno (H 2) y el oxígeno (0 2)
si ambos gases se hallan a la misma temperatura?
10-33 El uranio natural se compone de un 99,3 por
ciento de 238 U, con una masa de 238 u, y 0,7 por ciento de 235 U , con una masa de 235 u. Este último isótopo es el que se utiliza en reactores y armas. Los
dos isótopos se separan mediante procesos de difusión. Este método se basa en que la velocidad cuadrática media del gas UF6 es distinta para ambos
isótopos. ¿Cuál es el cociente de ambas velocidades
a 37°C?
10-34 Supóngase que toda la energía cinética molecular de traslación de 1 mol de un gas ideal a 300
K pudiera utilizarse para elevar una masa de 1 kg.
¿A qué altura podría elevarse dicha masa?
10-35 La velocidad cuadrática media de las moléculas de un gas ideal de masa molecular 32,0 u es 400
m s-1 . (a) ¿Cuál es la energía cinética media de traslación? (b) ¿Cuál es la temperatura del gas?
Sección 10.7
1
Difusión
10-36 ¿Qué distancia media se difundirán las moléculas de 0 2 en el aire en 1 hora? Supóngase que
Te = 20º C.
10-37 ¿Cuánto tardarán las moléculas de glucosa
en difundirse una distancia media de 1 mm en agua
á 20º C?
10-38 Si un soluto se difunde a través de agua una
distancia media de 10-2 m en 6 horas, ¿cuál es su
constante de difusión?
Sección 10.8
1
Soluciones diluidas: presión osmótica
10-39 ¿Cuál es la presión osmótica de una solución
de salmuera con una concentración iónica de 1500
moles m - 3separada del agua pura por una membrana semipermeable? Suponer Te = 27° C.
10-40 Una solución de azúcar en un dispositivo
como el de la Fig. 10.8 debe soportar una columna
de agua de 14 m de altura. ¿Cuál es la concentración de azúcar? Suponer Te= 27º C.
10-41 ¿Qué diferencia de concentración de solutos
impermeables a un lado y otro de una membrana celular produciría una presión osmótica de 5 atm? Suponer Te = 37º C.
PROBLEMAS
10-42 ¿Cuántas moléculas hay en 500 g de sacarosa, C12H22011?
10-43 ¿Cuál es la masa molecular del tributireno
(una grasa), C 3Hs0J(0C4H1)3?
10-44 ¿Cuántas moléculas hay en 100 g de alcohol
etílico, C 2H 5 0H?
10-45 Un cilindro contiene 0,02 m 3 de oxígeno a
una temperatura de 25º C y una presión de 15 atm.
(a) ¿Qué volumen ocupa este gas a 25º C y 1 atm?
(b) Un hombre respira oxígeno puro a través de una
mascarilla a un ritmo de 0,008 m 3 min-1 a la presión
atmosférica. ¿Cuánto durará el gas del cilindro?
10-46 Una submarinista, originalmente a 20 m por
debajo de la superficie, asciende expeliendo aire
para así conservar constante el volumen de sus pulmones. Las burbujas de aire suben más deprisa que
ella. Si el volumen de sus pulmones es 2,4 litros,
¿cuál es el volumen total de aire expelido en las burbujas en la superficie del agua? (La presión varía en
1 atm por cada 10,3 m de profundidad en el agua.)
10-47 Mezclas de oxígeno y helio pueden ser toleradas por los submarinistas. ¿En qué proporción estaría el oxígeno si el submarinista trabaja a 50 m
por debajo de la superficie y la presión parcial del
oxígeno fuese de 0,3 atm? (La presión varía en 1 atm
por cada 10,3 m de profundidad en el agua.)
10-48 La velocidad cuadrática media de un gas
ideal monoatómico a 300 K es 299 m s-1 • ¿Cuál es
la masa atómica de sus átomos? Identifiquese el gas
en la tabla periódica del Apéndice A. ··
10-49 En el Ejemplo 11.5, la velocidad cuadrática
media de las moléculas de hidrógeno (H 2) a 27º C
se calculó que era 1930 m s- 1• ¿A qué temperatura
tendrían las moléculas de hidrógeno una velocidad
cuadrática media de 1,1 X 104 m s- 1, que es suficiente para escapar de la Tierra?
*10-50 Las paredes de los capilares sanguíneos son
impermeables a las proteínas. Los dos principales
grupos de proteínas en el plasma sanguíneo son
Grupo
Masa molecular
Concentración media
.de proteínas
Albúmina
Globulina
0,045 g m· 3
0,025 g m · 3
69 000 u
140.000 u
(a) Calcular la concentración de las proteínas de
cada grupo en moles m · 3. (b) Calcular la presión osmótica del plasma sanguíneo a la temperatura de .
239
Temperatura y comportamiento de los gases
310 K debida a las proteínas disueltas en el mismo.
(c) ¿Hasta qué altura podría sostener esta presión
una columna de agua?
10-51 Los alvéolos pulmonares son pequeños saquitos de aire de unos 10·4 m de radio. La membrana de estos saquitos que separa el espacio ocupado
por el aire de los capilares sanguíneos tiene unos
4
0,25 X 10· m de grosor. Los capilares tienen un radio de unos 5 X 10· 6 m. (a) Suponiendo que el 0 2
se difunde a través de las membranas y de la sangre como lo hace en el agua, ¿qué tiempo medio se
necesi~a para que el 0 2 se difunda desde el centro
de un alvéolo hasta el centro de un capilar? (b) Compararlo con el tiempo en que la sangre recorre un alvéolo (una décima de segundo).
10-52 La presión osmótica del agua de mar es de
22 atm a 300 K . ¿Cuál es su concentración salina?
(Indicación: el NaCI se disocia en el agua en iones
Na+ y cr.)
*10-53 Una solución de cloruro sódico (NaCI) en
agua de concentración 160 moles m-3 es isotónica
con las células sanguíneas. ¿Cuál es la presión osmótica en atmósferas en estas células si la temperatura es de 300 K? (Indicación: el NaCI se disocia en
el agua en iones Na+ y Cr.)
*10-54 La presión osmótica de un glóbulo rojo es
de 8 atm. El glóbulo rojo se coloca en una disolu3
ción que contiene 100 moles m- de soluto al cual
la membrana celular es impermeable. ¿El glóbulo
rojo se dilatará, se contraerá o permanecerá del mismo tamaño? Explicarlo. (Supóngase que T = 300 K.)
10-55 ¿Cuánta energía debe añadirse a 1 mol de un
gas ideal monoatómico para elevar su temperatura
1 K? (El volumen se mantiene fijo .)
*10-56 La atmósfera de la Tierra contiene solamente pequeñas trazas de hidrógeno (H 2) y helio (He),
aun cuando en otro tiempo estos gases estuviesen
presentes. ¿Qué sucedió a estos gases? (Indicación:
comparar las velocidades cuadráticas medias del H 2
y He con las del N 2 y 0 2 . )
\
\
1
1
/
1
¡::--
I
/
/
Figura 10.9 Molécula moviéndose en un recipiente de área A
y longitud /. La molécula choca elásticamente contra las paredes y
contra el émbolo. El émbolo debe mantenerse en su sitio mediante
una fuerza F que compense la fuerza debida a la molécula.
peratura, la energía cinética media; Q 10-14, raíz
cuadrada; Q 10-15, alta, baja; Q 10-16, semipermeable; Q 10-17, gas ideal; Q 10-18, isotónica.
TEMAS SUPLEMENTARIOS
10.9
I DEDUCCIÓN DE LA LEY DE
LOS GASES IDEALES A
PARTIR DE UN MODELO
CINÉTICO
En la Fig. 10.9 se muestra una molécula de un gran número de ellas que sólo chocan con las paredes del recipiente. El volumen de éste es V = Al y contiene nN.
moléculas.
RESPUESTA A LAS CUESTIO NES D E REPASO
Q 10-1, la temperatura; Q 10-2, dos; Q 10-3, 12;
Q 10-4, masas atómicas; Q 10~5, newton, metro
cuadrado; Q 10-6, manométrica; Q 10-7, un gas
ideal; Q 10-8, reales, ideales; Q 10-9, volumen de
un gas ideal; Q 10-10, de los gases ideales; Q 10-11,
suma; Q 10-12, la presión parcial; Q 10-13, la tem-
(a)
(b)
Figura 10.1 O (a) Cuando una molécula choca contra un émbolo, el módulo de su velocidad no cambia, pero la molécula cambia de dirección. (b) v 1 es la misma antes y después de la colisión,
pero vx se invierte.
240
Temperatura y comportamiento de los gases
Cada vez que una molécula choca contra el émbolo, la componente x de su velocidad se invierte (Fig.
10. 10). Como la componente y de la velocidad no varía, el cambio de ímpetu en un choque es 2mv~.
Podemos hallar la fuerza sobre el émbolo debida a
una molécula mediante la segunda ley de Newton escrita en la forma F t:..t = t:..p, donde t:..p es el cambio de
ímpetu y t:..t el intervalo de tiempo. El intervalo t:..t entre colisiones de una molécula con el émbolo es el tiempo que tarda la molécula en recorrer la longitud del recipiente en uno y otro sentido, es decir, 21 = v. t:..t. Así
pues, la fuerza es
F. _
1
6.p _ 2mv., _ mv.,2
--¡;¡-e~)--¡-
Para las nNA moléculas presentes, la fuerza total sobre
el émbolo es nNA veces el valor medio de mv}ll,
F
nNA (
i
= -[mv., )med
La presión es la fuerza por unidad de superficie.
Utilizando V = Al,
Lecturas adicionales
R. E. Wilson, Standards of Temperature, Physics Today, ·vol.
6, enero 1953, p. 10.
D. K. C. MacDonald, Near Zero: The Physics of Low Temperatures, Science Study Series, Doubleday and Co., Garden City, N. Y., 1961. En rústica.
Mark W. Zemansky, Temperatures Very High and Very Low,
Momentum Series, D . Van Nostrand and Co., Princeton,
N. J., 1964. En rústica.
C. Barber Jorgensen y Erik Skadhauge, Osmotic and Volumé Regulation (Actas de un simposio, Copenhague, junio
1977). Academic Press, New York, 1978.
Ultrahigh Pressure: New Highs Spur Pursuit ofExotic Goals,
Science, vol. 201, 1978, p. 429.
T. H. Maugh II, Birds Fly, Why Can't I? Science, vol. 203,
1979, p. 1230.
Gerald L. Wich y John D . Isaacs, Salt Domes: Is There More
Energy A vailable from Their Salt than from Their Oil?
Science, vol. 199, 1978, p. 1436.
W. Gary Williams, Mineral Salt: A Costly Source of Energy?
Science, vol. 203, 1979, p. 376.
Ma rk Olsson, Gerald L. Wich y John D. Isaacs, Salinity Gradient Power: Utilizing Vapor Pressure Differences, Science, vol. 206, 1979, p. 452.
Eric Perlman, Walking on Thin Air, Science 80. julio/agosto 1980, p. 89.
Artículos del Scientific American:
Como m es la misma para todas las moléculas, necesitamos calcular (v/)med· Esta media puede escribirse de
forma más conveniente si observamos que (v.2)med ha
de valer exactamente igual que (v/)med y que (v/)med·
Como v2 , el cuadrado de la velocidad, es la suma de
los cuadrados de sus componentes, podemos utilizar
(v/)med = (v2)med y escribir entonces
+
PV
= 2nNA (mv )
Marie Boas Hall, Robert Boyle, agosto 1967, p. 84.
Arthur K. Solomon, The State of Water in Red Cell, febrero 1971, p. 88.
Reuben Hersh and Richard J. Griego, Brownian Motion and
Potential Theory, marzo 1969, p. 66.
Warren G. Proctor, Negative Absolute Temperatures, agosto
1978, p. 90.
2
=
3
2
in NA (E,)med
med
Artículo de Investigación y Ciencia:
(10.12)
Éste es el resultado que habíamos escrito previamente.
Holger W. Jannosch y Carl O. Wirsen, Vida microbiana en
las profundidades marinas, agosto 1977, p. 44.
CAPÍTULO
11
TERMODINÁMICA
La termodinámica es el estudio de la transformación
de una forma de energía en otra y del intercambio de
energía entre los sistemas. Aunque originalmente fue
desarrollada para explicar y establecer relaciones cuantitativas entre la energía mecánica y la energía ténnica, o sea la asociada con los movimientos de íos átomos y moléculas de la sustancia, su alcance es en la actualidad oiucho más amplio. La primera ley de la termodinámica es una ley universal de conservación de la
energía y la segunda ley suministra información acerca de cómo pueden y han de ocurrir los procesos.
Todas las discusiones de termodinámica contienen
virtualmente la palabra «calor». Históricamente, el calor se suponía que era una propiedad de los cuerpos,
capaz de pasar de unos a otros como una especie de
fluido, al que se llamaba «calórico». Aunque esta teoría del calórico hace mucho que fue abandonada, ha
persistido en cambio el empleo de los términos calor y
flujo de calor, lo que lleva a menudo a cierta confusión.
Aquí emplearemos estos términos de un modo muy
preciso. Si se transporta energía de una sustancia u objeto a otro por una diferencia de temperatura entre
ellos, nos referiremos a este transporte como flujo de
calor. La cantidad de energía transportada es el calor.
La termodinámica constituye un extenso marco
para hallar relaciones entre propiedades macroscópicas de los sistemas, tales como la presión, el volumen
y la temperatura. Su utilidad procede de las predicciones que permite hacer sin referencia a las propiedades
microscópicas detalladas del sistema. En algunos casos se pueden hacer incluso predicciones numéricas sin
referencia alguna a los materiales implicados.
La primera ley de la termodinámica es una generalización del resultado fundamental del Capítulo 6.
Este resultado establece que el trabajo realizado sobre
un sistema es igual al cambio en su energía interna más
la energía que sale del sistema.
La segunda ley puede formularse de varias maneras. Uno de sus enunciados establece que una magnitud denominada entropía tiende a aumentar en todos
los procesos reales. El cambio de entropía de un sistema se relaciona con el calor que entra o sale de dicho ·
sistema dividido por la temperatura absoluta del sistema. Las teorías microscópicas de la materia han mostrado que la entropía de un sistema se relaciona estrechamente con el grado de desorden de sus constituyentes. Utilizamos la segunda ley para obtener los límites
extremos del rendimiento de los procesos de conversión de la energía térmica. Tales procesos se utilizan en
las centrales productoras de energía alimentadas tanto por combustibles fósiles como por combustibles nucleares.
11 .1 I TRABAJO MECÁNICO
Puede realizarse trabajo sobre un sistema, u obtener
trabajo del mismo, de diversas maneras. Puede comprimirse un gas o dejar que se expansione mediante un
émbolo. Un líquido puede ser agitado y un sólido puede golpearse con un martillo. Pueden acercarse cargas
eléctricas a un material, de forma que las fuerzas eléctricas alteren la disposición de las cargas en su interior. Así pues, los tipos de trabajo que se pueden realizar sobre un sistema son tan variados como las fuer241
242
T,e~modinámica
Un desplazamiento grande puede considerarse como
el resultado de una serie de pequeños desplazamientos
axi, de modo que durante cada desplazamiento las
fuerzas Fj = P¡A pueden considerarse constantes. Entonces, el trabajo total W realizado por el sistema es
la suma de todos los términos PiAV¡ (Fig. 11.2).
Figura 11 .1
El trabajo realizado por un gas o un émbolo durante un pequeño desplazamiento /:u es 6W = F /:u= P 6V.
zas que se pueden. ejercer sobre el mismo. En esta sección obtenemos una expresión para el trabajo realizado por una sustancia o un sistema cuando su volumen
varia.
Cuando una sustancia o un sistema se expansiona
o se comprime, el trabajo W realizado por el sistema
puede relacionarse con el cambio de su volumen. Por
convenio, se considera en termodinámica que W es positivo cuando el trabajo es realizado por el sistema. Obsérvese por el contrario que en el Capítulo 6 considerábamos W positivo cuando el trabajo se hacía sobre
el sistema.
Lo más conveniente para desarrollar nuestras ideas
es tomar el modelo de un gas. La Figura 11.1 muestra
un gas a presión P ~n un cilindro cerrado. Un émbolo
móvil de sección transversal A constituye un extremo
del recipiente. El gas ejerce sobre el émbolo una fuerza F = PA. Cuando el émbolo se desplaza una pequeña distancia ax paralela a la fuerza, el trabajo realizado por el gas es AW =Fax= PA Ax. Como AV= A
ax es el cambio de volumen del gas, el trabajo realizado por el gas es
( 11.2)
El trabajo realizado por el sistema es igual al área comprendida bajo la curva PV. Este resultado es válido tanto para un gas en un recipiente de cualquier forma
como para cambios de volumen en sólidos y en líquidos.
La Ecuación 11.2 tiene una forma sencilla si el trabajo se efectúa en un proceso isobárico, es decir, a presión constante. Si el volumen inicial y el final del sistema se designan por V; y V¡, entonces el trabajo efectuado es
(l l.3)
Para un proceso isobárico el trabajo realizado por el
sistema es positivo si (V¡ - V;) es positivo; se hace trabajo sobre el sistema si (V1 - V;) es negativo.
El ejemplo siguiente describe un proceso isobárico.
Ejemplo 11.1
Un gas a 2 atm de presión (2,02 X 10s Pa) se calienta
y se deja expansionar contra un émbolo sin rozamieqto
a presión constante. Si la variación de volumen es de 0,5
m3, ¿cuánto trabajo hace el gas?
Utilizando la Ec. 11.3,
W
~W = P~V
p
P,
p
(P1• V1)
= P(V¡-
(11.1)
V1) = (2,02 x 101 Pa)(0,5 m 3)
= 1,01 x 105 J
p
P, -
(P1, V1 )
(P¡,V¡)
Pr -
P¡
P;
P¡
P¡
.__......._....._...........................___V
V¡
-l 1-6
(a)
V¡ V¡
.___.___ _ ___.__V
V¡
V¡
(b)
(e)
Figura 11 .2
(a) El trabajo realizado por el sistema es la suma de las áreas de los pequeños segmentos. En cada segmento P¡ se supone constante, y para el segmento sombreado 6Wr P;6V;. (b) El trabajo
total es exactamente igual al área total sombreada bajo la curva de P en función de V. En este ejemplo
Wes positivo. (e) Proceso en el que el trabajo se realiza sobre el sistema y, por tanto, Wes negativo.
243
Termodinámica
11.2
1
PRIMERA LEY DE LA
TERMODINAMICA
La primera ley de la termodinámica relaciona el calor
dado al sistema, el trabajo realizado por éste y los cambios habidos en la energía térmica del sistema, es decir, en su energía interna U.
La energía interna de un sistema depende en general de la presión y de la temperatura absoluta. Sin embargo, en los gases ideales U depende sólo de la temperatura. Por ejemplo, en nuestra discusión del gas
ideal monoatómico hallamos que la energía cinética
media de traslación de una molécula era 3k8 T/2. La
energía interna de ese gas es la energía cinética total
que, para N moléculas, vale
(gas ideal)
( 11.4)
De modo más general, la energía interna de una sustancia incluye las energías cinéticas asociadas con los
movimientos de traslación, rotación y vibración de las
partículas. También incluye la energía potencial debida a las interacciones de las partículas unas con otras.
Al igual que en nuestra discusión de la energía potencial en el Capítulo 6, la energía interna está definida
con respecto a una configuración de referencia. Por regla general esta elección carece de importancia práctica, ya que solamente los cambios de energía interna
afectan a las propiedades del sistema.
-,7, -
El calor Q cedido a un sistema o extraído de él es
la cantidad de energía térmica transportada debido a
una diferencia de temperatura. Por ej_emplo, podemos
decir que el calor fluye desde una estufa hasta el aire
y los objetos de una habitación porque uno y otros tienen una temperatura más baja que la estufa.
Discutimos ahora la primera ley de la termodinámica utilizando como ejemplo un gas. Consideremos
un recipiente lleno de gas y provisto de un émbolo en
uno de sus extremos (Fig. 11.3). Si damos calor Q al sistema, pero no dejamos que el émbolo se desplace, la
temperatura y, por lo tanto, la energía interna U del
gas aumentarán. También podemos cambiar la energía interna haciendo trabajo sobre el gas. Así pues, si
aislamos las paredes del recipiente y empujamos el émbolo hacia adentro, comprimimos el gas. El trabajo
realizado sobre el sistema es igual al cambio de su energía interna (Fig. 11.3b), ya que no fluye calor hacia el
gas ni desde el gas.
De forma más general, podemos dar calor Q al gas,
hacer que el gas efectúe un trabajo W, y la diferencia
es la variación de energía interna del gas, !:lU = U1 - U;.
Ur y U; son las energías internas final e inicial del gas,
respectivamente. La primera ley de la termodinámica establece pues
u, -
U; = Q - W
Bmbolo mantenido
,--e:;fijo
: \
: '. \ .l_-:j~..;:;-::.-=:::::
\ I
\ ' -,
\..L -~~¿__
(/¡)
El émbolo se desplaza
hacia afuera
,,-, - - - , ~ ,
1
11
1 : ,
1
11-;;;;;:;;;:;;;;:=
= :o...Eo-....;,F_ _
-- -
11-
~
Q
(e)
Figura 11.3 (a) Con el émbolo mantenido fijo, el calor añadido Q es igual al incremento de energía
interna t:;.U. (b) Las paredes están aisladas. La fuerza F realiza trabajo sobre el émbolo y, por consiguiente, sobre el gas. Este trabajo es igual al incremento de energía interna. (e) Se suministra una cantidad de
calor Q al gas y se expande contra la fuerza externa F. El gas realiza trabajo W. La diferencia entre Q Y
W es el cambio en la energía interna del gas t:;.U.
(11.5)
244
Termodinámica
Q es positivo si se comunica calor al sistema y W es positivo si es el sistema quien hace trabajo. Aunque en
este ejemplo hemos utilizado un gas, este resultado es
válido para todos los sistemas y no depende de la presencia de un gas.
La primera ley contiene dos enunciados distintos
sobre el mundo físico. En primer lugar, calor y trabajo se han de tratar sobre una misma base. En segundo
lugar, como puede obtenerse el mismo cambio de energía interna añadiendo calor o realizando trabajo sobre
el sistema o mediante una combinación de ambos procedimientos, el cambio de energía interna es independiente de la forma como se ha conseguido dicho cambio.
La diferencia entre los valores inicial y final de la energía interna del sistema debe depender solamente de sus
estados inicial y final, es decir, del cambio de magnitudes como la temperatura, la presión y el volumen.
Esta idea se muestra en la Figura 11.4. Supóngase que
un sistema experimenta dos procesos, representados
por las curvas ( 1) y (2), cuyas presiones y volúmenes iniciales y finales son (P; , V;) y (P1, V1). A lo largo del camino ( 1) el área bajo la curva ( 1) es mayor que el área
bajo la curva (2). Por consiguiente, el sistema hace más
trabajo en el proceso (1) que en el proceso (2). Según
la primera ley, como Ur - U; es el mismo para ambos
procesos, se ha de añadir más calor al sistema en el proceso ( l) que en el proceso (2) para obtener el mismo estado final.
Dos tipos de procesos resultarán particularmente
importantes en nuestros análisis posteriores de los ciclos caloríficos. Uno de ellos es el proceso isotérmico,
o proceso a temperatura constante. En la práctica, tales
procesos son difíciles de conseguir, pero pueden visua-
!izarse para un gas ideal. La energía interna de un gas
ideal sólo depende de la temperatura. Podemos imaginar que añadimos calor muy lentamente a un gas ideal
y que al mismo tiempo permitimos que se expansione,
realizando trabajo. Si el proceso es lento, la temperatura y, por lo tanto, la energía interna, permanecerán
constantes. Así pues, para un proceso isotérmico en un
gas ideal, Q = W.
Un segundo proceso, más fácil de conseguir, es el
proceso adiabático, que es aquél en que no hay intercambio de calor entre el sistema y el medio exterior.
Así pues, U¡ - U¡ = - W para un proceso adiabático.
Esta condición es bastante frecuente, ya que podemos
aislar el sistema para hacer mínimos los intercambios
de calor. Alternativamente, el proceso puede ser tan rápido que no haya tiempo de que se intercambie calor.
Si tapamos el agujero de una bomba de bicicleta, al
apretar súbitamente el émbolo se produce un brusco incremento de la energía interna del aire de su interior.
Pasarán unos segundos antes de que llegue a fluir calor desde el interior hacia el exterior de la bomba. Este
flujo se debe a que el aire del interior se halla a una temperatura más elevada.
Según nuestra presentación de los conceptos de calor y temperatura, la primera ley parece un enunciado
casi obvio de la conservación de la energía. Sin embargo, la primera ley es una de las piedras angulares de la
termodinámica. Históricamente, llegar a la primera ley
no fue nada obvio. Hasta los trabajos de Mayer, Joule y Helmholtz en los años de 1840 y cinco décadas antes los de Rumford, el calor se consideraba como una
sustancia material contenida en los objetos. Esta sustancia, denominada calórico, podía fluir de un objeto
p
~-------V
(a)
Vr V
V;
(b)
(e)
Figura 11 .4 (a) Un sistema puede cambiar de un estado (P;, V1) al estado (P¡, V1) por muchos caminos, dos de los cuales se han representado. (b) El trabajo realizado por el sistema es el área bajo la curva
PV y es mayor para el proceso(!) que para el proceso (2) mostrado en (e).
245
Termodinámica
a otro. Muchas observaciones experimentales se podían explicar satisfactoriamente con esta idea. Mayer
fue el primero en sugerir que el calor y la energía interna se relacionaban estrechamente. Joule demostró
entonces que se puede producir tanto calor como se
quiera realizando trabajo. La idea de que una determinada cantidad de calórico está contenida en cada sustancia se extinguió tras estos planteamientos. El calor,
el trabajo y la energía interna se identificaron entonces como diferentes manifestaciones de una misma
magnitud, la energía.
se desprenderá o se absorberá. Sin embargo, la segunda ley nos permite predecir, para condiciones dadas de
presión y de temperatura, cuál será el estado de equilibrio del sistema.
En esta sección analizamos las formas microscópica y macroscópica de la segunda ley. En la siguiente
sección se estudia el rendimiento de máquinas térmicas. Las aplicaciones a sistemas químicos se tratan con
detalle en los textos de química y bioquímica.
11.3 I SEGUNDA LEY DE LA
TERMODINAMICA
fiere .al comportamiento más probable de un gran número de moléculas u otras partículas. Dicha ley establece que los sistemas tienden a evolucionar desde configuraciones muy ordenadas, altamente improbables,
hacia configuraciones más desordenadas, que son más
probables estadísticamente. Dicho en otra forma, los
sistemas tienden a estados de máximo desorden o caos
molecular. Por ejemplo, la Fig. 11.5 muestra dos maneras en las que se podrían mover las moléculas de un
gas. Ambas figuras muestran un gas con la misma
energía interna, pero la 11.5a presenta una situación altamente ordenada, a diferencia de la 11.Sb. La segunda
ley establece que una situación parecida al estado desordenado es más probable que una situación parecida
al estado ordenado. Así pues, es posible imaginar un
gran número de figuras parecidas a 11.Sb, pero sólo
unas pocas parecidas a 11.Sa. Los jugadores de póker
reconocerán una situación equivalente: hay sólo unas
pocas manos con póker de reyes, pero muchas otras
sin ningún valor, de modo que las probabilidades favorecen mucho las manos de este último tipo. Análogamente, desde este punto de vista, aparcar en un pequeño espacio en el borde de la acera es más dificil que
desplazar el coche por la calle, porque hay muchas más
configuraciones de movimiento que de aparcamiento.
La primera ley de la termodinámica resulta útil para
comprender el flujo de energía durante un proceso
dado. Sin embargo, no nos dice cuáles de los procesos
que conservan la energía son en realidad posibles, ni
nos permite predecir en qué estado se hallará un sistema en unas determinadas condiciones. La segunda ley
puede utilizarse para responder a estas preguntas.
Por ejemplo, supóngase que se quema combustible
y que el calor producido se suministra a una máquina
de vapor. La primera ley requiere que el trabajo realizado por la máquina más el calor desprendido por ella
hacia el exterior han de ser igual al calor suministrado, ya que la energía interna de la máquina no varía.
Sin embargo, la primera ley no nos da ninguna indicación de cuál es la razón del trabajo realizado al calor suministrado, es decir, el rendimiento de la máqui~
na. La segunda ley hace posible el cálculo del rendimiento de una máquina idealizada y permite obtener
cotas del rendimiento de las máquinas reales.
Un segundo ejemplo de sus posibles usos son las
reacciones químicas. Cuando se lleva a cabo una reacción, la primera ley nos permite calcular cuánto calor
Forma microscópica de la segunda
ley I La forma microscópica de la segunda ley se re-
Forma macroscópica de la segunda
ley I La segunda ley se enunció por primera vez con
(a)
(bl
Figura 11.5 Dos configuraciones del movimiento molecular
en un gas. (a) Altamente ordenado. (b) Mucho menos ordenado y
más caótico.
referencia a sistemas grandes, o macroscópicos. Esta
forma es más fácil de aplicar, aunque su interpretación
fisica es quizás más sutil que la del desorden molecular estudiada anteriormente. Mediante teorías mecanoestadísticas se ha demostrado que ambas formas son
equivalentes.
La forma macroscópica de la segunda ley establece que existe una magnitud, la entropía, que tiende ha-
246
Termodinámica
JULIUS
ROBERT
MAYER
(1814-1878)
( 8ruwn Brothcr:-.)
JAMES
HERMANN
PRESCOTT VON
JOULE
HELMHOLTZ
(1818-1889)
( 1821 -1 894)
( Radio Times Huhon Pic1ure Library)
tCulver
Pict urcs)
Hasta mediados del siglo diecinueve, el calor se consideraba en general como un fluido denominado calórico. Este fluido sin masa, que podía pasar de un objeto a otro
pero que no podía crearse ni destruirse, proporcionaba una explicación bastante completa de muchos experimentos de esa época. Los tres hombres de que hablamos aquí
están históricamente unidos a la desaparición de la teoría del calórico y a la ampliación del principio de la conservación de la energía para incluir a los fenómenos térmicos.
Mayer fue el primero que sugirió que las energías asociadas con la gravedad, la
electricidad, el calor y el movimiento están íntimamente relacionadas; cuando un tipo
de energía desaparece, aparece una cantidad equivalente de otros tipos de energía.
Sin embargo, Mayer y sus ideas fueron relegados al olvido. Formado en Alemania
como médico, Mayer se interesó por la física y publicó sus observaciones en 1842.
Su artículo estaba escrito en un estilo metafísico y no pareció muy convincente. En
parte, la resisténcia a las ideas de Mayer se debió a que no estaba muy claro que hubiese entendido ni siquiera las leyes de Newton y mucho menos los conceptos que intervienen en una teoría de conservación de la energía.
Mientras la teoría del calórico moría incluso antes del trabajo de Mayer, la aceptación real del calor como otra forma de energía se produjo como consecuencia de
las investigaciones independientes de Joule y Helmholtz en 1847. Joule era inglés, propietario de una fábrica de cerveza y científico aficionado que se había labrado una
reputación de experimentador preciso e ingenioso. En 1847, Joule demostró con gran .
precisión que el trabajo mecánico, en este caso el trabajo necesario para hacer girar"
una rueda de paletas en el agua, es equivalente al calor. ya que la temperatura del
agua aumenta.
Al mismo tiempo que J oule proporcionaba la evidencia experimental más convincente de la equivalencia entre energía mecánica y calor, Helmholtz desarrolló de
forma sistemática el concepto de conservación de la energía en uno de los escritos científicos más importantes del siglo diecinueve.
247
Termodinámica
Helmholtz también era médico y servía como cirujano en el ejército prusiano. En
1849 llegó a ser profesor de fisiología en Konigsberg. Su trabajo sobre la conservación de la energía, estimulado por sus observaciones sobre el movimiento muscular,
es sólo un ejemplo de su considerable capacidad de comprensión de la física más allá
de los sistemas biológicos. Helmholtz inventó el oftalmoscopio para explorar el ojo
y desarrolló el oftálmómetro para medir la curvatura del ojo. Además, reanimó y extendió una teoría sobre la visión del color, atribuida a Young. Los estudios de Helmholtz sobre el oído incluían el papel que desempeñan los huesecillos del oído medio
y la cóclea, y trataban el teme( importante y difícil de la calidad de los sonidos. Su
libro, Sensaciones del tono, es una piedra angular de la acústica fisiológica. Fue también el primero en medir la velocidad de propagación de los impulsos nerviosos. Al
final de su vida, su interés y sus trabajos llevaron directamente al descubrimiento de
las ondas electromagnéticas por uno de sus discípulos.
Así como Joule y Helmholtz tuvieron brillantes carreras científicas, Mayer no acabó tan bien. En efecto, se vio muy afectado por la falta de reconocimiento de su trabajo e intentó suicidarse en 1849. Tras un período de enfermedad mental del que ya
no se recuperó totalmente, vivió en la mediocridad el resto de su vida.
cía un valor máximo. Tal como la energía interna, la
entropía depende sólo del estado del sistema y no de
qué proceso particular se ha seguido para llegar a dicho estado.
La definición de entropía implica el concepto de
procesos reversibles e irreversibles. Un proceso reversible es aquél en que se puede hacer que el sistema vuelva a su estado original sin variación neta del sistema
ni del medio exterior. Por ejemplo, en ausencia de rozamiento, turbulencia u otros efectos disipativos, la expansión adiabática de un gas es reversible (Fig. 11.6).
Ello se debe a que una compresión adiabática puede devolver el sistema a su estado inicial. El trabajo realizado sobre el gas durante la compresión es igual al trabajo realizado por el gas durante la expansión; el trabajo net~ realizado por el gas y por el medio exterior
es nulo.
Ningún proceso natural conocido es reversible.
Cuando se transforma calor entre dos objetos a distintas temperaturas puede hacerse que el calor vuelva al
sistema de temperatura más elevada, pero ello requiere un cierto trabajo por parte del medio exterior, es decir, requiere la presencia de un frigorífico. Por lo tanto, el medio exterior ha de modificarse para poder devolver el sistema a su estado original. Los procesos reversibles, tal como los sistemas mecánicos sin rozamiento, son meras idealizaciones que sólo pueden realizarse en la práctica de forma aproximada.
Podemos definir ahora la entropía de un sistema.
