Solucionario UNI 2025-I: Matemática - Exámenes Resueltos

Soluciona rio
UNI 2025-1
Matemática
SOLUCIONARIO - UNI 2025-I
MATEMÁTICA
Pregunta 02
Si [abc – cba = 5**] y el M. C. D. de abc y
cba es 18, entonces el valor de (b – a) es:
Pregunta 01
Determine si la proposición es verdadera (V)
o falsa (F).
I.
A) 0
B) 1
101(4) = 24(5)
!
C) 3
II. 0,4 (5) ≠ 1
!
D) 5
III. 0,2 (5) = 0,2(4)
E) 8
Indique la secuencia correcta.
Resolución 02
M. C. D. y M. C. M.
A) FFF
*
B) VVF
abc – cba = 5xy
Por propiedad:
C) FVF
D) FFV
E) VVV
•
5+y=9→y=4
•
x=9
•
a–c=5+1
Resolución 01
a–c=6
Racionales II
I.
*
Falsa (F)
prohibida su venta
101(4) = 24(5)
1(4)2 + 0(4) + 1 = 2(5) + 4
17 ≠ 14
!
4
4 4
0, 4(5) 2 3 + ... ∞ términos
5 5
5
(suma límite)
!
4/5
4/5
0, 4(5) 1 1/5 4/5 1
°
°
abc = 18 → c = 2
•
°
°
cba = 18 → a = 2
↓ ↓
8
2
°
Luego: abc = 9
°
a+b+c= 9
III. Verdadera (V)
2
•
Como: a – c = 6
II. Falsa (F)
!
0, 2(5) = 0, 2(4)
2(5) 2(4)
= = 1
4(5) 10(4) 2
M. C. D. (abc; cba) = 18
°
8+b+2= 9
b = 8
∴b–a=8–8=0
Rpta.: FFV
Rpta.: 0
¡Tu mejor opción!
SOLUCIONARIO - UNI 2025-I
Pregunta 03
a n ^ \h
Si 37
, calcule el valor de
9 0, n 1 a0
n + a.
Resolución 04
Divisibilidad
abc = 7 · a · bc
Descomponiendo por bloques:
100a + bc = 7 · a · bc
A) 5
100a = 7 · a · bc – bc
B) 6
100a = bc · (7a – 1)
100a
7a - 1 = bc
Como “a” y (7a – 1) son PESI, entonces (7a – 1) es
divisor de 100.
C) 8
D) 10
E) 11
Resolución 03
7a – 1 = 20
Números racionales II
?
a n >;;;;;;;;
37 9 0, ^n 1 ha0
a=3
100 × 3
bc = 20
bc = 15 $ b = 1
c=5
∴a + b + c = 3 + 1 + 5 = 9
9a 37n ^n 1 ha0
333
999
1
3
Rpta.: 9
27a + 111n = 100 (n + 1) + 10a
27a + 111n = 100n + 100 + 10a
17a + 11n = 100
2
6
∴n + a = 8
Rpta.: 8
Pregunta 04
Si abc = 7 ⸱ (a) ⸱ (bc), calcule el valor de
a + b + c.
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Tres amigas llegan al cine y se van a sentar
juntas; Miguel y Roberto son amigos, van al
mismo cine y también se van a sentar juntos;
simultáneamente, llegaron cinco personas
desconocidas. El único espacio libre que
queda es una fila de 10 butacas y todos se
sientan en dicha fila. ¿Cuál es la probabilidad
de que las tres amigas se sienten juntas y a
la vez Miguel y Roberto también se sienten
juntos?
A)
B)
C)
D)
E)
¡Tu mejor opción!
1
60
2
60
3
60
4
60
5
60
3
prohibida su venta
Pregunta 05
SOLUCIONARIO - UNI 2025-I
Resolución 05
Indique la secuencia correcta.
Probabilidades
•
•
Experimento aleatorio
A) FFF
ε: Ubicar a 10 personas en una fila de 10
butacas
B) FFV
C) VFF
→ n]Xg = 10!
D) VVF
Evento
E) VFV
A: Las tres amigas se sientan juntas, así
como Miguel y Roberto.
A1 A2 A3
M R –––––
7! # 3! # 2!
10!
P(A) =
7! # 6 # 2
10 # 9 # 8 # 7!
prohibida su venta
∀n∈ ℕ
→ k = impar ⸫ n = 8c + 1
II. Falso (F)
Ningún k2 (cuadrado perfecto) termina en
las cifras 2, 3, 7 u 8 en el sistema decimal.
Rpta.:
1
60
Pregunta 06
Determine si la proposición es verdadera (V)
o falsa (F).
Todo número n ∈ ℕ tal que n es un
%
%
cuadrado perfecto será 4 o (4 + 1).
II. Existen números naturales en base
10 que terminan en 2, 3 u 8, y que
cumplen con ser cuadrados perfectos.
