Números Complejos - CEPRE UNI

Números Complejos
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Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI
Mg. Jorge Mayta
10 de mayo de 2022
Números Complejos
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Definición
EL conjunto de los números complejos se define de la forma
C = {a + ib | a, b ∈ R, i2 = −1}
Sea z ∈ C, z = a + ib donde
a : Parte Real, a = Re(z)
b : Parte Imaginaria, b = Im(z)
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Vamos a definir:
R2 = {(a, b) | a, b ∈ R}
Además definimos f : R2 → C tal que
f (x, y) = x + iy
La función f es biyectiva. Por tal motivo hay una correspondencia
biunivoca de la forma
(x, y) ≡ x + iy
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Se define el módulo de z de la forma
p
∥z∥ = a2 + b2
donde θ ∈ [0, 2π⟩ es el argumento (principal) de z el cual se
denota por Arg(z).
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Teorema
La parte real y la parte imaginaria de un complejo cumple las
siguientes propiedades. Sean z, w ∈ C y α ∈ R.
a) Re(z + w) = Re(z) + Re(w)
b) Re(αz) = αRe(z)
c) Im(z + w) = Im(z) + Im(w)
d) Im(αz) = αIm(z)
e) Re(iz) = −Im(z)
f) Im(iz) = Re(z)
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Complejos Básicos
Los siguientes complejos será de gran utilidad.
Complejo Nulo
z = 0 + 0i = 0
Imaginario Puro
z = 0 + bi = bi
Complejo Real
z = a + 0i = a
Sea z = a + bi, se definen los siguientes complejos
Conjugada de z
z = a − ib
Opuesto de z
z ∗ = −z = −a − bi
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Igualdad
Sean z, w ∈ C. Se dice que z y w son iguales si:
Re(z) = Re(w), Im(z) = Im(w)
Elemento Inverso
Sea z ∈ C. Se cumple que:
zz = ∥z∥2
Ahora si z ̸= 0 se tiene que:
z −1 =
z
∥z∥2
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Ubicación de los complejos
Notamos que:
∥z∥ = ∥z∥ = ∥z ∗ ∥
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Diferencia de dos complejos
Se define la distancia de z y w de la forma
d(z, w) = ∥z − w∥
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Ejercicio
Sea
A = {z ∈ C | ∥z + 3i∥ = ∥z − 2∥}
Hallar el conjunto A y graficarlo.
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Ejercicio
Sea
M = {z ∈ C | Im
1+z
1−z
≥ 1}
Graficar el conjunto M .
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Operaciones
I) Suma y Resta:
Sean
z = a + ib, w = c + id
se tiene que:
z + w = a + c + i(b + d)
z − w = a − c + i(b − d)
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II) Multiplicación:
Sean
z = a + ib, w = c + id
se tiene que:
z.w = ac − bd + (ad + bc)i
Observación
(1 + i)2 = 2i, (1 + i)4 = −4
(1 − i)2 = −2i, (1 − i)4 = −4
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II) División:
Sean z, w ∈ C con w ̸= 0.
zw
zw
z
=
=
w
ww
∥w∥2
Observación
1+i
1−i
= i,
= −i
1−i
1+i
Sean z = a + bi y w = c + di.
z
a
b
Si
= α ∈ R, entonces = = α
w
c
d
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Potencia de la unidad imaginaria
o
i = i5 = i9 = i4 +1 = i
o
i2 = i6 = i10 = i4 +2 = −1
o
i3 = i7 = i11 = i4 +3 = −i
o
i4 = i8 = i12 = i4 = 1
Se obtiene:
o
o
o
o
i4 + i4 +1 + i4 +2 + i4 +3 = 0
ia + ib + ic + id = 0
donde a, b, c, d ∈ Z son consecutivos.
