Derivadas y Aplicaciones: Apuntes de Matemáticas I

Escuela Universitaria de Ingeniería y Arquitectura EINA
MATEMÁTICAS I
Grado en Ingeniería Mecánica
Grupo 511
3.
Ricardo Celorrio {
[email protected]}.
Curso 2019-20
1
Derivada y Aplicaciones
El concepto de derivada permite ampliar la idea de pendiente de una recta también a curvas
denidas por funciones (véase ejercicio 17 de sección 3.11), lo que supone el inicio de un gran
número de aplicaciones.
3.1.
Funciones derivables
La derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función, según
cambie el valor de su variable independiente.
Denición 3.1
Dado un punto
(x0 − δ, x0 + δ) ⊂ R,
df
dx
≡
x=x0
con
δ > 0,
x0 ∈ R
y una función
se denomina derivada de
f (x) denida
f en x0 a
al menos en un intervalo
df
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
(x0 ) ≡ f 0 (x0 ) := lı́m
= [h = x − x0 ] = lı́m
,
x→x0
h→0
dx
x − x0
h
siempre que este límite exista y sea un número real.
La mayoría de estos límites conducen
a indeterminaciones del tipo , que hay que resolver en cada caso particular.
En muchas ocasiones también se denota a h como ∆x.
0
Las denominadas
0
0 −
0 +
derivadas laterales f (x0 ) y f (x0 ) se obtienen haciendo los límites laterales de la fórmula anterior,
si son distintos, la función no tienen derivada en ese punto (sólo tendría derivadas laterales).
Ejercicio 3.1
Emplea también la aproximación mediante cociente de diferencias
compara los resultados.
Ejercicio 3.2
f (x) = x2 −1 en x0 = 2.
nitas tomando ∆x = 0.01 y
2
Aplica la denición de derivada para calcular la derivada de
sin x en x0 = 0. Emplea
tomando ∆x = 0.01 y compara
2
Aplica la denición de derivada para calcular la derivada de
también la aproximación mediante cociente de diferencias nitas
los resultados.
Denición 3.2
Se dice que una función es derivable en un intervalo si la función tiene derivada
en todos los puntos del intervalo.
Ejemplo 3.1
Aplica la denición de derivada para calcular la derivada de
f (x) = sin x
en todo
x ∈ R.
2 cos
(x+∆x)+x
2
sin
(x+∆x)−x
2
sin(x + ∆x) − sin(x) 2
df
(x) ≡ f 0 (x) := lı́m
=
lı́m
∆x→0
∆x→0
dx
∆x
∆x
2 cos x + ∆x
sin ∆x
sin ∆x
2
2
2
= lı́m
= 2 cos(x) lı́m
= 2 cos(x)/2 = cos(x).
∆x→0
∆x→0
∆x
∆x
1 Resumen
y ejercicios, versión 19 de noviembre de 2018
2 sin α + sin β
α−β
= 2 sin( α+β
2 ) cos( 2 ).
1
=
2
3.2.
Interpretación geométrica de la derivada
La derivada generaliza la interpretación de la pendiente de una recta. Recordemos este concepto:
m que corta al eje de ordenadas en k ∈ R:
es la razón entre el avance en el eje Y y el
Signicado y ecuación de una recta con pendiente
la ecuación es
y = mx + k ,
avance en el eje
X,
es decir
donde la pendiente
m=
y2 − y1
= tan α.
x2 − x1
Ecuación de una recta con pendiente
m
que pasa por el punto
(x0 , y0 ):
y = y0 + m(x − x0 ).
Ejemplo 3.2
¾Cuál es la ecuación de una recta con una pendiente del 6 % que pasa por el
origen de coordenadas?
El vector
(1, m)
Ejemplo 3.3
2
y = 0.06x.
es paralelo a una recta de pendiente
Los vectores
6
(1, 100
)
y
(100, 6)
m.
son paralelos a una recta con una pendiente
2
del 6 %.
La derivada es la pendiente de la recta secante a una curva cuando los puntos de corte
tienden a coincidir (véase gura 1). En efecto, la pendiente
los puntos
msec =
Cuando
(x0 , f (x0 ))
y
(x0 + h, f (x0 + h))
f (x0 + h) − f (x0 )
,
h
y la ecuación de la recta es
h → 0 los puntos tienden
f en el punto (x0 , f (x0 )),
tangente a
msec
de una recta que pasa por
es
rsec : y = f (x0 ) + msec (x − x0 ).
a coincidir, la recta secante se convierte en la recta
y su pendiente viene dada por:
f (x0 + h) − f (x0 )
= f 0 (x0 ).
h→0
h
mtan = lı́m msec = lı́m
h→0
Por tanto, la recta tangente en el punto (x0 , f (x0 )) de una función f (x) derivable en x0 tiene
0
como pendiente mtan = f (x0 ), de donde se sigue que la ecuación de dicha recta tangente es
rtan : y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ).
2
Figura 1: Interpretación geométrica de la derivada.
Figura 2: Rectas tangente y normal a
Ejemplo 3.4
f (x) = x2 + 1
en (2,3).
f (x) = x2 − 1 y su recta tangente
asociada a x0 = 2 es decir en el punto (2, f (2)) = (2, 3). Solución: y = 3 + 4(x − 2), véase gura 2.
2
Calcula y representa conjuntamente la función
Propiedad 3.3 (Ejercicio)
lares, entonces
Demostrar que si dos rectas de pendientes
sin(β+ π )
tan(β + π2 ) = cos(β+ 2π ) = . . .
2
m
y
m0
m · m = −1. Pista:
0
Denición 3.4
son perpendicu-
2
La recta normal a una curva en un punto es la recta perpendicular a la recta
tangente a la curva en dicho punto.
Como dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es
se tiene que la ecuación de la recta normal a
f (x)
rnor : y = f (x0 ) −
Ejemplo 3.5
en
(x0 , f (x0 ))
1
f 0 (x
0)
−1 (véase propiedad 3.3),
viene dada por
(x − x0 ).
f (x) = x2 − 1 y su recta normal
1
asociada a x0 = 2 es decir en el punto (2, f (2)) = (2, 3). Solución: y = 3 − (x − 2), véase gura 2.
4
2
Calcula y representa conjuntamente la función
3
Ejercicio 3.3
Sol.: (1, f 0 (2)).
Calcula un vector paralelo a la recta tangente a la función
Propiedad 3.5
Toda función
f (x)
derivable en un punto
x0 ∈ R
f (x) = x2 − 1 en x0 = 2.
2
también es continua en dicho
punto.
Demostración.
Tenemos que demostrar que
lı́m f (x) = lı́m
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
= lı́m
x→x0
Por tanto se tiene que
Observación 3.6
x→x0
f (x)
satisface la denición e continuidad en
x0 :
f (x) − f (x0 )
(x − x0 ) + f (x0 ) =
x − x0
lı́m (x − x0 ) + lı́m f (x0 ) = f 0 (x0 ) · 0 + f (x0 ) = f (x0 ).
x→x0
x→x0
2
lı́mx→x0 f (x) = f (x0 ).
