formulario 4: Elasticidad Lineal

Comportamiento Mecánico de los Materiales
Antonio Miguel Posadas Chinchilla
Ingeniería de Materiales
Departamento de Física Aplicada
Facultad de Ciencias – Universidad de Almería
formulario 4: Elasticidad
L
ineal
1
Comportamiento Mecánico de los Materiales
Antonio Miguel Posadas Chinchilla
Ingeniería de Materiales
Departamento de Física Aplicada
Facultad de Ciencias – Universidad de Almería
LEY DE HOOKE GENERALIZADA
1. Materiales anisótropos
1.1. Ecuación de Duhamel-Neumann
σ ij = σ ij0 + Cijkl (ε kl − ε kl0 ) − γ ij ( Θ − Θ0 )
donde σij es el tensor de tensiones, Cijkl es el tensor de comportamiento, ε es el
tensor de deformaciones, γ es el tensor de dilatación térmica y Θ la temperatura.
El superíndice “0” indica estado inicial.
1.2. Simetrías mayores y menores
Simetrías mayores
Cijkl = C jikl
Simetrías menores
Cijkl = Cklij
Cijkl = C ijlk
1.3. Ley de Hooke Generalizada
 σ x   c11
  
 σ y   c12
σ   c
 z  =  13
τ xy   c14
τ  
 xz   c15
τ yz   c
   16
c12
c13
c14
c15
c22
c23
c24
c25
c26
c23
c33
c34
c35
c36
c 24
c34
c 44
c45
c 46
c 25
c35
c 45
c55
c56
2. Materiales ortótropos
2.1. Ortotropía
'
Cijkl = Cijkl
2
c16  ε x 
 
c 26  ε y 
c36  ε z 

c 46  ε xy 
 
c56  ε xz 
c 66  ε yz 
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Antonio Miguel Posadas Chinchilla
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Departamento de Física Aplicada
Facultad de Ciencias – Universidad de Almería
2.2. Ley de Hooke Generalizada
 σ x   c11
  
 σ y   c12
σ   c
 z  =  13
τ xy   0
τ  
 xz   0
τ yz   0
  
c12
c13
0
0
c22
c23
0
0
0
c23
c33
0
0
0
0
0
c 44
0
0
0
0
0
c 55
0
0  ε x 
 
0  ε y 
0  ε z 

0  ε xy 
 
0  ε xz 
c 66  ε yz 
3. Materiales isótropos
3.1. Ley de Hooke Generalizada
 σ x   c1
  
 σ y   c2
σ   c
 z= 2
τ xy   0
τ  
 xz   0
τ yz   0
  
c2
c1
c2
0
0
0
c2
c2
c1
0
0
0
0
0
0
c1 − c2
0
0
0
0
0
0
c1 − c 2
0
0  ε x 
 
0  ε y 
0  ε z 

0  ε xy 
 
0  ε xz 
c1 − c 2  ε yz 
3.2. Constantes de Lamé(λ y µ) y constantes elásticas (módulo de Young, E; coeficiente
de Poisson, ν y módulo de rigidez transversal G)
c1 = 2 µ + λ 
 ⇒ c1 − c 2 = 2µ
c2 = λ 
E≡
σ (ii)
ε (ii)
ν ≡−
ε ( jj)
ε (ii)
G≡
1 σ ij
i≠ j
2 ε ij
3.3. Ley de Hooke Generalizada y su inversión
Ley de Hooke Generalizada
Constantes
de Lamé
Constantes
elásticas
σ ij = 2µε ij + λδ ijε kk
σ ij =
E 
ν

δ ijε kk 
 ε ij +
1 +ν 
1 − 2ν

3
Inversión de la
Ley de Hooke Generalizada
1 
λ

ε ij =
 σ ij −
δ ijσ kk 
2µ 
2µ + 3λ

ε ij =

1
 (1 +ν )σ ij νδijσ kk 
E

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3.4. Tensor de comportamiento y tensor de flexibilidades
Tensor de comportamiento
Constantes
de Lamé
Constantes
elásticas
Cijkl = λδ ijδ kl + 2 µδ ikδ jl
Cijkl =
E 
ν

