ACTIVIDAD SEMANA 4
TALLER DE GEOMETRÍA
RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA
DOCENTE:
DAVID ALEJANDRO CORAL CAYÓN
INTEGRANTES:
YILENIS KARINA CARRASCAL FUENTES
GILBERTO JOSÉ VEGA SANABRIA
HUMBERTO DAVID MARTINEZ ANGULO
ACTIVIDAD SEMANA 4: TALLER DE GEOMETRÍA
Ejercicios propuestos
1. Convierta a la unidad indicada
a. 82.5 m2 a dm2
b. 0.87 Km2 a Hm2
d. 6 Hm2 a m2
e. 52.3 Dm2 a m2
2
Km
c. 39.7 Dm2 a m2
f. 32000 Cm2 a
Solución:
a. 82.5 m² a dm²
• Sabemos que 1 metro (m) = 10 decímetros (dm).
• Por lo tanto, 1 m² = (10 dm) ² = 100 dm².
• Para convertir 82.5 m² a dm² hacemos:
82.5 m² × 100 dm²/m² = 8250 dm².
b. 0.87 km² a Hm²
• Sabemos que 1 kilómetro (km) = 10 hectómetros (Hm).
• Por lo tanto, 1 km² = (10 Hm) ² = 100 Hm².
• Para convertir 0.87 km² a Hm² hacemos:
0.87 km² × 100 Hm²/km² = 87 Hm².
c. 39.7 Dm² a m²
• Sabemos que 1 decámetro (Dm) = 10 metros (m).
• Por lo tanto, 1 Dm² = (10 m) ² = 100 m².
• Para convertir 39.7 Dm² a m² hacemos:
39.7 Dm² × 100 m²/Dm² = 3970 m².
d. 6 Hm² a m²
• Sabemos que 1 Hectómetro (Hm) = 100 metros (m).
• Por lo tanto, 1 Hm² = (100 m) ² = 10,000 m².
• Para convertir 6 Hm² a m² hacemos:
6 Hm² × 10,000 m²/Hm² = 60,000 m².
e. 52.3 Dm² a m²
• Sabemos que 1 decámetro (Dm) = 10 metros (m).
• Por lo tanto, 1 Dm² = (10 m) ² = 100 m².
• Para convertir 52.3 Dm² a m² hacemos:
52.3 Dm² × 100 m²/Dm² = 5230 m².
f. 32,000 cm² a km²
• Sabemos que 1 kilómetro (km) = 100,000 centímetros (cm).
• Por lo tanto, 1 km² = (100,000 cm) ² = 10,000,000,000 cm².
• Para convertir 32,000 cm² a km² hacemos:
32,000 cm² ÷ 10,000,000,000 cm²/km² = 0.0000032 km².
2. Resuelve cada operación y expresa el resultado en
metros a. 27,46Dm +426,9dm
b. 0,092Km +3,06Dam +300mm
Solución:
a. 274.6 Dm + 426.9 dm
• Convertimos 274.6 Dm a decímetros:
27.46 Dm × 100 = 2746 dm.
• Sumamos:
2746 dm + 426.9 dm = 3172.9 dm.
• Convertimos a metros:
3172.9 dm ÷ 10 = 317.29 m.
b. 0.092 km + 3.06 Dm + 300 mm
• Convertimos 0.092 km a metros:
0.092 km × 1000 = 92 m.
• Convertimos 3.06 Dm a metros:
3.06 Dm × 10 = 30.6 m.
• Convertimos 300 mm a metros:
300 mm ÷ 1000 = 0.3 m.
• Sumamos todas las cantidades:
92 m + 30.6 m + 0.3 m = 122.9 m.
3. Un terreno rectangular de 8000 cm de largo por 25 metros de ancho requiere ser
encerrado con tres hilos rectos de alambre de púas. ¿Cuántos metros de alambre se
requieren para el encerramiento del terreno?
Solución:
Convertimos las dimensiones del terreno a metros.
Largo: 8000 cm.
8000 cm ÷ 100 cm = 80
Ancho: 25m
Calculamos el perímetro del terreno:
Perímetro = 2 × (Largo + Ancho)
P=2×(80m+25m)
P=2×105m =210m
Como se requieren tres hilos de alambre, multiplicamos por 3:
210m×3=630m
R//: Se requieren 630 m de alambre.