La propiedad 3.5 la hemos demostrado rigurosamente, pero también hay una
interpretación geométrica que hace evidente la propiedad: teniendo en cuenta que las funciones
derivables admiten rectas tangentes, es lógico que no puedan tener discontinuidades ya que en
las zonas de discontinuidad no se pueden trazar tangentes. A la vista de su gráca, las funciones
continuas son aquellas cuyas representaciones se pueden realizar de un solo trazo; mientras que
las grácas de las funciones derivables, además de poderse realizar de un único trazo, no tienen
picos ni tangentes verticales. Recordad que las funciones continuas cuyas grácas tienen algún
pico (como
|x|
en
x0 = 0)
Observación 3.7
2
no son derivables en los picos.
A la vista de su gráca, las funciones continuas son aquellas cuyas represen-
taciones se pueden realizar de un solo trazo; mientras que las grácas de las funciones derivables,
además de poderse realizar de un único trazo, no tienen picos ni tangentes verticales. Recordad
que las funciones continuas cuyas grácas tienen algún pico (como
en los picos.
3.3.
Ángulo de corte entre curvas
|x| en x0 = 0) no son derivables
2
(opcional)
La derivada (o pendiente de una curva en un punto) permite generalizar el concepto de ángulo de
corte entre rectas a ángulo de corte entre curvas.
Propiedad 3.8
ángulo,
β,
Dadas dos rectas, de pendientes
m1
y
m2 ,
que se cortan en un punto. El menor
de los dos que se forman en dicho punto de corte, viene dado por la fórmula
β = arctan
m2 − m1
1 + m1 m2
4
Demostración. Basta con aplicar fórmula trigonométrica de la tangente de una diferencia al cálculo
de
tan β :
tan β = tan(α2 − α1 ) =
Denición 3.9
tan α2 − tan α2
.
1 + tan α1 tan α2
2
β con que se cortan dos curvas asociadas a las grácas de las funciones
f (x) y g(x), con f (x0 ) = g(x0 ), viene dado por el ángulo que forman sus rectas tangentes en el
punto de corte (x0 , f (x0 )) = (x0 , g(x0 )). Por tanto
0
f (x0 ) − g 0 (x0 )
β = arctan
(1)
1 + f 0 (x0 )g 0 (x0 )
Ejercicio 3.4
El ángulo
Calcula el ángulo de corte entre
x2
y
√
x
en
(1, 1)
según la fórmula (1).
Fórmula alternativa para el ángulo de corte de dos rectas.
vector
(1, m)
es paralelo a una recta de pendiente
m,
2
Teniendo en cuenta que el
según se ve en la gura 3, y considerando la
fórmula del producto escalar de dos vectores; el ángulo de corte de dos curvas también se puede
Figura 3: Vectores paralelos a rectas de distinta pendiente.
obtener mediante la fórmula
β = arccos
Ejercicio 3.5
(1, f 0 (x0 )) · (1, g 0 (x0 ))
|(1, f 0 (x0 ))| |(1, g 0 (x0 ))|
Calcula los dos ángulos de corte entre
x2
y
√
x
(2)
según la fórmula (2) para el punto
(1,1), y piensa un poco para calcular el ángulo de corte en (0,0).
5
2
Figura 4: Posiciones de un móvil en dos instantes diferentes en un recorrido rectilíneo.
3.4.
Interpretación física de la derivada
Denotemos por
t
(opcional)
t a la variable temporal y por x(t) a la posición ocupada por un móvil en el instante
con respecto al punto de partida según se representa en la gura 4.
La velocidad media que lleva el móvil en el intervalo de tiempo
V[t,t+∆t] =
La velocidad instantánea
[t, t + ∆t]
es
x(t + ∆t) − x(t)
.
∆t
v(t) se aproxima reduciendo el intervalo temporal en que se calcula
la velocidad media y su valor exacto se dene como la tendencia de la velocidad media ante
esta reducción de la ventana temporal cuando
∆t → 0;
es decir,
x(t + ∆t) − x(t)
=: x0 (t).
∆→0
∆t
v(t) := lı́m V[t,t+∆t] = lı́m
∆→0
Por tanto la velocidad es la razón de cambio instantánea entre posición y tiempo.
En general, la derivada está relacionada con la razón de cambio instantánea entre dos magnitudes
(no necesariamente posición y tiempo):
la razón de cambio instantánea entre velocidad y tiempo es
v 0 (t),
que coincide con la acele-
ración instantánea;
la razón de cambio instantánea entre el número de productos fabricados y el tiempo nos da
la velocidad instantánea de producción.
Ejercicio 3.6
La posición
Ejercicio 3.7
Una ciudad está afectada por una epidemia de gripe asiática. Se ha estimado
x en kilómetros de un móvil sobre la horizontal (como gura 4) viene
dada en función del tiempo t en segundos por x(t) = sin t. ¾En qué dirección y a qué velocidad
avanza el móvil en t = 6 s? ¾a qué acelearación avanza en ese mismo instante?
2
t días tras el comienzo de la epidemia, el registro de contagios está cuanticado por
C(t) = 120t2 − t3 , supuesto que 0 ≤ t ≤ 40, ¾con qué velocidad (contagios/día) se extiende la
epidemia en t = 10 y t = 20?
2
que, tras
Ejercicio 3.8
2
1000t
Un negocio prospera de tal modo que sus ganancias (acumuladas) tras
t
años son
miles de euros.
1. ¾Cuales fueron las ganancias durante el tercer año?
2. ¾Cual fue la razón media de ganancias durante la primera mitad del tercer año?
3. ¾Cual fue la razón instantánea de ganancias en
t = 2?
2
6
3.5.
Técnicas de derivación
Las reglas de derivación se demuestran haciendo el límite de la denición de derivada, pero para
ahorrar trabajo es común aprenderse varias reglas de memoria.
3.5.1. Reglas básicas de derivación
Derivada de una constante:
dk
= 0.
dx
Producto por una constante:
Suma:
(k f (x))0 = k f 0 (x).
(f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x).
Producto:
(f g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x).
Producto generalizado:
Cociente:
(f g h)0 (x) = f 0 (x)g(x)h(x) + f (x)g 0 (x)h(x) + f (x)g(x)h0 (x).
0
f
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
.
(x) =
g
g 2 (x)
d xn
= n xn−1 .
dx
√
d x
1
cuadrada:
= √ .
dx
2 x
Potencia:
Raíz
Valor absoluto:
x
d |x|
=
.
dx
|x|
Regla de la cadena:
f (x) = (u ◦ v)(x) = u(v(x)) =⇒ f 0 (x) = u0 (v(x))v 0 (x) =
Derivada del logaritmo neperiano o natural:
Derivada de exponenciales:
Derivada del seno:
f (x) = log(x) =⇒ f 0 (x) =
dv
du
(v(x)) (x).
dv
dx
1
.
x
f (x) = ex =⇒ f 0 (x) = ex , g(x) = ax =⇒ g 0 (x) = ax log a.
f (x) = sin(x) =⇒ f 0 (x) = cos(x).
Derivada del coseno:
f (x) = cos(x) =⇒ f 0 (x) = − sin(x).
Derivada de la tangente:
f (x) = tan(x) =⇒ f 0 (x) = 1 + tan2 (x) =
Derivada de la cotangente:
Derivada del arcoseno:
f (x) = cot(x) =⇒ f 0 (x) = −1 + cot2 (x) =
f (x) = arcsin(x) =⇒ f 0 (x) = √
Derivada del arcocoseno:
1
.