Si se añade a un sistema una pequeña cantidad de calor t:.Q a una temperatura Kelvin T durante un proceso reversible, el cambio de entropía del sistema viene
definido por
t:.S
= t:.Q
T
(proceso reversible)
( 11.6)
Si t:.Q es grande puede dividirse en muchas cantidades
pequeñas t:.Q, tales que la temperatura T, se mantiene
constante mientras se intercambia t:.Q,. Entonces, en
un proceso reversible;el cambio total de entropía se halla sumando todas las contribuciones t:.Q/1;. Obsér-
(a)
(bJ
Figura 11.6 En un proceso reversible, tanto el sistema como
los alrededores pueden volver a sus estados originales. (a) Una expansión adiabática sin rozamiento es reversible. (b) El transporte de
calor entre objetos a temperaturas diferentes es irreversible.
248
Termodinámica
vese que cuando sale del sistema, ~Q es negativo, y por
lo tanto lo es también el cambio de entropía correspondiente del sistema. Para un proceso irreversible, el
cambio de entropía de un proceso aislado puede calcularse considerando procesos reversibles ideales que
llevaran hasta el mismo estado final.
Podemos dar ahora la forma macroscópica de la segunda ley. Para cualquier caso, la entropía total del sis-
tema más el medio exterior nunca puede disminuir:
~S(total) :;::: O
( 11.7)
El cambio total de entropía es nulo para un proceso reversible y es positivo para un proceso irreversible. Ésta
es la segunda ley de la termodinámica. Desde un punto
de vista microscópico ello.es equivalente a decir que el
desorden molecular del sistema más el medio es constante si el proceso es reversible y aumenta si no lo es.
La Ecuación 11.7 puede deducirse partiendo de
cualquiera de las dos observaciones experimentales siguientes. Una de ellas es que el calor nunca fluye espontáneamente de los cuerpos fríos a los calientes. Esto
se denomina forma de Clausius de la segunda ley. La
segunda observación es que es imposible extraer calor
de un objeto y convertirlo enteramente en trabajo. Ésta
es la forma de Kelvin de la segunda ley. El paso de cualquiera de estas observaciones a las. formas de la entropía o desorden molecular es complicado y está fuera del
alcance de este libro. Sin embargo, podemos ver en algunos procesos sencillos que la Ec. 11.7 efectivamente
se cumple. Los ejemplos siguientes muestran también
cómo se pueden calcular los cambios de entropía en
procesos reversibles e irreversibles.
Ejemplo 11.2
Hallar el cambio de entropía del sistema y el del medio exterior en un proceso reversible adiabático.
En un proceso adiabático no hay intercambio de ca·
lor. Como el proceso es reversible, vemos mediante la
Ec. 11.6 que el cambio de entropía es nulo. Análogamente, como el medio exterior tampoco intercambia calor con
el sistema, su cambio de entropía es también nulo. Así
pues, ~S(total) = O, tal como requiere la segunda ley para
procesos reversibles.
Ejemplo 11.3
Si de 1 kg de agua líquida a 0° C se extraen 3,33 X 105 J
de calor, el agua se convertirá en hielo. Supongamos
que se extrae reversiblemente calor de 10-2 kg de agua líquida a Oº C hasta que se ha convertido enteramente en
hielo a la misma temperatura. (a) ¿Cuál es el cambio de
entropía del agua? (b) ¿Cuál es el cambio neto de entropía del sistema y del medio exterior?
(a) El calor extraído es (3,33 X 105 ) kg- 1) X (10-2 kg)
= 3,33 X 103 J, luego el cambio de entropía es
AS- ó.Q - - 3,33 X I03J
"' - T 273 K
= -122JK- l
'
.
El signo menos aparece porque el calor se extrae del
agua y su entropía decrece.
(b) El proceso se lleva a cabo de forma reversible, por
lo cual el cambio neto de entropía del agua más el medio
exterior es cero. Como la entropía del agua disminuye, la
entropía del medio exterior ha de aumentar en la misma
cantidad, por lo cual M = 12,2 J K- 1•
En este ejemplo podemos ver la relación entre entropía y orden. Cuando el agua se solidifica en una fase sólida ordenada, la entropía disminuye. Como el cambio
neto de entropía es nulo, la entropía del medio exterior aumenta. Por el contrario, cuando el hielo se funde, su entropía aumenta. Si la fusión se hace reversiblemente, la entropía del medio disminuye.
Ejemplo 11.4
Dos objetos grandes están aislados de sus alrededores. Se hallan a temperaturas T1 y T2 respectivamente, con
T2 > T1 y se ponen en contacto térmico. Una pequeña cantidad de calor Q se intercambia por conducción, dejando
las temperaturas prácticamente constantes. Hallar los
cambios de entropía.
El cambio de entropía del medio exterior es cero, ya
que el sistema está aislado. Se trata de un proceso irreversible, por lo cual calcularemos los cambios de entropía mediante caminos reversibles que lleven al mismo estado final. Por ejemplo, podemos considerar el caso de
que Q se extrajera reversiblemcnte del objeto a T2 colocando un cilindro de gas en contacto con él y haciendo
que el gas se expansionase isotérmicamente. Esto da un
cambio de entropía ~S2 = -QIT2• Análogamente, puede ponerse en contacto un segundo cilindro con el obje.to más frío, transfiriéndose así calor reversiblemente. El
cambio de entropía del objeto•más frío es entonces ~S,
= QIT,. Así pues, el cambio total de entropía deJos dos
objetos es
Como T2 es mayor que Ti, el resultado anterior es positivo, tal como se predecía para un proceso irreversible.
Aunque la segunda ley de la termodinámica en su
forma dada por la Ec. 11. 7 establezca que no se puede producir ninguna disminución neta de entropía, no
es cierto que la entropía de un sistema no pueda dis-
249
Termodinámica
minuir. Cuando el agua se hiela su entropía disminuye. Sin embargo, si se hace un análisis detallado del medio exterior, se encuentra que la entropía total del sistema más la del medio exterior permanece constante o
aumenta.
11.4
I
EL TEOREMA DE CARNOT Y
LA CONVERSIÓN DE ENERGfA
Si se aplica la segunda ley de la termodinámica a una
máquina térmica reversible se halla que el rendimiento de la máquina para convertir calor en trabajo es
siempre menor del 100 por ciento. Las máquinas térmicas reales, tales como los motores de los automóviles o los generadores eléctricos, tienen siempre algún
rozamiento o turbulencia, y son por lo tanto irreversibles. Sus rendimientos son en consecuencia siempre
menores. Esta notable propiedad de las máquinas térmicas fue descubierta por Sadi Carnot (1796-1832) en
1824 y se denomina teorema de Carnot.
El teorema de Carnot demuestra que la conversión
de energía térmica en otras formas de energía es cualitativamente diferente de los otros tipos de conversión
de energía. Por ejemplo, un péndulo que oscila puede
transformar toda su energía potencial mecánica en
energia cinética mecánica y viceversa. La energía cinética del agua en movimiento en una turbina puede
transformarse en energía eléctrica mediante un generador; su rendimiento sólo está limitado por el rozamiento y la turbulencia, y puede ser bastante alto en
la práctica. La energía eléctrica también puede transformarse en energía mecánica mediante un motor; de
nuevo no existe un límite teórico para su rendimiento, y
p
o
los rendimientos reales suelen ser de un 90 por ciento
o más. También la energía química puede transformarse en energía eléctrica con un rendimiento muy alto,
tal como ocurre en una pila de combustible donde el hidrógeno y el oxígeno se combinan y se produce una
corriente eléctrica. La energía eléctrica también puede
transformarse en energía química sin ninguna limitación fundamental. En el cuerpo humano, la conversión.
de energía química a partir de los alimentos en trabajo mecánico se realiza en general con un rendimiento
superior al 30 por ciento. Esta limitación no se debe a
la segunda ley, sino que su origen está en las pérdidas
de energía en la conversión de los alimentos en componentes que el cuerpo pueda utilizar a nivel celular.
Toda máquina térmica se puede analizar como si
realizara un ciclo. En primer lugar, a una sustancia a
alta temperatura se le permite realizar trabajo y también ceder calor a su medio exterior, a continuación el
ciclo se completa devolviendo la sustancia a su estado
original mientras se le transfiere calor suficiente para
reemplazar la pérdida de energía.
Se demuestra el teorema de Carnot considerando
una máquina térmica reversible especial, llamada máquina de Carnot o ciclo de Carnot. Este ciclo consiste
en cuatro procesos reversibles que se muestran en la
Fig. 11.7 para el caso particular de un gas ideal. Sin embargo, el rendimiento calculado es independiente del material utilizado en la máquina; aquí sólo utilizaremos
el gas ideal, que es el más fácil de analizar.
El camino desde a hasta b es una expansión isotérmica en la cual se absorbe calor Q2 de una fuente térmica a temperatura T 2• El camino be es una expansión
adiabática; en ella no hay intercambio de calor. El camino cd es una compresión isotérmica, en la que el sis-
p
a
e
V
V
V
(a)
e
(b)
(e)
Figura 11.7
(a) Ciclo. de Carnot de un gas ideal. (b) El trabajo realizado por el gas durante la expansión es igual al área sombreada. (e) El trabajo realizado sobre el gas durante la compresión es igual
al área sombreada.
Termodinámica
250
tema cede una cantidad Q 1 de calor a una fuente térmica de temperatura T 1 más baja que T2 • Finalmente,
el material se devuelve a su estado original mediante
una compresión adiabática da, en la que tampoco se
transfiere calor.
Al expansionarse, el gas realiza un trabajo igual al
área comprendida bajo la curva abe (Fig. 11.7b). Para
comprimirlo, se ha de realizar sobre el gas un trabajo
igual al área comprendida bajo la curva cda (Fig.
11.7e). El trabajo neto W realizado por el gas en un ciclo completo es igual, por lo tanto, al área encerrada
por toda la curva del ciclo (Fig. 11. 7a). Como el gas
al final del ciclo vuelve a estar en su estado original, el
cambio neto de energía interna es cero. La primera ley
requiere por consiguiente que el trabajo neto realizado por el gas ha de ser igual al calor absorbido menos
el calor desprendido, es decir,
( 11.8)
La Fig. 11.8 representa en forma simbólica este resultado.
Como el ciclo de Carnot es reversible, el cambio total de entropía del sistema es nulo. Para la fuente térmica a temperatura T2 , el cambio de entropía es l1S2
= -Q2/T2• El cambio de entropía de la fuente térmica a temperatura menor es t:..S1 =Q¡IT1• El gas vuelve
a su estado original, por lo cual su cambio de entropía es cero. Así pues
ó.S(total)
= ti.Si + ó.S2 = -
Q2
T2
+
Qi
Ti
=O
o bien
111
Figura 11 .8 El trabajo realizado en un ciclo completo es igual
al calor absorbido a T 2 menos el calor cedido a T1•
El rendimiento se define como el trabajo realizado dividido por el calor absorbido, e= WIQ2 • Utilizando
W = Q2 - Q 1 hallamos
( 11.9)
Esta razón del trabajo realizado al calor suminis- .
trado es el rendimiento de la máquina de Carnot. Según
la Ec. 11.9, el rendimiento es siempre menor que la unidad, a no ser que la fuente térmica más fría se halle en el
cero absoluto, lo cual es imposible, incluso en principio.
El ejemplo siguiente muestra el rendimiento de una
máquina de Carnot que funciona entre dos temperaturas que se pueden alcanzar fácilmente en la práctica.
Ejemplo 11.S
Una máquina de Carnot trabaja entre 100º C y Oº C.
¿Cuál es su rendimiento?
Pasando las temperaturas a la escala Kelvin, T 1 =
273 K y T2 = 373 K. Luego,
e=
l -
Ti
T2
=l
-
273
373
= 0,268
Sólo el 26,8 por ciento del calor suministrado se convierte en trabajo mecánico; el resto del calor es cedido a la
fuente fría.
11.5
1
IMPLICACIONES DEL TEOREMA DE CARNOT
Tal como hemos advertido anteriormente, el rendimiento de una máquina de Carnot es independiente de
la sustancia utilizada. Esto puede verse claramente en
nuestra deducción, ya que para el cálculo del rendimiento sólo hemos utilizado el hecho de que el ciclo
consiste en dos procesos isotérmicos y dos adiab;$.ticos,
y no nos hemos basado en las propiedades del material. Ello significa que no podemos esperar mejorar el
rendimiento de un ciclo de Carnot mediante la utilización de alguna sustancia especial si el rendimiento de
la máquina se halla ya próximo al rendimiento teórico de Carnot para las temperaturas dadas. Carnot demostró también que ninguna máquina térmica que ope-
re cíclicamente entre dos fuentes térmicas dadas puede
tener un rendimiento mayor que el obtenido por el ciclo
de Carnot.
251
Termodinámica
Las máquinas reales siempre tienen algunas pérdidas como consecuencia del rozamiento y de la turbulencia y, por lo tanto, su rendimiento es menor que el
de una máquina de Camot que opera entre las mismas
temperaturas. Para conseguir el máximo rendimiento,
T2 /T1 se ha de hacer lo más alto posible. En los motores de automóvil de gran rendimiento, el cociente entre los volúmenes máximo y mínimo del cilindro o razón de compresión es muy elevado para poder conseguir grandes cocientes de temperatura del gas en los cilindros.
Las temperaturas y presiones de las calderas de vapor en las central~s termoeléctricas son también muy
. elevadas. Las modernas centrales que funcionan con
combustibles fósiles llegan a rendimientos del orden
del 40 por ciento; el calor desprendido cuando se condensa el vapor se transfiere a un lago o un río o a la atmósfera mediante torres de enfriamiento. Las actuales
centrales nucleares llegan como máximo al 34 por ciento de rendimiento, de modo que los problemas de contaminación térmica que plantean son un poco mayores.
Estos rendimientos se pueden comparar con los rendimientos ideales de Carnot del 52 y del 44 por ciento
respectivamente, para ambos tipos de centrales.
El menor rendimiento de las centrales nucleares se
debe a las limitaciones de las máximas temperaturlil,
que puede alcanzar el uranio en el reactor sin peligro
para la seguridad. El óxido de uranio en el centro de
las barras de combustible ha de mantenerse por debajo de su temperatura de fusión. Ello limita la tempe-
Vapor
de agua-
Árbol de
transmisión
I
Generador
Figura 11.9 Principales componentes de una central termoeléctrica. La fuente calorífica puede ser carbón, fuel-oil o un reactor
alimentado con uranio.
ratura en el exterior de las barras de combustible. En
todas las centrales eléctricas, la temperatura máxima
viene también limitada por los problemas de diseño y
.:le materiales, y la temperatura mínima viene determinada por la disponibilidad de agua para refrigeración.
En la Fig. 11.9 se muestran esquemáticamente los componentes principales de una central termoeléctrica.
Ejemplo 11.6
Una central nuclear produce 500 MW = 5 X 108 W
con un rendimiento del 34 por ciento. El calor despren4
dido se transfiere a un río cuyo caudal medio es de 3 X 10
kg s- i. ¿Cuánto aumenta la temperatura del agua? (Se ne,
cesitan 4,18 X 103 J para elevar l K la temperatura de l
kg de agua.)
Si la central trabaja con un rendimiento del 34 por
ciento, el suministro total de calor ha de ser de
1,47 X 109 W. El 66 por ciento de esta cantidad, es decir,
9,7 X 108 W pasan al río en forma de calor. El calor específico del agua es e= l kcal kg- 1 K- 1 = 4,18 X 103 J kg- 1
K- 1• En un segundo, el calor f:..Q = 9,7 X 108 J aumentará la temperatura del agua en f:..T, donde f:..Q = me f:..1
Con m = 3 X 104 kg,
!1T11Q
- (4,18 X 103 J kg-1 K-1)m
9,7 X 108 J
= (4,18 X 103 J kg-1 K-1)(3 X 104 kg)
= 7,7K
Este aumento de temperatura podría perjudicar seriamente a los organismos del río. En un caso como éste se utilizan torres de refrigeración para transferir calor a la atmósfera más que al río. Una central termoeléctrica convencional con un rendimiento del 40 por ciento y la misma potencia de salida, aumentarla la temperatura del
agua en casi 6 K.
La expresión e = 1 - T 1/T2 para el rendimiento de
la máquina de Carnot proporciona una manera interesante de interpretar la segunda ley de la termodinámica. Si se transfiere calor desde un objeto caliente a
otro más frío, reduciendo su diferencia de temperaturas, el rendimiento de una máquina de Carnot que opera entre tales fuentes térmicas disminuye. Esto significa que se puede realizar menos trabajo con un suministro dado de calor y que la energía almacenada en es•
tos objetos es por lo tanto cada vez menos disponible
para realizar trabajo. Por ejemplo, con tanques de agua
a Oº C y a 100º C podemos hacer funcionar una máquina, pero no la podemos hacer funcionar si mezclamos el agua de los dos tanques y ésta alcanza una temperatura uniforme. El que los sistemas tiendan a esta-
252
Termodinámica
dos de máxima entropía implica por lo tanto que la
energía tiende a hacerse cada vez menos disponible para
realizar trabajo mecánico.
Diferencias térmicas marinas. 1 La creciente búsqueda de fuentes alternativas de energía implica a menudo tener en cuenta los límites impuestos
por el teorema de Camot. Una fuente de energía, sometida en la actualidad a investigación, utiliza las diferencias de temperatura entre la superficie del mar y
los niveles profundos. El agua de la superficie caliente
evapora un fluido activo como el amoníaco, el gas mueve una turbina, al igual que el vapor en una central convencional, y luego se condensa empleando el agua más
fría de las capas inferiores. En aguas tropicales las diferencias de temperatura oscilan entre 18 y 25º C. Suponiendo una temperatura en la superficie de 30º C o
303 K, el rendimiento ideal de Carnot es en el mejor
de los casos
T,
278
e= 1 1 - 303
0,0825
r: =
=
Como el rendimiento teórico de Camot es sólo del
8,25 % y existen otras pérdidas inevitables, un rendimiento del 3 % en la producción de energía eléctrica
se puede considerar un tanto optimista. Para que semejante central produjese 500 MW de potencia eléctrica se necesitaría bombear unos 200 000 litros de agua
por segundo a través de los intercambiadores de calor.
En un test a pequeña escala efectuado en 1979 en el
océano Pacífico cerca de Hawaii, las bombas utilizaron el 80 % de la potencia eléctrica generada; eventualmente, esto podría reducirse hasta el 30 %, lo cual contrasta, no obstante, con el 1 % que consume una central convencional. Así, mientras las existencias de energía térmica en los mares es enorme, los problemas inherentes a su empleo son muy grandes.
11.6
1
FRIGORÍFICOS Y BOMBAS
DE CALOR
Los frigoríficos y las bombas de calor son dispositivos
que extraen calor de un recinto o región de baja temperatura y lo ceden a un recinto de temperatura más
elevada. El frigorífico extrae calor del compartimiento de refrigeración y del congelador y lo cede a la habitación. La bomba de calor, que generalmente opera
entre el interior y el exterior de un edificio, puede utilizarse para enfriar el interior en tiempo cálido y para
calentarlo en tiempo frío.
Si uno de estos dispositivos extrae calor Q1 de un
recinto (depósito de calor) a baja temperatura T1 y cede
calor Q2 a otro a alta temperatura T2 , de la primera ley
de la termodinámica se deduce que el trabajo realiza-.
do por el sistema es
El cambio de energía interna es cero porque el dispositivo opera cíclicamente, devolviendo al sistema repetidamente al mismo estado termodinámico.
El coeficiente de rendimiento o simplemente eficiencia E se define de manera diferente para el frigorífico
y la bomba de calor. Para el frigorífico E, se defme
como la razón del calor absorbido a la temperatura más
baja al trabajo realizado sobre el sistema. El trabajo
realizado sobre el sistema es -W = Q2 - ·Qi, de modo
que
( 11.10)
=
Un frigorífico típico tiene un E 1 5.
Para la bomba de calor E1x; se define como la razón
del calor cedido a la temperatura más alta al trabajo
realizado sobre el sistema.
Así
(11.11)
Las bombas de calor disponibles comercialmente poseen un E1x; comprendido entre 2 y 4.
Podemos hallar los límites teóricos del rendimiento de frigoríficos y bombas de calor ideales del mismo
modo que lo hicimos para el motor de Camot. Un dispositivo ideal opera reversiblemente y, por tanto, el
cambio total de entropía por ciclo del sistema más el
medio exterior es cero. Así, sumando los cambios de
entropía de los recintos de baja y alta temperatura, se
tiene
t:,.S
= -Qi + Q 2 = O
T1
Tz
Y de aquí Q 1/T1 = Q2 /T2• Haciendo uso de este resultado,. el trabajo realizado sobre el sistema por ciclo es
- W = Q2 - Q1, o sea
253
Termodinámica
Las correspondiéntes eficiencias ideales son
E1--
T1
(11.12)
(ideal)
T2 - T1
y
(ideal)
(11.13)
tulo hemos estado interesados específicamente en la ..
energía interna, el calor y el trabajo mecánico. La primera ley es una relación entre estas magnitudes: el cambio de energía interna de un sistema es igual al calór suministrado al sistema menos el trabajo realizado por
el sistema,
AU= U1 - U; = Q- W
Generalmente la cantidad de calor que un frigorífico o una bomba de calor de.b en transferir es proporcional a la diferencia de temperatura T2 - T1. Sin embargo,
vemos que a medida que la diferencia de temperatura
aumenta, la eficiencia ideal de uno y otro dispositivo
disminuye. Precisamente cuando la temperatura exterior es baja y la necesidad de suministrar calor a la casa
es grande, la eficiencia de una bomba de calor puede no
ser mucho mayor que l. Asimismo, en tiempo frío las
bombas de calor tienden a condensar la humedad e incluso a formar hielo, lo que restringe su uso hasta ahora
a zonas con inviernos templados como las regiones del
sur de los Estados Unidos.
Ejemplo 11.7
Una bomba de calor comercial tiene una E,,.= 3 cuando la temperatura del interior es 20º C y la exterior 6° C.
(a) ¿Cuál es el valor ideal de E,,.? (b) ¿Cuánto trabajo se
necesita para hacer funcionar la bomba de calor comercial si se han de aportar a la habitación 3 X 106 J de calor cada hora? ·
(a) Las temperaturas interior y exterior son 293 K y
279 K, respectivamente. Para una bomba de calor ideal
293 K
293 K - 279 K
= 2º•9
(b) El trabajo realizado sobre la bomba de calor en
una hora es
- W=
.
_Jk___ ::::
E,,,
El trabajo realizado por un sistema a una presión P
_cuando tiene lugar un pequeño cambio de volumen V
es
La segunda ley de la termodinámica se expresa en
términos de la entropía. En su forma microscópica, dicha ley establece que los sistemas evolucionan progresivamente hacia un_ desorden molecular creciente. El
enunciado macroscópico de la segunda ley, aunque es
algo más sutil, puede utilizarse para formular enunciados muy generales sobre los procesos y sus respectivos
rendimientos.
Macroscópicamente, si a un sistema se suministra
mediante un proceso reversible una pequeña cantidad
de calor Q, el cambio de entropía del sistema es
La segunda ley establece que la entropía total de un sistema y sus alrededores (medio exterior) no disminuirá
nunca.
Haciendo uso de las dos leyes de la termodinámica demostró Carnot que el rendimiento máximo de un
motor térmico que funciona entre dos temperaturas,
una alta T2 y otra baja Ti, es
·
T1
T2
e= l - -
3 X 10s J = 10s J
3
De este modo, para hacer funcionar la bomba de calor
se ha de suministrar energía en la proporción de 106 J por
hora, o sea 278 W. En una hora, el calor aportado desde
el exterior a la habitación es Q 1 = Q 2 + W= 3 X 106 J
106 J = 2 X 106 J.
Los frigoríficos y las bombas de calor pueden describirse y analizarse en términos de la primera y la segunda ley. Las eficiencias máximas posibles para estos
dispositivos son
(ideal)
RESUMEN
La termodinámica es el estudio de las transformaciones de la energía de una forma en otra. En este capí-
y
(ideal)
Termodinámica
254
Lista de repaso
EJERCICIOS
Definir o explicar:
entropía
segunda ley de la
termodinámica
teorema de Carnot
rendimiento de Carnot
frigorífico
bomba de calor
eficiencia
trabajo
energía interna
primera ley de la
termodinámica
proceso adiabático
proceso isotérmico
estado desordenado
pro cesos reversibles e
irreversibles
CUESTIONES DE REPASO
Q 11-1 Cuando un gas a una presión constante P se
expande en una cantidad ~V, el trabajo realizado
por el sistema es ........ .
Q 11-2 ¿Qué se entiende por la palabra calor?
Q 11-3 ¿Qué es la .energía interna?
Q 11-4 Si se suministra calor a un sistema y éste realiza trabajo, ¿qué es la diferencia entre estas magnitudes?
Q 11-5 La ......... es una medida del desorden en el
sistema.
Q 11-6 Si a un sistema se suministra una pequeña
cantidad de calor ~Q a una temperatura absoluta T,
¿cuál es el cambio de entropía del sistema si el proceso es reversible?
Q 11-7 La segunda ley de la termodinámica establece que la entropía de un sistema más la de su medio exterior nunca puede ........ .
Q 11-8 Si un moto r térmico toma calor a una temperatura T2 y pierde calor a una temperatura más
baja T1, ¿cuál es su máximo rendimiento posible?
Q 11-9 ¿Cómo se define la eficiencia de un frigoríficÓ?
p
A
P¡
Pi
Pi
[b
1/
1
V,
(L)
1
1
V¡
V¡
Figura 11.1 O
V
Ejercicios 11-1 y 11-4.
Sección 11.1 1 Trabajo mecánico
11-1 En la Fig. 11.10, (a) ¿cuánto trabajo mecánico realiza el sistema en el proceso desde A hasta B
por el camino (2)? (b) Si el sistema se devuelve desde B hasta A por el mismo camino, ¿cuánto trabajo
realiza el sistema?
11-2 Un gas realiza trabajo en un proceso isobárico a P = 10s Pa. ¿Cuánto trabajo realiza el gas si (a)
3
2
V,= 10· 2 m 3 y V1 = 2,24X 10· 2 m3;(b) Vi = 2 X 10· m
2
3
- -o,5x 10· m.?
yVb
11-3 Una fuerza de 10 N dirigida hacia la izquierda se aplica al émbolo de la Fig. 11.1. Si el émbolo
se desplaza 0,14 m, ¿cuánto trabajo se realiza sobre
el gas?
Sección 11.2
1
Primera ley de la termodinámica
11-4 En la Fig. 11.10, un sistema evoluciona desde
el punto A hasta el punto B. ¿Cuánto trabajo realiza el sistema si (a) sigue el camino (1 ), (b) sigue el
camino (2)? (c) Si el proceso (1) se lleva a cabo de
forma adiabática, ¿cuál es el cambio de energía interna del sistema?
p
P¡
Pi
A
_¡ •-t,
V¡
Figura 11.11
ni'. Ejercicio 11.5.
V
3
P, = 1 atm, P2 = 3 atm, V,= 0,02 m y V,= 0,10
11-5 Al pasar de A a B, según el proceso que se indica en la Fig. 11.11, el aumento de energía interna
de una sustancia es de 3 X 10s J. ¿Cuánto calor absorbe el sistema?
11-6 Hallar el cambio de energía interna del sistema cuando (a) el sistema absorbe 2000 J de calor y
produce 500 J de trabajo; (b) el sistema absorbe
1100 J de calor y se efectúan 400 J de trabajo sobre
él.
11-7 Un calentador eléctrico suministra calor a un
gas con una tasa de 100 W. Si el gas que se expande realiza 75 J de trabajo en cada segundo, ¿a qué
tasa aumenta la energía interna?
Termodinámica
255
11-8 Si el gas del Ejercicio 11-7 está a una presión
constante de 1 atm, ¿cuánto se expande en 10 s?
11-9 Se calienta el gas de la Fig. 11.1. ¿En qué condiciones la energía interna aumentará más rápidamente, cuando el émbolo se mantiene fijo o cuando el émbolo puede desplazarse hacia la derecha?
Dar una explicación, razonándola.
Sección 11.3 1 Segunda ley de la termodinámica
11-10 Una baraja nueva de cartas tiene todas las de
un mismo palo juntas y ordenadas numériéamente.
Si barajamos a continuación, ¿cambiará su entropía? ¿Por qué?
11-11 La segunda ley de la termodinámica establece que el desorden del universo, o bien permanece
constante, o bien aumenta. (a) ¿Cómo puede armonizarse esto con el hecho de que las plantas y los animales evolucionen hacia sistemas altamente ordenados? (b) ¿Cómo puede hacerse compatible la se- gunda ley con la teoría de la evolución, que establece que las especies evolucionan desde estadios más
simples a estructuras complejas altamente ordenadas?
11-12 Un sistema a temperatura constante de 300 K
absorbe 104 J de calor y no realiza trabajo. (a)
¿Cuánto cambia la entropía del sistema? (b) ¿Cuánto cambia su energía interna?
11-13 Se pincha un globo lleno de helio y el gas se
reparte uniformemente por toda la habitación. (a)
¿Este proceso es reversible? Explicarlo. (b) La entropía del helio y la del aire de la habitación, ¿han
aumentado o han disminuido? Explicarlo.
11-14 En términos de la forma microscópica de la
segunda ley de la termodinámica, explicar por qué
al lanzar repetidamente una moneda aparece cara
más o menos tan a menudo como cruz.
11-15 Se .e cha a cara o cruz 6 veces una moneda.
(a) ¿De cuántas maneras pueden estos lanzamientos producir todos ellos cruz, uno cara y cinco cruz,
dos cara y cuatro cruz..., cinco cara y uno cruz, y todos cara? (b) A partir de los resultados, ¿cuál es el
más probable de los seis lanzamientos? Dar una explicación.
Sección 11.4
de energia
1
El teorema de Carnot y la conversión
11-17 Un motor de combustión interna que utiliza
como sustancia de trabajo aire y gas natural, alcanza en la cámara de ignición una temperatura de
2150 K y una temperatura de expulsión de 900 K. ·
La diferencia entre el calor suministrado y el trabajo realizado por el motor en cada segundo es
4,6 X 106 J. (a) ¿Cuál es el rendimiento ideal de Carnot de dicho motor? (b) ¿Cuánto trabajo se efectúa
en realidad¡,or segundo si el suministro de calor es
de 7,9 X 10 W? (c) ¿Cuál es el rendimiento real de
dicho motor?
11-18 Si una máquina térmica opera con un rendimiento del 40 por ciento y absorbe 104 W de la fuente térmica de temperatura más elevada, ¿cuál es su
tasa de realización de trabajo mecánico?
Sección 11.S I Implicaciones del teorema de Carnot
11-19 Si las centrales eléctricas convencionales y las
nucleares trabajan con redimientos del 40 por ciento y del 30 por ciento, respectivamente, y si la fuente térmica de baja temperatura se halla a 300 K para
ambas, ¿cuál es la temperatura mínima del vapor
producido por el combustible en cada caso?
11-20 Si la central del Ejemplo 11.6 fuera una central convencional que tuviera un rendimiento del 40
por ciento, ¿cuánto aumentaría la temperatura del
agua como consecuencia del calor desechado por la
central?
Sección 11.6
1
Frigoríficos y bombas de calor
11-21 Un frigorífico extrae calor del congelador a
-3º Ca una tasa de 100 W. El calor se cede a una
habitación a 26º C. (a) ¿Cuál es la eficiencia máxima posible del frigorífico? (b) Si la E, real es 4,
¿cuánta potencia se necesita para mantener el congelador a -3º C?
11-22 Se emplea una bomba de calor para suministrar calor a una vivienda a una tasa de 5000 W. Si
se da energía para hacer funcionar la bomba a una
tasa de 2000 W, ¿cuál es la eficiencia de la bomba
de calor?
PROBLEMAS
11-16 ¿Cuál es~• máximo rendimiento de una máquina térmica que trabaja entre dos fuentes a 100º C
11-23 Un sistema pasa del estado a al e siguiendo
el camino abe de la Fig. 11. 12. Se comunican al sistema 105 J de calor y se hacen sobre él 4 X 104 J de
trabajo. (a) ¿Cuánto calor fluye al sistema por el ca-
y a 400º C?
mino adc si se realiza sobre él un trabajo de 104 J?
256
Termodinámica
p
b~c
a~d
V
Figura 11.12
Problema 11-23.
(b) Si el sistema vuelve desde el estado a al estado
e por el camino en zigzag de la figura, el trabajo es
4
de 2 X 10 J. ¿Cuánto calor entra o sale del sistema?
4
4
(c) Si ,U. = 10 J y Ud= 5 X 10 J, ¿cuál es el calor
absorbido a lo largo de los caminos ad y de?
11-24 Ocho litros de aire a temperatura ambiente
y a la presión atmosférica se comprimen isotérmicamente hasta un volumen de 3 litros. El aire se expansiona luego adiabáticamente hasta un volumen
de 8 litros. Mostrar el proceso en un diagrama P-V.
11-25 Una máquina opera según el ciclo mostrado
en la Fig. 11.13, un diagrama temp~.atura-entropía. ¿Cuál es el rendimiento de la máquina?
*11-26 Dibujar esquemáticamente un diagrama
T-S de un ciclo de Carnot entre las temperaturas T2
y T1 con T2 > T1•
.11-27 Dos dados, cada uno con sus caras del 1 al
6, se lanzan juntos. (a) ¿De cuántas maneras pueden los dos dados sumar en cada lanzamiento 2, 3,
4,... , 12? (b) ¿Cuál es el total más probable? (c) ¿Qué
implica la parte (b) en términos de la entropía y el
desorden?
T
700K
---------------
400 K
300 K
- - - - - - ______.,__ __
______....,..,__
,__ _ _ _......__ _ __ __..__ _ _.___S(J K- 1 )
100
Figura 11.13
Problema 11-25.
200
250
11-28 Se utiliza una bomba de calor en la calefacción de un edificio cuando la temperatura exterior
es Oº C y la interior 25º C. La eficiencia de la bomba en estas condiciones es 3,2. (a) Si la bomba suministra calor al interior a razón de 5 X 106 J por
hora, ¿a qué tasa debe realizarse trabajo para hacer
funcionar la bomba? (b) ¿Cuánta energía eléctrica
habría que gastar para calentar el edificio directamente? (c) Un litro de petróleo suministra
3,7 X 107 J de energía cuando se quema. ¿Cuántos
litros de petróleo por hora deben quemarse con un
rendimiento del 80 % para suministrar el calor que
necesita el edificio? (d) Si se quema el petróleo para
producir energía eléctrica con un 40 % de rendimiento, y ésta se utiliza para hacer funcionar la
bomba, ¿cuánto petróleo debe quemarse por hora?
11-29 Se han de extraer 2 X 105 J de calor de una
bandeja de agua para producir cubitos de hielo. (a)
¿Cuánto tardará en extraer este calor una máquina
frigorífica de Carnot de 200 W de entrada que opere entre temperaturas interior y exterior de 270 y
310 K, respectivamente? (b) ¿Este tiempo está de
acuerdo con el que estamos acostumbrados a observar para que se hiele una bandeja de agua? Explíquese la diferencia, si hay alguna.