III. En los números naturales y en el
sistema decimal, un número cuadrado
perfecto debe ser aquel que termine en
35.
4
Verdadero (V)
Si n = k2 (cuadrado perfecto); k ∈ ℕ
→ k = par ⸫ n = 4c
P(A) = 12 = 1
720 60
I.
Potenciación
I.
n(A) = 7! × 3! × 2!
n]Ag
Entonces: P(A) =
n]Xg
P(A) =
Resolución 06
III. Falso (F)
En ℕ y en el sistema decimal, un cuadrado
perfecto que termina en 5 debe terminar en
25.
Rpta.: VFF
Pregunta 07
Las notas de todos los estudiantes del curso de
Matemática I se muestran en la siguiente tabla
de frecuencias:
NOTAS
fi
[0, 4⟩
6
[4, 8⟩
14
[8, 12⟩
10
[12, 16⟩
12
[16, 20⟩
14
¡Tu mejor opción!
SOLUCIONARIO - UNI 2025-I
Calcule el valor aproximado de la desviación
estándar de las notas.
A) 4,21
B) 4,36
C) 4,85
Pregunta 08
Se presta un capital de S/ 3000 durante 18
meses a una tasa del 20 % anual y capitalizable
semestralmente. Calcule el interés obtenido
en soles.
A) 773
D) 5,41
E) 5,85
B) 883
Resolución 07
D) 1093
C) 993
Estadística
E) 1193
Completando el cuadro:
Resolución 08
xifi
12
84
100
168
252
616
24
504
1000
2352
4536
8416
Cálculo de la media:
/ xi fi 616 = 11
=
x =
n
56
/ xi2 fi ]x g2 8416 112
n
Tenemos:
C = S/ 3000
CAPITALIZACIÓN SEMESTRAL
18 meses < > 3 semestres
20 % anual < > 10 % semestral
Sabemos que:
M = C (1 + r %)n
M = 3000 (1 + 10 %)3
M = 3000 (1,1)3
Cálculo de la varianza:
V]xg Regla de interés
prohibida su venta
Notas
xi
fi
[0; 4⟩
2
6
[4; 8⟩
6
14
[8; 12⟩
10
10
[12; 16⟩ 14
12
[16; 20⟩ 18
14
n = 56
xi2fi
56
V(x) = 29,29
M = 3000 × 1,331
M = S/ 3993
Luego:
Cálculo de la desviación estándar:
Sn(x) ==
V]xg =
29, 29 5, 41
Rpta.: 5,41
M=C+I
3993 = 3000 + I
I = S/ 993
Rpta.: 993
Pregunta 09
%
Si 4xy7294 = 99 + 31, calcule el valor x2 + y2.
A) 68
B) 74
C) 84
D) 98
E) 106
¡Tu mejor opción!
5
SOLUCIONARIO - UNI 2025-I
Resolución 09
Resolución 10
Divisibilidad
Razones y proporciones
Tenemos que:
a, b, c y d ∈ ℕ
4xy7294 99 31
I.
°
Aplicamos criterio de divisibilidad por 99.
4 xy 72 94 99 31
°
Falso (F)
a2 c2 92
a= c= 9
b d 4 → b2 d2 42
4 xy 72 94 99 31
°
xy 139 99
°
II. Verdadero (V)
a
c
ac
Si b= d= k , entonces k.
b d
xy 99 40 99
°
°
xy 40 99
°
xy = 59
x=5 ∧ y=9
∴ x2 + y2 = 25 + 81 = 106
Rpta.: 106
Pregunta 10
prohibida su venta
Sean a, b, c y d números naturales. Determine
si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
a
c
9
I. Si b= d= 4 , entonces
a2 c2 3
2.
b2 d2
ac
a
c
II. Si b= d= k , entonces k .
b d
a 2b c 2d
a
c
III. Si b = d , entonces b d .
Indique la secuencia correcta.
A) VFV
B) VFF
C) FFV
D) FVV
a2 c2 9
4
b2 d2
III. Verdadero (V)
a
c
a 2b c 2d
Si b = d , entonces
b
d
a c b 2 d 2
a = c
b d
Rpta.: FVV
Pregunta 11
Si se sabe que el intervalo:
a
; 5
; bE
2
es el conjunto solución de la siguiente
inecuación:
4- 1-x - 2-x $ 0
a+b
Calcule el valor de
.
7
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
E) VVV
6
¡Tu mejor opción!