1 − x2
−1
f (x) = arccos(x) =⇒ f 0 (x) = √
.
1 − x2
Derivada del arcotangente:
1
.
cos2 (x)
f (x) = arctan(x) =⇒ f 0 (x) =
7
1
.
1 + x2
−1
.
sin2 (x)
Regla de la cadena generalizada:
f (x) = u(v(w(x))) =⇒ f 0 (x) = u0 (v(w(x))) v 0 (w(x)) w0 (x) =
Derivada función inversa
(opcional):
y = y(x) ⇔ x = x(y),
Pendiente de una curva plana en paramétricas
dy
dy/dt
f 0 (t)
=
= 10 ,
dx
dx/dt
f2 (t)
dv
dw
du
(v(w(x)))
(w(x))
(x).
dv
dw
dx
entonces
1
dy
=
.
dx
dx/dy
(opcional):
donde
x(t) = f1 (t),
y(t) = f2 (t).
x
Z
f (t) dt =⇒ F 0 (x) = f (x),
F (x) =
derivada de la función área bajo
f
entre
a
y
x.
a
Ejercicio 3.9
teniendo en cuenta
Ejercicio 3.10
en cuenta que
a > 0,calcula la
x
x log(a)
que a = e
.
Dada
Calcula la derivada de
log x
.
log 10
derivada de
f (x) = ax ,
mediante la regla de la cadena,
2
f (x) = log10 (x),
mediante la regla de la cadena, teniendo
2
log10 (x) =
Ejercicio 3.11
Las funciones trigonométricas en grados son un reescalado de las funciones trigo-
x se mide en grados, se tiene que
π π ◦
◦
x , cos (x) := cos
x ,
sin (x) := sin
180
180
nométricas en radianes: si
π tan (x) := tan
x .
180
◦
Calcula las derivadas de las funciones trigonométricas en grados aplicando la regla de la cadena.
Solución:
d sin◦
π
(x) =
cos◦ (x),
dx
180
d cos◦
π
(x) = −
sin◦ (x),
dx
180
d tan◦
π
(x) =
(1 + (tan◦ (x))2 ).
dx
180
2
Ejemplo 3.6
Empleo de la regla de la cadena generalizada para la derivación de
f (x) = sin(cos(log x)).
En primer lugar demos nombre a cada una de las funciones que aparecen compuestas para formar
f (x):
u(v) = sin v,
Por tanto
f (x) = u(v(w(x)))
y
v(w) = cos w,
f 0 (x) =
w(x) = log x.
du
. Apliquemos ahora la regla de la cadena:
dx
du
du dv dw
1
=
= cos v · (− sin w) · ,
dx
dv dw dx
x
esta expresión compacta de la derivada es práctica y modular. Para poner esta expresión en función
de
x
basta sustituir las funciones
f 0 (x) =
u
y
v
por sus expresiones en función de
x:
du
1
1
1
= − cos v · sin w · = − cos(cos w) sin(log x) = − cos(cos(log x)) sin(log x) .
dx
x
x
x
La expresión explícita en función de
x
es más larga y menos modular que la anterior. Hay que
saber manejar ambas expresiones: la modular y la explícita.
8
2
Ejercicio 3.12
Ejemplo 3.7
tenemos que
Dada
(opcional.)
y
x=e
f (x) = sin3 (x3 ),
calcula
f 0 (1). Sol: f 0 (1) ≈
2
3.44.
Comprobemos la regla de la derivada de la función inversa. Dada
y = log x,
,
dy
1
= ,
dx
x
1
dx
1
1
1
= ey =⇒ dx = y = [y = log x] = log x = .
dy
e
e
x
dy
2
Ejercicio 3.13
(opcional.)
Comprueba la regla de la derivada de la función inversa para las siguientes
funciones:
1.
y = sin x,
con
x ∈ [−π/2, π/2],
2.
y = cos x,
con
x ∈ [0, π],
3.
y = tan x,
con
x ∈ [−π/2, π/2],
y
y
x = arcsin y .
x = arccos y .
y
x = arctan y .
2
Ejercicio 3.14
Comprueba mediante la regla de la cadena que
d log(ex )
d sin(arcsin x)
d cos(arccos x)
d tan(arctan x)
d elog x
(0.1) =
(0.1) =
(0.2) =
(0.1) =
(0.1).
dx
dx
dx
dx
dx
¾Crees que es una coincidencia o le ves alguna razón más profunda?
Ejercicio 3.15
2
Comprueba mediante la regla de la cadena que
cos x
d arcsin(sin x)
=
dx
| cos x|
d arccos(cos x)
sin x
=
.
dx
| sin x|
y que
2
3.5.2. Cambio de variable
En física e ingeniería es habitual realizar cambios de variable en funciones para simplicar pro2
blemas, por ejemplo aplicar a f (x) = sin(x ) el cambio x = log t pasando a la función f (t) ≡
2
f (x(t)) = sin(log (t)). La regla de la cadena nos permite el cálculo rápido de f 0 (t) = df
:
dt
df
df dx
=
= (cos(x2 )2x)
dt
dx dt
df
(1) = 2 cos 1 y df
(1)
dx
dt
simplemente como f (t).
Nótese la diferencia entre
la función
f (x(t))
Ejercicio 3.16
1
2 log t
= [x = log t] = cos(log2 t)
.
t
t
Si al polinomio
dp
dp
¾cómo se calcula
? ¾y
(π)?
dt
dt
= 0.
En física e ingeniería es habitual denotar a
p(x) = x3 + x2 − x + 1
9
se le aplica el cambio de variable
x = sin t
2
3.5.3. Derivación implícita
La técnica de derivación implícita consiste en derivar en una ecuación empleando la regla de la
cadena y después despejar la derivada.
Ejemplo 3.8
Deducción de la regla de derivación de
y = arcsin(x) mediante derivación implícita.
y = arcsin(x) ⇒ sin(y) = sin(arcsin(x)) ⇒ sin(y) = x ⇒ [R.
y 0 (x) =
Cadena]
⇒ cos(y)y 0 (x) = 1 ⇒
1
1
⇒ [y = arcsin(x)] ⇒ y 0 (x) =
⇒ [cos2 α + sin2 α = 1] ⇒
cos y
cos(arcsin(x))
1
1
√
y 0 (x) = p
.
=
1 − x2
1 − sin2 (arcsin(x))
2
Ejercicio 3.17
arccos(x)
Emplea la técnica de derivación implícita para deducir las reglas de derivación de
2
arctan(x).
y de
3.5.4. Derivación logarítmica
La derivación logarítmica es un sencillo método matemático para simplicar el cálculo de derivadas
cuando hay exponenciales o productos y divisiones.
Ejemplo 3.9
Demostremos que si
f (x) = xx ,
entonces
f 0 (x) = xx + xx log x.
1
x
y = xx ⇒ log(y) = log(xx ) ⇒ log(y) = x log x ⇒ [R.Cadena] ⇒ y 0 (x) = log x + ⇒
y
x
y 0 (x) = (log x + 1)y(x) = xx + xx log x.
2
Ejercicio 3.18
Calcula la derivada de
x
f (x) = xx
2
.