11-30 El motor de un frigorífico ideal de Carnot
produce 200 W de potencia útil. El congelador del
frigorífico se halla a T 1 = 270 K y la temperatura ambiente es de T2 = 300 K. Hallar la máxima cantidad
de calor que puede extraerse del congelador en un
minuto.
11-31 La caldera de un reactor nuclear calienta vapor de agua a 285º C y el agua de refrigeración se halla a 40º C. El rendimiento real de la central es del
34 por ciento. (a) ¿Cuál es el rendimiento ideal de
la central? (b) ¿Cuál es la razón de la potencia perdida realmente a la perdida en la situación ideal?
11-32 Usar la diferencia de temperatura entre la superficie y las aguas profundas del mar para producir electricidad implica transportar calor desde el
agua a alta temperatura a una sustancia activa y desde aquí al agua fría. Para aumentar en 1 K la tem3
peratura de 1 kg de agua se necesitan 4,169 X 10 J .
6
Para producir 500 MW (500 X 10 W) de electricidad con un rendimiento del 4 %, una masa m de
agua fría debe elevar su temperatura desde 12 a
30º C en cada segundo. ¿Cuánto vale m?
11-33 La diferencia de temperatura entr.e la super-
257
Termodinámica
ficie y las aguas profundas de grandes presas podría
emplearse para producir energía del mismo modo
que hemos descrito para las aguas marinas. Si se supone que las aguas profundas están siempre a 5º C,
¿cuál es el rendimiento ideal para utilizar esta fuente de energía en enero y julio si la temperatura del
agua de la superficie es 8 y 23º C, respectivamente,
en estos dos meses?
RESPUESTAS A LAS CUESTIONES DE REPASO
Q 11-1,PAV; Q 11-2, la energía térmica transportada; Q 11-3, la energía de un sistema debida a la energía cinética de traslación, rotación y vibración de
sus moléculas más la debida a las interacciones moleculares; Q 11-4, el cambio de energía interna;
Q 11-5,entropía; Q 11-6, AQIT; Q 11-7, disminuir;
Q 11-8, 1- T1IT2; Q 11-9, como la razón del calor
absorbido a la temperatura más baja al trabajo realizado sobre el sistema.
TEMAS SUPLEMENTARIOS
11.7
1
METABOLISMO HUMANO
Todos los seres vivos necesitan energía para mantener
los procesos vitales. Las plantas verdes obtienen su
energía directamente del Sol mediante el proceso de la
fotosíntesis. Las plantas que no utilizan la fotosíntesis,
como los hongos, y los animales necesitan alimentos
c~paces de proporcionar energía química. En cualquier
caso, tanto las plantas como los animales operan dentro de las limitaciones impuestas por la termodinámica.
La primera ley de la termodinámica proporciona
un esquema conveniente para catalogar los factores
que intervienen en el complejo tema del metabolismo
humano. Supongamos que en un tiempo At una persona reaJiza un trabajo mecánico AW. Éste puede utilizarse directamente en hacer ciclismo, traspalar nieve
o empujar un coche. En general, el cuerpo perderá calor, por lo cual AQ será negativo. Su valor puede medirse hallando cuánto calor se ha de extraer de la habitación en que se halla la persona pata que la temperatura del aire siga siendo constante. Según la primera ley, el cambio de energía interna au viene dado po~
AU= AQ-AW. Dividiendo por At, obtenemos la si•
guiente relación entre las tasas de cambio de las corres-
pondientes magnitudes
/::,,U
l::,.t
l::,.Q
t:,,W
=-- -l::,.t
(11.14)
/::,,t
La tasa de cambio de la energía interna puede medirse con precisión observando la tasa de consumo de
oxígeno para convertir el alimento en energía y materiales de desecho. Por ejemplo, un mol (180 g) de glucosa, que es un hidrato de carbono típico, se combina
con 134,4 litros de gas oxígeno en una serie de pasos
para formar anhídrido carbónico y agua. En este proceso se liberan 2780 kJ de energía. El equivalente energético del oxígeno se define como el cociente entre la
energía liberada y el oxígeno consumido. Para la glucosa este cociente es 287.0 kJ/134,4 litros= 21,4 kJ Iitro-1. El contenido energético por unidad de masa se define como la energía liberada dividida por la masa.
Para la glucosa este cociente es 2870 kJ/180 g = 15,9
kJ g-1.
En la Tabla 11.1 aparecen el contenido energético
medio por unidad de masa y el equivalente energético
del oxígeno para los hidratos de carbono, las proteínas y las grasas que se consumen habitualmente. El
equivalente energético del oxígeno es aproximadamente el mismo, salvo en un pequeño tanto por ciento. Así
pues, se utiliza un valor medio de 20,2 kJ litro- 1 para
convertir el consumo medido de oxígeno en tasa de
cambio de la energía interna. Por ejemplo, si una persona consume oxígeno a la tasa elevada de 100 litros h- 1,
la tasa de cambio de la energía interna es (100 litros
h- 1)(20,2 kJ litro- 1) = 2020 kJ h- 1 = 561 W.
TABLA 11.1
Contenido energético medio por unidad de masa de
alimento y equivalente energético del oxígeno de una
dieta típica
Alimento
Hidrato de carbono
Proteína
Grasa
Etanol
Promedio estándar
Contenido
energético por
unidad de masa
(kJ g"1)
Equivalente
energético del
oxígeno
(kJ litro-1 )
17,2
17,.6
3!!,9
29,7
21, 1
18,7
19,8
20,3
20,2
Termodinámica
258
I Todos los animales,
incluidos los seres humanos, consumen energía interna incluso cuando duermen. La tasa de consumo de
energía en reposo, pero despiertos, se denomina tasa
metabólica basal. Su valor es aproximadamente de 1,2
W kg- 1 para un hombre medio de 20 años y de 1,1 W
kg-1 para una mujer de la misma edad. Ello corresponde a unas 1700 kcal por día y 1400 kcal por día para un
hombre de 70 kg y una chica de 60 kg, respectivamente.
La mayor parte de la energía consumida por una persona en reposo se convierte directamente en calor. El
resto se utiliza para producir trabajo en el interior del
cuerpo y se convierte después en calor.
Los materiales de los alimentos no se utilizan directamente por el cuerpo, sino que se convierten primero
en materiales tales como el ATP (trifosfato de adenosina) que puede ser consumido directamente por los tejidos. En esta transformación se pierde aproximadamente el 55 por ciento de la energía interna en forma
de calor. El 45 por ciento restante queda disponible
para realizar trabajo interno en los órganos del cuerpo o para hacer que se contraigan los músculos que
mueven los huesos y realizar así trabajo sobre los objetos exteriores.
Cuando una persona está realizando una actividad
tal como subir escaleras o hacer la limpieza de la casa,
la tasa metabólica aumenta (Tabla 11.2). Una parte del
aumento en la conversión de la energía interna se necesi-
Tasa metabólica basal
ta para proporcionar el trabajo mecánico realizado por
la persona. El resto se debe al aumento de las demandas internas del cuerpo. Por ejemplo, al traspalar, la
tasa metabólica es unas ocho veces mayor que la tasa
metabólica basal, pero la cantidad de trabajo mecánico producido es en realidad muy pequeña. La energía
metabólica es consumida principalmente por los músculos esqueléticos que cambian y mantienen la posición
del cuerpo.
El ejemplo siguiente estudia algunas de las ideas
que hemos desarrollado en este punto.
·
Ejemplo 11.8
(a) ¿Cuánta energía interna consume un hombre de
65 kg al ir 4 horas en bicicleta? (b) Si esta energía se obtiene por metabolismo de la grasa del cuerpo, ¿cuánta grasa se gasta en este período?
(a) Según la Tabla 13.2, la tasa metabólica al ir en bicicleta es de 7,6 W kg- 1• Un hombre de 65 kg consume
por lo tanto energía a una tasa de (7,6 W kg-1) (65 kg) =
4
494 W. Cuatro horas son 1,44 X 10 s, de modo que el consumo neto de energía es
- !:,.U= (494 W)(l,.44 X 104 s)
=7,1 X 106 J
= 7100 kJ
(b) La energía equivalente de la grasa es de 38,9 kJ g-1,
de modo que la masa de grasa necesaria para producir
esta energía es
(7100 kJ)
Masa de grasa
TABLA 11.2
Tasas metabólicas aproximadas por unidad de masa
de un hombre de 20 arios durante varias actividades
tividades
Activity
Dormir
Acostado y despierto
Sentado en posición recta
De pie
Pasear
Temblar
Montar en bicicleta
Traspalar
Nadar
Cortar leña
Esquiar
Correr
1, 1
1,2
1,5
2,6
4,3
hasta 7,6
7,6
9,2
11,0
11,0
15,0
18,0
= (38,9 kJ g_1)
= 180 g = 0,18 kg
Para apreciar este resultado es conveniente compararlo con el equivalente energético de la comida necesaria
para un hombre sedentario durante 24 horas, que es de
10 500 kJ o 2500 kcal. Por lo tanto, el ejercicio de ir en bicicleta durante 4 horas consume aproximadamente dos
tercios de la energía que un hombre sedentario necesita
para todo el día. Ello indica que limitar la cantidad de
comida es para la mayoría de la gente una forma más
práctica de perder peso que no el hacer ejercicio fisiCQ.
El rendimiento de utilización de los alimentos I El rendimiento de los seres humanos al
utilizar la energía química de los alimentos para realizar trabajo útil puede definirse de varias maneras. El
convenio más habitual se basa en comparar la tasa con
259
Termodinámica
TABLA 11.3
al cambio de energía potencial de la chica, es decir
Rendi mientos máximos de trabajos físicos
Rendimiento en
porcentaje
Actividad
3
Traspalar en posición inclinada
Levantar pesos
Girar una rueda pesada
Subir escaleras de mano
Subir escaleras
Montar en bicicleta
Escalar ~olinas con una pendiente de 5°
~W
= mgh = (SO kg)(9 ,8 m s=4,9 X l05 J
13
19
llW
llt
23
25
que se realiza trabajo mecánico con la tasa metabólica basal. El rendimiento e en tanto por ciento es entonces
~l!i- U- -t- U- ~\
%
( 11.15)
6t b asal
ót
El denominador es la diferencia entre la tasa metabólica real y la basal. El rendimiento sería del 100 por
ciento si toda la energía adicional se conviertiera entrabajo mecánico. La Tabla 11.3 recoge algunos rendimientos medidos.
El siguiente ejemplo muestra el cálculo del rendimiento para escalar una montaña.
100 6. W
llt
e =~~---~
llU
ll U
llt
llt basal
Una chica de 20 años y de 50 kg de masa escala una
montaña de 1000 m de altura en 4 horas. Su tasa metabólica por unidad de masa durante esta actividad es de 7
1
W kf • (a) ¿Cuál es la diferencia entre esta tasa metabólica y su tasa metabólica basal? (b) ¿Cuánto trabajo se realiza en la escalada? (c) ¿Cuál es su rendimiento?
(a) Como la tasa basal de la mujer es de 1,1 W kg- 1,
la diferencia por unidad de masa es (7 - 1,l)W kg- 1 = 5,9
W kg- 1 • La diferencia total de las tasas es este número multiplicado por la masa del cuerpo, es decir
ll U - 6. U
t,.{ basal
1
=34 W
¡-
= (50 kg)(5,9 W kg- 1)
= 295 W
(b) El trabajo realizado durante la escalada es igual
100(34 W )
295 W
= II,S%
Así pues, la chica está consumiendo la energía de la comida para producir trabajo mecánico con un rendimiento del 11,5 por ciento. En general, el rendimiento de las
actividades humanas está por debajo del 30 por ciento.
Es importante observar que la tasa con que se produce trabajo depende de cuánto tiempo se realiza de
forma continua tal actividad. Una persona en buenas
condiciones fisicas puede producir aproximadamente
una potencia de 21 W kg- 1 en una carrera ciclista, pero
sólo durante unos 4 ó 6 segundos. Cuando se realiza
un trabajo durante unas 5 horas, la tasa metabólica
máxima es de unos 6 ó 7 W kg- 1• Para una persona que
realice trabajo fisico, la tasa metabólica promedio durante el afio es de unos 4 W kg- 1 o incluso menor.
EJERCICIOS SOBRE LOS TEMAS
SUPLEMENTARIOS
Sección 11.7
Ejemplo 11.9
l 6.t
4,9 X JQ5 J
( 1,44 X 104 s)
(c) Su rendimiento se calcula a partir de la definición
30
l
=
m)
4
Adaptado de E. Grandjeán, Fitting the Task to the Man; An Ergonomic Approach, Taylor and Francis, Londres, 1969.
e
)( 1000
La tasa con que realiza trabajo durante 4 h = 1,44 X 10 s
es
9
100 f1W
M
2
1
Metabolismo humano
11-34 Una chica de 55 kg de masa produce calor a
una tasa de 1,1 W kg- 1 cuando permanece acosta-
da durante un día cálido. Si la temperatura de su
cuerpo es constante, (a) ¿cuál es la tasa de cambio de
su energía interna? (b) ¿Cuánta energía interna consumirá en 8 horas? (c) Si toda ~sta energía procede
del.metabolismo de hidratos de carbono, ¿qué masa
de hidratos de carbono consume?
11-35 Una chica que sigue una dieta normal consume energía interna a una tasa de 3 W kg- 1 y tiene
50 kg de masa. (a) ¿Cuál es su tasa de consumo de
oxígeno? (b) ¿Cuánto oxígeno consume en 8 horas?
11-36 Un hombre de 60 kg mueve tierra con una
pala con un rendimiento del 3 por ciento y su tasa
260
metabólica es de 8 W kf 1. (a) ¿Cuál es su producción de potencia? (b) ¿Cuánto trabajo produce en 1
hora? (c) ¿Qué calor pierde su organismo en 1 hora?
11-37 Una chica de 45 kg tiene en reposo una tasa
metabólica basal normal. (a) ¿Qué volumen de oxígeno consume en 1 hora? (b) Si anda durante una
hora, y tiene una tasa metabólica de 4,3 W kg-•,
¿cuánto oxígeno consumirá?
11-38 Si un chico de 20 años y 70 kg de masa consume 1 litro de oxígeno por minuto, (a) ¿Cuál es su
tasa metabólica? (b) Si hiciera trabajo con un rendimiento del 100 por cien, ¿cuál sería su potencia
mecánica efectiva?
11-39 En 1846, J. P. Joule halló experimentalmente que en 24 hora:; un caballo hace un trabajo equivalente a elevar un peso de 108 N hasta una altura
de 0,3 m. El forraje y el maíz consumidos durante
dicho período equivalen a una reserva de energía interna de 1,2 X 108 J. (a) ¿Qué fracción de dicha energía interna utiliza el caballo para hacer trabajo mecánico? (b) Si el rendimiento real del caballo fuera
de un 30 por ciento, ¿cuál sería su tasa metabólica
basal?
PROBLEMAS SOBRE LOS TEMAS
SUPLEMENTARIOS
11-40 La tasa metabólica basal de la mayor parte
de los hombres decrece después de los 20 años, habiendo disminuido en un 20 por ciento al llegar a
los 70 años. (a) ¿Una persona anciana se enfriará en
un día de invierno más rápidamente que una persona joven? ¿Por qué? (b) Si un hombre de 70 años
realiza trabajo al mismo ritmo que un hombre joven y ambos trabajan con el mismo rendimiento,
¿cuál de ellos tendrá una tasa metabólica mayor?
Explicarlo.
11-41 Si la dieta de una persona de 70 kg tiene un
equivalente en energía de 1,25 X 107 J, ¿cuánto trabajo podrá realizar dicha persona con un rendimiento del 15 por ciento y una tasa metabólica de
250 W hasta que haya consumido toda la energía
de los alimentos?
11-42 Si un hombre de 90 kg hace ejercicio con una
tasa metabólica de 7,5 W kg-1, ¿cuánto tiempo habrá de estar hasta consumir 1 kg de grasa?
11-43 Un velocista de 70 kg hace trabajo a un ritmo de 820 W durante el último tramo de una carrera ciclista en el que tarda 11 s. Si el rendimiento es
Termodinámica
del 20 por ciento y sólo consume hidratos de carbono, ¿qué masa de éstos gastará?
11-44 Una chica de 45 kg sube corriendo un tramo
de escaleras de 5 m de altura en 3 s. (a) ¿Cuál es su
potencia mecánica efectiva? (b) Si la tasa metabólica basal de la chica es de 1 W kg- 1 y trabaja con un
rendimiento del 10 por ciento, ¿cuál es su tasa metabólica cuando sube las escaleras? (c) ¿Cuál es la
cantidad total de oxígeno que consume mientras
sube?
11-45 Si la mujer del Problema 11-44 baja las escaleras, la variación de su energía potencial es negativa. ¿Se necesita energía metabólica en este proceso? Dar una explicación.
11-46 En el Capítulo 8, el modelo de escala de resistencia a la flexión llevó a la conclusión de que la
tasa metabólica de un animal de masa m varía como
m0•15• Esto significa también que la tasa metabólica
, como mo'15¡m = m-o'25. La
por um·da d d e masa vana
tasa metabólica basal de un hombre de 60 kg es 1,2
W kg-1 • ¿Cuál es la tasa metabólica basal por unidad de masa de un caballo de 960 kg?
11-47 Utilizando la ley de escala descrita en el Problema 11-46, ¿cuál es la tasa metabólica basal esperada para un elefante de 6400 kg si la de una rata de
0,04 kg es de 0,3 W?
ll-48 Un colibrí consume 0,06 W para revolotear.
Las tasas de consumo de oxígeno medidas experimentalmente para un colibrí en reposo y revoloteando son respectivamente 5 X 10- 6 litros s-• y 35 X 10- 6
litros s-1• ¿Cuál es el rendimiento de un colibrí cuando revolotea?
11-49 Una persona sometida a dieta consume
1O 500 kJ, o sea 2500 kcal día-i, y gasta 12 600 kJ
día-•. Si el déficit se suple mediante consumo de la
grasa almacenada, ¿en cuántos días perderá 1 kg?
Lecturas adicionales
W. F. Magie,A SourceBook inPhysics, McGraw-Hill Books
Co. New York, 1935, pp. 196-211. Fragmentos de los escritos de Mayer y de Joule.
V. V. Raman, Where Credit is Due-The Energy Conservation
Principie, Physics Teacher, vol. 13, 1975, p. 80.
T. C. Ruch y H. D. Patton (eds.), Physiology and Biophysics,
vol. 3, W. B. Saunders, Philadelphia, 1973. El cap. 5, escrito por Arthur C. Brown, habla del'metabolismo humano.
Termodinámica
George B. Benedek y Felix M . H . Villars, Physics: With Illustrations from Medicine and Biology, vol. 1, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass., 1973, pp. 5-115. Metabolismo humano.
Knut Schmidt-Nielsen, Animal Physiology, 3.' ed., Prentice
Hall, Inc. Englewood Cliffs, N. J. 1970. Metabolismo humano y animal.
I. Prigogine, G. Nicolis y A. Babloyantz, Thermodynarnics
of Evolution, Physics Today, noviembre 1972, p. 23; diciembre 1972, p . 38. Artículos interesantes pero difíciles.
Beverly Karplus Hartline, Tapping Sun-Warmed Ocean
Warmed Waterfor Power, Science, vol. 209, 1980,p. 794.
La primera demostración de que realmente se puede obtener energía de las diferencias térmicas del agua del mar.
The Science-and-Art-ofKeeping Warm, Natural History, vol.
90, octubre 1981. Un número especial dedicado a cómo
personas, plantas y animales sobreviven en tiempo frío.
Artículos del Scientific American:
Mitchell Wilson, Count Runford, octubre 1960, p. 158.
J. W. L. Kohler, The StirlingRefrigeration Cycle, abril 1965,
p. 119.
Graham Walker, The Stirling Engine, agosto 1973, p. 80.
C. M. Sumrners, The Conversion of Energy, septiembre 1971,
p. 148.
Lynwood Bryant, Rudolf Diesel and His Rational Engine,
agosto 1969, p. 108.
Freeman Dyson, Energy in the Universe, septiembre 1971,
p. 50.
W. Ehrenberg, Maxwell's Demon, noviembre 1967, p. 103.
Stanley W. Angrist, Perpetua! Motion Machines, enero 1968,
p. 114.
261
O. V. Lounasmaa, New Methods of Approaching Absolute
Zero, diciembre 1969, p. 26.
John R. Clark, Thermal Pollution and Aquatic Life, marzo
1969, p. 18.
James B. Kelley, Heat, Cold and Clothing, febrero 1956, p.
107.
R. E. Newell, The Circulation of the Upper Atmosphere,
marzo 1964, p. 62.
C. B. Chapman y J. H. Mitchell, The Physiology of Exercise, mayo 1965, p. 88.
J. R. Brett, The Swimming Energetics of Salmon, agosto
1965, p. 80.
Vanee A. Tucker, The Energetics ofBird Flight, mayo 1969,
p. 70.
David M. Gates, The Flow of Energy in the Biosphere, septiembre 1971, p. 88.
Bernd Heinrich, Toe Energetic of the Bumblebee, abril 1973,
p. 97.
Eugene S. Ferguson, The Measurement ofthe Man-Day, octubre 1971, p. 96.
Rudolfo Margaría, The Sources ofMuscular Energy, marzo
1972, p. 84.
Salvador E. Luria, Colicins and the Energetics of Cell Membranes, diciembre 1975, p. 30.
El número de septiembre de 1970 del Scientific American trata de la Biosfera y contiene numerosos artículos relacionados con los ciclos energéticos y la vida.
Artículos de Investigación y Ciencia:
Jules Janick, Carl H. Noller y Charles L. Rhykerd, Los ciclos de la nutrición vegetal y animal, noviembre 1976, p.
50.
S. S. Wilson, Sadi Camot, octubre 1981, p. 106.
CAPÍTULO
12
PROPIEDADES TÉRMICAS
DE LA MATERIA
En el Capítulo 10 describimos la relación entre la temperatura de una sustancia y la energía media de sus moléculas, utilizando como ejemplo un gas ideal. La relación entre esta energía interna y el trabajo realizado
por el sistema se discutió en el Capítulo 11. La mayoría de estas discusiones se ha hecho casi sin referirlas
a materiales específicos. Aquí vamos a centrar nuestra
atención sobre cómo diversas propiedades de los materiales varían con la temperatura y cómo los materiales transportan energía térmica. En cada caso tenemos
en cuenta la naturaleza de los materiales implicados.
Como las propiedades de la materia dependen de
la temperatura, el intercambio de energía térmica es extremadamente importante. Como los procesos biológicos sólo pueden desarrollarse con normalidad en un
pequeño intervalo de temperaturas, tanto el hombre
como la naturaleza han conseguido formas para limitar o mejorar los medios mediante los que se llevan a
cabo estos intercambios de energía. Por ejemplo, aislamos nuestras viviendas, nuestros cuerpos reaccionan
con el sudor frente a aumentos de temperatura, etc.
Damos comienzo a nuestro estudio de las propiedades térmicas de la materia con la dilatación de sólidos y líquidos. A continuación discutimos cómo cambia la temperatura de un objeto cuando se le suministra o se le extrae energía térmica o calor. Ello nos lleva a un análisis de la transmisión de la energía térmica, y aplicamos nuestras conclusiones al estudio del
control de la temperatura en los animales de sangre caliente.
262
12.1 I DILATACIÓN TÉRMICA
Cuando se calienta una sustancia, su volumen en general aumenta y cada dimensión crece en la forma
correspondiente. Este aumento de tamaño puede explicarse en términos del aumento de energía cinética
de átomos y moléculas. La energía cinética adicional
tiene como resultado que cada molécula choca con más
fuerza contra sus vecinas. Las moléculas, por lo tanto, se separan más entre sí y el material se dilata.
A nivel macroscópico, podemos hallar una relación
conveniente entre el cambio de longitud de un objeto
y la variación de temperatura. Supóngase que la longitud original del objeto de la Fig. 12.1 es I y que se produce un pequeño cambio de longitud t:J.l cuando la temperatura experimenta un pequeño aumento t:J.T. Si dividimos el objeto en dos partes iguales, cada parte tendrá una longitud l/2 y se dilatará t:J.//2. Por consiguient~, el cambio d~ longitud t:J./ es directamente proporc10nal a la longitud /. Además, se comprueba experimentalmente que si se duplica la variación de temperatura, es decir, si la temperatura aumenta en 2 t:J.T, la
dilatación también se duplica. Estas dos proporcionalidades se pueden expresar mediante una sola ecuación
(l 2. l)
La constante a es el coeficiente de dilataci6n lineal.
Es una propiedad de cada material y depende algo de
la temperatura. En la Tabla 12.1 se dan valores típi-
263
Propiedades térmicas de la materia
T+t,.T
T+t,.T
(a)
Figura _12. 1_ La dilata~ión de una barra es proporcional a su longitud. Cuando la oarra se parte en
dos, la d1latac16rt se hace mitad también.
•
Latón
cos de a. Vemos que a tiene las dimensiones de inversa de la temperatura y, por lo tanto, sus unidades se expresan como K-1• Como sólo interviene la variación de
temperatura, podemos medir t::i.T en grados Celsius o en
kelvins, indistintamente. Utilizaremos ese hecho a lo
largo de este capítulo. Como a depende ligeramente
de la temperatura, la Ec. 12.1 sólo es válida para pequeñas variaciones de temperatura. Sin embargo, resulta bastante precisa si se utiliza un valor medio de a
aunque t::i.T sea de 100º C o más.
El siguiente ejemplo muestra la importancia de la
dilatación térmica.
~
Acero
Figura 1 2. 2
Las tiras de latón y acero soldadas entre sí se dilatan de manera diferente al calentarlas. (a,.,0 , > a,w0 ).
Ejemplo 12.1
La carretera que cruza el puente Golden Gate tiene
1 280 m de longitud. Durante un cierto año, la temperatura varía desde -12° C hasta 38º C. ¿Cuál es la diferencia de longitudes a dichas temperaturas, si la carretera
está sostenida por vigas de acero? Para el acero, a= 1,27 X
105 K- 1•
Con
t:..T=38º C-(-12ºC) =50ºC=50K,
M
= al !::!,.T
= (1,27 X
= 0,81 m
10-5 K- 1)(1280 m)(50 K)
Este cambio apreciable de longitud del pavimento de la
carretera se ha de tener en cuenta al diseñar el puente. Si la
estructura no permitiera c"ambiar la longitud con los cambios de temperatura, se producirían fuerzas enormes que
causarían graves perjuicios en el puente.
Dos aplicaciones interesantes de la dilatación térmica son el termostato y el ultramicrótomo. Un termos-
tato tiene dos tiras de metal de distinto coeficiente de
dilatación lineal soldadas entre sí longitudinalmente.
Cuando se calienta, la dilatación desigual hace que las
TABLA 12.1
Coeficiente de dilatación lineal de diversos materiales
a (K-1)
Material
Temperatura (°C)
Aluminio
- 23
20
77
Diamante
527
Celuloide
20
Vidrio (la mayoría de
50
sus tipos)
50
Vidrio (Pyrex)
50
Hielo
-5
Acero
20
Platino
20
2,21
2,30
2,41
3,35
1,00
1,09
8,3
3,2
5,07
1,27
8,9
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
10--5
10-5
10-5
J0- 5
10-s
10- 4
10-6
10-s
10--5
10-5
10-6
264
Propiedades térmicas de la materia
Brazo portamuestras
Calentador eléctrico
Muestra
2
2
+ Li/) = ¡2 + 2/Li/ + (Li/) • En general, Mes muy pequeño comparado con la longitud original /, de modo
que podemos despreciar (Li/)2 y hacer la aproximación
to.A= 2/Li/ = 2/(a/Li'J), donde hemos hecho uso de la
Ec. 12.1. Como J2 era el área inicial A, el cambio de
área es
to.A = 2aALiT
Contrapeso
Figura 12.3
Vista esquemática de un ultra micrótomo en la que
no se muestra el mecanismo de giro.
tiras se doblen; si se doblan lo suficiente, pueden abrir
o cerrar un interruptor que, por ejemplo, puede controlar un sistema de calefacción o de acondicionamiento de aire.
El ultramicrótomo es un aparato diseñado para
efectuar cortes muy delgados de tejidos para ser observados al microscopio. U na muestra, montada sobre un
brazo giratorio de metal, pasa por el filo de una cuchilla (Fig. 12.3). Si el brazo de metal se calienta a un ritmo constante, se dilatará uniformemente y se cortará
una rebanada muy fina de la muestra a cada vuelta. El
brazo de metal puede llegar a dilatarse a sólo 1 micrometro (10- 6 m) por minuto.
Dilatación superficial y cúbica. 1 Cuando
se calienta un objeto todas sus dimensiones aumentan
(Fig. 12.4). Así aumentan las longitudes de las aristas,
las áreas de las caras y el volumen.
Consideremos lo que le sucede a una de las caras
cuadradas de un cubo con un área inicial z2. Un aumento en la temperatura de LiThace que cada arista aumente su longitud hasta/+ Li/. La nueva área es entonces(/
/HJ./
(12.2)
Así el área aumenta en una proporción doble a la de
una dimensión lineal. Obsérvese que aunque hemos obtenido la Ec. 12.2 para un área cuadrada, el resultado
es válido para una superficie de forma cualquiera. Utilizamos este resultado en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 12.2
Un disco circular de acero tiene en su centro un orificio también circular. Si el disco se calienta desde 10 a
IO0ºC, ¿cuál es el aumento relativo del área del orificio?
Cuando el disco se calienta aumentan todas sus dimensiones. El área del orificio también aumenta, justo
como lo hace el área de un círculo dibujado sobre un disco
macizo. El área del orificio crece como si estuviese llena de
acero. Haciendo uso de la Ec. 12.2 y de la Tabla 12.1 para
el valor de a, el aumento relativo del área del orificio es
llA
A
= 2a 6.T = 2(1,27 X 10-5 K- 1)(90 K)
= 2,29 X 10-3
Al aumentar todas las dimensiones de un objeto, el volumen también aumenta. Este cambio en el volumen
Li V se escribe
( 12.3)
Aquí f3 es el coeficiente de dilatación cúbica. El coeficiente {3 puede relacionarse con a considerando el
cambio de volumen de un cubo cuando la temperatura
varía desde Ta T+ ~T(Fig. 12.4). Si los lados cambian
desde/ a/+ Li/, el cambio de volumen es Li V=(/+ Li/)3 - / 3•
El cambio de longitud Mes mucho menor que la longitud original. Si (l + Li/)3 se desarrolla, es una buena
aproximación quedarse con sólo los dos primeros términos, que son /3 + 3/2 Lit. Entonces, el cambio de volumen es LiV = 312 Lit= 3V Li/11. Utilizando que Li/ = al
LiT, tenemos
LiV= 3aV LiT
Comparando esta expresión con LiV= {3V LiT, vemos
que
Figura 12.4 Cuando aumenta la temperatura, la longitud de
cada una de las aristas del cubo varía desde la 1 + l:i.f.
/3= 3a
Propiedades térmicas de la materia
265
más cálida y menos densa del fondo sube hacia la superficie. El agua fría que desciende lleva consigo oxígeno. Cuando todo el lago ha experimentado esta mezcla y ha llegado todo él a 3,98º C, la superficie se sigue enfriando y se va formando hielo. El hielo, de densidad menor, permanece flotando, y por lo tanto el lago
se congela desde arriba hacia abajo. La vida acuática
se mantiene en invierno en el agua recientemente oxigenada de debajo del hielo.
0,000~
..
<.>
:o
'3
0,000 1
e
-o
·;3
..
.B
:a
_g
0 ,000
12.2 I CAPACIDAD CALORÍFICA
4
8
12
16
20
Temperatura (0 ( ' )
(¡t)
í
E
QI)
~
..
"Q
~
,::
.,
o
999
Temperatura <ºCl
(b)
Figura 1 2.5 (a) Coeficiente de dilatación cúbica del agua. (b)
Densidad del agua.
Cuando un objeto a una temperatura se coloca cerca
de o en contacto con otro objeto a otra temperatura
mayor se transfiere energía hacia el objeto más frío.
Este objeto experimenta entonces un aumento de su
temperatura. La razón de la cantidad de energía transferida al cambio de temperatura se denomina capacidad calorífica.
Cuando la transferencia de energía ocurre debido
a una diferencia de temperatura, se dice que se transfiere energía térmica o calor. Otra forma de transferir
energía a una sustancia es hacer trabajo sobre ésta,
como por ejemplo agitando un líquido o comprimiendo un gas.
Supongamos que una pequeñacantidad de calor t:..Q
se suministra a n moles de una-sustancia. Sabemos por
la primera ley de la termodinámica que la energía interna aumentará o que la sustancia realizará trabajo o
posiblemente ambas cosas. La capacidadcalorífica molar C se define como
( 12.4)
El caso del agua
I
Al analizar la dilatación térmica ha de dedicarse atención especial al agua líquida,
porque es una de las pocas sustancias que posee un coeficiente de dilatación cúbica negativo a algunas temperaturas. La Fig. 12.5 muestra tanto /3 como la densidad del agua en función de la temperatura. El coeficiente f3 varía con la temperatura y a T= 3,98º C cambia de signo. Así pues, a medida que T aumenta desde
Oº C, primero el agua se contrae hasta 3,98º C y luego
se dilata a medida que la temperatura sigue creciendo;
el agua tiene su máxima densidad a 3,98º C.
Esta característica del agua es sumamente importante para la vida acuática. Cuando la temperatura del
aire baja a principios del invierno, el agua de la superficie de los lagos se enfría. Cuando esta agua superficial llega a 3,98º C, se hunde hacia el fondo; el agua
Es decir, C es la razón del calor suministrado por mol
al cambio de temperatura. Sustancias como el agua,
que poseen una elevada capacidad calorífica, experimentan cambios de temperatura relativamente pequeños cuando se les suministra una cantidad dada de calor.
En la práctica la capacidad calorífica se mide generalmente bajo una o dos condiciones especiales. Si
el calor se suministra manteniendo constante el volumen de la sustancia, no se realiza trabajo. Entonces el
calor suministrado t:..Q es igual al cambio de energía interna t:..U, y la capacidad calorífica molar a volumen
constante es
U
v - _!_
n L\
L\T
C -
(volumen constante)
(12.5)
266
Propiedades térmicas de la materia
Más a menudo la capacidad calorífica se mide a pre-
sión constante. En este caso, cuando se añade calor la
sustancia ve incrementada su energía interna y realiza
también trabajo. La capacidad calorífica a volumen
constante es más fácil de calcular teóricamente, mientras que la capacidad calorífica a presión constante es
más fácil de medir. Sin embargo, en el caso particular
de un gas ideal monoatómico podemos deducir ambas
con facilidad.