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Propiedad de conjugada
1) z ± w = z ± w
2) zw = (z) (w)
3) wz = wz , w ̸= 0
4) z −1 = (z)−1 , z ̸= 0
5) z n = (z)n , n ∈ N
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Propiedad de conjugada
6) (z) = z
7) z = z ←→ z ∈ R
8)
Re(z) =
z−z
z+z
, Im(z) =
2
2i
9) Sea z ∈ C, α ∈ R,αz = αz
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Propiedad de conjugada
10) Re(z) = Re(z)
11) Im(z) = −Im(z)
12) Sea p(x) ∈ R[X], se cumple que: p(z) = p(z)
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Propiedad de Módulo
1) ∀z ∈ C, ∥z∥ ≥ 0
2) ∥zw∥ = ∥z∥∥w∥
∥z∥
3) ∥ wz ∥ = ∥w∥
, w ̸= 0
4) ∥z n ∥ = ∥z∥n , n ∈ N
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Propiedad de Módulo
p
√
5) ∥ n z∥ = n ∥z∥, n ∈ N
6) ∥z −1 ∥ = ∥z∥−1 , z ̸= 0
7) ∀z ∈ C, ∀α ∈ R, ∥αz∥ = |α|∥z∥
8) ∥∥z∥∥ = ∥z∥
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Propiedad de Módulo
9) |Re(z)| ≤ ∥z∥
10) |Im(z)| ≤ ∥z∥
11) Desigualdad Triangular
∀z, w ∈ C, ∥z + w∥ ≤ ∥z∥ + ∥w∥
12)
∀z, w ∈ C, ∥z − w∥ ≤ ∥z∥ + ∥w∥
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Propiedad de Módulo
13)
∀z, w ∈ C, |∥z∥ − ∥w∥| ≤ ∥z − w∥
14)
∥z + w∥2 = ∥z∥2 + 2Re(zw) + ∥w∥2
∥z − w∥2 = ∥z∥2 − 2Re(zw) + ∥w∥2
15)
∥z + w∥2 + ∥z − w∥2 = 2(∥z∥2 + ∥w∥2 )
∥z + w∥2 − ∥z − w∥2 = 4Re(zw)
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Forma Trigonométrica
Sea z = x + iy, z ̸= 0, se tiene que
x = ∥z∥cos(θ), y = ∥z∥sen(θ)
Reemplzando se tiene que
z = ∥z∥cis(θ)
donde cis(θ) = cos(θ) + isen(θ)
Ejemplo
Sea z = 1 −
√
3i. Expresarlo en su forma trigonométrica.
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Teorema de Moivre
Sea n ∈ N, se cumple que
(cos(θ) + isen(θ))n = cos(nθ) + isen(nθ)
En otras palabras
(cis(θ))n = cis(nθ)
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Propiedades del argumento
1)
Arg(z n ) = nArg(z) − 2kπ, n ∈ N, k ∈ Z
2)
Arg(z −1 ) = Arg(z) = −Arg(z) − 2kπ, k ∈ Z
3)
Arg(zw) = Arg(z) + Arg(w) − 2kπ, k ∈ Z
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Propiedades del argumento
4)
z
Arg( ) = Arg(z) − Arg(w) − 2kπ, k ∈ Z
w
5)
Arg(αz) = Arg(z), α ∈ R+
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Observación
Sea α ∈ R∗ = R − {0}
Arg(α) =

 0

si α > 0
π si α < 0
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Ejemplo
Sea z = 1 −
Hallar:
√
3i.
I) Arg(z 4 )
II) Arg(z)
III) Arg(z ∗ )
IV) Arg(iz)
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Teorema de Euler
Sea y ∈ R, se cumple
eiy = cos(y) + isen(y)
Consecuencias del teorema anterior, tenemos que
∥eiy ∥ = 1
Además
z = ∥z∥cis(θ) = ∥z∥eiθ
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Ejemplo
iπ
e2 =
eiπ =
i3π
e 2 =
e2πi =
ii =
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Observación
Sea z ∈ C, se tiene que:
∥ez ∥ = eRe(z)
Teorema
Sea z ∈ C
ez = 1 ←→ z = 2kπi, k ∈ Z
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Diferentes formas de expresar un
complejo
I) Sea z = a + bi, se puede expresar como
z = ∥z∥cis(θ) = ∥z∥eiθ
II) Sea z = a − bi, se puede expresar como
z = ∥z∥cis(−θ) = ∥z∥e−iθ
III) Sea z −1 , se puede expresar como
z −1 =
1
1 −iθ
cis(−θ) =
e
∥z∥
∥z∥
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Raı́z n-eseima de un complejo
Sea z ∈ C y n ∈ N, se tiene que
wn = z
El objetivo es hallar las raices w0 , w1 , · · · , wn−1 que satisfacen la
ecuación anterior.
Módulo:
p
∥z∥ = ∥wn ∥ = ∥w∥n → ∥w∥ = n ∥z∥
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Raı́z n-eseima de un complejo
Argumento:
Arg(z) = Arg(wn ) = nArg(w) − 2kπ
Arg(w) =
Arg(z) + 2kπ
n
donde 0 ≤ k ≤ n − 1.
Finalmente se tiene que
wk =
p
n
∥z∥cis
Arg(z) + 2kπ
n
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Observación
Sea z ∈ C y n ∈ N, se tiene que
wn = z
w0 + · · · + wn−1 = 0
n−1
Y
wi = (−1)n+1 z
i=0
Las raices w0 , · · · , wn−1 forman un polı́gono regular de n lados.