3.5.5. Derivada de la función Área. Teorema Fundamental del cálculo
Consideremos una función continua, positiva
t ∈ [a, b].
y = f (t),
con un número nito de oscilaciones en
Centrémonos en el área bajo dicha curva en un intervalo
t ∈ [a, x] ⊂ [a, b],
como se
muestra en la gura 5 marcada en azul.
Llamemos
A(x),
Ejemplo 3.10
la derivada
con
x ∈ [a, b],
Dada
f (t) = 3,
a la función que nos da el valor del área bajo
calculemos el área
A(x)
bajo
f (t),
con
f (t)
t ∈ [a, x]
en
[a, x].
siendo
a = −2,
y
0
A (x).
A(x) = (base)(altura) = (x − (−2)) 3 = 6 + 3x
⇒
A0 (x) = 3 = f (x).
2
10
Figura 5: Representación del área bajo
f (t)
en los intervalo
(partes azul y roja) y
t ∈ [x, x + h]
(en rojo).
Ejemplo 3.11
f (t) = t + 1,
calculemos el área
y la derivada
Dada
A(x)
t ∈ [a, x]
bajo
f (t),
(en azul),
con
t ∈ [a, x]
t ∈ [a, x + h]
siendo
a = 0,
0
A (x).
A(x) = (área
rect.)
+ (área
tri.)
= (base
rect.)(altura rect.)
1
x2
A(x) = 1(x − 0) + (x − 0)((x + 1) − 1) = x +
2
2
1
+ (base
2
tri.)(altura tri.)
⇒
A0 (x) = 1 + x = f (x).
⇒
2
Teorema 3.10 (Teorema fundamental del cálculo) Siguiendo las notaciones anteriores y las
de la gura 5 se tiene el siguiente resultado para la derivada de la función área:
dA
(x) ≡ A0 (x) = f (x).
dx
Demostración.
(Opcional.)
Observando la gura 5 se sigue que la denición de derivada de la función
área tiene una clara interpretación geométrica:
A(x + h) − A(x)
área roja
= lı́m
.
h→0
h→0
h
h
A0 (x) = lı́m
Para calcular este límite aplicamos unas sencillas acotaciones (basadas en la gura 5) y el teorema
del sandwich:
f (x) · h ≤ área
roja
lı́m+ f (x) ≤ lı́m+
h→0
h→0
h<0
h
f (x) · h
≤ lı́m+
h→0
h
≤ lı́m+ f (x+h) ⇒ [f (t)
h→0
análogamente se demuestra que
área roja
h
h→0
área roja
h→0
Para
lı́m
≤ f (x + h) · h ⇒ lı́m+
área roja
h
continua]
f (x) ≥ lı́mh→0−
≤ lı́m+
h→0
⇒ f (x) ≤ lı́m+
h→0
área roja
h
≥ f (x).
f (x + h) · h
⇒
h
área roja
h
Por tanto
≤ f (x).
A0 (x) =
2
= f (x).
11
Denición 3.11
La función
A(x), es decir, el área bajo la curva f (t) en el intervalo [a, x] también
se denota por
Z
x
A(x) ≡
f (t) dt.
a
f (x) es Rla derivada de A(x) también se dice que A(x) es una primitiva o antiderivada de f (x).
x
expresión
f (t) dt también se denomina integral denida de f (t) entre a y x. Ampliaremos
a
Como
La
el conocimiento de estos asuntos en el tema dedicado a la integración.
Ejemplo 3.12
La derivada de
x
Z
2
5 + esin(t ) + arctan(t) dt
F (x) =
0
es
F 0 (x) = 5 + e
Ejercicio 3.19
sin(x2 )
2
+ arctan(x).
Calcula la derivada de
x
Z
t2 dt.
G(x) =
0
¾Cuánto vale
3.6.
2
0
G (1)?
Derivadas sucesivas
La derivada segunda de una función
f (x)
es la derivada de la derivada primera:
d2 f
d f0
f 0 (x + ∆x) − f 0 (x)
00
(x)
≡
f
(x)
:=
lı́m
≡
(x).
∆x→0
d x2
∆x
dx
En general la derivada
n-ésima
la derivada de la derivada
de una función
(n − 1)-ésima
f (x)
la denotamos por
f (n) (x)
o bien
dn f
(x)
d xn
y es
de la función, es decir,
dn f
d f (n−1)
(n)
(x)
≡
f
(x)
:=
(x).
d xn
dx
Ejercicio 3.20
Calcula la derivada tercera en
Ejercicio 3.21
Calcula las derivadas primera y segunda en
x0 = 0
f 000 (0) = −2.
Z
F (x) =
x
de
f (x) = esin(x ) + arctan(x). Solución:
2
2
x0 = 0
de
2
5 + esin(t ) + arctan(t) dt.
0
Solución: F (0) = 6
0
3.7.
y
2
00
F (0) = 1.
Aproximación lineal. La diferencial de una función
Se denomina aproximación lineal o
linealización de una función f (x) al hecho de aproximar el
valor de la función (que en situaciones prácticas puede tener una expresión muy complicada) por
el valor de un polinomio de grado 1 (función lineal) cuya gráca sea cercana a la de
para
x dentro de una zona adecuada, es decir, la aproximación no será buena para cualquier
x, pero sí lo debe ser en una determinada zona que dependerá de cada problema concreto.
valores de
valor de
f (x)
12
Por ejemplo, para
f (x) = 2 + 3x − 2x2 + 3x3 ,
cuando
x ≈ x0 = 0
tenemos
f (x) = 2 + 3x − 2x2 + 3x3
≈ 2 + 3x.
f (0.1) = 2.283 ≈ 2 + 3 · 0.1 = 2.3 que es una buena
aproximación del valor real, sin embargo para x = 1 tenemos que f (1) = 6 6≈ 2 + 3 · 1 = 5 que es
una mala aproximación del valor real porque = 1 6≈ x0 = 0.
Para aproximar la función f (x), mediante un polinomio de grado 1, para valores de x cercanos a
x0 , es decir x ≈ x0 , se emplea la recta tangente a f (x) en x0 (véase gura 6):
En concreto, para
x = 0.1
tenemos que
f (x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ),
o bien, empleando la notación
x = x0 + ∆x,
si
x ≈ x0 ,
reescribimos la aproximación como
f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 )∆x,
Figura 6: Aproximación del incremento de una función,
si
∆x ≈ 0.
∆y ≡ ∆f ,
∆x.
por su diferencial,
dy ≡ df ,
ante un cambio en la variable independiente de magnitud
y = f (x) ≡ f (x0 + ∆x) nos decantamos
f (x0 +∆x) y f (x0 ), es decir ∆y := f (x0 +∆x)−f (x0 ), pasaríamos
Si en lugar de estar interesados en aproximar el valor de
por aproximar la diferencia entre
a tener la aproximación
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ≈ f 0 (x0 )∆x,
si
o análogamente,
∆y ≈ f 0 (x0 )∆x,
13
si
∆x ≈ 0.
∆x ≈ 0,
Denición 3.12
x0
Se denomina
diferencial (ver gura 6) de una función y = f (x) en la abscisa
a
df ≡ dy := f 0 (x0 )∆x.
