Laboratorio de Matemática
Curso de Iniciación Científica de Jóvenes Talentos
Álgebra 1
Capítulo 3: Polinomios
Problema Introductorio (Ronda zonal 2004, P1 N3): Sean a,b dos enteros
positivos tales que 𝑎 + 𝑏 = 6𝑎𝑏. Determinar el valor de la expresión
(
)
Un polinomio de grado n se puede escribir como
a n x n a n 1 x n 1 a n 2 x n 2 a 2 x 2 a1 x a 0
( an distinto de cero)
Observamos que:
(i) La expresión tiene n 1 términos.
(ii) El término general es
ar x r
(iii) ax b es un polinomio de grado 1.
ax 2 bx c es un polinomio de grado 2
OPERACIONES BASICAS CON POLINOMIOS
Es sabido que x( x y ) x
2
xy . Esto quiere decir que podemos usar indistintamente una u
otra expresión según nos convenga. Si partimos de x ( x y ) y obtenemos x
2
xy diremos
que hemos DESARROLLADO x ( x y ) .
Si partimos de x
2
xy , y obtenemos x ( x y ) diremos que hemos FACTOREADO x 2 xy .
Igualmente conocidas son:
( x y) 2 x 2 2 xy y 2
( x y)( x y ) x 2 y 2
( a b)(c d ) ac ad bc bd
Vamos a "extender" estas ideas, demostrando las siguientes identidades:
EJEMPLO 1
(1 a)(1 b)(1 c)(1 d ) 1 (a b c d ) (ab ac ad bc bd cd)
( abc abd acd bcd ) abcd
EJEMPLO 2
(a b c) 2 a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc
EJEMPLO 3
x y ( x
y )( x y )
EJEMPLO 4
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x 4 x 2 1 x 4 2 x 2 1 x 2 ( x 2 1) 2 x 2 ( x 2 x 1)( x 2 x 1)
En los ejemplos 3 y 4 tenemos dos "trucos" que resultan muchas veces de gran utilidad. ¿Los
observaste?
EJERCICIOS
1. Desarrollar y presentar de manera organizada:
(i)
(1 a )(1 b )(1 c )
(ii)
(a b c) 3
(iii) (a b)
4
2. Factorear:
(i) a b como si fuera la diferencia de dos cuadrados.
(ii) x 2 xy y
3. Factorear:
(i)
( a b) 2 c 2
(ii) a 2 a b b
4
(iii) a a b b
4
(v)
2
2
2
2
4
(iv) x 3 x 4
4
4
x 4 4 y 4 20 x 2 y 2
2
(vi)
x 4 15 x 2 y 2 9 y 4
(vii) a 2 a b 1
2
2
4. Es evidente que b
2
a 2 (a b)(a b) . Usar esta fórmula para calcular 99992, sin
utilizar calculadora
5. Si 3 x x k es múltiplo de x 3 , hallar el valor de k .
2
FACTORIZACION DE x
n
y n PARA n ENTERO POSITIVO
x 3 y 3 ( x y)( x 2 xy y 2 )
x 4 y 4 ( x y )( x 3 x 2 y xy 2 y 3 )
x 5 y 5 ( x y)( x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y 4 )
.............................
x n y n ( x y )( x n 1 x n 2 y x n 3 y 2 ... xy n 2 y n 1 )
El desarrollo de x
n
y n produce resultados distintos:
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x 3 y 3 ( x y )( x 2 xy y 2 )
x 5 y 5 ( x y)( x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y 4 )
y en general para un entero positivo IMPAR n se tiene:
x n y n ( x y )( x n 1 x n 2 y x n 3 y 2 ... xy n 2 y n1 )
Una vez más, te recomendamos que verifiques la validez de las identidades presentadas. Para
ello, hay que efectuar las multiplicaciones.
EJERCICIOS:
1- Explicar por qué:
(i) 5
39
2 39
es divisible por 3.
99
3 99
es divisible por 5.
98
398
NO es divisible por 5.
(ii) 2
(iii) 2
2- Hallar una fórmula para calcular el valor de:
(i) 1 x x ... x para todo entero positivo n
2
n
(ii) 1 x x ... x para todo entero positivo impar n.