Vimos en el Capítulo 10 que la energía cinética media por molécula en un gas ideal monoatómico es
- l_.B_ T
(E)
cm<d- 2N
A
donde R es la constante de los gases y NAel número de
A vogadro. Paran moles o nNA moléculas, la energía interna U es la suma de las ene~gías cinéticas de las moléculas U = nNA (Ec)med = 3nRT/2. Si el gas no cambia
su volumen al suministrarle calor, y la temperatura aumenta en t::i.T, la variación de energía interna es t::i.U =
3nRt::i.T/2. Por tanto la capacidad calorífica molar avolumen constante es
Cv
= .!..n í::lU
= 32R
t:.T
(gas ideal monoatómico) (12.6)
Si la presión, y no el volumen, se mantiene constante cuando se añade a una sustancia el calor t::i.Q, la energía interna aumenta y se realiza trabajo: Q = t::i.U + W.
Haciendo uso de la ley de los gases ideales, PV = nRT,
el trabajo realizado a presión constante cuando la temperatura varía en t::i.Tes W= Pt::i.V= nRt::i.T. Por tanto,
f::i.Q = t::i.V + nRt::i.Ty la capacidad calorífica molar a presión constante es
_ _!,_ t:.Q - .!._ t:.U
Cp - n t:. T - n t:.T
+
mico, de un líquido o de un sólido, es más dificil. Por
ejemplo, observamos que para las moléculas poliatómicas las energías de rotación y de vibración deben incluirse en la energía interna. Las teorías modernas predicen que a bajas temperaturas la capacidad calorífica
molar de todos los gases se debe por completo al movimiento de traslación y c. vale 2 R. A temperaturas
intermedias, las rotaciones también contribuyen y c.
es ½R para gases diatómicos. A altas temperaturas,
todos los movimientos de traslación, rotación y vibración contribuyen al calor específico y c. vale f R para
gases diatómicos. En la Fig. 12.6 se representa la capacidad calorífica molar del gas hidrógeno, H 2 , en función de la temperatura, y puede observarse en la gráfica las tres contribuciones a las que hemos aludido.
A medida que un gas se enfría y se convierte en líquido se encuentran más y más dificultades en efectuar
cálculos precisos. Por ejemplo, la capacidad calorífica
del vapor de agua es sólo la mitad de la del agua líquida. La diferencia se debe al cambio de los efectos de
las fuerzas de interacción entre las moléculas. En el
gas, las moléculas están en general muy distantes las
unas de las otras y las fuerzas entre ellas son despreciables. En un líquido, las moléculas están más próximas entre sí, de modo que su atracción mutua se hace
significativa, sumándose a la energía interna y dificultando los cálculos exactos del calor específico. Sorprendentemente, en los sólidos vuelve a ser relativamente fácil el cálculo de los calores específicos.
R
Pero t::i.Vlnf::i.T es C., luego
Cp = Cv
+
R = 5{
(gas ideal monoatómico) (12.7)
'J._ R
2
Este resultado concuerda muy bien con los obtenidos
experiméntalmente con.gases reales monoatómicos a
densidades bajas y moderadas. La relación Cp = C. +
R también concuerda bien con las medidas efectuadas
en gases reales poliatómicos.
Aunque hemos podido calcular la capacidad calorífica de un gas monoatómico partiendo de primeros
principios, el problema del cálculo de la energía necesaria para aumentar la temperatura de un gas poliató-
lR
2
1O
25
50
100
'.?50
500
1000 2500 5000
Temperatura (K)
Figura 12.6 Capacidad calorífica molar a volumen constante
del hidrógeno gaseoso H2• A bajas temperaturas la capacidad calorífica es debida a la energía cinética de traslación. A temperaturas
más altas se ha de incluir la energía cinética de rotación y a temperaturas aún más elevadas es importante la energía cinética de vibración.
267
Propiedades térmicas de la materia
Una magnitud directamente relacionada es la capacidad ca/orifica especifica c, o calor específico, que
es el calor necesario para elevar en un grado la temperatura de la unidad de masa de una sustancia. Se relaciona con C mediante
Termómetro
Resistencia de
calefacción
( 12.8)
Aquí, Mes la masa de un mol. Por ejemplo, el gas helio tiene una masa molecular de 4 u; l mol es 4 g = 4 X
10-3 kg y C,. = 12,47 J mor 1 K - 1• Así
C¡-
=
12,47 J mor 1 K- 1
4 x 10-J kg mor1
= 3.12 X
103 J kg- 1 K - 1
= me .:lT
( 12.9)_
Como c depende en general de la temperatura, esta
ecuación es exacta sólo para pequeños intervalos b.T.
Sin embargo, al igual que la fórmula de la dilatación
térmica, resulta en general adecuada para valores considerables de b.T si se utiliza el calor específico medio.
En la Tabla 12.2 se dan los calores específicos, o capacidades caloríficas específicas, de diversas sustancias
representativas.
Calorímetro.
Un calorímetro (Fig. 12.7) constituye un instrumento de uso sencillo y eficaz para medir capacidades caloríficas a presión constante. El calor ó.Q es suministrado por un calentador eléctrico a un calorímetro bien
aislado que contiene la muestra; un termómetro mide
el incremento de temperatura ó.T. Una muestra de
rriasa m y calor específico c absorbe una cantidad de calor igual a me b.T. El recipiente también absorbe una
cierta cantidad de calor; si su masa es me y su calor específico es ce, este calor es meceb.T. Sumando el calor
absorbido por la muestra y por el recipiente tenemos
(12.10)
Este resultado puede utilizarse para hallar el calor específico como se muestra en el ejemplo siguiente.
TABLA 12.2
Capacidades caloríficas específicas a presión constante a 25º C, excepto allí donde se indica otras temperaturas, de diversas sustancias kJ kg- 1 K- 1•
Sustancia
Aislamiento
Figura 12. 7
En función de e, el calor necesario para un cambio de
temperatura b.T en una masa m es
.:lQ
Recinto de la
muestra
Capacidad calorífica específica, c.
Aluminiq
Acero
Diamante
Plomo
Cobre
Helio (gas)
Hidrógeno (H 2) (gas)
Hierro
Nitrógeno (N2 (gas)
Oxígeno (0 2) (gas)
Agua (líquida)
Hielo (-10 a 0ºC)
Vapor de agua (100º a 200º )
0.898
0,447
0,518
0,130
0,385
5,180
14,250
0,443
1,040
0,915
4,169
2,089
1,963
Ejemplo 12.3
Un calorímetro contiene 0,1 kg de carbono a 15º C.
El recipiente tiene 0,02 kg de masa y está hecho de aluminio. Al suministrar 0,892 kJ de calor, la temperatura
. se eleva a 28º C. ¿Cuál es el calor específico del carbono?
Supóngase que el calor específico del aluminio en este intervalo de temperaturas es de 0,9 kJ kg-1 K- 1•
SustituyendoenlaEc.12.JO,conó.T=28º C- 15º C
= 13 K
6.Q - mece 1::,. T
e=
mt:..T
1
1
0,892 kJ - (0,02 kg)(0,9 kJ kg- K- )(13 K)
=-'---'-----,---=----~---(0,10 kg)(l3 K)
= 0,506 kJ kg-
1
K - 1.
Cuando se conocen los calores específicos se pueden utilizar las mismas ideas para predecir la temperatura final, tal como se muestra en el ejemplo siguiente.
268
Propiedades térmicas de la materia
Ejemplo 12.4
Un tubo de cobre de.0,5 kg de masa se encuentra inicialmente a 20º C. Si sus extremos se cierran después de
haber vertido en él 0,6 kg de agua a 98º C, ¿cuál es la temperatura final del tubo? (Se supone que el tubo está aislado de modo que no hay pérdidas de calor hacia el medio exterior.)
Del agua al tubo está pasando energía térmica hasta
que ambos adquieren la misma temperatura T1• El calor
que pasa al tubo es el producto de su masa por su calor
específico y por el cambio de temperatura que experimenta, que es T1 - 20° C. De modo análogo, el calor perdido por el agua es el producto de su masa por su calor específico y por el cambio habido en su temperatura, 98° C- Tr
A través del aislamiento no entra ni sale calor. Por tanto,
haciendo uso de la Tabla 12.2
(0,5 kg)(0,385 kJ kg-1 K- 1){T1 - 20° C) =
= (0,6 kg)(4,169 kJ kg-1 K-1) (98º C - T1) .
Efectuando estas operaciones se obtiene
T1 = 92,43º C
En nuestro análisis de las capacidades caloríficas
basado en el modelo de gas ideal, la relación entre calor y energía es bastante clara. Históricamente, los
científicos estudiaron el calor mucho antes de que se
desarrollara ninguna teoría molecular. Como no se advirtió que el calor no era más que una forma de energía, se desarrolló un conjunto diferenciado de unidades para medir el calor. La caloría-gramo (cal) se definió como el calor necesario para calentar 1 g de agua
desde 14,5º Ca 15,5º C. Más tarde se descubrió que la
energía representada por una caloría es equivalente a
4,18 J. La primera sugerencia de tal equivalencia fue
apuntada en 1842 por Julius Robert Mayer (1814 1878), médico alemán, que se basó en observaciones fisiológicas. Mayer sugirió también que la energía no se
crea ni se destruye. Su trabajo permaneció ignorado y
la equivalencia entre calor y energía no se aceptó hasta los trabajos de James Prescott Joule(1818-1889), varios años más tarde. El principio de conservación de
la energía fue también propuesto independientemente
por Hermann Von Helmholtz (1821-1894).
Aunque han pasado unos 125 años desde que los
científicos pudieron adoptar una unidad común para
calor y trabajo, sigue siendo habitual medir las energías eléctrica y mecánica en julios y las energías caloríficas en calorías. Para acabar de complicar las cosas,
los ingenieros americanos acostumbran a utilizar la
unidad térmica británica (BTU) definida como el calor necesario para calentar 1 lb de agua desde 63º F
hasta 64º F, y el kilowatio-hora (kWh), que es igual a
3,6 X 106 J. Además, los especialistas en dietética miden la energía suministrada por los alimentos en kilocalorías (kcal), que son 103 veces mayores que las calorías. Los factores de conversión para estas unidades
de energía pueden hallarse en el interior de la cubierta
delantera.
12.3
1
CAMBIOS DE FASE
La mayoría de las sustancias pueden existir en/ases sólida, líquida o gaseosa. Por ejemplo, el agua puede ser
hielo, líquido o vapor. Una transición de una a otra de
estas fases se denomina cambio de fase. En la naturaleza se presentan muchos otros tipos de cambios de
fase. Un sólido puede cambiar de una estructura cristalina a otra; a bajas temperaturas, un material puede
hacerse espontáneamente magnético o puede perder su
resistencia eléctrica. Todos estos cambios tienen lugar
de forma brusca a una temperatura bien definida.
La temperatura a la que se presenta un cambio de
fase depende de variables adicionales, como por ejemplo la presión. Un ejemplo de ello es el diagrama defases del agua (Fig. 12.8). A la temperatura y presión
correspondientes al punto A, el agua puede existir sólo
en forma de hielo. Si mantenemos.fija la presión y va_mos suministrando calor, la temperatura aumenta hasta que se alcanza el punto B. En él, aunque se siga añadiendo calor la temperatura no aumenta. En vez de
ello, el hielo se va fundiendo y la temperatura permanece constante hasta que todo el hielo se ha fundido
(Fig. 12.9). Cuando se sigue añadiendo calor, la tem-
,..
Región del
sólido
~
-~"'
-;
..... -
___
..g
e,
v
,1
__.,.
.t§'
Región del
_líquido _ _
IJ
J
Punto
crítico
"
'l:><1
8'
Temperatura T
Figura 12.8 Diagrama de fases del agua. Las líneas indican
las presiones y temperaturas a que tienen lugar los cambios de fase.
269
Propiedades térmicas de la materia
125
100
e
o
..
50
g_
:?5
E
~
lores latentes. El calor llQ necesario para cambiar de
fase una masa m es
llQ =Lm
75
"'
B
e
_ ____ _ ______ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. ,
(12.11)
donde L es el calor latente adecuado. El papel del calor latente de fusión se muestra en el siguiente ejemplo.
o -
-250
Tiempo
Figura 12.9 Temperatura de una muestra de agua en función
del tiempo. El calor se suministra a una velocidad constante y la presión se mantiene fija a una atmósfera.
peratura del agua crece de nuevo hasta que se alcanza
el punto D. Aquí de nuevo la temperatura permanece
constante hasta que todo el líquido se ha convertido en
vapor de agua. Nuevas aportaciones de calor aumentarían ahora la temperatura del vapor.
Si repetimos este experimento a presiones menores,
los cambios de fase se presentan en B' y D', que corresponden a temperaturas diferentes de las de B y D. Si
volvemos a repetir el experimento a una presión inferior, veremos que el hielo se sublima en E directamente en vapor sin pasar por la fase líquida.
La sublimación tiene una función importante en la
conservación de los alimentos. La comida se congela
y se coloca en un envoltorio de baja presión. Cuando
se añade calor, el hielo se sublima y el vapor se pierde. Este proceso de congelación seca no perjudica el alimento y conserva su forma y gusto. La comida puede
reconstituirse posteriormente añadiéndole agua.
En el diagrama se observan dos puntos de significación especial. En el punto triple pueden coexistir las
fases líquida, sólida y gaseosa. En el punto crítico, un
kilo de líquido y un kilo de vapor ocupan el mismo volumen, y la distinción entre ambas fases desaparece.
Así, si la presión y la temperatura se ajustan de tal forma que una muestra pase del punto F al punto F 'a lo
largo del camino mostrado en la Fig. 12.8, el cambio
de fase de líquido a vapor no llega a observarse.
La energía absorbida o liberada en un cambio de
fase se denomina calor latente. A presión atmosférica,
el calot latente de fusión Lr necesario para fundir el hie1
lo es 79,7 kcal kg- • El calor latente de vaporización L.
necesario para hacer hervir el agua a la presión atmosférica es 539 kcal kg- 1• En la Tabla 12.3 se dan otros ca-
Ejemplo 12.5
¿Cuánto calor se necesita para fundir 5 kg de hielo a
Oº C?.
Como el calor latente de fusión Lr es 79,7 kcal kg- 1,
Q = Lm da
Q
= Lrm = (79,7 kcal kg- 1X5 kg) = 398 kcal
Tanto el calor latente como el calor específico son
importantes para determinar el estado de equilibrio de
un sistema. Ello se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 12.6
Si 20 kg de agua a 95º C se mezclan con 5 kg de hielo a 0° C, ¿cuál es la temperatura final de la mezcla?
En este ejemplo es útil determinar primero si hay energía térmica en el agua suficiente para fundir el hielo. Si
no, la temperatura de equilibrio será Oº C con sólo una
porción del hielo por fundir. Por el ejemplo anterior sabemos que se necesitan 1665 kJ para fundir 5 kg de hielo. Si el agua se enfría hasta 0° C suministra
tiQ = mcp !::.. T = (20 kg)(4,169 kJ kg- 1 K- 1)(95 K)
= 7921 kJ
Esta cantidad es más que suficiente para fundir el hielo, de modo que la temperatura final estará por debajo
de Oº C.
Si la temperatura final es Tr, el calor cedido al hielo
es 1665 kJ + mhcp (Tr - 0° C). El suministrado por el agua
es mc9 (95º C - T,), de modo que igualando ambos
1665 kJ + mhc,i.,T1 - OºC) = mcp(95°C - T¡)
Sustituyendo mh = 5 kg, m = 20 kg y c9 = 4,169 kJ kgK- 1 hallamos Tr = 60,0º C.
1
El siguiente ejemplo muestra cómo hallar la masa de
hielo fundido cuando la temperatura final es OºC.
Ejemplo 12.7
Una jarra que contiene 0,6 kg de té y que está a 50° C
se enfría con 0,4 kg de cubitos de hielo a Oº C. ¿Cuál es
el estado de equilibrio si no hay pérdidas de calor hacia
el medio exterior?
El calor necesario para fundir todo el hielo es Q =
1
Lrmh = (333 kJ kg- X0,4 kg) = 133,2 kJ. El calor suministrado por el té al enfriarse hasta Oº C es Q = (0,6 kg)
270
Propiedades térmicas de la materia
TABLA 12.3
Calores latentes a presión atmosférica
Punto de
fusión
(°C)
Sustancia
Helio
Nitrógeno
Alcohol etílico
Mercurio
Agua
Plata
Plomo
Oro
-209,9
-114
- 39
o
96
327
1063
Calor latente
de fusión
kJkg- 1
25,5
104
11,8
333
88,3
24,5
64,4
Punto de
ebullición
(°C)
-268,9
-195,8
78
357
100
2193
1620
2660
(4,169 kJ kg-• K- 1)(50 K) = 12,51 kJ, que no es suficiente
para fundir todo el hielo. Por tanto, parte del hielo no fundirá y la temperatura final será Oº C.
Para hallar la masa del hielo que ha fundido igualamos el calor perdido por el té al enfriarse y el calor necesario para fundir una masa m1 de hielo, 125,1 kJ = m1L1
Así, con Le= 333 kJ kg-•, la masa de hielo fundido es
m¡
=
125,1 kJ
333 kJ kg-1
Calor latente
de vaporización
kJkg- 1
21
201
854
272
2255
2335
912
1580
Si la diferencia de temperaturas se duplica y no se varía la longitud, el flujo de calor se duplica. Lo mismo
ocurre si t:i.T se mantiene constante y la longitud se
acorta a la mitad. Así. pues, el flujo de calor debe depender de t.T/1, que se denomina gradiente de tempe-'
ratura. Podemos resumir algebraicamente estas observaciones en una ecuación para el flujo ·de calor H =
!:i.Q/!:i.t,
= 0,376 kg
H
12.4 I CONDUCCIÓN DEL CALOR
El calor pasa siempre de las regiones de mayor temperatura a las de temperatura más baja, de modo que dos
objetos aislados de su entorno se aproximan gradualmente a una temperatura común. En esta sección discutimos la conducción del calor entre dos objetos en contacto. El transporte de calor por convección y por radiación se considera en las dos secciones siguientes.
Cuando dos objetos a temperaturas T 1 y T2 se conectan mediante una varilla, su diferencia de temperaturas t.T ':"' T2 --: T1 irá disminuyendo (Fig. 12.10). Si
cortamos la barra longitudinalmente por la mitad, de
forma que cada parte tenga una sección transversal
A/2, entonces por cada parte pasará la mitad del flujo
de calor. Así pues, el ritmO con que el calor fluye desde el objeto más caliente al más frío ha de ser proporcional a la sección transversal A.
La tasa del flujo de calor también depende de t:i.T
y de la longitud /. Si duplicamos t.T y duplicamos al
mismo tiempo la longitud de la barra, el flujo de calor
no varía.
= KÁ t:.T
l
(12.12)
donde K es una constant~ de proporcionalidad denominada conductividad térmica. La Ec. 12.12 es exacta
cuando t.Tes muy pequeño. Sin embargo, la ecuación_
del flujo de calor se hace más complicada si ic depende de la temperatura o si la geometría del problema no
es tan sencilla. En este capítulo, supondremos que K es
Figura 1 2.1 O Una barra de sección transversal de área A y longitud / conduce calor desde el cuerpo de temperatura más alta al de
temperatur-a más baja.
271
Propiedades térmicas de la materia
TABLA 12.4
Conductividades térmicas en kcal s-• m- • K- 1
Sustancia
Plata
Cobre
Aluminio
Acero
Hielo
Vidrio, hormigón
Agua
Músculo animal, grasa
Madera, asbestos
Fieltro, lana mineral
Aire
Vello
Conductividad térmica, K
420
400
240
79
1,7
0,8
0,59
0,2
0,08
0,04
0,024
0,019
(b)
(a)
constante en el intervalo de temperaturas que nos interesa.
En la Tabla 12.4 se dan algunos valores representativos de K. Los metales son típicamente buenos conductores del calor. Sus conductividades son del orden
4
de 103 ó 10 veces mayores que las de los aislantes térmicos como el asbesto o la lana mineral.
Uno de los aislantes más importantes es el aire. El
aislamiento de las casas y el de las ropas de abrigo utilizan esta característica. Las fibras del material empleado aprisionan una cierta cantidad de aire, que actúa
como aislante. Las ventanas de doble vidrio utilizan el
aire atrapado entre los dos cristales para reducir las
pérdidas de calor por conducción.
Los tejidos del cuerpo también son buenos aislantes. Cuando el ambiente es cálido, la temperatura interior del cuerpo es bastante uniforme (Fig. 12.lla).
Como los tejidos del cuerpo son malos conductores, el
interior del cuerpo puede mantenerse caliente incluso
en un ambiente frío (Fig. 12.llb).
Ejemplo 12.8
Una persona que anda con velocidad normal produce calor a un ritmo de 280 W. Si el área de la superficie
del cuerpo es 1,5 m2 y si se supone que el calor se genera
a 0,03 m por debajo de la piel, ¿qué diferencia de temperaturas entre la piel y el interior del cuerpo existiría si el
calor se condujera hacia la superficie? Supóngase que la
conductividad térmica es la misma que para los músculos animales, 0,2 W m- 1 K- 1•
A pesar de la diferencia entre los seres humanos y la
barra de la Fig. 12.10, podemos aplicar la Ec. 12.12 a una
Figura 12 .11
Isotermas (superficies de temperatura constante) en el cuerpo en (a) un medio cálido y (b) un medio frío. (Adaptado de Aschoff and Wever, Naturwissenschaften, vol. 45, p. 477,
1958.)
pequeña sección de tejido. Al sumar todas las secciones
se obtiene un resultado aproximadamente equivalente al
de utilizar como superficie A el área total del cuerpo.
Despejando AT de H = KA l:i T / Í
liT
= IH =
KA
(0,03 m)(280 W)
(0,2 W m - 1 K- 1)(1,5 m2)
= 28 K
Como la diferencia real de temperatura es sólo de unos
pocos grados (Fig. 12.11) podemos concluir que el cuerpo no pierde el calor por conducción a través de los tejidos. De hecho, el flujo de sangre caliente desde el interior más cálido hacia la superficie más fría es el factor
principal del transporte de calor en el cuerpo.
Ejemplo 12.9
Una tubería de cobre para agua caliente tiene 2 m de
largo y 0,004 m de espesor, y 0,12 m2 de área lateral. Si
el agua está a 80º C y la temperatura en la habitación es
15º C, ¿a qué tasa se conduce el calor a través de las paredes de la tubería?
Si suponemos de· manera provisional que la superficie exterior de la tubería está a 15° C, entonces la Ec. 12.12
da
H
= KA Ar= (400 W m-1 K- 1)(0,12 m2) (O~~~:~)
= 780000 W
272
Propiedades térmicas de la materia
Esta es una tasa de pérdida de calor enorme, mucho mayor que la que se observa realmente. Como veremos, el
aire no puede ganar calor a esa.tasa, y la superficie exterior de la tubería está realmente a una temperatura mucho mayor que 15º C. La menor diferencia de temperatura resultante reduce la tasa de conducción. Esto se
corresponde con nuestra experiencia, puesto que si tocamos una de estas tuberías la superficie exterior está muy
caliente.
00
Ventana
La magnitud l/k de la Ec. 12.12 se denomina a ve, ces el «valor R». Haciendo uso de esta definición, el flujo de calor puede escribirse en la forma
(12.13)
En los Estados Unidos R se expresa generalmente en
unidades del sistema británico y el valor Res entonces
la resistencia al flujo de calor de una plancha de material con un área transversal de 1 pie2 que se mide en pie2
hºF BTU- 1• La relación numérica entre el valor R en
unidades británicas y S.I. es
R. = 5,67 Rs,
Por ejemplo, una plancha de lana mineral de l pulgada
de espesor tiene un
Rs, = 0,635 m2 K w-1
y un
R8 =5,67 Rs, = 3,6 pie2 hºF BTU- 1
Puede demostrarse que los valores R son aditivos
(Problema 12-68). Por ejemplo, si el espesor de una pared se hace doble, el valor R se duplica y la pérdida de
calor a través de la pared se divide por dos. Si una segunda capa de aislamiento se coloca sobre la original el
valor R neto es la suma de los dos valores R. Los valores
R recomendados se han visto constantemente incrementados a medida que los costes de la energía han ido
subiendo.
12.5
1
TRANSMISIÓN DEL CALOR
POR CONVECCIÓN
Aunque en los líquidos y los gases una parte del calor·
se transmite por conducción, una cantidad de calor
mucho mayor se transporta por el mismo movimiento
del propio fluido. Este fenómeno se denomina convección. En la Fig. 12.12a, el líquido próximo a la fuente
térmica se calienta y se dilata ligeramente, haciéndose
Radiador
(a)
(b)
Figura 12.12 Trayectorias de flujo convectivo en (a) un recipiente de líquido; (b) una habitación calentada por un radiador.
más ligero que el líquido más frío de las capas superiores. Así pues, sube y es reemplazado por el fluido
más frío y más pesado. Cuando el fluido más cálido llega a las regiones más frías del recipiente, se enfría, se
contrae y empieza a caer de nuevo. Si el recipiente se
hubiera calentado desde arriba, la convección no se hubiera presentado y el conjunto del fluido se habría calentado por el proceso de conducción, mucho más lento.
Un radiador de vapor o agua caliente es otro ejemplo
de convección (Fig. 12.12b). El aire cercano al radiador se calienta y se eleva, mientras el aire próximo a
las paredes y a las ventanas se enfría y desciende. Ello
establece un flujo de una estructura como la indicada
en la figura.
Hay muchas dificultades para desarrollar una teoría
cuantitativa de la convección. Por ejemplo, una superficie dada pierde calor más rápidamente cuando está
horizontal que cuando está vertical. A pesar de tales dificultades, podemos hacer algunos progresos utilizando una fórmula aproximada. En aire quieto, la tasa de
transmisión de calor por convección desde una superficie de área A viene dada aproximadamente por la fórmula empírica
H= qA !iT
(12.14)
Aquí, !iT es la diferencia de temperaturas entre la superficie y el aire lejano de la superficie. La constante
de transmisión del calor por convección q depende de la
forma y la orientación de la superficie y hasta cierto
punto de !iT. Para un hombre desnudo, utilizamos el
valor medio q = 7,1 X 10-3 kcal s--1 m-2 K- 1• La pérdi-
273
Propiedades térmicas de la materia
da de calor por convección es importante para los seres humanos, tal como se ve en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 12.10
En una habitación caliente, una persona desnuda en
reposo tiene la piel a una temperatura de 33º C. Si la temperatura de la habitación es de 29º C y si el área de la superficie del cuei:po es 1,5 m2, ¿cuál es la velocidad de pérdida de calor por convección?
Utilizando q = 7,1 X 10-3 kcal s-1 m-2 K- 1, tenemos
H
= qA ~T
= (7,1 w m-2 K-1)(1,5 m 2)(33º e = 43W
29º C)
Una persona en reposo en esta situación produciría calor a una tasa doble que ésta. Así pues, en estas condiciones moderadas, la convección proporciona el mecanismo para la pérdida del cincuenta por ciento del calor del
cuerpo. Si hubiese una ligera corriente de aire o si la temperatura ambiente fuera menor, la pérdida de calor por
convección aumentaría sensiblemente.
Podemos volver a la cuestión de la tubería llena de
agua para formarnos una idea de la interacción entre
conducción y convección. En el Ejemplo 12.9 vimos
que la conducción en una tubería de agua caliente sería enorme si la superficie exterior de la tubería estuviese a la temperatura ambiente. Supongamos por el
contrario que el exterior de la tubería está a 80º C, que
es la temperatura del agua. Haciendo uso de un valor
típico de q = 9,5 W m- 2 K- 1 para la tubería, la pérdida
máxima de calor por convección sería entonces
H
transportar agua caliente tendrán lugar considerables
pérdidas de calor en el proceso. Para analizar este pro7
blema con exactitud se ha de igualar la conducción del
calor a través de las paredes de la tubería con las pérdidas por convección y radiación, y entonces obtener la
temperatura exterior de la tubería (ver Problema 12-67).
La convección desempeña un papel importante en
muchas experiencias de la vida cotidiana. En una habitación cálida, el aire a un centímetro del vidrio de
una ventana se nota apreciablemente frío. El aire en
contacto con el vidrio tiene la misma temperatura que
éste; la temperatura del aire aumenta perceptiblemente a cierta distancia de la ventana (Fig. 12.13). Una disminución gradual semejante de la temperatura del aire
se presenta en el exterior si no hay viento. Sin embargo, como la conducción del calor a través del vidrio es
muy eficiente, a través de la ventana sólo existe una pequeña diferencia de temperaturas.
Si hay viento, la capa de aire cálido casi en reposo
que había justo al lado exterior de la ventana es arrastrada con mucha mayor rapidez que cuando sólo actuaban fuerzas convectivas. Como consecuencia de
ello, la temperatura en la superficie exterior del vidrio
disminuye y por lo tanto aumenta la pérdida de calor
por la ventana. Ello es equivalente a tener una menor
temperatura exterior que se denomina en los partes del
tiempo factor de enfriamiento del viento. La temperatura efectiva disminuye rápidamente a medida que aumenta la velocidad del viento, tal como se indica en la
Tabla 12.5. Los esquiadores y los conductores de ve-
= qH t:.T = (9,5 W m- 2 K-1)(0,12 m 2)(65 K)
= 74,l W
Este valor es más pequeño que la pérdida de calor por
conducción estimada en el Ejemplo 12.9 en un factor
superior a 104.
La radiación, que se discute en la próxima sección,
transporta una cantidad comparable de calor (Ejercicio 12-39). Así podemos concluir que la radiación y la
convección son factores que limitan la pérdida de calor
de un elemento metálico calentado por agua o vapor
de agua. En la mayoría de los sistemas de calefacción
de zócalo sobresalen de la tubería numerosas aletas
metálicas delgadas que aumentan de manera efectiva el área dela superficie y, por tanto, la tasa de pérdida
de calor por convección y radiación. Por otro lado, la
porción de tubería del Ejemplo 12.9 sigue perdiendo calor a una tasa apreciable. Si se utiliza esta tubería para
Ventana
+201------
Exterior
+5
o
Interior de la
habitación
20
40
Distancia (cm)
Figura 12.13 Temperaturas del vidrio y del aire próximo a
una ventana en un día frío en calma. Para mayor claridad se ha exagerado el espesor de la ventana.
274
Propiedades térmicas de la materia
TABLA 12.5
Efecto sobre la temperatura del aire en movimiento
Velocidad
1
del viento (km h- )
Temperatura real, º C
Calma
- IS
10
20
30
40
1
so
1
- IS
- 20
-25
-30
-35
1
- 20
- 25
- 30
- 35
-40
1
- 20
- 25
- 30
- 35
Temperatura efectiva, º C
- 40
- 25
-35
- 40
- 45
-SO
- 30
-40
-45
- SO
- SS
- 40
-50
- 45
-SS
-60
-65
-70
-65
-70
-75
□ -Peligroso
hículos propios de la nieve que crean al correr su propio viento han de tener en cuenta estos peligros potenciales. La carne desnuda puede congelarse en un minuto a una temperatura efectiva de -30º C, que puede conseguirse, por ejemplo, moviéndose en aire a
1
- 10º Ca una velocidad de 40 km h- • Las temperaturas efectivas inferiores a -60º C son extremadamente
peligrosas, ya que la congelación puede sobrevenir en
segundos.
La convección juega un papel principal en la determinación de los mapas del tiempo. Las masas de aire
cálido y húmedo calentadas sobre extensiones de agua
son relativamente ligeras y tienden a elevarse. Cuando se elevan en regiones de presión más baja, se expanden realizando trabajo en el proceso. De acuerdo
con la primera ley de la termodinámica, si una masa
de aire realiza trabajo sin absorber calor, la energía interna debe disminuir. Así la temperatura del aire decrece, dando lugar a que parte de la humedad se condense en nubes y ceda su calor de vaporización a la
masa de aire. Esto retarda el enfriamiento de la masa
de aire, permitiéndole elevarse todavía más. En determinadas condiciones este proceso continuará hasta
formar grandes nubarrones y producir violentos aguaceros.
12.6
1
RAQIACIÓN
La conducción y lá convección requieren la presencia
de algún material, sea sólido, líquido o gaseoso. Sin
1
1
1
- 35
- 45
- 50
-60
-65
1
-45
1
- SO
- 50
-55
-60
70
-15
-80
-65
-15
-80
-85
- Muy peligroso
embargo, sabernos que el calor también puede transmitirse a través del vacío, ya que la energía del Sol atraviesa millones de kilómetros por el espacio antes de llegar a la Tierra. El proceso por el que tiene lugar este
transporte se denomina radiación. La transmisión de
energía por radiación también se presenta en los medios transparentes.
El término «radiación», tal como lo utilizamos en
este capítulo, es otro nombre de las ondas electromagnéticas. Éstas son ondas de origen eléctrico y magnético que transportan energía. En un objeto caliente, las
cargas de los átomos oscilan rápidamente, emitiendo
energía en forma de ondas electromagnéticas, semejantes a las ondulaciones sobre la superficie de un estanque. Estas ondas viajan a la velocidad de la luz, e
= 3 X 108 m s-i. La luz visible, las ondas de radio y los
rayos X son diversos ejemplos de ondas electromagnéticas (Fig. 12.14). La energía transportada por estas ondas depende del movimiento de las cargas y, por consiguiente, de la temperatura. Estas ondas electromag. néticas se discutirán con más detalle en capítulos posteriores.
Una onda se caracteriza por su longitud A y sufrecuencia/ La longitud de onda es la distancia entre dos
crestas sucesivas; la frecuencia es el número de crestas
que pasan por un punto dado cada segundo y es igual
a la frecuencia de vibración de la carga que produce
la onda electromagnética. La distancia entre crestas sucesivas, A, multiplicada por f, el número de crestas que
275
Propiedades térmicas de la materia
onda a la que nos llega la mayor parte de la radiación.
Ello se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 12.11
La temperatura de la superficie solar es de unos
6000 K. ¿Cuál es la longitud de onda en la que se produce la máxima radiación?
Según la ley del desplazamiento de Wien,
Frecuencia, hercios.
10
2
4
10
106
Ondas de potencia
8
10
10 1º
10
12
Microondas
Ondas de radio
10
14
10 16
10 18 1020
Visible
1022
Rayos X
Infrarrojo Ultravioleta Rayos gamma
10- 2
10-4 10-6 10- 8 10-10 10-12 10-14
Longitud de onda, metros
Figura 12. 14 Frecuencias y longitudes de onda de distintas
clases de ondas electromagnéticas. Las escalas son logarítmicas.
pasan por segundo por un punto dado, ha de ser igual
a la velocidad de la onda, por lo cual
A
_ 2,898 X 10-3 m K
max -
6000 K
= 4 83 X
'
10- 1 m
Así pues, la máxima radiación solar se encuentra en la
parte visible del espectro, tal como hemos observado anteriormente. Es interesante el que los ojos de los animales tengan precisamente su máxima sensibilidad para
aquellas longitudes de onda en que la radiación solar disponible para la visión es máxima.