La diferencial se emplea en la aproximación del incremento de la función ante pequeñas variaciones
de la variable independiente cerca de
∆y ≈ dy,
Ejemplo 3.13
x0 :
o también
∆f ≈ df,
∆x ≈ 0.
cuando
La aproximación
f (x) := 2 + 3x − 2x2 + 3x3 ≈ 2 + 3x,
si
x ≈ x0 = 0,
x0 = 0. Si nos centramos en
f (x) con respecto a la referencia f (x0 ) = f (0) = 2, es decir centrarnos
es juntamente la aproximación del polinomio por su recta tangente en
aproximar la variación de la
en aproximar
∆f = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f (0 + ∆x) − f (0) = f (∆x) − 2 = 3∆x − 2(∆x)2 + 3(∆x)3 ,
por la diferencial, obtenemos
3∆x − 2(∆x)2 + 3(∆x)3 = ∆f ≈ df = 3∆x,
En concreto para
Ejemplo 3.14
∆x = 0.1
tenemos que
∆f = 0.283
y
si
∆x ≈ 0.
df = 3 · 0.1 = 0.3.
2
f (x) = 2+3x−2x2 +3x3 calcula su aproximación lineal para x ≈ 2 mediante
su recta tangente en x0 = 2. Calcula los valores de ∆f y df para x = 2.1 y x0 = 2. ¾Es correcto
decir que ∆f ≈ df en este caso? Observa que es más rápido el cálculo de df que el de ∆f .
Apliquemos el algoritmo de división sintética para calcular f (2):
Dada
2
Calculemos la fución derivada:
aproximación mediante la recta
3 −2 3
2
6 8
22 .
3
4 11 |f (2) = 24
f 0 (x) = 3 − 4x + 9x2 ,
tangente en x0 = 2 es
por tanto
2 + 3x − 2x2 + 3x3 ≈ 24 + 31(x − 2),
Calculemos
f 0 (2) = 3 − 8 + 36 = 31.
para
La
x ≈ 2.
∆f = f (2.1) − f (2),
3 −2
3
2
6.3 9.03
25.263 ,
2.1
3 4.3 12.03 |f (2.1) = 27.263
por tanto
∆f = 3.263.
Calculemos por último
Ejercicio 3.22
df = f 0 (2)∆x,
sustituyendo se tiene
df = 31(2.1 − 2) = 3.1.
2
Calcula, tanto de forma exacta como de forma aproximada, mediante el uso de
la diferencial, las variaciones de magnitud planteadas en los siguientes problemas:
1. Dada una lámina metálica cuadrada de dos metros de lado, calcula el aumento del área si
la lámina se dilata dos centímetros por cada lado.
14
A(x) = x2 ,
∆A =?,
2. Una esfera tiene radio
R = 5
dA =?
cm ¾Cuál es la pérdida de volumen si el radio disminuye 2
mm?
2
Ejemplo 3.15
√
4
17. Para ello denimos
√
4
f
(17)
=
17
es el valor que nos piden aproximar. Como
√
4
16 = 2, podemos plantear la aproximación de f (17), véase
conocemos el valor exacto de f (16) =
gura 7, mediante la recta tangente a f (x) en x0 = 16 con ∆x = 1:
la función
Aproximemos con ayuda del cálculo diferencial el valor de
f (x) =
√
4
x.
Observa que
f (17) ≈ f (16) + f 0 (16)(17 − 16) = 2 + f 0 (16).
Por otra parte, como
Figura 7: Recta tangente en
x0 = 16
de la función
√
4
x.
1 1
1 3
1 1
f 0 (x) = x 4 −1 = x− 4 = √ 3 ,
4
4
4 ( 4 x)
tenemos que
f 0 (16) =
1
1
1 1
1
=
=
.
√
3
3
4 4 16
4 (2)
32
Por tanto
f (17) ≈ 2 + f 0 (16) = 2 +
Con la calculadora obtenemos que
solo del
1
= 2.03125.
32
√
4
17 = 2.0305431848689 . . . ,
por lo que el error cometido es
2
0.035 %.
15
Ejercicio 3.23
1.
√
120,
2.
cos(58◦ ),
Aproxima los siguientes valores con ayuda del cálculo diferencial
sabiendo que
√
121 = 11.
cos(60◦ ) = cos(π/3) = 1/2.
sabiendo que
Recuerda que hay que trabajar en radia-
nes para que se satisfagan las reglas de derivación de las funciones trigonométricas.
3.
tan(50◦ ).
Notación ingenieril.
en un punto de abscisa
En algunos libros de física e ingeniería hablan de la diferencial de
x
(en lugar de
a cero) para la variación de
x,
x0 )
y emplean la notación
dx
y = f (x)
(que se asume que es cercano
quedando entonces la aproximación mediante la diferencial con las
notaciones siguientes
f (x + dx) − f (x) = ∆f ≡ ∆y ≈ dy := f 0 (x)dx =
3.8.
dy
dx.
dx
Método de Newton para ecuaciones no lineales
Dada una función derivable
f : R → R,
se dice que
r∈R
es una raíz de
f (x)
si es solución de la
ecuación:
6
f (x) = 0.
4
2
0.5
0.5
1.0
|
r
1.5
2.0
2.5
|
x0
2
El método de Newton, para la aproximación de una raíz
de una aproximación inicial
x0 ≈ r
y una mejora de las aproximaciones mediante la iteración
xn+1 = xn −
f (xn )
,
f 0 (xn )
El método de Newton es convergente cuando
Ejemplo 3.16
x0 = 3.
n = 0, 1, 2, 3, . . .
lı́m xn = r.
n→∞
Aplica una iteración del método de Newton para
f (x) = x2 − 10,
partiendo de
Realiza las operaciones a mano con 4 cifras signicativas.
x1 = x0 −
Ejercicio 3.24
x0 = 2.
r ∈ R de y = f (x), parte del conocimiento
f (x0 )
32 − 10
1
=
3
−
= 3 + = 3.166.
0
f (x0 )
2·3
6
Aplica una iteración del método de Newton para
f (x) = x3 − 9,
partiendo de
Realiza las operaciones a mano con 4 cifras signicativas.
Ejemplo 3.17
Aplicamos el método de Newton a
Realizamos los cálculos con 4 cifras signicativas.
16
f (x) = x3 − 3x − 1,
partiendo de
x0 = −2.
f (xn )
f 0 (xn )
f (xn )
f 0 (xn )
-2.000
-3.000
9.000
-3.333E-1
-1.667
-6.314E-1
5.337
-1.183E-1
2
-1.549
6.967E-2
4.198
-1.660E-2
3
-1.532
3.592E-4
4.041
8.889E-5
n
xn
0
1
4
.
.
.
-1.532
∞
idem
idem
idem
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
r1
0
f 0 (r1 )
0
Hemos aproximado la raíz r1 con cuatro cifras signicativas r1 ≈ x4 = −1.532. Error relativo
−3
|r1 −x4 |
≈ 10x4 ≈ 6.5 ∗ 10−4 . Error relativo porcentual estimado: 0.065 %.
estimado:
|r1 |
Ejercicio 3.25
f (x) = x3 − 3x − 1,
Aplica el método de Newton a
partiendo de
x0 = 2.