4. Juan intenta resolver un problema de geometría. Tiene un rectángulo y sus
respectivas dimensiones (como se muestra en la imagen). Se debe indicar el
perímetro y el área del rectángulo. Su resultado ha sido Perímetro = 2(3x+4) ¿Es
correcto? De no ser así, indicar su propuesta de resultado.
Solución:
La altura del rectángulo es x+3x
La base del rectángulo es x+5x
1. Cálculo del perímetro
La fórmula del perímetro de un rectángulo es:
P=2×(Base+Altura)
Sustituyendo los valores:
P=2×[(x+5) + (x+3)]
P=2×(2x+8)
P=4x+16
El resultado de Juan fue P=2(3x+4) pero al desarrollarlo da:
P=6x+8
Este resultado es incorrecto.
2. Cálculo del área
La fórmula del área de un rectángulo es:
A = Base×Altura A
Sustituyendo los valores:
A=(x+5) × (x+3)
𝐴 = 𝑥 2 + 3𝑥 + 5𝑥 + 15
𝐴 = 𝑥 2 + 8𝑥 + 15
Conclusión:
El resultado del perímetro es:
P = 4x+16
El resultado correcto del área es:
𝐴 = 𝑥 2 + 8𝑥 + 15
Por lo tanto, Juan se equivocó calculando el perímetro.
5. A continuación, se presentan dos cuadrados cada uno tiene x 𝑐𝑚2 de área. Al colocar
juntos los dos cuadrados se obtiene un área de
(No olvide Justificar
su respuesta).
Solución:
Sabemos que el área de un cuadrado es:
𝐴 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 2
Cada cuadrado tiene un área de x, lo que significa que su lado es:
√𝑥
Si colocamos los cuadrados juntos como nos indica la figura, tenemos que el área es:
𝐴 = √𝑥 × 2√𝑥 = 2𝑥 𝑐𝑚2
También se tiene que el área de una figura compuesta es la suma de las áreas de sus partes
individuales. En este caso:
𝐴 = 𝑥 𝑐𝑚2 + 𝑥 𝑐𝑚2
𝐴 = 2𝑥 𝑐𝑚2
6. Calcular el área de la región sombreada.
Solución:
Se muestra un semicírculo inscrito en un rectángulo de 8 cm de base y 4 cm de altura.
Para obtener el área sombreada, restamos el área del semicírculo al área del rectángulo.
1. Área del rectángulo
𝐴𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝐵𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 8 𝑐𝑚 × 4 𝑐𝑚 = 32 𝑐𝑚2
2. Área del semicírculo
El diámetro del semicírculo es 8 cm, por lo tanto, su radio es:
8
𝑟 = = 4 𝑐𝑚
2
El área del círculo completo es:
𝐴 = 𝜋𝑟 2 = 𝜋(4 𝑐𝑚)2 = 16𝜋 𝑐𝑚2
Como es un semicírculo, el área es la mitad:
𝐴𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 =
16𝜋
2
𝑐𝑚2 = 8𝜋 𝑐𝑚2 = 25.13 𝑐𝑚2
3. Área sombreada
𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 𝐴𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 − 𝐴𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 32 𝑐𝑚2 − 25.13 𝑐𝑚2
𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 6.87 𝑐𝑚2
7. Calcular el área de la región sombreada. El jardín circular tiene 3 metros de
radio, en su interior se tienen dos zonas de
Solución:
Radio del círculo grande:
o r=3m
o Área del círculo grande:
𝐴𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 = 𝜋𝑟 2 = 𝜋(3 𝑚)2 = 9𝜋 𝑚2
Radio de cada círculo pequeño:
3
𝑟𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 = 𝑚 = 1.5 𝑚
2
o
Área de un círculo pequeño:
2
𝐴𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 = 𝜋𝑟𝑝𝑒𝑟𝑞𝑢𝑒ñ𝑜
= 𝜋(1.5 𝑚)2 = 2.25𝜋 𝑚2
o
Área total de los dos círculos pequeños:
𝐴 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 = 2 × 2.25𝜋 𝑚2 = 4.5𝜋 𝑚2
Área sombreada:
𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 𝐴𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 − 𝐴 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜𝑠
𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 9𝜋 𝑚2 − 4.5𝜋 𝑚2 = 4.5𝜋 𝑚2
Aproximación:
𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 ≈ 14.14 𝑚2
8. En un lote de 8 m x 12 m se ha dejado un espacio de 1 metro de ancho
¿Cuál es la superficie de la región sombreada en metros cuadrados?