δ ijδ kl 
 δ ik δ jl +
1 +ν 
1 − 2ν

Bijkl
Tensor de flexibilidades
1 
λ

=
 δ ik δ jl −
δ ijδ kl 
2µ 
2µ + 3λ

Bijkl =

1
 (1 + ν )δ ik δ jl νδijδ kl 
E

3.5. Ley de Hooke Generalizada en componentes esférica y desviadora
σ no =
E
ε no = 3Kε no
1 − 2ν
donde K ≡
E
(módulo deformación volumétrica)
3(1 − 2ν )
σ des = 2Gε des
3.6. Relaciones entre de constantes de comportamiento elástico
Constante/
Pareja
λ
µ
K
E
ν
λ, µ
λ
µ
E, ν
K, µ
µ, ν
E, µ
Eν
(1 +ν )(1 − 2ν )
E
2(1 + ν )
3K − 2µ
3
2 µν
1 − 2ν
µ( E − 2µ)
3µ − E
µ
µ
µ
3λ + 2µ
3
E
3(1 − 2ν )
K
2µ (1 +ν )
3(1 − 2ν )
µE
3(3µ − E )
µ (3λ + 2µ )
λ +µ
E
9 Kµ
3K + µ
2 µ (1 +ν )
E
ν
3K − 2 µ
6K + 2µ
λ
2(λ + µ )
4
ν
E
−1
2µ
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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ELÁSTICO LINEAL
Ecuación de equilibrio o de Cauchy:
∂σ ij
∂xi
+ f j = ρ aj
Ecuaciones cinemáticas o geométricas:
1  ∂u ∂u j
ε ij =  i +
2  ∂x j ∂xi



Ecuaciones de comportamiento o de Duhamel-Neumann:
σ ij = σ ij0 + Cijkl (ε kl − ε kl0 )− γ ij (Θ − Θ 0 )
 1  ∂u
∂  0
∂u
 σ ij + Cijkl   k + l
∂x j 
 2  ∂xl ∂xk

 0
0
 − ε kl  − γ ij ( Θ − Θ )  + f j = ρ a j



ECUACIONES DE CONTORNO
Γu : u j = u j


 1  ∂u

∂u 
Γσ :  σ ij0 + Cijkl   k + l  − ε kl0  − γ ij (Θ − Θ0 )  n j = Ti


 2  ∂xl ∂xk 



5
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RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA ELÁSTICO LINEAL
1. Resolución en desplazamientos: ecuación de Navier
r
r
r
r
f + (λ + µ ) ∇( ∇u ) + µ ∆u = ρ a
2. Resolución en tensiones: ecuaciones de Beltrami-Michell
∆σ x +
r
1 ∂2 I 1(σ )
ν
∂f
=
−
∇
f −2 x
2
1 + ν ∂x
1− ν
∂x
r
∂f y
1 ∂ 2 I1 (σ )
ν
∆σ y +
=
−
∇
f
−
2
1 + ν ∂y 2
1− ν
∂y
∆σ z +
r
1 ∂ 2 I1 (σ )
ν
∂f
=
−
∇
f
−2 z
2
1 + ν ∂z
1− ν
∂z
∆τ xy +
1 ∂ 2 I1 (σ )
 ∂f ∂f 
= − x + y 
1 +ν ∂x∂y
 ∂x ∂y 
1 ∂ 2 I1 (σ )
 ∂f ∂f 
∆τ xz +
= − x + z 
1 +ν ∂x∂z
 ∂x ∂z 
∆τ yz +
1 ∂ 2 I1 (σ )
 ∂f
∂f 
= − y + z 
1 +ν ∂y∂z
 ∂y ∂z 
6
Comportamiento Mecánico de los Materiales
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SOLUCIÓN DEL PROBLEM A ELÁSTICO LINEAL EN DESPLAZAMIENTOS
r
1. Vector Galerkin ( P ) y ecuación de Navier
r
1 r
∆2 P = −
f
1 −ν
r
r
1
u=
[2(1 − ν )∆ − ∇∇ ]P
2µ
2. Potencial de deformación de Lamé (ψ ) y ecuación de Navier
r
1
u=
∇ψ
2µ
∇ 2ψ = cons tan te
3. Relación entre el vector Galerkin y el potencial de Lamé
r
ψ = −∇P
TERMOELASTICIDAD
1. Inversión y analogía de Duhamel-Neumann
ε ij =
ν +1
ν
γ (1 − 2ν )
σ ij − δ ijσ kk +
δ ij ∆Θ
E
E
E
2. Coeficiente de dilatación térmica
α≡
γ (1 − 2ν )
E
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Comportamiento Mecánico de los Materiales: Elasticidad
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ELASTICIDAD LINEAL 2D: ESTADO DE TENSIÓN PLANA
Ley de Hooke Generalizada
Constantes
de Lamé
Constantes
elásticas
 4µ ( µ + λ )