Realiza
los cálculos con 4 cifras signicativas. Completa las casillas que faltan
n
xn
f (xn )
f 0 (xn )
f (xn )
f 0 (xn )
0
2.000
1.000
9.000
0.1111
7.592
-3.853E-4
1
7.356E-2
2
1.879
3
.
.
.
9.547E-3
1.879
idem
idem
idem
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
r2
0
f 0 (r2 )
0
∞
Hemos aproximado la raíz r2 con cuatro cifras signicativas r2 ≈
−3
|r2 −x3 |
≈ 10x3 ≈
. Error relativo porcentual estimado: 0.05 %.
|r2 |
. Error relativo estimado:
3.8.1. Deducción geométrica: método de la tangente
x0 ≈ r se puede construir una aproximación mejor, x1 ≈ r, a
partir de la recta tangente a f (x) en x0 . De igual modo, a partir de x1 se puede construir otra
aproximación x2 ≈ r más cercana a r que x1 , a partir de la recta tangente a f (x) en x1 , y así
Partiendo de una aproximación
sucesivamente.
6
4
2
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
-2
¾Cómo se obtiene
x1 ?
Teniendo en cuenta que
tan α =
f (x0 )
x 0 − x1
y también
17
tan α = f 0 (x0 ),
igualando ambos términos se obtiene
f 0 (x0 ) =
despejando ahora
x1 ,
f (x0 )
;
x0 − x1
se llega al resultado:
x1 = x0 −
Ejercicio 3.26
Aplica el método de Newton a
f (x0 )
f 0 (x0 )
f (x) = x3 −3x−1, para calcular sus 3 raíces reales.
Realiza los cálculos con 4 cifras signicativas. Representa la función para tomar aproximaciones
iniciales adecuadas, atendiendo a la interpretación geométrica del método de la tangente.
6
4
2
2
1
r1
r3
1
r2 2
3
2
n
xn
0
0.000
f (xn )
f 0 (xn )
-1.000
-3.000
f (xn )
f 0 (xn )
1
-3.713E-2
2
-2.542E-4
3
9.615E-6
-2.638
-3.645E-6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
r3
0
f 0 (r3 )
0
4
.
.
.
∞
-3.473E-1
Hemos aproximado la raíz r3 con cuatro cifras signicativas r3 ≈
. Error relativo estimado:
|r3 −x4 |
10−4
≈ x4 ≈
. Error relativo porcentual estimado: 0.029 %.
|r3 |
Las otras dos raíces han sido calculadas en el ejemplo 3.17 y el ejercicio 3.25.
3.8.2. Deducción por linealización
El método de Newton para aproximar una raíz
función
f : R → R,
r ∈ R, a partir de un primer valor x0 ≈ r, para una
se puede interpretar como una sucesión de problemas lineales que aproximan
la solución de la ecuación
f (x) = 0,
En efecto, como
x0 ≈ r
para
x
cercanas a
r.
podemos considerar la aproximación
f (x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ),
18
para
x
cercanas a
r,
y en lugar de resolver
f (x) = 0 para obtener r directamente (cuestión muy complicada o imposible
en muchas ocasiones), resolver el problema lineal
f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) = 0;
que al despejar
x
se obtiene
x = x0 −
Llamemos
en
x1 ,
x1
f (x0 )
≈ r.
f 0 (x0 )
0)
r, es decir x1 = x0 − ff0(x
, y continuemos linealizando
(x0 )
a esta nueva aproximación de
y así sucesivamente.
3.8.3. Extensión a funciones complejas
(opcional)
Una ventaja de la interpretación del método de Newton como linealizaciones sucesivas, es que
r ∈ C de funciones
linealizar f (x) mediante el
permite extender el método de Newton a la búsqueda de raíces complejas
complejas
f : C → C,
por ejemplo polinomios. Para ello basta con
0
siguiente polinomio de grado 1, f (x) ≈ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ), y seguir el mismo procedimiento
que antes. Esto nos permite aproximar numéricamente raíces complejas de polinomios.
Ejemplo 3.18
f (x) = x2 + x + 2, partiendo
0
Notemos que f (x) = 2x + 1.
Aplicamos el método de Newton a
Realizamos los cálculos con 4 cifras signicativas.
de
n
xn
f (xn )
f 0 (xn )
0
i1.000
-0.600+i1.200
-0.490+i1.324
-0.500+i1.323
-0.500+i1.323
1.000+i1.000
1.000+i2.000
3.200E-1-i2.400E-1
-0.200+i2.400
0.288E-2-i2.648E-2
0.020+i2.648
3.290E-4
i2.646
f (xn )
f 0 (xn )
6.000E-1-i2.000E-1
-1.103E-1-i1.241E-1
9.991E-3+i1.162E-3
i1.243E-4
idem
idem
idem
1
2
3
4
x0 = i .
Hemos aproximado la raíz con cuatro cifras signicativas r ≈ x4 = −0.500 + i1.323. Error relativo
−3
|r−x4 |
≈ 10 |x∗|1+i|
≈ 9.999 ∗ 10−4 . Error relativo porcentual estimado: 0.1 %.
estimado:
|r|
4|
Ejercicio 3.27
Aproxima las raíces complejas y reales del polinomio
el método de Newton partiendo de x0
0
2
signicativas. Notemos que f (x) = 3x
= −1
+ 2.
y
x0 = 0.5 ± i.
f (x) = x3 + 2x + 2.
Realiza los cálculos con 4 cifras
30
20
10
-2
-1
1
2
3
-10
n
xn
f (xn )
f 0 (xn )
f (xn )
f 0 (xn )
5.000
-2.000E-1
idem
idem
0
-1.000
-1.000
1
-8.000E-1
-1.120E-1
-7.709E-1
idem
2
3
4
19
Aplica
n
xn
0
0.500+i1.000
f
1.650+i1.750
-0.250+i3.000
2.191 -i8.13E-1
2
6.355E-1+i5.106E-1
3
-8.33E-2-i1.085E-1
0.385+i1.564
f (xn )
f 0 (xn )
5.345E-1-i5.862E-1
1.825E-3-i2.222E-3
Teoremas de funciones derivables
Propiedad 3.13
de
f 0 (xn )
1
4
3.9.
f (xn )
Dada
f (x)
derivable en
0
en el intervalo [a, b], entonces f (c) =
[a, b].
0.
Si en
c ∈ (a, b)
se alcanza un extremo absoluto
Teorema 3.14 (Rolle) Si una función f (x) es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f (a) =
f (b); entonces, existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f 0 (c) = 0.
Ejercicio 3.28
intervalo
[−2, 2].
Compruebe si se satisface el teorema de Rolle para la función f (x) = |x| en el
0
¾Existe solución de f (x) = 0 en dicho intervalo? En caso armativo calcúlelas.
2
Ejercicio 3.29
cos x
Compruebe si se satisface el teorema de Rolle para la función f (x) = sin x +
0
en el intervalo [0, 2π]. ¾Existe solución de f (x) = 0 en dicho intervalo? En caso armativo
2
calcúlelas.
Ejercicio 3.30
Dada
f (x) = sin |x|.
1. Compruebe si se satisface el teorema de Rolle en el intervalo
f 0 (x) = 0 en dicho intervalo? En caso armativo calcúlelas.