Solución:
Dimensiones del lote:
o 8 m × 12 m
o Área total:
𝐴 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 8 𝑚 × 12 𝑚 = 96 𝑚2
Reducción del área por los espacios dejados (1 m en cada lado):
o Nueva longitud: 12 – 2 = 10 m
o Nueva anchura: 8 − 2 = 6 m
Área sin sombrear:
𝐴𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 = 6 𝑚 × 10 𝑚 = 60 𝑚2
Área sombreada:
Es la diferencia entre el área total y el área interna
𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 𝐴 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝐴𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎
𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 96 𝑚2 − 60 𝑚2 = 36 𝑚2
Respuesta final:
o La superficie de la región sombreada es 36 m².
9. En el siguiente rectángulo, AB mide 1000 cm y BC mide 6 m, si los puntos E y
F son los puntos medios de los respectivos lados. Hallar el área sombreada en
metros cuadrados.
Solución:
Dimensiones del rectángulo:
AB = 1000 cm = 10 m
BC = 6 m
Los puntos medio son:
E es el punto medio de AD:
AE = ED = 6/2 = 3 m
F es el punto medio de DC:
DF = FC = 10/2 = 5 m
Calculo de la región sombreada:
El área sombreada es el cuadrilátero B-E-F-D, se calcula al restar los triángulos ABE y CFB del
área del rectángulo.
Área del rectángulo:
𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝐵𝑎𝑠𝑒 × 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 10 𝑚 × 6 𝑚 = 60 𝑚2
Área del triángulo ABE:
Base = AB = 10 m, Altura = AE = 3 m
1
𝐴𝐴𝐵𝐸 = × 10 𝑚 × 6 𝑚 = 15 𝑚2
2
Área del triángulo CFB:
Base = CB = 6 m, Altura = CF = 5 m
1
𝐴𝐶𝐹𝐵 = × 6 𝑚 × 5 𝑚 = 15 𝑚2
2
Área sombreada:
𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 − 𝐴𝐴𝐵𝐸 − 𝐴𝐶𝐹𝐵
𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 60 𝑚2 − 15 𝑚2 − 15 𝑚2 = 30 𝑚2
R//: El Área sombreada es 30 metros cuadrados.
10. Juan necesita embaldosar la terraza de su casa cuyas dimensiones son: largo
650 cm y ancho 1,20 metros; para ello compra baldosas de 15 cm de ancho
por 30 cm de largo.
¿Cuántas baldosas necesita Luis para embaldosar su terraza?
Solución:
Dimensiones de la terraza:
Largo = 650 cm
Ancho = 1.20 m
Conversión: 1.20 m = 120 cm
Dimensiones de las baldosas:
Largo = 30 cm
Ancho = 15 cm
Calculamos el área de la terraza:
𝐴𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎𝑧𝑎 = 650 𝑐𝑚 × 120 𝑐𝑚 = 78000 𝑐𝑚2
Área de una baldosa:
𝐴𝑏𝑎𝑙𝑑𝑜𝑠𝑎 = 30 𝑐𝑚 × 15 𝑐𝑚 = 450 𝑐𝑚2
Numero de baldosas necesarias:
𝐴𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎𝑧𝑎
𝐴𝑏𝑎𝑙𝑑𝑜𝑠𝑎
=
78000 𝑐𝑚2
450 𝑐𝑚2
≈ 174
R//: Se necesitan 174 baldosas
11. Un cuarto tiene una superficie cuadrada de 50𝑚2. Se pretende embaldosar
con baldosas de 25𝑐𝑚2 ¿Cuántas baldosas serán necesarias?
Solución:
Convertimos el área del cuarto a cm²:
1 𝑚2 = 10000 𝑐𝑚2
𝐴𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 = 50 𝑚2 ×
10000 𝑐𝑚2
1 𝑚2
= 500000 𝑐𝑚2
Calculamos el número de baldosas necesarias:
𝐴𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜
𝐴𝑏𝑎𝑙𝑑𝑜𝑠𝑎
=
500000 𝑐𝑚2
25 𝑐𝑚2
= 20000
R//: Se necesitan 20,000 baldosas
12. A partir de la información suministrada por las imágenes, determina la
medida del segmento KS.