SOLUCIONARIO - UNI 2025-I
Resolución 11
Resolución 12
Inecuaciones
CVA: 1 - x $ 0 / 2 - x $ 0 / 4 - 1 - x $ 0
Logaritmos en R
x # 1/x # 2/ 1-x # 4
& CVA 7 15; 1A
Del problema:
I. log b a 11 loga b 12
1
log b a 11 $ log a 12
Luego:
b
(log b a) 2 11 12 log b a
4- 1-x $ 2-x * 4- 1-x $ 2-x
(log b a) 2 12 log b a 11 0
↔ x2 $ 1x
x 2 4x 4 $ 1 x / x 2 $ 0
`log b a 11j`log b a 1j 0
5x 3 $ 0 / x $ 2
=
=
log b a 11
0 log b a 1
5 ! 13
P.C: x 2
+
De forma análoga:
–
- 5 - 13
2
& Sp <
II.
+
5 13
2
/x $- 2
5 13
;3
2
C.S. = CVA ∩ Sp
5 13
` C.S. <
; 1F & a 13 / b 1
2
&
a b 13 1 2
7
7
Rpta.: 2
log7
2
b 7 log b 7 2 6
log7
2
b 7 $ log
`log7
2
bj 7 6 log7
`log7
2
bj 6 log7
2
`log7
2
b 7j`log7
2
log7
2
b 7 0 log7
2
1
6
7 2b
2
2
Como log7
2
2
b
b7 0
b 1j 0
prohibida su venta
x
2
b 1
b 2 0, entonces:
Pregunta 12
log7 b = 7
2
Calcule el valor de la siguiente expresión:
Por definición:
a 4 log0, 5 a
7
32
=
b 7=
2 "b 2
Si logba > 0, log7 2 b > 0, a ≠ b y además:
Luego, en (I):
logba + 11logab = 12 y
=
=
log b a 11
0 log b a 1
log7 2 b 7 log b 7 2 6
Como b = 2:
A) 100
=
=
log 2 a 11
0 log 2 a 1
B) 104
11
=
a 2=
0a 2
C) 108
Pero a ≠ b; entonces, a = 211.
D) 112
E) 116
¡Tu mejor opción!
7
SOLUCIONARIO - UNI 2025-I
Se pide:
a 32 4 log0, 5 a
De (1) y (2):
211 4 log -1211
2
25
` C1 – C2 = 6000
2
6-
4 (- 11) log 2 2
C1 = 8000
C2 = 2000
1
Pregunta 14
Rpta.: 108
Pregunta 13
Un ganadero invierte en ganado vacuno
una cantidad de dinero y obtiene el 5 % de
ganancia. Por otra inversión en ganado
caprino, obtiene una ganancia de 3,5 %. Si
se sabe que el ganadero invirtió S/ 10 000 y
que la ganancia de la primera inversión supera
en S/ 330 a la segunda, ¿qué valor se obtiene
al realizar la diferencia entre los capitales de
esas dos inversiones?
A) 6000
B) 7000
prohibida su venta
C) 8000
D) 9000
E) 10 000
Resolución 13
Tanto por ciento
Sea:
•
El dinero invertido en el ganado vacuno: C1
•
El dinero invertido en el ganado caprino: C2
Por dato:
Inversión total: C1 + C2 = 10 000 ... (1)
Además:
G1 – G2 = 330
5 % C1 – 3,5 % C2 = 330
5 C1 – 3,5 C2 = 33 000 ... (2)
8
Rpta.: 6000
Si se sabe que a + b + c = l,
halle el determinante de:
Ja b c N
K
O
A = Kb c aO
K
O
Lc a b P
A) 0
B) 1
C) abc
D) a2 + b2 + c2 - (ab + ac + bc)
E) ab + ac + bc - (a2 + b2 + c2)
Resolución 14
Determinantes
Por dato:
a+b+c=1
Se pide:
a b c
A = b c a
c a b
Por el método de Sarrus:
a b c
A = b c a
c a b
c3 a b c abc
a3 b c a abc
abc
b3
3abc
|A| = 3abc – (a3 + b3 + c3)
|A| = –(a3 + b3 + c3 – 3abc)
¡Tu mejor opción!
SOLUCIONARIO - UNI 2025-I
Por Gauss se sabe que:
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)
Entonces:
|A| = – (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac),
Multiplicamos por (– 1):
- 3 x H0
2 ]x - 1g
x-3
H0
x-1
pero a + b + c =1. Por tanto:
|A| = –(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)
|A| = ab + ac + bc – (a2 + b2 + c2)
Rpta.: ab + ac + bc – (a2 + b2 + c2)
Pregunta 15
Sea f (x) 1
y el conjunto:
x1
–3
+
+
+3
1 –
3
x ! 3; 1 , 73; 3
Luego:
S 3; 1 , 73; 3
De la función:
1
f ]xg x 1
y
f
1
S = ' x ! R = !1 + f (x) # 2 1
Además, g(x) = 2xof(x) + b, donde xo es tal
que f (xo) es máximo sobre S y g(3) = 5.
Determine el valor de g(2) + b.