Esta variación de Anux con la temperatura tiene
muchas consecuencias extremadamente importantes.
Una es el comúnmente llamado efecto invernadero. En
un invernadero, la radiación solar incidente es más in7
tensa a >-mu=.4,83 X l 0- m y pasa con facilidad a través del vidrio. Dentro, la radiación es absorbida por los
(12.15)
Por ejemplo, la luz roja tiene una longitud de onda de
unos 7 X 10-7 m, que corresponde a una frecuencia
f
= !... =
3 X 10s m s- 1 = 4,2 X 1014 Hz
X
7 X 10- 1 m
En principio, todos los objetos a temperatura no
nula emiten cierta radiación en todas las longitudes de
onda. Sin embargo, la cantidad de energía irradiada a
cada longitud de onda depende de la temperatura (Fig.
12.15). Un objeto a 800º C parece rojo porque emite
bastante radiación en la longitud de onda más larga
del espectro visible, correspondiente a la luz roja, y
muy poca energía, en cambio, en la región azul. Un objeto calentado hasta 3000º C parece blanco porque está
emitiendo cantidades notables de radiación a través de
todo el intervalo de luz visible. Análogamente, las estrellas muy calientes parecen más bien azules, mientras
las más frías son más bien rojas.
La longitud de onda a la que la radiación es más intensa viene dada por la ley del desplazamiento de Wien
>-.
= .!!_T
Energía
irradiada
por segundo
en unidades
arbitrarias
3
4
(12.16)
Longitud de onda, micrometros (1 micrometro = 10-• m)
La constante B tiene un valor numérico de 2,898 X 10-3
mK.
La temperatura del Sol determina la longitud de
Figura 12. 15 La energía calorífica irradiada por segundo por
l· m 2 de superficie. Cuando aumenta la temperatura, A.mu. se desplaza hacia longitudes de onda más cortas (rectas verticales de trazos).
276
Propiedades térmicas de la materia
objetos que a su vez reemiten radiación. Sin embargo,
como la temperatura media en el invernadero es aproximadamente 300 K, la longitud de onda de la intensidad de radiación máxima es mucho mayor
A
max
= 2,898 X 10-3 m K = 96 6 X 10- 1
300 K
'
m
Esta pertenece a la región del infrarrojo del espectro de
radiación y no pasará fácilmente a través del vidrio.
Dado que la radiación incidente entra en el invernadero y que la radiación procedente de los objetos del interior queda atrapada dentro, el invernadero se calienta.
Por supuesto que la parte exterior del vidrio irradia
energía, pero ésta compensa la que viene del Sol sólo
después de que la temperatura del invernadero se ha
elevado considerablemente. El vidrio evita también
pérdidas por convección al detener el flujo ascendente
de aire caliente.
En cierto sentido la Tierra es un gigantesco invernadero con la atmósfera desempeñando el papel del vidrio. El vapor de agua y el dióxido de carbono del aire
. son buenos absorbentes de la radiación infrarroja. De
este modo, la luz del Sol pasa a través de la atmósfera
con más facilidad que la radiación infrarroja, y la temperatura en la superficie es más elevada y más estable
de lo que lo sería sin una atmósfera. Al quemar combustibles fósiles aumenta el nivel de dióxido de carbono, y esto podría elevar de manera significativa la temperatura media de la Tierra y llevar a cambios climáticos importantes. Este es un ·problema complejo que
es objeto en la actualidad de una investigación considerable.
En la Fig. 12.15 se observa que el área encerrada
por las curvas crece muy rápidamente cuando aumenta la temperatura. El área representa la energía emitida por segundo y existe una fórmula sencilla para esta
tasa de emisión. La tasa a la que irradia energía una superficie de área A y temperatura T fue dada por J osef
Stefan (1835-1893) en 1879 y recibe el nombre de ley
de Stefan
H
= eoAT
4
( 12.17)
donde
o = 5,67 X 10-8 W m- 2 K- 4
es la constante de Stefan. La magnitud e·se denomina
emisividad y aunque su valor depende de la superficie
siempre está comprendido entre O y l.
Antes de ilustrar la Ec. 12.17 con un ejemplo, comentaremos varias características de los objetos radiantes en general y de la ley de Stefan en particular.
Obsérvese en primer lugar que la ley de Stefan contiene solamente la temperatura absoluta qel objeto
emisor, y no una diferencia de temperaturas como en
la conducción y la convección. A primera vista la ley
de Stefan parece indicar que un objeto irradiará energía hasta que su temperatura alcance el cero absoluto.
En realidad, el objeto irradia energía a su entorno,pero
también absorbe energía de ese mismo entorno. Consideremos un objeto a una temperatura T2 que se encuentra en un recipiente grande mantenido a una temperatura T 1• Si inicialmente T2 > Ti, se observa que la
temperatura del objeto disminuye hasta que objeto y
recipiente están ambos a la temperatura T 1; a partir de
aquí no tiene lugar cambio alguno de temperatura. En
este estado el objeto está emitiendo energía en la proporción dada por eaAT14. y está absorbiendo energía
irradiada por el recipiente en la misma proporción,
eaAT.4.
Un solo resultado contiene toda la información
acerca de este proceso. Mientras la temperatura T del
objeto se halla entre T2 y T1, su tasa neta de pérdida
de calor es
Hncta=Hcm - H,b= eoA(T4 -T14 ) {12.18)
Cuando T =- T1, el calor neto que sale del objeto se hace
cero. La Ec. 12.18 es sin duda correcta, pero no hemos
dicho por qué puede emplears~ el mismo valor de la
emisividad e tanto para la emisión como para la absorción.
El valor de la emisividad depende de la superficie
del objeto. Una superficie brillante tiene un pequeño
valor de e; una superficie negra posee un valor de e
próximo a 1. Como el objeto alcanza el equilibrio a la
temperatura de las paredes, debe absorber energía en
la misma proporción en que es emitida. De este modo,
un buen emisor debe ser también un buen absorbente.
A la inversa, un buen reflector es un pobre emisor; por
tanto, pequeños valores de e corresponden a superficies que emiten radiación pobremente y la reflejan bien.
Valores grandes de e describen superficies con características opuestas.
Un perfecto absorbente (emisor) es aquél cuyo e=
I y toda la radiación incidente es absorbida, es decir,
ninguna es reflejada. Un objeto que absorbe toda la radiación incidente aparece como negro (a menos que
esté lo bastante caliente como para emitir visiblemente); de aquí que un absorbente (y emisor) perfecto reciba el nombre de cuerpo negro. Un cuerpo negro tiene e= l.
Propiedades térmicas de la materia
Generalmente la emisividad varía algo con la longitud de onda. La luz del sol es más intensa en la región de luz visible, que corresponde aproximadamente a longitudes de onda que van de 4 X 10-7 m a 7 X 10- 1
m. La piel humana más oscura tiene una emisividad
de 0,82 para la luz visible y la más clara 0,65. La radiación procedente de objetos a temperatura ambiente o a temperatura del cuerpo humano se encuentra de
modo predominante en longitudes de onda del infrarrojo. A estas longitudes de onda todas las pieles humanas tienen una emisividad próxima a 1.
Las pérdidas por radiación son importantes para
las personas como se ilustra en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 12.12
La persona del Ejemplo 12.10 tenía la piel a una temperatura de 33º C = 306 K y estaba en una habitación en
que las paredes se hallaban a 29º C = 302 K. Si la emisividad es 1 y el área de la superficie del cuerpo es 1,5 m2,
¿cuál es la velocidad de pérdida de calor debida a radiación?
Hemos de considerar dos procesos contrapuestos. En
primer lugar, la persona a temperatura T2 = 33º C = 306 K
irradiará calor a una tasa
H,m
= eaAT
4
2
= (1)(5,67
= 746W
x
10-s W m-2 K-4)(1,5 m 2 )(306 K)4
Ello equivale, aproximadamente, a 15 000 kcal por día o
aproximadamente seis veces la pérdida de calor típica diaria de un ser humano; una persona que perdiera tanto calor se congelaría rápidamente. Sin embargo, también se
recibe calor del medio ambiente. Si éste se halla a una temperatura T1 = 29° C = 302 K, se recibirá calor a una tasa
H,.
= eaAT14
= (1)(5,67
=707W
x 10-s W m-2 K-4)( 1,5 m 2 )(302 K) 4
Así pues, la tasa neta de pérdida de calor es (746 707) kcal s- 1 = 39 W. Esto es equivalente, aproximadamente, a la tasa de pérdida convectiva calculada en el
ejemplo 12.10.
En casi todos los problemas de radiación se puede
calcular la diferencia entre las tasas a las cuales se emite energía a dos temperaturas diferentes. Así, si una
temperatura es T + t:i.T y la otra es T, la diferencia es
t:i.H = eaA{(T + t:i.'1)4 - T'}. En muchos de estos problemas, t:i.T es mucho menor que T y es entonces una
4
buena aproximación escribir (T + t:i.'1) - T' = 4T3 t:i.t.
Entonces,
(l::,.T << T) (12.19)
t:.H = 4eoAT3 t:i.T
277
El error relativo introducido por la aproximación
que conduce a este resultado es <;lel orden de t:..TIT. En
el ejemplo anterior, t:..T/Tera igual a 0,013, por lo tanto el error hubiera sido de 1,3 por ciento si se hubiera
utilizado esta fórmula aproximada. El ejemplo siguiente ilustra una situación en la que se puede utilizar con
exactitud el resultado aproximado.
·
Ejemplo 12.13
Comparando dos trozos de piel de área A del pecho
de una persona, se observa que la tasa de radiación difiere en un 1 por ciento. ¿Cuál es la diferencia de temperatura de la piel?
Supongamos que la temperatura más baja es T =
37º C = 310 K y que la temperatura del otro trozo es T +
t:..T. Entonces, la diferencia relativa dividida por la pérdida total de calor a 310 K es
t:.H ~ 4eoAT3 t:.T _ 4 t:.T _ 00I
H eaAT4 T - '
Despejando t:..T,
3
t:.T = 0,01 { = (0,01) ( I~ K) = 0,775 K
Así pues, un cambio de temperatura de menos de 1 K altera la tasa de radiación en un 1 por ciento.
El ejemplo anterior ilustra el principio físico en que
se basa la termograffa, una técnica que se usa en muchos campos. En las aplicaciones médicas se utilizan
unos detectores infrarrojos especiales para obtener una
impresión fotográfica de la radiación infrarroja emitida por un paciente (Fig. 12.16). En este tipo de fotos,
las áreas de mayor temperatura aparecen más oscuras;
diferencias tan pequeñas como 0,1º C son así detectables. Las fotografías muestran, por ejemplo, cómo se reduce la circulación al fumar. También se usa a menudo la termografia en los reconocimientos preliminares
para identificar los pacientes que pueden presentar
cáncer de pecho, tumores tiroideos u otras enfermedades.
También es posible medir con exacitud la tenue radiación emitida por el cuerpo en las longitudes de onda
correspondientes ·a microondas, que son más largas
que la de la radiación infrarroja. Experimentos recientes muestran que dichas medidas pueden ayudar a los
médicos a detectar tumores a más de 10 cm por debajo de la superficie. Por el contrario, la radiación infrarroja es absorbida más rápidamente por los tejidos
del cuerpo y por lo tanto la termografia es sólo sensible para tumores próximos a la piel. Ambas técnicas
Propiedades térmicas de la materia
278
son no agresivas e intrínsecamente inocuas, ya que el
paciente no se halla soµietido a ninguna fuente externa
de radiación ni a ningún tipo de sonda.
Las leyes de Wien y de Stefan juntas pueden utilizarse para explicar muchos fenómenos de nuestra experiencia cotidiana. Veamos, por ejemplo, por qué las
noches despejadas son más frías que las noches con cielo cubierto. En una noche despejada la Tierra irradia
energía al espacio a una tasa que es proporcional a la
cuarta potencia de su temperatura, unos 300 K.' La radiación procedente del espacio es muy pequeña porque su temperatura media es próxima al cero absoluto. Por otro lado, con el cielo cubierto, la Tierra irradia a 300 K, pero la radiación es absorbida por las nubes y reemitida a la Tierra. De nuevo la radiación es
atrapada como en el efecto invernadero. El enfriamiento que tiene lugar en noches despejadas se designa a menudo por enfriamiento de irradiación.
RESUMEN
Muchas propiedades de los materiales dependen de la
temperatura. La temperatura es una medida de los diferentes estados de movimiento de las moléculas. Por
ejemplo, la mayor parte de los objetos experimentarán
una variación relativa de su longitud !),,//l proporcional
a la variación de temperatura t:,,T
ó.l
l
= a ó.T
(a )
Cb)
Figura 12.1 6 Termogramas que muestran las áreas más
calientes como más oscuras. (a) Inflamación de articulación que
acompaña a una artritis reumatoide. (b) La circulación periférica
en un pie es mavor después de un tratamiento (derecha). (Corte'
279
Propiedades térmicas de la materia
Análogamente, las variaciones relativas de área y volumen en materiales uniformes e isótropos vienen dadas por
-MA = 2a: CiT
Un objeto puede transportar calor por convección.
Si un objeto tiene una superficie de área A y su temperatura es tJ.T grados mayor que la de un fluido que puede circular, la tasa de pérdida de calor viene dada
aproximadamente por
y
H
donde a es el coeficiente de dilatación lineal y /3 es el
coeficiente de dilatación cúbica.
Cuando se suministra calor a un objeto, su temperatura variará o sufrirá un cambio de fase. Si n moles
de una sustancia cambian su temperatura en llT cuando se le suministra un calor /lQ, la capacidad calorífica molar viene dada por
= qA CiT
El transporte del calor por convección aumenta ostensiblemente si se fuerza el fluido en su movimiento. Por
ejemplo, las pérdidas convectivas son mucho mayores
en los días de viento que en los días de calma.
El transporte del calor por radiación ocurre por
emisión o absorción de radiación electromagnética. Un
objeto a temperatura T emitirá la mayor parte de su radiación en longitudes de onda próximas a
e= 2. t1Q
A.
n CiT
. El calor específico es la capacidad calorífica molar dividida por la masa de un mol de la sustancia e= C/M.
El calor llQ que entra o sale de un objeto de masa m
cuando la temperatura cambia en llT es
llQ = mcllT
En la práctica, la capacidad calorífica molar y el calor
específico se miden o calculan ya sea a presión constante o a volumen constante.
Si se añade a una sustancia una cantidad de calor
llQ, pero no se produce variación en su temperatura,
entonces una masa m de la sustancia experimentará un
cambio de fase en el cual
tiQ
= Lm
Aquí L es el calor latente del cambio de fase.
El calor se intercambia entre objetos a distintas
temperaturas por uno o más de los tres procesos siguientes: conducción, convección y radiación. Si una
muestra de material de sección transversal de área A
presenta una diferencia de temperatura ATa lo largo de
su longitud, la tasa de transporte del calor desde el extremo de alta temperatura hacia el extremo de baja
temperatura por conducción es
H=teA CiT
l
donde K es la conductividad térmica del material. El factor//K se denomina valor R y es una medida de la resistencia del material al flujo de calor.
= !!._T
Aquí B tiene un valor de 2,898 X 10- 3 m K. Conocer
esta longitud de onda es muy útil porque los materiales transmiten, absorben y reflejan la radiación de manera diferente a longitudes de onda diferentes. La tasa
total a la que se emite la energía depende de la cuarta
potencia de la temperatura
H
= eaAT
4
Aquí A es el área de la superficie, e la emisividad de
la superficie y a= 5,67 X 10-s W m-2 K-4 es la constante de Stefan. La pérdida de calor por radiación es la diferencia entre la que es emitida por el objeto y la que
es absorbida por el entorno del objeto.
Lista de repaso
Definir o explicar
dilatación lineal
termostato
dilatación cúbica
energía interna
capacidad calorífica
molar
capacidad calorífica
específica
calorímetro
cambio de fase
sublimación
punto triple
punto critico
calor latente
conducción
conductividad térmica
valor R
· convección
radiación
frecuencia
longitud de onda
emisividad
cuerpo negro
ley del desplazamiento
de Wien
ley de Stefan
280
Propiedades térmicas de la materia
CUESTIONES DE REPASO
Q 12-1 La variación relativa de longitud en un objeto es proporcional al cambio de temperatura. La
constante de proporcionalidad se denomina .........
Q 12-2 La variación de longitud en un objeto calentado es proporcional a a, el coeficiente de dilatación
lineal. La variación relativa de área es proporcional
a ......... , y la variación relativa de volumen es proporcional a .........
Q 12-3 El cociente entre el calor suministrado a un
mol de una sustancia y la variación de temperatura
se denomina .........
Q 12-4 El calor específico se define como la capacidad calorífica molar dividida por ......... de la sustancia.
·Q 12-5 La capacidad calorífica se mide o calcula
generalmentea ......... constante o ......... constante.
Q 12-6 El calor latente de vaporización de una sustancia es el calor necesario para transformar 1 kg de .
sustancia de ......... a .........
Q 12-7 La transmisión del calor de un lugar a otro
por el movimiento real del material se denomina
Q 12-8 La conducción del calor hace referencia a la
transmisión de energía térmica entre objetos en
Q 12-9 La longitud de onda a la que la radiación
procedente de un objeto es más intensa aumenta
cuando la temperatura .........
Q 12-10 La ley de Stefan describe el hecho de que la
tasa de pérdida de calor por radiación es proporcional a la ......... potencia de la temperatura. .
EJERCICIOS
Sección 12.1
1
Dilatación térmica
12-1 Un segmento de raíl de acero mide 20 m de largo a 20º C. ¿Cuánto aumentará su longitud a 40º C?
12-2 Un segmento de raíl de acero mide 30 m de largo a Oº C. ¿Cuánto disminu~á su longitud a
--20º C?
12-3 Una varilla graduada de aluminio mide exactamente un metro de largo a 20º C. ¿Cuánto disminuirá su longitud si se halla a Oº C? Utilizar a =
2,30 X 10-s K- 1•
12-4 Para el vidrio Pyrex, f3 es aproximadamente
1/3 que para el vidrio ordinario. ¿Qué supone esto
con respecto a los esfuerzos térmicos?
12-5 ¿Por qué al calentar la tapadera de un frasco
se abre más fácilmente?
12-6 ¿En cuánto varía el área de una placa rectangular de acero de 0,5 m por 2,5 m cuando se calienta de Oº C a 40º C?
12-7 En una experiencia de cátedra se utiliza una
bola de acero que no ajustará en un anillo de acero
a menos que éste se caliente. Si el diámetro de la
bola es 3 cm = 0,03 m a 20º C, ¿cuál es el diámetro
interior del anillo a 20º C si la bola se cuela por él
al alcanzar los 250 º C?
12-8 Un depósito de agua está completamente lleno. La temperatura se eleva 8 K, pero el agua no se
derrama, ¿cuál era la temperatura original?
Sección 12.2
1
Capacidad calorífica
12-9 ¿Cuántos kilojulios se necesitan para calentar
0,15 kg de gas helio desde 20º Ca 80º Ca presión
constante?
12-10 Desde un tejado de 20 m de altura se deja
caer al suelo una bola de nieve. Si su temperatura
inicialmente.es de -10° C y si:toda su energía cinética
se convierte en energía interna, ¿cuál es su temperatura final?
12-11 Un recipiente de 0,6 kg de masa se halla a
una temperatura final de 20º C. Cuando se echan
en él 2,5 kg de agua hirviente, la temperatura final
es de 90º C. ¿Cuál es el calor específico del recipiente?
12-12 Un calorímetro de 0,4 kg de masa y calor específico de 0,15 kcal kg· 1 K- 1 contiene una muestra
de 0,55 kg de masa. Si se suministran eléctricamente 2450 J de energía y la temperatura aumenta 4º C,
¿cuál es el calor específico de la muestra?
12-13 Un meteorito de 5 kg llega al suelo a 2000 m
s-i. ¿Cuánta energía térmica se libera si toda su energía cinética se transforma en energía térmica?
12-14 La temperatura de 15 kg de agua aumenta a
una tasa de 0,003º C por segundo. ¿A qué tasa aumenta la energía interna del agua? (Despreciar el
trabajo realizado por el agua.)
Sección 12.3
1
Cambios de fase
12-15 ¿Cuánto calor se necesita para fundir un bloque de hielo de 10 kg que se encontraba inicialmente a - 10º C?
12-16 ¿Cuánto calor se necesita para calentar un
kilo de agua desde 20º C hasta hacerlo hervir a la
presión atmosférica y transformarlo totalmente en
vapor?
281
Propiedades térmicas de la materia
12-17 Si 0,15 kg de hielo a Oº C se añaden a 0,25 kg
de agua a 20º C, (a) ¿se funde todo el hielo? (b) ¿Cuál
es la temperatura final?
12-18 Un cubo de hielo a Oº C tiene una masa de
0,01 kg. Si funde en 5 minutos, ¿a qué tasa está aumentando su energía interna?
Sección 12.4
1
Conducción del calor
12-19 Una nevera portátil contiene 1,3 kg de agua
y 0,6 kg de hielo. Si a través del aislamiento entran
36,6 W, ¿cuánto tiempo tardará en fundirse todo el
hielo?
12-20 La pared de una cabaña está hecha de madera de 0,05 m de grosor y tiene 12 m2 de área. Si la
superficie exterior de la pared se halla a Oº C y la superficie interior se encuentra a 20º C, ¿cuánto calor
se perderá por segundo a través de la pared?
12-21 ¿Cuánto calor por segundo conducirá una
varilla de cobre de 4 m de longitud y 0,015 m 2 de sección transversal si uno de sus extremos está a 250º C
y el otro a 40º C?
12-22 ¿Cuánto calor por segundo se conduce a tra2
vés de una pared de madera de 25 m de área y 0,1
m de espesor si la temperatura interior es de 20º C
y la temperatura exterior es - 10º C?
12-23 ¿A qué tasa se pierde calor por conducción
a través de una lámina rectangular de vidrio de 0,003
m de espesor y lados de 0,1 y 0,2 m? Suponer que
la superficie interior está a 1Oº C y la exterior a Oº C.
12-24 (a) ¿Cuál es el valor Rs1 (R en unidades SI)
de una lámina de vidrio de 1 m 2 y 0,5 cm de espe. sor? (b}¿Cuánto calor pasa por hora a través de esta
lámina si la diferencia de temperatura entre las dos
caras del vidrio es 1Oº C?
12-25 (a)¿Cuál es el valor R para un espesor de 1 cm
de fibra de vidrio con K= 0,038 W m- 1 K-1?(b)¿Cuál
es el R para un espesor de 6 pulgadas de fibra de vidrio?
12-26 El valor R de 1 cm de espesor de un cierto ma2
1
terial es Rs1 = 0,2 m s K r • Si 50 W de energía térmica atraviesan una superficie de 1 m2 de área del
material, ¿cuál es la diferencia de temperatura entre las caras?
12-27 La ecuación 12.12 no se aplica a gruesas capas de aislamiento sobre una tubería, porque se
cumple sólo cuando la sección transversal es aproximadamente uniforme. Sin embargo, aún se puede
ver cualitativamente el efecto de aislar una tubería
de a~a considerando una chapa de cobre de 0,002
m de espesor aislada con una capa de fieltro de 0,02
m de espesor. Si el agua en contacto con el cobre
está a 80º C, y la superficie exterior del fieltro está
a 15º C, ¿cuál es la temperatura de la otra cara de
la chapa de cobre?
Sección 12.5
1
Transporte del calor por convección
12-28 ¿Cuánta energía por segundo perderá por
convección una persona desnuda de 1,4 m2 de área
superficial en aire a OºC? Supóngase que el factor q
medio es 7,1 W m-2 K-1 y que la temperatura de la
piel es de 30° C.
12-29 Una persona desnuda de 1,8 m2 de área superficial, temperatura cutánea de 31º C y un q medio de 7,1 W m-2 K- 1 pierde 126 W por convección.
¿Cuál es la temperatura del aire?
12-30 El vidrio de una ventana se encuentra a 10º C
y su área es 1,2 m 2• Si la temperatura del aire exterior es OºC, ¿cuánta energía se perderá por convección cada segundo? La q de la ventana es 4 W m- 2
K-1.
12-31 Cuando el viento es un factor, la Ec. 12.14
puede utilizarse tomando la temperatura lejos de la
superficie de la Tabla 12.5. Supóngase que la temperatura en la superficie exterior de una ventana de
10º C y que la temperatura del aire lejos de la ventana es -1 Oº C. Hallar la razón de la pérdida de calor convectivo cuando la velocidad del viento es 20
km h- 1 a la pérdida de calor cuando no hay viento.
Sección 12.6
1
Radiación
12-32 ¿Cuál es la longitud de onda de máxima intensidad de radiación para una superficie a 37º C?
12-33 ¿Cuál es la longitud de onda de máxima intensidad de radiación para una superficie a 1000º C?
12-34 ¿Cuál es la longitud de onda de máxima intensidad de radiación para una superficie a 2000º C?
12-35 Calcular el error cometido al utilizar la Ec.
12.16 en vez de la 12.15 para T+ t:.T= 319 K y T
= 270 K.
12-36 Hacer una estimación del error cometido al
utilizarla Ec. 12.19 en vez de la 12.18 para T + t:.T=
297 K y T = 293 K.
12-37 Una persona desnuda de área superficial 1,8
2
m y temperatura cutánea de 33º C se halla en una
habitación a 10º C. (Supóngase que e = l.) (a)
¿Cuánta energía irradia por segundo dicha persona?
(b) ¿Cuál es la tasa neta de energía que dicha persona pierde por radiación?
282
12-38 Un objeto se halla a 300 K y otro objeto idéntico está a 900 K. ¿Cuál es la razón de las energías
irradiadas? (Supóngase que la emisividad es la misma para ambos objetos.)
12-39 Una tubería de cobre de 2 m de longitud que
contiene agua caliente tiene su superficie exterior a
80º C. Si el medio exterior está a 20° C, ¿a qué tasa
pierde la tubería energía térmica por radiación? (El
2
área de la superficie de la tubería es 0,12 m y e= l.)
12-40 Una carretera de superficie ennegrecida a una
temperatura de 320 K recibe energía radiante del Sol
a una tasa de 700 W m -2 . ¿Cuál es la tasa neta a la
que absorbe energía térmica un metro cuadrado de
superficie de la carretera?
PRO.BLEMAS
*12-41 El péndulo de un reloj de pared consiste en
una fina varilla de acero con un peso en su extremo. A 20º C la varilla mide 1,22 m de longitud y el
reloj marcha correctamente. (a) ¿Cuánto cambiará
la longitud del péndulo si la temperatura asciende
a 40º C? (b) ¿El reloj se atrasará o se adelantará? (c)
¿Cuál es el cambio relativo del período del péndulo? (Indicación: ver Capítulo 9.) (d) ¿Cuál es el error
del reloj en segundos por día?
12-42 (a) Un coche con un depósito de acero de 40
litros lleno de gasolina está aparcado al sol. Si su
temperatura sube 30º C, ¿cuánta gasolina se derrama? (Para la gasolina, {3 = 9,50 X 10-5 K- 1 y para el
acero f3 = 3,81 X 10-5 K- 1). (b) ¿A qué hora del día
es más barata la gasolina?
12-43 (a) Demostrar que el coeficiente de dilatación
cúbica f3 para un gas ideal es 1/T, donde Tes la temperatura Kelvin. (Considerar que la presión permanece constante.) (b) ¿Cuánto vale /3 a 20º C?
12-44 Considerando que no se transfiere calor desde, o hacia, el medio exterior, ¿cuánto aumenta la
temperatura de un salto de agua que cae desde 30 m
de altura? (Considerar que la velocidad del agua es
la misma antes y después del salto.)
12-45 Una casa pequeña herméticamente cerrada
tiene un ·s uelo de área total de 90 m 2 y techos de 2,5 m
de alto. Si la temperatura interior es 21º C y el aire
exterior está a -10º C, ¿cuál es la tasa de pérdida
de energía si todo el aire de la casa es intercambiado con el aire exterior cada 3 horas? (El calor específico del aire a presión constante es 1,0 kJ kg- 1 K- 1;
la densidad del aire a 20º Ces 1,20 kg m-3 .)
*12-46 U na varilla de acero está inicialmente a 20º C
Propiedades térmicas de la materia
y tiene una longitud de 2 m. El área de su sección
transversal es 0,001 m 2 • (a) Si se calienta a 120º C,
¿en cuánto se incrementa su longitud? (b) ¿Qué fuerza debe aplicarse en sus extremos para devolverle la
longitud original? (El módulo de Y oung para el acero es 2 X 10 11 N m- 2.)
12-47 Un hombre de 75 kg utiliza energía a una tasa
de 10 000 kJ por día. Supóngase que el 10 por ciento de dicha energía es utilizada en forma de trabajo y que el 90 por ciento se gasta en calor. Si el cuerpo no tuviera medios para desprender este calor,
¿cuánto aumentaría por hora en promedio la temperatura? (El calor específico de los tejidos animales es aproximadamente igual al del agua.)
12-48 A qué velocidad ha de ir una bala de plomo
para que se funda al incrustarse en una gruesa placa de madera, considerando que no se ha perdido
ningún calor en la madera? (Supóngase que la temperatura inicial es Te = 20° C.)
12-49 Utilizando los datos de la Fig. 12.6, encontrar la energía requerida para calentar un kilo de hidrógeno gaseoso desde (a) 30 Ka 40 K y (b) desde
260 Ka 270 K.
12-50 Un estropajo de lana de acero se restriega sobre una sartén de acero con una componente de
fuerza de 10 Na lo largo de la dirección del movimiento. Cada pasada mide 0,1 m de largo y se efectúan 0,8 por segundo. (a) ¿Cuánto calor se genera
por segundo? (b) Si no se pierde calor por intercambio con el medio exterior y si la masa del estropajo
más la sartén es 1,25 kg, ¿cuánto habrá aumentado
su temperatura después de 1 minuto?
12-51 ¿Cuánto calor se necesita para fundir un mol
de N 2 sólido inicialmente en su punto de fusión?
*12-52 Los vientos predominantes en el oeste de los
Estados Unidos proceden del oeste. En muchas zonas, las laderas orientales de las montañas son cálidas y secas. Dar una explicación de este fenómeno. (Indicación: Normalmente, las precipitaciones
en las montañas son relativamente intensas. ¿Qué
repercusión tiene ello en la temperatura del aire?)
*12-53 Un cazo tiene un fondo de cobre de 0,005
m de espesor y un fondo interior de acero de 0,002
m de espesor. El interior del cazo está a 100º C y el
exterior del fondo está a l03°C. (a)¿Cuáles la temperatura de la superficie de contacto entre el cobre y
el acero? (b) ¿Cuánto calor se conduce por segundo sí el área del fondo es 0,04 m 2?
*12-54 ¿Cuánto· calor se transmite por segundo a
Propiedades térmicas de la materia
través de una pared de madera de 20 m 2 y de 0,003
m de espesor si la diferencia de temperatura es de
40º C? (b) ¿Cuánto calor se conduce por segundo si
hay una capa de 0,004 m de espesor en un lado de
la pared?
12-55 Un cazo de fondo de acero de 0,01 m de espesor se encuentra sobre una estufa caliente. El área
del fondo es 0,1 m 2• El agua en el interior del cazo
está a 100º C y se están evaporando 0,03 kg cada 3
minutos. Hallar la temperatura en la superficie inferior del cazo que está en contacto con la estufa.
(Considerar que no se transmite calor a la habitación.)
12-56 Una nevera portátil mide 0,5 X 0,3 X 0,35 m
y está aislada mediante una capa gruesa de 0,02 m
de un material cuya conductividad es 0,04 W m· •
K- 1• (a) Si la diferencia de temperaturas entre el interior y el exterior es de 35º C, ¿cuál será la tasa de
conducción del calor? (b) ¿Cuántos kilos de hielo se
fundirán cada hora en el interior de la nevera?
12-57 Un ama de casa gira el termostato desde
23º C hasta 18º C . Si la temperatura media exterior
es de Oº C, evaluar el porcentaje de reducción en el
consumo de combustible.
12-58 La temperatura media exterior es de Oº C y
en el interior de la casa es de 23º C. Para reducir la
factura de combustible en un 1Opor ciento, ¿qué posición del termostato se habrá de elegir?
12-~9 Una superficie a 20º C se halla a la intemperie en una noche de cielo despejado. (a) ¿Cuál es la
tasa de radiación por metro cuadrado de superficie? (Supóngase que e = l.) (b) La cantidad de radiación recibida del cielo es muy pequeña en comparación con el resultado anterior. ¿Por qué?
12-60 La superficie del Sol se halla aproximadamente a 6000 K. (a) ¿Qué potencia se irradia por metro cuadrado de superficie? (b) ¿Qué potencia llega
a la parte superior de la atmósfera terrestre por me6
tro cuadrado? (El diámetro del Sol es 1,39 X 10 km
y el radio medio de la órbita de la Tierra es
1,49 X 108 km.)
2
12-61 Un hombre cuya superficie mide 1,8 m lleva un abrigo de 0,01 m de grosor, y conductividad
térmica 0,04 W m· 1 K- 1• (a) Sí la temperatura de la
piel es de 34ºC y el exterior del abrigo se halla a
- 1Oº C, ¿cuál es la tasa de pérdida de calor? (b) ¿Se
halla adecuadamente vestido? Explíquese.
2
12-62 Una chica que tiene una superficie de 1,2 m
lleva una chaqueta y unos pantalones de 0,03 m de
grosor. Si su piel se halla a 34º C y puede perder sin
283
peligro unos 85 W por conducción, ¿cuál es la menor temperatura exterior para la que su vestido resulta adecuado? (Supongase que el exterior del vestido está a la misma temperatura que el aire.) (La
conductividad térmica del tejido se supone la misma del problema anterior.)
12-63 Una delgada lámina de hielo con un área de
0,15 m 2 en cada cara cuelga de un tejado. El hielo
está a Oº C y el aire ambiente está a 10º C. La tasa
neta a la que se transfiere al hielo la energía radiante
procedente d~ la l_u z solar y del ambiente es 20 W;
q = 9 ,5 W m · 2 K- 1• ¿Qué masa de hielo funde en
1 minuto?
12-64 Se desea aislar un piso ático a un valor R de
R 8 = 18 pie2 hºF BTU- 1• Si se emplea lana mineral,
¿qué espesor en pulgadas se necesitará?