2. Idéntico ejercicio pero en el intervalo
Ejercicio 3.31
[− π2 , π2 ].
[−π, π].
¾Existe solución de
2
α, β y 1 < b para que la función

 αx2 + βx + 3, x < 1,
f (x) =

3x − 1
1 ≤ x,
Halla los parámetros
satisfaga las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [−2, b]. Para los valores de los parámetros
0
calculados, resuelve la ecuación f (x) = 0 con x ∈ [−2, b].
2
20
Teorema 3.15 (Teorema del valor medio de Lagrange) Si una función f (x) es continua en
[a, b] y derivable en (a, b); entonces, existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que
f 0 (c) =
Ejercicio 3.32
f (b) − f (a)
b−a
o bien
f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a).
Encuentra un punto de la parábola
a la cuerda que une los puntos
(0, 0)
y
f (x) = x2 /3,
donde la tangente sea paralela
2
(3, 3).
Corolario 3.16 (del teorema del valor medio) Si la derivada de una función es nula en todos
sus puntos, entonces la función es constante.
Ejercicio 3.33
Demuestra que las funciones
arcsin x y − arccos x sólo se diferencian en una cons-
tante y encuentra dicha constante. ¾Qué relación entre los ángulos de un triángulo rectángulo
2
muestra este resultado?
Ejercicio 3.34
Demuestra que
Ejercicio 3.35
Determine todos los valores de
π
, para todo
2
ángulos de un triángulo rectángulo muestra este resultado?
arctan x + arctan x1 =
f (x) =
α

 αx − 3,

y
β
x > 0.
¾Qué relación entre los
2
para que
x < 1,
−x2 + 10x − β 1 ≤ x,
satisfaga las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [2,6]. ¾Y en [-2,6]?
2
Teorema 3.17 (Regla de L'Hôpital) Consideremos x0 ∈ [−∞, ∞] y dos funciones derivables,
f (x), g(x). Supongamos que al realizar el siguiente límite
lı́m
x→x0
f (x)
,
g(x)
1. nos encontramos una indeterminación del tipo
0
0
o tenemos que lı́m g(x) = ∞ o −∞,
2. comprobamos que g 0 (x) no se anula innitas veces para x ≈ x0 ,
3. y, además, existe el límite lı́m
x→x0
f 0 (x)
= L ∈ [−∞, ∞],
g 0 (x)
21
x→x0
entonces
f 0 (x)
f (x)
= lı́m 0
= L.
lı́m
x→x0 g (x)
x→x0 g(x)
Ejercicio 3.36
Demuestra las siguientes equivalencias entre innitésimos mediante la regla de
L'Hôpital:
sin(x)
= 1,
x→0
x
lı́m
sin2 (x)
= 1,
x→0
x2
lı́m
−10x + 2x2
= 1.
x→∞
1 + 2x2
x2 /2
= 1,
x→0 1 − cos x
lı́m
lı́m
2
Ejercicio 3.37
¾Es posible aplicar la regla de L'Hôpital al cálculo del límite
lı́m
x→∞
x + sin x
?
x − sin x
posible calcularlo de otra manera?
Ejercicio 3.38
¾Existen valores de
2
y g(x) = a x + b x
f (x) = ex − cos x
3.10.
¾es
2
a, b ∈ R para los que las funciones reales de variable real
+ x3 sean innitésimos equivalentes cuando x tiende a 0?
Curvas paramétricas planas
(opcional, se amplía en Matemáticas II)
Las funciones vectoriales de un parámetro son objeto de estudio en Matemáticas II y en Física.
Las curvas paramétricas planas son un caso particular de funciones vectoriales de un parámetro
y nos vamos a limitar a calcular sus derivadas primera y segunda en cartesianas, aplicando las
reglas de derivación.
Partamos por ejemplo de las ecuaciones en paramétricas de una elipse centrada en el origen de
semiejes 2 y 1:
x(t) = 2 cos t,
y(t) = sin t,
calculemos la pendiente a la curva en
t0 = π/6
t ∈ [0, 2π),
a partir de la fórmula
dy
dy/dt
cos t
dy
=
=
⇒
dx
dx/dt
−2 sin t
dx
dy
dx
=
dy/dt
;:
dx/dt
√
3/2
3
=−
.
=−
2/2
2
√
t=π/6
La recta tangente a la elipse en t0 = π/6 se corresponde con la tangente en el punto
√
( 3, 12 ) y viene dada por la ecuación
dy
y = y(t0 ) +
dx
t=t0
√
√
1
3
(x − x(t0 )) ⇒ y = −
(x − 3),
2
2
véase la representación gráca en gura 8.
d (·)
d2 y
Para calcular
podemos aplicar la regla de derivación
dx2
dx
=
d (·)/dt
dy
a
(t)
dx/dt
dx
dy
cos t
d( dx
)
d ( −2 sin
)/dt
d2 y
1 sin12 t
1 1
t
=
=
=
=−
.
2
dx
dx
dx/dt
2 −2 sin t
4 sin3 t
Por tanto
d2 y
dx2
=−
t=π/6
(x( π6 ), y( π6 )) =
1 1
4 sin3 t
22
=−
t=π/6
11
= −2.
4 18
=
− cos t
:
2 sin t
Figura 8: Representación de la elipse
Notación.
Como en
t0 = π/6,
x2
4
+ y2 = 1
y su recta tangente en el punto
√
(x(π/6), y(π/6)) = ( 3, 12 ),
se tiene
√
( 3, 21 ).
se pueden emplear las
siguientes notaciones equivalentes
dy
dx
t=π/6
dy
=
dx
√
√
(x,y)=( 3, 12 )
=−
d2 y
dx2
3
,
2
d2 y
dx2
=
t=π/6
√
(x,y)=( 3, 12 )
= −2.
2
Comprobemos los resultados anteriores teniendo en cuenta que, para calcular las derivadas primera
x2
+y 2
y segunda en la parte superior de la elipse
4
q
= 1, podemos emplear la función y(x) = 1 −
√
√
√
−x/2
− 3/4
dy
0
= − 3/2 =
y (x) = q
⇒ y ( 3) = − q
2
dx
1 − 34
2 1 − x4
0
√
00
y (x) =
− 14
Ejercicio 3.39
2 /2
x
1−x2 /4+ √
2 1−x2 /4
1−x2 /4
√
⇒ y ( 3) = − 14
x2
:
4
;
t=π/6
√
1/4+ √3
00
4
1/4
1/4
= − 12 −
3
2
= −2 =
d2 y
dx2
.
t=π/6
Considera las ecuaciones paramétricas de la circunferencia de radio 2 centrada en
el origen,
x(t) = 2 cos t,
y(t) = 2 sin t,
t ∈ [0, 2π),
y calcula
1. la pendiente a la curva en
t0 = π/6
dy
dx
a partir de la fórmula
2. las ecuaciones cartesianas de la recta tangente en el punto
3. la pendiente a la curva en
√
4 − x2 ;
4. la derivada segunda de
y
=
dy/dt
;
dx/dt
√
(x(π/6), x(π/6)) = ( 3, 1);
√
( 3, 1) a partir de las ecuaciones cartesianas x2 +y 2 = 4 ⇒ y(x) =
con respecto a
x
en
t0 = π/6,
es decir
d2 y
dx2
, a partir de las
t=π/6
ecuaciones en paramétricas;
5. la derivada segunda de
ecuación
y
con respecto a
x
en
√
y(x) = 4 − x2 .