1
3
x
A) 8
B) 10
D) 14
E) 15
Resolución 15
Funciones
Dada la función:
1
f ]xg ; x ! 1
x 1
1
S = &x ! R = !1 + ; f ]xg G 2 0
De la inecuación:
1
1
G
x-1 2
1 -1
G0
x-1 2
3-x
G0
2 ]x - 1g
Nótese que “f” es máximo para x = 3;
prohibida su venta
C) 12
entonces, x0 = 3.
Además:
1
g ]xg 2 ]3 g b
x 1
6
g ]xg b
x 1
Por dato:
g(3) = 5
6 b 5"b2
31
Finalmente:
6
g ]xg 2
x 1
Se pide:
g(2) + b
8 + 2 = 10
Rpta.: 10
¡Tu mejor opción!
9
SOLUCIONARIO - UNI 2025-I
Pregunta 17
Pregunta 16
Sea el problema:
Sea f : R → R, una función definida por:
f(x) = x3 + 2x + 1
P : mín(3x1 - 4x2)
(x1; x2) ∈ C
Si C = {(x1; x2)/Ax ≤ b}, A es una matriz de
2 × 2, b ∈ R2, x = (x1; x2).
Determine si la proposición es verdadera (V)
o falsa (F).
B) 3
II. En cada vértice µ del conjunto C se
cumple Aµ ≤ b.
D) 5
III. En cada punto w del interior de C se
tiene Aw < b.
Indique la secuencia correcta.
C) 4
E) 6
Resolución 17
Sucesiones
Dada la función:
A) FVV
f(x) = x3 + 2x + 1
n+1
an = n → lim an = 1
n→∞
B) FFV
C) VFV
D) VFF
Se pide:
E) FFF
prohibida su venta
A) 1
Si x es solución del problema P, entonces
x puede pertenecer al interior de C.
I.
lim f(a ) = lim ( a3n + 2an + 1)
n→∞ n n→∞
Resolución 16
Programación lineal
C = {(x1; x2) / Ax ≤ b}; x = (x1; x2)
I.
n1
.
n
Determine el valor de convergencia de la
sucesión {f(an)}.
y la sucesión a n Falso
Si x es solución del problema P, entonces
x se encontrará en uno de los vértices de la
región factible C.
II. Verdadero
lim f(a ) = lim an 3 + 2 lim (an) + lim 1
n→∞
n→∞ n
n→∞
n→∞
lim f(a ) = 13 + 2(1) + 1
n→∞ n
lim f(a ) = 4
n→∞ n
Rpta.: 4
Si “µ” es vértice de C, entonces “µ” satisface
el conjunto de restricciones Ax ≤ b, es decir:
Aµ ≤ b
III. Verdadero
Como “w” es un punto interno de C, entonces
no considera el contorno, es decir: Aw < b
Rpta.: FVV
10
¡Tu mejor opción!
SOLUCIONARIO - UNI 2025-I
Pregunta 18
Indique la secuencia correcta.
Sea:
A) VVV
M = {x ∈ Z | ||x - 1| - 1| - 2 > 0}
B) VVF
Calcule la suma de los elementos de Z \ M.
C) VFV
D) VFF
A) 5
E) FFF
B) 6
C) 7
Resolución 19
D) 8
Números complejos
I.
Resolución 18
Inecuaciones
M: ||x – 1| – 1| – 2 > 0 ↔ ||x – 1| – 1| > 2
|x – 1| – 1 > 2 ∨ |x – 1| – 1 < –2
x∈z
⇒ |x – 1| > 3
↔
–2
–∞
x < –2 ∨ x > 4
4
∴(I) es verdadera.
II. Sea P(x) de coeficientes reales de modo que:
P(x) = –P(–x)
Si z ∈ C, es raíz de P(x) → z también será
una raíz de P(x); es decir:
x
P(z) = 0 → P(z) = 0
+∞
P(z) = –P(–z) → P(–z) = 0
⇒ Z \ M = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}
Luego:
P(z) = –P(–z) → P(–z) = 0
Entonces: – z también será una raíz.
Suma de elementos = 7
Rpta.: 7
Pregunta 19
Determine si la proposición es verdadera (V)
o falsa (F).
I.
Todo polinomio de grado “n” con n H 1 y
coeficientes arbitrarios tiene al menos una
raíz compleja.
Un polinomio de coeficientes
racionales
puede
tener
raíces
complejas.
II. Sea P(x) un polinomio de coeficientes
reales que cumple P(x) = - P(-x). Si
z ∈ C es raíz de P(x), entonces -z
también lo es.
∴(II) es verdadera.
III. Sea P(x) un polinomio de coeficientes
complejos. Si “z” es una raíz, entonces z no
necesariamente será otra raíz, dado que el
teorema de paridad para raíces imaginarias
es válido para un polinomio de coeficientes
reales.
∴(III) es falsa.
Rpta.: VVF
III. Sea P(z) un polinomio de coeficientes
complejos. Si z es raíz de P(z), z
también lo es.
¡Tu mejor opción!