2
n
3- Si a y b son números reales tales que a b 10 y ab 3 , hallar el valor de
(i)
1 a 1 b
(ii) a b
2
2
(iii) a b
3
3
TEOREMA DEL RESTO
1- Si p (x ) es un polinomio, se llama RAIZ de la ecuación p ( x ) 0 a cada solución de la
ecuación.
2- Un CERO del polinomio p (x ) es un número a tal que p ( a ) 0 .
3- Si p (x ) tiene grado n mayor o igual que uno, la ecuación p (x ) tiene a lo sumo n raíces.
4- Teorema del resto: Si se divide p (x ) por ( x a ) , el resto que es un polinomio de grado
cero es igual a p (a )
Sea:
p( x) x 3 2 x 2 13x 10 ( x 1)( x 2)( x 5)
Si miramos la factorización (la de la derecha) podemos asegurar de inmediato que
p (1) p ( 2) p ( 5) 0 .
Esto puede "confirmarse" haciendo las cuentas en el polinomio original:
p(1) 13 2 12 13 1 10 0
p(2) 2 3 2 2 2 13 2 10 0
p(5) (5) 3 2 (5) 2 13 (5) 10 0
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Entonces el polinomio p (x ) tiene tres CEROS: 1 , 2 y 5 .
Si tenemos un polinomio sin factorizar y queremos evaluarlo en varios valores de x , es
eficiente usar la siguiente expresión "anidada":
p( x) x 3 2 x 2 13x 10 x( x( x 2) 13) 10
Para evaluar en x ( x ( x 2) 13) 10 se necesitan 5 operaciones (2 multiplicaciones y 3
sumas); en cambio, para hacerlo en x 2 x 13 x 10 se necesitan 8 operaciones (5
multiplicaciones y 3 sumas).
3
2
Esta forma "abreviada" de evaluar se puede esquematizar en una tabla muy familiar: la de la
regla de Ruffini.
Por ejemplo, para evaluar p (3) :
1
3
1
2
-13
10
3
15
6
5
2
16
coeficientes de p(x)
p (3)
Donde el último valor obtenido es p (3) 16
Este método nos regala además otra información valiosa:
p( x) x 3 2 x 2 13x 10 ( x 3)( x 2 5 x 2) 16
Los coeficientes de la última línea del esquema de Ruffini corresponden al cociente
x 2 5 x 2 que resulta de dividir p (x ) por ( x 3) . El teorema del resto afirma que el
resto será p (3) .
Para dividir x 2 x 3 x 4 por 2 x 1 son necesarios pequeños ajustes:
3
2
Como 2 x 1 2( x 1 2) , probamos dividir por ( x 1 2) :
1
1/2
1
2
-3
-4
1/2
5/4
- 7/8
5/2
- 7/4
- 39/8
x 3 2 x 2 3x 4 ( x 1 2)( x 2 5 2 x 7 4 x) 39 8
(2 x 1)(1 2 x 2 5 4 x 7 8 x) 39 8
Es decir, para dividir el polinomio p (x ) por ax b , hallamos el cociente q (x ) y el resto r
de dividir p (x ) por ( x b a) .
Así:
p( x) ( x b a)q( x) r (ax b)(q( x) a) r
Resulta que q( x) a es el cociente y r p(b a) el resto.
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EJERCICIOS:
1. Expresar el polinomio p ( x) 2 x
4
2 x 3 3x 2 4 x 5 en forma anidada y calcular
p ( 2) y p (3) .
2. Hallar el cociente y el resto de dividir
(i) 3 x 2 x 3 x 2 x 7 por x 2
5
4
2
(ii) x 2 x 4 x 3 x 1
4
3
2
por 2 x 3
3. Hallar el cociente y el resto de dividir
(i) x 3 x 5 x 6
por ( x 1)( x 3)
(ii) x 2 x x 5 x 11
por x 5 x 4
3
4
2
3
2
2
4. Demostrar que:
(i) 4 es una RAIZ de x 31x 23 x 20 0
3
2
(ii) 3 2 es un CERO de 2 x 5 x 3 x 9
3
2
En ambos casos, factorizar totalmente la expresión.
23
0