12-65 (a) Si el valor R del aislamiento de un techo
de 40 m 2 es R51 = 3,8 m 2 K w·•, y la diferencia de
temperatura entre un lado y otro es 10º C, ¿cuánta
energía por conducción se pierde a través del techo
en 7 horas? (b) Un galón de petróleo de calefacción
suministra 1,456 X 108 J de energía. A 1,50 dólares
por galón, ¿cuál es el coste por hora de esta energía?
12-66 ¿Cuál es el coste por hora que supone reemplazar el calor perdido a través de un vidrio de ven2
tana de I m de área y 0,003 m de espesor si la temperatura entre la superficie interior y exterior difiere en 10º C? (Suponer que el combustible utilizado
suministra 1,456 X 108 J de calor por galón y cuesta
1,50 dólares el galón.)
12-67 Una tubería de cobre utilizada para calefacción tiene 2 m de largo, 0,01 m de radio exterior y
paredes de 0,002 m de espesor. Contiene agua a
80º C y está en una habitación con el aire inmóvil a
20º C. (Despréciense los efectos de radiación.) (a)
Empleando un q = 9,5 W m · 2 K- 1, ¿cuál es la temperatura de la superficie exterior de la tubería? (b)
¿A qué tasa se pierde energía a través de las paredes de la tubería?
*12-68 Demostrar que cuando dos planchas con
valoresR,R 1 y R 2 , están en contacto, el valor R efectivo es R 1 + R 2• (Indicación: Si las temperaturas a
cada lado son T 1 y T2, respectivamente, hallar la
temperatura entre las dos planchas.)
RESPUESTAS A LAS CUESTIONES DE REPASO
Q 12-1, coeficiente de dilatación lineal; Q 12-2, 2a,
f3 = 3a, Q 12-3, capacidad calorífica molar; Q 12-4,
la masa de un mol; Q 12-5, presión, volumen; Q 12-6
284
Propiedades térmicas de la materia
líquido, vapór o gas; Q 12-7, convección; Q 12-8,
contacto; Q 12-9, disminuye; Q 12-10, cuarta.
TEMAS SUPLEMENTARIOS
12.7
1
REGULACIÓN DE LA
TEMPERATURA EN
ANIMALES D E SANGRE
CALIENTE
La mayoría de los procesos biológicos dependen de la
temperatura, de modo que la temperatura del cuerpo
de un animal se ha de mantener dentro de un estrecho
margen. Los animales de sangre caliente, tales como las
aves o los mamíferos, controlan su propia temperatura
regulando la pérdida de calor de sus cuerpos. Por el
contrario, los animales de sangre fría dependen del
ambiente para el mantenimiento de su temperatura.
Por ejemplo, las serpientes se haJlan a menudo tomando el sol sobre rocas soleadas. Muchos insectos han de
batir sus alas antes de tomar el vuelo para subir la temperatura de sus músculos motrices. En esta sección nos
ocupamos solamente de los procedimientos que emplean los animales de sangre caliente para regular su
temperatura.
Además de los mecanismos utilizados diariamente,
también se presentan adaptaciones a los cambios de
condiciones climáticas a escala de tiempos estacionales e incluso de tiempos de evolución de la especie. La
pelambre espesa de algunos animales, las migraciones
de las aves y la hibernación son ejemplos de adaptaciones estacionales. En escalas temporales más largas,
la naturaleza ha favorecido el desarrollo de animales
mayores en los climas más fríos. Tales animales presentan grandes valores de la razón volumen/superficie
y la correspondiente producción de calor es alta frente a las correspondientes pérdidas.
En los animales de sangre caliente, el objetivo principal de la regulación de la temperatura es el mantenimiento de los órganos vitales y de los músculos a una
temperatura aproximada a la ideal. Como las pérdidas
de calor se producen tanto a través de la superficie del
cuerpo como a través de la evaporación de agua en los
nas del cuerpo hacia las externas. Además, el termostato del cuerpo, el hipotálamo. que se haJla en el cerebro, utiliza la temperatura de la sangre para regular el
sistema. El hipotálamo trata de mantenerse a sí mismo a temperatura aproximadamente constante. Al hacer esto, la temperatura de otros órganos internos puede variar mucho más ampliamente. Esto es análogo a
lo que ocurre en una casa con un solo termostato. La
temperatura en la habitación correspondiente será
aproximadamente unifoTme, mientras que la temperatura en otras habitaciones puede fluctuar de forma con-•
siderable.
La fuente de calor del cuerpo es el metabolismo químico de la comida. Una persona de 70 kg en reposo genera unos 80 W; al hacer ejercicios violentos, esta tasa
puede aumentar unas 20 veces. Según la temperatura del aire y el vestido que se lleva, el calor que se produzca puede necesitarse para contrarrestar las pérdidas
convectívas y de radiación, o puede ser un producto de
desecho a disposición del cuerpo.
Un animal de sangre caliente tiene bastantes mecanismos para controlar su temperatura. Para elevar su
temperatura, el cuerpo reduce el flujo sanguíneo en los
capilares más próximos a la superficie de la piel. La carne es un mal conductor del calor, de modo que este mecanismó resulta muy efectivo en la reducción de las pérdidas caloríficas. Además, el pelo del cuerpo tiende a
esponjarse para aumentar el aislamiento. (Incluso los
seres humanos presentan un vestigio de este mecanismo, cuando se pone la piel de gallina; el cuerpo intenta esponjar pelos casi inexistentes.) Finalmente, puede
aumentarse la producción de calor si el cuerpo se pone
a temblar.
El cuerpo se e~fría por convección y radiación desde la piel, por evaporación del sudor en la piel y del
agua en los pulmones. Sí la temperatura interior empieza a subir, el cuerpo empieza por aumentar el flujo
de sangre hacia la superficie de la piel para así incrementar las pérdidas convectivas y radiativas, y luego,
si es necesario, utiliza los mecanismos de evaporación.
Los hombres y los caballos, entre otros animales, sudan mediante glándulas repartidas por la mayor parte
de la superficie del cuerpo, lo que favorece la evaporación sobre una gran superficie. El cuerpo humano
uede lle ar a eva orar un kilo medio de s
285
Propiedades térmicas de la materia
a 100º C. En muchas circunstancias, las evaporación
del sudor es el principal mecanismo de enfriamiento del
cuerpo.
Los animales peludos, tales como los perros, casi
no sudan, pero aprovechan más el enfriamiento por
evaporación en los pulmones. Así, exhalan una gran
cantidad de aire al jadear. El mismo jadeo produce calor, pero afortunadamente menos que el que se pierde
por evaporación.
Las diversas contribuciones a las tasas de producción y pérdida de calor en un adulto típico son aproximadamente las siguientes. Si el área A se da en metros
cuadrados, la temperatura de la piel T, y la temperatura del aire T. se dan en grados Celsius, y la tasa de
exudación r se expresa en kilos por hora, entonces
H"' = calor producido por el metabolismo:
80 a 1600 W
H, = calor perdido por convección (aire en calma):
D,A(Tp- T
H;= calor perdido por radiación:
D,A(Tp - T.)
H, = calor perdido por evaporación del sudor:
0
)
D,r
Hp = calor perdido por evaporación en los pulmones: Dp
donde D = 7 1 W m-2 K- 1
D, = 6,5 W m- 2 K- 1
D: = 674 W h kgDp = 10,5 W
Utilizando los resultados anteriores
H, =H,.-H,-H,-Hp
= 230 W - 7,1 (l,OX9ºC) W - 6,5 (l,OX9ºC)-10,5 W
=97,1 W
Como el calor eliminado por la exudación es D,r, el
sudor por hora necesario es
r
= H.
D.
=
97, 1 W
= O 14 k h- 1
'
674 W h kg- 1
g
PROBLEMAS SOBRE LOS TEMAS
SUPLEMENTARIOS
12-69 Una persona produce 175 W de energía térmica. Si todo este calor se pierde por evaporación
del sudor, ¿cuánto sudor se necesita por hora?
12-70 Una persona desnuda de 1,5 m 2 de área y piel
a 40º C se halla en una sauna a 85º C. (a) ¿Cuánto
calor absorbe la persona por radiación de las paredes, suponiendo emisividad igual a la unidad? (b)
¿Cuáles la tasa a la que la persona irradia energía al
medio exterior? (c) ¿Cuánto sudor se ha de evaporar
por hora, suponiendo que no se transporta energía
por convección? (Despréciese la producción metabólica de calor.)
1
Lecturas adicionales
son constantes.
El valor de Hp viene dado para tasas de respiración
normales. Aumenta proporcionalmente a la tasa de
respiración. En general, HP es sólo una pequeña parte
· de la pérdida de calor y puede despreciarse su variación.
Si la temperatura del cuerpo se mantiene constante, las .Pérdidas de calor cumplen la relación
H,. =H, + H, + H, + Hp
T. C. Ruch y H. D. Patton (ed.), Physiology and Biophysics, .
vol. 3, W. B. Saunders, Co., Philadelphia, 1973. El capítulo 5 estudia la regulación de la temperatura en los. seres
humanos.
John R. Cameron y James G . Skofronick, Medica/ Physics,
John Wiley and Sons, Inc., New York, 1978. Capítulos 4
y 5.
J. Hansen, et al., Climates Impact of Increasing Atmosferic
Carbon Dioxide, Science, vol. 213, 198.1, p. 957.
(12.20)
El siguiente ejemplo muestra la importancia de la
exudación en niveles moderados de actividad.
Ejemplo 12.14
U na persona genera calor a una tasa de 230 W. ¿Cuánto calor se produce por hora si el área de la superficie es de
1 m2? Supóngase que la temperatura del cuerpo es 37° C y
que la del aire es 28°C.
Artículos del Scientific American:
Robert L. Sproull, The conduction ofHeat in Solids, diciembre 1962, p. 62.
David M. Ga_tes, Heat Transfer in Plants, diciembre 1965, p.
76.
G. Yale Eastman, Toe Heat Pipe, mayo 1968, p. 38.
G. Neugebauer y Eric E. Becklin, Toe Brightest lnfrared
Sources, abril 1973, p. 28.
286
Jacob Gershon-Cohen, Medica! Thermography, febrero
1967, p. 94.
David Turnbull, The Undercooling of Liquids, enero 1965,
p. 38.
Laurence Irving, Adaptations to Cold, enero 1966, p. 94.
T. H . Benzinger, The Human Thermostat, enero 1961, p.
134.
Bernd Heinrich and George A. Bartholomew, Temperature
Control in Flying Moths, junio 1972, p . 70.
Francis G. Carey, Fishes with Warm Bodies, febrero 1973,
p. 36.
Propiedades térmicas de la materia
.Artículos de Investigación y Ciencia:
Manuel G. Velarde y Christiane Normand, Convección, septiembre 1980, p. 54.
·
H. Craig Heller, Larry l. Grawshaw y Harold T. Hammel,
El termostato de los vertebrados, octubre 1978, p. 66.
Knut Schmidt-Nielsen, Sistemas de contracorriente en los
animales, julio 1981, p. 74.
Bernd Heinrich, Regulación de la temperatura en el enjambre de abejas melíferas, agosto 1981, p. 76.
Eric A. Newman y Peter H . Hartline, La visión infrarroja de
las serpientes, mayo 1982, p. 88.
UNIDAD 4
Configuración de vórtices desprendidos de un cilindro en vibración perpendicular al flujo de aire en un túnel
de viento.
288
FLUIDOS
Los fluidos juegan un papel importantísimo en nuestras vidas y en el estudio de la ciencia, principalmente
por su capacidad de fluir y por su adaptación a la forma
del recipiente. En este contexto, tanto los gases como
los líquidos pueden considerarse co.mo fluidos.
Los animales transportan nutrientes y eliminan los
desechos mediante los fluidos de sus sistemas circulatorios. Análogamente, el transporte de materiales en las
plantas se lleva a cabo mediante fluidos. En el vuelo de
las aves y de aviones intervienen movimientos de fluidos, así como en el clima, las olas y las corrientes oceánicas.
Todos estos fenómenos pueden describirse aplicando a los fluidos los principios de la mecánica. Sin embargo, como los fluidos no conservan una forma fija
y como pueden comprimirse, un análisis completo resulta muy complicado. Para simplificar las cosas, supondremos en esta parte que los fluidos son incompresibles, es decir, que su densidad permanece aproximadamente constante. Para la mayoría de los líquidos,
esto es una buena primera aproximación. Para los gases, hemos de advertir que nuestros métodos sólo podrán aplicarse cuando las variaciones de presión y de
temperatura sean pequeñas.
En el primer capítulo de esta unidad (Capítulo 13)
supondremos también que no hay fuerzas de rozamiento entre partes de un fluido que se muevan las unas
con respecto de las otras. Ello es verdad para fluidos
en reposo y también en algunas aplicaciones de fluidos
en movimiento. Sin embargo, veremos en el Capítulo
14 que dichas fuerzas de rozamiento o fuerzas viscosas a
menudo resultan importantes. En el Capítulo 15 analizaremos algunas propiedades importantes que se deben a las fuerzas intermoleculares en los fluidos.
289
CAPÍTULO
13
LA MECÁNICA DE
LOS FLUIDOS IDEALES
Para preparar esta capítulo deberían repasar$e las
En este capítulo tratamos los fluidos en reposo y los
definiciones de densidad (masa por unidad de voluideales (sin viscosidad) en movimiento. Para lo~ fluidos
men) y de presión (fuerza por unidad de área) en las secen reposo intentamos comprender por qué los objetos
pueden flotar o hundirse al introducirlos en un•fluido.
A continuación desarrollamos la ecuación de Bernou/li TABLA 13.1
que expresa los conceptos de trabajo y energía de una
Densidades de algunos fluidos á presión atmosférica.
3
(A OºC, 1 pie de agua pesa 62,5 lb; 1 cm 3 de agua tieforma adecuada para los fluidos. Este es el punto cenne
una
masa
de 1 g)
tral de este capítulo y puede utilizarse, por ejemplo, •
Densidad
Temperatura
para entender por qué los fluidos en vasos comunican(kg mº3)
Fluido
(ºC)
tes tienen la superficie a la misma altura y cómo los
fluidos pueden circular de un lado a otro.
o
0,0899
Hidrógeno (H 2)
Una condición importante de este análisis es que el
o
0,178
Helio (He)
fluido sea incompresible: una misma masa de fluido
1,25
o
Nitrógeno (N 2)
ocupa siempre el mismo volumen aunque su forma
1,98
o
Dióxido de carbono (C02)
pueda variar. Esta condición se describe matemática1,43
o
Oxígeno (0 2)
mente mediante la ecuación. de continuidad, que estaAire
1,29
o
blece simplemente que la cantidad de fluido que entra
20
1,20
en un tubo ha de ser igual a la cantidad de fluido que
100
0,95
sale del mismo. Esta ecuación juega un papel importano
1000
Agua pura
te· en nuestro análisis.
·
958
100
En mecánica hemos visto que si se pueden identifi1025
15
Agua de mar
·car las fuerzas que actúan sobre un objeto o conjunto
791
20
Alcohol etílico
de objetos, se puede predecir el subsiguiente movimien1490
20
Cloroformo
to o describir el estado de equilibrio. En nuestro estu·736
o
Eter
dio de los fluidos seguiremos esta misma línea de pen- .
930
o
Aceite de linaza
samiento, pero necesitaremos tener en cuenta el hecho
1260
o
Glicerina
de que una masa dada de fluido no tiene una forma
13600
o
Mercurio
fija. Esta complicación se solventa mediante el uso de
25
Sangre
1059,5
la densidad y de la presión en vez de los conceptos de
25
Plasmll: sanguíneo
1026,9
masa y fuerza utilizados anteriormente.
291
292
La mecánica de los fluidos ideales
tablece que el empuje sobre un objeto sumergido en un
fluido es igual al peso del fluido desalojado fue deducido por Arquímedes (287-212 a. C.)y se denomina principio de Arquímedes. El principio de Arquímedes proporciona una manera conveniente para medir densidades. Ello se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 13.1
w
(a)
(b)
Figura 13.1 (a) Porción imaginaria de fluido con las fuerzas
que actúan sobre ella. (b) Objeto suspendido por una cuerda en un
fluido y fuerzas que actúan sobre él.
ciones 3.2 y 10.3, respectivamente. Algunas densidades típicas de varios fluidos se recogen en la Tabla 13.1.
13.1
PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
Un objeto que flote o que se halle sumergido en un fluido experimenta una fuerza hacia arriba o empuje debido al fluido. Para comprender este empuje B, consideremos una porción de fluido de volumen V y densidad po. La porción de fluido tiene una masa igual a poV
y un peso wo = pog V, que es la masa por la aceleración de
la gravedad (Fig. 13.1 a). La porción de fluido está en
equilibrio con el fluido que le rodea, de modo que el
empuje ha de ser igual al peso y de sentido opuesto. Así
pues
B
= PogV
El empuje es simplemente la fuerza ejercida por el resto
del fluido para mantener en reposo la porción de fluido
considerada.
Supongamos ahora que la porción imaginaria de
fluido se sustituye por un objeto de la misma forma y
volumen V colgado de una cuerda. La densidad p del objeto es mayor que la del fluido . Las fuerzas sobre el objeto con su peso w = pgV, la tensión de la cuerda Ty el
empuje B . El fluido no distingue entre el objeto y la
porción de fluido al que éste desplaza, por lo cual seguimos teniendo B = gV. Como el objeto se halla en equilibrio, T = w-B, es decir
T
= (p -
Po)gV
( 13.l)
La tensión en la cuerda se reduce en una cantidad
igual al peso de/fluido desalojado. El principio que es-
Una pieza de metal de volumen desconocido V se cuelga de una cuerda. Antes de sumergirla, la tensión de la
cuerda es 10 N. Cuando el metal se sumerge en agua, la
tensión es 8 N. ¿Cuál es la densidad p del metal?
Antes de sumergir la pieza, la tensión es T; = pgV.
Una vez sumergida, la tensión es T, = (p - p0 )gV, donde
la densidad del agua Po vale 103 kg m - i. Dividiendo la segunda ecuación por la primera para eliminar V, tenemos
!j_ _
I; -
P - Po
p
Despejando p,
p=
PoT
'
¡; - r,
_ ( 1000 kg m-3)(10 N)
(10 N - 8 N)
= 5000 kgm- 3
Un objeto menos denso que un fluido flotará manteniendo sumergida sólo una parte de su volumen. Si
esta parte tiene un volumen Vs y si el volumen total es
V, la fuerza de empuje vale p~Vs. Ésta ha de ser igual al
peso pgV del objeto, de modo que pogVs = pgV, o bien
P
Vs
Po
V
Así pues, el cociente de las densidades es igual a la fracción de volumen sumergido. El ejemplo siguiente muestra el caso de un iceberg.
Ejemplo 13.2
La densidad del hielo es 920 kg m- 3 mientras que la del
agua de mar es 1025 kg m-3• ¿Qué fracción de un iceberg
se halla sumergida?
La fracción sumergida es
Vs
V
P
920 kg m - 3
Po
1025 kg m- 3
= O,S9S
Casi un 90 por ciento del iceberg está sumergido.
La mecánica de los fluidos ideales
293
ARQUÍMEDES
(287-212 a. C.)
(The Bettmann Archive.)
Arquímedes fue un genio matemático y científico sin parangón hasta Newton, 2000
años más tarde. Hijo de un astrónomo, sus relaciones con el rey Hierón II de Siracusa .
le proporcionaron independencia de medios y la atención de un hombre poderoso.
Arquímedes es ,recordado principalmente por sus ingeniosas máquinas, que excitaron la imaginación popular, jugaron un papel importante en la defensa de Siracusa del ataque de los romanos e inspiraron extraordinarias historias sobre su inventor.
Por ejemplo, el sitio de Siracusa por los romanos durante las guerras púnicas duró unos
tres años, debido principalmente a las defensas inventadas por Arquímedes. Se dice
que construyó espejos gigantescos que enfocaban la luz del sol sobre los barcos romanos, hasta incendiarlos. También utilizó grúas gigantes para levantar y volcar barcos. La guerra terminó mal para Arquímedes, ya que fue muerto a puñaladas por
uno de los soldados romanos mientras se hallaba haciendo geometría en la arena y
no consintió en interrumpir sus estudios.
Muchas de las historias sobre los inventos de Arquímedes se han falseado, ya que
él mismo, que consideraba dichos inventos por debajo de la dignidad de un verdadero sabio, nunca escribió nada sobre ellos. Sus escritos comprenden tratados de
geometría, en los que se aproximó a los fundamentos del cálculo., equilibrio y centro
de gravedad y de hidrostática.
El principio de la hidrostática que lleva su nombre se debe a un problema que surgió respecto al contenido en oro de la corona de Hierón. Se consultó a Arquímedes
sobre si la corona era de oro puro o estaba adulterada con plata. Después de muchas cavilaciones, se dio cuenta mientras estaba en los baños públicos que el volumen de la corona se podía medir con precisión sumergiéndola en agua y viendo el volumen de líquido desplazado. Comparó entonces el peso de la corona con el peso de
un volumen igual de oro. Este descubrimiento tuvo al menos dos resultados inmediatos. La idea excitó tanto a Arquímedes que corrió hacia su casa desnudo gritando «Eureka, Eureka», y el orfebre fue ejecutado porque la corona no era de oro puro.
Arquímedes comprendió totalmente y demostró la importancia de la palanca. Se
dice que él mismo dispuso una palanca y un sistema de poleas con el que el propio
rey Hierón pudo acercar un parco grande a la costa. Sus.trabajos sobre la palanca y sobre la importancia del centro de gravedad contribuyeron grandemente a los fundamentos de la mecánica moderna.
294
13.2
La mecánica de los fluidos ideales
LA ECUACIÓN DE
CONTINUIDAD; FLUJO
ESTACIONARIO
Supóngase que un fluido incompresible llena por completo un conducto como, por ejemplo, una tubería o
una arteria. Entonces, si entra fluido por un extremo
del conducto, una cantidad igual de fluido ha de salir
por el otro extremo. Este principio, que puede escribirse matemáticamente de varias formas, recibe el nombre
de ecuación de continuidad. Resultará muy útil en muchas de nuestras discusiones.
Si el flujo entra por un extremo con un gasto o caudal (volumen por unidad de tiempo) Q1, ha de salir por
el otro extremo con un gasto Q2, que vale lo mismo que
Q1. Así pues, la ecuación de continuidad puede escribirse como
(13.2)
3
1
3
1
Por ejemplo, si entra 1 m s- , habrá de salir 1 m s- •
Esto puede escribirse de una forma más conveniente si todo el fluido del conducto se r:nueve con una velocidad uniforme v. Consideremos una sección del tubo de
área transversal constante A (Fig. 13.2). En un tiempo
/1t, el fluido avanza una distancia 11x = v/1t, y el volumen de fluido que sale del tubo es 11V = A/1.x = Avl1t.
Por otro lado, 11V es el gasto o caudal Q multiplicado
por el tiempo 11t, es decir, 11V= Ql1t. Comparando ambas expresiones de /1 V, vemos que
Q =Av
( 13.3)
El gasto es ii ual al área de la sección transversal del conducto por la velocidad del fluido.
Para un conducto cuya área transversal varíe desde
A I a A2, este result~do junto con Q 1 = Q2da otra forma
de la ecuación de continuidad
(13.4)
El producto del área transversal por la velocidad de/fluido es constante. Si en algún punto A disminuye, v debe
aumentar. Por ejemplo, si el área se divide por dos, la
velocic;lad se ha de duplicar.
En general, la velocidad de flujo no es uniforme en
un conducto. Por ejemplo, en el siguiente capítulo encon-
Figura 13.2
El gasto en un tubo es Q =Av.
(d)
Figura 13.3 (a) Una línea de corriente. (b) Grupo de líneas de
corriente adyacentes. (e) Un tubo de flujo. Las paredes del tubo es-·
tán compuestas de líneas de corriente. (d) Flujo turbulento.
traremos situaciones en que el fluido cerca de las paredes del conducto se mueve más lentamente que el ·
fluido del centro del conducto. La ecuación de continuidad sigue siendo válida en estos casos si se escribe en
términos de la velocidad media v. El gasto es Q =Av, y
en dos puntos cualesquiera del canal A 1ii1 = A 2v2•
I
Flujo estacionario
Hay un tipo de flujo, denominado flujo estacionario que es importante en muchas aplicaciones y que es fácil de estudiar cuantitativamente. La mejor manera de definirlo es imaginar un
sencillo experimento. Supongamos que se utiliza una
jeringa fina para inyectár un poco de tinta en un fluido,
sin interrumpir el flujo (Fig. 13.3a). Si la línea de tinta
formada de esta manera no se dispersa ni se difumina,
sino que permanece fina y bien definida, el flujo se denomina estacionario. Si varias jeringas inyectan tinta
una al lado de la otra, el dibujo de la tinta ha de ser semejante a la Fig. 13.3b. Finalmente, podemos imaginar un tubo de 1¡neas de corriente como en la Fig. 13.3c.
El fluido en este tubo éstá experimentando un flujo estacionario. Si, por el contrario, las líneas de tinta se
arremolinan y se mezclan, se dice que el flujo es turbulento (Fig. 13.3d).
El tubo es un concepto útil ya que por definición
las líneas de corriente no se cruzan; no fluye ningún
fluido a través _de las paredes del tubo. Análogamente, la ecuación de continuidad puede aplkarse a este
tubo de flujo r.esultando que el producto Av es el mismo en todos los puntos del tubo de flujo. Esta propiedad
del flujo estacionario será utilizada en el apartado siguiente.
295
La mecánica de los fluidos ideales
13.3 I ECUACIÓN DE BERNOULLI
Consideraremos ahora la ecuación de Bernoulli* que
establece las consecuencias del principio según el cual
el trabajo que se hace sobre un fluido cuando fluye de
un sitio a otro es igual a la variación de su energía mecánica. Se puede utilizar la ecuación de Bernoulli bajo
las condiciones siguientes:
l. El fluido es incompresible; su densidad permanece
constante.
2. El fluido no tiene efectos de rozamiento apreciables: es ideal. En consecuencia, no se pierde energía
mecánica por rozamiento.
3; El flujo es estacionario, no turbulento. La velocidad
del fluido en cualquier punto no varía durante el período de observación.
En esta sección vernos cómo se obtiene la ecuación
de Bernoulli a partir de la relación entre trabajo y energía mecánica. Sus aplicaciones se estudian en las secciones siguientes.
Consideremos el fluido en una sección recta de un
tubo de flujo de área transversal constante A (Fig. 13.4a).
De acuerdo con la ecuación de continuidad, el producto Av permanece constante. Así pues, la velocidad v no
cambia mientras el fluido se mueve a lo largo del tubo
y su energía cinética no varía. Sin embargo, la energía
potencial varía a medida que el fluido sube.
La fuerza neta sobre el fluido del interior del tubo de.bida al fluido circundante es el área transversal A multiplicada por la diferencia de presiones entre los extremos del tubo (P. - Pb)A . Si el fluido de una sección
transversal avanza una pequeña distancia tu, entonces el trabajo realizado sobre él es igual al producto de
la fuerza por la distancia, es decir (P. - Pb)A /J,.x. Como
A /J,.x es el volumen del fluido que sale de la sección
(Fi~. 13.4b), el trabajo hecho sobre el fluido es
W
= (P,,_
Este trabajo realizado sobre el fluido ha de ser igual
al aumento de su energía potencial.6.<u. puede calcularse si observarnos que el fluido que sale de la sección
tiene una masa p!J,.Vy una energía potencial (p!J,.V)gyb
mientras que el fluido que entra por el fondo de la sección tiene una energía potencial (p!J,.V)gy Así pues,
6.<u.= pg!J,.V(Yi, - y.). Igualando esta expresión a W, tenernos
0
o bien
P,,_ + pgy(L
= pb + pgyb
(v
•
= constante)
(13.5)
Así pues, la presión P más la energía potencial por unidad de volumen pgy del fluido es la misma en cualquier
punto de un tubo de flujo si la velocidad permanece
constante.
En una situación más general en que el área transversal del tubo de flujo también varíe, la velocidad del
flujo v y la energía cinética por unidad de volumen ½pv2
también cambiará. El trabajo realizado sobre el fluido ha de igualarse entonces al cambio de energía potencial más el de energía cinética del fluido. El resultado es la ecuación ·de Bernoul/i
P,,_
+ pgy,,_ + ½pv,,_2 = pb + pgyb + ½Pvb2
(13.6)
La presión más la energía mecánica total por unidad
de volumen, P + pgy + pv2, es constante en cualquier
punto de un tubo de flujo.
+
- Í\) t,. V
• Se dice que esta importante ecuación fue deducida por primera vez
por Daniel Bernoulli (I 700-1783). Sin embargo, es posible que hubiera sido obtenida anteriormente por su padreJohann Bernoulli (16671748). En cualquier caso, fue el brillante matemático Leonhard Euler
( 1707-1783) quien proporcionó su primera deducción completamen. te rigurosa pocos años más tarde. Para una exposición de una discusión familiar poco habitual y de un episodio en la historia de la ciencia, véase el prefacio de Hunter Rouse a la traducción inglesa de la
Hidrodinámica de Dahiel Bernoulli y de la Hidráulica de Johann Bernoulli, Dover Publications, Inc., Nueva York, 1968.
P,
(a)
Figura 13.4
(hl
(a) El fluido en un tramo del tubo de flujo con
una sección transversal constante tiene la misma velocidad en todos
los puntos. (b) El fluido se ha desplazado una corta distancia tix.
La mecánica de los fluidos ideales
296
La ecuación de Bernoulli es el resultado más importante de este capítulo. Como se ve claramente en
su deducción, se trata de una formulación de la relación entre trabajo y energía apropiada para el estudio
de los fluidos. En este capítulo y en los siguientes vamos a ver muchos ejemplos de sus aplicaciones.
13.4
CONSECUENCIAS ESTATICAS DE LA ECUACIÓN DE
BERNOULLI
Examinemos en primer lugar las consecuencias de la
ecuación de Bernoulli cuando el fluido se halla en reposo, es decir, cuando v = Oy P + pgy es constante.
Fluido en reposo en un recipiente I Supóngase que el fluido se halla en reposo en un recipiente como el que se muestra en la Fig. 13.5. Podemos hallar la presión en el punto B en función de la presión
en la superficie y de la profundidad. Para ello, calculamos P + pgy en los puntos A y B, escogiendo el eje
de las y de tal forma que y = Oen el fondo del recipiente. En el punto A, la presión es la atmosférica P,,m; en
el punto B, la presión es P8 • Así pues, P,,m + pgh = P8
+ pgy8 , o bien, con h- YB = d,
líquido. La fuerza por unidad de área P8 es la suma de
dos términos: P,1m, la presión debida a la atmósfera, y
pgd, la presión debida a l peso del líquido por encima
del punto B.
.
Si calculamos P + pgy en los puntos By D obtenemos P8 + pgy8 = PA + pgy0 • O bien, como y 8 = Yo,
Así pues, la presión en dos puntos cualesquiera del fluido a la misma profundidad es la misma. En particular,
como los puntos A y E se hallan ambos a la presión atmosférica, estarán a la misma altura. Por lo tanto, las
superficies de un líquido en reposo en vasos comunicantes estarán a la misma altura, si dichos vasos están
abiertos a la atmósfera.
·
Estas ideas se muestran en tos dos ejemplos siguientes.
Ejemplo 13.3
¿Cuál es la presión sobre un buceador a 5 m por debajo de la superficie de un lago?
Utilizando d = 5 m y p = 1000 kg m-3 , hallamos
PB
= Patm + pgd
= 1,013 X 105 Pa + ( 1000 kg m-~)(9,8 m s- 2)(5 m)
= 1,50 X 105 Pa
(13.7)
Este resultado muestra que la presión a profundidad den un fluido en reposo es igual a la presión en la
superficie más el cambio de la energía potencial por
unidad de volumen pgd correspondiente a esta profundidad. La ecuación 13.7 también se puede interpretar
como un enunciado sobre la fuerza sobre la unidad de
área a una distanciad por debajo de la superficie del
Ejemplo 13.4
El valor observado de la presión a 1 m por encima
del suelo es la presión atmosférica, 1,013 x 105 Pa. ¿Cuánto vale la presión en el suelo si la temperatura es Oº C?
Aquí, d = 1 m. Según la Tabla 13.1, la densidad del
aire a presión atmosférica y Oº C es 1,29 kg m-3• Así pues
PB
= patm + pgd5
= 1,013 X 10 Pa + (1,29 kg m- 3)(9,8 m s- 2)(1 m)
= (1,013 X 10 + 12,6) Pa
5
n+
A
E
•
•
B
D
---.--
l±
h
Figura 13 .5 Fluido en reposo en un recipiente. Como se detalla en el texto, el nivel de la superficie del fluido en cada una de
las secciones es el mismo.
Por lo tanto, la presión en el suelo vale 12,6 Pa más, lo
que supone una variación de 1 sobre 104 , que resulta despreciable para la mayoría de los cálculos. El cambio de
presión es pequeño, al contrario de lo que ocurría en el
ejemplo precedente, ya que la densidad del aire es muy pequeña comparada con la densidad de un líquido normal.
Las propiedades de los gases se discutieron en el Capítulo 10, con la hipótesis de que la presión de un recipiente
lleno de gas es la misma en todos los puntos. Generalmente, esta aproximación es buena. Sin embargo, si la
297
La mecánica de los fluidos ideales
presión se mide a dos alturas muy diferentes, se observará una diferencia apreciable. Por ejemplo, la presión atmosférica a 2500 m por encima del nivel del mar es uñ
80 por ciento de la presión al nivel del mar.
I El manómetro de tubo abierto
es un tubo en forma de U que se utiliza para:medir presiones de gases. Contiene un líquido que puede ser mercurio o bien, para la medida de presiones pequeñas,
agua o aceite. Un extremo del tubo está abierto a la atmósfera y el otro extremo se halla en contacto con el
gas cuya presión debe medirse (Fig. 13.6). El manómetro también puede utilizarse para medir presiones en un
líquido, con tal de que dicho líquido no se mezcle con el
fluido manométrico.
Midiendo las alturas a partir del fondo del tubo en
U, P + pgy vale P + pgy1 en la superficie de la columna de la izquierda y Patm + pgJi en la de la derecha.
Igualando ambas expresiones
p
El manómetro
p
+ Pg)'1 = Patm + Pg)'2
P
= Patm + pg(J2 = Patm + pgh
o bien
Y1)
(13.8)
Por lo tanto, al medir la diferencia de alturas h entre
las dos columnas se determina la presión del gas P. En
el esfigmomanómetro, un aparato que se utiliza para
medir la presión de la sangre, la presión que se mide
es la del aire en un saquito arrollado alrededor del brazo. Discutiremos de nuevo estas medidas en la Sección
13.6.