√
( 3, 1),
es decir
d2 y
dx2
, a partir de la
√
(x,y)=( 3,1)
2
23
3.11.
Ejercicios
2
1
f (x) = x3 + x2 − x − 1. Halla
3
2
recta tangente sea 0 o sea −1.
1. Sea
la
los puntos de la gráca de
2. Determina los números reales a y b para que la recta
f (x) = x2 + ax + b en el punto (2, 4).
f
2x − y = 0
en los que la pendiente de
sea tangente a la gráca de
3. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráca de la siguientes funciones
en el punto indicado:
3
i) f (x) = x − x,
1
ii)f (x) =
x−1
(−2, −6);
en
en
1
, −2
2
4. Halla los ángulos bajo los que se cortan las líneas siguientes:
a)
La recta
y =4−x
b ) y = sin x e y = cos x en el
5. Halla
y 0 (x)
x2
y =4− .
π 2
intervalo 0,
.
2
y la parábola
aplicando la regla de la cadena:
i) y = log(tan x),
ii) y = tan2 x,
iv) y = 5cos x ,
v) y = log5 (tan 3x),
2
iii) y = tan(x
r ),
vi) y = cos2
6. Comprueba las siguientes fórmulas de derivación para los casos
n = 1, 2, 3
1
.
1−x
y 4:
a ) f (x) = (x− a)m , m natural, entonces
b)
c)
d)
e)
f)
m−n

, si n < m
m(m − 1) · · · (m − n + 1)(x − a)
n)
f (x) = m!,
si n = m .


0,
si n > m
nπ
f (x) = sin x, entonces f (n) (x) = sin x +
.
2 nπ
f (x) = cos x, entonces f (n) (x) = cos x +
.
2
f (x) = ax , entonces f (n) (x) = ax logn a.
(n − 1)!
f (x) = log(1 + x), entonces f (n) (x) = (−1)n−1
.
(1 + x)n
1
n!
(n)
f (x) =
, entonces f
(x) = (−1)n
.
x+a
(x + a)n+1
7. Halla las derivadas de orden
n
ejercicio 6):
(a) f (x)
8. Sea
f
=
x2
de las funciones siguientes (apóyate en los resultados del
x
,
−1
(b) f (x)
= log(x2 + x − 2).
una función derivable. Halla las derivadas de las siguientes funciones:
2
i) y = f (x + 1),
iv) y =
f (x) − 1
,
f (x) + 1
2
ii) y = f (x) + 1,
v) y = f
24
√
x2 + 1 ,
x−1
iii) y = f
,
x+1
af (x) + b
vi) y =
.
cf (x) + d
y0
9. Obtener
aplicando la técnica de la derivación logarítmica:
x
i) y = xx ,
x2 cos x
,
iv) y =
(1 + x4 )7
10. Dada
a)
iii) y = (senx)tan x ,
x3 (x2 + 1)
vi) y =
.
(5 − x)1/5
x−1
,
(x + 2)2/3 (x + 3)5/2
v) y =
f (x) = x2 e1/x ,
Prueba que la ecuación
parte entera de
b)
2
ii) y = xx ,
f (x) = 4
tiene una única solución
x0
mayor que 1. Calcula la
x0 .
Obtén un valor aproximado de la raíz
x0
del apartado anterior aplicando el método de
Newton con tres iteraciones e indica el error relativo porcentual aproximado.
11. Una generalización de la ley de los gases perfectos,
2
Waals
na
P+ 2
V
(V − nb) = nRT ,
donde
n
P V = nRT ,
es la ecuación de Van der
es el número de moles y
R = 0.083 l · atm ·
−1
K
· mol−1 . Para calcular el volumen V de 1 mol de isobutano (a = 12.87 l2 · atm · mol−2 y
b = 0.1142 l·mol−1 ) a una temperatura T = 300 K y una presión P = 2 atm, se pide realizar
los siguientes pasos:
a)
b)
Escribir la ecuación de Vander Waals como un polinomio cuya variable es
Calcular el valor
V0
V.
que corresponde a los datos usando la ecuación de los gases perfec-
tos.
c)
Calcular el valor aproximado de
V,
raíz de la ecuación obtenida en el primer apartado,
que se obtiene en la segunda iteración del método de Newton, tomando valor inicial
V0 .
12. La arista de un cubo aumenta a la velocidad constante de 16 cm/mn:
a)
b)
Calcula la velocidad a la que aumenta el volumen del cubo cuando la arista vale 20 cm.
Calcula la velocidad a la que aumenta el área de la supercie total del cubo cuando la
arista vale 15 cm.
13. Supongamos que una burbuja de jabón mantiene su forma esférica al expandirse. Si se
3
introduce en ella aire a la velocidad constante de 4 cm /seg, ¾a qué velocidad aumenta su
radio cuando este vale 2 cms?
14. Una escalera de 2 m está apoyada contra la pared. Si el pie de la misma es arrastrado a lo
largo del pavimento, alejándose de la pared a
0.2
m/seg, ¾a qué velocidad baja el alto de la
escalera por la pared, cuando el pie de la escalera está a
0.4
m de la pared?
15. Está entrando líquido en un depósito cilíndrico vertical de 6 m de radio a una velocidad de
3
8 m /mn. ¾A qué velocidad está subiendo el nivel?
16. Una piedra se deja caer sobre un estanque en reposo y produce ondas circulares concéntricas.
El radio
r
de la onda exterior crece al ritmo constante de 1 m/seg. Cuando su radio es 4 m,
¾a qué ritmo está creciendo el área total
A
de la zona perturbada?
25
17. Una función
f (x)
tiene esta gráca:
¾alguna de las siguientes grácas se corresponde con la representación de
f 0 (x)?
Razone la
respuesta.
3.12.
Contenidos suplementarios
Para continuar la formación en matemáticas útiles para física e ingeniería podéis consultar el libro:
Denis G. Zill y Warren S. Wright (2011): Cálculo. Trascendentes tempranas. Cuarta Edición. McGraw Hill. http://www.freelibros.org/matematicas/calculo-trascendentes-tempranas-4ta-edicion-dennis-g-zill-y-warren-s-wright.html
Son particularmente interesantes los capítulos siguientes:
3.6 Derivación implícita.
10.2 Ecuaciones paramétricas.
10.3 Cálculo de ecuaciones paramétricas.
12.1 Funciones vectoriales.
12.2 Cálculo de funciones vectoriales.
26
3.13.
Autocorrección
En esta sección se incluirán errores típicos detectados en pruebas de evaluación.
1. La derivada de
f (x) =
−4
es
(2+x)2
f 0 (x) =
8(2+x)
o bien
(2+x)4
f 0 (x)?
2. ¾Qué opinas de las siguientes armaciones?
Si
f (x) = log x,
entonces
f 0 (x) =
1
.
x log(10)
Si
f (x) = log x,
entonces
f 0 (x) =
log(10)
.
x
27
f 0 (x) =
8(2+x)7
¾Cómo escribirías
(2+x)10