Números Complejos
Donde se utilizan:
Los números complejos se utilizan en todos los
campos de las matemáticas, en muchos de la física (y
notoriamente en la mecánica cuántica) y en
ingeniería, especialmente en la electrónica y las
telecomunicaciones, por su utilidad para representar
las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
Impedancia
Potencia
Formas de representar los números complejos:
Forma binómica o rectangular.
14 + j 25
Número real
Número imaginario
Forma polar
35 ∟45:
Magnitud
Ángulo
Como graficar los números complejos
Número imaginario ( + )
Número real ( -- )
Número real ( + )
Número imaginario ( -- )
Como graficar ángulos
Ángulos positivos (+)
Origen = 0: o 360:
Ángulos negativos (-)
Forma de interpretar el plano
Segundo cuadrante
(−,†)
Primer cuadrante
I
(†,†)
Tercer cuadrante
Cuarto cuadrante
III
IV
(−,−)
(† , − )
II
Como obtener una coordenada polar a partir de
una coordenada binómica o rectangular
8 + j 18
Parte resistiva = R
Parte reactiva= X
Coordenada polar Z ∟Ø :
Z = √ R< † X<
Z = √ 8< † 18<
Z = √ 64 † 324
Z = √ 388
Z = 19.69
Ø = Tan⁻; ( X / R )
Ø = Tan⁻; ( 18 / 8 )
Ø = Tan⁻; ( 2.25 )
Ø = 66.03:
Z = 19.69 ∟66.03:
Como obtener una coordenada binómica o
rectangular a partir de una coordenada polar
15 ∟65:
Magnitud = Z
Ángulo = Ø
Coordenada rectangular R † j X
R = Z cos Ø
R = ( 15 ) cos 65:
R = ( 15 ) ( 0.4226 )
R = 6.339
X = Z sen Ø
X = ( 15 ) sen 65:
X = ( 15 ) ( 0.9063 )
X = 13.5945
Z = 6.339 † j 13.5945
Consideraciones
-12 + j 18
Convertir a coordenadas polares
Z = √ R< † X<
Z = √ 12< † 18<
Z = √ 144 † 324
Z = √ 468
Z = 21.6333
Ø = Tan⁻; ( X / R )
Ø = Tan⁻; ( 18 / 12 )
Ø = Tan⁻; ( 1.5 )
Ø = 56.3099:
Z = 21.6333 ∟123.69:
Consideraciones
15 ∟-120: Convertir a coordenadas rectangulares
R = Z cos Ø
R = ( 15 ) cos 120:
R = ( 15 ) ( -0.5 )
R = -7.5
Z = -7.5 − j 12.99
X = Z sen Ø
X = ( 15 ) sen 120:
X = ( 15 ) ( 0.8660 )
X = 12.99
Consideraciones
Determinar el inverso de un número complejo
Z ⁻; si Z= 3 † j 5
Z⁻;= ( R / R< † X< , - X / R< † X< )
3 † j 5= ( 3 / 3< † 5< , − 5 / 3< † 5< )
3 † j 5= ( 3 / 9† 25 , − 5 / 9 † 25 )
3 † j 5= ( 3 / 34 , − 5 / 34 )
Si Z= 3 † j 5 entonces Z⁻;= (3 / 34 ,− 5 / 34)
Por lo tanto (3, 5)x(3/34 ,− 5/34)= (1,0)
Comprobación
Z= 3 † j 5 Z⁻;= ( 3/34 ,− j 5/34 )
Por lo tanto (3,5) x (3/34 ,− 5/34) = (1,0)
Z= 3 † j 5 Z⁻;= ( 3/34 ,− j 5/34 )
Z= 3 † j 5 Z⁻;= (0.088235 ,− j 0.147058)
Z= 5.8309 ∟59.0362:
Z⁻;= 0.171497 ∟- 59.0361:
(5.8309 ∟59.036:) (0.171497 ∟- 59.036:)
= 1.0034 ∟0:
= 1.0034 † j 0 … ( 1 , 0 )
Conversión de números complejos con
utilización de calculadora científica
Al encender nuestra
calculadora debemos
cerciorarnos que este
seleccionada la
función Degrees
Obtener coordenada polar a partir de la
coordenada binómica o rectangular mostrada.
4†j8
Para obtener la coordenada polar:
• Oprimimos la tecla Pol(
• Ingresamos el valor de la
cantidad real
• Oprimimos la tecla con el
símbolo coma “ , “
• Ingresamos el valor de la
cantidad imaginaria
• Cerramos el paréntesis
• Oprimimos la tecla igual
• La pantalla de la calculadora
muestra el valor de la magnitud
Para conocer el ángulo se oprimen
las teclas:
ALPHA
tan
igual
• Una vez oprimidas las teclas
anteriores, la pantalla de la
calculadora muestra el valor del
ángulo
8.9442 ∟63.4349:
Obtener coordenada binómica o rectangular a
partir de la coordenada polar mostrada.
12 ∟35:
Para obtener la coordenada rectangular:
• Oprimimos las teclas
SHIFT
Pol(
• Ingresamos el valor de la magnitud
• Oprimimos la tecla con el
símbolo coma “ , “
• Ingresamos el valor del ángulo
• Cerramos el paréntesis
• Oprimimos la tecla igual
• La pantalla de la calculadora
muestra el valor de la parte real
• Para conocer el valor de la parte
imaginaria se oprimen las teclas:
ALPHA
tan
igual
• Una vez oprimidas las teclas
anteriores, la pantalla de la
calculadora muestra el valor de la
parte imaginaria.
9.8298 † j 6.8829
0