11
prohibida su venta
E) 9
SOLUCIONARIO - UNI 2025-I
Pregunta 20
El esquema adjunto representa 4 centros de
producción y 4 calles que las conectan por
donde circulan vehículos en el sentido de la
flecha.
Centro
Centro
Calle 1
2
1
Calle 2
Calle 4
4
Centro
Calle 3
3
Centro
Con base en dicho esquema, se asocia una
matriz A = (ai,j); i, j : 1, 2, 3, 4, definida como
Z
] 1, Si el centro i es el origen
de la calle j
]]
aij [ 1, Si el centro i es destino
]
de la calle j
]
0, En cualquier otro caso
\
Determine la matriz A.
prohibida su venta
R
V
S 1 1 -1 -1W
S0 1 1 1 W
W
A) S
S- 1 1 - 1 0 W
S0 1 0 1 W
T
X
B)
C)
R
V
S 1 0 0 -1W
S- 1 1 0 0 W
S
W
S 0 -1 1 0 W
S 0 0 -1 1 W
T
X
R
V
S 0 -1 1 1 W
S 0 0 -1 -1W
S
W
S0 0 1 0 W
S- 1 0 - 1 1 W
T
X
R
V
S 1 -1 -1 -1W
S1 1 0 0 W
W
D) S
S- 1 0 1 1 W
S- 1 1 1 - 1 W
T
X
R
V
S- 1 1 1 1 W
S 1 0 0 -1W
W
E) S
S- 1 - 1 1 - 1 W
S1 0 0 1 W
T
X
Resolución 20
Matrices
Del esquema:
Centro
Calle 1
1
Centro
2
Calle 4
Calle 2
4
Centro
3
Calle 3
Centro
a11 = 1 Dado que el centro 1 es origen de la calle 1.
a12 = 0 Dado que es cualquier otro caso.
a13 = 0 Dado que es cualquier otro caso.
a14 = – 1 Dado que el centro 1 es destino de la calle 4.
De forma análoga:
a21 = –1
a31 = 0
a41 = 0
a22 = 1
a32 = – 1
a42 = 0
a23 = 0
a33 = 1
a43 = – 1
a24 = 0
a34 = 0
a44 = 1
Finalmente:
SRS 1 0 0 1WVW
SS
W
S 1 1 0 0 WWW
A SS
SS 0 1 1 0 WWW
SS 0 0 1 1 WW
T
X
V
R
SSS 1 0 0 - 1WWW
SS- 1 1 0 0 WW
W
Rpta.: SS
SS 0 - 1 1 0 WWW
SS 0 0 - 1 1 WW
X
T
12
¡Tu mejor opción!
SOLUCIONARIO - UNI 2025-I
Pregunta 22
Pregunta 21
Determine si la proposición es verdadera (V)
o falsa (F).
I. Si R1 es una región determinada por un
triángulo y R2 es el círculo inscrito en
dicho triángulo, entonces R1 – R2 es un
conjunto convexo.
En un tetraedro regular ABCD, M es punto
medio de BC y en la altura DH del tetraedro
se ubica el punto L. Si AL = DH, entonces
m+HLM es:
1
A) arctan 3
B) 45
1
C) arctan 2
D) 30
II. El vacío es un conjunto convexo.
III. Un punto es un conjunto convexo.
Indique la secuencia correcta.
E) 36
A) VVV
B) VVF
Resolución 21
C) VFV
Poliedros regulares
D) FVV
D
E) FFF
Resolución 22
A
6
30° 2a 3
H
6a
C
B
Si R1 es una región determinada por un
triángulo y R2 es el círculo inscrito en dicho
triángulo, entonces R1 – R2 es un conjunto
convexo. (F)
3a
a 3
60°
I.
M
3a
II. El vacío es un conjunto convexo. (V)
III. Un punto es un conjunto convexo. (V)
Rpta.: FVV
AB = 6a
Pregunta 23
Por propiedad: DH = 2a 6
En la figura se muestran dos superficies
semiesféricas de longitud de radios R y “r”. Si
= DH
= 2a 6
Además: AL
ALH, por notable
AP = 2 13 cm у BP = 4 cm, entonces el área
(en cm2) de la superficie semiesférica mayor es:
→ LH = 2a 3
LHM: notable
53°
⇒x= 2
P
1
tan x = 2
1
` x = arctan b 2 l
A
1
Rpta.: arc tan 2
¡Tu mejor opción!
R
r
B
13
prohibida su venta
2a
Conjunto convexo
L
x
SOLUCIONARIO - UNI 2025-I
A) 10p
Resolución 24
B) 20p
Geometría del espacio
C) 30p
D) 40p
M
E) 50p
4
Q
a
Resolución 23
Esfera
6
A
M
4
P
6
3
2 1
R
R
8
C
4
Piden QC = x
Relaciones métricas
Al unir O con P, por propiedad m OPB = 90º.
a2 = (4 + x) 4 ... (2)
O
R
Al prolongar BP, se cumple que BP = PM.