La presión P en la Ec. 13.8 es la presión absoluta. La
diferencia entre esta presión y la atmosférica se denomina presión manométrica, P -P.1m . Por consiguiente, la
presión manométrica es exactamente pgh.
Figura 13.6
El manómetro de tubo abierto.
(Fig. 13.7). Calculando P + pgy en puntos adecuados
(Problema 13.45) se sigue que la presión sanguínea Ps
viene dada por
( 13.9)
Generalmente se utiliza el mercurio como fluido
manométrico para medir presiones arteriales. Sin embargo, las presiones en las venas son relativamente bajas y la utilización de mercurio como líquido manométrico sería poco precisa, ya que h es muy pequeña. Por
consiguiente, se utiliza en este caso una disolución salina como fluido manométrico.
Los fisiólogos utilizan a menudo electromanómetros en los que el fluido manométrico empuja una
membrana en vez de subir por un tubo. La flexión de
la membrana es proporcional a la presión, y dicha
flexión, por otra parte, se traduce en una señal eléctrica. Esta señal se transmite a un instrumento que da
una gráfica continua de la presión sanguínea.
13.5
I
EL PAPEL DE LA GRAVEDAD
EN LA CIRCULACIÓN
Cuando los animales evolucionaron hasta el punto de
pasar en posición erguida una parte importante del
Medición de la presión sanguínea mediante canulación I En muchos experimentos
con animales anestesiados, la presión sanguínea en una
arteria o una vena se mide insertando directamente en
el vaso una cánula, que es un pequeño tubo de vidrio
o de plástico que contiene una disolución salina más
un agente anticoagulante. La disolución salina se halla en contacto con el fluido de un manómetro. La superficie de contacto entre la disolución salina y el fluido manométrico se ha de hallar al mismo nivel que el
punto de inserción de la cánula, o bien se ha de tener
en cuenta la corrección de esta diferencia de alturas
T
Solución
salina,
densidad p,
Figura 13.7
Il
Fluido
manométrico,
densidad p.
Medida de la presión sanguínea por canulación.
298
La mecánica de tos fluidos ideales
9,3 kPa 13,3 kPa
13,1 kPa
13,3 kPa 13,2 kPa
presiones se miden habitualmente en torr, donde 1 atm
= 760 torr, y 1 torr = 133,3 Pa, y eP kilo pascales (kPa),
donde 1 kPa = 103 Pa.
Para un adulto típico, he= 1,3 ni¡ y hcE = 1,7 m.
Con p = 1,0595 X 103 kg m- 3, se halla
Pp-Pc= pghc
<F
= (1,0595 X4 103 kg m-3)(9,8 m s-2}(l,3 ni)
= 1,34 X 10
Figura 13 .8
Vista esquemática de los resultados de canulación
de art~rias en varias partes del cuerpo humano en posición erguida
Ytendido. Las presiones indicadas están promediadas sobre el ciclo
cardiaco.
tiempo, se necesitó una cantidad sorprendente de cambios en el sistema circulatorio. De peculiar importancia es el sistema utilizado para devolver la sangre desde las extremidades inferiores al corazón. Los seres humanos se han adaptado a los problemas del movimiento de la sangre durante grandes distancias en contra de
la fuerza de la gravedad. Los animales que no han conseguido esta adaptación, como las serpientes, las anguilas e incluso los conejos, se morirían si se les mantuviera erguidos; la sangre permanecería en las extren_iidades inferiores y el corazón no recibiría sangre del
sistema venoso.
La Fig. 13.8 muestra lo que se observa si se efectúa una canulación en las principales arterias de una
persona. En posición horizontal, la presión es la misma en casi todos los puntos. La pequeña caída de presión entre el corazón y los pies o el cerebro se debe a
las fuerzas viscosas. Sin embargo, las presiones en los
tres puntos son muy diferentes en la persona erguida,
como consecuencia de las apreciables diferencias de altura.
Como los efectos viscosos son pequeños, podemos
2
utilizar la ecuación de Bernoulli, P + pgh + pv =
constante, para analizar esta situación. Las velocidades en las tres arterias son pequeñas y .aproximada2
mente iguales, por lo que el término ½
pv p~ede ignorarse. Por lo tanto, las previsiones manométricas en el
corazón ! e, en los pies Pr y en el cerebro Pcc se relacionan mediante
+
PP =Pe + pghe = Pcc + pghcc
(13.10)
donde p es la densidad de la sangre.
En los estudios sobre el sistema circulatorio, las
Pa = 13,5 kPa
Pe vale aproximadamente 13,3 kPa, por lo que pp =
26,8 kPa. De un modo análogo encontramos P =
9 ,3 kPa, Esto explica por qué las presiones son mu;diferentes en las partes altas y en las partes bajas del cuer~o cuando la persona está erguida, aunque sean casi
iguales cuando está tendida.
Esta situación plantea diversos problemas. Los más
im~ortantes son la tendencia de la sangre de la parte supenor del cuerpo a descender hacia el corazón y la dificultad en subir la sangre desde las extremidades inferiores al corazón. Para retardar el drenaje sanguíneo
~e la parte venosa de la mitad superior del cuerpo, particularmente del cerebro, donde un volumen y un caudal constante son especialmente importantes, los músculos que rodean las venas se contraen y causan constricciones. En las extremidades inferiores, como las ven_as tienen una capacidad mucho mayor que las artenas para la expansión y el almacenamiento de sangre,
el problema es bombear la sangre «cuesta arriba». Las
venas de las extremidades contienen válvulas que se
ª?ren cuando la sangre fluye hacia el corazón y que se
cierran cuando la sangre se aleja del corazón. La sang~e se devuelve al corazón, al menos en parte, por la acción de bombeo asociada con la respiración y con la
flexión de los músculos del esqueleto, como sucede al andar. Estas contracciones musculares comprimen las venas, y las válvulas aseguran que el flujo sanguíneo cons~guiente se produzca hacia el corazón. La importancia de esto puede verse por ejemplo en el hecho de que
un soldado que permanezca largo tiempo en posición
rígida puede desmayarse debido a la insuficiencia del
retorno venoso. Una vez en posición horizontal las
presiones se igualan y el soldado recobra el sentid~.
Efectos de la aceleración I Cuando una persona erguida experimenta una aceleración hacia arriba a, su peso efectivo pasa a ser m(g + a). Aplicando
la ecuación de Bernoulli al cerebro y al corazón sustituyendo g por g + a, se obtiene
299
La mecánica de los fluidos ideales
o bien
(13.11)
Por lo tanto, la presión sanguínea en el cerebro se reducirá aún más. Se ha comprobado que si a es dos o
tres veces g, un ser humano pierde el conocimiento debido al colapso de las arterias del cerebro. Este factor
limita la velocidad con que un piloto puede salir de u·n
picado (Capítulo 5). Una experiencia relacionada es la
sensación de mareo al levantarse bruscamente. Como
se necesita el movimiento muscular para activar el mecanismo de retorno de la sangre venosa, la sangre-tendrá tendencia a acumularse en las venas inferiores hasta que se reemprenda la actividad normal.
13.6
1
MEDIDAS DE PRESIÓN
SANGUÍNEA MEDIANTE EL
ESFIGMOMANOMETRO
Como la parte superior del brazo de los seres humanos se halla aproximadamente al mismo nivel que el corazón, las medidas de presión sanguínea efectuadas en
este punto dan valores próximo a los del corazón. Asimismo, el hecho de que el brazo contenga un solo hueso
hace que al comprimir se localice allí con facilidad la
arteria humeral. El esftgmomanómetro (Fig. 13.9) es el
instrumento habitual que se utiliza para hacer esta medida de forma conveniente y sin ningún dolor.
Durante un ciclo completo de bombeo, la presión
en el corazón y el sistema circulatorio experimenta un
máximo (cuando la sangre es bombeada desde el corazón) y un mínimo (cuando el corazón se relaja y se llena
de la sangre procedente de las venas). El esfigmomaManómetro
Bomba
Válvula de liberación
Figura 13.9
neas.
Esfigmomanómetro para medir presiones sanguí-
nómetro se emplea para medir estas presiones extremas. Su uso se basa en el hecho de que el flujo de sangre
en las arterias no es siempre estacionario. Cuando las
arterias se encogen y el gasto és grande, el flujo se hae
turbulento. Este flujo turbulento es ruidoso y puede
oírse con un estetoscopio.
En el esfigmomanómetro se mide con un manómetro o un indicador de presión la presión manométrica
de un brazalete arrollado alrededor del brazo. Al principio, la presión del brazalete se aumenta hasta que la
arteria humeral queda totalmente cerrada. La presión
del brazalete se reduce entonces lentamente, mientras
se utiliza un estetoscopio para escuchar los ruidos de la
arteria humeral por debajo de la parte aprisionada por
el brazalete. Cuando la presión llega a un valor ligeramente inferior a la presión sistólica (máxima) producida por el corazón, la arteria se abrirá brevemente.
Como sólo está parcialmente abierta, la velocidad de la
sangre es elevada y el flujo es turbulento y ruidoso. El
ruido resultante se oye como una especie de latido.
Cuando se sigue bajando la presión del brazalete,
la arteria permanece abierta durante períodos más prolongados del ciclo cardíaco, pero se halla aún cerrada
en la parte de presión diastólica (mínima). Por consiguiente, se oyen sonidos, pero éstos se ven interrumpidos por períodos de silencio. Cuando la presión del
brazalete llega a la presión diastólica, la arteria permanece abierta durante todo el ciclo del corazón. A
esta presión el flujo es todavía turbulento y ruidoso
(particularmente en la presión diastólica) pero ahora
el sonido es continuo. Así pues, tanto la presión sistólica_como la diastólica pueden medirse sin necesidad
de canulación.
Las presiones sanguíneas se expresan habitualmente como razones de presiones sistólica/diastólica. Los
datos típicos para un adulto sano en reposo son aproximadamente 120/80 en torr y 16/11 en kPa. La frontera para la alta presión sanguínea (hipertensión) se define generalmente como 140/90 en torr y 19/12 en kPa.
Las presiones por encima de este nivel requieren atención médica, porque una alta presión sanguínea prolongada puede causar lesiones en el corazón o en otros
órganos antes de que una persona se dé cuenta de este
problema. En los últimos años se ha dado un gran relieve a la realización de exámenes en masa para descubrir a la gente que tiene presión sanguínea elevada
sin saberlo.
300
La mecánica de /os fluidos ideales
Figura 13. 1 O
Una comprobación sencilla de la ecuación de
Bcrnoulli. Al soplar entre dos hojas de papel, éstas tienden a juntarse.
13.7
1
CONSECUENCIAS DINÁMICAS
DE LA ECUACIÓN DE
BERNOULLI
En algunas ocasiones los términos de velocidad en la
ecuación de Bernoulli, Ec. 13.6, son comparables o
mayores que los términos gravitatorios. En esta sección
y en la siguiente discutiremos ejemplos en los que son
importantes estos términos dinámicos.
El lector puede realizar un experimento muy sencillo del efecto del gasto sobre la presión. Corte un trozo
de papel por la mitad y, manteniendo las dos mitades
separadas unos 2 cm, como en la Fig. 13.10, sople entre
ellas. Como el flujo es horizontal, los términos de la
ecuación de Bernoulli que contienen y son iguales y se
anulan. Si la presión y la velocidad entre las hojas de
papel son P 8 y vR, respectivamente y fuera de las hojas
son Po y vo, entonces
l
2- p+l
2
P+
s Tpvo - o -rPvo
Si reagrupamos estos términos, se obtiene
Po - P8 = fp(v/ - v/)
Ahor~ bien, v 8 es mayor que vo, de modo que el segundo m1~mbro es positivo y Po debe ser mayor que P8 •
Esta diferencia de presión origina un acercamiento entre las hojas, como es fácil de observar si se hace la
prueba.
El hecho de que la presión disminuya cuando la velocidad de un fluido que se mueve a altura constante
aumenta es una consecuencia de la conservación de la
energía. La energía cinética sólo puede aumentar si se
efectúa trabajo. Eso significa que sobre una porción del
fluido en movimiento debe actuar una fuerza neta, y
que la presión debe ser más baja en el extremo en el que
la velocidad es más alta.
Esta caída de presión asociada con velocidades crecientes del fluido tiene muchas implicaciones cotidia-
nas. Por ejemplo, estando en un automóvil nos hemos
visto impelidos hacia un camión grande cuando éste
nos adelantaba en una autopista. El aire se precipita
sobre los vehículos y el que pasa entre ellos es impulsado a través de un área pequeña. Como resultado de la
ecuación de continuidad, Ec. 13.4, este aire se mueve
más deprisa. En la región de alta velocidad, la presión
se ve reducida y los vehículos son arrastrados el uno
hacia el otro. Desde el punto de vista de los conductores, esto es bastante parecido a soplar entre dos hojas
de papel.
Parte del problema de las ventanas que saltaban en
el Hancock Building de Boston era debido a la relativamente baja presión exterior (comparada con la interior), que ocurría cuando soplaba el viento (Fig. 13.11).
En la sección siguiente describimos dos usos cuantitativos de la ecuación de Bernoulli.
13.8
1
MEDIDORES DE FLUJO
En esta sección aplicamos la ecuación de Bernoulli
completa a dos tipos de medidores de flujo. Con pequeñas modificaciones, éstos pueden utilizarse para
medir el flujo en vasos sanguíneos, la velocidad en el
aire de los aviones y muchos otros tipos de flujos.
El tubo de Venturi I En un tubo de Venturi, el
fluido pasa por un tubo que tiene puntos de diferente
área transversal. Cuando el tubo se estrecha, la velocidad del fluido aumenta. Entonces, de acuerdo con la
ecuación de Bernoulli, la presión disminuye. La medida de este cambio de presión determina la velocidad
del fluido. La presión puede medirse mediante finas columnas insertadas en el tubo principal (Fig. 13.12a) o
con dispositivos eléctricos.
Antes de utilizar la ecuación de Bernoulli hemos de
aclarar una dificultad debida a que el fluido de la columna se halla en reposo mientras que el del tubo principal se mueve. La ecuación de Bernoulli no se puede
aplicar directamente para hallar las presiones en los
puntos C y D de la Fig. 13.12b ya que el fluido en estos dos puntos no está sobre la misma línea de corriente. Sin embargo, si las presiones fueran diferentes, el
fluido se movería de un punto al otro. Como ello no
ocurre, Pe= P0 • Por lo tanto, la presión en las columnas
es la misma que en la linea de corriente.
La ecuación de Bernoulli afirma que P + pgy +
fpv 2 es constante en un tubo de corriente. Aplicando la
ecuación de Bernoulli a puntos que se hallan a la misma
altura en el flujo justo debajo de las columnas,
2
P1 + ½PV1 2 = P2 + ½PVz
La mecánica de los fluidos ideales
Figura 13.11
El edificio Hancockde Boston, Massachusetts. En 1973, un rasgo destacado dela
perspectiva de la ciudad de Boston era este rascacielos desocupado con sus ventanas tapadas con tableros contrachapados (rectángulos blancos) a causa de su desgraciada tendencia a reventar debido a las
grandes corrientes cuando soplan fuertes vientos. Las diferencias de presión predichas por la ecuación
de Bernoulli dan una explicación parcial de este fenómeno. (The Boston Globe.)
301
302
La mecánica de los fluidos ideales
_J___~ __L
•e
Área de la sección
transversal A,
Área de la sección
transversal A,
la)
Figura 13.12
(b)
(a) Tubo de Venturi. (b) Vista ampliada de la región donde la columna I conecta con
el tubo de flujo.
Según la ecuación de continuidad, A 1v1 = A2v2, o bien
v2
A1
= yv:i.
2
( 13.12)
Utilizando esta expresión de v2, la ecuación anterior
puede escribirse como
P1
-
P2
= ~ pv/ [~::
- 1]
(13.13)
Así pues, la medida de P 1 -P2 y el conocimiento de las
áreas determina v1; puede también hallarse v2 a partir
de la Ec. 13.12.
El siguiente ejemplo muestra cómo puede utilizarse este dispositivo para medir la velocidad de la sangre en una arteria.
Ejemplo 13.5
El flujo sanguíneo de la arteria de un perro se hace pasar por un tubo de Venturi. La parte más ancha de dicho
tubo tiene un área transversal de A 1 = 0,08 cm2, que es
igual al área transversal de la arteria. La parte más estrecha del tubo tiene un área A2 = 0,04 cm2 • La caída de presión en el venturímetro es 25 Pa. ¿Cuál es la velocidad v1
de la sangre en la arteria?
El cociente de las áreas A¡IA2 es un número sin dimensiones y vale o;o8/0,04 = 2. En la Tabla 13.1 vemos
que la densidad de lá sangre es 1059,5 kg m- 3 • Eliminando las unidades, la ecuación 13.15 se convierte en
25
= ½{1059,5)v/(22 -
te v. A partir de la ecuación de Bernoulli, y despreciando la pequeña diferencia de alturas entre A y B,
pA
-
pB -2pV
- l
2
donde pes la densidad del fluido. Si la densidad del fluido manométrico es Pm, entonces Pe = P D da
PA
+ pg(h + x) = P8 + pgx + Pmgh
o bien
PA - PB
= (pm -
p)gh
Comparando estas dos expresiones de P A - P 8
(13.14)
Por lo tanto, la lectura del manómetro da una medida
directa de la velocidad del flujo. Tal como en el tubo
de Venturi, pueden utilizarse electro manómetros en lugar del manómetro de tubo abierto.
V
T
X
t
!)
h
Despejando v1
( 2)(25)
( 1059,5)(22 - 1)
= O 125 m s-1
'
El tubo de Prandtl I La Figura 13.13 muestra
un tubo de Prandtl inserto en un flujo. Este tubo modifica muy poco el flujo excepto en el punto A, donde
el fluido tiene velocidad nula. Se supone que en el punto B la velocidad coincide con la de la línea de corrien-
e -----
1
D
Figura 13.13 Un tubo de Prandtl en un flujo de velocidad
constante. El brazo derecho del tubo en U conecta con la cámara
que se abre en B. El izquierdo conecta con la abertura en A, donde
el fluido tiene velocidad cero.
303
La mecánica de los fluidos ideales
RESUMEN
Las variables fundamentales que se utilizan en la descripción de los fluidos son la densidad y la presión. La
densidad es la masa por unidad de volumen. La presión es la fuerza por unidad de área que una porción
de fluido ejerce sobre la porción contigua.
La definición de presión lleva directamente al principio de Arquímedes: el empuje sobre un objeto total
o parcialmente sumergido en un fluido es igual al peso
del fluido desalojado.
Si se considera el fluido incompresible, el flujo satisface la ecuación de continuidad. Dicha ecuación establece que cuando el fluido circula por un tubo, el caudal Q ha de ser constante aun cuando cambien las dimensiones del tubo; por lotanto, el producto Av es
constante.
Considerando además que las fuerzas de rozamiento o fuerzas viscosas son despreciables, podemos igualar el trabajo hecho sobre el fluido con la variación de
su energía mecánica. El resultado es la ecuación de Ber2
noulli, que establece que P + pgy + pv es constante en todos los puntos de un tubo de corriente en un flujo estacionario. Se puede aplicar esta ecuación tanto a
fluidos en movimiento como en reposo.
+
Lista de repaso
Definir o explicar:
empuje
principio de Arquímedes
gasto
ecuación de continuidad
flujo estacionario
flujo turbulento
tubo de flujo
ecuación de Bernoulli
manómetro
canulación
esfigmomanómetro
presión absoluta
presión manométrica
tubo de Venturi
tubo de Prandtl
CUESTIONE~ DE REPASO
Q 13-1 En vez de describir los fluidos en términos
de masas y fuerzas, utilizamos la ......... y la .........
Q 13-2 ¿Cuáles son las dos fuerzas que actúan sobre un elemento de fluido para mantenerlo en equilibrio?
Q 13-3 La ecuación de continuidad puede utilizarse para explicar por qué una corriente de fluido· va
más rápida en las zonas ......... de la corriente que en
las zonas ........ .
Q 13-4 Si el área de la sección transversal de una
corriente de fluido se reduce a la mitad, la velocidad media es ........ .
Q 13-5 En la ecuación de Bernoulli, los términos
2
pgy +
pv representan la ........ .
Q 13-6 En los fluidos en reposo, la diferencia de
presiones entre dos puntos del fluido viene determinada por la densidad de éste, por g, y por ........ .
13-7 Una persona que sienta que «se le va la cabeza» puede aliviarse ........ .
Q 13-8 ¿Por qué al utilizar el esfigmomanómetro la
presión sanguínea se mide habitualmente en el antebrazo?
Q 13-9 En el movimiento de los fluidos, las regiones -de velocidad media elevada, tienden a tener
......... presiones.
Q 13-10 En un tubo con una constricción, la presión del fluido en ésta ¿será mayor o menor que la
presión en la parte ancha del tubo?
+
EJERCICIOS
Sección 13.1
1
Principio de Arquímedes
13-1 Un hombre de 75 kg flota en agua dulce con
casi todo el cuerpo por debajo de la superficie.¿Cuál
es su volumen?
13-2 Un objeto pesa 100 N enelairey75 N enagua.
¿Cuál es la densidad relativa de dicho objeto?
13-3 Un recipiente lleno de agua pesa 200 N sobre
una balanza. Se introduce en él un salmón de 12 N
que nada en su interior. ¿Qué peso se lee en la balanza?
13-4 Un globo tiene una capacidad de 0,1 m3 • ¿Qué
peso puede levantar cuando está lleno de helio? Utilizar las densidades del helio y del aire a Oº C dadas
en la Tabla 13.1.
13-5 Un tronco de 40 kg se deja caer en un río a
Oº C. Si la densidad relativa del tronco es de 0,8,
¿qué parte de su volumen se mantendrá por encima
de la superficie?
Sección 13.2 [ Ecuación de continuidad. Flujo
estacionario
13-6 El radio de una tubería de agua disminuye desde O,2 a O, 1 m. Si la velocidad media en la parte más
ancha es 3 m s- i, hallar la velocidad media en la parte más estrecha.
13-7 Una manguera de jardín con un área de sección transversal de 2 cm2 tiene un flujo de 200 cm3
s-1 • ¿Cuál es la velocidad media del agua?
304
·La mecánica de los fluidos ideales
13-8 Un vaso sanguíneo de radio r se divide en cuatro vasos sanguíneos, cada uno de radio r/3. Si la velocidad media en el vaso más ancho es v, ¿cuál es
la velocidad media en cada uno de los vasos estrechos?
Sección 13.3
1
Ecuación de Bernoulli
13-9 ¿Puede utilizarse la ecuación de Bernoulli para
describir un flujo de agua en las cascadas de una
corriente? Explicarlo.
13-10 Se lanza una pelota de béisbol, cuya trayectoria se curva a medida que se acerca al bateador.
¿Puede aplicarse la ecuación de Bernoulli a este problema utilizando como sistema de i:eferencia (a) uno
que se desplaza con la pelota, (b) uno fijo con respecto al suelo? Explicarlo.
13-11 Si el agua se desplaza a través de tuberías de
sección transversal constante desde la planta baja
hasta el primer piso, ¿se mantendrá su presión constante? Explicarlo.
Sección 13.4 1 Consecuencias estáticas de la ecuación de Bernoulli
13-12 Se han hecho fotografias de fondos subma. rinos a 8000 m de profundidad. (a) ¿Cuál es la presión a dicha profundidad? (b) ¿Qué fuerza se ejerce
sobre la ventanilla de la cámara si ésta mide 0,1 m
por 0,15 m?
13-13 ¿Cuál es la diferencia de presión entre el corazón y el cerebro de una jirafa si su cerebro está 2
m por encima de su corazón? (Considerar que la velocidad de la sangre es la misma en todos los puntos.)
13-14 Evaluar la caída de presión en la atmósfera
cuando se asciende desde el nivel del mar hasta la
cumbre de una colina de 500 m de altura a una temperatura de Oº C.
13-15 ¿Qué altura puede alcanzar el agua que sube
por las tuberías de un edificio si la presión manométrica a. nivel del suelo es 2 X 105 Pa?
13-16 Un submarino baja a 100 m de profundidad
en el mar. ¿Qué presión manométrica se necesita.
para vaciar de agua los tanques de lastre?
13-17 Una cierta presión puede .sostener una columna de agua pura de 0,7 m de altt1ra. La misma
presión puede aguantar una columna de una disolución salina de 0,6 m de altura. ¿Cuál es la densidad de la disolución salina?
13-18 Se coloca una cánula en una arteria ancha y
3
se utiliza una disolución salina de 1300 kg m- de
densidad como fluido manométrico. ¿Cuáles la presión de la sangre (presión manométrica) si la diferencia de alturas entre los tubos manométricos es
de 0,67 m?
Sección 13.5
ción
1
El papel de la gravedad en la circula-
13-19 Cuando un hombre está en pie, su cerebro se
encuentra a 0,4 m por encima de su corazón. Si se
inclina de forma que su cerebro llega a 0,5 m por debajo de su corazón, ¿cuánto varía la presión sanguínea en su cerebro?
13-20 Explicar por qué nos sentimos incómodos
cuando nos doblamos de forma que la cabeza queda por debajo del corazón.
13-21 Un piloto experimenta una aceleración hacia
abajo igual a cuatro veces la aceleración de la gravedad durante una maniobra. Si permanece erguido, ¿cuál es la presión sanguínea en su cerebro?
13-22 El piloto de un reactor sale de un picado de
forma que su aceleración hacia arriba es 3 g. ¿Qué
se puede decir con respecto a la presión sanguínea
en su cerebro?
13-23 ¿A qué aceleración habría que esperar que la_
presión sanguínea descendiera a cero en el cerebro
de una persona erguida? (Supóngase que el cuerpo
no tiene mecanismos para compensar estas condiciones.)
13-24 (a) Si un ascensor se acelera hacia arriba a
9,8 m s· 2 , ¿cuál es la presión sanguínea·media en el
cerebro? ¿Cuál es la presión sanguínea media en los
pies? Supóngase que la persona permanece en pie.
(b) Si el ascensor se acelera hacia abajo a 9,8 m s· 2 ,
¿cuál es la presión sanguínea media en el cerebro y
en los pies?
Sección 13.6
1
Medida de presiones sanguíneas me-
diante el esfigmomanómetro
13-25 Si se utilizara un esfigmomanómetro para
medir la presión sanguínea en la pierna de un hombre sentado y en reposo, ¿daría la presión en el corazón? Explicarlo.
13-26 Supóngase que un hombre corre hacia el consultorio de un médico y que se le mide inmediatamente la presión sanguínea. ¿Indicaría una medida
por encima de la normal 120/80 que padece hipertensión? Explicarlo.
Sección 13.8
1
Medidores de flujo
13-27 Un tubo de Venturi tiene un radio de 1 cm
La mecánica de los fluidos ideales
305
en su parte estrecha y 2 cm en su parte ancha. La velocidad del agua en la parte ancha es 0,1 m s-1• Hallar (a) la caída de presión y (b) la velocidad en la
parte estrecha.
13-28 Se utiliza un tubo de Prandtl para medir la velocidad de la sangre aórtica en un perro. Si se utiliza
agua como fluido manométrico, ¿cuál es la diferencia de alturas en el tubo manométrico cuando la velocidad de la sangre es 0,1 m s- 1?
13-29 Supongamos un tubo de Venturi equipado
con columnas verticales tal como se indica en la Fig.
13.12. Demostrar que
g(yl - Y2)
1 2 (A/
= 2º1
Az2 -
esta operación, ¿qué ha ocurrido con el nivel del
lago: ha subido, bajado o permanecido constante?
Explicar.
13-34 Un cubito de hielo flota en el agua de un vaso
totalmente colmado. ¿Qué ocurrirá con el nivel del
agua á medida que el cubito se funda? Explicar.
13-35 Se construye un gato hidráulico tal como se
indica en la Fig. 13.15. El área de las secciones transversales de los émbolos es· A 1 y A 2 • Demostrar que
en el equilibrio las fuerzas F 1 y F2 cumplen la relación
)
A1
1
13-30 En una experiencia de cátedra habitual, una
pelota de ping-pong queda adherida al extremo inferior de una salida de aire dirigida hacia abajo
cuando fluye una corriente de aire (Fig. 13.14). Ex-.
plicar brevemente por qué no cae la pelota.
PROBLEMAS
13-31 Un bloque de roble pesa 90 Nen el aire. Una
pesa de plomo tiene un peso de 130 N cuando está
sumergida en agua. Cuando se ponen juntos pesan
100 Nen el agua. ¿Cuál es la densidad de la madera?
13-32 ¿Cuál es la aceleración inicial de una bola de
hierro de densidad relativa 8, (a) cuando está sumergida en agua, (b) cuando está sumergida en mercurio? (c) ¿Cuál es la dirección de la aceleración en
cada caso?
13-33 Una persona rema hasta el centro de un lago
con un gran número de piedras en su embarcación.
A continuación, las echa por la borda. Al acabar
= A2
13-36 Un elevador hidráulico similar al de la Fig.
13.15 con émbolos cuyas áreas transversales son
1500 cm2 y 75 cm2 respectivamente, se utiliza para
elevar una silla de dentista que pesa 1500 N. (a)
¿Qué fuerza se ha de ejercer sobre el émbolo pequeño para elevar la silla? (b) ¿Qué distancia se debe
desplazar el émbolo pequeño para elevar la silla 0,1
m?
13-37 Un depósito contiene oxígeno en estado gaseoso a Oº C. La presión en el fondo del depósito es
de 100 atm. Si el depósito mide 1 m de altura, ¿cuál
es la presión en la parte superior? (Considerar que
la densidad media del oxígeno es 143 kg m-3.)
13-38 Se construye un barómetro llenando un tubo
largo con mercurio e invirtiéndolo sobre una cubeta llena también de mercurio, sometida a la presión
atmosférica (Fig. 13.16). (a) Demostrar que la presión atmosférica P,,m es igual a pgh, donde p es la
densidad del mercurio. (b) ¿Cuáles la altura h cuando Pa,m = 1,013 X 105 Pa?
13-39 Durante una transfusión de sangre se inserta la aguja en una vena donde la presión es de 2000
Flujo
de aire
Área del émbolo , A 2
Área del émbolo , A 1
Figura 13. 14 Una pelota de ping-pong permanece adherida
al tubo cuando fluye por él una corriente de aire. Ejercicio 13-30.
Figura 13.15
Gato hidráulico. Problemas 13-35 y 13-36.
La mecánica de los fluidos ideales
306
,...
l
1Figura 13.16
Barómetro de mercurio. Problema 13-38.
-:--,!_+_1----
Pa. ¿A qué altura con respecto a la vena debe situarse al recipiente que contiene la sangre para que
ésta entre en la vena?
Figura 13.17 Problema 13-44.
13-40 En la Sección 13.5 hemos supuesto que la
sangre tiene la misma velocidad en todas las arterias principales. Supongamos que la velocidad fue1
ra de 0,2 m s- en las arterias próximas al corazón
guíneo flexible cuya presión interior disminuye con
1
y de 0,1 m s- en las cercanas a los pies. ¿Qué porrespecto a la presión exterior.
centaje de error introduciría esto en P,, - Pe?
13-44 Una botella tapada contiene agua y dos tu*13-41 Un sif6n de sección transversal 3 X 10-4 m2 se
bos penetran a través de su tapón, como se muesutiliza para vaciar un depósito de agua. El tubo se
tra en la Fig. 13.17. Se conecta el tubo B a una bomhalla inicialmente lleno de agua y con los dos extreba por uno de sus extremos y el otro permanece por
mos cerrados, uno situado en el interior del depóencima de la superficie del agua. El tubo A está susito, a 0,25 m por debajo de la superficie. El otro exmergido hasta O, 15 m por debajo de la superficie del
tremo se encuentra en el exterior a una distancia de
agua, permaneciendo su otro extremo en el aire.
0,5 m por debajo del extremo inmerso. (a) ¿Cuál es
¿Cuál es la presión mínima que puede obtenerse en
la velocidad inicial del agua que sale por el tubo
el interior de la botella? ¿Qué ocurre cuando se alcuando se abren sus extremos? (b) ¿El flujo es concanza dicha presión? (Este tipo de botellas se utilitinuo? (c) ¿Cuál es la velocidad del agua cuando la
za para drenar fluidos indeseables del cuerpo, como
superficie de ésta en el depósito ha descendido haslos que se acumulan en el interior y los alrededores
ta 0,1 m por encima del extremo inmerso?
de los pulmones en algunas enfermedades.)
*13-42 Se llena un sifón con gasolina y se cierra por
13-45 La presión sanguínea de una arteria se mide
sus dos extremos. Se introduce un extremo en un demediante el procedimiento de la canulación (Fig.
pósito de gasolina a 0,3 m por debajo de la super13.7). La cánula contiene una disolución salina de
ficie y el otro a 0,2 m por debajo del pri~ero y se
densidad p, y el fluido manométrico tiene una denabren ambos extremos. El depósito tiene una secsidad p. Demostrar que la presión sanguínea viene
ción transversal interior de área 4 X 10-4 m2 • La dendada por la ecuación 13.9.
sidad de la gasolina es 680 kg m-3 • (a)¿Cuál es la velocidad inicial de la gasolina en el tubo? (b) ¿Cuál es
RESPUESTAS A LAS CUESTIONES DE REPASO
el gasto inicial del flujo?
Q 13-1, densidad, presión; Q 13-2, peso, empuje,
13-43 Una arteria o una vena pueden obstruirse
Q
13-3, más estrechas, más anchas; Q 13-4, el doparcialmente cuando algunos materiales reducen su ·
radio en un pequeño tramo de su longitud. (a) ¿Vable; Q 13-5, energía mecánica por unidad de v?lumen; Q 13-6, diferencia de alturas; Q 13-7, baJanría la velocidad en la región obstruida? (b) ¿Varía
do la cabeza; Q 13-8, porque es próxima a la presión
la presión en la región obstruida? (c) Describir las
del corazón; Q 13-9, bajas; Q 13-10, menor.
posibles consecuencias de este hecho en un vaso san-
La mecánica de los fluidos ideales
307
Figura 13.18 (a) Flujo estacionario alrededor de un ala. (b) Turbulencia, pérdidas de sustentación y velocidad son el resultado de grandes ángulos de ataque. (F. Homann, Forschung a¡ifdem Gebiete
des lngenieurwesens 1936, cortesía de VDI Verlag.)
TEMAS SUPLEMENTARIOS
13.9
1
EL VUELO DE LOS ANÍMALES
Y DE LOS AVIONES
Un estudio completo del vuelo implica una combinación de teorías matemáticas elaboradas y de experimentos prácticos, ya que los modelos de flujo alrededor de las alas son muy complejos. Sin embargo, con
ayuda de la ecuación de Bernoulli, obtendremos algunos resultados cualitativos aplicables tanto a aviones
como a aves, insectos y otros animales voladores.