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Ejemplo
Hallar las raı́ces de cada ecuación
w4 = i
z 2 = −1
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La raı́z n-ésima de la unidad
Sea
z n = 1, n ∈ N
las raices son de la forma:
zk = cis
2kπ
n
donde 0 ≤ k ≤ n − 1.
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Ejemplo
Sea
z3 = 1
Las raı́ces son {1, w, w2 }, donde
√
3
1
i
w=− +
2
2
Consecuencias
o
o
o
w3 = 1, w3 +1 = w, w3 +2 = w2
1 + w + w2 = 0
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Rotación de un complejo
π
π
iz = ei 2 ∥z∥eiθ = ∥z∥ei( 2 +θ)
En general, si el complejo rota de forma antihoraria un angulo α
zeiα = ∥z∥ei(α+θ)
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Definición
Se define una polinomio complejo de la forma
p(z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0
donde ai ∈ C.
Ejemplo
Sea p(z) = (1 + i)z 3 − i
Sea q(z) = iz 2 − 3i + 2
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Observación
En los polinomios complejos se cumple el teorema de CardanoVieta, pero no se cumple la paridad de raı́ces. En efecto:
Sea
p(z) = z 2 − (3 + i)z + 3i
Notamos que las raı́ces son: z1 = i, z2 = 3.
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Regiones
Vamos a presentar algunas regiones
1) La recta:
A = {z ∈ C | aRe(z) + bIm(z) ≤ c}
2) Sector:
A = {z ∈ C | α ≤ Arg(z) ≤ θ}
3) Cı́rculo:
A = {z ∈ C | ∥z − z0 ∥ ≤ R}
4) Circunferencia:
A = {z ∈ C | ∥z − z0 ∥ = R}
donde el centro es z0 y el radio es R.
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Regiones
5) El anillo:
A = {z ∈ C | r ≤ ∥z − zo ∥ ≤ R}
6) Elipse:
A = {z ∈ C | ∥z − z1 ∥ + ∥z − z2 ∥ = k}
donde z1 y z2 son focos de la elipse y k > ∥z1 − z2 ∥.
6) Hiperbola:
A = {z ∈ C | |∥z − z1 ∥ − ∥z − z2 ∥| = k}
donde z1 yz2 son focos de la hiperbola y 0 < k < ∥z1 − z2 ∥.
7) Mediatriz del segmento formato por z1 y z2 :
A = {z ∈ C | ∥z − z1 ∥ = ∥z − z2 ∥}
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Ejemplo
A = {z ∈ C | ∥z − 3 + i∥ = 4}
A = {z ∈ C | ∥z + i∥ + ∥z − i∥ = 4}
A = {iz + 1 ∈ C | ∥z − i + 1∥ ≤ 1}
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Ejercicio
Indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
a) ∀z ∈ C : |z + 2i| ≤ |2z − i| + |z − 3i|
b) |z + 1| < |z|, entonces Re(z) < − 12
c) Si z se localiza en el primer cuadrante, entonces −z se localiza
en el segundo cuadrante.
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Ejercicio (2007-II)
√
Considere el número complejo z = 2 3 + 2i. Para rotar este
complejo en sentido antihorario de 270 se debe multiplicar por:
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Ejercicio
Sean z1 , z2 ∈ C, z13 + z22 ̸= 0.
3 2 z −i
z +i
Im z 31+z 2 + Im z 32+z 2
1
2
3 12 2
w=
z1 +i
z −i
Re z 3 +z 2 + Re z 32+z 2
1
2
Hallar el valor de:
M=
1
n
X
2
wk
k=1
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Ejercicio
Dados los complejos z = x + iy, la región R1 es determinada por
|z − 3| ≤ 1 y R2 por 4 ≤ |z| ≤ 9. Entonces R1 ∪ R2 se tiene:
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Ejercicio
Indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
I) Si 1, −i y 2i son algunas de las raı́ces de un polinomio complejo
p, entonces p tiene al menos grado cinco.
II) El polinomio p(z) = z 6 + 1 posee al menos una raı́z real.
III) Si P, Q son polinomios complejos de grado tres que poseen,
cada uno, raı́ces complejas, de las cuales dos raı́ces son
comunes, entonces P + Q posee tres raı́ces complejas.
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Ejercicio
Resolver:
|z + 2i|2 + |z − 2i|2 = 4|z|2 + 8
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Ejercicio
Sea ∥z∥ = 2 y w = z + z1 . Hallar
(Re(w))2
25
16
+
(Im(w))2
9
16
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