Por Pitágoras en el
AMP
a2 = (14) (6) ... (1)
(1) = (2)
(14) (6) = (4 + x) 4
∴ x = 17
→ AM = 6
Rpta.: 17
→ AB = 10
→R=5
Pregunta 25
Asuperficie = 2p(5)2
= 50p
Rpta.: 50p
p
Pregunta 24
Por el vértice A de un triángulo ABC, se
levanta la perpendicular AM al plano que
contiene al triángulo y luego se trazan las
perpendiculares AP a MB y AQ a MC. Si
QM = 4 u, BP = 8 u y PM = 6 u, entonces la
longitud de QC (en u) es:
A) 15
B) 16
B
x
B
A
prohibida su venta
P
En una pirámide cuadrangular regular, la
arista lateral y la arista básica miden cada una
2a. Calcule el volumen del sólido limitado por
la pirámide.
A)
B)
C)
D)
E)
4 2 a3
8 3
3a
4
3
3 3a
4
3
3 2a
2 3
3 a
C) 17
D) 18
E) 19
14
¡Tu mejor opción!
SOLUCIONARIO - UNI 2025-I
Resolución 25
Resolución 26
Geometría del espacio
Geometría del espacio
V
P
2a
B
a 2
2a
A
R
h
h
C
a 2
H
2a
A
D
Piden V:
C
AHV (teorema de Pitágoras)
Piden: VO – ABC
h2 = (2a)2 – (a 2)2
h=a 2
1
V = 3 (2a)2 (a 2)
4
V = 3 2 a3
B
S
27
Dato: VABC PQR 4 2 u3
S = Área del ABC
4
Rpta.: 3 2 a 3
27
VABC – PQR = Sh = 4 2
1
1 27
VO – ABC = 3 Sh = 3 b 4 2 l
9
VO – ABC = 4 2 u3
Rpta.: 9 2
4
Pregunta 26
El volumen del sólido limitado por un prisma
27
regular ABC – PQR es 4 2 u3 y en la base
PQR se ubica el punto O. Calcule el volumen
(en u3) del sólido limitado por el tetraedro
regular OABC.
3
2 2
B) 2 2
A)
C) 3 2
9
4 2
E) 4 2
D)
¡Tu mejor opción!
Pregunta 27
En un triángulo ABC, BM es una mediana,
AB = BM, AB = 6 cm y AC = 12 cm. Calcule
la longitud (en cm) de BC.
A) 2 6
B) 3 3
C) 6 3
D)
23
E) 2 23
15
prohibida su venta
2a
Q
O
SOLUCIONARIO - UNI 2025-I
Resolución 27
Resolución 28
Triángulos rectángulos notables
Posiciones relativas entre rectas y planos
F
B
3
60° 0°
6
A
60°
3
3
6
6
60°
12
3
60°
M
x
a
H
M
120° 60°
3
6
E
3
30°
a
a 5
C
2a
Piden “x”:
−
Se traza MH, altura en el ∆BMC
−
∆BHM: notable de 30° y 60°
2a
C
∴x = 6 3
Rpta.: 6 3
Pregunta 28
Los cuadrados ABCD y BCEF están
contenidos en planos perpendiculares.
Calcule la medida (en grados sexagesimales)
prohibida su venta
B) 45
C) 75
D) 90
E) 120
a 2
x
a 2
2a
A
O
a 2
2a
D
Piden “x”:
∗ MO: Base media en el DBF
→ MO // FD
∗ OCM: Es un triángulo rectángulo, pues sus
lados cumplen el teorema de Pitágoras.
∴ x = 90°
del ángulo entre AC y FD .
A) 30
2a 3
Ba 3
Rpta.: 90
Pregunta 29
En un polígono regular, las longitudes de los
radios de las circunferencias circunscrita e
inscrita son R y “r”, respectivamente, tal que
2
R=
r.
3
Calcule el número de diagonales de dicho
polígono.
A) 5
B) 9
C) 14
D) 20
E) 27
16
¡Tu mejor opción!
SOLUCIONARIO - UNI 2025-I
Resolución 29
Resolución 30
Polígonos regulares
Semejanza
R
r
F
x
17-x
30º 30º
17
Q
x
11
G
k 3
M
A
60º
k
L
L1
11-x
C
Piden “x”:
k
G: baricentro
Dato
•
•
R: circunradio n: # de lados
r: inradio
2
R=
r
3
R= 2
r
3
R = 2k
r=k 3
Se observa: m B central = 60º
.
360º =
60º
n
n=6
6 _6 - 3 i
Piden: número de diagonales =
2
= 9
Rpta.: 9
Pregunta 30
En un triángulo ABC, las distancias de los
vértices A, B y C a una recta secante a los
lados AB y BC son AE = 17 cm, BF = 10 cm
y CQ = 11 cm. Calcule la distancia (en cm)
del baricentro del triángulo ABC a la recta.