Si miramos un avión desde el suelo, el aire en un
punto cualquiera se perturba al pasar el avión y luego
vuelve a su estado inicial. Como el movimiento del fluido no es constante en el tiempo, no podemos aplicar
la ecuación de Bernoulli a nuestra observación. Sin embargo, para un observador situado en el avión, el flujo de fluido es estacionario. Por lo tanto, la ecuación de
Bernou//i es aplicable siempre y cuando la utilicemos en
un sistema de referencia en reposo con respecto al avión.
La Fig. 13. 18a muestra un flujo de aire de velocidad
inicial v y densidad p alrededor de un ala de avión estacionaria. Las líneas de corriente por encima del ala
están más apretadas que por debajo. De acuerdo con
la ecuación de continuidad, ello indica que la velocidad v, del aire por encima del ala es mayor que la velocidad vb por debajo (Fig. 13.19). Como la ecuación
de Bernoulli dice que P + pgy +--½pv2 debe ser cons-
La mecánica de los fluidos ideales
308
.....:.....
V
Figura 13.19 El aire se desplaza por encima del ala a una ve•
locidad v., que es mayor que la velocidad por debaj_o del ala v•. Tanto v. como v• son proporcionales a v.
tante en una línea de corriente, la presión P. por encima del ala debe ser menor que la presión Pb por debajo. (Podemos despreciar los términos pgy ya que el espesor de ala es pequeño.) Así pues, la fuerza de sustentación FL sobre un ala de área A es
Esta expresión no es todavía útil, ya que no conocemos las velocidades v. y vb y no existe ningún método simple para predecir sus valores. Sin embargo, esperamos que v. y vb sean ambas proporcionales a la velocidad inicial v del aire. Entonces (v.2- v/) es proporcional a v2, y la fuerza de sustentación puede volverse
a escribir como
(13.15)
El factor de proporcionalidad CL recibe el nombre
de coeficiente de susten(ación. En algunos casos idealizados puede predecirse este coeficiente utilizando técnicas matemáticas muy avanzadas, pero en general se
Figura 13.20
tesía de la Boeing.)
mide experimentalmente. El coeficiente de sustentación depende de manera complicada de la forma del
ala y del ángulo de ataque a, el ángulo entre el ala y la
dirección del flujo del aire. Cuando el ángulo de ataque es pequeño, la fuerza de sustentación es aproximadamente proporcional al ángulo de ataque. Sin embargo, si a aumenta suficientemente, se origina turbulencia, la sustentación disminuye y se puede perder velocidad (Fig. 13.18b).
La Ec. 13.15 para la fuerza de sustentación es lo
único que se necesita para estudiar cualitativamente el
vuelo. Para vuelos a altura constante, la fuerza de sustentación debe ser igual al peso. Los aviones a reacción tienen velocidades de vuelo muy altas y por lo tanto el área A y el ángulo de ataque a pueden ser pequeños, reduciendo así las fuerzas disipativas de resistencia del aire. Sin embargo, se necesitan entonces velocidades muy elevadas para poder despegar. Para poder despegar con velocidades moderadas, los reactores
deben producir un aumento brusco del ángulo de ataque en cuanto alcanzan una velocidad crítica (Fig.
13.20). Esto aumenta el coeficiente de sustentación y
permite el despegue. Los aviones de hélice, que vuelan
a velocidades inferiores, tienen proporcionalmente alas
mayores y ángulos de ataque también mayores. Ello
permite que el coeficiente de sustentación sea suficiente para despegar a velocidades más bajas.
Como las alas de los animales voladores proporcionan a la vez la propulsión y la sustentación, sus formas y movimientos son muy complejos. La fuerza de
sustentación sigue estando determinada por FL =
A CLpv2/2, pero A, CL y v varían durante las diferentes
fases del movimiento del ala (Fig. 13.21).
El ángulo de ataque se aumenta precisamente antes de que el avión despegue. (Cor-
309
La mecánica de los fluidos ideales
(e)
Figura 1 3 .21
Durante el vuelo de nivel, el movimiento hacia
abajo de las alas constituye la mayor fuerza de sustentación y propulsión. La parte delantera del ala queda por debajo del borde posterior en la secuencia (a)-(d). En su movimiento ascendente el ala se
coloca hacia adelante y hacia arriba casi paralela a su plano. Se obtiene así una fuerza de sustentación y propulsión pequeña, pero se
pierde poca velocidad de vuelo y se requiere poca energía para ejecutar el movimiento. (Adaptado de Alexander, Animal Mechanics.)
Vuelo y leyes de escala
I
Las aves pequeñas
tales como los gorriones y las más grandes, como los
patos, despegan y aterrizan de maneras muy diferentes. Podemos entender este fenómeno utilizando de
· nuevo modelos de escala. Utilizaremos la forma de escala más sencilla que supone que el volumen o el peso
de un ave varía como el cubo de su longitud característica (el modelo de escala más complicado del Capítulo 8, que utiliza criterios de resistencia a la flexión
[o:::?13, conduce a resultados muy similares a los que obtendremos aquí).
El área A de la sección transversal de un ala varía
2
como / , de modo que la fuerza de sustentación FL =
2
ACLpv l2, varía como A1? o bien como !2v2. En el vuelo a altura constante, FL debe ser igual al peso del ave,
2
w ce !3. Igualando estas relaciones tenemos t2v ce !3, o
bien
V a:. /1/ 2
(13.16)
Este resultado significa que un ave de gran tamaño tiene una velocidad de vuelo mínima mayor que la
de una pequeña. Un ave pequeña puede saltar hacia el
aire.y alcanzar su velocidad de vuelo con uno o dos aleteos. Un ave grande adquiere velocidad corriendo por
el suelo o por enctma de la superficie del agua
(Fig. 13.22) o lanzándose desde una posición elevada.
Es interesante comparar dos aves de tamaños muy
diferentes. La velocidad mínima de vuelo de un vence-
Figura 1 3. 22
Las aves grandes adquieren velocidad antes del
despegue.
jo es aproximadamente 21 km h- 1 • Un avestruz tiene
una longitud característica unas 25 veces superior a la
del vencejo, de modo que a partir de v ce ['12 , deducimos
que su velocidad mínima de vuelo es
= 5 veces la
del vencejo, es decir, 105 km h-1• No es sorprendente
que el avestruz no pueda volar.
En nuestros días, el mayor animal volador es el albatros, cuya envergadura de alas es de 3,3 m. Durante la
era de los dinosaurios existieron reptiles voladores
(pterosaurios) todavía mayores. El mayor de los que
se han descubierto hasta ahora tenía una envergadura
de 15,5 m. Se supone que estas descomunales criaturas no podían despegar a no ser que escalaran acantilados y se lanzaran al aire desde ellos. La posibilidad
de mantenerse en el aire dependía de su habilidad en localizar corrientes ascendentes de aire (Fig. 13.23).
.J25
EJERCICIOS SOBRE LOS TEMAS
SUPLEMENTARIOS
Sección 13.9 1 El vuelo de los aQimales y de los aviones
13-46 Un avión que pesa 9000 kg debe alcanzar
una velocidad de 120 m s- i para despegar. Si el avión
transporta una carga de 7000 kg, ¿cuál es su velocidad mínima de despegue?
13-47 ¿Por qué los aviones grandes necesitan generalmente pistas de despegue largas?
La mecánica de los fluidos ideales
310
Envergadura
del águila,
2m
Envergadura
del pterosaurio,
15,5 m,
(b)
(a)
Figura 13.23 El pterosaurio. (a) Escala de tamaños. (b) Una reconstrucción artística del pterosaurio cazando una presa.
13-48 La velocidad mínÍma de vuelo de un vencejo
de 0,05 kg es 6 m s· 1• ¿Cuál es la velocidad mínima
de vuelo de un ganso de 3,2 kg?
13-49 Un vencejo tiene una envergadura de 0,25 m,
·mientras que un pterosaurio tenía una envergadura de 16 m aproximadamente. El vencejo tiene una
velocidad mínima de vuelo de 6 m s·1• (a) Utilizando el método de escala, evaluar la velocidad mínima de. vuelo del pterosaurio. (b) Comentar la validez del método de escala en este caso.
PROBLEMAS SOBRE LOS TEMAS
SUPLEMENTARIOS
13-50 La potencia necesaria para que un colibrí (o
un helicóptero) pueda revolotear es
@H=/f¡
donde w es el peso del pájaro, A es el área barrida
por sus alas cuando aletea y p es la densidad del
aire. (a) Demostrar que el segundo miembro de esta
ecuación tiene dimensiones de potencia. (b) ¿Puede
hallarse otra expresión del tipo W" p-bA, que tenga dimensiones de potencia?
13-51 Utilizando la fórmula de la potencia consumida en el vuelo del Problema 13-50, demostrar qué
relación de escala sigue dicha potencia con respecto a la longitud característica del pájaro.
13-52 Un colibrí de 3 X 10· 3 kg de masa barre con
sus afas una superficie de 3 X 10·3 m2 • (a) Utilizan-
do la fórmula del Problema 13-50, hallar la potencia consumida a 20º C. (b) Los músculos del pájaro tienen 0,75 X 10·3 kg de masa. Comparar supotencia efectiva con la máxima potencia efectiva de
80 W kg- 1 de los músculos humanos.
13-53 Aplíquese la ley de escala /3 ex: r2 al vuelo de
las aves. ¿Cómo se modifica la ecuación 13.16?
Lecturas adicionales
R. McNeill Alexander, Animal Mechanics, University of Washington Press, Seattle, 1968. Capítulos 5 y 6.
R. A. R. Tricker y B. J . K. Tricker, The Science of Movement, Mills and Boon Limited, London, 1967.
Arthur C. Guyton, Circulatory Physiology: Cardiac Output
and Its Regulation, W. B. Saunders Co., Philadelphia and
London, 1963. El capítulo 6 trata los medidores de flujo
y su utilización.
John R. Cameron y James G. Skofronick, Medica/ Physics,
John Wiley and Sons, Inc., New York, 1978. El Capítulo 6
estudia las presiones en el cuerpo.
Artículos del Scientijic American:
Wallace O. Fenn, The Mechanism ofBreathing, enero 1960,
p. 138.
J . V. Warren, The Physiology ofthe Giraffe, noviembre 1974,
p . 96.
Stanley J. Dudrick y Jonathan E. Rhoads, Totallntravenous
Feeding, mayo 1972, p. 73.
D. James Baker, Jr., Models of Oceanic Circulation, enero
1970, p. 114.
311
La mecánica de los fluidos ideales
Suk Ki Hong y Hermano Rahn, Toe Diving Women of Korea and Japan, mayo 1967, p. 34.
Eric Denton, The Buoyancy of Marine Animals, julio 1960,
p. 118.
John P. Campbell, Vertical-Takeoff Aircraft, agosto 1960,
p. 41.
John H. Storer, Bird Aerodynamics, abril 1952, p. 24.
Car! Welty, Birds as Flying Machines, marzo 1955, p. 88.
Clarence D . Cone, Jr., Toe Soaring Flight ofBirds, abril 1962,
p. 130.
David S. Smith, The Flight Muscles of Insects, junio 1965,
p. 76.
Alfred Gessow, Toe, Changing Helicopter, abril 1967, p. 38.
Felix Hess, Toe Aerodynamics of Boomerangs, noviembre
1968, p. 124.
Vanee A. Tucker, The Energetics ofBird Flight, mayo 1969,
p. 70.
C. J. Pennynick, Toe Soaring Flight ofVultures, diciembre
1973, p. 70.
Torkel Weis-Fogh, Universal Mechanisms for the Generation of Lift in Flying Animals, noviembre 1975, p. 80.
Artículos de Investigación y Ciencia:
Wann Langston, Jr., Pterosaurios, abril 1981, p. 80.
Jearl Walker, BúmÚangs (1), Taller y laboratorio, mayo
1979, p. 116.
Jearl Walker, Búmerangs (2), Taller y laboratorio, junio
1979, p. 104.
Jearl Walker, Presentación de las cometas Musha, de doble
rombo y otras, para construir y hacer volar. Taller y laboratorio, abril 1978, p. 108.
CAPÍTULO
14
FLUJO DE
FLUIDO VISCOSO
Los fluidos reales siempre experimentan al moverse
ciertos efectos debidos a fuerzas de rozamiento o fuerzas viscosas. Cuando el trabajo realizado contra estas
fuerzas disipativas es comparable al trabajo total realizado sobre el fluido o al cambio de su energía mecánica, la ecuación de Bernoulli no puede utilizarse. La
ecuación de Bernoulli es siempre válida para fluidos
en reposo, ya que en este caso las fuerzas viscosas no
tienen ningún efecto, pero para los fluidos en movimiento se han de evaluar los efectos de dichas fuerzas.
Por ejemplo, la ecuación de Bernoulli puede dar una
descripción adecuada del flujo de la sangre en las arterias mayores de los mamíferos, pero no en los conductos sanguíneos más estrechos.
Empezamos este capítulo definiendo la viscosidad
de un fluido. Examinamos luego los efectos de las fuerzas viscosas sobre el flujo de un fluido en un tubo. También se debe a la viscosidad la fuerza de-arrastre experimentada por un pequeño objeto que se mueve lentamente en un fluido. Por consiguiente, las fuerzas viscosas determinan las velocidades de las moléculas y de
las pequeñas partículas en solución en una centrifugadora.
14.1
1
VISCOSIDAD
La manera más simple de definir la viscosidad es considerar un ejemplo adecuado. La Fig. 14.1 muestra dos
plac¡is planas separadas por una delgada capa de fluido. Si la placa inferior se mantiene fija, se ha de ejercer una fuerza para mover la placa superior con velocidad constante. Esta fuerza se necesita para con312
trarrestar las fuerzas viscosas debidas al líquido, y es
mayor para líquidos muy viscosos, tales como la melaza, que para fluidos poco viscosos, como el agua.
Se observa que la fuerza Fes proporcional al área
de las placas A y a la velocidad de la placa superior !:l.v,
e inversamente proporcional a la separación entre las
placas !:l.y,
F
= 17A t::.v
(14.1)
t::.y
La constante de proporcionalidad r¡ (eta) se denomina viscosidad. Según esta ecuación, las dimensiones de
la viscosidad, representadas mediante corchetes [], son
[11 ) = [
F/ A ]
t::.v/ t::.y
= [MLT-2JL2
] = [ML-1r-1](14.2)
1
LT- / L
Aquí, M, L y T representan respectivamente la masa,
/J/1/
T
Ll.y
l
-------
(a)
A
F
~
1
1
fluido
1
(b)
Figura 14.1
(a) Aparato para medir la viscosidad. (b) Para evitar que el fluido escape, en las medidas reales de viscosidad se utilizan dos cilindros concéntricos, uno fijo y otro giratorio.
Flujo de fluido viscoso
313
TABLA 14.1
Valores ttpicos de la viscosidad en pascales-segundo (Pa-s)
Temperatura,
ºC
o
Aceite de
castor
Agua
5,3
0,986
20
37
40
60
80
100
1,792
1,005
0,6947
0,656
0,469
0,357
0,284
0,231
0,080
0,030
0,017
X
X
X
X
X
X
X
10-l
10-3
10-3
10-3
10- 3
10-3
10-3
1,71 X
1,81 X
1,87 X
1,90 X
2,00 X
2,09 X
2,18 X
Plasma
sanguíneo•
Sangre
normal•
Aire
10-s
10-s
10~s
10-s
10- s
10-s
10-s
3,015
2,084
X
X
10- 3
10-3
1,810
1,257
X
X
10-J
10-3
• Las viscosidades relativas (r¡/r¡,1• • de la sangre y del plasma permanecen casi constantes a temperaturas comprendidas entre 0° C y 37° C.
la longitud y el tiempo. La unidad S.I. de viscosidad
es 1 kgm-• s-1 = 1 Pas.
En· la Tabla 14.1 se dan algunas viscosidades típicas. En general, cuando la temperatura disminuye los
líquidos se vuelven más viscosos, como se observa fácilmente en el aceite de los motores, la miel y otros fluidos viscosos. En cambio, los gases son cada vez menos viscosos a medida que baja la temperatura.
Como en general las fuerzas viscosas son pequeñas,
los fluidos se utilizan a menudo como lubrificantes
para disminuir el rozamiento. Ello se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 14.1
Una mesa de aire utilizada en experimentos pedagógicos de física sostiene un móvil que se desliza sobre un
cojín de aire de 10- 3 m de espesor y 0,04 m 2 de área. Si la
viscosidad del aire es 1,8 X 10-s Pa s, hállese la fuerza necesaria para deslizar el móvil a una velocidad constante
de 0,2 m s-1•
La fuerza necesaria es
F= A t::.u
11 t::.y
= ( 18 X
10- 5 Pa s)(0 04 m 2) (0,2 m s-l)
'
'
= 1,.44 X 10-
4
(I0- 3 m)
N
Esta fuerza es muy pequeña, lo que explica que dichas mesas de aire se comporten como si prácticamente no hubiera rozamiento.
Flujo laminar I El fluido en contacto con la placa móvil de la Fig. 14.1 tiene la misma velocidad que
la placa, tal como muestran las flechas. La capa de fluido inmediatamente inferior se mueve algo más lentamente, y así, las capas sucesivas de fluido tienen cada
vez menor velocidad. La capa vecina a la placa inferior está parada. Esta estructura de capas o flujo /ami.nar se presenta en los fluidos viscosos a baja velocidad.
Cuando la velocidad del fluido aumenta suficientemente, el flujo cambia de carácter y se vuelve turbulento.
En general, el flujo turbulento es indeseable ya que
disipa más energía mecánica que el flujo laminar. Los
aviones y los coches se diseñan de forma que el flujo
de aire en sus proximidades sea lo más laminar posible. Asimismo, en la naturaleza el flujo sanguíneo en
el sistema circulatorio es normalmente laminar en vez
de turbulento. En las secciones siguientes profundizaremos en estos temas.
14.2 I FLUJO LAMINAR EN UN
TUBO: ANALISIS
DIMENSIONAL
Muchas aplicaciones interesantes de la fJSica de fluidos se basan en el estudio de flujos laminares en tubos
cilíndricos, tales como tuberías de metal o arterias humanas. En esta sección estudiamos una ecuación para
el gasto o caudal denominada ley de Poiseuil/e, que fue
descubierta experimentalmente por un médico, Jean
Louis Marie Poiseuille (1799-1869), en sus investigaciones sobre el flujo en vasos sanguíneos. La ley de
Poiseuille relaciona el caudal con la viscosidad, la caída
de presión y el radio y la longitud del tubo. En la sec-
3'1 4
Flujo de fluido viscoso
(a)
(b)
Figura 14.2 Flujo laminar en un tubo. El fluido en contacto
con la pared está en reposo y las sucesivas capas cilindricas se mueven con velocidades crecientes. El fluido en el centro tiene la máxima velocidad. Si inicialmente el fluido en el tubo está como se muestra en (a), después de un corto intervalo de tiempo las capas se ha•
brán desplazado como en (b).
ción siguiente la utilizaremos como base del estudio del
flujo sanguíneo en el sis.tema circulatorio.
Consideremos un fluido que se mueve por un tubo
con velocidad suficientemente baja para que no se produzcan turbulencias y el flujo sea laminar. Tal como
en el caso de las dos superficies planas de la sección anterior, el fluido en contacto con la pared del tubo se adhiere a él y permanece en reposo. La fina capa cilíndrica de fluido contigua a dicha capa inmóvil se mueve muy lentamente y las sucesivas capas concéntricas
se mueven con velocidad creciente (Fig. 14.2). Por consiguiente, el fluido tiene la maxima velo~idad Vmu en
el centro. Puede verse que la velocidad media es la mitad de dicha velocidad, es decir, = -½- vmu, y, según
la ecuación de continuidad, el gasto viene dado por Q
v
=Av=+
ÁV,,,,¡, ,
En un tubo horizontal de sección transversal constante, la ecuación de continuidad implica que la velocidad media sea constante, ya que Av ha de ser constante. Sin embargo, la presión disminuye a medida que
el fluido avanza por el tubo. Ello se debe a que ha de
hacerse trabajo para contrarrestar las fuerzas viscosas.
Si la sección transversal varía o si el tubo no es horizontal, se producen cambios adicionales de presión de
v
(a l
Figura 14.3
Figura 14.4
La caída de presión P, - P2 es proporcional a
vi..
acuerdo con la ecuación de Bernoulli (Fig. 14.3).
La caída de presión t:J' =P1 - P2 a lo largo de un
tubo horizontal de sección transversal constante (Fig.
14.4) es proporcional a las fuerzas viscosas y, por lo
tanto, a la velocidad media del fluido. Además, la caída de presión es proporcional a la longitud del tubo,
ya que el trabajo realizado contra las fuerzas viscosas
es proporcional al desplazamiento. Así pues, t:J' ct:.:V/
o bienv oc AP//. La velocidad mediav y el gasto Q =
Av delfluido son proporciona/es al gradiente de presión
AP//. Obsérvese la analogía con el caso del flujo de calor estudiado en el Capítulo 12: el flujo de calor es proporcional al gradiente de temperatura AT/1.
La velocidad media depende de otros factores además del' gradiente de presión. Es más fácil bombear
fluido a lo largo de un tubo ancho que a lo largo de
un tubo estrecho, y es más fácil bombear un fluido poco
viscoso que uno bastante viscoso. Así pues, ha de depender también del radio R del tubo y de la viscosidad
r¡. Pu~de hallarse una expresión exacta para v considerando las fuerzas que actúan sobre cada capa cilíndrica fina de fluido. Sin embargo, este estudio requiere recursos matemáticos que sobrepasan el nivel de este
texto. Por lo tanto, obtendremos las principales carac-
v
lh>
Presiones en un tubo horizontal que contiene un fluido en movimiento. (a) Fluido ideal
no viscoso. De acuerdo con la ecuación de Bernoulli hay una caída de presión cuando el tubo.se estrecha
y la velocidad media aumenta. (b) Fluido viscoso. Debido al trabajo efectuado contra las fuerzas viscosas
o de rozamiento tienen lugar caídas de presión adicionales. ·
315
Flujo de fluido viscoso
terísticas del resultado utilizando una técnica denominada análisis dimensional.
Hemos visto que la velocidad media es proporcional al gradiente de presión y que depende además del
radio R y de la viscosidad 17. Aparte de coeficientes numéricos sin dimensiones, éstas son las únicas magnitudes que intervienen en la fórmula de v. Así pues, suponemos que dicha fórmula incluye un factor tú'// y
potencias desconocidas de R y de 17:
-
U=
/3 -t::.P
Rª1Jb
/-
(14.3)
Aquí, f3 (beta) es un factor numérico sin dimensiones,
y los exponentes a y b han de determinarse de forma
que v tenga las dimensiones correctas.
Las dimensiones de r¡ se han dado en la Ec. 14.2;
las dimensiones de tú' son [FIA] o [malA]. Así pues,
las magnitudes físicas de la Ec. 14.3 tienen las siguientes dimensiones
= [LT[t.P] = [ML- 1 r -2 1,
1
[v]
),
= [/) = [L]
[11] = [ML- 1 r -11
[R)
t.P R2
Q
= t,p,,,R4
u= &ryl
(14.4)
(14.5)
817/
La fórmula para Q se denomina ley de Poiseuille, e indica que viscosidades elevadas llevan a bajos gastos, lo
cual es razonable. Muestra además que el gasto es proporcional a R 4 , lo que resulta sorprendente; el gasto depende del radio del tubo de forma muy acusada. Ello
implica, por ejemplo, que en los conductos sanguíneos
pequeñas variaciones de los radios pueden producir
grandes cambios en el gasto. Por ejemplo, al pasar de
R a 1,19R se tiene un aumento en el gasto de (1,19)4 =
2. Podemos ilustrar los resultados de esta sección considerando el flujo sanguíneo en una art~ria.
Ejemplo 14.2
Una arteria grande de un perro tiene un radio interior de 4 X 10- 3 m. El caudal de la sangre en la arteria es
de 1 cm 3 s- 1 = 10-6 m3 s-1• Hallar (a) las velocidades media y máxima de la sangre; (b) la caída de presión en un
fragmento de arteria de 0,1 m de longitud.
(a) La velocidad media es
Según la Ec. 14.3, necesitamos que
[LT-1]
-
v -Q _ _Q__2
- A - wR
= [ML - 1r- 2] [L]ª[ML - 1r-1f
10- 6 m3 s-1
[L)
= w(4 X 10- 3 m)2
= 1,99 X 10- m s-
1
Para formar el factor T- hemos de escoger b =-l. Entonces,
2
1
La velocidad máxima se presenta en el centro de la arteria y vale
Obsérvese que los exponentes de M se han anulado. Tomando ahora a = 2 tenemos las mismas dimensiones
en cada miembro. Con estos valores de a y b, la Ec.
14.3 de la velocidad media se convierte en
V=
/3 t.P
/
RZ
= 2v = 2(1,99 X 10-2 m s-1)
= 3,98 X
10-2 m s-1
(b) Según la Tabla 14.1, 77 = 2,084 X 10-3 Pa s. Así
pues, la caída de presión se calculá a- partir de ti =
(t::.P)R 2/877l, o bien
lJ
Tal como hemos observado anteriormente, el análisis exacto de este problema puede llevarse a cabo. Ello
lleva a una expresión para v idéntica al resultado que
acabamos de obtener, con /3 =-½- . El análisis muestra
también que las velocidades media y máxima se relacionan como v = Vmax, tal como comentamos anteriormente. Por lo tanto, un medidor de flujo colocado
en el centro del tubo mide el doble de la velocidad media. La velocidad media y el gasto Q =Av= (1rR2Jv
pueden escribirse como
+
Vmax
6.P
= 8;/i
_ 8(2,084 X 10--:3 Pa s)
_
_
( X
_ m)
(0,1 m)(l,99 X 10 2 m s 1)
4
10 3 2
= 2,07 Pa
-
En el estudio anterior hemos obtenido la velocidad
media del fluido en un tubo mediante análisis dimensional. Este método resulta muy útil en muchos problemas científicos en que la teoría exacta es muy dificil de aplicar o incluso cuando no se conoce, y la uti-
Flujo de fluido viscoso
316
!izaremos otras veces en este capítulo. Sin embargo,
también tiene sus limitaciones. Por ejemplo, si en el
ptoblema intervienen varias longitudes, puede que no
sea posible determinar qué combinación de ellas aparece en la fórmula, ya que tanto (/1/ /2)3, como (/¡//2 ) 112
como e:Mh son magnitudes adimensionales. En general
debemos tener sólo tres variables dimensionalmente
independientes, de modo que puedan formarse combinaciones únicas que determinen las unidades de masa,
longitud y tiempo. Otro inconveniente es que los factores numéricos adimensionales, como por ejemplo {J,
puedan resultar en ocasiones muy grandes o muy pequeños, sin que este método permita predecirlo.
Disipación de potencia I Se puede calcular
fácilmente la potencia disipada en un tubo por las fuerzas viscosas. Dicha potencia es, claro está, igual a lapotencia que debe suministrarse para mantener el flujo.
Refiriéndonos de nuevo a la Fig. 14.4, la fuerza neta
sobre un segmento de fluido es la caída de presión en dicho segmento multiplicada por el área de la sección
transversal,F= (P1 - P2 )A = lli'A. La potencia media
·necesaria para mantener el flujo es igual a esta fuerza
multiplicada por la velocidad media, P = Fv = lli' Av.
Obsérvese que Av es el gasto Q en la tubería, por lo
cual la potencia necesaria para mantener el flujo es
(14.6)
En el caso especial en que el tubo es cilíndrico y de radio R, A = 1rR2 y la Ec. 14.6 se convierte en
(tubo cilíndrico)
(14.7)
Este resultado es particularmente adecuado para el flujo de sangre en los vasos sanguíneos, como se muestra
en el siguiente ejemplo.
14.3
I FLUJO TURBULENTO
La ley de Poiseuille se cumple solamente para flujos laminares. Sin embargo, frecuentemente el flujo no es laminar, sino turbulento, y se parece entonces a la estela de una lancha rápida, con torbellinos y remolinos.
Las líneas de tinta que utilizamos para describir las lineas de corriente en el Capítulo 13 se entretejen y se
mezclan. En la Fig. 14.5 se muestran algunos ejemplos
de flujo turbulento.
Hemos comentado anteriormente que la disipación
de energía mecánica es en general mucho mayor en el
flujo turbulento que en el laminar. Por lo tanto, a me- .
nudo resulta deseable asegurar que el flujo no se haga
turbulento.
Es mucho más dificil estudiar el flujo turbulento
que el flujo laminar. Por ejemplo, la ley de Poiseuille
para el gasto en un tubo cilíndrico en régimen laminar
no tiene ningún análogo para el flujo turbulento. En
la práctica, el flujo turbulento se trata mediante diversas reglas empíricas y relaciones obtenidas tras muchos
estudios experimentales.
Para poder determinar cuándo el flujo es laminar
y, por lo tanto, si la ley de Poiseuille puede aplicarse,
utilizaremos una de estas reglas empíricas. Éstas establecen que el valor de una magnitud adimensional denominada número de Reynolds NR determina si el flujo
es laminar o turbulento. Consideremos un fluido de
densidad p y viscosidad TJ. Si fluye por un tubo de radio R y tiene una velocidad media entonces el número de Reynolds se define como
v,
(flujo en un tubo de radio R) (14.8)
En los tubos se ha hallado experimentalmente que para
Ejemplo 14.3
¿Cuál es la potencia necesaria para mantener el flujo
de sangre en la arteria del perro descrita en el Ejemplo
14.2?
Introduciendo los resultados del Ejemplo 14.2 en la
Ec. 14.7 hallamos para la potencia
(P
de la caída de presión y la pérdida de energía debidas a
las fuerzas viscosas se producen en las ramas arteriales pequeñas y en los capilares.
= AP(.,,R )v
2
= (2,07 Pa).,,(4 X 10= 2,07 X IO~W
3
m)2(1,99 X 10- 2 m s- 1)
La tasa metabólica de un perro es 10 W o mayor, de modo
que la potencia necesaria para bombear la sangre es despreciable. Veremos en la Sección 14.4 que la mayor parte
NR < 2000,
NR 3000,
>
2000 < NR < 3000,
el flujo es laminar
el flujo es turbulento
(14.9)
el flujo es inestable (puede
pasar de laminar a turbulento
o viceversa)
Así pues, que el flujo sea laminar o turbulento viene determinado por una combinación peculiar de variables;
si se duplica el radio del tubo y se reduce a la mitad la
velocidad media, el carácter del flujo permanecerá inalterado.
317
Flujo de fluido viscoso
(a)
(b)
(e)
Figura 14.5 (a) Flujo laminar y (b) flujo turbulento del agua. (e) Flujo primero laminar y luego turbulento del humo de un cigarrillo. (Tomado de Sears, Zemansky and Young, University Physics, 5.' edición, Copyright© 1976, Addison Wesley, Reading, Mass.)
El número de Reynolds indica también si el flujo alrededor de un obstáculo, como la proa de un barco o
el ala de un avión, es turbulento o laminar. En general, el número de Reynolds al que aparece la turbulencia depende mucho de la forma del obstáculo y no viene dado por las Ecs. 14.8 ó 14.9.
En la sección anterior hemos calculado el caudal
en una arteria utilizando la ley de Poiseuille, que sólo
vale para flujo laminar. Calcularemos ahora el número de Reynolds para ver si el flujo es en realidad laminar o turbulento.
Ejemplo 14.4
En el Ejemplo 14.2, el radio de la arteria es 4 X 10-3
m, la velocidad media de la sangre vale 1,99 X 10-2 m s- 1
y la viscosidad es 2,084 X 10-3 Pa s. Además, la densidad
de la sangre es, según la Tabla 14.l, 1,0595 X 103 kg m- 3 •
Hallar el número de Reynolds y comprobar si el flujo es o
no laminar.
El número de Reynolds es
N _ 2(1,0595 X 10 3 kg m- 3)
R -
2,084
x
10-3 Pa s
X (1,.99 X 10- 2 m s- 1 )(4 X 10-3 m)
= 80,9
Por lo tanto el flujo es laminar, ya que este valor es
mucho menor que 2000.
En el flujo turbulento, parte de la energía se disipa
como sonido y parte como calor. El ruido asociado
con el flujo turbulento en las arterias facilita las medidas de presión sanguínea tratadas en el Capítulo 13 y
hace posible detectar ciertas anomalías cardíacas.
14.4 I FLUJO EN EL SISTEMA CIRCULATORIO
Aplicamos ahora algunas de estas ideas al flujo de sangre en los vasos sanguíneos. Para ello resulta útil re-
318
Flujo de fluido viscoso
sumir brevemente algunos aspectos del sistema cardiovascular.
La sangre I El sistema circulatorio transporta las
sustancias que necesita el cuerpo y los productos de desecho del metabolismo. Para poder realizar un gran mímero de funciones, la sangre contiene muchos constituyentes distintos, incluyendo los glóbulos rojos, los
glóbulos blancos, las plaquetas y diversas proteínas.
Sin embargo, para nuestros propósitos, es suficiente
tratar la sangre como un fluido uniforme, de viscosidad r¡ = 2,084 X 10- 3 Pa s y densidad p = 1,0595 X 103
kg m-3 a la temperatura normal del cuerpo. Una descripción más completa sólo se necesita para el estudio
de algunas propiedades físicas más sutiles.
El sistema cardiovascular I El sistema cardiovascular consta del corazón y de un extenso sistema de arterias, lechos vasculares formados por capilares, y venas (Fig. 14.6). Las arterias llevan la sangre a
los órganos, los músculos y la piel, y las venas transportan el flujo de retorno. Cada arteria se ramifica para
formar diversas arterias menores, las cuales a su vez se
ramifican de nuevo. La sangre llega por último a los lechos vasculares, donde se intercambian los materiales
con los tejidos circundantes. El proceso de ramificación se invierte en el sistema venoso, culminando en la
vena cava, que devuelve la sangre al corazón. La Tabla 14.2 da el número y las dimensiones de varios -tipos de vasos sanguíneos en un lecho vascular. La T abla 14.3 recoge las propiedades del sistema cardiovascular humano.
Un componente particularmente interesante del sistema cardiovascular es la anastomosis .arteriovenosa
(AAV). La Fig. 14.6 muestra sólo una de las muchas
AA V presentes en el cuerpo. Estas uniones son particularmente importantes, ya que el tejido muscular liso
circundante puede ajustar el diámetro de los vasos. En
el interior del cuerpo ayudan a ajustar el flujo sanguíneo a diversos órganos a medida que las condiciones
cambian. Unas anastomosis algo más pequeñas se
abren en la