Solución:
El triángulo grande proviene del rectángulo 40 cm x 30 cm, su hipotenusa (diagonal)
mide 50 cm, dada la ubicación de los triangulo grandes podemos calcular la medida del
lado K hasta la intersección con los triángulos pequeños, usando el teorema de Pitágoras:
𝐶12 + 302 = 502
𝐶12 + 900 = 2500
𝐶12 = 1600
𝐶1 = √1600
𝐶1 = 40 𝑐𝑚
El triángulo pequeño proviene del rectángulo cuyo lado mide 15 cm y la hipotenusa
(diagonal) mide 25 cm. Se calcula la medida desde la intercepción hasta el punto S
usando el teorema de Pitágoras:
𝐶22 + 152 = 252
𝐶22 + 225 = 625
𝐶22 = 400
𝐶2 = √400
𝐶2 = 20 𝑐𝑚
Sumamos 𝐶1 𝑦 𝐶2 para obtener KS
𝐾𝑆 = 𝐶1 + 𝐶2
𝐾𝑆 = 40 𝑐𝑚 + 20 𝑐𝑚
𝐾𝑆 = 60 𝑐𝑚
13. Las rectas de color verde son paralelas entre sí ¿Cuál es la medida de x?
Solución:
Se nos dan las siguientes longitudes en la figura:
o Un segmento de 4.5 cm
o Un segmento de 3 cm
o Un segmento de 2 cm
o Un segmento X que es el que debemos encontrar
Dado que las líneas verdes son paralelas, podemos aplicar la proporción entre segmentos
correspondientes.
Cuando tres o más líneas paralelas cortan a dos segmentos que se intersectan, los
segmentos que se forman son proporcionales.
4.5
𝑥
=
3
2
Despejar X
Multiplicamos en cruz:
4.5 × 2 = 3 × 𝑋
9 = 3𝑋
9
𝑋 = = 3 𝑐𝑚
3
R//: La medida del segmento X es 3 cm.
14. Determina las medidas de a y b sabiendo que el segmento DE// AB
Solución:
Dado que el segmento DE es paralelo a AB, podemos aplicar el Teorema de Tales, que establece
que los segmentos correspondientes en triángulos semejantes son proporcionales.
Medidas:
CA = 15 cm
CD = a
DA = 6 cm
CE = 6 cm
EB = 7 cm
Encontrar a
Sabemos que el segmento CA está dividido en dos partes: CD y DA, por lo tanto, podemos
escribir:
CA = CD + DA
Sustituyamos los valores:
15 = a + 6
Despejamos a:
a = 15 − 6
a = 9 cm
Para encontrar el valor de a, aplicamos una ecuación lineal.
Encontrar b:
𝐶𝐷
𝐶𝐴
=
𝐶𝐸
𝐶𝐵
Expresamos CB en términos de b:
CB = CE + EB
CB = b + 7
Sustituimos en el teorema de tales:
𝐶𝐷
𝐶𝐴
9
15
=
=
𝐶𝐸
𝐶𝐵
𝑏
𝑏+7
Simplificamos:
9
15
=
3
5
Resolviendo:
3
5
=
𝑏
𝑏+7
3(𝑏 + 7) = 5 × 𝑏 (Multiplicamos en cruz)
3𝑏 + 21 = 5 𝑏 (Distribuimos el 3)
21 = 5 𝑏 − 3𝑏 (Restamos 3b en ambos lados)
21 = 2𝑏 (Simplificamos)
𝑏=
21
2
= 10.5 𝑐𝑚
R//: a = 9 cm y b = 10.5 cm.
15. Determina el valor de x
Solución:
Como tenemos un triángulo con dos líneas paralelas L1 y L2, aplicamos la
proporcionalidad de segmentos en triángulos semejantes.
Aplicando la proporcionalidad:
5
𝑥
=
2
𝑥−9
Hacemos el producto cruzado:
5(𝑥 − 9) = 2𝑥
5𝑥 − 45 = 2𝑥
(Distribuimos el 5)
5𝑥 − 2𝑥 = 45
(Pasamos términos a ambos lados del igual)
3𝑥 = 45
(Restamos)
𝑥=
45
3
= 15
R//: El valor de x es 15
(Encontramos el valor de X)
0
