Pruebas de Hipótesis para una Sola Muestra

1. Pruebas de Hipótesis para una Sola Muestra
Media Poblacional (𝜇�)
Condición
Estadístico de Prueba
𝜎��conocida
Estadístico Z
𝒁=
̅ − 𝝁𝟎
𝒙
𝝈
√𝒏
Normal Estándar
𝜎��
desconocida
Estadístico t
𝒕=
̅ − 𝝁𝟎
𝒙
𝒔
√𝒏
t de Student
(gl = n-1)
Formula
Distribución
̅) es la media muestral, (𝝁𝟎 )�es la media hipotetizada, (𝝈) es la
Donde (𝒙
desviación estándar poblacional, (s) es la desviación estándar muestral, y (n)
es el tamaño de la muestra.
Proporción Poblacional (p)
Para muestras grandes, se utiliza el estadístico Z con la distribución normal
estándar. Estadístico de prueba Z para proporción:
𝒁=
̂ − 𝒑𝟎
𝒑
√𝒑𝟎 (𝟏 − 𝒑𝟎 )
𝒏
̂) es la proporción muestral (𝒑
̂ = 𝒙/𝒏), (𝒑𝟎 ) es la proporción
Donde (𝒑
hipotetizada, y (n) es el tamaño de la muestra.
Varianza Poblacional (𝝈𝟐 ) :
La prueba de hipótesis para la varianza utiliza el estadístico ( 𝑿𝟐 )
Estadístico de prueba ( 𝑿𝟐 ) para varianza:
𝑿𝟐 = �
(𝒏 − 𝟏)𝒔𝟐
𝝈𝟐𝟎
Donde (n-1) son los grados de libertad (gl), (𝒔𝟐 ) es la varianza muestral, y
(𝝈𝟐 ) es la varianza hipotetizada.
2. Pruebas de Hipótesis para Dos Muestras Independientes Diferencia
entre Dos Medias ( 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 )
Condición
Estadístico de
Prueba
𝒁 =�
𝝈𝟐𝟏 , 𝝈𝟐𝟐 Conocidas
Estadístico Z
𝝈𝟐𝟏 , 𝝈𝟐𝟐
desconocidas e
iguales (pooled)
Estadístico t
(pooled)
𝒕 =�
Estadístico t
(separado)
𝒕 =�
𝝈𝟐𝟏 , 𝝈𝟐𝟐
desconocidas y
desiguales (Welch)
Distribución
Formula
(𝒙
̅𝟏 − 𝒙
̅𝟐 ) − (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 )
𝟐
𝟐
√ 𝝈𝟏 + 𝝈𝟐
𝒏𝟏 𝒏𝟐
(𝒙
̅𝟏 − 𝒙
̅𝟐 ) − (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 )
𝟏
𝟐
𝒔𝒑 √𝒏 + 𝒏
𝟏
𝟐
(𝒙
̅𝟏 − 𝒙
̅𝟐 ) − (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 )
𝟐
√ 𝒔𝟏
𝒔𝟐𝟐
𝒏𝟏 + 𝒏𝟐
Normal Estándar
t de Student
(𝒈𝒍 = 𝒏𝟏 − 𝒏𝟐 − 𝟐)
t de Student (gl
calculado con fórmula
compleja)
Diferencia entre Dos Proporciones (𝒑𝟏 − 𝒑𝟐 )
Se utiliza el estadístico Z con la distribución normal estándar y una
̅) si se asume (𝒑𝟏 = 𝒑𝟐 ) bajo (𝑯0 )
proporción combinada (𝒑
̅̅̅ = � (𝒙𝟏 +𝒙𝟐)
(𝒑)
(𝒏 +𝒏 )
𝟏
𝟐
Estadístico de prueba Z para dos proporciones:
𝒁 =�
(𝒑
̂𝟏 − 𝒑
̂𝟐 ) − (𝒑𝟏 − 𝒑𝟐 )
√𝒑
̅(𝟏 − 𝒑
̅)(
Razón de Dos Varianzas:
𝟏
𝟐
+ )
𝒏𝟏 𝒏𝟐
𝝈𝟐𝟏
⁄ 𝟐
𝝈𝟐
La prueba de la razón de varianzas utiliza el estadístico F (distribución F de
Fisher-Snedecor) para determinar si dos varianzas poblacionales son
iguales.
Estadístico de prueba F para dos varianzas:
𝐹=
𝒔𝟐𝟏
𝒔𝟐𝟐
Donde los grados de libertad son 𝑔𝑙1 = 𝑛1 − 1� y �𝑔𝑙2 = 𝑛2 − 1