 σ x   2µ + λ
   2µλ
σ y  = 
τ   2µ + λ
 xy  
0


 E

σ x   1− ν 2
 
Eν
 σ y  = 
2
τ  1 − ν
 xy   0


2 µλ
2µ + λ
4 µ(µ + λ )
2µ + λ
0
Eν
1−ν 2
E
1−ν 2
0
0 
 ε x 
 
0  ε y 
 
2 µ  ε xy 



0 
 ε x 
0  ε y 
 
E  ε xy 

1 +ν 
λ

− 2 µ + λ (ε x + ε y )

εz = 

ν
(ε x + ε y )
 −
 1 −ν
Inversión de la
Ley de Hooke Generalizada

µ +λ
λ


−
0 
2µ ( 2µ + 3λ )
 σ x 
 ε x   µ ( 2 µ + 3λ )
  
λ
µ+λ
 
0  σ y 
 εy  = −
µ ( 2µ + 3λ )
 ε   2 µ ( 2µ + 3λ )
 
 xy  
1 τ xy 
0
0

2µ 

ν
 1

−
0 

εx   E
E
 σ x 
 
ν
1
0  σ y 
 ε y  = −

 
E
E
ε 

τ xy 
1
+
ν
xy
 
0
 0

E 

Beltrami- Michell
r
∆ 1 (σ x + σ y ) = −(1 + ν )∇ 1 f
8
Antonio Miguel Posadas Chinchilla
Comportamiento Mecánico de los Materiales: Elasticidad
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ELASTICIDAD LINEAL 2D: ESTADO DE DEFORMACIÓN PLANA
Ley de Hooke Generalizada
Constantes
de Lamé
Constantes
elásticas
σ x   2µ + λ
  
σ y  =  λ
τ   0
 xy  
 E (1 − ν )

 σ x   (1 +ν )(1 − 2ν )
  
Eν
σ y  = 
τ   (1 +ν )(1 − 2ν )
 xy  
0


λ
2µ + λ
0
0  ε x 
 
0  ε y 
2 µ  ε xy 
Eν
(1 + ν )(1 − 2ν )
E (1 −ν )
(1 + ν )(1 − 2ν )
0

0 
 ε x 
 
0  ε y 
 
E  ε xy 
1 + ν 
λ

 2( µ + λ ) (σ x + σ y )
σz =

 ν (σ x + σ y )
Inversión de la
Ley de Hooke Generalizada
 2µ + λ

λ

−
0 
4 µ(µ + λ )
 σ x 
 ε x   4 µ(µ + λ )
  
λ
2µ + λ
 
0  σ y 
 ε y  = −
ε   4 µ(µ + λ ) 4 µ(µ + λ )
 
 xy  
1 τ xy 
0
0

2 µ 

 1−ν 2

ν (1 + ν )

−
0 
E
E
εx  
 σ x 
   ν (1 + ν )
1 −ν 2
 
0  σ y 
 ε y  = −
E
E
ε  
 
1 +ν τ xy 
 xy  
0
0


E 

Beltrami- Michell
∆ 1 (σ x + σ y ) = −
9
r
1
∇1 f
1 −ν