Teorema:
10 + x = 17 - x + 11 - x
∴x=6
Rpta.: 6
Pregunta 31
Determine el conjunto solución de la ecuación
trigonométrica
1 cos (4i)
5 cos 2 (2i) 0
2
A) S = $i/i = 2nr ! 4 , n ! Z .
r
B)
S = $i/i = nr ! r2 , n ! Z .
C)
S $i/i nr r4 , n ! Z .
prohibida su venta
2k
L1 // L
10
E
O
B
D) S = $i/i = nr ! 4 , n ! Z .
r
E)
S = "i/i = nr, n ! Z ,
A) 3
B) 5
C) 6
D) 7
E) 9
¡Tu mejor opción!
17
SOLUCIONARIO - UNI 2025-I
Resolución 31
Resolución 32
Ecuaciones trigonométricas
Área del sector circular
Por I. T. del ángulo doble:
2 cos 2 2i + 5cos22θ = 0
2
6cos22θ = 0
cos2θ = 0
R' S1
ST
R
11p
6
2θ = 2nπ +– r
2
r
θ = nπ +–
4
Notamos:
S1 ST Rpta.: S = {θ/θ = nπ +– π , n ∈ ℤ}
4
Pregunta 32
S1
de un disco de papel de papel de radio R (en
11p
6
cm), luego de retirar un sector circular de
r
ángulo central 6 rad. Determine la longitud
de la circunferencia (en cm) generada por un
plano secante al cono y paralelo a la base del
mismo, obteniendo un tronco de cono circular
prohibida su venta
r
Un cono circular recto fue construido a partir
de área lateral igual a
A)
B)
C)
D)
E)
18
11
6 rR
11
5 rR
11
4 rR
11
3 rR
11
2 rR
STr
R
2θ = 2nπ +– arccos(0)
R
r
p
6
rR 2
2
6 cm .
R'
R'
11r c R 2 m ST
6
2
A
B
11r R' 2 rR 2 11r R 2
$
$
6
2
6
6
2
3
R
R' 11
P
11p
6
R'
R'
A
B
11r
11r d 3R n =
=
L APB =
$ R'
6
6
11
Rpta.:
11 $ rR
2
11
2 rR
¡Tu mejor opción!
SOLUCIONARIO - UNI 2025-I
Pregunta 34
Pregunta 33
Determine la ecuación en coordenadas
transformadas X'Y' de una recta cuya
ecuación en coordenadas originales es
L: y = x + 3 2 , luego que los ejes XY han
sido rotados 45° en sentido antihorario.
Considere la igualdad
10cos(2α) - 13cos(3α)
2sen b 5a l sen b a l 0,
2
2
r
donde a g &]2k + 1g 6 ; k ! Z 0 .
11
Calcule 28 6sec ]ag + sec ]3ag@ .
B)
B) y' = -3
1
4
1
2
C) y' = 2
D) y' = - 2
2
E) y' = 3
C) 1
D)
3
2
Resolución 34
E) 2
Transformación de coordenadas
Resolución 33
Ecuaciones de rotación:
x = x'cosq – y'senq
q = 45°
y = x'senq + y'cosq
1
→ x
(x' y')
2
1
y
(x' y')
2
}
Transformaciones trigonométricas
Transformando trigonométricamente:
10cos2α – 13cos3α + cos2α – cos3α = 0
11cos2α = 14cos3α
Piden:
11
: 1 + 1 D
28 cos a cos 3a
11 ; cos 3a + cos a E
28 cos a $ cos 3a
prohibida su venta
A)
A) y' = 3
Reemplazando en:
L: y = x + 3 2
Transformando:
1
1
(x' y') (x' y') 3 2
2
2
11 2 cos 2a $ cos a
:
D
28 cos a $ cos 3a
` L: y' = 3
Rpta.: y' = 3
11cos2a
14cos3a
Con la condición = 1
Rpta.: 1
¡Tu mejor opción!
19
SOLUCIONARIO - UNI 2025-I
Pregunta 36
Pregunta 35
Si se sabe que 4sen(x) cos(x) > 0 y
considerando las expresiones:
U = (5 - 3 tan(x)) . cot(x) + 3
Calcule aproximadamente el valor de E.
cos (240°) $ tan (210°) sec (120°)
E
sen (150°) $ csc (315°)
N = cos9(x) sen39(x)
A) -3,23
I = sen4(2x) - 10 sen2(2x)
Indique los signos de U, N, I en el orden
mencionado.
