UNQ/Dip.CyT/Análisis Matemático II/Comisiones A y B
Segundo Parcial – 12/11/07
APELLIDO+NOMBRE+LEGAJO:
TEMA A
ln( x 2 y 2 ) ln( 2 x )
1. Sea f ( x , y )
x y
a) Halle D Dom( f ) . Grafique en el plano XY sombreando únicamente los puntos de D .
b) Exprese D 0 y D ' Justifique si D es abierto/cerrado/acotado.
2. Sea f ( x , y )
x 2 ( y 1)
x 4 ( y 1) 2
a) Halle Dom cont ( f ) . Justifique.
b) ¿Puede definirse f en ( 0,1) de modo que resulte continua en dicho punto? Justifique.
3. Dada f ( x , y ) 1 e xy
1
a) Determine Dom( f ) , I ( f ) y la curva de nivel que pasa por (1,1) .
b) Calcule (f )(1,1) y demuestre que es perpendicular a la curva de
nivel hallada en a).
4. Sea g ( x , y ) diferenciable en el origen y tal que g(0,0) 0 , g' x (0,0) 3 , g' y (0,0) 3 .
Se define f ( x, y ) e g ( x , y )
a) Encuentre el valor y la dirección de la derivada direccional máxima de f en el origen.
b) ¿Existe alguna dirección * tal que f ' * (0,0) 2 ? Justifique.
5. Sea f ( x , y ) sen ( x 2 y 2 )
a) Justifique la diferenciabilidad de f en ( 0,0) por definición.
b) Muestre que f C 1 ( R 2 ) . Enuncie el teorema utilizado y justifique su aplicación.
c)
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