3,23
C)
-2,42
D) 4,01
E)
A) (+)(+)(+)
B) (+)(+)(-)
2,42
Resolución 36
C) (-)(+)(+)
Reducción al primer cuadrante
D) (+)(-)(+)
Reduciendo:
E) (-)(+)(-)
E
cos (180° 60°) $ tan (180° 30°) – sec (180° – 60°)
sen (180° – 30°) $ csc (360° – 45°)
E
(– cos 60°) (tan 30°) sec 60°
(sen30°) (– csc 45°)
U = 5cotx → U = (+)
(+)
E
1
b lc 3 m 2
2
3
1
b l^ 2 h
2
N = cos9(x) . sen39(x) ˅ N = cos9(x) . sen39(x)
(+)
(+)
(–)
(–)
N = (+)
∴ E = – 2,42
I = sen4(2x) – 10sen2(2x)
I = sen2(2x) [sen2(2x) – 10]
Pregunta 37
Resolución 35
R. T. C. M.
4senxcosx ˃ 0 → x ∈ IC ˅ IIIC
U = (5 – 3tanx) cotx + 3
prohibida su venta
B)
(+)
I = (–)
Si sen(α) =
(–)
calcule
∴ (+) (+) (–)
Rpta.: (+) (+) (–)
20
Rpta.: – 2,42
tan (r/6) + sen (r/3)
,
1 + sec 2 (r/4)
cos ]ag tan ]ag
.
cos ]ag tan ]ag
- 41
19
31
B) - 19
21
C) - 19
31
D) 19
41
E) 19
A)
¡Tu mejor opción!
SOLUCIONARIO - UNI 2025-I
Resolución 37
Datos:
Identidades trigonométricas
AC = 10 cm ∧ BD = 15 cm
Área (S) = 37,5 cm2
3 + 3
3
2
1 + ( 2)2
senα = tan 30° + sen60° =
1 + sec 2 45°
senα = 5
6
Por fórmula:
AC : BD m
Sk=c
seni
2
^10h^15h
75
=
seni
2
2
1
⇒ seni = 2
` q = 30°
=
Sk
Piden: cos a tan a cos 2 a sena
cos a tan a cos a sena
2
1 25 5
2
36 6
1 sen 2 a sena 1 sen a sena 1 25 5
36 6
41
19
Rpta.: – 41
19
Pregunta 38
Considere una región cuadrangular convexa
de área 37,5 cm2, cuyas diagonales miden
10 cm y 15 cm. Calcule la medida del menor
ángulo (en grados sexagesimales) que forman
dichas diagonales.
Rpta.: 30
Pregunta 39
r
r
Para - 2 1 y 1 2 , en la figura
Y r
2
-1
1 X
A) 15
B) 30
la región sombreada puede representarse por
la desigualdad
C) 45
D) 60
E) 90
A) y ≥ sen (x)
B) y ≤ arc sen (x)
Resolución 38
C) y ≥ arc cos (x)
Resolución de triángulos
B
D) sen (y) ≥ x
E) cos (y) ≥ x
C
q
A
¡Tu mejor opción!
D
21
prohibida su venta
-r
2
SOLUCIONARIO - UNI 2025-I
Resolución 39
Resolución 40
Funciones trigonométricas inversas
Funciones trigonométricas
1.° La gráfica y = f(x) corresponde a:
y = f(x) = 2sen(cosx) + 2vers(cosx) + 2cov(cosx)- 1
y = arcsen(x)
y = f(x) = 2sen(cosx) + 2(1 - cos(cosx)) + 2(1 - sen(cosx)) - 1
2.° La región sombreada: y ≥ arcsen(x)
como es f. creciente: sen(y) ≥ x
r
r
con: - 1 y 1
2
2
Y r
2
f(x) = 2sen(cosx) + 2 - 2cos(cosx) +2 - 2sen(cosx) - 1
f(x) = 3 - 2cos(cosx)
- 1≤ cosx ≤ 1 .... de la C. T. mostrada
y
y = f(x)
-1
O
1 X
-r
2
cos1
1
1
0
x
-1
Rpta.: sen(y) ≥ x
Pregunta 40
Se define f: R " R mediante la regla de
correspondencia
f(x) = 2sen (cos(x)) + 2vers(cos(x))
2cos1 ≤ 2cos(cosx) ≤ 2
- 2 ≤ - 2cos(cosx) ≤ - 2cos1
1 ≤ 3 - 2cos(cosx) ≤ 3 - 2cos1
f(x)
Rpta.: [1; 3 - 2cos(1)]
prohibida su venta
+ 2cov(cos(x)) - 1
Determine el rango de f.
22
A)
[1; 2 - 3cos(1)]
B)
[1; 2 + 3cos(1)]
C)
[1; 2 + cos(1)]
D)
[1; 3 + cos(1)]
E)
[1; 3 - 2cos(1)]
¡Tu mejor opción!
Ciclos
UNI
Anual
24 DE FEBRERO
Semestral
24 DE FEBRERO
Virtual
Presencial
¡Tu mejor
opción!
947 273 310